BÀI TẬP HỌC PHẦN : CƠ SỞ TOÁN
PHẦN I.
Câu 1.1 (2 điểm):
a) (1 điểm) Chứng tỏ công thức sau là hằng đúng:
𝑝⇒ 𝑞⇒𝑟

⇒

𝑝⇒𝑞 ⇒ 𝑝⇒𝑟 .

Giải:
𝑝⇒𝑞
⇒ 𝑝
⇒𝑟

KL

𝑝

𝑞

𝑟

𝑞⇒𝑟

𝑝⇒𝑞

𝑝⇒𝑟

𝑝
⇒ 𝑞

⇒𝑟

đ

đ

đ

đ

đ

đ

đ

đ

đ

đ
đ

đ

𝑠

𝑠

đ


𝑠

𝑠

đ

đ

đ

𝑠

đ

đ

đ

đ

𝑠
𝑠

𝑠
đ

𝑠

đ


đ

đ

đ
đ

đ

đ

𝑠
đ

đ

𝑠

𝑠
đ

đ

đ

𝑠

đ


𝑠

𝑠

đ

đ

đ
đ

đ

𝑠

đ
đ

đ

𝑠

đ
đ

đ

đ

𝑠


𝑠

𝑠

đ

đ

đ

đ

đ

đ

b) (1 điểm) Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 thỏa mãn 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐶 ∩
𝐷. Chứng minh:
𝐴∪ 𝐵∩𝐶

∩ 𝐴∪ 𝐵∩𝐷

= 𝐴.

Giải:
𝐴∪ 𝐵∩𝐶

∩ 𝐴∪ 𝐵∩𝐷


=𝐴∪

𝐵∩𝐶 ∩ 𝐵∩𝐷

= 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴.
Câu 1.2 (2 điểm):
a) (1 điểm) Chứng tỏ công thức sau là hằng đúng:
𝑝⇒ 𝑞⇒𝑟

∧ 𝑝⇒𝑞

⇒ 𝑝⇒𝑟 .

b) (1 điểm) Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶. Chứng minh rằng:
1


𝐴∩𝐵 =𝐴∩𝐶
⇔ 𝐵 = 𝐶.
𝐴∪𝐵 =𝐴∪𝐶
𝐴∩𝐵 =𝐴∩𝐶
Giải: 𝐵 = 𝐶 ⇒
hiển nhiên. Ngược lại, ta ch. minh
𝐴∪𝐵 =𝐴∪𝐶
𝐴∩𝐵 =𝐴∩𝐶
⇒ 𝐵 = 𝐶.
𝐴∪𝐵 =𝐴∪𝐶
Xét 𝑥 ∈ 𝐵.
Nếu 𝑥 ∈ 𝐴 thì 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶 nên 𝑥 ∈ 𝐶.
Nếu 𝑥 ∉ 𝐴 thì 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶 nên 𝑥 ∈ 𝐶. Suy ra 𝐵 ⊂ 𝐶.

Tương tự, ta chứng minh được 𝐶 ⊂ 𝐵. Tóm lại 𝐵 = 𝐶.
Câu 1.3 (2 điểm):
a) (1 điểm) Chứng tỏ công thức sau là hằng đúng:
𝑝 ⇒ 𝑞∨𝑟

⇒

𝑝⇒𝑞 ∨ 𝑝⇒𝑟 .

b) (1 điểm) Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶. Chứng minh rằng
𝐴∩𝐶 ⊂𝐵∩𝐶
⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵.
𝐴∖𝐶 ⊂𝐵∖𝐶
Giải: ⇐) hiển nhiên
⇒)
Xét 𝑥 ∈ 𝐴.
Nếu 𝑥 ∈ 𝐶 thì 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∩ 𝐶 nên 𝑥 ∈ 𝐵.
Nếu 𝑥 ∉ 𝐶 thì 𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∖ 𝐶 nên 𝑥 ∈ 𝐵.
Vậy 𝐴 ⊂ 𝐵.
Câu 1.4 (2 điểm):
a) (1 điểm) Chứng tỏ công thức sau là hằng đúng:
𝑝 ⇒ 𝑞∧𝑟

⇒

𝑝⇒𝑞 ∧ 𝑝⇒𝑟 .

b) (1 điểm) Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶. Chứng minh rằng:
(𝐴 ∩ 𝐵) ∖ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∖ 𝐶).
Giải:

𝑥∈𝐴
𝑥∈𝐴
𝑥 ∈𝐴∩𝐵
𝑥 ∈ 𝐴∩𝐵 ∖𝐶 ⇔
⇔ 𝑥∈𝐵⇔
⇔𝑥 ∈𝐴∩ 𝐵∖𝐶 .
𝑥 ∈𝐵∖𝐶
𝑥∉𝐶
𝑥∉𝐶
2


Câu 1.5 (2 điểm):
a) (1 điểm) Chứng tỏ công thức sau là hằng đúng:
𝑝⇒𝑞 ∧ 𝑟⇒𝑠

⇒

𝑝∧𝑟 ⇒ 𝑞∧𝑠 .

b) (1 điểm) Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶. Chứng minh rằng:
𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶) = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶 .
Giải: Do 𝐴 ∖ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 = 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 nên:
𝐴 ∖ (𝐵 ∖ 𝐶) = 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶 ) = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶
= 𝐴∩𝐵 ∪ 𝐴∩𝐶 = 𝐴∖𝐵 ∪ 𝐴∩𝐶 .
𝐵∖𝐶 =𝐵∩𝐶
𝑥∈𝐵
𝑥∈𝐵
∀𝑥 ∈ 𝐵 ∖ 𝐶 ⇔
⇔

⇔ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶.
𝑥∉𝐶
𝑥∈𝐶
Câu 1.6 (2 điểm):
a) Cho 𝑝, 𝑞 là hai mệnh đề. Chứng tỏ mệnh đề sau là hằng đúng
𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑝 ∧ 𝑞.
b) Cho 𝐴 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 100
chia hế t cho 2, 𝐵 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn ho ặc bằng 100
chia hế t cho 3. Tìm số phần tử của tập 𝐴 ∩ 𝐵.
Giải: a)
𝑝
𝑞
𝑝
𝑞
𝑝∨𝑞 𝑝∨𝑞 𝑝∧𝑞
𝑝∨𝑞 ⇔𝑝∧𝑞
đ
đ
𝑠
𝑠
đ
𝑠
𝑠
đ
đ
𝑠
𝑠
đ
đ
𝑠

𝑠
đ
𝑠
đ
đ
𝑠
đ
𝑠
𝑠
đ
đ
𝑠
𝑠
đ
đ
𝑠
đ
đ
𝑥∈𝐴
nên 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 khi và chỉ khi 𝑥 chia hết cho
𝑥∈𝐵
2 và chia hết cho 3. Vì 2 và 3 ngun tớ cùng nhau nên 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 khi
và chỉ khi 𝑥 chia hết cho 6. Vậy
100
𝐴∩𝐵 =
= 16.
6
Câu 1.7 (2 điểm):
a) Cho 𝑝, 𝑞 là hai mệnh đề. Chứng tỏ mệnh đề sau là hằng đúng
(𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ 𝑞 ⇒ 𝑝 .

Do 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔

3


b) Ký hiệu |𝑋| để chỉ số phần tử của tập hữu hạn 𝑋. Chứng tỏ
rằng nếu 𝐴, 𝐵 là hai tập hữu hạn thì
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵|.
Giải: a)
𝑝
𝑞
đ
đ
đ
𝑠
𝑠
đ
𝑠
𝑠

𝑝
𝑠
𝑠
đ
đ

𝑞
𝑠
đ
𝑠

đ

𝑝⇒𝑞 𝑞⇒𝑝
đ
đ
𝑠
𝑠
đ
đ
đ
đ

(𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ 𝑞 ⇒ 𝑝
đ
đ
đ
đ

b) Ta có
𝐴∪𝐵 = 𝐴∖𝐵 ∪ 𝐴∩𝐵 ∪ 𝐵∖𝐴 .
Mà ba tập 𝐴 ∖ 𝐵 , 𝐴 ∩ 𝐵 , 𝐵 ∖ 𝐴 rời nhau đôi một nên
𝐴∪𝐵 = 𝐴∖𝐵 + 𝐴∩𝐵 + 𝐵∖𝐴 .
Mặt khác ta cũng có
𝐴 = 𝐴 ∖ 𝐵 + 𝐴 ∩ 𝐵 và 𝐵 = 𝐵 ∖ 𝐴 + 𝐴 ∩ 𝐵
Nên
𝐴 + 𝐵 =

𝐴∖𝐵 + 𝐴∩𝐵 + 𝐵∖𝐴 + 𝐴∩𝐵
= 𝐴∪𝐵 + 𝐴∩𝐵 .


Do 𝐴, 𝐵 là các tập hữu hạn nên 𝐴 ∩ 𝐵 cũng là tập hữu hạn. Vậy
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵|.
Câu 1.8 (2 điểm):
a) Cho 𝑝, 𝑞 là hai mệnh đề. Chứng tỏ mệnh đề sau là hằng đúng
𝑝 ∧ 𝑞 ⇔ 𝑝 ∨ 𝑞.
b) Cho 𝐴 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn ho ặc bằng 100
chia hế t cho 3, 𝐵 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn ho ặc bằng 100
chia hế t cho 5. Tìm số phần tử của tập 𝐴 ∪ 𝐵.
Giải: 𝐴 ∩ 𝐵 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 100 và
chia hết cho 15.
Do đó
4


100
100
100
+
−
3
5
15
= 33 + 20 − 6 = 47.

𝐴∪𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴∩𝐵 =
Câu 1.9 (2 điểm):

a) Cho 𝑝, 𝑞 là hai mệnh đề. Chứng tỏ mệnh đề phủ định của
𝑝 ⇒ 𝑞 tương đương với 𝑝 ∧ 𝑞.
(𝑝 ⇒ 𝑞 ⇔ 𝑝 ∧ 𝑞 là hằng đúng)

b) Cho 𝐴 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn ho ặc bằng 100
chia hế t cho 5, 𝐵 là tập các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 100
chia hế t cho 7. Tìm số phần tử của tập 𝐴 ∖ 𝐵.
Giải: a)
𝑝
𝑞
đ
đ
đ
𝑠
𝑠
đ
𝑠
𝑠

𝑞
𝑠
đ
𝑠
đ

𝑝⇒𝑞 𝑝⇒𝑞
đ
𝑠
𝑠
đ
đ
𝑠
đ
𝑠


𝑝∧𝑞
𝑠
đ
𝑠
𝑠

𝑝 ⇒𝑞 ⇔𝑝∧𝑞
đ
đ
đ
đ

b) Ta có 𝐴 ∖ 𝐵 = 𝐴\ 𝐴 ∩ 𝐵 . Do 𝐴 ∖ 𝐵 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ nên
100
100
𝐴∖𝐵 = 𝐴 − 𝐴∩𝐵 =
−
= 18.
5
35
Câu 1.10 (2 điểm):
a) Cho dãy số thực 𝑢𝑛 𝑛∈ℕ . Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề
∀𝜖 > 0, ∃𝑛0 ∈ ℕ: ∀𝑛 ≥ 𝑛0 , 𝑢𝑛 < 𝜖.
Giải:
∃𝜖 > 0: ∀𝑚 ∈ ℕ, ∃𝑛 ≥ 𝑚, 𝑢𝑛 ≥ 𝜖.
b) Cho 𝐴, 𝐵 là hai tập hợp con của tập 𝑋. Chứng tỏ 𝐴 ⊂ 𝐵 khi và
chỉ khi 𝑋\𝐵 ⊂ 𝑋\𝐴.
Giải: ∀𝑥 ∈ 𝑋. Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 thì 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 nghĩa là 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉
𝐴 nên 𝑋\𝐵 ⊂ 𝑋\𝐴.

Nếu 𝑋\𝐵 ⊂ 𝑋\𝐴 thì 𝑥 ∈ 𝑋\𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝑋\𝐴 nghĩa là 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∉ 𝐴
suy ra 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵 nghĩa là 𝐴 ⊂ 𝐵.
Cách 2:
5


Ta có 𝑋 = 𝐴 ∪ 𝑋\𝐴 = 𝐵 ∪ 𝑋\𝐵 (hợp rời) nên suy ra điều cần chứng
minh.
Câu 1.11 (2 điểm):
a) Cho 𝑝 là mệnh đề “12 không chia hết cho 2” và 𝑞 là mệnh đề
“12 không chia hết cho 3”. Sử dụng các phép toán trên mệnh đề, hãy
biểu diễn mệnh đề “12 chia hết cho 6” theo 𝑝 và 𝑞.
Giải:
12 chia hết cho 6 khi và chỉ khi 12 chia hết cho 2 và 12 chia hết cho 3.
Do đó mệnh đề “12 chia hết cho 6” chính là 𝑝 ∧ 𝑞
b) Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là ba tập hợp. Chứng tỏ 𝐴 ∖ 𝐵 ⊂ 𝐶 khi và chỉ khi
𝐴 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶.
Giải:
Nếu 𝐴\𝐵 ⊂ 𝐶 thì
𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴\𝐵 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶.
Ngược lại, nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶 thì
𝐴\𝐵 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶 \𝐵 = 𝐶\𝐵 ⊂ 𝐶.
Câu 1.12 (2 điểm):
a) Cho 𝑛 ∈ ℕ∗ . Gọi 𝑝𝑛 là mệnh đề “𝑛 chia hết cho 2” và 𝑞𝑛 là
mệnh đề “𝑛 chia hết cho 5”. Sử dụng các phép toán trên mệnh đề, hãy
biểu diễn mệnh đề “𝑛 tận cùng bằng 0” theo 𝑝𝑛 và 𝑞𝑛 .
Giải:a)
𝑛 tận cùng bằng 0 khi và chỉ khi 𝑛 chia hết cho 2 và 𝑛 chia hết cho 5.
Do đó mệnh đề “𝑛 tận cùng bằng 0” là: 𝑝𝑛 ∧ 𝑞𝑛 .
b) Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là ba tập hợp. Chứng minh

(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ 𝐵 ∖ 𝐴 .
Giải: Ta có
𝐴 ∪ 𝐵 ∖ 𝐴 ∩ 𝐵 = [𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ] ∪ [𝐵 ∖ (𝐴 ∩ 𝐵 ]
= 𝐴∖𝐵 ∪ 𝐵∖𝐴 .
Cách 2: Do ta có “hợp rời”:
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵 ∖ 𝐴
Nên
6


(𝐴 ∪ 𝐵) ∖ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ 𝐵 ∖ 𝐴 .
Câu 1.13 (2 điểm):
a) Cho 𝑎, 𝑏 là hai số thực. Gọi 𝑝 là mệnh đề “𝑎 ≠ 0” và 𝑞 là
mệnh đề “𝑏 ≠ 0”. Sử dụng các phép toán trên mệnh đề, hãy biểu diễn
mệnh đề “𝑎𝑏 = 0” theo 𝑝 và 𝑞.
Giải: 𝑎𝑏 = 0 khi và chỉ khi 𝑎 = 0 hoặc 𝑏 = 0. Mệnh đề “𝑎𝑏 = 0”
chính là: 𝑝 ∨ 𝑞 = 𝑝 ∧ 𝑞 .
b) Cho bốn tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Chứng minh rằng
𝐴×𝐶 ∪ 𝐵×𝐷 ⊂ 𝐴∪𝐵 × 𝐶∪𝐷 .
Giải:
Do 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵 và 𝐶, 𝐷 ⊂ 𝐶 ∪ 𝐷 nên
𝐴×𝐶 , 𝐵×𝐷 ⊂ 𝐴∪𝐵 × 𝐶∪𝐷 .
Vậy
𝐴×𝐶 ∪ 𝐵×𝐷 ⊂ 𝐴∪𝐵 × 𝐶∪𝐷 .
Cách 2: Ta có
𝐴∪𝐵 × 𝐶∪𝐷 = 𝐴× 𝐶∪𝐷

∪ 𝐵× 𝐶∪𝐷

=


𝐴×𝐶 ∪ 𝐴×𝐷 ∪ 𝐵×𝐶 ∪ 𝐵×𝐷 ⊃ 𝐴×𝐶 ∪ 𝐵×𝐷 .
𝐴 × 𝐶 = 𝑎, 𝑐 |𝑎 ∈ 𝐴, 𝑐 ∈ 𝐶
Câu 1.14 (2 điểm):
a) Cho hai hàm sớ 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ. Ta nói 𝑓 ≤ 𝑔 nếu
𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ.
Gọi 𝐴(𝑓, 𝑔) là mệnh đề “𝑓 ≤ 𝑔”. Hãy phát biểu mệnh đề
𝐴(𝑓, 𝑔) ∧ 𝐴(𝑔, 𝑓).
Giải:
∃𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ: (𝑓 𝑥1 > 𝑔 𝑥1 ) ∧ (𝑔 𝑥2 > 𝑓 𝑥2 ).
b) Cho bốn tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Chứng minh rằng
𝐴∩𝐵 × 𝐶∩𝐷 = 𝐴×𝐶 ∩ 𝐵×𝐷 .
Giải:
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 × 𝐶 ∩ 𝐷 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 và 𝑦 ∈ 𝐶 ∩ 𝐷
⇔ 𝑥 ∈𝐴∧𝑥 ∈𝐵 ∧ 𝑦 ∈𝐶∧𝑦 ∈𝐷
7


⇔ 𝑥 ∈𝐴∧𝑦∈𝐶 ∧ 𝑥 ∈𝐵∧𝑦∈𝐷 .
⇔ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 × 𝐶 ∩ 𝐵 × 𝐷 .
Câu 1.15 (2 điểm):
a) Cho dãy số (𝑥𝑛 ). Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:
∀𝜖 > 0, ∃𝑛0 ∈ ℕ: ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 , |𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 | < 𝜖.
Giải:
∃𝜀 > 0, ∀𝑛0 ∈ ℕ: ∃𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛0 , 𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 ≥ 𝜀.
b) Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ∗ , xét tập
𝐴𝑛 ≔ 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … .
Tìm
∞


∞

𝐴𝑛 và
𝑛=1

𝐴𝑛 .
𝑛=1

Giải:
Giả sử 𝑥 ∈ ∞
𝑛=1 𝐴𝑛 , ta có 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1 nên 𝑥 ≥ 𝑛, ∀𝑛 ≥ 1
∞
vô lý. Vậy 𝑛=1 𝐴𝑛 = ∅.
Do 𝐴𝑛 +1 ⊂ 𝐴𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1 nên 𝐴𝑛 ⊂ 𝐴1 ; ∀𝑛 ≥ 1,
∞

𝐴1 ⊂

𝐴𝑛 ⊂ 𝐴1
𝑛=1

Vậy

∞
𝑛=1 𝐴𝑛

= 𝐴1 .

Câu 1.16 (2 điểm):
a) Cho 𝐴, 𝐵 là hai tập hợp. Gọi 𝑝(𝐴, 𝐵) là mệnh đề “𝐴 ⊂ 𝐵”. Sử

dụng các phép toán trên tập hợp, hãy phát biểu mệnh đề
𝑝 𝐴, 𝐵 ∧ 𝑝(𝐵, 𝐴)
Giải: Ta có 𝑝(𝐴, 𝐵): 𝐴 ∖ 𝐵 ≠ ∅ và 𝑝(𝐵, 𝐴): 𝐵 ∖ 𝐴 ≠ ∅,
𝑝 𝐴, 𝐵 ∧ 𝑝(𝐵, 𝐴) = 𝑝(𝐴, 𝐵)⋁𝑝(𝐵, 𝐴)
nên
𝑝 𝐴, 𝐵 ∧ 𝑝(𝐵, 𝐴): 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ 𝐵 ∖ 𝐴 ≠ ∅.
b) Cho tập 𝐴 = 0,1 × ℝ và 𝐵 = ℝ × 1,2 . Xác định 𝐴 ∩ 𝐵 và
biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ.
8


Giải:
Ta có
𝑥 ∈ 0; 1
𝑦∈ℝ
𝑥∈ℝ
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵 = ℝ × 1; 2 ⇔
𝑦 ∈ 1; 2
𝑥 ∈ 0; 1
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔
𝑦 ∈ 1; 2
𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 = 0; 1 × ℝ ⇔

Nên 𝐴 ∩ 𝐵 = 0; 1 × 1; 2 .
Câu 1.17 (2 điểm):
a) Cho hàm 𝑓: ℝ → ℝ và 𝑥0 ∈ ℝ. Gọi 𝑝 là mệnh đề
∃𝜖 > 0: ∀𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝜖, 𝑥0 + 𝜖 , 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥0
và 𝑞 là mệnh đề
∃𝜖 > 0: ∀𝑥 ∈ 𝑥0 − 𝜖, 𝑥0 + 𝜖 , 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓 𝑥0 .
Hãy phát biểu mệnh đề 𝑝 ∧ 𝑞.

Giải: Ta có
𝑝: ∀𝜀 > 0, ∃𝑥1 ∈ 𝑥0 − 𝜀, 𝑥0 + 𝜀 , 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥0
𝑞: ∀𝜀 > 0, ∃𝑥2 ∈ 𝑥0 − 𝜀, 𝑥0 + 𝜀 , 𝑓 𝑥2 < 𝑓 𝑥0
Nên
𝑝 ∧ 𝑞: ∀𝜀 > 0, ∃𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑥0 − 𝜀, 𝑥0 + 𝜀 , 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥0 > 𝑓 𝑥2
(hàm 𝑓 không đạt cực trị địa phương tại 𝑥0 )
b) Cho hai tâ ̣p hơ ̣p 𝐴 và 𝐵. Chỉ ra hai tập 𝐶, 𝐷 rời nhau sao cho
𝐶 ⊂ 𝐴, 𝐷 ⊂ 𝐵;
𝐶 ∪ 𝐷 = 𝐴 ∪ 𝐵.
Giải: Do ta có hợp rời
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐵 ∖ 𝐴
và 𝐴 = 𝐴 ∖ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) nên khi cho 𝐶 = 𝐴, 𝐷 = 𝐵 ∖ 𝐴 ta có
𝐶 ⊂ 𝐴, 𝐷 ⊂ 𝐵;
𝐶 ∪ 𝐷 = 𝐴 ∪ 𝐵.
Câu 1.18 (2 điểm):
a) Một hàm số 𝑓: ℝ → ℝ được gọi là tuần hoàn nếu
∃𝑇 > 0: ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 .
Khi nào 𝑓 khơng tuần hồn.
Giải: 𝑓 khơng tuần hồn nếu
9


∀𝑇 > 0, ∃𝑥0 ∈ ℝ, 𝑓 𝑥0 + 𝑇 ≠ 𝑓 𝑥0
b) Cho hai ánh xạ 𝑓, 𝑔 ∶ ℝ → ℝ. Đặt
𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) ≥ 1 ,
1
𝐵= 𝑥∈ℝ 𝑓 𝑥 ≥ ,
2
1
𝐶 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑔(𝑥) ≥ .

2
Chứng tỏ 𝐴 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐶.
Giải: Ta chứng minh 𝐵 ∪ 𝐶 ⊂ 𝐴 tức là 𝐵 ∩ 𝐶 ⊂ 𝐴.
Thật vậy,
1
1
∀𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 ⇒ 𝑓 𝑥 < ∧ 𝑔 𝑥 <
2
2
1 1
⇒ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ≤ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 < + = 1 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴.
2 2
Vậy 𝐵 ∩ 𝐶 ⊂ 𝐴.
Câu 1.19 (2 điểm):
a) Mệnh đề sau đúng hay sai? Tìm mệnh đề phủ định của nó.
∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 > 0.
Giải: ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 = −𝑥 + 1 ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 1 = 1 > 0
nên mệnh đề trên là đúng.
Phủ định của nó là: ∃𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑥 + 𝑦 > 0.
b) Cho ánh xạ 𝑓: ℝ → ℝ. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ∗ , đặt
1
𝐴𝑛 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓 𝑥 < .
𝑛
Tìm
∞

𝐴𝑛 .
𝑛=1

Giải: Giả sử 𝑥 ∈ ∞

𝑛=1 𝐴𝑛 . Khi đó 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1 nên 𝑓 𝑥 <
1
1
; ∀𝑛 ≥ 1. Do lim𝑛→∞ = 0 nên 𝑓 𝑥 = 0. Ngược lại, nếu 𝑓 𝑥 = 0
𝑛
𝑛
thì 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1 nên
∞

𝐴𝑛 = 𝑥 ∈ ℝ | 𝑓 𝑥 = 0 = ker 𝑓.
𝑛=1

Câu 1.20 (2 điểm):
10


a) Mệnh đề sau đúng hay sai? Tìm mệnh đề phủ định của nó.
∃𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 2 > 𝑥.
Giải: Khi chọn 𝑥 < 0 thì ∀𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 2 > 𝑥 nên mệnh đề trên là đúng.
Phủ định của nó là: ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 2 ≤ 𝑥.
b) Cho ánh xạ 𝑓: ℝ → ℝ. Với mỗi 𝑛 ∈ ℕ∗ , đặt
𝐴𝑛 = 𝑥 ∈ ℝ
Tìm

𝑓 𝑥

≥

1
.

𝑛

∞

𝐴𝑛 .
Giải: Giả sử 𝑥 ∈

∞
𝑛=1 𝐴𝑛 .

𝑛=1

Khi đó tồn tại 𝑛0 ∈ ℕ∗ để 𝑓 𝑥

ra 𝑓 𝑥 ≠ 0. Ngược lại, nếu 𝑓 𝑥 ≠ 0 thì 𝑓 𝑥
0 nên tồn tại 𝑛0 ∈ ℕ∗ để 𝑓 𝑥
Tóm lại

≥

1
𝑛0

. Vậy 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 0 ⊂

𝐴𝑛 = 𝑥 ∈ ℝ| 𝑓 𝑥 ≠ 0 .

11

1

𝑛0

> 0. Vì lim𝑛→∞

∞

𝑛=1

≥

∞
𝑛=1 𝐴𝑛 .

suy
1
𝑛

=