Clc Dap An Mon Toán Ứng Dụng (Clc Tiếng Việt Hki 2022-2023)_2022_12_29.Pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (330.3 KB, 7 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO
NHĨM NGÀNH CƠ KHÍ
-------------------------
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I (2022 – 2023)
Mơn: TỐN ỨNG DỤNG
Mã mơn học: AMME131529
Đề số/Mã đề: 01
Đề thi có 02 trang
Thời gian: 90 phút
Được phép sử dụng tài liệu.
Câu 1: (2,5 điểm)
Hệ thống giảm chấn của một xe tự hành có phương trình vi phân như sau:
y”(t) + 4y’(t)+ 13y(t) = f(t)
Giả sử khi xe đang vận hành với các điều kiện ban đầu tại t = 0 là y’(0) = 2; y(0) = 1 thì bị ngoại
lực f(t) tác động lên hệ thống với f(t) = [H(t–1) – H(t–2)]. Giải tìm y(t) bằng phương pháp biến đổi
Laplace với t ≥ 0.
Câu 2: (3,0 điểm)
Dữ liệu đo đạc bức xạ mặt trời tại một địa điểm được cho trong Bảng 1.
Bảng 1. Cường độ bức xạ trung bình theo ngày trong tháng
Thứ tự ngày (t) [day]
0
2
4
7
10
13
15
19
22
26
30
Năng lượng bức xạ
1360 4320 5200 3280 2560 4400 1056 1920 3120 3680 3600
theo ngày (P) [Wh/m2]
a. Áp dụng phương pháp nội suy đa thức Lagrange bậc 3 để ước lượng mức năng lượng bức xạ
[Wh/m2] của ngày thứ 16 của tháng.
b. Tính tổng bức xạ thu được E trên 01 tấm hấp thụ diện tích 01 m2 có hệ số tỷ lệ hấp thụ là 40%
30
trong cả tháng (gợi ý: tính tích phân 𝐸 = 0.4 × ∫1 𝑃𝑑𝑡 bằng cách sử dụng kết hợp phương
pháp tích phân số Simpson 3/8, 1/3 và tích phân hình thang)
Câu 3: (3,0 điểm)
Cho hệ phương trình đại số tuyến tính sau:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 10
{3𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 = 17
3𝑥2 + 𝑥3 = 7
a. Hãy biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận A.X = B với X là ma trận biến. Tìm điều kiện
của để tồn tại ma trận nghịch đảo A-1. Tính A-1 khi =1
b. Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp Cramer khi =1
Câu 4: (1,5 điểm)
Giải phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-Kutta bậc 3 trên đoạn [0; 2] với bước
tính h = 0.5 và y(0) = 1.
y’ + 2xy – x2 = 2
HẾT.
Ghi chú: Cán bộ coi thi khơng được giải thích đề thi.
1/ 2
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)
[CLO1/PI1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp biến đổi Laplace
và các phương pháp số gần đúng (Euler, Euler cải tiến, Runge-Kutta) để
giải các bài tốn phương trình vi phân được mơ hình hóa từ các hệ thống
cơ khí, cơ điện tử.
[CLO3/PI1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp nội suy đa thức
(Lagrange, Newton, Spline) để ước lượng giá trị đáp ứng của hệ thống kỹ
thuật.
[CLO4/PI1.2]: Có khả năng áp dụng các phương pháp tính tích phân số
(Trapezoidal, Simpson) để tính gần đúng các bài tốn kỹ thuật.
[CLO5/PI1.2]: Có khả năng áp dụng các kiến thức về ma trận, để giải
được các bài toán kỹ thuật liên quan
Nội dung kiểm tra
Câu 1, Câu 4
Câu 2a
Câu 2b
Câu 3
Ngày 21 tháng 12 năm 2022
Thông qua Trưởng ngành
2/ 2
ĐÁP ÁN
Câu 1:
Tìm y(t)
Biến đổi Laplace phương trình vi phân
e − s − e −2 s
Y ( s ) s 2 − sy (0) − y(0) + 4 (Y ( s ) s − y (0) ) + 13Y ( s ) =
s
e − s − e −2 s
Y ( s ) s 2 + 4 s + 13 − s − 6 =
s
Y ( s) =
Y ( s) =
Y ( s) =
Y ( s) =
1,0
e − s − e −2 s
s+6
+
s 2 + 4 s + 13 s ( s 2 + 4s + 13)
s+2
( s + 2)
2
+3
2
s+2
( s + 2)
2
+ 32
s+2
( s + 2)
2
+ 32
+
+
+
4
( s + 2)
2
+3
2
4
( s + 2)
2
+ 32
4
( s + 2)
2
+ 32
+
e − s − e −2 s
13
1
s+4
−
2
2
s ( s + 2 ) + 3
+
e − s − e −2 s
13
1
s+4
−
2
2
s ( s + 2 ) + 3
+
e − s − e −2 s
13
1
s+2
2
−
−
2
2
2
2
s ( s + 2 ) + 3 ( s + 2 ) + 3
4
1
y (t ) = e −2t cos(3t ) + e −2t sin(3t ) + H (t − 1) − H (t − 2)
3
13
1
2
− H (t − 1) e −2(t −1) cos(3(t − 1)) + e−2(t −1) sin(3(t − 1))
13
3
+
1,0
0,5
1
2
H (t − 2) e −2(t − 2) cos(3(t − 2)) + e−2( t − 2) sin(3(t − 2))
13
3
Câu 2:
a.
Năng lượng bức xạ [Wh/m2] của ngày thứ 16 của tháng
3/ 2
y ( x) =
( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) f x + ( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 ) f x
( )
( )
( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 ) 0 ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 ) 1
( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 ) f x + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f x
+
( )
( )
( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 ) 2 ( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 ) 3
0,5
Có 2 trường hợp
TH1:
Lấy 4 điểm (10,2560) , (13,4400), (15,1056), (19,1920)
f(16)=-443,73 (Loại)
1
Có 2 trường hợp
Lấy 4 điểm (13,4400), (15,1056), (19,1920), (22,3120)
f(16)=616,38 (Nhận)
b.
Áp dụng lần lượt Simpson 1/3 cho khoảng từ (0-4), Simpson 13/8 cho khoảng từ (413), Hình thanh (13,15), Hình thanh (15,19), Hình thanh (19,22) và Simpson 1/3 cho
khoảng từ (22-30)
1360 + 4 x 4320 + 5200
5200 + 3 x3280 + 3 x2560 + 4400
W= ( 4 − 0 )
+ (13 − 4 )
6
8
1056 + 4400
1920 + 1056
1920 + 3120
+ (15 − 3)
+ (19 − 15 )
+ ( 22 − 19 )
2
2
2
3120 + 4 x3680 + 3600
+ ( 30 − 22 )
6
1360 + 4 x 4320 + 5200
5200 + 3x3280 + 3x 2560 + 4400
W= ( 4 − 0 )
+ (13 − 4 )
6
8
1056 + 4400
1920 + 1056
1920 + 3120
+ (15 − 13)
+ (19 − 15 )
+ ( 22 − 19 )
2
2
2
3120 + 4 x3680 + 3600
+ ( 30 − 22 )
6
W= 47680/3+30510+5456+5952+7560+85760/3=93958 Wh / m 2
E = Wx0, 4 = 37583, 2 Wh / m
0.5
0.5
0.5
2
Câu 3:
4/ 2
a.
Ma Trận A và B
1 2 3
A = 3 6
0 3 1
10
B = 17
7
1 2 3
6
2 3
2 3
det A = 3 6 =
−3
+0
= +3
3 1
3 1
6
0 3 1
0,5
0.25
Để tồn tại ma trận nghịch đảo A-1
det A 0
+3 0
−3
0.25
Khi = 1
1 2 3 1 2 3
det A = 3 6 = 3 1 6 = 4
0 3 1 0 3 1
−17 −3 9
Ma trận phụ đại số 7
1 −3
9
3 −5
−17 7 9
Ma trận liên hợp −3 1 3
9 −3 −5
0.5
Ma trận nghịch đảo
−17 7 9
−3 1 3
9
−
3
−
5
A−1 =
4
0.5
b.
Giảo hệ phương trình bằng cơng thức Cramer
5/ 2
10 2 3
17 1 6
x1 =
7
3 1
4
1 10 3
=3
0.5
3 17 6
0 7 1
x2 =
=2
4
1 2 10
3 1 17
0 3 7
x3 =
=1
4
0.25
0.25
Câu 4:
Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Runge-Kutta
y + 2 xy − x 2 = 2
y = x 2 − 2 xy + 2
0,5
k1i = x − 2 xi yi + 2
2
i
2
1
1
1
k2i = xi + h − 2 xi + h yi + k1i h + 2
2
2
2
k3i = ( xi + h ) − 2 ( xi + h ) ( yi − k1i h + 2k2i h ) + 2
2
yi +1 = yi +
1
k1i + 4k2i + k3i h
6
x
k1
k2
k3
y
0
2
1.3125
0.9375
y(0)=1
0.5
0.5677
-0.1738
0.5508
y(0.5)= 1.6823
1
--0.4352
-0.4595
-0.1771
y(1)= 1.7176
1.5
0.2902
0.01952
-0.7121
y(1.5)= 1.5134
2
0.5
0.5
y(2)= 1.4364
6/ 2
7/ 2
