Trang
1
CHƯƠNG 8 : CHUỖI
8.1. Chuỗi Số
8.1.1. Khái niệm chung
1. Định Nghĩa chuỗi số: Cho dãy số u
1
, u
2
,…, u
n
…
Biểu thức u
1
+u
2
+… + u
n
+… được gọi là một chuỗi số và ký hiệu:
1n
u
n
.
Các số u
1
, u
2
,…, u
n
… gọi là các số hạng của chuỗi số, u
n
gọi là số hạng
tổng quát.
Tổng S
n
=
n
i 1
u
i
= u
1
+ u
2
+…+ u
n
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số.
2. Sự hội tụ, phân kỳ :Cho chuổi số
1
n
n
u
và
n
S là tổng riêng thứ n
Nếu
n
lim
S
n
= S (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số
1n
u
n
hội tụ và có tổng S.
Ta viết
1n
u
n
=S.
Nếu
n
lim
S
n
= hoặc
n
lim
S
n
không tồn tại thì ta nói chuỗi
1n
u
n
phân
kỳ.
Ta viết
1n
u
n
= .
Ví dụ 1 Xét chuỗi
11
1
nn
n
aq a aq aq
, với 0a
.
Ta xét tổng riêng
1n
n
S a aq aq
.
Nếu q = 1 thì:
n
Saa ana
khi n . Do đó chuỗi
phân kỳ.
Nếu q = -1 thì:
n
Saaaa
Suy ra không tồn tại lim
n
n
S
. Do đó
chuỗi phân kỳ.
Nếu
1q thì:
, nê 1
1
1
lim
1
, nê 1
n
n
n
a
uq
q
q
Sa
q
uq
Trang
2
Vậy
1
1
khi 1
khi 1
n
n
HT q
aq
PK q
.
Ví dụ 2 Xét chuỗi
11
1
ln(1 ) (ln( 1) ln )
nn
nn
n
.
Suy ra (ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) (ln( 1) ln ) ln( 1)
n
Snnn .
Do đó
lim lim ln( 1) .
n
nn
Sn
Vậy chuỗi phân kỳ.
3. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ :
a. Định lý:
n
n
u
1
hội tụ => 0lim
n
n
u
b. Hệ quả:
n
n
u
lim 0 hoặc
n
n
u
lim không tồn tại =>
n
n
u
1
phân kỳ
Ví Dụ
: Xét sự hội tụ và phân kỳ của các chuỗi số
a)
1n
2
12
n
n
Ta có
21
lim lim 2 0.
2
n
nn
n
u
n
Vậy chuỗi phân kỳ.
b)
1n
n+1
arctg
n+3
Ta có
1
lim lim ar 1 0.
3
n
nn
n
uctg
n
Vậy chuỗi phân kỳ.
c)
1n
5 (-1)
n
Ta có
lim lim 5( 1)
n
n
nn
u
. Giới hạn này không tồn tại, vậy chuỗi phân kỳ.
4. Tính chất của chuỗi số
(1) Hai chuỗi số
n
n
u
1
và
1n
C u
n
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ ( C là
hằng số khác 0). Nếu chúng cùng hội tụ thì :
1n
C u
n
= C
n
n
u
1
(2) Nếu 2 chuỗi số
n
n
u
1
và
n
n
v
1
cùng hội tụ thì chuỗi số
1n
(u
n
v
n
)
cũng hội tụ và
1n
(u
n
v
n
) =
n
n
u
1
1n
v
n
Trang
3
(3) Hai chuỗi số
n
n
u
1
và
n
kn
u
(k>1) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
8.1.2. Chuỗi số dương
1. Định Nghĩa
Chuỗi số
n
n
u
1
được gọi là chuỗi số dương nếu u
n
>0,
n = ,1
Ví Dụ.
1n
n
1
,
1n
2
1
2
n
n
,
1n
n
n
n
2.1)!1(
2
2. Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ
S
n
bị chặn trên =>
n
n
u
1
hội tụ
Ghi chú
: S
n
bị chặn trên nghĩa là
A > 0 : S
n
A ;n = ,1
3. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương
a) Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn so sánh 1
:Cho 2 chuỗi số dương
1n
u
n
và
1n
v
n
Giả sử
n
o
N sao cho n≥n
o
: u
n
v
n
. Khi đó ta có :
Nếu
1n
v
n
hội tụ thì
1n
u
n
hội tụ
Nếu
1n
u
n
phân kỳ thì
1n
v
n
phân kỳ.
Hệ quả:
Giả sử
1n
v
n
và
1n
u
n
là 2 chuổi số dương.
Nếu u
n
v
n
khi n thì hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Tiêu chuẩn so sánh 2
:Cho 2 chuỗi số dương
1n
u
n
và
1n
v
n
.
Giả sử
n
lim
n
n
v
u
= K .Khi đó ta có :
Nếu 0 < K < + thì
1n
un và
1n
vn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Nếu K = 0 và nếu
1n
vn hội tụ thì và
1n
un hội tụ.
Nếu K = + và nếu
1n
v
n
phân kỳ thì
1n
u
n
phân kỳ.
Ghi chú:
Trang
4
Chuỗi số nhân :
1n
q
n
* |q| ≥ 1 : Phân kỳ.
* |q| <1 : Hội tụ
Chuỗi số Riemann
:
1n
n
1
*
1 : Phân kỳ.
*
> 1 : Hội tụ
Ví dụ Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
a)
1
1
(4 5)(5 1)
n
nn
Ta có:
2
111
lim :
(4 5)(5 1) 20
n
nnn
.
Mà
2
1
1
n
n
là chuỗi điều hòa với 2
. Do đó chuỗi hội tụ. Vậy theo tiêu
chuẩn so sánh 2, chuỗi cần xét hội tụ.
b)
2
7
1
3
(2)
n
n
n
Ta có:
2
71
33
1
lim : 1
(2)
n
n
nn
.
Mà
1
1
3
1
n
n
là chuỗi điều hòa với
1
3
. Do đó chuỗi phân kỳ. Vậy theo tiêu
chuẩn so sánh 2, chuỗi cần xét phân kỳ.
b) Tiêu chuẩn Đa-lăm-be ( D’Alembert)
Cho chuỗi số dương
1n
u
n
. Giả sử
D
u
u
n
n
n
1
lim
.Khi đó ta có:
Nếu D < 1 thì
1
n
n
u
hội tụ
Nếu D >1 ( có thể D = + ) thì
1
n
n
u
phân kỳ
Trang
5
Ví Dụ. Xét sự hội tụ, phân kỳ
a)
1
3
12
n
n
n
b)
1
!
n
n
n
n
Chú ý :
n
lim e
n
n
1
1
Giải
a. Ta có
1
213 21 1
lim . lim 1
321 3(21)3
n
n
nn
nn
nn
. Vậy chuỗi hội tụ
b. Ta có
1
(1)! 1 1 1
lim . lim lim lim 1
(1) ! 1
11
1
n
n
nn
n
nnnn
nn n
nn n e
n
nn
Vậy chuỗi hội tụ.
c) Tiêu chuẩn Cô si (Cauchy)
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
. Giả sử lim
n
n
n
uC
. Khi đó ta có :
Nếu C < 1 thì
1
n
n
u
hội tụ
Nếu C >1 thì
1
n
n
u
phân kỳ.
Ví Dụ. Xét sự hội tụ
a)
2
1
31
()
25
n
n
n
n
b)
2
1
3
()
6
n
n
tg
n
Giải
a. Ta có
2
31 3
lim lim 1
25 2
n
n
n
n
nn
n
u
n
. Vậy chuỗi phân kì.
b. Ta có
2
33
lim lim 1
663
n
n
n
n
nn
utg tg
n
. Vậy chuỗi hội tụ.
8.1.3. Chuỗi đan dấu
1. Định Nghĩa
Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng:
1n
(-1)
n+1
u
n
= u
1
- u
2
+ u
3
- u
4
+ … + (-1)
n+1
u
n
+… hoặc
1n
(-1)
n
u
n
= - u
1
+ u
2
- u
3
+…+ (-1)
n
u
n
+…
2. Tiêu chuẩn Lép-nít ( Leibnitz) về sự hội tụ của chuỗi đan dấu
Trang
6
Nếu dãy số u
n
giảm và
n
lim u
n
= 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ và có tổng
nhỏ hơn u
1
.
Ví Dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu
a)
1n
n
1
n
1
b)
1n
1
1
1
2
n
n
Giải
a. Ta có:
1
lim lim 0
n
nn
u
n
và dãy
11
{1, , , }
23
n
u là dãy giảm.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ
b. Ta có:
2
1
lim lim 0
1
n
nn
u
n
và dãy
11
{,, }
25
n
u là dãy giảm.
Vậy chuỗi đã cho hội tụ
8.1.4. Chuỗi có số hạng có dấu bất kỳ
Cho chuỗi số
1n
u
n
với u
n
có
dấu bất kỳ.
1. Định Lý. Nếu
1n
|u
n
| hội tụ thì chuỗi
1n
u
n
hội
tụ.
2. Định Nghĩa
Nếu
1n
|u
n
| hội tụ thì ta nói chuỗi
1n
u
n
hội tụ tuyệt đối.
Nếu
1n
|u
n
| phân kỳ mà
1n
u
n
hội tụ thì ta nói
1n
u
n
bán hội tụ.
Ví Dụ. Xét sự hội tụ hoặc bán hội tụ của các chuỗi số :
a)
1n
n
1
n
1
b)
1n
n
1
n
n
n
12
8.2. Chuỗi hàm
8.2.1. Khái niệm chung
1. Định Nghĩa: Cho dãy hàm u
1
(x), u
2
(x), , u
n
(x)
Biểu thức
1n
u
n
(x) = u
1
(x) + u
2
(x) + + u
n
(x) + được gọi là 1 chuỗi
hàm tronG đó u
i
(x) (iN) xác định trên một tập X nào đó.
Tổng riêng thứ n của chuỗi hàm
S
n
(x) = u
1
(x) + u
2
(x) + + u
n
(x)
Trang
7
2. Sự hội tụ
Nếu với x
0
X mà chuỗi số
n
n
u
1
(x
o
) hội tụ thì x
0
gọi là điểm hội
tụ của chuỗi hàm.
Nếu với x
0
X mà chuỗi số
n
n
u
1
(x
o
) phân kỳ thì x
0
gọi là điểm
phân kỳ của chuỗi hàm .
Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm số gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm .
Ví Dụ 1 Chuỗi hàm
1
n
n
x
= x + x
2
+ x
3
+ + x
n
+ hội tụ với x < 1 và phân kỳ
với
x
1.
Miền hội tụ của chuỗi hàm này là (- 1, 1).
Ví dụ 2 Chuỗi hàm
x
1
1
n
n
hội tụ khi x > 1 và phân kỳ khi x 1.
Miền hội tụ (1, +)
Ghi chú
: Chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
hội tụ trên tập X
Chuỗi hàm hội tụ tại x X.
3. Sự hội tụ đều
Giả sử chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
hội tụ trên X có tổng là S(x) .Nếu S
n
(x) là
tổng riêng thứ n thì
)()(lim xSxS
n
n
.
Theo định nghĩa giới hạn:
)()(lim xSxS
n
n
<=> > 0, n
o
N : n n
o
=>
)()( xSxSn
Số n
o
phụ thuộc vào và x. Trong trường hợp n
o
chỉ phụ thuộc mà
không phụ thuộc x, ta nói chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
hội tụ đều về S(x) trên tập X.
Cách khác:
1
()
n
n
ux
hội tụ đều về S(x) trên tập X
> 0, n
o
N : n n
o
=>
)()( xSxSn , x X.
Trang
8
4. Tiêu chuẩn hội tụ đều
a) Tiêu chuẩn Cauchy
1
()
n
n
ux
hội tụ đều trên X
> 0: n
o
N : p > q n
o
ta có
() ()
pq
Sx Sx < , x X.
b) Tiêu chuẩn Weierstrass :
Cho chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
. Nếu ta có ()
n
ux a
n
, n N , x X và nếu
chuỗi số
1
n
n
a
hội tụ thì chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
hội tụ tuyệt đối và đều trên X.
Ví Dụ1 Chuỗi hàm
1
2
cos
n
n
nx
hội tụ tuyệt đối và đều trên R.
Thật vậy
nn
nx
2
1
2
cos
, n N, x R mà chuỗi
1
2
1
n
n
hội tụ.
Ví Dụ 2 Chuỗi hàm
1
2
sin
n
n
n
nx
hội tụ tuyệt đối và đều trên R .
Thật vậy
22
1sin
nn
nx
n
, n , x R mà chuỗi
1
2
1
n
n
hội tụ
5. Tính chất của hàm hội tụ đều
Định Lý 1: Cho chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
. Nếu các số hạng u
n
(x) liên tục trên tập X
và
1
()
n
n
ux
hội tụ đều về S(x) trên tập X thì S(x) cũng liên tục trên tập X.
Định Lý 2: Cho chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
. Nếu các số hạng u
n
(x) liên tục trên [a,b]
và chuỗi hàm hội tụ đều về S(x) trên đọan đó thì :
b
nn
n=1 n=1
a
( ) [ u ( )]dx= u ( )dx
bb
aa
Sxdx x x
Trang
9
Định Lý 3: Cho chuỗi hàm
1
()
n
n
ux
, các số hạng u
n
(x) và đạo hàm u’
n
(x) liên
tục trên (a,b), chuỗi hàm hội tụ đều về S(x) trên (a,b).
Khi đó nếu
1
n
u
n
(x) hội tụ đều trên (a,b) thì S(x) khả vi trên (a,b) và ta có:
[S(x))]’ = (
1
n
u
n
(x))’ =
1n
u’
n
(x)
8.2.2. Chuỗi lũy thừa
1. Định Nghĩa: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng:
0n
a
n
x
n
= a
o
+a
1
x + a
2
x
2
+…+a
n
x
n
+…
Tổng Quát :
0n
a
n
(x-x
o
)
n
2. Định Lý Abel:
Nếu chuỗi lũy thừa
0n
a
n
x
n
hội tụ tại x = x
0
0 thì nó hội tụ tuyệt đối
tại mọi x với
0
x
x .
Nếu chuỗi lũy thừa
0n
a
n
x
n
hội tụ tuyệt đối tại x = x
0
0 thì nó sẽ hội tụ
tuyệt đối và hội tụ đều tại mọi x với
0
x
x .
3. Hệ quả 1: Nếu chuỗi lũy thừa
0n
a
n
x
n
phân
kỳ tại x
1
thì nó phân kỳ
tại mọi x với
1
x
x
4. Hệ quả 2: Tồn tại duy nhất số
0R
sao cho chuỗi lũy thừa
0n
a
n
x
n
hội tụ tại (;)
x
RR và phân kỳ tại (;)(; )xRR
. Số R gọi là bán kính
hội tụ và khoảng
(;)
R
R gọi là khoảng hội tụ chủa chuỗi lũy thừa
0n
a
n
x
n
.
5. Bán kính hội tụ
Rõ ràng
0n
a
n
x
n
luôn hội tụ tại 0 nên miền hội tụ X . Do đó tồn
tại duy nhất một số R ( 0 R < + ) sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối
Trang
10
trong khoảng (-R,R ) và phân kỳ trong các khoảng (- , -R ) , (R, + ) . Tại x
= -R hoặc x = R, chuỗi lũy thừa có thể hội tụ hay phân kỳ.
Số R gọi là bán kính hội tụ , khoảng ( -R,R) gọi là khoảng hội tụ .
6. Quy tắc tìm bán kính hội tụ
Nếu
n
lim
n
n
a
a
1
( hoặc
n
lim
n
n
a ) thì bán kính hội tụ R của chuỗi
lũy thừa
0n
a
n
x
n
được
xác định bởi:
1
(0 )
0( )
(0)
khi
Rkhi
khi
Chú ý:
Đối với chuỗi
0
0
()
n
n
n
ax x
ta đổi biến
0
X
xx
để đưa về dạng:
0
n
n
n
aX
.
Ví dụ 1 Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:
a)
1
!
nn
n
n
nx
Đặt
1
X
n
, xét
1
!
n
n
n
n
X
n
. Ta có
1
1
(1)! 1
lim lim lim
(1) ! (1)
nn
n
nn
nn n
n
a
nn n
annne
.
Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi
1
!
n
n
n
n
X
n
là (-e; e).
Tại X = e, xét chuỗi
1
!
n
n
n
n
e
n
, chuỗi phân kỳ (do điều kiện cần của
chuỗi hội tụ).
Tại X = -e, xét chuỗi
1
!
()
n
n
n
n
e
n
, chuỗi phân kỳ (do điều kiện cần của
chuỗi hội tụ).
Do đó miền hội tụ của chuỗi
1
!
n
n
n
n
X
n
là
X
e
.
Trang
11
Ta có
111
hay .Xe e x x
x
ee
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là:
11
(; )(;)
ee
.
b)
1
(4)
n
n
x
n
Đặt
4Xx, xét
1
n
n
X
n
. Ta có
1
lim lim 1
1
n
nn
n
a
n
a
n
.
Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi
1
n
n
X
n
là (-1; 1).
Tại X = 1, xét chuỗi
1
1
n
n
, chuỗi phân kỳ (là chuỗi Riemman với
1
2
).
Tại X = -1, xét chuỗi
1
(1)
n
n
n
, chuỗi hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibnitz).
Do đó miền hội tụ của chuỗi
1
n
n
X
n
là 11
X
.
Thay X = x – 4 ta có:
1413 5xx .
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: 35x
.
c)
2
1
1
(2).
21
n
n
n
n
x
n
Đặt
2
(2)Xx , xét
1
1
.
21
n
n
n
n
X
n
Ta có
11
lim lim
212
n
n
nn
n
a
n
.
Suy ra, khoảng hội tụ của chuỗi
1
1
21
n
n
n
n
X
n
là (-2; 2).
Tại X = 2, xét chuỗi
1
1
2
21
n
n
n
n
n
, chuỗi phân kỳ (do điều kiện cần
của chuỗi hội tụ).
Tại X = -2, xét chuỗi
1
1
(1) 2
21
n
nn
n
n
n
, chuỗi phân kỳ (do điều kiện
cần của chuỗi hội tụ).
Do đó miền hội tụ của chuỗi
1
1
21
n
n
n
n
X
n
là
22
X
.
Trang
12
Thay X = (x – 2)
2
ta có: 2222 22xx .
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là: (2 2;2 2).
d.
1
(1)
.
3
21
n
n
n
n
x
x
n
Đặt
3
x
X
x
, xét
1
(1)
21
nn
n
n
X
n
Ta có
11 1
lim lim 2
22
1
n
n
n
nn
aR
n
.
Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi
1
(1)
21
nn
n
n
X
n
là (-2; 2).
Tại X = -2, xét chuỗi
1
11
2
(1)(2) 1
21
(1)
nn
n
nn
n
n
, chuỗi phân kỳ (so sánh
với chuỗi
1
1
2
1
n
n
).
Tại X = 2, xét chuỗi
11
(1)2 (1)
21 1
nn n
n
nn
nn
, chuỗi hội tụ theo tiêu
chuẩn Leibnitz.
Do đó miền hội tụ của chuỗi
1
(1)
21
nn
n
n
X
n
là 22
X
.
Thay
3
x
X
x
ta có:
3
6
0
6
2
3
22
36 6
3
2
0
3
3
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
.
Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là:
(;2](6; )
.
Ví Dụ 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
2
1
2
n
xx
x
n
x
n
n
n
ĐS : [-1,1)
Ví Dụ 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
0
!
n
n
n
x
ĐS : R
Ví Dụ 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
1
n
n
n
nx
ĐS : (-1,1)
Trang
13
Ví Dụ 5 Tìm miền hội tụ của
1
1
2
12
2
1
n
n
n
x
x
ĐS : (
5
4
,+ )
7. Tính chất của lũy thừa
(1) Chuỗi lũy thừa
0n
n
n
xa hội tụ đều trên mọi đoạn [a,b] nằm trong khoảng
hội tụ của nó.
(2) Tổng của chuỗi lũy thừa
0n
n
n
xa
là một hàm số liên tục trong khoảng
hội tụ của nó.
(3) Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa
0n
n
n
xa trên mọi
đoạn [a,b] nằm trong khoảng hội tụ của nó.
(
b
a
0n
n
n
xa
)dx=
1
b
n
n
n
a
axdx
. Đặc
biệt , x (-R,R) :
0
0
()
x
n
n
n
ax dx
=
21
01
21
n
n
xx
ax a a
n
, chuỗi nầy cũng
có khoảng hội tụ là (-R,R)
(4) Có thể lấy đạo hàm của từng số hạng:
(
0n
n
n
xa )’ =
21
12 3
2 3
n
n
aaxax nax
BÀI TẬP CHƯƠNG 8
1. Tìm tổng riêng và tổng (nếu có) của các chuỗi sau
a)
1
1
(1)
n
nn
b)
1
1
(2 1)(2 1)
n
nn
c)
22
1
21
(1)
n
n
nn
2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây
a) u
n
=
2
2
321
1
nn
n
b) u
n
=
2
(1)(2)
arctg
1
nn
n
c) u
n
=
2
3nnn
d) u
n
=
321
43
n
n
n
n
e) u
n
=
2
1
21
n
n
f) u
n
=
51
33
n
n
n
Trang
14
3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây
a) u
n
=
2
2
21
(1)
nn
nn
b) u
n
=
22
(1)(2)
(1)(3)
nn
nn
c) u
n
=
2
1
1os
n
c
d) u
n
=
1
ln(1 sin )
n
e) u
n
=
22
(1)( 2)
arctg
(1)(2)
nn
nn
f) u
n
=
3
tg
n
n
4. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây . Tính
tổng của chúng khi chúng hội tụ
a) u
n
=
1
(2 1)(2 1)
nn
b) u
n
=
2
2
nn
c) u
n
=
22
21
(1)
n
nn
d) u
n
=
1
ln(1 )
n
e) u
n
=
1
sin
1
n
e
f) u
n
=
2
3
3
(1 ) 1
n
5. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây
a) u
n
=
21
1
(2 1)2
n
n
b) u
n
=
2
!
n
n
c) u
n
=
2.4.6 (2 )
n
n
n
d) u
n
=
2
2
1
n
n
e) u
n
=
2
2
1
()
32
n
n
n
f) u
n
=
2
1
(arctg )
n
n
6. Xét sự hội tụ của các chuỗi số có số hạng tổng quát sau đây
a) u
n
=
2
3
()
6
n
tg
n
b) u
n
=
2
()
1
n
n
n
c) u
n
=
ln
1
()
23
nn
n
n
d) u
n
=
1
(sin)
2
n
n
n
e) u
n
=
2
ln
n
n
n
f) u
n
=
2
4( !)
(2 )!
n
n
n
7. Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau
a)
1
1
(1)
21
n
n
n
b)
1
1
1
25
(1)
21
n
n
n
n
c)
1
2
1
1
(1)
1
n
n
n
nn
d)
1
1
1.3.5 (2 1)
(1)
!
n
n
n
n
e)
1
ln
(1)
n
n
n
n
f)
1
1
(1)
ln
n
n
nn
8. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau
a)
1
(4)
n
n
x
n
b)
1
1
(1)
.3 ( 5)
n
nn
n
nx
c)
1
(3)
nn
n
nx
Trang
15
d)
1
21
1
n
n
x
x
e)
2
1
1
4
n
n
x
x
x
n
f)
2
1
2!
(2 )!
n
n
n
n
x
n
g)
2
1
!( 2)
n
n
n
nx
n
h)
2
1
(1)
.2
n
n
n
x
n
i)
2
2
2
1
(2 3)
3
n
n
n
x
n