NGUYỄN HỮU ĐIỂN

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC
VÀ HÌNH HỌC PHẲNG

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


©ebook 2.0 của cuốn sách nguyên gốc từ bản in, các bạn tham
khảo, cho ý kiến sai sót và lời khuyên tái bản. Mọi liên hệ
Tác giả: Nguyễn Hữu Điển
Điện thoại: 0989061951
Email:
Email:
Web:
Web: />
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giám đốc: Nguyễn Văn Thỏa
Tổng biên tập: Nghiêm Đình Vỳ
Biên tập và sửa bản in:
Nguyễn Lan Hương
Trình bày bìa:
Ngọc Anh
Chế bản:
Nguễn Hữu Điển

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC PHẲNG
Mã số: 01.120.DDH99-475.99
In 1000 cuốn, tại số 2 Phạm Ngũ Lão, XN in 15
Số xuất bản: 98/457/CXB. Số trích ngang 52KH/XB

In xong và nộp lưu chiểu tháng 5/2000


LỜI NĨI ĐẦU

Do nhu cầu phát triển của tốn học, số phức đã ra đời từ thế
kỷ trước. Sau đó số phức lại thúc đẩy phát triển khơng những Tốn
học mà còn các ngành khoa học khác. Ngày nay, số phức không thể
thiếu được trong các ngành khoa học lý thuyết cũng như kỹ thuật.
Thế nhưng số phức được học trong các trường phổ thông ở những
năm cuối cùng, chỉ mang tính chất giới thiệu. Chúng tơi biên soạn
cuốn sách này không phải để phổ biến số phức, mà chỉ dùng số
phức như là cơng cụ giải những bài tốn hình học điển hình ở phổ
thơng. Do vậy, chúng tơi trình bày sơ lược về số phức mà ta sẽ dùng
chứ không đi sâu nghiên cứu số phức, phần quan trọng là dùng số
phức để giải bài tốn hình học, chúng tơi cố gắng phân loại những
bài tốn hình học theo một dạng nào đấy để thấy mặt mạnh của
phương pháp số phức. Ngoài ra những bài tập trong cuốn sách này
là chọn lọc những bài tốn hay trong hình học.
Để đọc tài liệu này, không cần yêu cầu bạn đọc biết trước về số
phức, chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn và các tính chất của số phức
để dùng sau này. Nếu bạn đọc cịn bỡ ngỡ và tìm hiểu theo một
hướng khác, thì nên xem:
A.I. Markusevits,Số phức và ánh xạ bảo giác, NXB KHKT, 1987
N.C. Toàn, Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên
cứu toán học, NXB GD, 1992.
Ngày nay số phức cũng là khởi đầu một ngành nghiên cứu mới
trong tốn học, đó là hình học Fractal của thời đại vi tính. Hy vọng
3



4

Lời nói đầu

chúng tơi sẽ giới thiệu loại hình học mới này trong một cuốn sách
khác tiếp theo.
Với khuôn khổ một cuốn sách nhỏ không thể vẽ tất cả các hình
theo chỉ dẫn của bài tập, vì vậy bạn đọc với cây bút và tờ giấy trắng
hãy tự vẽ lấy hình theo chỉ dẫn. Nội dung cuốn sách bao gồm từ
Chương 1 đến Chương 3 là những khái niệm chính về số phức để
ta dùng sau này và cách tiếp cận số phức như một phương pháp để
giải các bài tốn hình học phẳng. Những chương tiếp theo là dùng
số phức để khảo sát bài tập hình học phẳng theo các chủ đề. Chương
12 trả lời các bài tập hoặc gợi ý giải. Những chương còn lại chúng
ta bàn luận riêng về một khía cạnh mở rộng.
Chúng tơi cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo cho các
học sinh khá giỏi u thích mơn tốn, hoặc làm tài liệu cho các buổi
ngoại khố về mơn Tốn đối với các thầy cô giáo. Trong biên soạn
chúng tôi cũng cố gắng tạo ra những chủ đề trong hình học để các
bạn say mê toán học làm việc tiếp tục. Lần đầu tiên biên soạn khơng
tránh khỏi sai sót và nhầm lẫn, mong các bạn đọc góp ý bổ sung và
sửa đổi.Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS Phan Huy Khải đã hết
sức giúp đỡ, chỉ dẫn và khuyến khích để cuốn sách ra mắt bạn đọc.
Sách được soạn bằng chương trình Pctex for Window 2.1, phơng
chữ tiếng Việt và hình minh họa do chính tác giả soạn thảo và cài
đặt trong TEX. Mọi thư từ liên hệ với : Nguyễn Hữu điển, Viện Toán
học, Hộp thư 631, Bờ Hồ, Hà Nội, Việt Nam.
Chúc các bạn thành công.
Hà Nội, 2000



Chương

1

KHÁI NIỆM VỀ SỐ PHỨC

1.1. Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Biểu diễn đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Công thức Moa vrơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
12

1.1. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
Từ thế kỷ trước do nhu cầu phát triển của toán học về giải những
phương trình đại số mà số phức đã xuất hiện. đã có nhiều nhà tốn
học nghiên cứu về số phức và tìm cách biểu diễn hình học cho số
phức, điển hình là Gaus, Hamilton,... Cịn ứng dụng của số phức thì
với khoa học hiện đại khơng thể thiếu được. Mục đích của chương
này trình bầy khái niệm đơn giản nhất về số phức mà ta sẽ sử dụng
về sau.

Có nhiều cách tiếp cận số phức, ở đây ta chọn cách định nghĩa
số phức theo tiên đề, đồng thời cũng giải thích các tiên đề đó bằng
hình học cho dễ hiểu. Như ta đã biết số thực được biểu diễn bởi một
đường thẳng có hướng, thường được gọi là trục số. Bây giờ, trong
mặt phẳng ta chọn một hệ tọa độ vng góc, thì mỗi điểm Z của
mặt phẳng được xác định theo tọa độ (a, b) đối với hệ tọa độ đã cho.
Thường người ta ký hiệu cặp số thực (a, b) ứng với một điểm Z trên


6

Chương 1. Khái niệm về số phức

mặt phẳng. Như vậy với một hệ tọa độ cho trước thì tập hợp những
điểm trên mặt phẳng và tập hợp các cặp số (a, b) là một quan hệ
một-một. Mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một cặp số thực
và dựa vào đó ta sẽ xây dựng một tập hợp những số phức với điểm
trên mặt phẳng. Với mục đích ta đưa vào định nghĩa các phép toán
trên các cặp số thực sao cho các định luật của đại số vẫn còn đúng
như trong trường hợp số thực. Chúng ta chọn ba tiên đề sau:
1. Hai cặp số z1 = (a1 , b1 ) và z2 = (a2 , b2 ) bằng nhau nếu a1 = a2
và b1 = b2 .
2. Nếu cho hai cặp số z1 = (a1 , b1 ) và z2 = (a2 , b2 ), thì tổng của
chúng z = z1 + z2 là một cặp số z = (a, b), mà a = a1 + a2 và
b = b1 + b2 .
3. Nếu cho hai cặp số z1 = (a1 , b1 ) và z2 = (a2 , b2 ), thì tích của
chúng z = z1 z2 gọi là một cặp số z = (a, b), mà a = a1 a2 − b1 b2
và b = a1 b2 + a2 b1 .
Từ những định nghĩa trên ta có thể kiểm tra tất cả định luật của
đại số vẫn cịn đúng như: tính bắc cầu của đẳng thức, tính đối xứng

và tính phân phối của các phép cộng và phép nhân ở trên. Và cũng
đưa vào phép trừ hoặc chia các cặp số (tất nhiên không chia cho số
0 = (0, 0), các bạn tự kiểm tra các tính chất như một bài tập).
Tập hợp tất cả những cặp số thực với các phép tính quan hệ
bằng nhau, phép cộng và phép nhân như ở trên gọi là tập hợp các
số phức.
Như vậy, cho một hệ tọa độ vng góc trong mặt phẳng thì tập
hợp các số phức có thể đồng nhất với những điểm trên mặt phẳng
này.
Bây giờ, ta xét trường hợp đặc biệt là những điểm nằm trên


1.2. Biểu diễn đại số của số phức

7

trục hoành của hệ tọa độ, hay là những điểm có dạng (a, 0)
với a là số thực bất kỳ. Do (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0) và
(a1 , 0)(a2 , 0) = (a1 a2 , 0) như là phép cộng và phép nhân những tọa
độ ở trục hồnh đối với các điểm này. Vì thế ta có thể đồng nhất các
điểm trên trục hồnh với số thực, đáng lẽ phải viết (a, 0) ta chỉ viết
a.(ví dụ: (0, 0) = 0, (1, 0) = 1, ...).
Ta xét một số phức đặc biệt dạng (0, 1).
Tính (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Như vậy tồn tại một số phức bình
phương bằng một số thực. Theo truyền thống ta ký hiệu i = (0, 1).

1.2. BIỂU DIỄN ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Ta đã thấy rằng sự đồng nhất của số thực với tập hợp con của
số phức dạng (a, 0) = a với a là một số thực. Một số phức đặc biệt
i = (0, 1) và theo truyền thống người ta gọi là đơn vị ảo.

Ta xét tích của một số thực b = (b, 0) với đơn vị ảo
bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b). đây là một điểm nằm trên trục tung với
tung độ b. Thế còn một điểm bất kỳ thì sao ? Do định nghĩa phép
cộng nên có thể biểu diễn z = (a, 0) + (0, b). Suy ra z = a + ib.
Một số phức viết dưới dạng z = a + ib gọi là dạng đại số của số
phức. Số thực a gọi là phần thực của z và được ký hiệu là Re(z),
còn số b gọi là phần ảo của z và được ký hiệu là Im(z). Mặt phẳng
chứa toàn bộ số phức gọi là mặt phẳng phức.
Trục hồnh của hệ tọa độ vng góc trong mặt phẳng phức gọi
là trục thực (chứa toàn bộ số thực). Trục tung gọi là trục ảo (chứa
toàn bộ số ảo).
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia những số phức viết dưới


8

Chương 1. Khái niệm về số phức

dạng biểu diễn đại số như sau:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d),
(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc),
(a + ib)
ac + bd
bc − ad
= 2
+i 2
.
2
(c + id)

c +d
c + d2
Ba công thức đầu ta dễ dàng chứng minh được từ sự biểu diễn
đại số của số phức. Cơng thức cuối cùng hơi khó một chút bằng cách
tiến hành dựa vào ba công thức trên:
(a + ib)
(a + ib)(c − id)
=
(c + id)
(c + id)(c − id)
(ac + bd) + i(bc − ad)
ac + bd
bc − ad
=
= 2
+i 2
.
c2 + d2
c + d2
c + d2
Trong cách chứng minh trên ta có dùng số phức (c − id) trong q
trình biến đổi và số này có mối liên hệ chặt chẽ với số phức c + id.
Trong thực tế, để thuận tiện thực hiện các phép tính và biến đổi số
phức người ta đưa vào ký hiệu z¯ = a − ib và gọi là số liên hợp của
z = a + ib.
Những tính chất sau đây thường được dùng đối với số phức
liên hợp:
1) z + z¯ = 2a = 2Rez.
2) z z¯ = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 .
z1

z¯1
= ;...
z2
z¯2
Tóm lại, f (x1 , ..., xn ) là một hàm hữu tỷ với hệ số thực, z1 , ..., zn
là những số phức bất kỳ sao cho f (z1 , ..., zn ) có nghĩa, khi đó
f (z1 , ..., zn ) = f (¯
z1 , z¯2 , ..., z¯n ).
3) z1 .z2 = z¯1 z¯2 ; z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ;

4) Một số phức z là một số thực khi và chỉ khi z¯ = z.
5) Nếu z¯ = −z, thì Rez = 0. Khi đó số z là hoàn toàn ảo.


1.3. Dạng lượng giác của số phức

9

1.3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vng góc, sự biểu diễn số
phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu
các phép toán trên số phức: Cho hai số phức dạng đại số z1 = a1 +
ib1 , z2 = a2 + ib2 . đó là hai điểm Z1 , Z2 trong hệ tọa độ vng góc
ứng với số trên. điểm O là tọa độ gốc.
Ta nối điểm Z1 , Z2 với gốc O
−−→ −−→
và xác định vectơ OZ1 , OZ2 . Sau
đó dựng hình bình hành OZ1 ZZ2 .
Như vậy đỉnh thứ tư z = (a1 +


y

Z
Z1

a2 , b1 + b2 ) biểu diễn tọa độ của
số phức z1 + z2 như tổng của hai
số phức đã cho.
Do đó tổng hai số phức có thể
biểu diễn hình học như cộng hai
vectơ trong mặt phẳng.

Z2
x

0
Z0
Hình 1.1.

Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính
−−→ −−→ −→
vectơ OZ và ta thấy ngay OZ1 + OZ2 = OZ, ta có nhận xét là khi
xem số phức như là những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc
O thì có thể xem số phức như là những vectơ trong mặt phẳng này,
chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những
bài tốn trong hình học phẳng.
Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ
tọa độ cho trước. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn
toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z = a + ib 6= 0 thì
−→

số phức này ứng với một vectơ OZ, ta ký hiệu r là độ dài bán kính


10

Chương 1. Khái niệm về số phức

vectơ này, còn ϕ là độ lớn của góc định hướng giữa trục hồnh và
vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay
trục hồnh đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng
âm thì ngược lại).
Rõ ràng r là một số thực không âm. Nếu điểm z nằm trên trục
hồnh thì số r chính là mơđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số
phức z ta cũng định nghĩa r là môđ un của z và ký hiệu là |z|.
√
Do đó r = a2 + b2 hoặc r2 = a2 + b2 = z z¯. Góc ϕ được gọi là
argumen của số phức và ký hiệu
Z = a + ib
y
là arg z. Giá trị của ϕ có thể là
âm hoặc dương phụ thuộc vào
r
hướng quay của trục hồnh đến
nó. Có thể xác định ϕ bằng
φ
a
a
cos ϕ = = √
x
0

r
a2 + b2
và
b
b
sin ϕ = = √
Hình 1.2.
r
a2 + b2
argumen của số phức z 6= 0 nhận vô cùng nhiều giá trị. Nếu một giá
trị ϕ đã xác định thì argumen được xác định theo cơng thức
arg z = ϕ + 2kπ
k là một số nguyên. Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argumen
trong khoảng [0, 2π).
Những số r và ϕ biểu diễn một tọa độ cực của z. Nếu cho một
điểm z = a + ib 6= 0, thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vng
góc như sau
a = r cos ϕ,

b = r sin ϕ.


1.3. Dạng lượng giác của số phức

11

Khi đó số phức z có thể viết
z = r cos ϕ + ir sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác
của số phức.

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
và z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Ta có tính chất sau:
1) Nếu z1 trùng với z2 , thì mơđun của chúng bằng nhau và argumen của chúng ϕ1 , ϕ2 khác nhau một số nguyên lần 2π.
2) Tích của hai số phức
z = z1 z2 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
= r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 )+
+ i(cos ϕ1 sin ϕ2 + i sin ϕ1 cos ϕ2 )]
= r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )].
Như vậy, tích z của hai số phức viết dưới dạng lượng giác
z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ở đó r là tích của r1 r2 hai mơđ un của hai
thừa số. Hoặc là |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, còn argumen ϕ là tổng ϕ1 + ϕ2 của
hai argumen thừa số, hay nói cách khác
arg z1 z2 = arg z1 + arg z2 .
Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được
[r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )][r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )]...[rn (cos ϕn + i sin ϕn )]
= r1 r2 ...rn [cos(ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 + ... + ϕn )].
Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
z1
=
z2
r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 )
=
r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 )(cos ϕ2 − i sin ϕ2 )


12

Chương 1. Khái niệm về số phức

r1
[cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sin ϕ2 )]
r2
r1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )]
r2

=

Do đó, |
arg

z1
|z1 |
|=
và
z2
|z2 |

y

z1
= arg z1 − arg z2 .
z2

Bây giờ, dễ dàng biểu diễn hình
học tích của hai số phức:
Số phức z = z1 z2 với

Z(z1 z2 )


Z2 (z2 )
Z1 (z1 )
0

E(1)

x

z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ),
z2 = r2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) là một

Hình 1.3.

điểm với bán kính vectơ r1 r2 và
argumen ϕ1 + ϕ2 (Hình 1.3).

1.4. CÔNG THỨC MOA VRƠ
Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác
z = r(cos ϕ + i sin ϕ), theo cơng thức nhân ở trên ta có
z n = (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)
với n là một số nguyên bất kỳ. Công thức trên mang tên Moa-vrơ.
Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm. Thật vậy,
1
= r−1 (cos ϕ − i sin ϕ)
r(cos ϕ + i sin ϕ)
= r−1 (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))

z −1 =



1.4. Công thức Moa vrơ

13

và
z −n = (z −1 )n = [r−1 (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))]n =
= r−n [cos(−nϕ) + i sin(−nϕ)].
Dựa vào công thức Moa-vrơ ta định nghĩa căn bậc n của số phức:
Cho z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Căn bậc n của số phức z là một số phức
biểu diễn dưới dạng lượng giác z1 = ρ(cos θ+i sin θ), sao cho z1n = z,
hay là [ρ(cos θ + i sin θ)]n = r(cos ϕ + i sin ϕ).
√
Theo cơng thức Moa-vrơ, ta có ρn = r, suy ra ρ = n r (đây là
căn số học bậc n của số khơng âm). Cịn argumen nθ và ϕ khác
nhau bởi số nguyên lần 2π, hay là nθ = ϕ + 2kπ, k là số nguyên.
ϕ + 2kπ
Vậy θ =
.
n
Ngược lại, khi ta nâng bậc mũ n số
z1 =

√
n



ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ

r cos
+ i sin
,
n
n

ở đây k là số ngun bất kỳ, thì chính là z. Như vậy,


p
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
n
n
r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos
+ i sin
n
n
√
với k = 0, 1, 2, ...., n − 1 sẽ nhận được n giá trị khác nhau cho n z.
√
2π
Mỗi giá trị của n z tạo thành cấp số cộng với số dư
và số đầu
n
ϕ
tiên là .
n
Do tính chu kỳ của hàm số sin x và cos x với k > n + 1 thì những

√
giá trị của n z lại lặp lại một trong n giá trị ban đầu.


14

Chương 1. Khái niệm về số phức

Do đó, căn bậc n của một số phức có
đúng n giá trị khác nhau. Những số này biểu
diễn như đỉnh của n đa giác đều nằm trên
đường tròn với tâm là gốc tọa độ và bán
√
kính là n r.

Zn−1

Zn

O

Ví dụ: Ta tìm nghiệm của một phương
trình đặc biệt dạng xn = 1 trong mặt phẳng
phức. Thật vậy, ký hiệu wk , k = 1, 2, ...n là
Hình 1.4.
nghiệm của phương trình trên.
√
Vì 1 = cos 0 + i sin 0 và n 1 = 1 chúng ta sẽ có



2kπ
2kπ
+ i sin
, k = 1, 2, ..., n.
wk = cos
n
n
Rõ ràng wn = 1, còn những nghiệm khác nhận được bằng cách quay
2π 2π
2π
vectơ đơn vị đi
, 2 , ..., (n − 1) .
n
 n
 n
2π
2π
Số wk = cos
+ i sin
có tính chất đặc biệt là các nghiệm
n
n
khác bằng chính w1 nâng lên lũy thừa số thứ tự nghiệm, vì
 


2kπ
2π
2π k
2kπ

wk = cos
.
+ i sin
= cos
+ i sin
n
n
n
n
Nghiệm của xn = 1 là đỉnh của đa giác đều n đỉnh nằm trên
đường tròn đơn vị.


Chương

2

ĐỘ ĐO GĨC CỦA HAI TIA

2.1. Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
18
22

2.1. GÓC ĐỊNH HƯỚNG
Như ta đã thấy mỗi điểm trong hệ tọa độ vng góc tương ứng
với một số phức. Quan hệ tập hợp các số phức và tập hợp các điểm

trong mặt phẳng là tương ứng một-một. Điểm Z với tọa độ (a, b)
ứng với số phức z = a + ib. Số phức z gọi là nhãn của điểm Z. Kể
từ đây một điểm trong mặt phẳng luôn luôn ký hiệu là một chữ cái
hoa và nhãn của nó là chữ cái thường tương ứng.
Trong mặt phẳng hệ tọa độ
vng góc xOy, mỗi điểm Z với
nhãn z chúng ta đặt một vectơ
−→
OZ. Do đó số phức có thể biểu
diễn hình học như là những vectơ
trong mặt phẳng.
Sự biểu diễn số phức qua
vectơ hồn tồn thích hợp khi ta
xem xét nguyên lý cộng và trừ

Hình 2.1.


16

Chương 2. Độ đo góc của hai tia

các vectơ tương ứng với cộng và trừ các số phức (xem Hình 2.1).
Nếu Z1 và Z2 là hai điểm trên mặt phẳng với nhãn z1 và
z2 , khi đó tổng của chúng z3 = z1 + z2 biểu diễn bởi Z3 , mà
−−→ −−→ −−→
−−→ −−→
OZ3 = OZ1 +OZ2 . Còn hiệu z2 −z1 là vectơ OZ2 −OZ1 . Khoảng cách
−−−→
d của điểm Z1 đến Z2 hoặc độ dài Z1 Z2 là d = |Z1 Z2 | = |z1 − z2 |,

vậy d là môđun của số phức z2 − z1 .
Từ nguyên tắc cộng vectơ suy ra rằng nếu Z là trung điểm của
−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→
Z1 Z2 , thì OZ = OZ3 = (OZ1 + OZ2 ), hoặc nhãn của Z biểu diễn
2
2
1
qua z1 , z2 là z = (z1 + z2 ).
2
Để tính góc định hướng α tạo
bởi hai tia đi qua điểm gốc của
tọa độ O, ta chọn z1 và z2 nằm
trên mỗi tia. Khi đó
z2
α = arg z2 − arg z1 = arg
z1
Trong trường hợp hai tia xuất
phát từ điểm Z00 , ta cũng làm
tương tự và có

Hình 2.2.

α = arg(z20 − z00 ) − arg(z10 − z00 ) = arg

z20 − z00
z1 − z00

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của
hai vectơ bất kỳ theo nhãn của các số phức thì sao ? Cho hai vectơ
−−−→

−−−→
Z1 Z2 và U1 U2 với nhãn tại các điểm tương ứng z1 , z2 , u1 , u2 . Ta cần
−−−→
phải quay vectơ đơn vị của Z1 Z2 đi một góc φ theo chiều dương
nghĩa là
z2 − z 1
u2 − u1
(cos φ + i sin φ) =
|z2 − z1 |
|u2 − u1 |


2.1. Góc định hướng

17

từ đó
u2 − u1
z2 − z1
:
|u2 − u1 | |z2 − z1 |
u2 − u1 |u2 − u1 |
=
=p
:
z2 − z1 |z2 − z1 |

cos φ + i sin φ =

p−p

Vậy góc phải tìm cos φ = p+p
2 , sin φ = 2i từ đó có

(z2 − z1 )(u2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 )


cos φ =
2|z2 − z1 ||u2 − u1 |
−(z
−
z
)(u

2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 )
2
1

sin φ =
2|z2 − z1 ||u2 − u1 |

(2.1)

−−−→ −−−→
Từ những đẳng thức trên suy ra vectơ Z1 Z2 , U1 U2 vng góc với
nhau khi và chỉ khi
(z2 − z1 )(u2 − u1 ) + (u2 − u1 )(z 2 − z 1 ) = 0

(2.2)

và chúng song song với nhau khi và chỉ khi

(z2 − z1 )(u2 − u1 ) = (u2 − u1 )(z 2 − z 1 )

(2.3)

Nhận xét:
1. Do công thức (1), nếu z1 trùng với u1 và |z1 z2 | = |u1 u2 |, thì
khi biết nhãn z2 và góc φ với các giá trị đặc biệt thì u2 tính được
nhãn theo z2 như sau:
a) φ = 90◦ , thì u2 = iz2 .
b) φ = 60◦ , thì u2 =
c) φ = 30◦ , thì u2 =

√ !
1
3
+
i z2 .
2
2
!
√
3 1
+ i z2 .
2
2


18

Chương 2. Độ đo góc của hai tia


Các nhận xét trên rất có ích khi giải các bài tốn hình học bằng
phương pháp số phức.
z2 − z0
2. Ký hiệu V (z2 , z1 , z0 ) =
gọi là tỷ số đơn của các số
z1 − z0
phức z2 , z1 , z0 (viết theo thứ tự đã chỉ ra). Do đó, argumen của
−−−→
−−−→
V (z2 , z1 , z0 ) chính là góc định hướng giữa các vectơ Z0 Z1 và Z0 Z2 .
Điều kiện cần và đủ để 3 điểm z0 , z1 , z3 thẳng hàng là góc định
−−−→
−−−→
hướng giữa hai vectơ Z0 Z1 và Z0 Z2 bằng 0 hoặc ±π. Nghĩa là tỷ số
đơn V (z2 , z1 , z0 ) là một số thực.

2.2. VÍ DỤ
Ví dụ 2.1. Cho hình vng ABCD. Điểm M là trung điểm của CD,
điểm P nằm trên đường chéo AC sao cho |P C| = 3|AP |. Chứng minh
\
rằng BP
M = 90◦ .
Lời giải. Lấy hệ tọa độ vng góc
−−→
sao cho A là điểm gốc và vectơ AB
là vectơ đơn vị theo chiều dương
của trục hoành. Như vậy, nhãn của
những điểm A, B, C, D tương ứng là
a = 0, b = 1, c = 1 + i, d = i. Điểm M

1
1
có nhãn m = (c + d) = (1 + 2i).
2
2

Hình 2.3.

−→ 1 −→
1
1
Vì AP = AC, nên p = c = (1 + i). Ta tính
4
4
4
1
1
(1 + 2i) − (1 + i)
m−p
1 + 3i
4
V (m, b, p) =
= 2
=
1
b−p
3−i
1 − (1 + i)
4
(1 + 3i)(3 + i)

10i
=
=
= i.
(3 − i)(3 + i)
10


2.2. Ví dụ

19

π
\
, do đó BP
M = 90◦ .
2
Hơn nữa, |i| = 1, chúng ta nhận được |BP | = |P M |, nên tam
giác BP M là vuông cân.
Bởi vì arg i =

J

Ví dụ 2.2. Cho ba hình vng bằng nhau ABCD, BEF C, EP QF
\ + AF
\
\ = π.
(hình 2.4). Chứng minh rằng ACD
D + AQD
2


Hình 2.4
−−→
Lời giải. Đưa vào hệ tọa độ vng góc với A là điểm gốc và AB
là vectơ đơn vị theo chiều dương của trục hoành. Suy ra, nhãn của
A, B, C, D, E, F, P, Q lần lượt là a = 0, c = 1 + i, d = i, e = 2,
f = 2 + i, p = 3, q = 3 + i.
\ = BAC
\ = arg(1 + i), AF
\
[ = arg(2 + i) và
Vì ACD
D = EAF
\ = P[
AQD
AQ = arg(3 + i), thì
\ + AF
\
\ = arg(1 + i) + arg(2 + i) + arg(3 + i)
ACD
D + AQD
π
= arg(10i) = .
2

J

Ví dụ 2.3. Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa
điểm C, dựng hình vuông ABDE.
Trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, dựng hình vng BCF G.

Chứng minh GA vng góc với CD và GA = CD.


20

Chương 2. Độ đo góc của hai tia

Lời giải. Lấy hệ tọa độ vng
−−→
góc có gốc tại B, vectơ BC là
chiều dương của trục hoành. Ký
hiệu nhãn của các đỉnh của tam
giác ABC tương ứng là a, b, c.
Khi đó dễ dàng tính ra được
g = ic, d = −ia. Góc giữa GA
và CD ký hiệu là ϕ thì
−ia − c
−ia − c
ϕ = arg
: |
| =
a − ic
ia − c
π
arg i =
2

G

F


A

E

B

C
D
Hình 2.5.

Vậy, GA vng góc với CD và
|GA| = |a − ic| = | − ia − c| = |CD|.

J
F

Ví dụ 2.4. Cho tam giác ABC
\ 6= 60◦ ), ở miền ngoài của
(BAC

F
E

E

tam giác vẽ các tam giác đều ABD
và ACE. Dựng hình bình hành
AEF D. Chứng minh tam giác
BF C là đều.

Lời giải. Lấy hệ tọa độ vng góc
có gốc tại A, nhãn của các đỉnh
của tam giác ABC lần lượt là a =
0, b, c. Do cách dựng tam giác đều
ta có

D

D

A
A

B

C

B

C
Hình 2.6.


2.2. Ví dụ

21

√
1
3

e=
+
= c( + i
)
2
√2
1
3
d = b(cos 60◦ − i sin 60◦ ) = b( − i
)
2
2
√
1
3
f = d + e = (b + c) +
i(c − b)
2
2
√
1
3
|BF | = | (b + c) +
i(c − b) − b| = |c − b| = |BC|
2
2
√
3
1
i(c − b) − c| = |c − b| = |BC|

|CF | = | (b + c) +
2
2
do đó tam giác BF C đều.
c(cos 60◦

i sin 60◦ )

J

Ví dụ 2.5. Nếu AB và CD là hai đoạn thẳng cắt nhau và P, Q
là những trung điểm tương ứng của các đoạn thẳng trên. Chứng
minh rằng, nếu AB là phân giác của góc CP D và P A2 = P B 2 =
|P C|.|P D|, thì CD là phân giác của góc AQB và QC 2 = QD2 =
|QA||QB|.
Lời giải. Từ sự bằng nhau của các góc BP D và CP B ta có thể viết
p−d p−d
p−b p−b
:|
|=
:|
|,
p−b p−b
p−c p−c
từ đó
(p − d)(p − c)
|p − d||p − c|
=
=1
2

(p − b)
|p − b|2
Suy ra
p2 − (c + d)p + cd = p2 − 2bp + b2
hoặc là ab + cd = 2pq.
Trong đẳng thức cuối cùng vai trò a, b và p tương ứng với c, d và
q là như nhau, nên điều kiện cần và đủ đeer AB là phân giác của
góc CP D và P A2 = P B 2 = |P C||P D|, cũng là điều kiện cần và đủ
đeer CD là phân giác của góc AQB và QC 2 = QD2 = |QA||QB|.

J


22

Chương 2. Độ đo góc của hai tia

2.3. BÀI TẬP
. 2.6. Cho hình vng ABCD. Điểm M và N nằm tương ứng trên
2
các đường chéo BD và cạnh BC sao cho BM = BD và BN =
3
1
◦
\
BC. Chứng minh rằng AM N = 90 .
3
. 2.7. Cho ngũ giác ABCDE. Nối các điểm trung bình của cạnh
AB và CD, và các điểm trung bình của cạnh BC và DE. Lấy H
và K lần lượt là các điểm trung bình của các đoạn nối trên. Chứng

1
minh rằng HK song song với AE và |HK| = |AE|.
4
. 2.8. Cho tam giác ABC, về phía ngồi của tam giác vẽ các hình
vng ABEF và ACGH. Chứng minh rằng đường trung tuyến AM
vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường cao của tam giác AHF .
. 2.9. Về phía ngồi của tam giác ABC vẽ các hình vng ABDE và
ACF G. Gọi H, K, L lần lượt là trung điểm của đoạn BE, BC, CG.
a) Chứng minh rằng tam giác HKL vuông cân.
b) Có nhận xét gì về vị trí thứ 4 của hình vng có 3 đỉnh
H, K, L?.
. 2.10. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trên
cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 2AD. Các đoạn thẳng AM và
CD cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng
a) I là trung điểm của đoạn AM .
b) CI = 3DI.
. 2.11. Về phía ngồi của tam giác ABC vẽ các tam giác cân
M AB, N AC và P CB theo thứ tự nhận các điểm M, N, P làm đỉnh
góc vng. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AP và M N bằng nhau
và vng góc với nhau.


2.3. Bài tập

23

. 2.12. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M và N theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao lần lượt của các
đường thẳng AD và BC với đường thẳng M N . Chứng minh rằng
\ = BF

\
nếu AD = BC thì AEM
M.
. 2.13. Về phía ngồi của một tứ giác ABCD trên các cạnh AB, BC,
CD, DA dựng các hình vng, tâm lần lượt của các hình vng này
là E, F, G, H. Chứng minh rằng EG = F H và EG⊥F H.
. 2.14. Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm của các đường
chéo trong một tứ giác và những đoạn thẳng nối trung điểm của các
cạnh đối diện của tứ giác đó có một điểm chung.
. 2.15. Cho điểm M và N là trung điểm của các cạnh AB và BC
trên hình vng ABCD. Đoạn thẳng CM và DN cắt nhau tại P .
Chứng minh rằng đoạn AP bằng cạnh hình vng.


Chương

3

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

3.1. Đường thẳng qua hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.2. Phương trình tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25
26

32

3.1. ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI ĐIỂM
Trong phần trước ta thấy điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác
−−−→
nhau z0 , z1 , z2 nằm trên một đường thẳng là góc giữa hai vectơ Z1 Z2
−−−→
và Z0 Z2 bằng 0 hoặc ±π. Nói một cách khác tỷ số đơn V (z0 , z1 , z2 )
là một số thực. Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới
dạng như sau:
z0 − z2
z 0 − z2
=
.
z 1 − z2
z1 − z2
Từ đẳng thức trên ta thấy ngay, một đường thẳng đi qua hai điểm z1
và z2 là tập hợp các điểm Z sao cho
z − z2
z − z2
=
z1 − z2
z1 − z2
hoặc là
(z 1 − z 2 )z − (z1 − z2 )z + (z1 z 2 − z 1 z2 ) = 0
Vì nhãn của tất cả các điểm trên đường thẳng thoả mãn chỉ đẳng
thức trên, nên ta có thể gọi đó là phương trình đường thẳng.