iY Ễ N

BÁ ĐÔ

/^ỉtữnỹ cãu chuiịện Uị thú

vế

t
W

e

ci)NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ



NGUYỄN BÁ ĐÔ

NH0NG CÂU CHUYỆN LÝ THÚ
VÊ PHUDNG TRlNH
ị -%

Ị T

{

.

■vAi í t i l !ỉAí

ụ

-

- -

‘

I l i l X G a M n y C L ịỊ U

NHÀ XUẤT BẢN DÂN TRÍ
HÀ NƠI - 2012


Cùng một tác giả
NGUYỄN BÁ ĐÔ
1. Những câu chuyện lý thú về xác suất
2. Những câu chuyện lý thú về phương trình
3. Những câu chuyện lý thú về logic
4. Những câu chuyện lý thú về giói hạn
5. Những câu chuyện lý thú về hàm số
6. Những câu chuyện lý thú về hình học
7. Một số vấn đề to"an học chưa giải quyết được


LỜI NÓI ĐẨU
Cuốn sách nàv kè \hũ7tg càu chuyện lý thú vế phương trình.
Tuy \-ậy. chúns tỏi khơns có ý đinh %'à cũna khơna thê’ mỏ tả một
cách hồn chỉnh, liền mạch từna N'ah đề của ỊAưcms trình. E)ó là
nhiệm yụ của sách aiáo khoa.

Trong quá trình từ dạy đến học, từ bọc đến hiểu, từ hiểu
áp dụng, từ áp dụng đến sáng tạo đòi hỏi mỗi người phải
lòi. nàng động. Sách giáo khoa chì cung cấp những điều
vếu cho nên muốn hiểu dầy đủ và sâu sắc hơn từng vấn đề
đọc các sách bổ khuvếL Và đáy là cuốn sách bổ khuvết như
^ề phương trình.

đến
lìm
cốt
cần
vậy

Sách phục \ụ học sinh, giáo \iên phổ thịng và những người
vêu thích tốn.
Nguyễn Bá Đó



1. KHÁM PHÁ Bỉ MẬT CỦA "VỤ ÁN CHIẾC VƯƠNG MIỆN"

ơ nơi có kinh tuvến o đi qua, có một \TÌng rất nổi tiếng nằm
giữa ba châu lục, đó là Địa Trung Hải, phía Bắc Địa Trung Hải
có một bán đảo hình mũi giày, đó là nước Italia. Từ bán đảo này
nhìn ra Địa Trung Hải có hịn đảo lớn nhất Địa Trung Hải, đó là
đảo Sicilia (Xixin). Thời cổ Đại, đảo này là một quốc gia, nay
thuộc Cộng hoà Italia. Đảo Siciha có diện tích 25.708km^, có
ngọn núi lửa nổi tiếng Etna cao 3.263m. Chứứi hòn đảo này là
quê hương của các tổ chức mafia. Trên đảo có thành Syracuse
(Xiraca) quê hương của một trong các nhà toán học vĩ đại nhất

cùa mọi thời đại và chắc chắn là vĩ đại nhất cùa thời cổ Đại, đó
là Archimedes (287 - 212 trước Công nguyên).
Năm 241 trước Công nguyên, đội qn viễn chinh La Mã đã
chiếm đóng tồn bộ đảo Sicilia, sau đó bị đánh đuổi. Đến năm
214 trước Cơng nguyên, tướng Marcellus của La Mã lại đưa quán
chiếm đóng đảo này. Archimedes
đã có nhiều sáng kiến giúp \Tia
Hieron (Hêrổng) bảo vệ thành
Svracuse, chống lại quân địch.
Óng đã dựa vào các nghiên cứu
của mình %'ề địn bẩy để hướng
dẫn chế tạo ra những chiếc
máy phóng đá khổng lồ có thể
phóng được các lảng đá rất lớn
và điều chỉnh để đá lăng xa - gần,
Archimedes
các móc cực lớn rứiờ hệ thống


rịng rọc kép có thể nsoạm chặt
và nâng tàu thuyền cùa địch lên
cao rồi đập xuống nước cho vỡ
tan, hoặc dùng những chiếc
gương quay được trên bản lề để
hứng ánh nắng Mặt Trời rồi tập
trung hướng về địch phía xa làm
tàu thuyền của chúng bốc
cháy... Với những vũ khí lợi hại
nàv quân địch đã khiếp sợ đến
nỗi chúng chỉ trông thấy một sợi

dây thừng hay một đoạn gỗ trẽn
tường đã tưcmg là Archimedes
đang quay những chiếc máy về
phía mình, la hét thất thanh va bỏ chạy thục mạng. Khi quân
La Mã đã hoàn hồn. chúng mới hiểu ra rằng, đâv không phải là
sự trừng phạt của Trời - Đất, mà chỉ là trí tuệ của một nhà khoa
hệ)c. Tướng Marcellus đã kinh hoàng thốt lên: "Chúng ta đang
đánh nhau với một nhà toán học!".
,
Nhà \’ăn Pluytac thời Hy Lạp cổ đại đã \iết: "Khi quân
La Mã bắt đầu những cuộc tiến công từ trên đất liền cũng như
trẽn biển, nhiều người Svracuse cho rằng khó có thể chống lại
được một đội quân hùng mạnh như vậy. Archimedes liền cho mở
các máy móc và các vũ khí do ơng sáng tạo ra. Thế là những tảng
đá lớn bay đi với tốc độ nhanh phi thường, phát ra những liếng
động khủng khiếp, tới tấp giáng xuống đầu các đội quân đi bằng
đưcmg bộ. Cùng lúc đó. có những thanh xa nặng uốn cong giống
hình chiếc sừng khổng lồ được phóng từ pháo đài ra. liên tiếp rơi
xuòng tàu địch... Tướng La Mã phải ra lệnh rút lui. Nhưng bọn


xàm lược vẫn khơng thốt khỏi tai hoạ. Khi các đoàn tàu địch
chạy gần đến (cách khoảng một mũi tên bav) thì ỏng già
Archimedes ra lệnh mang đến tâm gưcmg sáu mặt, cách tâin
gương này một khoảng, ông đặt các tám gương khác nhỏ hơn.
quay trên các bàn lề \'à điều chiiứi các tám gương hứng các tia
sáng của Mặt Trời. Các tia sáng từ gương chiếu ra đã gãy nên
những đám cháy khủng khiếp trẽn các con tàu. Ekĩàn tàu biến
thành đám ưo tàn...".
"... Marcellus V vào %ii khí nhiều và tối tân. lại cậv mình

thơng nũnh, mưu lược, nhưng hắn đã bất lực trước sự chông đỡ
của Archimedes và những %ữ khí đặc biệt của ơng...".
Với những %ữ khí đặc biệt đó. thành S>Tacuse đã cố thủ đưqx:
hai năm nhưng cuối cùng, đến mùa thu năm 212 trước Công
nguyên, do bị nội phản, quàn La Mã đã bất ngờ chiếm được
thành ưong khi -Archimedes đang mài mê suv nghĩ về một sơ đồ
vẽ trên cát. Khi bóng tên lứih La Mã
ngả ưên hình vẽ của -Archimedes,
ơng liền kêu lèn: "Khơng được đụng
đến hình ưịn của tơi!". Ngav tức thì
một mũi kiếm đã xuvên qua ơng già
tội nghiệp. Ơng ngã xuống bèn canh
sơ đồ ờ tuổi 75.
-Archứnèdes có khả năng tập
trung tư tưởng rất cao. Người đời đã
kể chuvện rằng, khi phải suv nghĩ về một vãn đề gì đó thì ơng
chẳng cịn để V gì đến xung quanh. Càu chuyện điển hìiứi thường
được nhắc đến là càu chuvện về "Vụ án chiếc \ương miện".
Truvền thuvết kể rằng, vua Hieron đã cho thợ kim hoàn
làm một chiếc vương miện bằng vàng ròng (vàng nguvên chất)


trông đẹp tuyệt vời và nhà vua rất vừa ý. Nhưng trong số cận
thần của nhà vua, những ai đã từng đích thân sờ được vương
miện đều có cảm giác hết sức kỳ lạ là hình như nó khơng phải
được làm bằng vàng ròng.
Như mọi người cũng biết, dựa vào cảm giác của bàn tay thì
có thể phân biệt nhơm và sắt, vì cùng một thể tích thì sắt nặng
hơn nhôm rất nhiều.
Bảng 1-1 cho tỷ trọng của một số chất thường gặp.

Bảng 1-1
Chất

Tỷ trọng (g/cm^) ở nhiệt độ bình thường

1. Nước (H 2O)

1,00

2. Nước biển

1,03

3. Gỗ:
-Tùng

0,6 - 0,8

- Mềm

0,22 - 0,26

4. Dầu hoả
5. Xăng
6. Thuỷ tinh

0,8
0,899
2,4 - 2,8


7. Thuỷ ngân (Hg)

13,6

8. Nhôm (Al)

2,7

9. Sắt (Fe)

7,8

10. Đồng (Cu)

8,9

11. Thiếc (Sn)

13,34

12. Bạc (Ag)

10,5

13. Vàng (Au)

19,3


Từ bảng 1-1 chúng ta thấv. cùng một thể tích như nhau

nhưng vàng nặng hơn bạc gần 2 lần. sắt nặng hơn nhôm hơn
2 lần.
Các cận thần thường đã quen với
\iưig. bạc. do %3 V chì cần nhấc qua
%'Uơng miện là họ biết ngav có phải
bằng vàng rịng hav khơng. Nhưng
các cận thần lại khơng dám nói
thing điều đó N’Oi nhà \-ua, họ sợ bị
ữ im diu như chơi, nên bọ chi hàn
lán “sau lưng".
"Cái kim trong bọc làu ngàv rồi cũng tòi ra”, lời đàm tiếu
"sau lung" cuối cùng nhà \-ua cũng biết được. NTià N'ua tức lắm.
lập túc cho gọi các thợ kim hoàn lại trách mắng. Các thợ kim
hoàn phàn bua: \nng mà bệ hạ đưa cho đã làm Norơng miện bẽL
không tin cho càn thử mà xem thì mọi \iệc sẽ rõ.
Chiếc \-ương miện đã đucc càn lẻn N'a trọng lượng hồn tồn
hằng só ^■àng nhà W13. đã giao cho họ.
Lúc đó. các cận thần hồn NÍa lèn mãy.
nếu thợ kim hồn
thàiứi thục thì các cận thần sẽ bị mát chúc, thậm chí phải chém
đầu. Cho nên. các cận thần lại tham tấu: "Khổ lịng có sự đổi
chác gì đây. các thợ kim hồn đã làm đứng trọng lượng 1". NTià
\"ua tháv có K nhưng ^■in nửa tin nửa ngờ. Thẻ là Niia hạ lệiứi
trong 3 ngàv với điều kiện khơng được phá bịng \ircmg miện,
phải xác minh sự NÌệc này.
Các cận thần suv nghi mãi. khơng tìm đưọc cách nào. Cĩ
cùng có người nghĩ ra cách là nhò đẽn .\rchimèdes,
ỏng được
coi là người thòng minh nhát dào Sicilia lúc đó. là niềm tự hào



của mọi người. Archimedes xin một tuần để suy nghĩ. Đén lúc
này ơng cũng thấy khó xử. ồng cho rang, phải phá NOíơng miện
để xem xét, nhưng lệnh của nhà vua là khổng được phá vương
miện. Thế thì những điều đã biết trở thành vơ ích. Vậy làm sao
để có thể tìm cái đã biết trong cái
chưa biết dâyl ơng đã phải thức
trắng hai đêm nhưng vẫn chưa tìm
được cách gì tốt hơn. Vừa lúc đó
thì vợ ơng khun ơng nên đi tắm
cho người thoải mái.
Trên đường đi đến nhà tắm,
Archimedes vẫn không sao quên
được câu chuyện chiếc vương
miện. Một tuần gần trơi qua.
Nhưng khi ơng bước vào bồn tấm
thì nước bắn tung t, cịn khi ơng
ngồi vào bồn tắm thì nước tràn ra
ngồi. Càng ngập sâu thì ơng càng
cảm thấy trọng lượng cơ thể càng
nhẹ đi, tựa hổ như có một sức lực
thần kỳ nào đó kéo ơng lên mặt nước. Bỗng nhiên, trong đầu nhà
thông thái này loé lên một tia sáng. Thế là cái nút rối đã được tháo
gỡ, hai vật bằng vàng, bằng bạc có trọng lượng như nhau sẽ có thể
tích khác nhau, nếu nhúng trong nước thì bị nước đẩy lên theo hai
lực khác nhau. Do đó, chỉ cần lấy một trọng lượng vàng đúng bằng
trọng lượng chiếc vương miện rồi thả cả hai trong nước là có thể
xác đinh được vương miện có bị pha thêm bạc hay khơng.
Archimedes khơng cầm lịng được, liền nhảy ra khỏi bồn
tắm với tư thế khoả thân chạy ra phố, hét tướng lên: "Eureka

eureka!" (Ta đã tìm thấy rồi, ta đã tìm thấy rồi!).
10


Vậy cái gì đã làm cho Archimedes sướng điên lên như vậy?
Thì ra, ơng đã có được ý tưởng như sau: Có thể đo được thể tích
của vương miện bằng cách thả nó vào bể nước, nếu vương miện
có chứa bạc (nhẹ hơn vàng) thì thể tích nước tràn ra sẽ hơn thể
tích nước do vương miện chỉ bằng vàng rịng tràn ra.
Từ ý tưởng đó, về sau Archimedes đã tiếp tục làm thí nghiệm
và tìm ra định luật nổi tiếng mang tên ông (định luật thứ nhất của
thuỷ tĩnh học):
"Một vật được nhúng trong chất lỏng thì bị chất lỏng đó đẩy
lên theo phương thẳng đứng, với một lực đúng bằng trọng lượng
của thể tích chất lỏng đã bị vật chiếm chỗ".
Nhưng Archimedes đã dựa vào ý tưởng đó để khám phá bí
mật về "Vụ án chiếc vương miện" như thế nào? Trong cuốn "Bàn
về kiến trúc" đã nói rõ;
"Thế là Archimedes đã thả vương miện vào bồn nước và biết
được trọng lưcmg của nước tràn ra nhiều hơn trọng lượng nước do
khối vàng ròng làm tràn ra. Như vậy, ông đã biết được vương
miện không phải được làm bằng vàng rịng".
Khơng cần nói thêm thì ai cũng biết là các thợ kim hồn đã
bị trừng phạt đích đáng. Thế nhưng để làm chiếc vương miện
này, các thợ kim hoàn đã lấy cắp bao nhiêu vàng?
Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy xem các mục sau đây.
ở nước ta cũng có câu chuyện tương tự; Đỗ Hữu được cha
cho theo đi thăm bạn cha ở làng bên.
Hai ông ngồi trên bộ phản vừa trà thuốc vừa hàn hun, lũ
trẻ mau chóng quen nhau và bày trị ngồi sân.

Ơng bạn có chiếc điếu bát bằng sứ rất đẹp, men xanh lam,
khảm bạc, chạm trổ rồng mây xung quanh.
11


Cha của Vũ Hữu tra thuốc vào nõ, ngắm nghía chiếc điếu
rồi nói:
- Chiếc điếu bát này thật đẹp, tiếc là nõ của nó bằng đồng
chứ mà bằng bạc thì càng hay.
Chủ nhà tâm đắc:
- Đúng vậy, tôi đã định nhờ thợ đúc chiếc nõ bạc để thay,
song chưa biết phân lượng bao nhiêu để giao cho thợ.
Nghĩ một lát, chủ nhà tiếp:
- À mà này, tôi nghe đồn thằng bé Hữu tmh tốn giỏi lắm,
hay ta thử hỏi nó xem.
Được gọi vào, Vũ Hữu lắng nghe cha yêu cầu, tay cầm bát
nước chủ nhà mời. Cậu suy nghĩ trong khi vơ tình nước trà sóng
ra tay. Cậu bất ngờ reo lên:
- Cháu túứi được rồi!
Vũ Hữu đặt bát nước vào chiếc đĩa khơ và rót đầy nước vào
bát đó, từ từ bỏ nõ điếu vào bát nước, nước tràn xuống đĩa. Cậu
giải thích:
- Thể tích bạc để đúc chiếc nõ điếu đúng bằng thể tích nước
đã trào ra trong đĩa.
Như vậy, từ thế kỷ XV, Vũ Hữu đã tìm ra cách đo thể tích
các vật phức tạp, như chiếc nõ điếu này.

12



2. THE GIỚI CỦA CÁC KỶ HIỆU PHÉP TÍNH TỐN HỌC

Ngày nay, từ lớp Một, học sinh đã biết một số kv hiệu Ị^ép
únh toán học như cộng (+), trừ (-). bằng nhau (=)... Nhưng nhân
loại đã phải mất hàng nghìn năm mới có được các ký hiệu đơn
giản mà cần thiết đó.
Trước khi có các ký hiệu Ị ^ p túứi. người ta đã phải dùng
lời. dùng chữ để diễn tả quan hệ số lượng \’à hình dạng. Ví dụ, để
diễn tà (a + b) - c người ta Ị^ải \iết: "a cộng với b, rồi lấy kết
quả trừ đi c". Đây là cách mà người Hy Lạp còn dùng mãi về sau.
Nguời Ai Cập N'ao nhũng năm 1700 trước Còng nguyên dùng
cách đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng chiều để chi phép
cộng và hai cẳng chân nàm ngược chiều đê chỉ phép trừ.
Người Hy Lạp cổ đại và người Ấn E)ộ cổ đại đểu coi NÌệc viết
hai sơ' liền nhau là Ị^ép cơng.

du 3 — có nghĩa là 3 công — \'à
4
4

\iết hai sô' xa nhau là phép trừ. \ í dụ 6 - có nghĩa là 6 trừ - .
5
5
Người Hindu thì phép cộng được thể hiện bằng cách ghép,
còn phép trừ thê hiện bằng \iệc đặt một chấm lên số bị trừ.
NTtà toán học Lý Thiện Lan người Trung Quốc đã dùng ký
hiệu "T" và "T" để chi phép cộng và phép trừ.
LPasoli (khoảng 1445 - 1569) người Italia, đã dùng ký hiệu
chữ Laiinh p từ chữ "plus" (nghĩa là cộng) hoặc P thay cho phép
cộng. \ í dụ 5 p 3. nghĩa là 5 cộng 3 NÌ chữ m. từ chữ "minus" (nghĩa

là trừ) hoặc in ứiay cho phép ttừ, ví dụ 7 m 5, nghĩa là 7 trừ 5.
13


Cuối thời Trung cổ, thương nghiệp ở
châu Âu khá phát đạt, một số nhà buôn
thường vạch dấu "+" và dấu
lên thùng
hàng để đánh dấu "trọng lượng hơi thừa" và
"trọng lượng hơi thiếu".
Thời Phục Hưng (thế kỷ XV - thế kỷ XVI),
Leonardo de Vinci (Lêônađôđa Vinxi)
(15/4/1452 - 2/5/1519) người Italia, bậc
L.de Vinci
thầy của nghệ thuật, nhất là hội hoạ,
nhưng rất mê tốn, đã dùng ký hiệu
và
trong một số tác
phẩm của mình.
Năm 1489, Johnn Widman (sinh năm 1460 ở Bohemia)
người Đức, đã dùng dấu "+" và dấu
để chỉ "phần dư" và
"phần khuyết".
Cũng năm 1489, trong một cuốn sách số học của J. w . d'Eges
người Đức, xuất hiện dấu "+" và dấu
để chỉ phép cộng và
phép trừ. Sau đó, đến năm 1514, nhà toán học Van der Hoecke
người Hà Lan, nãm 1524 Christoffel Rudolff (khoảng 1500 - 1545)
và năm 1544 Michael Stifel (1486 - 1567) người Đức, đã dùng
lại dấu "+" và dấu

thay cho phép cộng và phép trừ.
Về sau, nhờ đóng góp tích cực của nhà tốn học Francois Viète
(1540 - 13/12/1603) người Pháp thì dấu "+" và dấu
mới
được phổ cập và đến năm 1630 mới được mọi người công nhận
Do vậy, ông được coi là ông tổ của ký hiệu toán học.
Hiện nay, các ấn phẩm của nhiều nước đểu dùng dấu
dấu
để chỉ phép cộng và phép trừ.

và

Cần chú ý là, người châu Âu lục địa đã từ lâu lại dùng dấu
"+" để chỉ phép trừ.
14


Đõi \-ới phép nhản, người HŨKÌU đã dùng
cách \iêt bha (ám tiố đầu của từ bha\ita là
tích) sau các nhân tử. Nãm 1631 William
Oughtred (1574 - 1660) nguời Anh, đã dùng
dấu "x" trong tác phẩm của mình N'a người ta
đã dùng nó cho đến ngàv nav.
Dâu
thav cho phép nhân đã được G.w.von Leibniz
Thomas Harriot (1560 - 1621) dùng nhưng
sau đó người ta ít dùng, chi đến khi (năm 1684) Gottửied
Wilhelm von Leibiuz (1/7/1646 - 4/11/1716) người Đức chấp
nhận nó thì người ta mới dùng nhiều. Hiện nav
vẫn được dùng

cho phép nhân trong sách giáo khoa cùa một số nước.
Dấu "H" được G.W. von Leibniz dùng cho phép nhãn và ngày
nav dấu này đưọc dùng đê chỉ phép giao trong lý thuvết tập hợp.
Đơì với phép chia, người Hindu thể hiện bằng cách NÌết
số chia dưới số bị chia. Nhà tốn học Mohammed Ibn Mùsâ?
,\1 - Khowarizmi (khoảng 780 - khoảng 850) người UdơbèkLxtan.
đã dùng **3/4" hoặc — để chỉ 3 chia cho 4.
Đến năm 1630. John Péll (1/3/1610 - 12/12/1685) người ,\nh
đã dùng dấu "-Ỉ-" và sau đó năm 1659 Johann Heừuich Rahn
(1622 - 1676) người Thụy Sĩ. năm 1684 G.w.von Leibniz cũng
dùng dấu "-Ỉ-" để chi phép chia.
Trong các ân phẩm của Nga và Đức thì dấu "-Ỉ-" rất ít thấy để
chỉ phép chia, mà lại dùng dấu
(so sánh).
Đối với phép khai căn. trước khi có dấu “V * thì người ta
dùng R.q ứtay cho " V ", R.c thay cho "

".
15


Người Hindu thể hiện phép khai căn bằng cách viết ka
(âm tiết đầu của từ karana là vô tỷ) trước đại lượng lấy căn.
Đến năm 1525, trong cuốn "Die Cross", Ch.Rudolff đã đưa
ra dấu "
Sở dĩ được ông ký hiệu như vậy vì có lẽ nó giống
chữ r trong từ radical là dấu căn.
Dp/dt là bút danh của nhà vật lý nổi tiếng J.C.Maxwell
(1831 - 1379) người Anh, người sáng lập ra ngành điện động lực
học cổ điển và là một trong những người sáng lập ra khoa vật

lý thống kê. Thế nhưng mấy ai biết ơng cịn là nhà thơ khá nổi
tiếng về cả khả năng thơ ca và bút danh kỳ quặc này. ô n g làm
thơ từ nhỏ đến cuối đời. Sở dĩ ông lấy bút danh Dp/dt vì, theo
Wham Tomxon và Pite Tet trong tác phẩm "Luận văn về triết
học tự nhiên" đã diễn đạt nguyên tắc thứ hai của nhiệt động học
J
bằng cơng thức tốn — = JCM đó chứứi là viết tắt của tên ơng:
dp
J.C.Maxwell.
Tất nhiên, là cịn nhiều ký hiệu phép tính tốn học nữa.
Sau đây là một ví dụ về các ký hiệu phép tính tốn học
lấy trong cuốn sách cơng bơ' năm 1572 của nhà toán học
Raffaello Bombelli (1530 - 1572):
R.c.L.R.q 4352 p 16 Jm.R.c LR.q. 4532m l6j
Diễn đạt theo ký hiệu ngày nay là:

^V4352+16-ỰV4352-16

16


3. CẮC KÝ HIỆU TOÁN HỌC KHÁC

ơ mục 2 chúna ta đã nói về các ký hiệu phép túứi tốn học. ờ
mục này ta nói \ ề các ký hiệu tốn học khác.
Người ngun thuỳ chi mới có khái niệm "có" và "khơns"
(khơng có). Đày là khái niệm cổ nhất về số. Sau đó. họ biết thêm
hai sơ 1. và 2. từ 3 trờ lên là nhiều. Nliư vậy. họ đã biết khái
niệm ít và nhiêu .
Do sản xuất phát triển, con nsười có nhu cầu ưao đổi nên

nảy siiứi \iệc đếm số. Nsười ta dùns các nsón tay. nsón chân,
hòn cuội, rồi khắc lèn cột nhà (sỗ), thân càv... hoặc kết nút ưèn
dày... để đếm. Các cách đếm thỏ sơ này hiện vẫn còn tồn tại.
nhát là đỏ~i với các dân tộc ít nsười (ờ nước ta và các nước).
Đên thời kv Còns xã nsuvèn ihuv. con nsười biết dùns vãn
tự đế shi lại các số. đó là buổi đầu của số học.
ơ Tâv .-\n (Tnms Quốc) nsười ta đã đào được đồ sốm và
bans 2 ốm có shi s hình trịn .xếp thành hình một tam siác đều.
dims iOO hình NTiõns để xếp thành một hình Miỏns.
ở Truns Quốc, cơns cụ túứi tốn sóm nhất là "thẻ lứửi". Ban
đầu các "thẻ tứửi" được làm bans cành cây thins, về sau là các
thanh sỗ (hoặc ưe. xươns thú. đá hoặc sắt) nhỏ. thưcns dài
khồns 13 - 14cm. bó 271 thanh thành một nắm. có thể cho vào
ốns. túi hoặc buộc vào lưns. Các thanh nhỏ được sọi là "thẻ tứứì
tốn" hay "thẻ tốn". Người ta đã khai quật được nhiều loại "thè
tứih". Ví dụ. khi khai quật nsơi mỏ £0 thời Tày Hán (thế k>- n thế kỹ I trước Cơn 2 ngun) tại huyện Thiên Dươns tình
17


Thiểm Tây tháng 8-1971 người ta
thấy một loại "thẻ tính" có thanh
đường kứưi khoảng 0,3cm, dài
20cm, có hai màu (hình 3-1) được
đặt bên hông xác chết.
"Thẻ túứi" được dùng để ghi
Hình 3-1
số, ghi phép túih, tiến hành các
phép tính về số, kể cả việc giải các phương trình bậc cao. "Thẻ
tínlệ' trên thực tế là một loại thuật tốn, nó là cơng cụ tính tốn
rất hữu hiệu, đã thúc đẩy cho số học của Trung Hoa phát triển từ

thời Cổ Đại đến đời Nguyên (thế kỷ XIV), trước khi xuất hiện
bàn túih. Vào thời Xuân Thu, việc dùng "thẻ tmh" làm dụng cụ
tính tốn là phổ biến.
Tác dụng của "thẻ túứi" trước hết là để biểu diễn (ghi) số. Có
hai kiểu biểu diễn số: kiểu ngang và kiểu dọc (bảng 3-1). Trong
thực tế người ta thường dùng hàng đơn vị theo kiểu dọc, sau đó
xen kẽ, số 0 được để cách (bỏ trống).
Ví d ụ :'1 1 ^ ư = I là 330721
Bảng 3-1
Hai kiểu biểu diễn sô

18


Thời Xuân Thu Ờ Trung Hoa đã có
khái niệm số ảm. nên nsười ta dims thẻ
màu đen để chi sô âm. màu đỏ để chi sơ
dương, hoặc thaiứi có thiết diện chữ nhật
là sô âm. thiết diện tam siác là sơ
dương, hav đật xiên thè tốn đê chi sỏ
âm (nếu thẻ cùng màu).
Zu Chong Zhi
Khi tứứi toán nsười ta dims các bans
sỗ ghi các số \à gọi là bans xếp sơ. siỏns như bàn tính sau này.
Phươns pháp tính bans thẻ được để cập trons bộ sách 'Tơn Từ
tốn kinh" sồm 3 quvển. %iết Nào thê' kỳ' in. Khi dùns "thẻ tính",
nẽư nsuời quen dùns thì có thê tíhh được với tốc độ rất nhanh, đến
múc nsười khác khôis theo dõi kịp. Nhà toán học NĨ đại Zu Chong
Zhi (Tổ Xuns Chi) (429 - 500) thời Nam Bắc Triều (thế k>' V) đã
dùns phươns pháp "thẻ tính" (hình 3-2) đã tíhh đưạ: số n nằm giữa

sỏ 3.1415926 N'a số 3.1415927. Điều này có đề cập đến trcxis cuốn
'Tans thuật" (Xuyết thuật) do ơns biên soạn. Kết q nà>' hồn
tồn phù hcỊ) với kết quả tíhh tốn của các nhà tốn học Ịhươns
Tây. nhưns sớm hơn đến 1000 năm!
Trons các kv hiệu tốn
học thì dấu bans nhau "=" là
quan trọns hơn câ. Người
Babilon và nsười Ai Cập đã
dims nhiều loại kv hiệu đè
biểu thị sự bans nhau, nhưng
được còns nhận sớm nhài là
cách của Diophanius; esti và
isas. \iế t tắt là is Nà i. Thời
Truns cổ ký hiệu để biểu thị
sự bans nhau ràt hòn loạn.
19


Ký hiệu "=" hiện nay đang sử dụng, được
dùng lần đầu tiên trong cuốn "Cái kích
thích trí thơng minh" (The Whetstone
of Witte) của Robert Recorde (khoảng
1510 - 1558) công bố năm 1557Trong cuốn sách đó, tác giả giải
thích rằng, ơng đã dùng hai đoạn thẳng
song song bằng nhau làm ký hiệu cho
một đẳng thức là vì "khơng có hai vật nào
F.Viete
có thể bằng nhau hơn thế". Nhưng mãi
đến thế kỷ x v n i ký hiệu này mới đưctc dùng phổ biến (với hai
vạch rất dài).

Dùng chữ để biểu đạt số là một sáng tạo quan trọng, nó càng
làm cho lý luận đại số học trở nên sâu sắc hơn. Muốn có được
điều này lồi người đã phải mất hàng nghìn năm. Cơng lao này
thuộc về nhà tốn học xuất sắc Francois Viète (còn gọi là
Franneis Vieta) (1540 - 13/12/1603) người Pháp, và ông được
xem là người cha của cách dùng chữ thay số trong đại số.
Trong cuốn "In artổm" nổi tiếng nhất của P.V iète, ông đã
phát triển nhiều ký hiệu đại số. ô n g đã dùng nguyên âm để
biểu thị các đại lượng chưa biết và
các phụ âm để biểu thị các đại
lượng đã biết. Còn hiện nay chúng
ta lại dùng các chữ cái phía cuối (x,
y, z...) cho những đại lượng chưa biết
và các chữ cái phía đầu (a, b, c...) cho
những đại lưcmg đã biết. Đây là công
lao của nhà triết học René Descartes
(31/3/1596-11/1/1650) người Pháp đưa
ra năm 1637.
R. Descartes
20


Viiư các bạn đã bĩẽi. a. ịỉ. y. ơ. 8... là nhữna cliữ cái đầu tiên
ưong vãn tự Hy Lạp cổ đại. Trên đầu các chữ cái đó người la
cho ihêrn một nét nsans đc biểu ihị một sỏ. Qiữ sỗ này tươna
đương với ihứ tự trong bàng chữ cái Hy Lạp. Như ã có thể thay
cho 1. p ihav cho 2.

V


thay cho 3. ỗ thay cho 4. 8^ thav cho 5...

Thời Hy Lạp cổ đại. \'ào thè kv m. đại sò học đã phát triển
mạnh, tuv \-ậv cũng chưa có được một hệ thống ký hiệu đại sỏ
hồn chình. Diophantus đã sừ dụng kv hiệu khá phức tạp để biểu
thị só chưa biết:

AK'->x'
K'K-»x"

và ơng đã dùng "p" để chỉ sự pđiàn cách. M để chi là trước sỏ
hạng tự do. Ví dụ:
K 'K ã A K 'ã t A 'A ẽ Ị ỹ M p
biểu thị biểu thức đại sỏ sau đây:
X* + x' - 5x^ - 3x - 2.
Do chưa có một hệ thống ký hiệu tốn
học đầv đủ mà các nhà toán học thời cổ Đại
ờ châu .Âu và các nước Arập đã cảm thấy
lúng lúng đõì với mịi Ị>hương trình đơn giản
như ax + b = 0.

1
Hllll —

IT

15x^

—► Ơ6x


1111® ^

-360

N ìn / ì 3 - 3

21


Để diễn đạt một phương trình, trong bộ sách "Sách tốn
chín chương" của Trần Sanh, xuất hiện vào thế kỷ II (thời Đơng
Hán), người ta gọi số hạng có chứa ẩn số là "nguyên", số hạng tự
do (không chứa ẩn số) là "thái". Ví dụ ở hình 3-3 là cách biểu thị
phương trình bậc 3 một ẩn:
-t- 15x^ -I- 66x - 360 = 0.
Đối với phương trình phức tạp thì vẫn dùng ký hiệu như ở
trên nhưng có thay đổi chút ít. Hình 3-4 biểu thị phương trình
bậc 1 bốn ẩn.
X-

2y + 2z -I- 3w - 5 = 0.
w
3
-2 -5 2
• 1

Ngun
Ngun Thai Ngun
Ngun
Hình 3-4


Hình 3-5 cịn phức tạp hơn, biểu thị phương trình bậc 3 hai ẩn:
2y^ - 8y^ - xy^ + 28y -I- 6xy - x^ - 2x -I- thái = 0.
Hình 3-6 biểu thị hệ phương trình bậc 1 ba ẩn:
"x-i-2y-i-3z = 26
2x-i-3y-i-z=24
13x + 2y-i-z=39
2

-8

28

T hái

1

2

3

(X)

0

-1

6

-2


2

3

2

(y )

0

0

0

-1

3

1

1

(z)

26

24

39


Hình 3-5
22

Hình 3-6


Sau đày là niên giám một số ký hiệu toán học:
- Dấu lớn hem

nhỏ hem

khác nhau 'V", gần bằng

do Th.Harriot đưa ra nãm 1631.
Cần chú ý là sự khác nhau thì P.Viète lại dùng ký hiệu
- Vng góc ± được P.Erigon đưa ra năm 1634.
- Số mũ (luỹ thừa) thì P.Viète \iết là A quadratum. A cubum,
còn các tác giả khác \'ề sau thì viết gọn hơn: Aq, Ac, tức là A^,
A^; ký hiệu a', a',... a" được R.Descartes đưa ra năm 1637 và
năm 1656 John WaUis (23/11/1616 - 28/10/1703) người ,Anh đưa
ra các ý tường về các số mũ âm.

J.WalUs

Johann Bernoulli

L.Eiiler

C.F.Gauss

23