GIAO TRINH

COIWETHUNER
DONGHUCTHOE
WH

NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP

THANH PHO HO CHi MINH


LE THANH DANH (Chu bién)

NGUYEN HUU THO
VÕ NGOC YEN PHUONG

GIAO TRINH

CƠ LÝ THUYẾT

ĐỘNG LỰC HỌC
TRƯƠNG BALHOC
ĐẠI HỌC CONG
CÔNG NGHIEP
NGHIỆP TP.HCM
TP.HCM |Ì
[TRUONG

TRY

I MAVACH:.

—

Viel!

AL. GOMES

;

|

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


LOI MO DAU

Cơ lý thuyết - Động lực học là môn học cơ sở được dạy cho sinh viên dai hoc nam nhất

ở khối ngành kỹ thuật cơ khí. Mơn học này được yêu cầu cho hầu hết sinh viên các
ngành

kỹ thuật như cơ khí, xây dựng,

kết cấu cơng trình, hàng

không, ô tô và giao

thông... Hơn nữa, nhiều sinh viên từ các lĩnh vực đa dạng khác như khoa học vật liệu, kỹ

thuật công nghiệp, máy xây dựng và nâng chuyển, kiến trúc... cùng tìm thấy nhiều bổ

ích từ mơn học này.

Giáo trình Cơ lý thuyết - Động lực học được biên soạn bám sát đề cương môn học Cơ lý

thuyết - Động lực học của ngành Công nghệ kỹ thuật cơ khí tại Trường Đại học Cơng

nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh. Các chủ đề chính trong giáo trình bao gồm Động học

điểm, Động học vật rắn, Động lực học chất điểm, Động lực học hệ chất điểm, Động lực

học phẳng của vật rắn, Động lực học không gian của vật rắn và Động lực học giải tích.
Giáo trình cung cấp nền
triển kỹ năng giải quyết
thuật.Để giúp sinh viên
thiết, giáo trình này đặc

tảng
vấn
xây
biệt

vững chắc về các nguyên tắc cơ học và giúp sinh viên phát
đề với nhiều loại vấn đề thực tế liên quan đến thiết kế kỹ
dựng các kỹ năng mơ hình hóa và giải quyết vấn đề cần
nhấn mạnh đến việc hình thành giản đồ lực - kỹ năng quan

trọng nhất cần thiết để giải quyết các vấn đề cơ học.
Giáo trình biên soạn phù hợp cho việc giảng dạy với thời lượng 3 tín chỉ (45 tiết) nhằm
đáp ứng được mục tiêu hỗ trợ sinh viên học tập chủ động và tích cực. Giáo trình cịn là


tài liệu tham khảo, hỗ trợ sinh viên trong quá trình học tập, nắm chắc kiến thức để phục
vụ cho các môn học như Nguyên lý máy, Động lực học máy, Đồ án và Khóa luận tốt
nghiệp...

Với mục tiêu hỗ trợ sinh viên, tác giả đã cố gắng trình bày giáo trình một cách ngắn gọn
với nhiều bài tập thực tế có sẵn đáp số nhằm

khích lệ sinh viên tự học, tự nghiên cứu.

Dù rất nỗ lực trong quá trình biên soạn, giáo trình khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác
giả rất trân trọng và mong nhận được góp ý từ Quý đồng nghiệp, độc giả và các bạn
sinh viên để giáo trình được hồn thiện hơn trong những lần tái bản tiếp theo.
Mọi thư từ góp ý, xin vui lòng gửi về địa chỉ email:
, va
Tac gia



MUC LUC
Chương 1. Động học điểm
1.1. Giới thiệu
1.2. Không gian..
1.3. Thời gian

1.4. Gốc, hệ thống tọa độ và quy ước dấu

1.5. Vị trí

1.6. Di chuyển.
1.7. Vận tốc.


1.8. Gia tốc..

1.9. Chuyển động tương đối..

1.10. Chuyển động thẳng...
1.10.1. Chuyển động với gia tốc không đổi (a=constant).................................---::---crrree 16

1.10.2. Chuyển động với gia tốc thay đổi (a#constant).
1.10.3. Chuyển động phụ thuộc

1:11.:Chuyển:đống CONtsesseeessssatbntdigttrattto0g40600.100006100000gHN10030014030210130010310300g1
10 42007222802 008
1.11.1. Vận tốc và gia tốc trong hệ tọa độ Decaster

1.11.2. Vận tốc và gia tốc trong hệ tọa độ tiếp-pháp tuyến...
1.11.3. Vận tốc và gia tốc trong hệ tọa độ cực..............................--:--+:++:++++trtrrtrirrrrrirrrrrrrree

Chương 2. Động học vật rắn
2.1. Giới thiệu.....

2.2. Chuyển động tịnh

n.

2.3. Chuyển động quay quanh trục cố định..

2.4. Chuyển động song phẳng..

2.4.1. Xác định vận tốc của các điểm trên vật rắn

2.4.2. Tâm vận tốc tức thời

2.4.3. Xác định gia tốc của các điểm trên vật ran...
sii
2.5. Phép biến đổi tọa độ quay...............................---¿--c222222222221,2.1,2121212..........0.0111110111.........1111
te.

2.6. Chuyển động phức hợp và gia tốc Coriolis
2.7. Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định


Chương 3. Động lực học chất điểm
BLL. GiGi thiQu oc ..........................
3.2. Dinh luat 2 Newton

3.3. Hệ thống đơn vị và trọng lượng.
3.4. Phuong

trình chuyển động của một chất điểm

3.5. Nguyên lý DAlembert
3.6. Phương trình động lực học của hệ chất điểm
3.7. Công của lực

3.8. Động năng và định lý về biến thiên động năng...
3.9. Công suất và hiệu suất..

3.10. Lực có thế và thế năng
3.11. Phương trình định luật bảo toàn co nang.
3.12. Động lượng và xung lượng của lực..........

3.13. Dinh lý về biến thiên động lượng của điểm................................--------2+++ceccceerrrrrrerrrrrrre
3.14. Mômen động lượng
3.15. Mối quan hệ giữa mômen động lượng và xung lượng của lực
Bài! TẬP sau nggöugtitoantbgGẸI08gIS0
0388358 80308-Q83L18)GHIADERADIGIS.GIGEBSDSNGI210510360RHREASisggisixagaiasma

Chương 4. Động lực học hệ chất điểm
41. Ứng dụng định luật 2 Newton cho hệ chất điểm
4.2. Định luật Euler

4.3. Mômen động lượng tuyệt đối của hệ chất điểm đối với điểm di chuyển..
4.4. Mômen động lượng tương đối của hệ chất điểm đối với điểm di chuyển
4.5. Định luật bảo toàn động lượng và mômen động lượng ......
4.6. Công và năng lượng

4.7. Định lý về biến thiên động năng
4.8. Mối quan hệ giữa mômen động lượng và xung lượng của lực..
4:9: Vã'CHRTTT Lossenioosiititio:diitgitsiGgt80G008064101A846800A50893NGIEES0G8012418034140314080,600000380900x2aas

4.9.1. Va chạm thẳng xuyên tâm..
4.9.2. Va cham xiên xuyên tâm......

Chương 5. Động lực học phẳng của vật rắn

5.1. Mơmen qn tính khối lượng
5.2. Mơmen qn tính khối lượng đối với trục song song..
5.3. Mơmen qn tính khối lượng của một số vật đồng chất.
5.4. Tích quán tính khối lượng và trục quán tính chính của vật rắn...................................- 149



LBL

5.5. Phương trình động lực học của vật rắn

5.6. Mơmen động lượng của vật rắn chuyển động song phẳng..

=.-

BJs Ung dụng định luật 2 Newton cho các chuyển động điển hình của vật rắn.

«cis 56
165

5.8. Ngun lý DAlembert....
5.9. Cơng của lực tác dụng lên vật rắn

.... 166

5.10. Động năng

.„..167

5.11. Định lý động năng, định luật bảo toàn cơ năng và công suất

... 168

5.12. Động lượng và mômen

động lượng của vật rắn....................................-------ccsteecerrree 175


5.13. Động lượng và mômen động lượng của hệ vật rắn

+177

5.14. Định luật bảo tồn động lượng và mơmen

178

: cố...

động lượng...

....................

182

Chương 6. Động lực học không gian của vật rắn
coi.

.............................

190

6.2. Mơmen động lượng

190

6.3. Động năng

..194


6.4. Phương trình chuyển động của vật rắn trong không gian..

198

6.5. Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định
6.6. Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định

On...

gi

Chương 7. Động lực học giải tích
7.1. Giới thiệu
7.2. Ràng buộc và phương trình ràng buộc.

206
212

„¡212

7.3. Tọa độ tổng quát

214

7.4. Di chuyển ảo
215
7.5. Công ảo và lực suy rộng
ea)
7:6: Liên KECIY, CUCIIG sesecsessssscssasescussessersccacesecossseosenassssssinsessetasassuascabusospauseess

biases sates taboos 223
7.7. Nguyên lý công ảo...
7.8. Nguyên lý Hamilton.
7.9. Phương trình Lagrange ..
7.10. Phương trình Hamilton.

Tài liệu tham khảo...

"
229



Chương 1

ĐỘNG HỌC ĐIỂM
Nội dung:

+ Các khái niệm cơ bản về động học của chất điểm
+ Chuyển động của chất điểm từ chuyển động đơn giản cho đến chuyển động phức
hợp
Yêu cầu:
+ Xác định được vận tốc, gia tốc của chất điểm trong các hệ tọa độ: Decartes, cực,

trụ...

+ Xây dựng quỹ đạo chuyển động của chất điểm.
1.1.Giới thiệu

Trong cơ học động học chủ yếu phân tíchmối quan hệ giữa di chuyển, vận tốc, gia tốc

và thời gian xảy ra khi cơ hệ chuyển động mà không xem xét đến các nguyên nhân khác

bao gồm lực và khối lượng cũng như lực quán tính của hệ thống.

Chất điểm được xem xétlà một điểm hoặc một vật rắn có kích thước bằng khơng. Định

nghĩa này có thể khơng phù hợp do hầu hết vật rắn đều có kích thước. Một định nghĩa

khác có thể phù

hợp

hơn, “Chất điểm

được xem

là một vật rắnvới

kích thước

hữu

hạn,chuyển động của tất cả các điểm trên vật rắnlà giống nhau”.
Trong

một hệ quy chiếu tập hợp tất cả các vị trí của chất điểm

được

gọi là quỹ đạo


chuyển động.Nếu quỹ đạo là đường thẳng thì được gọi là chuyển động thẳng hình

1.1a.Nếu quỹ đạo của chất điểm là đường cong thì được gọi là chuyển động cong hình

1.1b.Trong phân tích cơ học, tên loại đường cong thường được sử dụng để đặt cho loại

chuyển động, ví dụ nếu quỹ đạo chuyển động của điểm là đường trịn thì chất điểm
được gọi là chuyển động tròn. Chuyển động theo đường thẳng, đường trịn là hai
chuyển động cơ bản của điểm.
a.

®—————>**

Hình 1.1


1.2. Khéng gian
Trong cơ học không gian Ơ-clit ba chiều được sử dụng-để phân tích động học cũng như
động lực học.Vì vậy, các phép tính hình học Ơ-clit được sử dụng trong không gian này.
1.3. Thời gian
Thời gian là một đại lượng vô hướng thể hiện sự thay đổi liên tụctheo một chiều nhất
định và tuyệt đối. Vì vậy, thời gian được đo trên trục số thực t gọi là trục thời gian. Đơn

vị cơ bản của thời gian là giây (s).
1.4. Gốc, hệ thống tọa độ và quy ước dấu
Gốc tọa độ là một điểm tham chiếu dùng để xác định vị trí và đo lường chuyển động

của điểm.


Hình 1.2
Hệ thống tọa độ gồm

nhiều trục tham chiếu có chiều dương được xác định theo quy

ước. Hệ thống tọa độ bao gồm:

+ Hệ trục tọa độ Decartesnhư hình 1.2a.
+ Hệ trục tọa độ cực như hình 1.2b
+ Hệ trục tọa độ trụ như hình 1.2c

+ Hệ truc tọa độ cầunhư hình 1.2d

10

:


1.5. Vi tri
Vị trí của một điểm A trong khơng gian được xác định bằng cách sử dụng vectơR nhu

trong hình 1.3. Khi điểm A chuyển động, vecto Rsé thay déi độ lớn hoặc phương hoặc

cả hai theo thời gian. Vì vậy, vectơ # là hàm phụ thuộc vào thời gian.
Theo tọa độ Decartes (hình 1.3a):

(1.1)

đ@) = R + R.j+TRR
Theo tọa độ trụ (hình 1.3b):


R(t) = Ri,

(1.2)

+ Rk

Hinh 1.3

1.6. Di chuyén
Di chuyển là sự thay đổi vị trí của điểm đó và được xác định bằng vectơ di chuyển, vectơ
này biến đổi phương, chiều và độ lớn của vectơ vị trí. Như trình bày trong hình 1.4, gia
sử tại thời điểm t¡ điểm ở tại vị trí A và được xác định bằng vectơ Ry. sau khoảng thời
gian f; điểm di chuyển đến vị trí B với vectơ vị trí tương ứng

R,. Nhu vay, vectơ vi tri

R,, dude định nghĩa là vectơ di chuyển hay còn gọi là vectơ độ dời của điểm B so với

điểm A. Vectơ di chuyển có hướng theo cát tuyến nếu chuyển động cong như hình 1.4a
và dọc theo quỹ đạo nếu chuyển động là thẳng như hình 1.4b. Ta có:

lu = Ty

R,

(13)
11



Š

(b)

Hinh 1.4

1.7. Van téc
Vận tốc là một đại lượng vectơ mô tả tốc độ và hướng chuyển động của điểm. Vectơ
vận tốc trung

bình của điểm

được định nghĩa

là tỉ số giữa vectơdi

chuyển(#,„)

va

khoảng thời gian thay đổi vị trí tương ứng(A¿ = í, —í,) như trình bày trong hình 1.4, ta
có:

a, = “toa
th

(1.4)

At


Vectơ vận. tốc trung bình có chiều theo chiều của vectơ di chuyển. Nếu thời gian càng
bé thì vận tốc trung bình càng chính xác.
Vận tốc tức thời (hay cịn gọi là vận tốc) tại thời điểm

khảo sát được định nghĩa

bởi

phương trình (1.5):
t = lim
4 = lim
At>0

At

At>0

R,-R
4

At

A 2 GN

dt

Rs

(1.5)


oe

Nhu vậy, vận tốc được định nghĩa là tốc độ thay đổi của vectơ vị trí theo thời gian.Khi

At => 0, vectơ di chuyển #,„ tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động của chất điểm tại thời
điểm khảo sát. Vì vậy, vectơ vận tốc sẽ cùng phương cùng chiều với vectơ di chuyển.
Như vậy:

,

+ Nếu vectơ vận tốc luôn luôn hướng theo đường thẳng và chỉ thay đổi về độ lớn
được gọi là chuyển động thẳng.
12


+ Nếu vectơ vận tốc sẽ thay đổi phương lẫn độ lớn gọi là chuyển động cong.
Độ lớn của vận tốc điểm có thể được xác định bằng cách thay thế độ lớn của vectơ #,„
bằng chiều dài của cung .1Ø = ds (hình 1.4a); ta có:
As_

ds

v= lim —

/

= —

Ats0 AE


dt

(1.6)

Thứ nguyên của vận tốc là chiều dài/thời gian. Theo hệ thống đo lường quốc tế (SI), don
vị của vận tốc la m/s.

1.8. Gia tốc
Gia tốc là một đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn và chiều của vận tốc điểm

theo thời gian. Như mô tả trong hình 1.5, vectơ gia tốc trụng bình của chất điểm di

chuyển từ điểm A tới điểm Btrong khoảng thời gian Ai:

=.
t,-t,

At

(17)

Chiều của vectơ gia tốc trung bình cùng chiều với vectơ van téc trung binh Ad = 0„ — 0,
và hướng về phía lõm của quỹ đạo.
Vectơ gia tốc tức thời (hay còn gọi là gia tốc) tại thời điểm t được định nghĩa là tốc độ

thay đổi vectơ vận tốc theo thời gian.

B= At>0
Yn


tm Eg
a t
dt

At

At>0 t,

(1.8)

Theo phương trình (1.5), ta có:

.

di

@R_

dt

dt?

a=—=——=R
Nhu vay, vectơ gia tốc là đạo hàm

+
(1.9)

1⁄9


bậc nhất của vectơ vận tốc và đạo hàm bậc hai của

vectơ vị trí theo thời gian. Thứ nguyên của gia tốc là chiều dài/(thời gian)2, theo hệ Sĩ là
(m/5s?).

+ Nếu ø=0, được gọi là chuyển động đều.
+ Nếu a=constant và dương được gọi là chuyển động nhanh dần đều.
+ Nếu a=constant và âm được gọi là chuyển động chậm dần đều.

13


Hinh 1.5

1.9. Chuyển động tương đối
Hệ thống tọa độ được định nghĩa là tuyệt đối nếu nó được xem

là cố định, ngược

lại

được gọi là hệ thống tọa độ tương đối. Xét chuyển động phức hợp của chất điểm P so

với hệ tọa độ di chuyển O:x:y:z¡, hệ tọa độ này chuyển động so với hệ tọa độ cố định

Oxyz (hình 1.6). Chuyển động của P so với hệ cố định được gọi là chuyển động tuyệt đối
(Rio): chuyển động của P so với hệ tọa độ di động được gọi là chuyển động tương đối
(Rize): Chuyển động của hệ tọa độ di động so với hệ tọa độ cố định được gọi là chuyển

déng theo (f, ,ø)- Ta có vị trí của điểm P trong hệ tọa độ cố định Oxyz như sau:


910 = Repo, + Bao

(1.10)

Phương trình (1.10) được đạo hàm theo thời gian ta thu được vectơ vận tốc và gia tốc:

B70 = Fao ==k, Rojo, ++R Foo = Yo, +

ino = boo = 4a, tin

Ag = Uj = Ypjo, +

14

10

tụ /o

= Fn,
+4đọ
go,

ø

(1.11)
(1.12)


Hinh 1.6


1.10. Chuyển động thang
Chuyển động thẳng là chuyển động của chất điểm dọc theo một đường thẳng như hình
1.7. Chọn hệ trục tọa độ một chiều Ox theo hướng quỹ đạo chuyển động và chiều
dương theo chiều chuyển động. Tọa độ của chất điểm tại vị trí bất kỳ A là xsau khoảng

thời gian 4, chất điểm di chuyển đến điểm B có tọa độ tương Ung la x’. Quang đường
di chuyển của chất điểm là Ax. Áp dụng phương trình (1.6), vận tốc của chất điểm:
v= lim À5

At>0 At

=limf—“=
Ato0

At

ae

dt

(1.13)

Vận tốc của chất điểm có thể âm hoặc dương, nếu là dương chất điểm di chuyển theo
chiều dương của trục Ox, ngược lại di chuyển theo chiều âm của trục Ox.

R

A


B

O— Os
i
x

Ax

¬
Hình 1.7

Áp dụng phương trình (1.8), gia tốc của chất điểm:
15


ga

2.

.

ee

dt

(1.14)

dt?

Một hình thức khác của phương trình gia tốc bằng cách thay thế đf từ phương trình (1.13)


g- 2S
dt dp di ay de

(115)

Tương tự, gia tốc của chất điểm có thể dương hoặc âm, nếu gia tốc là dương thì chất
điểm chuyển động nhanh theo chiều dương hoặc chuyển động chậm theo chiều âm
(hình 1.8a). Nếu gia tốc là âm thì chất điểm chuyển động chậm theo chiều dương hoặc
chuyển động nhanh theo chiều âm (hình 1.8b)

(a)
B
«

pee

A
e

°

A
-

B
4—-

A


B

—

a<()

(b)

B

<1

A

—ằẫẲằẳ——————

Oo

vì

“I

v

He

Hinh 1.8.
Từ phương trình (1.11-1.13), chúng ta có thể xác định được vị trí, vận tốc, và gia tốc tại

thời điểm bất kỳ của chất điểm bằng cách thực hiện tích phân các phương trình này:

t

z=z,+ [sát

:
v=u, + fadt

(1.16)

t,

ve

v = 2f adx

1.10.1. Chuyển động với gia tốc không đổi (a=constant)
0=0,
ve

+a(t -t,)
v = 2a(+-— 3)

(1.17)
rh

z=z,

16

“..a.



Vi du 1.1:

Một chất điểm chuyển động dọc theo đường thẳng có phương trình mơ tả sự thay đổi
của vị trớ theo thi gian: ô = 3 6Â? 15t + 40 (m). Xác định thời gian mà tại đó vận tốc

của chất điểm bằng khơng. Tại thời điểm này, xác định:
a. Vị trí và quãng đường chất điểm di chuyển được.

b. Gia tốc của chất điểm.
Giải:

Vận tốc và gia tốc của chất điểm:

v = 3t? — 12 — 15 (m/S)
œ =6

— 12 (m/s?)

Thời điểm vận tốc của chất điểm bằng không được xác định bằng cách giải phương trình:

0= 3 —12— 15 =0
Tìm được: t=-1s(loai), t=5s. Vậy thời điểm mà chất điểm có tốc độ bằng khơng là 5s.
a. Vị trí tại thời điểm t=5s:

z(t =5) = 53 — 6(ð}? — 15(5) + 40 = =60m;
s= z(f = 5) — z(t = 0) = =60 — 40 = ~100m.
Vậy chất điểm di chuyển được 100 m theo phương âm


b. Gia tốc: a(¿ = 5) = (5) - 12 = 18 m/sẺ.
Ví dụ 1.2:
Một con trượt A chuyển động theo mối quan hệ x = 50sin(f - 0,50) (mm). Hay xac dinh
vị trí và gia tốc của con trượt khi vận tốc bằng không và thời gian 0
Giải:
Vận tốc và gia tốc con trượt:

v= . = 50(1- t) cos(t — 0,5¢”) (mm/s)

a= dua = -50 cos(¢ — 0,547) — 50(1 — #)°i sinŒ — 0,5¢?) (mm/s?)
a

Thời điểm vận tốc bằng không tức là:
50(1— £)cos( - 0,5”) =0
Giảiái

phương t trình này,ày, tata tì tìm được t
phương

ve.
TRƯỜNG ĐAI HỌC CƠNG NGHIỆP
TP.HCM

| MÃ VẠCH:..

17


t-0,5t

j

=2/2+ka

>t,

t =1s
,

3

=-1+

a:

1~(z/3+ kz) với keZ

i

t, =1s

t 3 =—l1-.ll-(z/2+kz

Do fs<0 (loại)

Để thời gian trong vùng từ 7 đến 2, ta có
t, =1s
t, = 1,398;

1,978;

Vị trí và gia tốc của con trượt tương ứng với các thời gian đã tìm được:
z(1s) = 23,97mmm

a(1s) = -43,88mm / s?

2x(1, 39s) = 20,57mm val a(1,39s) = —48,7mm / s?
x(1,97s) = 1,47mm

a(1,97s) =—-51,37mm/ s?

Vi du 1.3:

Một chất điểm chuyển động thẳng từ A đến B khoảng cách 100 m với tốc độ hằng số
40m/s. Tại điểm B chất điểm bắt đầu chuyển động chậm dần đều a=8 m/s? tới điểm C

và sau đó quay về điểm A.
a. Hãy xác định thời gian và quãng đường di chuyển từ B đến C
b. Thời gian mà chất điểm chuyển động từ C về A và vận tốc tại A
Giải:

a. Thời gian chất điểm chuyển động chậm dần đều từ điểm B đến điểm C (v.=0)
U =0, +aÝ,„ =

x.-8

=>

=——” =

a

=56

Quang đường di chuyển từ B đến C:

e

BC = Uytyo + ae

b. Quãng đường AC=AB+BC=200 mm
Sử dụng phương trình (1.13) ta có:
—

đu

a=ve.

dx

Và v=—
° dt

18

5?

= 40(5)- 8 7"

¬

=> & = 2 (0Ạ — 92)
> r=(v,-v)t
(4
2

100m


Thế a=-8, vc=0, x=100 m vao 2 phugng trinh trén ta co: t=7,1s va va=56,57 m/s

1.10.2. Chuyển động với gia tốc thay đổi (a zconstant)
Bởi vì bị ảnh hưởng bởi ngoại lực hoặc ràng buộc, nên vị trí, vận tốc và gia tốc của chất
điểm có thể là một hàm thay đổi theo thời gian. Ví dụ, vị trí của chất điểm được mô tả
như sau:

+z =5? +60 +1

Hoặc gia tốc thay đổi theo vị trí như:

a=9#” +5
Ví dụ 1.4:

Một chất điểm chuyển động theo quãng đường được mô tả bởi phương trình sau.
+ = 100sin(0,1z) +10 (m)

Hãy xác định quãng đường mà chất điểm di chuyển trong khoảng thời gian t=0 tdi t=7s.
Giải:

Vị trí của chất điểm tại thời điểm:

t=0>z=10m
t=7s >2

=90,9 m

Thời điểm vận tốc của chất điểm đổi chiều được xác định:

v= “ = 10Z cos(0,1z£) = 0 > t= i

+ «i

kez

Chi k=0 thi 0Tai t=5 s, vi tri cll chat diém la:

x = 100sin(0,1x5z) +10 =110m

Như mơ tả trong hình 1.8, tổng qng đường chất điểm di chuyển là:

s= AB
+ BƠ = (100—
10) + (110— 90,9) = 119,1m

19


Goe
tọa độ

pbs

e

t=5s

—>

v=l0m

.

7s

x=90.90 m
>

x=110m

Hình 1.9. Giải thích cho ví dụ 1.8

Ví dụ 1.5:

Một tên lửa được phóng thẳng đứng như hình 1.10, với gia tốc a =6,2+0,01y (m/s2).Hãy
xác định quãng đường tên lửa di chuyển khi vận tốc tên lửa v=400m/s. Biết thời điểm
ban đầu v=0, y=0.

[

Hinh 1.10

Giải:
Do gia tốc là hàm theo di chuyển, sử dụng phương trình(1.16) trong đó vị trí x được

thay thế bởiy, ta có:
a= Tả]
dy

2+ 0, Oty =

fod =f( 6,2 + 0,01y) dy =v" = 2] 6,2y 4 20ly"
Oly?
0

0

2

Khi v=400 m⁄s, vị trí của tên lửa tại thời điểm này được xác định bởi:

400° = 12, 4y + 0,01y?
Giải phương trình trên ta được: y=3427,8 và y=-4667,8 (loại: do tên lửa di chuyển theo
hướng lên).

Quãng đường tên lửa di chuyển là: 3427,8 m.

20


1.10.3. Chuyển động phụ thuộc
Với hệ chất điểm, vị trí của chất điểm này sẽ phụ thuộc vào vị trí của một hoặc vài chất

điểm khác. Chuyển động của những chất điểm này được gọi là chuyển động phụ thuộc.

Ví dụ, vị trí của M› phụ thuộc vào vị trí của M: như trình bày trong hình 1.11, ta có:
Chiều dài sợi dây: 48+ 8#C+CD+ DE = constant© 2y; + y, = constant

Trong đó: y,và y;là vị trí của khối lượng M¡ và M›. Nếu khối lượng M¡ đi xuống một
đoạn Ay,, khối lượng M: di chuyển một đoạn Ay; = -Ay, /2. Dấu “-” có nghĩa là Mì và Ma

chuyển động ngược chiều.

Hình 1.11.
Từ mối quan hệ vị trí giữa các chất điểm, chúng ta cũng sẽ có tương tự mối quan hệ vận
tốc và gia tốc của chúng bằng cách thực hiện lấy đạo hàm 2 vế của mối quan hệ vị trí
theo thời gian. Như ví dụ hình 1.11, mối quan hệ vận tốc và gia tốc được xác định:
dy

dy,
Fh 2
= 40

dt

dt

đu

du,

dt

dt

0, +20, =0

—14+2—
=
oa, +2a, =0

1.11.

‘

Chuyén déng cong

1.11.1. Van tốc và gia tốc trong hệ tọa độ Decartes
Theo phương trình (1.1), (1.5) và (1.9), vận tốc và gia tốc của chất điểm M trong tọa độ
Decartesnhư sau:

a= ah _ dR, ÿ + an

ad

—

Sey

at

mem

9

=Vt+vU
+
+ —A
dk, k=u2+øj+øE

a

Tt

v

L.
(118

8)

21


ga

o

dv.
= Sei

dv.

dv je Dhaai
taj + tak 7

(1.19)

Trong đó, thành phần vận tốc và gia tốc của chất điểm M theo trục Ox, Oy va Oz:
dR,
vy =—;
0
edt"

2=

*

dv

—;

ak,
=—))
dt

dv,

vu =
7

a=—j;a=

dt

m

dt

:

aR,

dt

dv

dt

(1.20)

z

Độ lớn của vận tốc và gia tốc:

lo| =_ fe? [2 +? 2 +0, 2

(1.21)

lị = fe +a) +aŠ
Ví dụ 1.6:

Một chất điểm M được ném lên với vận tốc 200 m/s hợp với phương nằm ngang 45° tại
một vị trí có độ cao so với mặt đất 175 mm

như hình 1.12. Bỏ qua lực cản, hãy xác định:

a. Vị trí chất điểm M rơi xuống mặt đất.

b. Chiều cao lớn nhất mà chất điểm M có thể đạt được.
Giải:
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ;

Chuyển động theo Ox là chuyển động đều z, =0, chuyển động theo Oy là chuyển động
chậm dần đều do a, =—10 m/s? (gia téc trong trường). Vận tốc theo phương Ox:
0„ = 200cos45”

= 141,42 mm/s;

Vận tốc ban đầu theo phương Oy là:
w=

200 sin 45° = 141,42 mm/s;

Phương trình thành phần vận tốc theo phương Ox và Oy:
c=ut
v =u
y

oy

1

+at

vt + at

>

y

=y

x = 141,42¢

(a)

4v =141,42-10¢

(b)

y

1

141, 42¢ — s10” =ỹ

(c)

a. Tại điểm tiếp đất y=-175 m thế vào phương trình (c) thời gian chất điểm đi chuyển là
t=29A7s

22


b. Chiéu cao Idn nhat tai dé w=0 >t = 141,42 /10 = 14,142 s, thé gia tri t vao phuong
trình (c) ta có: y=999,98 m.

Hình 1.12

1.11.2. Vận tốc và gia tốc trong hệ tọa độ tiếp-pháp tuyến
Chất điểm M chuyển động trên một đường cong tại thời điểm t chất điểm ở tại vị trí A,
sau khoảng thời gian A¿ chất điểm ở tại vị trí B như trình bày trong hình 1.13. Gọi ¿()là

vectơ đơn

vị theo phương tiếp tuyến, quỹ đạo chuyển động tại điểm A có chiều theo

hướng chuyển động. Khi chất điểm tại điểm B có vectơ đơn vị i(t + Af). Vận tốc của
chất điểm M:

ư = tê

(1.22)

Zz

Cc

ittat)

Ko

HO

⁄Z ee

Ai

wo int

"

iy

t)
i(t+At)

Hinh 1.13

Đạo hàm phương trình (1.22), gia tốc của chất điểm M:
23


=a=—t +u—
đ 7
đt

(1.23)

Trong đó:

dt.

Hhdt

Hy
A0

(t+

At)—i(t

PO At

At

hen Ể,
At>0 At

(1.24)

Theo hình 1.13 ta có:

Ai, = Ati, = AA(1)i,

(1.25)

Với À là góc hợp bởi vectơ đơn vị ¿()vài (t +Af), i, là vectơ đơn vị theo phương pháp

tuyến với quỹ đạo chuyển động. Gọiø là bán kính vịng trịn mật tiếp của quỹ đạo tại

điểm A và độ dài cung 4

= As nên ta có:

a=

(1.26)

?

Gia tốc của chất điểm M được viết lại như sau:
a=

du-

vds-

+
5
—i+——i
di’ pdt"

1.27
G27)

Như vậy, gia tốc của chất điểm M gồm có 2 thành phần: gia tốc tiép tuyéna, = S cùng
phương

với vectơ đơn vị 2 (/)nhưng chiều có thể cùng hoặc ngược với vectơ đơn vị

2 (0). Điều này có nghĩa là gia tốc có thể âm hoặc dương phụ thuộc vào dấu của =
.

Do

2

v= `, gia tốc pháp tuyến a, = “ln ln dương và có phương, chiều theo vectơ

dt

p

don vi i, có nghĩa hướng về tâm của đường cong quỹ đạo.
Ví dụ 1.7:

Một ơtơ đang chuyển động trên một cung trịn có bán kính R=700m với tốc độ 100
km/h đột ngột giảm tốc, sau 10s tốc độ của ô tô là 80 km/h, trong khoảng thời gian này

gia tốc tiếp tuyến không thay đổi. Hãy xác định gia tốc của ô tô tại thời điểm bắt đầu
giảm tốc.

24


Hinh 1.14
Giải:
Đổi đơn vị:
100 km/h=27,8 m/s; 80 km/h=22,22 m/s

Gia tốc tiếp tuyến của ô tô trong khoảng thời gian giảm tốc:

ST TE - ~0,56 m/s?<0 (ngược chiều chuyển động)

a, = A28

10

Gia tốc pháp tuyến tại thời điểm bắt đầu giảm tốc:

_ 3178
2

a

:

2

1m/s?
i

700

Gia tốc của ôtô:
a= Nư

+ a

= 1,23 m/s?

1.11.3. Vận tốc và gia tốc trong hệ tọa độ cực

Xét chất điểm M chuyển động trong mặt phẳng theo quỹ đạo như hình 1.15. Tại thời
điểm t, chất điểm ở tại vị trí A, gọi 2 (/)và 7,(t) la vecto don vị tại điểm A. Sau khoảng

thời gian 4, chất điểm di chuyển tới vị trí B, tại B vectơ đơn vị tương ứng là i, (t+ At) va

i,(t + At).
._ Vectơ vị trí của chất điểm M được viết như sau:

Fat,

(1.28)

Đạo hàm phương trình trên, ta có vận tốc của chất điểm M
v=

đt

dựa

—=—¡
dt
dt’

+

di,

+r—
dt

129

ao)
25