hàm phức và phép biến đổi laplace
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (24.83 MB, 172 trang )
Ngo Ngoc Hung (Chu bién)
Nguyễn Đức Phương
Lã Ngọc Linh
Hàm phức và
Phép biến đối Laplace
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP
THANH PHO HO CHi MINH
Ngô Ngọc Hưng (Chủ biên)
Nguyễn Đức Phương
Lã Ngọc Linh
Hàm phức và
Phép biên đổi Laplace
NHÀ XUẤT BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP
THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH
Loi noi dau
Được sự đồng ý của Ban giám hiệu cũng như của Ban lãnh đạo Khoa
Khoa học Cơ bản, cùng với sự góp ý của các thầy cơ giáo trong bộ
mơn Tốn, nhóm tác giả xin giới thiệu đến các thay cơ và các em sinh
viên giáo trình Hàm phức và phép biến đổi Laplace. Nội dung giáo
trình được chia thành 5 chương:
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
Chương 2. Hàm biến phức
Chương 3. Tích phân hàm phức
Chương 4. Chuỗi và thặng dư
Chương 5. Biến đổi Laplace
Các kiến thức được trình bày ngắn gọn kèm theo các ví dụ minh
họa có lời giải chỉ tiết. Để giáo trình khơng q nặng tính lý thuyết,
hau hét cdc chứng minh của các định lý khơng được trình bày, các
em sinh viên quan tâm có thể xem thêm trong các tài liệu tham khảo
được nêu ở ci giáo trình. Sau mỗi chương đều có các bài tập sát với
chuẩn đầu ra của mơn học.
Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Khoa
học cơ bản đã tạo mọi điều kiện để nhóm tác gia hoan thanh tai liéu
nay, đồng thời cảm ơn những nhận xét, góp ý và phản biện của các
đồng nghiệp để quyển giáo trình được hồn thiện hơn. Nhóm tác giả
hy vọng răng giáo trình này sẽ là người bạn đồng hành và giúp ích
nhiều cho sinh viên và giảng viên trong quá trình dạy và học môn
Hàm phức và phép biến đổi Laplace.
Trân trọng!
Thành phơ Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2023
Các tác giả
Trang thơng tin giáo trình
Wrtp8 ://github.com/khoacoban/hamphuc
Nhằm tạo cầu nồi giữa các tác giả va ban đọc, chúng tôi đã thiết lập
trang thông tin hỗ trợ tại địa chỉ trên. Ở trang này chúng tôi sẽ:
Tiếp nhận phản hôi của độc giả: Mặc dù đã rất cơ gắng nhưng trong
q trình biên soạn chắc chắn khổng thể tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tơi mong muốn tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp
của các đồng nghiệp và của các em sinh viên để giáo trình được hồn
thiện hơn trong những lần tái bản sau này.
Thơng tin các sai sót: Chúng tơi sẽ đăng các lỗi, các bản đính chính
tại trang thông tin này.
Các tác giả
Muc luc
Loindidau...
2...
Trang thơng tin giáo trình
1
Số phức và mặt phẳng phức
11 Số phức và các phép tính.................L2
1.3
14
2_
Matphane phic...
cs
is ca ae gest
mew mas
Dudng cong va mién trong mat phẳng phức.......
Lod
T.ƯỢHEÔNE sa: š ép kg
Bỉ K BÀ
132
Mién
.......
2.000... eee
eee
Bàitậpchương1.................
Hàm biến phức
21
2.2
2.3
24
Hàmbiếnphức
.......................
2.1.1
Địnhngha......................
2.1.2
Phần thực và phần ảo của hàm biến phức....
Phép biến hình thực hiện bởi hàm biến phức
2.3.1
Giới hạn của hàm biến phức............-
282
DU
2.4.1
Diéu kién kha vi Cauchy Riemann
Daoham
243
25
2.6
......
Giới hạn và liên tục..............Ặ.Ặ
24.2
3
So
....................-
244
«sei
w¡
ác
eee
đi
m2
B6
5 ĐƠ š Đ 5
ý B9 BE E 5
REMEBER
ER EMER EH EMER
Cacquy tactinhdaoham
........
.............
Hàmgiảitch.....................
QuyiielLiEnBpHB
so: s ty bự b8 v1 ba vi rẻ
Hàmđiềuhịa........................
Bàitậpchương2.....................
Tích phân hàm phức
31 Tích phân đường hàm phức
................
18
18
18
18
19
22
22
24
25
26
29
30
đi
SL
33
38
Mục lục
Trang ii
B11
32
3.3.
3.4
3.5
4_
$12.
TirhehGt..
DinhilyCauchy
... wn
cei
ER ER ER HE BEY
meh
cs icaurwreeeenesaaasee
eyes eee eee
eesw
ew ew
Tich phan khơng phụ thuộc đường đi..........
Cơng thức tích phân Cauchy................
20
0000 eee
Baitapchuong3..........0
Chuỗi và thặng dư
4.1
4.2
AS
44
4.5
Dãy số phức và chuỗi số phức.............. -
411
4.1.2
4.6
4.7
Chuỗisôphức..............-.-
ChudiTaylor
.....
:. cs ceca
0.0.0.0...
ee
eee
enu ces
eees
eeean
4.3.1
Khai trién Taylor cua ham giaitich ........
44.1
Khai trién Laurent cla ham giaitich
4.3.2. Phuong phdép khaitrién ..............
ChuéiLaurent........0.0.0. 00000000
ee ee
.......
..............
4.42.
Phương pháp khaitriển
451
452
TĐHỮNHEHĨA: sz sẽ £a HS
Ho Ho BH
pm
Phânloại.....................
..
Điểm bất thường cơ lập của hàm giải tích
Khơng điểm củahàm giảitích
.........
..........
43
45
48
51
53
59
59
59
60
63
65
65
66
69
69
72
77
78
78
81
Diểm bất thường cơ lập tại vơcùng
46.2
Địnhlýthặngdư ..................
............
91
47.1
Tíchphândạng1..................-
91
.......
Thặng dư và định lý thặngdư...............
461
Thane du’ isi eixiareimiwinsw
ewes
Ung dung thang du tinhtichphan
47.3
Tíchphândạng2..................
Tíchphândạng3..................
Bài tập chương4........ [PER
UR
ER ER HH EH,
Bién déi Laplace
51
39
4.5.4.
472
4.8
Days6phitc.... 2.2.
ee..
eee
Chudildy tha
4.5.3.
5
Cachtink
Địnhnghĩa và điều kiện tổn tại..............
511
Mộtsố ví dụ biến đổi Laplacee...........
5.1.2
Tính chất của biến đổiLaplae
514
Biến đổi củatíchchập
5.13
..........
Biến đổi của hàm tuầnhoàn............
...............
83
84
84
88
93
96
100
109
109
111
114
122
124
Mục lục
5.2
5.3
Trang iii
Phép biến đổi Laplaengược
Các phương pháp tìm biến đổi Laplacengược
55
......
125
126
5.3.1
Sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace . . 126
5.3.3
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản...
129
Ứng dụng phép biến đổi Laplae.............
137
532
5.4
...............
Sử dụng địnhlýBorel..............-
53.4
Sửdụngthăngdư.............-:....-
5.4.1
5.4.2
Giải phương trình vi phân tuyến tính ......
Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính.....
543 Giảimachđiện ...................
Bài tập chương5................ co.
128
132
137
140
142
150
A Tính chất biến đổi Laplace
157
B
Bảng đối chiếu gốc và ảnh
158
C
Cac ham sé so cap
159
Trang iv
Muc luc
Chuong 1
Số phức và mặt phẳng phức
Trong tập số thực, một phương trình đại số đơn giản nhất x? + 1 =0
khơng có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta đưa vào
khái niệm số phức. Trong tập số này, mọi phương trình đại số đều có
nghiệm.
11
Số phức và các phép tính
Định nghĩa 1.1. Số phức là số có dạng z = x + iy, trong đó x tà ự là số
các thực va i la don vi do (2 = —1).
Số thực x được gọi là phần thực của z, ký hiệu Re(z) va y la phần
ảo của Z, ký hiệu là Im(z). Nếu x = 0,
# 0 thì z = 7 được gọi là
số thuần ảo. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C. Chẳng hạn nếu
z—= 4— 9i thì Re(z) = 4, Im(z)= —9.
Định nghĩa 1.2. Hai số phức Zị = xì + 11, Z2 = 12 + 1y2 được gọi là
bằng nhau nếu phần thực va phan ảo của chíng tương ứng bằng nhan.
Ví dụ 1.1. Tim x va y, néu (x + y) + i(x — 2y)= 3i.
Giải. Dùng định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta thây x và
phương trình
+
y=
— 3
0
Il
wo
{3
x
Ly
x=
= =k
thỏa hệ
1
Định nghĩa 1.3. Số phức Z = x — i được gọi là số phức liên hop của
š—=#+ï.
Trang 2
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
Định nghĩa 1.4. Với các số phức z† = xì + iV1,Z2 = Xa +ia,z = x + 1U,
ta định nghĩa các phép tinh sau
® Phép cộng
ZI+Za2a=
(x1 + X2) + i(y1 +2)
s Phép nhân
Z1Za = (X1X¿ — 192) + 1(%1a + %2)
® Phép chia
Z1
>
_—_ 2122
ai
he (v6i z2 #0)
.
Tính chất 1.1. Phép cộng 0à pháp nhân có các tính chat sau
® Giao hốn
ZI + Z2 =Z2+Z
Z1Z2
=
222}
° Két hop
21 + (22 +23) = (21 +22) +23
21 (2223) = (2122)23
© Phan phoi
Z1(Z2 + Z3) = 21Z2 + 2123
Ví dụ 1.2. Cho hai số phức zỊ = 1 + 2i,z¿ = —2 + 3i. Ta có
s Phép cộng
Z¡ +Za = (1—2)+¡(2+3)
= -1+5¡
s Phép nhân
Z1Za = (1+2i)(—2+3i) = 1.(—2+3i) +2i.(—2 +3i)
= ~2+3i
— 4i + 6? = —8 —i.
Trang 3
`1,2 Mặt phẳng phức
se Phép
chia
za
Zz
1+2i | 142i -2-3i
—2+3i
—2+3i —2-3i
-2-3i-A4i-62
"1+6. 6-9
4
13
7,
13”
Tính chất 1.2. Cho hai số phức z4 = xì + iV, z2 = xa + i2 ta có
1. Z¡J+Za—Z12+22
Chứng minh. Bạn độc tự kiểm chứng.
1.2
Mặt phẳng phức
Về mặt hình học, số phức z = x + iy
được biểu diễn bằng điểm (z,y/) trong
mặt phẳng Oxy. Mặt phẳng Oxy biểu
diễn số phức được gọi là mặt phẳng
phức. Trục Ox được gọi là trục thực và
trục Ơự được gọi la truc do.
Khoảng cách r từ O đến số phức z
dugc goi la modul của z và ký hiệu là
|z|. Modul của z được xác định bởi
r = |zÌ =
Hình 1.1
x2 +?
= =
5
7
Góc gy = (Ox, Oz) cé tia dau Ox va tia cudi Oz, xac dinh sai khac
k27r (k Z), được goi la argument cua z, ky hiéu la Argz. Argument
ø của z thỏa mãn
—n < @<7I
(theo hướng gần nhất từ Ox đến Oz) được gọi là giá trị chính và ký
hiệu là ø = argz.
Nếu z là số thực dương thì argz = 0, z là số thực âm thì argz = 7.
Nếu z = 0 thì argz khơng xác định.
Trang 4
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
Chú ý. Khi khơng nói ø thuộc khoảng nào, ta hiểu ø là giá trị chính.
Từ hình 1.1, ta thấy đổi biến
x=rcos@
y=rsing
Suy ra
z=r(cosg+ising)
được gọi là dạng lượng giác của z.
Định lý 1.1 (Công thức Euler). Cho số phức z = x + iy cé dang luong
gidc z = r(cosg +isin @). Ta có cơng thitc Euler e'? = cosy + ising. -
Số phức có dang mii z = re'?-va Z = re~'?.
Chú ý. Để xác định ¢ ta căn cứ vào phương trình tan ø = 4 và xét
xem z nằm ở góc phần tư nào của mặt phẳng phức, với lưu ý rang
nếu x = 0 thì
mm
ĩ
nếu
> 0
5”
nêu/<0
Tính chất 1.3. Với mọi số phức z = re'?, zị = rạeÌP1, z¿ — rạe!®2, ta c6
lL. 2422
.
=
rirael(®I+2)
2
rN
Z2
T2
Z
ii. “L = _tel(I—?2), nếu Z2 #0
lii. z" = r"e!"?, uới n €TĐ
Ví dụ 1.3. Xác định modul |z| và argument ø của các số phức
a
z=i
b. z=-V3-i
Giải.
a. |z|= W0 +12=1,p= 5 (hình 1.2)
1.2 Mặt phẳng phức
Trang 5
:
:
—V3—i
⁄
(a)
-1
¬
(b)
Hinh 1.2
b. |z|=
W(—V3)2
+ (—1)2 =2,
tan ợ = ->_
v3
Hư y Ta
ra
`...
6”
do z nằm ở góc phần tư thứ ba của mặt phẳng phức (hình 1.2b).
Ví dụ 1.4. Viết dạng lượng giác và dạng mũ của các số phức
a. z=1-iV3
b. z= —V2+iVv2
Hinh 1.3
Giai.
a. Taco r = |z| =
1/12+ (—V3)? = 2. Do tang = —V3 vaz nam
ở góc phần tư thứ tư của mặt phẳng phức suy ra ø = =” (xem hình
Trang 6
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
1.3a). Vậy
z=2 cos
b. Ta có r = |z| =
(=)
+isin
1)
ex Bl 2).
(—v2)2 + (v2)2 = 2. Do z nằm ở góc phần tư
thứ hai của mặt phẳng phức và tan ø = —1 nên ø = ae (xem hinh
1.3b). Vay
z=2 (=Ÿ
Ví dụ 1.5. Viết dưới dạng
mũ số
ne
Ốc
Giải. Ta có
+isin)
¬--
P
= 2e,
phức z = Tả
V3 +i
ga VEE
_ V22 (#-§) _ V23
2e!5
j3?
Tính chất 1.4.
1.
..
i.
|z1za| =
|Z1
|—|
Z2|
|Z1||z2|
lz] _;¿
= —,néuz.
|Zza|Í
7
#0
iii. |z"| = |z|"
Định lý 1.2 (Cơng thức Moivre). Cho z = r(cosg +ising) # 0. Khi
đó, ta có
1. Lữụ thừa
z"=r"(cosng+isinng),
i.
voine Z.
Can bacn
Vz=
Vr (cos ?*
k2
n
voin€N,n>2,k=0,1,...,n—1.
Chung minh.
k2
= +isin f— =)
—
;@+k2n
re“
1.2 Mặt phẳng phức
Trang 7
1. Với n > 0, theo Định lý 1.3
z" =r"(cosng +isinng).
Véin < 0, datk = —n > 0, ta có
[r(cos ø + isin ø)]” = [r(cos p + isin g)]~*
1
_
1
*(coskp + isinkg)
[r(cosp+ising)]*
=
coskg —isinkg
_k
=
rt(cos2kø + sin2kø)
"
—k
—k
r~”|eos(—kø) + isin(—kø)]
= 7”(cos ~ợ + ïsin 0)
ii, Dat w/z = p(cos@ + isin®@), vin € IN, n >2. Khi dé
p"(cosné + isinn@) = r(cos ø + ïsin 0),
Suy ra
p" cosn@ = rcosg,p" sinné = rsing,
hay
gs BP
STE yo,
Nhu vay
a=
Y= Vi
(cos 2*
k2
n
= + isin 2
Ta chiing minh %/Z cé n gia tri t0ọ, 10, ....,10„—
Thật vậy, với 0 < s < † < m—
1, ta có
Argw; — Argws
Do0
< ft
=
k2
*):
ứng với k = 0,1,...,w — 1.
@+ 22 _ p+s27x — 2(E—s)7C.
n
A
A
hiéu t — s khOng chia hét n, vi vay w, # ws. Mặt
khác, số nguyên k có thé viét dudi dang k = pn+q,0 @+k2n _ p+2(pn+q)n_ p+ 427
27
n
n
n+
Pere
nghia la Argw, = Argw, + p27, suy ra Wy = Wg.
Nhận xét. Căn bac n cua z # 0 cd diing n gia tri khác nhau.
Ví dụ 1.6. Tính các số phức
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
Trang 8
a. (1-9
b.
(v3+j)"10
Giải:
--<|=(#)+se()]
a. Ta có
Suy ra
(1— 1
= (y2) (cos “=
+isin a)
= 2° [cos(~257r) + isin(—257)] = —2°°.
b. Ta có
V3+i=2(cos
= + isin=).
Áp dụng cơng thức Moivre, ta có
= 2710 (cos —
(v3 E ju
6
_
=3
5-10
1
+1sin
3")
1
v3
v3
(ï+22)- —
6
mi
Ví dụ 1.7. Tính
a. 8
b. ở1+¡
Giải.
a. Ta có dạng lượng giác
8 = 8(cos0 + isin0).
Do do
B=
8 (cos 922
+ isin
$2)
|
k=012.
1.3 Đường cong và miễn trong mặt phẳng phức
Trang 9
Vậy Ÿ8 có ba giá trị là
z0 = 2(cos0
+ /sin0) = 2,
10 = 2 (cos
10a = 2
3
+ isin)
3
= -1+iv3,
si
= —-1—iV3.
mao”
3
b. Taco
8
.
ma
.,
1+i= V2 (cos = +isin >).
Suy ra
Š
+k27r
te = VFI = {V2 (cos #7
—
=
8
m+k8r
Vi (cos
16
. . 74 +k87Z
+isin
⁄#
+isin 4
16
+k27m
)
b
với k = 0,1,2,3.
1.3.
Đường cong và miễn trong mặt phẳng phức
1.3.1
Duong cong
Gia six = x(t), y = y(t) la cac ham thực, xác định và liên tục trên
[t1, t2] cua dudng thang thuc. Khi dé phuong trinh
z=x(t)+iy(t),
h
biểu diễn tham số một dudng cong C trong mặt phẳng phức. Các điểm
2(ty), Z(t2) lần lượt được gọi là điểm đầu và điểm cuối của C.
Ví dụ 1.8.
a. Duong tron tam a bán kính z có phương trình
z=a+r(cost+isint)=a+re",
x
2
b. Ellip ø +
v?
p2
t € [0,27].
= Ì có phương trình
z=acost+ibsint,
t € [0,27].
Trang 10
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
c. Đoạn thăng nói điểm z = z¡ đến điểm z = z; có phương trình
z=zIq+(za—zi)f,
te [0,1].
Ví dụ 1.9. Xác định duong cong C cho bởi phương trình
ch z=I+rf
(0 <<
+).
b. z=t+it?
(—co
Giai.
Ụ
=
tỳ
| b¬
a. Tir biéu thitc cha z ta suy rax =tvay = + Khử ¡, ta được
,
(x>0).
Vậy đường cong C là nhánh hyperbol nằm ở góc phần tư thứ nhất
trong mặt phẳng phức.
b. Từ biểu thức của z ta suy ra x = f và
ÿ=—=*x”,2
—œ®<*<
= . Vậy
+.
Đường cong C 1a parabol y = x?.
y
O
oy
O
x
(a) Jordan
%
(b) Khơng Jordan
Hình 1.4
Phân loại đường cong:
° Đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là
đường cong đóng hay đường cong kín.
° Đường cong khơng có điểm tự cắt được gọi là đường cong Jordan
(hình 1.4a). Đường cong Jordan kín cịn được gọi là chu tuyến.
1.3 Đường cong và miễn trong mat phẳng phức
Trang 11
s Đường cong C : z = x(f) +i(f),ị < t < t được gọi là trơn
nếu các đạo hàm z(£) và 1'(£) liên tục trên đoạn Hi, fa| và không
đồng thời bằng không trên khoảng (1, f2).
s Đường cong tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được
gọi là đường cong trơn từng khúc.
13.2
Mien
Lân cận e > 0 của zọ (# œ) là hình trịn tâm zọ bán kính e
U;(zo) = {z e C| |z— zo| < £}.
Lân cận e của z = œ là lz| > e. Tập D C C được gọi là miền nêu thỏa
hai điều kiện:
s Với mọi zọ € D, tổn tại lân cận LI;(zạ) CD.
« Với mọi a„b € D, tồn tại đường cong C nằm trong D có điểm
đầu là z, điểm cuối là b.
Ví dụ 1.10.
a. Tập D = {z € C| |z—2—¡| < 1} là miền (xem hình 1.5a).
b. TậpD = {z€C||z—i|< 1}U
{z e C|Im(z) < 0} không là
miền vì với z thuộc hình trịn |z — ¡| < 1 và b thuộc nửa mặt
phẳng dưới Im(z) < 0, khơng tổn tại đường cong C CD có
điểm đầu là a, điểm cuối là b (xem hình 1.5b).
Trang 12
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
s Điểm zọ được gọi là điểm biên của miền D nếu trong lân cận bắt
ky cua Zo đều có điểm thuộc D và điểm không thuộc D. Tập hợp
các điểm biên của miễn D được gọi là biên của D, ký hiệu là oD.
Nếu D là miễn thi D = D U@D gọi là miễn kín hay miền đóng.
® Ta quy ước chiểu dương của biên 9D là chiều khi ta đi dọc theo
biên đó sẽ thấy miền D nằm về phía tzự trái. Mũi tên trong hình
1.6a cho ta chiều dương của biên C.
s Xét miễn D giới hạn bởi chu tuyến C. Miền này được gọi là miền
đơn liên (hình 1.6a), C chính là biên của D.
s Nếu D giới hạn bởi hai chu tuyến C¡, Cạ không giao nhau, thì
miễn D được gọi là miền nhị liên (hình 1.6b). Giả sử C¡ là đường
ngoài, C; là đường trong. Miễn D vẫn là miễn nhị liên trong
trường hợp đường C; suy biến thành một điểm hay một đường
cong. Tương tự, ta có thể định nghĩa miền tam liên, tứ liên, ...
Ví dụ 1.11.
a. Biên của D trong hình 1.8(a) là đường tròn |z — 2 — /| = 1.
b. Biên của nửa mặt phẳng dưới Im(z) < 01a truc thuc Ox.
(a) D 1a mién don lién
(b) D 1a mién nhi lién
Hinh 1.6
1.4
Bài tập chương 1
Bài tập 1.1. Thực hiện các phép tính
1.4 Bai tap chuong 1
:
_a.(5—-6)+(2+4i)
'—
< 243i
5+4i
_ _ a+i?
` Ø+0q+?2i)
_ (3—2i)(1 +21)
}`4-3ù
1+0
d. (1+2i)4
ô (iVƠ2)8
e. (ve-+iv2)2(Ve
iv?)
ù (3H)
b.(2-3)(4+j
f. (1+i)?(1i)3
8: somes
1+i)(1 2i)
i
Trang 13
JES
n. ¥5— 12i
a el
a cences)
p. V~1—i2v2
a. 4
e. V6—iVv2
b. 3i
f. 2V3+2i
c. —2i
g. —V2+iV5
d. —2+2i
h. 12— 5i
Bài tập 1.2. Biểu diễn hình học và viết dạng lượng giác và dạng mũ
Bài tập 1.3. Viết dưới dạng mũ
a. A=(2-2/)(3+i3V3)
c C=(4+4j)(-1+j)
‘a= "
a= TT
Bài tập 1.4. Tính modul của các số phức
a. (1=iv3)(v3+j)
bù
cỄ
3— 4i
Trang 14
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
c.(1—i2
e. (2—3i)?(3+i)4
(3+ 4i)°
d. (—3
+ 4i)$
_(1+¡v32
Bài tập 1.5. Giải các phương trình
a.Z—2Z+5—6i¡=0
c. |z|®+1+
6i =2z
b. (Zz)?
= 4z
d. |z|—z=3+¡
Bài tập 1.6. Chứng minh với mọi số phức z, z1, z2
a. |Z| = |z|
c. far +201 < lzi| + [zal
b. |z|* =z.z
đ. |lzi|
— |zs|| < |zì
— za|
Bài tập 1.7. Chứng minh rằng
a. nếu |z| = 1 thì2 < |z3
— 3| < 4
b. nếu |z| = 2 thì |z+6
+ 8i| < 12
Bài tập 1.8. Chứng minh rằng nếu u + iv = (x + iy)” thì „2 + ø2 =
(xˆ + ^)”, với n là số nguyên dương.
Bài tập 1.9. Chứng minh rằng ƒ(z) = áo + đ1z + -- - + anz" = 0 nếu
ƒŒ) = 0, với a¿ (k = 0,1,...,m) là gố thực.
Bai tap 1.10. Cho w = “ =
|w| <1.
- Chứng minh rằng nếu Im(z) < 0 thì
+1
&
1
1...
.
Bài tập 1.11. Băng cách xét tích của 1 + sĩ val+ 3h chung minh
1
1
arc tan an,= Tate tan ahs= =
—a
Bài tập 1.12. Sử dụng công thức Moivre hãy biểu diễn các hàm sau
theo lũy thừa của cos x, sin x
Trang 15
1.4 Bai tap chuong 1
a. cos2x, sin2x
c. cos4x, sin4x
b. cos3x, sin3x
Bài tập 1.13. Tính các số phức
a. (1+¡iv3)°
L
b. (2 —2i)°
(
|
(vata
)
q~ i31
e. (=v2+iv6)*
f.
1+iv3)3
1
m. —=—.
(/3 —i)4
c. .v5+0°
( V3 + i)
d. (1+9
1
R 21206.
i)~6
5° GH
1—¡iv3
_XI=i
3/-
h. Vi
i YI
1+iv3
POT
i. 9
b V8
k. (1 —i)9(V3
+ i)-3
+
1+iv3
11-8
4
10
Bài tập 1.14. Tính và viết đưới dạng mũ
a. Ÿ-2+2i
b. VV3+i
c. W-4+3i
Bài tập 1.15. Giải phương trình trong C
a. x7+2x+9=0
b.x?+8=0
c. xt-x74+1=0
Bài tập 1.16. Cho biểu thức Á = 1+iie
a. Tính biểu thức trên dưới dang A = x + iy.
b. Viết dạng mũ của A, suy ra dang lượng giác, từ đó tính cos =
V a sin _
rt
12
Trang 16
Chương 1. Số phức và mặt phẳng phức
Bài tập 1.17. Tính lần lượt căn bậc 2, 3, 4, 6 của số phức 1 và biểu diễn
các giá trị đó trên đường tròn lượng giác.
Bài tập 1.18. Cho các giá trị của {⁄1 là
k27r
W, = cos —
n
,_
k27r
+isin—
n
=e’
¡2m
voik =0,1,...,n—1.
a. Tinh tong
wo + wy +--+
+ Wy_1.
b. Chitng minh rang w; va wy_, (k = 1,...,n —1) là cặp số phức
lién hop va nghich dao cua nhau.
c. Tinh +, +
tk
d. Tính
1
(k=1,...,m—
1).
l
fDn—k
nh
mm
1
(k=1,...,n—-1).
Bài tập 1.19. Xác định tập kiềucác điểm z trong mặt phẳng phức thỏa
mãn điều kiện sau
a. Re(z) = Im(z)
k. |z| = Re(z)
_b.|z[<3
c.|z—1+i| <1
d. |2z—i| =4
e. Re(z) +Im(z) <1
£. Re(Z—¡) =2
lL z= |z|
7t
m. arg=z>
n.
Q
<7
° arg(z—1) =
g. 0 < Re(iz)
<1
4
h. Im(z—i) >3
Ps Se
=
i. |z-i| =|z-1
q. |z+1|+|z—1|=4
j Im(z2) =2
r |z+i|+|z—i|<6
Bài tập 1.20. Xác định đường cong C cho bởi phương trình
1.4 Bai tap chuong 1
a, z=3t—i2t
(-1
b. z=—2+it
ll
Trang 17
1
(0
(0
d.z=f+it*
(-wo
e. z = 3(cosf
+ /sin f)
f. z=cosf+/2sinf
g.
(F
(0< t†< 7)
JI
a
z= 2cos* 5 +isint
1
h.z=———
Z
1rữ
(—œ (-
gbe<<5)
<
($F <'<§)
t<
+œ)
i z=—-t+iV1—P
(-1
j. z=2(t+i-ie")
(—co
