X G I YHX C IIIM ! a

0 \G

BÀI TẬP
PHƯƠNG PHÁP TOÁN
(T a i b a n là n t h ư n h à t )


M ù sỏ: III.Oi. 07 14 DU 201 ì


MỤC LỤC
Lời nói đầu...................................................................................
A. Bài tập tự lu ậ n .......................................................................
Chương 1: Giải tích vectơ trong hệ tọa độ cong
1.1. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ D escartes vng góc
1.2. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ c o n g ..............................
Chương 2 : Tenxơ và giải tích tenxơ......................................
2.1. Khái niệm cơ bàn về tenxơ - Đại số ten x ơ ...................
2.2. Tenxơ hạng hai □ Giải tích te n x ơ ...................................
Chương 3: Lí thuyết hàm biến phức..... ...............................
3.1. Khái niệm cơ bản về s ố p h ứ c ...........................................
3.2. Hàm số biến phức - Đạo hàm của hàm biến p h ứ c ....
3.3. C ác hàm số sơ c ấ p ............................................................
Chương 4: Tích phân và chuỗi hàm biến phức....................
4.1. Tích phân hàm biến p h ứ c .................................................
4.2. Chuỗi hàm biến p h ứ c ........................................................
4.3. Thặng dư và ứng dụng để tính tích phân suy rộ n g ....

Chương 5: Phương trình Hypecbolic.....................................
5.1. Phương trình sóng một chiều...........................................
5.2. Phương trình sóng hai chiều ...........................................
Chương 6: Phương trinh Parabolic......................................
6.1. Phương trình truyền nhiệt một chiều..............................
6.2. Phương trình truyền nhiệt hai c h iề u ..............................
Chương 7: Phương trình Eliptics...........................................
7.1. Phương trinh Laplace hai c h iều .....................................
7.2. Phương trình Laplace ba chiều.......................................
7.3. Phương trinh P o is s o n .......................................................
B. Câu hỏi trắc nghiệm ...........................................................
Tài liệu tham kh ảo ...............................................................



LỜI NÓI ĐẦU
H ọ c p h ầ n P h ư ơ n g p h á p to á n lí đ ư ợ c x â y d ự n g n h ằ m tra n g bị c á c phưc
p h á p to á n h ọ c d ù n g c h o V ậ t lí h iệ n đ ạ i như: h à m b iế n sô' p h ứ c , đ ạ i số và g iả i t
v ectơ , c ấc h à m đ ặ c b iệ t, c á c p h é p b iế n đ ổ i tíc h p h â n , đ ạ i số và g iả i tíc h ten:
p h ư ơ n g p h á p tín h số , c á c p h ư ơ n g trìn h vật lí to á n ... V ớ i k h ố i lư ợ n g k iế n th ứ c t
rộ n g và c ồ n g k ề n h n h ư v ậ y n ê n lư ợ n g b à i tậ p c ũ n g rấ t p h o n g p h ú , đ a dại
H ệ th ố n g g iá o trìn h v à tà i liệ u th a m k h ả o đ ã c ó tư ơ n g đ ố i n h iề u n h ư n g ch ư a
h ệ th ố n g b à i tậ p đ ầ y d ủ c ó th ể g iú p sin h viên k h o a V ậ t lí c á c trư ờ n g Đ ạ i t
Sư p h ạ m tiế p c ậ n v à th ự c h à n h k iế n thứ c m ô n h ọ c n à y m ộ t c á c h th u ậ n lợi.
Đ ể đ á p ứng n h u cầu thự c tế cần có m ộ t h ệ th ố n g b ài tậ p g iú p c h o sin h v:
n g à n h V ậ t lí tự h ọ c và n g h iê n cứu m ô n P h ư ơ n g p h á p to án lí, c h ú n g tò i đ ã b
soạn lại n h ữ n g b ài tập , m ộ t số cáu hỏi trắc n g h iệ m đ ã đượ c sử d ụ n g n h iề u n;
tro n g g iả n g d ạ y và đ á n h g iá. C u ố n B ài t ậ p p h ư ơ n g p h á p to á n lí sẽ hệ th ố n g 1c ác b ài tập th e o c ác vấn đề: đ ạ i sơ' và giải tíc h vectơ, đ ạ i số ten x ơ , h à m biến
phức, các p h ư ơ n g trìn h V ậ t lí T ốn. T ro n g m ồ i c hư ơ ng, n h ữ n g k iế n th ứ c và c
c ô n g thứ c c ơ b ả n sẽ đượ c trìn h b à y trước tiê n n h ằ m h ệ th ố n g h ó a lại c á c k iế n ứ

c ần th iế t đ ể g iải b à i tập. T iếp th eo sẽ hư ớ n g d ẫ n n h ữ n g d ạ n g b à i tậ p m ẫu c ụ t
c ác p h ư ơ ng p h á p g iả i c ơ b ả n , m ỗ i vấn đề c h ú n g tơ i c ị n dư a ra n h ữ n g c h ỉ d ẫ n c
th iế t và n h ữ n g lưu ý n h ằ m g iú p b ạ n đ ọ c tiếp cận được d ễ d à n g hơ n với c ác bài
củ a ch ư ơ n g đó. C uố i m ỗ i ch ư ơ n g là hệ th ố n g b à i tập th am k h ả o và c ác h ư ớ ng c
giải vắn tắt.
C h ú n g tô i x in c h â n th à n h cảm ơn n h ữ n g ý kiến đ ó n g g ó p q u ý b á u c
GS.TS. Đ ỗ Đ ìn h T h a n h , PG S.TS. L ê V iế t H ò a, TS. Đ à o T hị L ệ T h ủ y v à các t
bè, đ ồ n g n g h iệp , c á c g iá o viên và sin h viên K h o a V ậ t lí, T rư ờ n g Đ ại h ọ c Sư ph:
H à N ội. L ần đ ầ u x u ấ t b ả n ch ắc c h ắ n k h ó trán h k h ỏ i nhữ n g th iế u sót, c h ú n g tôi
m o n g n h ậ n được sự g ó p ý c ủ a q u ý dộc g iả đ ể c u ố n sách h o à n th iệ n hơn tro n g (
lần tái b ả n sau.
T á c g iả



A. BÀI TẬP Tự LUẬN

CHƯƠNG 1

GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG
1.1. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ Descartes vng góc
1.1.1. Các kiến thức cơ ban
a.

Đ ại sơ vectơ

* C ộng hai lìay nhiều vectơ
G iả sử c ó hai v e c tơ Ã (A x, A v. A z) và B (B X. Bj. Bz). C ộ n s hai v e c tơ Ă và
được thực h iện n h ư sau:
A + B = (A v i + A ,. j + A z. k ) + (B v i + Bv. ị + B7. k )

= (A x + Bx). I + (A y + B ,). J + (A ; + B,). k .

(1

P hép c ộ n g n h iề u v e c tơ được tín h từ c ộ n g hai v e ctơ đ ầ u tiê n , lấ y tổ n a c
c h ú n g c ộ n a với v e ctơ th ứ ba, rồi lấy k ế t q u à c ộ n g với v e ctơ tiế p th eo . C ứ n h ư \
c h o đ ế n v e ctơ c u ố i cù n g .
P hép trừ v e ctơ v e c tơ A c h o v ectơ B được thực h iện b ằ n a c á c h c ộ n g v ectơ
\ ới v e ctơ đối c ủ a v e c tơ B :
Ả - B = ( A , . I + A y. J + A j .k ) —(B ,. I + B , . ] + B ..ĨC )
= (A , - B J . T + (A > - B ,).

J

+ (A , - B,). k .

(1

P hép c ộ n s v e c tơ c ó tín h c h ấ t a ia o h o án v à tín h c h ấ t k ế t hợp.
* Tích vơ hướng cùa liai vectơ
Đ ịn h n sh ĩa : T íc h võ h ư ớ n a c ù a vectơ A với vectơ B . k í h iệu A . B là n
vị h ư ó n a . b ằ n e tíc h m ồ đ u n c ù a h ai v e ctơ n h àn với c o sin c ủ a a ó c (0 ) eiữ a hưc
cù a c h ú n a .
Ă . B = A.B.COS0 = |Ả |. Ị ẽ |. COS0 = B . Ã .

(1


Tích vó hướng của A với B cịn viết được trong toạ độ D escartes như sau
A . B = (A v i + A y j + A ,, k ).(BX. i + B,.


J

+ B; . k )

= A V.B, + A .H. + \ B .
Tích vỏ hướng có tính chất giao hốn và tính chất phân bó.
* Tích vecĩơ cùa hai vectơ
Đ ịnh nshĩa: Tích vectơ cùa vectơ A với vectơ B , kí hiệu A A B 11 A . B
m ột vector c vng góc với m ặt phảng chứa A và B , sao cho:
A A B = c = A .B.sin0. u c
\'ớí
Các vectơ A .B và ũ c tạo thành m ột tam diện thuận (lương tự với các trụ
y. z). hoặc tuân theo quy tắc bàn tay phải, hoặc quy tắc "cái m ở nút c h a i”.
Biêu diễn tích vectơ qua các toạ độ có dạng như sau:
à A B = í A ,. ỉ + A j. J + A r. k ) A (Bv ĩ + B ] + B,. k )
= ( A , . B z - A , . B v) . T + ( A z. B , - A

v

B ; ) . J + ( A x. B J, - A J . B J . k .

(

Hay:
1
à A B = Ax
Bx

J


k

Ay

Az —

Ay Az —

A x A,

1A - A x
■j +

Bz

By

lB Z B x

Bx B v

Bv

Tích vectơ có tính chất phản giao hốn và tính chất phán hố.
* T it'll hỗn họp (hỗn ĩụp) cùa ba vectơ
T ích hỏn tạp cua ba vectơ A , B và c là m ột vỏ hướng: V = c .( A A B ).
Biếu diễn qua các toạ đõ của các vectơ của tích hỏn hợp là
Ịa x
V = c .( A A B ) =


a v

a

,

B,

!ì,

B7

!c ,

c"

c,


C .(A

B )=

a

B .(C

A )= A .(B


a

a

C ).

* Til'll kép Ilia hư vectơ
L à m ộ t v ectơ n h ư sau:
D = C

a

(Ã

a

B ) = ( C .B I Ã - ( C .Ẵ

ì .B

.

(1 .9 )
c
b. G radient cùa m ậ t hàm vó h ư ớ n g Y e c tơ về trị sò h ã n a — . có h ư ó n s th eo
CT1
fi được 2ỌÌ là G ra d ie n t c ủ a o . k í h iệu
G ra d o = — . n .
fn

C hú ý:

* —

(1 .1 0 )

= G radjO .

CS

* T ro n g h ệ to ạ đ ò D e sc a rte s v u ó n e a ó c. ta có
„
, _
r
rò t
rò
G ra d o = —L . i + — . j + — - k .
cx
CV
Cí

* G ra d r =

S -J -y -J jZ *

...
(1.1 n

= ĩ.

yj\2 + \ 2 + Z1

r

* G ra d ie n t c ủ a m ộ t h à m h ợ p Ọ(\ịi)
Grad«p(V|/) = —

. Gradvị/.

c\ụ
c. D ivergence cù a m ộ t h à m vectơ
+ T h ò n e lư ợ n g c ù a m ộ t v e e tơ A q u a m ộ t m ặ t s
N =

jà .d § .
S

+ N ế u m ậ t s là k ín . ta có
N =

cịA .dS =

c(A n .đ S .

s

s

+ D iv e rg e n c e c ủ a v e ctơ A là 2ÍỚÍ h ạ n củ a ú số e iữ a th ò n a lư ơ n a AN củ a
v e ctơ A q u a tíc h vi p h à n AS ib a o q u a n h thể tíc h vi p h à n AY I v à thè tíc h vi phàn

AY khi AY d á n tới k h ô n g

9


D iv A

=

j A n .dS
AN
Lim — = Lim AS
AY-*U AY
AV-ii)
AV

( 1. 12)

+ T ro n s hệ toạ độ D escartes vng góc, ta có
D iv A

cA x
êA v
cA z
= — S- + — - + — L -

ẽx.

ẽy

(1.13)

õz

d. Rotationel cua m ột vecto
+ Lưu th ổ n 2 cúa vectơ A theo m ột đư ịna cong kín:
C (Ă )

= ^dC = ị Ã .d L

= ^ A L .d L .

+ R otationel của m ột vectơ A . k í hiệu là

R ot A

G iá tri hình chiếu của R o tA trẽn phưcrns pháp tuvến củ a vi phân m ặt AS
đươc bao bơi vi phân đư ờ ns AL:
ịỸ d S
(1.14)

R ot_ A = Lim -=^=AS->0
as
■T rona hệ toạ độ D escartes vuóna aóc có dạng:

cA

— ^ ).
CZ

cy

+ (-

hav:

R oi A =

■ ).] +

(1.15)

ởx

ẽy

k

i

J

C

C

C

CX

CX

CZ

A*

A>

A,

e. Toan ru nabỉa V và các toán rù vi phán cáp hai
+ Tốn rư nabìa (V) là m ột vectơ. T rons hệ toạ đó D escartes vuóng só c. nó có
dạne như sau:
V = Ĩ .Ạ
Chú Ý:

+

c— (- kr
—

c

ộ

CZ

* V có hai tính chài: \"ừa là vectơ. \"ừa là vi phân.

(1.16)

* T ác d ụ n g lên c ác h à m vô h ư ớ ng và các h à m v e ctơ
v.cp(x, y, z) = Gradcp,
V. Ấ (x, y, z) = D i v à ,
V a à = R o tĂ .
/ . C ác toán t ủ vi p h â n cấp cao
+

với

„ „
„■>
s 2cp ổ 2cp
ổ 2cp
V.(V.cp ) = D iv(G radcp) = V .cp = — — + — TT + — — = A .ọ,

Pi-,1

ổ2
A = ——

a2
ỡ2
+ — — + — — goi là to á n tử L ap lac e h a y L ap lac ien .

5x

5y

5z

+ V .(V . à ) = V .D iv à = G r a d ( D iv Ả ),
+ V a (V . cp ) = VAGradcp = Rot(G radcp) = õ

(vì v e c tơ V / / v e ctơ v.cp),

+ V .(V a Ả )= V .R o t Ă = D iv (R o t à ) = 0 (vì vectơ V _L v e ctơ V a Ă ),
+ V a (V a Ă

) = R o t(R o t Ẵ ) = G ra d (D iv à ) - V 2 Ả .

g. C á c đ ị n h lí tíc h p h â n
+ Đ ịn h lí G a u ss - O stro g ra d sk i:
< ^Ả .d S = j j |D i v Ă . d V ,
s

(1.17)

V

tro n g đ ó m ặ t k ín s b a o q u a n h thể tích V.
+ C ơ n g thứ c G reen:
* C ô n g th ứ c G re e n th ứ nhất:
(1.18)

* C ô n g thứ c G re en th ứ hai:
(1.19)

+ P hư ơ ng trìn h liê n tục:

p .D iv (v ) + — = 0.
dt

(1.20)


+ Đ ịnh lí Stokes:
cjA.dL = IjR o tA .d S ,
L

( 1.21)

s

trong đó đường cong kín L bao quanh m ặt s.

1.1.2. Một sô bài tập mẩu và nhũtig lưu ý
a. M ộ t số c h ú ý và các p h ư ơ n g p h á p là m việc với to á n tứ N a b la
Đ ể giải các bài tập về giải tích vectơ, chúng ta cẩn thành thạo tính tốn với
tốn tử N abla. Tốn tử N abla vừa có tính chất đạo hàm , vừa có tính chất vectơ,
việc phải lưu ý song song hai tính chất ln làm chúng ta thấy rất khó khãn.
Phương pháp thơng dụng và đem lại hiệu quả là tách phép đạo hàm ra trước đê
thực hiện cấc phép tính vectơ, sau đó m ới thực hiện phép đạo hàm . N goài phương
pháp khai triển đạo hàm thông thường và phương pháp sử dụng chỉ số tenxơ (sẽ
trình bày ở chương 2 ) người ta cịn dùng m ột phương pháp khác, đó là sử dụng kí
hiệu cho phép tính đạo hàm (có thể là kí hiệu bằng m ũi tên). Trước hết chúng ta sẽ
làm quen với cách kí hiệu này qua quy ước sử d ụ n g m ũ i tén đ ê chỉ vị tr í thực
hiện p h é p tín h đ ạ o h àm .
* Q uy ước chung: Trong trường hợp thông thường, m ọi hàm số đặt bén phải
phép tính đao hàm (ví du — hay V) đéu chiu tác dung của phép đao hàm đó.

dx
* Phương pháp khai triển đạo hàm thơng thường:
Phương pháp khai triển đạo hàm thông thường sẽ sử dụng cơng thức (1.16)
khai triển tốn tử N abla để thực hiện tính tốn. Ư u điểm của phương pháp là dễ
làm và tránh được nhầm lẫn. Tuy nhiên phương pháp này có nhược điểm là tính
tốn dài dịng và phức tạp.

Ví dụ 1: T ính ( ă .V).cp(r). ?
Giải: (ã .V).tp(r). r = ( i . ( i
ỡx

+ J - — + k . — )} .cp(r). r
ổy
<3z

_,
õ
õ
ô
= (ax -r- + K - r - + % , ) • ( i -X.Ọ+ j -y-ỡx
ỡy
ổz
= a,(T .

cp) + ay( k .(p + ? . — ọ )
ổx
õy
õz

, ( S .ĩ ) -

= (ã.Grad(p)r + cp.ã = (Pr.

12

r

r + (p.a.


* I uti

. V_1ỈU11£^ Ilium uc U1UV ouu. \ J l u u \y .y J — Y"v *“ “ Y

G iùi: Grad((T).y) = ( I

+ J
cx

T ---------- r

+ k ) .( ( p .y )

cy

Cl

= T .(cp — VỰ+ y — cp) + J ,(ổx

ÕỴ

ỡx

ÕỴ

ỞL

cz

= (p .G rad y + y.G radcp.
* Phương p h á p s ứ dụng k í h iệu đạo hàm (m ũi tên)
T ro n g p h ư ơ n g p h á p n à v . c h ú n a ta dùrui m ũ i tê n đ ể chì rõ các h à m s ố n à o chịu
tác d ụ n g c ủ a p h é p đ ạ o h à m : h à m sị n à o c ó m ũ i tẽ n c h ì v à o sẽ c h ịu tá c d ụ n g của
p h ép đ ạ o h àm . h à m sò n à o k h ò n g co m ũ i tèn c h i v à o sẽ k h ô n g c h ịu tác d ụ n g của
p h ép đ ạ o h à m . k h ô n g p h à n b iệ t h à m số đ ó n ằ m b è n p h ả i h a y n ằ m b è n trá i phép
đ ạ o hàm .
C

^

T ro n s c ô n g th ứ c ——A B = A — B
fx
ổx

C

ta th áy p h ép đ ạ o h à m chi thự c h iệ n lèn

hàm B d ù cả A v à B đ ề u đ ứ n a b ẽ n phai p h é p đ ạ o hàm .

H a y ư o n g c ò n g th ứ c A V B = B V A ta th ấ y p h é p đ ạ o h à m c h i thự c h iệ n lê r
h à m A d ù h à m A đ ứ n g b è n trái to á n tử nabla.
17 ílụ 3: C h ím a m in h hệ thức sau: Grad(Bài n à y n s o à i p h ư ơ n a p h á p k h a i triể n đ ạ o hàm th ò n g th ư ờ n a n h ư ví d ụ 2, c h ú n g tí
có th ể sử d u n a k í h iệ u m ũ i tèn

VT = Grad(b. M ộ t sỏ b à i t à p m ả u đ iế n h ìn h
* D ạng bài 1: T ín h G ra d . D iv. R o t v à các c ò n a thức tư ơ n a tự có sử d u n a toár
tư N a b la
Đ ố i với d ạ n g b à i n à y . c h ú n a ta có thế á p d ụ n g p h ư ơ ng p h á p k h a i triế n đ ạt
hàm th ò n g th ư ờ n a h o ặ c p h ư ơ n e p h á p sừ d ụ n s k í h iệ u đ ạ o h à m đ è siá i q u y ế t
T ro n a n h iề u trư ờ n s hợp, á p d ụ n s k ế t hợp c a h a i p h u ơ n a p h áp sẽ c h o ta lời siá
n a á n aon.

B ùi m ẫu: T ín h R ot[ P , r ] với P là v e ctơ k h ò n g đổi
G iú i: R o t[ p . r ]

= Va ( p A r ) = V a ( p a r) + V /\(pA r) = V \ (p \ rì

1.


= (V. r ). p

-

(V .p ). r = p .(V. r )
o

Õ

-r

c

P ,— ) . ( i .X + j .y + k .7.)
07,

= p -3 - (p, — + py——
ũx
ty
= 3. p -

( p .V). r

(p, i + py j + p, k ) = 3. p

p

= 2. p .

* Dạng bell 2: Chứng m inh hai biếu thức đạo hàm băng nhau
Đối với dạng bài này, chúng ta có thế áp dụng phương pháp khai trịón đị
hàm thơng Ihường hoặc phương pháp sử dụng kí hiệu đạo hàm đế giai
Bài m un: Chứng m inh R ot| Ấ , B ] = A .D iv B

- B .D iv A

quyết.

+ (B .V ). A

(A .V ). B ; với A và B là những hàm của tọa độ.
Giới: Ta có
V T = Rot[ Ã ,B J = V a (Ã

aẽ

) = V a (Ả

a

B ) + Va ( Ã A Ẽ )

= (V. B ). Ã - (V . Ã ). B + (V . B ). Ấ

(V. Á ). B

= ( B .V ).Ã - B .(V .A ) + Ả .( V .B )

( A .V ). B = V P (đ p c m ).

* DạnỊỊ bài ỉ : 'l ính các tích phán đường loại hai, tích phán m ặt loai hai
Đối với dạng bài này, chúng ta thường áp đụng các định lí lích phán và cá
cống thức Grad, Div, Rot, laplacc đc tính.

Bài mầu: T ính thơng lượng của bán kính vcctơ
r L|ua mật trụ như hình VC bcn
Giãi: Gọi s là đáy dưới cùa hình tru, Sị là dáy
trơn cùa hình trụ cịn s là m ật kin gồm S|, S, và mật

tru (mặt xung quanh cúa hình trụ). Như vậy ta có:
N = ỊỊr.d s - <£jV.dsTru

s

S|

S; có phương trình 7

[ jr .d s -

JJr.d s

s:

=0

nén

trẽn

nén

ircn

toa độ (X, y, 0) cịn đs có dang (0, 0, -1 ).ds
S, c ó p h ư ơ n g t r i n h

/

= h

tọa dộ (X, y, h) c ò n tls có d ạ n g (0, 0, 1 ).ds

14

S|, vectơ rcó

p

s ; ,v c c t ư i:c ó

//

x

/ /


D o do:
N

= J J jb iv r .d V

-

jjo .d s -

V
*

jjh .d s

s,

=

3 .V

-

h .s , =

3 .h 7 tp 2 -

h iip : =

2 .h rrp ; .

s':

D ụm ; bùi 4: C h ứ n a m in h các tíc h p h à n đ ư ờ n g loại h a i. tíc h p h à n m ậ t loí

h a i b ẳ n a n h au
Đ ố i vớ i d ạ n g b à i n à y . c h ú n e ta thư ờ ng á p d u n s c ác đ ịn h lí tíc h p h à n v à cá
c ò n a th ứ c G ra d . D iv. R o t. la p la c e đ ề tính.

B ùi m ầu: C h ứ n a m in h ràn g : ^ r .( ã .n ) .d s = ií(ã .r).n .d s .
T ro n 2 đ ó ã là v e c tơ k h ồ n e đ ổ i. ĩĩ là v e c tơ p h á p tu y ế n c ủ a m ặ t tíc h phàn.

Gicii: C h ú n a ta c ó th ế sứ d ụ n s m ò t p h ư ơ n a p h áp n h ư sau: Đ ể c h ú n g m in h hí
v e ctơ b ằ n a n h a u ( A = B ) ta lấ y m ộ t v e ctơ k h ò n a đ ổ i b á t kì P . n ế u p A = pB vc
m ọi P th ì h iể n n h iê n A = B .

p.V T = P V
r
p .V P = q ( a .r).p .d s

=

—
0_G rrr
f | |V .{ p .(r.ă )Ị.d V = a .p . v = p ,V T.
V

=>

\ T = \ ’P (đpcm V

1.1.3. Một s ố bài tập tham khảo
1.1. T ro n g h ệ to ạ đ ộ D e sc a rte s v u õ n e 2ÓC h ã y x á c định:
1) V e c tơ đ ơ n vị s o n s s o n s với vectơ: V = 2-i + 3 .j —6 .k .
2 ) V e c tơ đ ơ n vị c u a đ ư ờ ng th ă n s n ố i đ iếm P( l . 0. 3 ) với Q (0 . 2. 1).
1.2. C h ứ n s m in h r ằ n s vectơ:

V = a .i- r b .j+ c .k

Mna a ó c với m ặ t c h o b(

p h ư ơ n a trìn h :
ax + b y + cz =
1.3. G ia th iế t r ằ n s v e c tơ r = X. i T y .j —z.k là v e ctơ x u ấ t p h á t từ a ố c đ ế n m ộ t điếi
tuỲ V P(x. y. ỉ ) c ò n v = a . i r b . i r c.k là m ộ t v e c tơ k h ò n a đ ò i n à o đó. Chứn
m in h rằn g : ( r - v ).r = 0 là p h ư ơ n s trìn h m ật cáu.
1.4. C h ứ n e m in h rằ n s: ( ã .[ b .c ] .r ) = ( ã .í v b \ c - ( b . ? 1 c \ ă —( c .r ì ă \ b .


1.5. 1) Chứng m inh rằng ã.[b,c] = 0 n íu ã , b và C phụ thuộc tuyên tính
2)

Kiếm tra sự độc lập tuyến tính của ba vectơ sau
v = 3 .i + j - 2 .k ; ũ = 4 . i - j - k ; w = i - 2 . j + k .

1.6. Nghiệm lại rằng tích hỗn tạp của ba vectơ

ã , b , C ( ã .[ b ,c ] ) có

như sau: À. = ã.[b,c] = eijk.a,.bj.ck
i,

j, k = 1, 2, 3 với cách k í hiệu ax = a,, ay = a 2, ạ, = a 3

Eijk là k í hiệu ten x ơ L evi - chivita
+ Ejjk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau.
+ Eijt = 1 nếu i

j 5É k và có số lần hốn vị chẵn để vẻ thứ tự 1, 2, 3

+ Ejjk = - 1 nếu i

j

k và có số lần hốn vị lẻ để về thứ tự 1, 2, 3

các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó.
1.7. Cho ã và b là tuỳ ý. Chứng m inh rằng: Ả = (ă A b).(ã A b) + (ã.b ) 2 = (a.b)2.
1D _

1 .0 . C h o

d S l .
= ũ =
dt

—

cò A u v à

d
dt

—

v

!

.

r

.

= V = CD A V , c h ứ n g m i n h r a n g

-

5

5

d _
--- (u A v) = co A (ũ A v) .
dt
1.9. Tính G ra d (ã .r) với ã là vectơ khơng đổi.
1.10. Tính G r a d ( - ^ ) (với P là vectơ không đổi).
r
1.11. Chứng m inh các hệ thức sau:
1) Div(cp.à ) = (p.Divà + Ẩ .Gradcp,
2) Rot(cp. A ) = ọ . Rot A —[ A , Gradcp],
3) Div[ à . B ] = B -Rot à - à Rot B ,
4) Grad( à . B ) = [ à , Rot B ] + I B . R oi à ] + ( B . V) Ả + ( A .V ) B .
5) c .Grad( Ã . B ) = Ă . ( c .V). B + B .( c .V). A ,
6 ) ( c .V)[ Ã . B ] = [ Ă , ( c .V) B ] - [ B , ( c .V )Ã ],
7) ( V . Ă ) . ẽ = ( Ả -V). B + B .D iv A ,

thể biểu d

8 ) [ Ă ,B ] .R o t C = B .( Ả .V ) .C - A .( B .V ) .C ,

9) [ [Ã ,V],Ỗ ] = (Ã .V ).B + [ Ă . R o t B ] - Ã .D i v ẽ ,
(c ác đ ạ i lư ợ n g v ò h ư ớ n a v à v e c tơ đ ề u là n h ữ n a h à m c ủ a toạ độ).
Sái

1 .1 2 . D ù n g h ệ to ạ đ ộ D e sc a rte s, tín h :
l)D iv (r),

2) R o t( r ) ,

3 ) ( i.V ) .F ,

tro n g đ ó r là b á n k ín h vectơ , ã là v e ctơ k h ô n s đổi.
1.13. D ù n a h ệ to ạ đ ộ D e sc a rte s, tính:
1) G ra d cp(r),

2) D iv (
3)

4 ) D i v [ p . r ] , với P là v e c tơ k h ô n g đổi.

R o t (ọ (r). r ),

1.14. T ín h lưu th ị n g (lư u số) c ủ a vectơ [ õ , r ] th eo v ò n g ư ò n b á n k ín h r0 nằm
tro n g m ặ t p h ẳ n g v u ơ n s c với vectơ co k h ò n s đ ổ i. B iết tàm vòng trò n trù n g
với s ố c to ạ độ.
1.15. C hứ n g m in h rằ n g : |£ r . ( I . n ) . d s = < j^ (a .r).n .d s . tro n g đ ó ã là v e c tơ k h ò n s
đ ổ i. n là v e ctơ p h á p ru y ến c ủ a m ặ t tíc h phàn.

1.16. C h ứ n a m in h hệ th ứ c sau: j j ịR o tã .d V = ^ Ị[ d s .a ] = <£Ị[n.ă].ds . với s là d iện
V
s
s
tíc h b a o q u a n h th ể tíc h V , n là vectơ p h áp tu y ế n đ ơ n vị h ư ớ n s ra n s o à i ứiế
tíc h V . trư ờ ng v e c tơ ã liê n tục tro n a m iề n V .
1.17. C h ứ n s m in h hệ thức sau: £<ọ.đ7 = j J [ n ,G r a d ọ ] d s . L là c ò n s - tu a b a o q u an h
L
S
d iện tích s . ĩĩ là v e ctơ p h á p tu y ến đơ n vị c ó ch iều làm với c h iề u dư ơ n g trên L
m ộ t hè đ in h ốc th u ận , cp là trư ờ n a vò h ư ớ n e liên tục tro n a m iề n s.
1.18. C ho trư ờ ng v e c tơ A = y .i + z .j + x . k . d ù n g c ô n g thức X tố c đ ể tín h tíc h p h àn
r

đ ư ờ n s c ÍÃ .d r. tr o n s đ ó c là đư ờ na trị n C:

1

")

ịx

ị

'
z
[x + v + z = 0

-I

, tíc h phàn

chạy ngược chiều kim đổng hồ nếu nhìn từ phía dươns của trục X.
1.19. T ín h th ị n g lư ợ n a c ủ a trư ờ n a vectơ A = 3 7 = 3x. i + 3y. j + 3z. k q u a tất cả
c ác m ặ t h ìn h n ó n xác đ ịn h bới:
X2 + y 2 < z : vớ i 0 < z < h .

r.ẠI HỌCTR.VĨ NGUYỄN
TụĩỉNĩn TÂ-VIĨQC L i ê u

17


1.20. Tính lưu thịng cùa trường vectơ A = (y - z). ỉ + (z - x). j + (X - y). k (
,
, .
Jx 2 + y 2 = 1
theo đưònc cong L: <
[x + z = 1
chiểu lấy tích phàn là ngược chiều kim đổng hổ nếu nhìn L từ phía dưc
trục Ox.
1.21. Tính thõng lượng cùa trường vectơ A = 5y. i + 3x. j + (z - x). k qua tất
các m ặt hình tru xác định bời:
|x 2 + y 2 = 4
Ị01.22. Tính th ô n s lương cùa trường vectơ A = 2y. i

+ z. j + (z -

x). k ,

qua ir

hình cầu có phương trình: X + y2 + í —2x + 4y - 6 z - 2 = 0.
1.23. Tính thơng lượng cùa vectơ F = xz. i + yx. j + zy.k

T = 2>

qua m ặt cầu x : + V2 +

1.24. Cho vectơ F = xy.i + y z .j + zx .k .
a) Tính rot F và d iv F .
b) Tính thõna lượna của vcctơ F qua m ặt cầu x : + y2 + Z" = 2x.
1.2.

G iải tíc h v e c tơ t r o n g h ệ tọ a đ ộ c o n g

1.2.1. Các kiên th ú t c ơ bản
a.

Hệ toa độ cong

* Pliép biến đói toợ độ:
Các hệ thức độc lập liên hệ giữa các toạ độ q ', q \ q ’ với các toạ đồ X, V. z:
q ' = q (X. y, z ) ; q : = q ;(x, V. z ) ; q ? = q-'(x, y, z)

( 12'.

và các hệ thức độc lặp liên hệ eiữa các toa đỏ X. y, z với các tọa đỏ q 1. q :. q':
X = \ ( q '. q :, q ?) ; y = y(q'_ q : , q 5) ; z = 7.(q', q : . q 5ì

(1.2;

gọi là các hệ thức biến đổi toạ độ từ hệ toạ độ D escarters (X, y, z) sana hộ toạ d
cong (q 1. q :. q ’ì và ngược lại.
* M ạ t lOti đ ộ : Q u a đ i ế m P ( q ;. q 2. q ) c ó b a m ặ t c o n g :

q : = L]„; q : ^ q ị : q = q Ị
r
IS

I

(1.2-


gọi là b a m ặ t to ạ đ ộ tại đ iể m p tro n g hệ to ạ độ q 1, q 2, q 3.
*

Đ ường toạ đ ộ: G ia o c ủ a từ n g c ặ p m ặ t là n h ữ n g đ ư ờ n g to ạ đ ộ đi q u a đ iể

p. C ác đường to ạ đ ộ q u a p tạo th à n h m ộ t h ệ to ạ đ ộ c o n g đ ịa p h ư ơ n g tại p.

b. H ệ toạ độ địa p h ư ơ n g th ứ n h ấ t
* C ác vectơ đơn vị h iệp biến: G iả sử có m ộ t h ệ to ạ đ ộ c o n g q 1, q 2, q 3. Q u a
(lí;

m ỗ i đ iể m M tro n g k h ô n g g ia n c ó 3 đ ư ờ n g to ạ đ ộ q 1, q 2, q 3. T rên m ỗ i đ ư ờ n g to ạ độ,
tại đ iể m M ta đ ư a vào c á c v e ctơ đcm vị ẽ j , ẽ 2 và ẽ 3 là n h ữ n g v e c tơ tiế p tu y ế n với
các đ ư ờ n g to ạ đ ộ tư ơ n g ứ ng và c ó c h iề u th eo c h iề u tăn g c ủ a g iá trị to ạ đ ộ trê n

đư ờ n g đ ó . C ác v e c tơ n à y g ọ i là c ác v e ctơ đ ơ n vị h iệp b iến .
*

H ệ toạ độ đia phươ ng th ứ nhất: là m ộ t h ệ to ạ đ ộ đ ịa p h ư ơ n g x á c lập bờ i c

v e ctơ đ ơ n vị h iệ p b iế n ẽ j , ẽ 2 , e 3 .
* H ệ s ố Lam e:

(1 .2 5 )

tro n g đó: —— = h ị ẽ ị .
Sq1

c. H ệ toạ độ địa p h ư ơ n g th ứ h a i
* C ác vectơ đơn vị p h ả n biến: G iả sử c ó m ộ t h ệ toạ đ ộ c o n g q 1, q 2, q 3. Q u a
m ỗ i đ iể m M tro n g k h ơ n g g ia n c ó 3 m ặ t to ạ đ ộ q 1, q 2, q 3. T rên m ỗ i m ặ t to ạ độ, tại
đ iểm M ta đ ư a vào c á c v e c tơ đơ n vị ẽ 1, ẽ 2 và ẽ 3 là nh ữ n g v e c tơ p h á p tu y ế n với
c ác m ặ t to ạ đ ộ tư ơ n g ứ ng và c ó c h iề u th eo c h iề u tăn g c ủ a g iá trị toạ độ. C ác v e ctơ
n à y g ọ i là c ác v e c tơ đ ơ n vị p h ả n b iến .
* H ệ toạ độ địa phươ ng th ứ hai: là m ộ t h ệ to ạ đ ộ đ ịa phư ơ n g x ác lậ p bờ i các
v ectơ đ ơ n vị p h ả n b iế n ẽ 1, ẽ 2 , ẻ 3 .
* Thông sô vi phân hạng nlìất:

(1 .2 6 )

tro n g đó: G r a d q '= k,. ẽ 1.

19

d. Hẹ toa độ trực giao
* Điêu kiện trực ỊỊĨap:
í õr ) ( d ĩ )
—

I. —

_

-

_ ,,

■

Ị = h ,.h j(e ,. S j ) = 0 với i * j

■

( 1.2;

ụ q‘ J U q Jj
hoặc ( G radq' ).(G radqJ ) = k,.kj( e ' . e J ) - 0 với i

J.

( 1.2Í

* Đ ức điểm của hệ trực giiịo:
(1.2S

(1.3C
* Cúi thành phún phản biến và thành phẩn hiệp hiển của m ột vectơ:
Ả = A '.ẽ ] + A 2. Ị ^ + A \ c 3
= A,. e ' + A,- e 2 + A,. e 3

(1.31

+ Các thành phẩn A 1, A% A 5 (ứng với các vectơ đơn vị hiệp biến) gọi la cá
thành phán phán biến trong hệ các

vectơ đơn vị hiệp biến.

+ Các thành phẩn A,, A,, A ,
thành phần hiệp biến trong hệ các

(ứng với các vectơ đơn vị phan hiến) gọi là cá
vectơ đơn vị phán biên.

đ. Gradient của m ột hàm vớ hướng trong hệ toa đọ cong trục giao
(1.32
V ectơ cơ sờ: Trong nhiều bài toán người ta còn dùng các vectơ cơ sơ thav chi
các vectơ đưn vị với lựa chọn:
+ Độ dài cùa các vectơ cơ sờ phán biến bằng thông số vi phân hạng nhã
tương ứng: Ịẽ'Ị = k, ,
+ Đ ộ dài của các vectơ cơ sở hiệp biến hằng hê số L am e tương ứng: !ẽ, = h. .
Khi đó, m ột s ố cịng thức giải tích vectơ trong hệ tọa độ cong có dạng tươn;
tự trong hệ tọa độ D escartes vng góc:

20

e. D ivergence của m ộ t vectơ tro n g h ệ toạ độ c o n g trực giao
D iv à =

1

— j - ( A , h 2 h 3) +

h j . h 2 .h 3

cq

+

- ^ r ( A

3h , h 2 ) ] .

cq~

cq

g. R o ta tio n e l cua m ộ t vectơ tro n g h ệ toạ độ co n g ư ự c giao

oq-

òq

a
n

1J

A , h ,) ------ ^ r ( A , h , ) ] .

r1

R o t Ả = —“ 7" = — ——
h -).h
d S '1
; .h3
1

dS2

h 3 .h ,

cq'

dC3

1

dS3

h ,.h 2

r 5 ,
1òq
. 11

[

s

(1 .3 4 )

«1

h. B iê u thứ c cùa toán tư L ap la ce A trong h ệ toạ độ co n g tru e giao
S o = D iv (G ra d ợ )
1

5

h I .h 2 -h 3

cq!

C

, h ,.h 2

ổo

h n .h j

hỊ

CO

C

1

h 5.h .

cq “h ->

rọ

cq“

^

+ - ^ ( - 7 ^ --^ )]ổq

h3

U -3 5 )

oq-

1.2.3. Một sô bài tập mẫu và nhũng lưu ý
a. M ộ t s ố lư u V
V iệ c tín h c ác h ệ s ố L a m e v à các th ò n e số v i p h à n h ạ n a n h ấ t rất có ý n a h ĩa
tro n a g iải tíc h vectơ v à c h ú n g ta có thể th ấy các c ò n s thức (,1.32). (1.33), (1 .3 4 ).
(.1.35) đ ề u c h ứ a c ác h ệ số này.
P h ép b iế n đ ổ i tọ a đ ộ (1 .2 2 ) được sử d ụ n a đ ể tín h các th ị n a số vi p h à n h ạn g
nhất. P hép b iế n đ ổ i tọ a đ ộ (1 .2 3 ) được sử d ụ n a đè tín h c ác h ệ số L am e. T ro n a

trư ờ n a h ợ p đ ặc b iệ t k h i h ệ tọ a độ c o n g là trực g iao th ì từ h ệ số lam e ta có thế suy
ra th ị n a số vi p h â n h ạ n g n h ấ t th eo c ó n g thức (1 .3 0 ) h o ặc ngư ợ c lại.
Đ è th u ậ n lợi tro n g h ọ c tập v à làm c ác b ài tập. b ạ n đọc c ần s h i n h ớ c á c h tín h
và k ế t q u ả c ủ a các h ệ số L am e và các th ò n g số vi p h àn h ạ n g n h á t tr o n s các h ệ tọ a
đ ộ th ồ n s d ụ n g n h ư h ệ tọ a đ ộ cự c, h ệ tọ a đ ộ trụ . hệ tọ a đ ộ c ầu . Đ ồ n s thờ i, c ác c ò n s

21

0 -3


thức giải tích như Grad, Div, Rot và Laplace trong các hệ toa độ này phai rất lu
và nhớ rõ để tính tốn m ột số tích phàn trong hệ tọa độ cong.
* Hệ sỏ Latne và thông sô vi phũìi hụ/ỉg n/híí troiìg một sơ hệ toụ độ cong
1) Hệ toạ độ cực:

h| = 1. h, = r.
k, = l , k , =

2) Hệ toạ độ trụ:

r

hị = 1, h, = p. h ? = 1.
k, = l , k , = —, k, = 1.
p

3) Hệ toạ độ cầu:

h, = 1, h, = r, h, = r.sinô.

k, = l , k , = —, k, = — ?— .
r
r.sinB

* Dive A trong một sô hệ toạ độ cong
1) Trong hệ toạ độ trụ: (q' = p, q- 3 -

l

ơ

Div( A ) = — . —(p
p ổp

1

C

l ỡ

Ap) + —. —(Aọ ) + — . - (p A j
p «p
p &

.

2) Trong hệ toạ độ cấu: (q : = r, q ; = 0, q ’ = D iv ( Ã ) = —^ -----.[ — (rsinO .A ,) + — (r.sinG.Ao) +
(r.A .,)].

r sin 0 CỶ
Õ6
(?(p
* Rot A tioiìiỊ một sỏ h ệ toạ độ com;
1) Trong hệ toạ độ trụ: (q 1 = p, q- = (Ị), q 5 = z)
R o ip à =

pn

' ( p . v )],

nm
exp

CZ

Roi,, ,4 = — ( A p ) — — (A,)].
07-

ôp

Roi, Ă = — I
(p .A 0 ) — — (Ap )J.
p rp
cẹ
I Trong hệ toạ đó cáu: ( q ; = r. q : = 0. q ‘ s ọ)


R o t, Ã

= —

R o te Ă

=

r.srnB cu

A^ . s i n G) - - J - ( A e )],

exp

— L - [ A (Ar) _ ± ( A , .r .s i n 0 ) ] ,
r.s in B ccp
CT

i [ - | - ( r . A e ) - - | - ( A r)].

R o tP Ã =

dr

r

C0

* L aplace cùa hùm II trong m ộ t sò hệ tọa độ cong
1) T ro n g hệ to ạ d ộ cực: u (r, (p)
Au =

1 õ ( c’u')
r—

r ÕT ^ õ ĩ )

+-

1 Ỡ2U

r 5
2 ) T ro n g h ệ to ạ đ ộ trụ: u( p. cp. z)
1 õ (

c’u 'i

1 C 2U

Ổ2U

a
p~
+ 2 V . Ì '+ 7 T ‘
PCZ
3) T ro n s h ệ to ạ đ ộ c ầu : u (r, 9 , (p)
1 ẽ ( 2 ftO

Au = - 7 —
r

ỡ rv

1
õ (
1
e 2u
--------- —.
ĩ~~— I + -T - 1------ — s i n 0 - ^ - 1+
ổr J r sin 0
cQ / r sin 0 ftp

b. M ộ t so bài tập m á u điến h ìn h
* D u n ì; bài 1: T ín h h ệ số L am e, th ò n s số vi p h à n

hạng nhất,x á c định các

vectơ đơn vị và kiểm tra tính trực giao của hệ tọa độ cong.
Bùi m ẫu: T ín h h ệ s ố L am e, th ỏ n s s ố vi p h àn h ạ n s

n h ấ t, x á c đ ịn h các v e ctơ

đơn vị v à k iểm tra tín h trực a ia o c ù a hệ tọ a đ ộ trụ.

Giúi: X é t phép biến đổi tọa độ: X = psincp: y = pcosọ; z = z cho ta các hệ thức
lièn hệ g iữ a c ác to ạ đ ộ D e sc a rte s v à to ạ đ ộ trụ.

^

õĩ

-r
-- dcyy
-r ởz
. cCT
r
CT
T de x
CL
- 7-,T a có: —-— = — = i — + j
+ k
= 1 .C0 S(P + J .s in ọ = h ;. e , .

ÒỊ1
CT
cq-


cp

CT T cx
—— = i
+ j
Ci?
cọ

rp
dy
cọ

r
+ k

ẽp
CZ
Ci?

=-

1

T

.-

______ ,

.p.sinọ + j .p .cosọ = ru e->.