Chương 5
TRƯỜNG ĐIỆN
TỪ CHUẨN DỪNG
■
5.1.

Một khung dày phẳnc giới hạn diện lích s , quay với vận tốc góc co không
đôi trons từ trường đều xung quanh trục quay vuông góc với vectơ cảm ứng
—>

từ B . Khung dây có hệ số tự càm L, điện trờ thuần R. Tính
a) suàt điện động càm ửns của khuns dây.
b) cường độ địn? điện trons khune dày.
5.2.

Một khung dây hình chữ nhật cỏ chiều rộng a và chiều dài b,
quay với vận tơc góc Cờ quanh trục P O và nam trong một từ
tnrờns đều phụ thuộc vào thời sian B = Bữsmcủt vng góc
với mặt phàne khurm dây tại t - 0 (hình 5.1). Hãy tìm suất
điện độns cảm ứng trong khuns dàv và chửng minh rằng nó
đổi chiều với tần số sấp địi tần sổ / = — .

1
0

p
“

Hình 5.1

2/T

5.3.

Hai dày dẫn song song, dài vị hạn đặt
trons khơns khí, cách nhau một khoảng d
mang các dòng điện I bans nhau nhưng
nsươc chiều, trong đó I có tốc đỏ — .
dt
Một vịng dây hình vng cỏ cạnh băns d
nầm trone mặt phang của các dây dẫn và
cách một trong hai sợi dây song song một
khoana bằng d (hình 5.2).

/

d
Hình 5.2

a) Hãy tìm suất điện động căm ứng trên vịng dây hình vng.
b) Dịng điện cảm ứng theo chiều kim đồng hồ hay ngược chiều kim đồng
hồ? Tại sao?
5.4.

Xét một mạch kín của một dây dẫn được quấn thành một cuộn dây N vịng
với bán kính a, điện trờ R và hệ số tự cảm L. Cuộn dây quaytrong từ
trươne đều B quanh một đường kính vng góc vớitrường. Hãy tìm dòng
điện bên trong cuộn dây như một hàm cùa 9 trong q trình quay với tốc
độ c khơng đổi co, trong đó 0 { t ) = (ũt là góc giữa mặt phang của cuộn
—»


dây và B.
101


5.5.

Một tụ điện có điện dung c và hiệu điện thế ơo, phóng điện qua điện trở R.
Xác định điện lượng q(í), dịng điện ỉ(t) và hiệu điện thế U(t).

5.6.

Một tụ điện có điện dung c được tích điện với điện tích <7o- Mắc tụ điện vào
một mạch kín có điện trở R và hệ số tự cảm L. Xác định điện tích trên các
bàn tụ điện.

5.7.

Một tụ điện có điện dung c , chứa đầy khối điện mơi có điện trở R. Ban đầu hiệu
điện thế của tụ điện bằng Uo. Nối hai bản của tụ điện vói điện trở ngồi r. Tìm
a) hiệu điện thế u của tụ điện kể từ lúc nối tụ điện với điện trở ngồi.
b) cường độ dịng nạp và dịng phóng điện.

5.8.

Một mạch điện gồm một ống dây có hệ số tự cảm L, hai điện trở R], /?2- Các
phần từ trên được ghép nối tiếp với nhau và với hai cực của một ắc quy có
suất điện động (T . Xác định dòng điện trong mạch kể từ lúc nối đoản mạch
điện trở Ri.

5.9.


Một bộ ấc quy có suất điện động

và điện

trờ trong /?, một tụ điện có điện dung c và
một cuộn cảm có hệ số tự cảm L và điện trở
thuần rất nhỏ, được mắc song song (hình 5.3).
a) Tính cường độ dòng điện đi qua ắc quy sau
khi đã mắc mạch.
b) Sau khi chế độ dừng đã được thiết lập,
tháo bộ ắc quy ra. Điện tích trên tụ điện sẽ
biến đổi như thế nào?
5.10. Một mạch điện gồm hai ổng dây có hệ số tự
cảm L\, Li và tụ điện có điện dung c được
nối với nhau như hình 5.4. Khi K mở, điện
tích trên tụ điện bằng q. Sau đó đóng K lại.
Tìm dịng điện cực đại qua các ống dây.

K

>1

f[

/

ằ

- c


8

'

ĩ

Hình 5.4

5.11. Một ống dây có điện trở thuần R, hệ số tự cảm L, được mắc vào nguồn điện
xoay chiều có suất điện động ỹ = <^cos Củt. Hỏi phải ghép song song với
ống dây một tụ điện có điện dung bao nhiêu để điện tích của tụ điện biến
thiên cùng pha với dòng điện ở mạch chính?
5.12. Một mạch điện gồm điện trở R và tụ điện có điện dung C\ mắc song song.
Hệ được mắc nối tiếp với tụ điện c 2 vào một bộ ắc quy có suất điện động
khơng đơi bằng e. Bỏ qua điện trở troim của ắc quy và điện trở của dây nối.
Xác định điện tích của tụ điện Ci.


5.13. Một mạch điện gồm một tụ điện có điện dung c và mộtcuộn cảm có hệ sơ
tự cảm L mắc song sons (bò qua điện trơ cua mạch). Mắc nốitiêp mạch trên
vào một mạch có một neuồn biến thièn tần số co. Hỏi với điều kiện nào cùa
tàn số (ớ thì cường độ dịnơ điện trons mạch bàng khơng?
5.14. Cho đoạn mạch A BC, trong đó AB chi có điện trở thuần R\ BC gồm ống dây
có điện ữở thuần /?, hệ sổ tự cảm L shep song song với một điện trở thuân R
khác. Nổi A, c với hiệu điện thể xoay chiều ơ = U0coscot. Tính hiệu điện
thè của đoạn mạch BC.

h


5.15. Một mạch điện bao cồm hai v ò n s và ba
nhánh. Nhánh đầu tiên chửa một ác quv
(có suàt điện độn 2
và điện trà tro ne

R

R\) và một khóa Ả' mờ. Nhánh thử hai
chửa một điện trờ /?: và một tụ điện
chưa tích điện có điện dune c . Xhảnh
thử ba chi có một điện trờ R ị (hình 5.5).

I,

Rĩ
Rs

c

y
Hình 5.5

Ả' đóng tại t = 0. Hãy tính điện tich q trên c như một hàm của thời gian t
với t > 0.
b) Lặp lại càu a) nhung với điện tích ban đầu <7o trên tụ điện c .
5.16. Một mạch dao độrm cồm một tụ điện có điện dung c , một cuộn cảm có hệ số tự
cám L. ơ một thời điểm nào đó nsười ta mắc vào các bản của tụ điện một bộ
pin có st điện độne khơnc địi C và có điện trờ trong R. Biết rang tần số dao
độns rièns của mạch con =


1

Tìm cườnti độ dịng điện chạy trong mạch.

IR C

5.17. C h o m ạ c h đ iện n h ư hình 5 .6. đ iện trờ thuần
A . -cz z>
cua L nho không đáng kê và lúc đâu cơna tắc
R,
mơ. dịng điện bàne khơng. Hãy tìm nhiệt
lượns tiêu tán trên điện trơ Rz khi cơng tắc
. ^
±_
đón2 và được giữ ớ trạnc thái đóns trona một
=rU
thời eian dài. Đồng thời, hãy tim nhiệt tiêu
tán trẽn R2 sau khi cơng tấc đóng một thời
Hình 5.6
sian dài được mơ ra và giữ ơ trạng thái mơ
trong một thời gian dài. Cho u = 100V,
= 10Q,- 1OQ, L — 10H.

R,

5.18. Một mạch nối tiếp gôm một điện trơ R, một cuộn cảm có hệ số tự cảm L.
Người ta mac vào dó một suất điện động ? (/) = ^ cos[cot + (p{))lúc t = 0.
Xác định cường độ dòng điện lịt) trong mạch. Với giá trị nào của% các
hiện tượng chuyến tiếp trong mạch khònu xuất hiện?
103



5.19. Người ta đặt vào trong mạch nối tiếp của điện trở R và cuộn cảm có hệ số tự
cảm L một điện thế xung hình chữ nhật: Vì ( t ) = V0 khi 0 < í < T

và

v\ ( /) = 0 khi í < 0 và khi t > T. Tìm điện thế v 2(t) trên cuộn cảm L.
5.20. Cho mạch điện như hình 5.7,
các tụ điện ban đầu tích điện
đến hiệu điện thể ơo- Tại t = 0
cơng tắc K được đóng. Hãy
tìm biểu thức của hiệu điện
thế của các tụ điện sau thời
gian t.

R

R

Hình 5.7

5.21. Một mạch dao động gồm một
cuộn cảm có hệ số tự cảm L, hai tụ điện có điện dung C\ và Cl mắc nối tiếp.
Lúc đóng kín mạch, điện tích ở tụ Ci là ợ, còn trên tụ Ci bàng khơng. Tính
cường độ dịng điện trên mạch.
5.22. Cho mạch điện như hình 5.8. Suất điện động đặt vào hai đầu mạch điện là
ỹ = ềữ COS Cút. Gọi Uab là hiệu điện thế giữa hai điểm A và B.
a) Chứng tỏ rằng biên độ của Uab không phụ thuộc vào c , Rb) Tìm biểu thức pha của Uab.


Hình 5.9

5.23. Cho mạch điện như hình 5.9, trong đó (F = ^ c o s Cút.
a) Hỏi giữa L, c và R phải có mối liên hệ như thế nào để biên độ của /
khơng phụ thuộc vào c, L?
b) Tìm độ lệch pha giữa $ và hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch
điều kiện ở câu a) được thỏa mãn.
104

R, c

khi


5.24. Xét hình 5.10. Các suất điện động là một
chiều. Cho % = 5 V ,
R: = 104Q,

ỊÍ = 10K,

Rị = 104Q,

<ì

các nsuồn điện và điện trở thuần của cuộn
cám khòns đánc kể.

K

B


Z, = 10~JH. Điện trờ ư on s của
R,
R-

a) Khóa K đặt ở vị trí A trong một thời eian
dài. Hãy xác định các dòng điện (độ lớn và
chiều) qua
L

Hình 5.10

b) Khóa K bát ngờ chuyển đến vị tri B. Ngay
sau khi chuyển khóa K, dịng điện qua c) Sau một thời gian dài ờ vị tri B. dòng điện qua <7^, R 1, /?2 và L bằng
bao nhièu?
5.25. Xét hình 5.11. Cho
= 1Q.

R: = 104Q, L = 1H. Điện trờ trong của
nsuòn điện và điện trờ thuần của cuộn
cám khònổ đáns kê. Khóa K đặt tại vị
tri A trons một thời sian dài. Tại r = 0
nó bàt n£Ờ chuyên đến vị trí B. Ngay
lập tức sau khi tiếp xúc với B:

K

sm

L

A.
B

R;

X

R,

Í
Hình 5.11

a) D òns điện đi qua cuộn cảm ban 2
bao nhiêu?
b) Tòc độ thay đồi theo thời gian cua dòng điện qua R bàng bao nhiêu?
c) Điện thế cùa điểm B (so với đât) bans bao nhiêu?
d) Tốc độ thay đổi theo thời eian cua hiệu điện thế trên L bàng bao nhiêu?
e) Giữa khoang thời gian t = 0 và / = 0 ,ls , tơng nănỉì lượng tiêu tán trên R
bãna bao nhiêu?
L,
/TXM)Ũ0Ũx
5.26. Một nsruồn dòng / 0 sin (ớt, với
h) là hãng số, đưực nôi với
mạch điện như trên hình 5.12.
Tản sơ ũỉ có thê điều khiên
được. Tát cả các cuộn cảm L].

L2 va các điện dung C], c 2 đều

Hình 5.12

khơng bị tơn hao năng lượng.

105


Một vôn kế xoay chiều không bị tốn hao năng lượng được nối giữa A và B.
Tích

ục] > Z,C|.

a) ^-ỉày tìm số chỉ gần đúng V của vơn kế khi co rất nhỏ nhưng không
l - U A n rr
bângi t không.

K ã n

b) Tương tự đổi với

Cớ

rất lớn nhưng khơng vơ hạn.

c) Hày vẽ phác một cách định tính đường eong mô tả sự phụ thuộc của số chỉ
cùa vơn kế theo Cớ, nhận dạng và giải thích từng nét đặc trưng riêng biệt.
d) Hãy tìm một biểu thức cho số chỉ của vơn kế trong tồn bộ dải co.
5.27. Cho mạch điện như hình 5.13.

Biết ư = ơ 0cosứ>t, điện trở
thuần của hai cuộn cảm nhỏ
không đáng kể, hệ số hồ cảm
của chúng là Lv_ = Z-, = L2 - L.

R

(~ ) u

-T -C ,

L,\
h

a) Hãy tìm dịng điện tức thời

Hình 5.13

/(/) mà dao động tử phải tạo ra như một hàm của tần số của nó.
b) Xác định cơng suất trung bình đã được cung cấp bởi dao động từ như một
hàm cùa tần số.
c) Xác định dòng điện khi tần số dao động tứ bàng tần số cộng hưởng của
mạch thứ cấp.
d) Xác định góc lệch pha của dịng điện đầu vào với điện áp kích thích khi
tần số dao động tử gần bàng tần số cộng hưởng của mạch thứ cấp.
5.28. Trong khung dao động trên hình 5.14, khi khóa K
mờ điện tích trên tụ điện C\ bang c/0, cịn tụ điện Cỉ

c,

khơng tích điện. Sau thời gian bao lâu sau khi đóng
khóa K điện tích trên tụ điện Ci có giá trị cực đại?

K

/

Điện tích này bàng bao nhiêu? Bỏ qua sự tiêu hao
thuân trở trong cuộn dây tự cảm.
5.29. Trong mạch ở hình 5.15, lúc đầu khóa K mở. Khóa
K đóng lại trong một thời gian nào đó rồi lại mở ra.

C,

Hình 5.14

Xác định dòng điện qua cuộn dây tự cảm ở thời điểm mơ khóa, nếu sau khi
mờ khóa hiệu điện thê trên tụ điện bàng 2 Ĩ , trong đó f là suất điện động
cua nguồn điện. Bo qua điện trớ thuần của cuộn dây và điện trở trong của
nguồn điện.
106


c

/K
— — (T

L,

/ ÍW W 77?V\WWVWVV

L'
-'TrarâOT'Hình 5.15

Hình 5.16

5.30. Trong mạch điện trên hình 5.16. tụ điện c được tích điện cho đến một hiệu
điện thè nào đó, cịn khỏa K mờ. Sau khi đóng khóa, trong mạch xảy ra những
dao động tự đo và khi đó giá trị bièn độ của dịng điện trons cuộn dây có hệ
sị tự càrn L\ bàng lọ. KJii dịng điện trons cuộn dây có hệ số tự cám L\ đạt giá
trị cực đại. rút nhanh lõi ra khói cuộn dày (trons thờieian nhị so với chu kì
dao động). Đièu đó đã làm siãm hệ sô tự cảm cùa cuộn dây k lần.Xác định
hiệu điện thẻ cực đại trèn tụ điện khi rút lòi ra khỏi cuộn dây.
5.31. Trong khung dao độns R L C (hình 5.17), điện
trớ R nho đè các dao độns trone đó tãt dần yếu.
Đẻ thu được các dao độnc khịne tãt dàn. ne ười
ta làm như sau: ờ nhừns thời đièm khi dòng
điện ưona mạch đạt cực đại. naười ta kéo
nhanh cuộn dây tự cám (thời eian nho so với
chu ki dao độnc trone khune) từ chiều dài /|
đèn chiều dài L ( / , - / , «

L

-''"0Ũ0Ũ0Ũ0ƠV-

Ịị
1
I

Hình 5.17

/ , ); còn ơ các thời điểm khi dòng điện tronc mạch

băns khòns. neười ta nén nhanh cuộn dây tự cam đến kích thước ban đầu.
Sự thay đỏi tươne đối cùa chiêu dài cuộn dây

bằrm bao nhiêu đê

các dao độnơ trong khung sẽ không tăt dân? Hệ số tự cảm cua cuộn dày ti lệ
nshịch với chiều dài cua nó.
j (mA)
5.32. Trên hình 5.18 chỉ ra đặc trưng vonampe cua một phần tư phi tuyên nào đó.
Trước khi đặt phẩn từ nàv vào hiệu điện
t h ể ư() - 100V thi khơng có dịng điện
c h ạ v qua nó, cịn sau khi đật nó vào hiệu
điện thẻ U() thì cườnu độ dịng điện qua

o
Hình 5.18

V(V)

nó táng tun tính theo hiệu điện thê. Khi mac phần tư này vào một nguồn
có suát điện động ý khỏrm đỏi và điện trơ tronu /• = 2 5 k íì thì cườnu dộ
107


dòng điện qua phần tử là /i = 2mA. Còn nếu mắc nối tiếp phần tử này cũng
với nguồn nói trên qua điện trở tái R = r thì cường độ dòng điện qua phân

từ là h - lm A . Xác định suất điện động $ của nguồn điện.
5.33. Trong mạch điện trên hình 5.19 có điện
trờ phi tuyển X. Điện trở X có sự phụ
thuộc của cường độ dòng điện l ỵ vào hiệu
điện thế đặt vào Ux dưới dạng l y = a ư ị
trong đó a = 0,25 A /V 3. Xác định công
suất tiêu hao trên điện trở phi tuyến khi
khơng có dịng điện chạy qua điện kế G.
Biết
= 2Q, R2 = 4Q, Rs = 1Q.

Hình 5.19

5.34. Trong mạch điện trên hình 5.20, tụ điện có điệndungc = 100//F

được tích

điện cho đến hiệu điện thế Uo = 5V. Tụ điện được nối với điện trở R = 100Q
qua điốt Đ. Đặc trưng von-ampe của điổt được biểu diễn trên hình 5.21. 0
thời điểm ban đầu. khóa K đóng. Sau đó, khóa này mở ra. Cường độ dịng
điện qua mạch ngay sau khi mở khóa bàng bao nhiêu? Hiệu điện thế tụ điện
bàng bao nhiêu khi cường độ dòng điện trong mạch là 10mA? Nhiệt lượng
aiải phóng ra trên điốt sau khi đóng khóa K bang bao nhiêu?
I(mA)

40
30
20
10

0,5
Hình 5.20

1,0

1,5

2,0

Hình 5.21

5.35. Trong mạch điện ở hình 5.22, khóa K đóng
trong thời gian r rồi sau đó mở ra. Ở thời điểm
~ Ị
mờ khóa, cường độ dịng điện trong cuộn dây
bàng /q. Sau thời gian bằng bao nhiêu sau khi c = L L
L i1
mơ khóa, cường độ dòng điện trong cuộn dây
ĩ
đạt giá trị cực đại bàng 2/o? Xác định đồ thị sự
phụ thuộc của cường độ dòng điện vào thời
H,nh 5-22
gian bắt đầu từ thời điểm đóng khóa K. Bỏ qua điện trở thuần cua mạch.
1 AO

U(V)

l

HƯỚNG DẢN GIẢI
5.1.

a)Tacó

gr _ _ li(p __

CCM

í/| B S

V

)=- —
đ [ BS cos ( cot + (pu)]

= SB (ú sin ( Cút + (p0)

trong đó b) Cường độ dịng điện trong khune dày thỏa mãn phương trình
L — +R I= ể

hay L — + R I = S B (0 sin[íot+ (p0)

R
Phươne trình trên cho nghiệm I = Ae L + / 0.
Ở đây .4 là hàng số tích phân, /ộ là nshiệm riêng của phương trình vi phân
:
, , J
SB(đ

. ằ
\
coL
có vè phải và băng / 0 = = sin [cot + (p0 - a ) với tanơ = -------------------.
\I r 2 +L'(02
R
Tùy theo điều kiện ban đầu của bài tốn ta tìm được giá trị của A.
5.2.

Từ thỏne đi qua khung dày là
—
*
Ị
ộ - B . s = ổ 0sin(ũ*r)cos(íưr) = —# 0flfrsin(2íư/)
Do đó, suất điện động cảm ứns là
/

=
dt

= - B ,.a b COS ( ĩ í ú t )
°
V

Tần so xoay chiều cùa nó là

5J.

y- = í ^ = 2 "
2/

2ĩĩ
2n
a) Từ trường do một dây dẫn thane đặt trong khơng khí, dài vơ hạn, mang
UI
dịng điên / sinh ra tai mơt điẻm cách dây môt khoảrm r là B = —— .
2nr
Từ trường này có phương vne góc với sợi dây. Đổi với dây dẫn 1 (hình 5.2)
từ trường có chiều đi vào trana sách, cịn đối với dây dần 2 thì từ trường có
chiều đi ra ngồi trang sách.
Tư thơng do dây dẫn 1 gừi qua vòng dây là
4 =- '1\ t i é L d r = Ị ± ằ L ]ni
2
ìrl 2 n r 2 ĩĩ
109


Từ thơng do dày dẫn 2 gửi qua vịng dây là
2(1

ệ , = \ ^ I d dr = ^ - \ n 2
2n
Từ thơna tồn phần gửi qua vòng dây là
_ Mold . 4
ệ =ệ ,-ị =

2n

3

Suất điện động cảm ứng trong vịng dây hình vng là
cU_

dt

2/r

3 . cừ

b) Từ trường do dòng điện cảm ứng sinh ra có xu hướng chống lại sự biến
thiên của từ thơng, sao cho từ trường này có hướng đi vào phía trong trang
sách. Sừ dụng quy tắc bàn tay phải ta thấy dòng điện cảm ứng chạy theo
chiều kim đồng hồ.
5.4.

Suất điện động cảm ứng trong cuộn dây được cho bởi
ĩ

= - ị - \ B d S

d tị
Vì d s vng góc với mặt phang cùa cuộn dây, nên
-> ->
r_
>
B d s = B COS - - G d s , với 6 = (Ot
2
/
Ta có
CT

----- j.S'sin(ft)/)í/5' =

[ n a 2NB sin

= -ĨĨC1 2coNB cos [cot) = - R e ^ n a 2a>NB exp ụ Cút yị
Dòng điện trong mạch được xác định từ phương trình
L ^ - + IR = Ĩ

dt
Thay / = / 0 exp (icớt) vào phương trình trên, ta được
1 ĩcrcoNB
ĩĩcrcoNB
/ 0 = -------- —— = —— - -

với (p = arctan

' (oL>
V

,

/ (0 =
10

R

■'íỉ+”)

. Do đó, ta có

/

KLưtoNB
R + c oL

f cos

(

n

V

2

ncrcùNB
-sin
7 r2
+ (ủ L


5.5.

a) Phương trình mạch điện có dạng — =
lit

CR

Do đó q ( t ) = q0e RC

ơ đày <7o = C U 0 là điện tích ban đau của tụ điện.
Vì vàv ư =
c
5.6.

= ư ữẽ *ẽ. Ị = _ ỉ ! l = ! ỉ ± e ~ ế m
lit
R

Hiệu điện thé giữa hai bản tụ điện là u - — . Ta có phươiig trình
L ^ ị- + R I = —

dt

( 1)

c

Thay / = - — vào (1), ta được L ^ - Ậ + R — + — = 0

Jr

cừ

dí

c

( 2)

Phương trinh (2) cho nghiệm lỊ = c , e r,r + C 2e'2' với /'12 là nghiệm của
R
R2
1
phương trinh đặc trưng, tức là r. , = — — ± . I— ------- .
2 L V 4Z,
LC
Cịn Cl. C; là các hằng số tích phàn được xác định từ điều kiện ban đầu.
Khi

t

= 0,

LỊ

= <70 thì / 0 = - —
dt

5.7.

= 0 . Do đó c , = — — ợ0, c , = —s
r2 ~ r\
r2 ~ ri

Điện ướ tương đương cùa mạch điện là

.
/?tJ

Từ phươne trinh IR = ơ , ta suy ra / =

/?

r

2

=ơ

r,
Mặt khác / = - C

í/ơ
í//

Do đó
ơ

c

1 1
—+ /? r.

Dong phóng điện là /

Dong nạp là /„ = / 0 - /

; u = ư ữe; ( H ) c

ch/
,dư
í 1 0 -( i +Mi
= —— = - C —— = ơ 0 — + - e v
dí
dí
r)
u

= ơ rj

1- e

«

)-

r Jr

111


Đẻ / cùng pha ợ, cũng tức là / cùng pha <£ thì /o phải thực. Vì vậy, phần ảo
cua (1) phải bàng khơng. Do đó, ta tìm được c = —2.
— ỉ—
R +CỬ L
5.12. Ta xét mạch 1 2 3 4 5 6 7 8 1 và mạch 1 2 3 9 10 6 7 8 1 (hình 5.3G). Lưu ý
ràng dịng điện qua R bàng
R
ílq2 dq,

'
Ta có: R

lit

dt

dq 2

dqx

dt

dt

c,

cr — ^h
■(P
t

10

0)

ỹ -íL -3 i. =Q
c, c 2
Từ (2) ta có: — =
dt

2)

c , dq2
C2 dt

Thay (3) vào (1), ta được

Hh l h

(3)

Hình 5.3G

iq2
dq
dt

q2
?2
R

_(r

(C| + c , )

c
c 1 +c
vCj
+ 2/
V

1

N

ệm: ợ,
Phương trinh trên cho nghiệm:
q2 = C,(F
C2
Từ (2), biết Íj2 ta tìm được: q] =

e /?*C|+C^.

5.13. Điện trở phức của tụ điện và cuộn cảm là Z L = iLũ), Z c
iCcờ
Hai điện trở này được mắc song song với nguồn có suất điện động là ft. Vậy,
ý{ 1
1 '
cường độ dòng điện trong mạch là / = — = ỹ
= i — (co-LC-\\
z /. z c
cùL
1
V
Điều kiện đế / bàng không là (O'LC - 1 = 0 hay

LC
I,
JLL
■+Ỉ-— í'0ỊỜ000ơơv-

5.14. Từ hình 5.4G, ta có
IR + I ÌR = Ư - L Ẽ L
dí

(1)

ỈR + ĩ 2R = ư

( 2)

/,+ /,= /

(3 )

A

R

c

B
R

I

Từ đó ta tìm được 2 L —— + 3RĨ-, = - ^ - + u
clt
2 R dí
114

1
Cờ1

u
Hình 5.4G


Khi biểu diễn V = ơ 0e'w , / = i ỵ 01, ta có (2/ứ>L + 3 /? )/0 = ơ 0 1+

/íyL

Từ đó suy ra
,

„

R + icoL

t ĩ ( R + ì(ơL ) ( 3 R 2 - 2 ùoRL)

*n

n

-*

'■'A

‘°

~ ° 3 R 2 +2i(ứRL

0

(3/?): - ( l i c o R L ) 2

3/? + — —— + /ft)Z.
R________
= ư'
9/?' + 4tì>2Zf
3R +

2(0 - Lr - ^

hay ta cỏ thể viết ỉ 0 = ư 0 -

1 T1

+ C0 L

~ /T

(1)

o"P

9 R l +A(02ứ
roi Ađày
' ttan

- — - (ủLR
3/?2 +2
J ( 3 R 2 +2ứ)2L2f + ũ)2L2R 2
Biểu thức (1) còn được viết dưới dạns 10 = ư 0,
,
'
X—
«*■

/ỉ(9/ỉ + 4ft> z, )

J ( 3 R 2 +2(ƠZL2) + ũ)2L2R 2
Như vậy I 2 = ỉ 0e ifưr = U 0R [ 9 R 2 + 4 củĩ L1 ị
n

j / v _____________________ £ __________________

,.......

A
Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch B C là ƯBC = /? .R e (Ạ ).
Ớ đây R e ( /: ) là
là phần
phân thực của ỈIz.
2 . Ta có
Ậ l R 2 + 2 co2L2)2 + ú)2Ứ R 2
Use = ư 0

- _ 2

J

■>

COS

9 R 1 +A(01L

5.15. Gọi dòng điện trong ba nhánh là /, / | , h (hình 5.5) và điện tích trên
thời điếm t > 0, ta có

c

là <7 tại

= //?] + /,/? 3 ; #" = //?! + /,/?, + — ; / = / , + / , .

Vì — = Ợj, các phương trình trên cho — = -/1(7 + ổ
dt
cỉt
trong đó /4 =
Giai ra để tính q, ta đươc ợ = c/e '' H— với í/ đươc xác đinh từ các điều kiên
A
ban đầu như sau.
115


5.8.

,
,
_
dl
Xét tai thời điêm t bât kì (sau khi đoản mach Rì), ta có //?, = # - L —

at

d i /?, , £
Từ đó, suy ra — + — / =
.
dt
L
L

(1)

ỹ
-4
Nghiệm tông quát của (1) là / = — + Ce L
R,
, ta tìm được

Sử dụng điều kiện ban đầu / (o ) =

c =—

R , ( R , + R 2y

R\ + R 2
-ỉ'
Vây / = —----- —7 _ ■e L .
R, R , { R x+ R 2)
5.9.

a) Gọi q là điện tích trên bản tụ điện nối với cực dương cúa ắc quy. ứ n g với
hai mạch (hình 5.3), ta có
dl
L - ^ - + IR = &
dt

(1)

Ir = F - 3 -

c

(2)

1 - 1,

(3)

dq_

=

dt
trong đó / là dịng qua ắc quy, I\ là dịng qua L.

.
d 2I
\ dỉ
T ừ ( l) , (2), (3) ta tìm được — 7 - + —— —
dtR C dt

^

I

ĩ

CL

LCR

Nghiệm của phương trình này viết dưới dạng
(
■ .
I \
sincy/
IRC
1' 4 R V coRC
A'
1
1
trong đó
(ứ = —--------~
7~ r •
CL 4R-C-

ịl
b) Khi tháo bỏ ắc quy ra, suất điện động bằng khơng, ta có — - +
= 0.
dt
LC
Đặt coị = — — , phương trình trên cho nghiệm là

q=
112

£ _
co„R

sin (Oyt.


5.10. Phươns ưình cho mạch cỏ L \ , c (hình 5.1G) là
dt

(1)

c

Phương trình cho mạch có L \ c là L — 1 = —
(ừ

(2)

c

trona đó / . + / , = / =
'

(3)
dt

2

T.'_/IN .i í-i\
d ( I t + I 2)
q L .+ L
Từ (1) và (2) suy ra ——----- — = - r ——— dt

c

(4)

L ,ụ

Kết hợp (3) và (4) ta có phươns trình cho q là
í//2

b

CẢ,L,
+1

trong đó co =

IZ,! + z,2
Hình 5.1 G

c l xl 2

Khi / = 0 thì <7 = <7o nên ộ? = 0 , do đó q = ợ0cosfí)t.
Thav (5) vào (1), ta có — = -^ -cosứ jr => /, =

í*

Từ đó suy ra / l0 =
(úL^C

z,c

(úLxC

(5)
s in (ùt

= <ỉot

k
Tương tự / :o = - Z 2 - = ợ0
C L .m + L ,)
á>Z,2C
5.11. Từ hình 5.2 G, ta có
L ^ - + I,R = Ĩ , l = ĩ
dt
1

c
/,+ /2= / , / 2=

dí
Từ các phương trình trên suy ra
rdl

L
Viết

dt

+

Lĩ

-T-C

Phưoms trình trên cho nghiệm q = <7ửcos(ứtf + ộp)

n,

/?/

^

— ử" +

ỵ t nr, d ĩ

LC

dt

r— t"A

và ỉ dưới dạng phức,
L --------

dt
, / = / 0e,v"\ khi đó


Đè I cùng pha q, cũng tức là / cùng pha

thì /o phải thực. Vì vậy, phân ảo

cúa (1) phải bàng khơng. Do đó, ta tìm được c = —
— ^ ^ T—
T% ỉ
R +ú)L
5.12. Ta xét mạch 1 2 3 4 5 6 7 8 1 và mạch 1 2 3 9 10 6 7 8 1 (hình 5.3G). Lưu ý
ràng dịng điện qua R bằng

Ta có: R

dq2

dqx

dt

dt

r dq2
dt

clq] N _ cr _ ^2
dt
c

CLL_- ̱LL = o
^ r _ ÌẤ

c,

c2

Từ (2) ta có: ——= - c , dt
ế/í
Thay (3) vào (1), ta được *22,
dt

Si

p

R ( c ~ + c 2)

C2

R \ C x+ C 2 j

liêm: q2
Ơ-, = ỉC2ỹ
—e ff(C|+r-)
Phương trình trên cho nghiệm:

Từ (2), biết qi ta tìm được: ợ, = C,«Fe

fi(c1+c2)

5.13. Điện trở phức của tụ điện và cuộn cảm là Z L = iLú), Z c iCcở
Hai điện trờ này được mắc song song với nguồn có suất điện động là %. Vậy,
cường độ dịng điện trong mạch là / = — = íT

1

1

(F

z,

coL

Điều kiện để / bàng không là Ứ)2LC - 1 = 0 hay Cớ1 = —í—.
Lc
5.14. Từ hình 5.4G, ta có

(II
R
IR + I.R = ư - L^ —
(1)
A
1
dt
IR + I2R = ư

(2)

/,+ /, = /

(3 )

114

c

/J

Từ đó ta tim được 2 L ^ 2- + ĨRI, = ^ - ^ L + U
(It
R dí

( ú) 2L C - l).

u
Hình 5.4G

Khi biểu điền ư = ư 0é'*, / = i ỵ * , ta có (licoL + 3R ) I ữ = U ữ
V

R

Từ đó suy ra
,
*

ir
R + itoL
i\
S
0 3 R 2 +2ùoRL

rr ( R + ừo L) (3 R 2 -2i( ơRL )
ft
v'°
(ÌR ): -(licoRL)2

2 (ũ L :
3>R + — —— + i(oL
= ư -----------—-----------0 9R2 + 4a r L 2
2V

3R +

2 oj ' L :

R

1 T’

+ (ủ L

J
hay ta cỏ thể viết / 0 = ư 0

(1)

9 R : +4(ứ:L:
coLR
Ờ đày tan

J ( 3 R 2 + 2 ũ)2L2)2 + cờ2L2R 2
n / n n ĩ 7 T77T------R ( 9 R + 4 co L )

Biéu thức (1) còn được viết dưới dạns 'o =

Như vậy / 2 = Iữe i(* = U0

JV (V 3 R 2 + 2(ỜZL2/)2 + ũ)2L2R 2 i(íút+ự>)
, ( ,
R ( 9 R 2 +4 ( 0 2L2)

Hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch B C là ƯBC - R. R e ( / , ).
Ớ đây Re( / , ) là phần thực của h . Ta có
Ậ 3 R 2 + 2 co2L2)2 + ú)2L2R z
U BC = u 0

5.15. Gọi

c\ n 1

4

■* »2

COS {(Ớt + (p)

9 R ' + 4 ú ) zư

dòng điện trong ba nhánh là /, / 1, / 2 (hình 5.5) và điện tích trên

c là CỊ tại

thời điềm t > 0, ta có Vì — =
dt

các phương trình trên cho — = - / í <7 + 5
cit
/?. + 7?.,
trong đó A = - — ------ 1----- ------, _
(/?,/?, + /?,/?,+ /?,/?, )/?,/?, + /ỉ2/ỉ, + /?,/?,
5
Giai ra đê tính q, ta đươc ợ = í/e '' + — với í/ đươc xác đinh từ các điều kiên
A

ban đầu như sau.
15


a) Neu q(0) = 0 thì d =

A

và

B/
A, \
& Rị
.
q = —[l - e
)=
-M l - e x p
H Ay
’ R ,+R 2

t)

*■+*3
(R ^ + R A + R ^ C

)

b) Neu q(0) = qo thì d = q0 ~ — và
A

r(9o~
(
ì

y

ĨR , |
Ĩ R 3.
<7o /Ỉ, + /? ,
Rt +R2 V

exp- _________^1+^3_______ t

( Rị R-, + R-)Rị + /?3/?|) c J

J

5.16. Kí hiệu dịng điện qua cuộn cảm. tụ điện và bộ pin là I\, h và / 3 . Hệ thống
được mắc như hình 5.5G. Ta có

/ ,+/2+/3= 0

(1)

Phương trình cho mạch có L \ k C
Ế Ỉ L - Ỉ l- = 0
dt
c

(2)

f -

Phương trình cho mạch có L và R
L ^ - = ỹ--R I.
dt
3

(3)

h
Hình 5.5G

Từ các phương trình (1), (2), (3) suy ra
L di,

/, _ jr

c~

/?c dt

í/r

RC

1,

(4)

Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm là r = -

-0 3 1

2/ỈC

rr

với (0 ữ = J —
V

X

2/?C

ỉ

là tân sô dao động riêng.

1---------------------------------------------------------------Theo dữ kiện của đê bài, ta có ũ)0 = —-— , do đó r = ----IRC
2RC
Ngồi ra

0

(/ < 0)

ĩ

(/> 0 )

=

ĩ
Từ đó ta có / , ( / ) = — j l

exp
V

116

IRC

1 ì
IRC


5.17. Xét một điện trờ R và một cuộn cam L mẳc nối tiếp với một ắc quy có suât
điện độns
Ta có
ể - L — = IR hay ^ M - = - R —
dt
Ĩ-IR
L
Lấy tich phàn hai vế, ta được Inf/" - / ( / ) / ? ] = - - + K , trong đó r = — và
r
R
K là hàng sổ. Đặt / = /(0 ) tại t = 0 và / = /(o o ) khi f - » 0 0 . Khi đó
K = ln Ị ^ -/(o )/? ],

/ (oo) = — và nghiệm sẽ được viết dưới dạng sau
R

/ ( l ) = /(oo) + [ / ( 0 ) - / ( » ) ] / í .

Bày giờ ta xét mạch trong hình 5.6.
-K h i cịng tẳc vừa mới đóne. la có Ig (o ) = — —— = 0,91A
:
^1 + ^2
Sau khi cịng tấc đóng một thời eian dài, ta có I R2 (oo) = 0
Sở đĩ như vậy là vì trong trạne thái dừng, tồn bộ dịng điện sẽ đi qua L, do
nó có điện trờ nhị khơng đáne kẽ.
,
.
L ÍR .+R ,)
Hãng sị thời eian của mạch là r = ------L- —— = 1, ls.
R,R2

Do đó. ta có
( » ) + [ ' ., ( 0 ) - /» , (« )> ■ " ' = 0 ,9 1 ^ " ^
If, = ] / ’ ( t ) R , d t = 1 0 0 J o , 9 1 V 'n dt = 4 5 ,5J
0
0
, X u
- Khi công tãc vừa mới m ã la có IL(0 ) = — = 1OA
R\
Nãn 2 lượng tích trữ trong cuộn cảm L tại thời điểm này sẽ tiêu tán hoàn toàn
trong điện trờ Ri- Như vậy, nhiệt tiêu tán trong Ri là
w = -ZV,2(0 ) = - . 10.100 = 500J
2 iW

2
5.18. Lập phương trình vi phân đối với /, ta có
L — + RI = <^cos (cot + (p)

117


Giải phương trình trên với điều kiện ban đầu như đề bài, ta được
R
COS{(O t + (pữ- ( p ) - e L COS{(pữ- ẹ )
W - n\ Rr +- (0
' rL
., .
trong đó tan ợ? =

củL
R

R
Q trình chun tiếp sẽ mất khi tan(pữ = - - —.
L
5.19. Phương trình đổi với cường độ dòng điện trong mạch
L — + RJ = V0
dí
°
với 0 < / < T và /(0) = 0

(1)

L ^ + RỈ = 0

dt

(2)

với t > T và I(T) là giá trị của/nh ận được ở ( l ) khi t = T.
Từ (1) ta có / =

V

( R \
1 -e x p R L\ L )_

— t

Điện thế của L bằng V2 = V X- R I = Vữ- R I ( V 1 = Vo là điện thế toàn mạch,
Rỉ là điện thê của điện trở). Từ đó suy ra V2 ( /) = V0 exp
ỉA
Từ (2) ta có I' = - — exp

(

R '
t .

R ì
L

LA
Khi t - T thì / ' ( / ) = / ( / ) , do đ ó ------ exp í R- T = i i
R

R
K L ,
R
Ị (,-T )
-I
■r = ỉ í
Suy ra A = — 1 - e x p
-e L
L
R
-Ề ụ -T )

Từ đó, tính được V2 ( t) - V0 e

-e

0

( , < 0)
_R

Kết quả là V2( t ) =

(0 < r < r )

v0e l '
L

118

AC - t1)

ụ>T)

1- e x p í R )
K L y


5.20. Giá thiết tại thời sian /, hiệu điện thể trèn hai tụ điện là u 1, Ư2 và các dòng
điện trong ba nhánh là /|. / 2, /3 như trên hình 5.7. Ta có các phương trình sau
I,R + I2R - V 2 = 0

(1)

IÍR - Ư l = 0

(2)

/, - 1: + / 3 = 0

(3)

dư2
=-c
/, = - c

(4 )
từ

(5)

dt

Từ (2) và (5) suy ra L = RC — .
dt
Kèt hợp phươns trình này với các phưcms trình (3) và (4) ta được

(6 )

It + C ^ + R C ^ = 0
cừ
lỉt
ư 2 , r dUA
Từ các phươns trình (1) và (4) ta có /. = —r- + C — 2
1
R
dt
.
*
d 2U 2
3 dưz
ư2 A
Thay vào ( 6 ) ta được —
+ ———— + —- ■■ = 0
dr
RC dt
R c

-ru

RC

Phưcma trình trên có nghiệm ơ , = Ae

2

- - —

+ Be

t RC

2

trong đó A và B là các hàne sị tích phân.
Từ đỏ ta tìm được
í/, = I tR = ư 2 + RC

dư: _

1 + V5

dì

- Z f il

I RC

RC

Ae

2

2

Khi sừ dụng điều kiện ban đầu tại t = 0 thi ơ, ( 0 ) = ư 2 ( 0 ) = ± ơ 0.
Từ đó ta sẽ xác định được các hăng sô A và B.
5.21. Phươna trình cho mạch điện có dạng
í/2T/ +
L, —
clr

_Ị_

J_

c

^

V '-I

c

1 = 0 hay

d 2I

+

clr

Phươnỵ trinh trên cho nghiệm ỉ { t ) = A sin

( c ,+ c ọ
l c }c 2

1= 0

C .+ C
I— ' — t + a , trong đó A và
<]Ị Z,C,C2
j

u là các hàng số tích phân được xác định từ các điều kiện ban đầu.
19


Từ điều k iệ n /(o) =0

=> a =0

Từ điều k iê n —
= ——
dt,__0 LC\

=> A = q ------ ----------- ^ L C .ịq + q )

I

C
y IC, (c, +C2)

Ket quả ta thu đươc l ( t ) = q —— 7 3 T— — -s in

w

í |c +C N
t ■

lUQQ

5.22. a) Từ hình 5.8, ta có
w

2
2^

/ỉ+ —
/ứ>c

/? ---íuC

2=

2ĨR
RũũC

2(F\ /? -

/? +

Do đó:

R+
củC

/«%<2- ii(út+7r)

= 2%ey

= R ---- _L
&>c

(1)

/?----- L
coC

Từ đây suy ra Ịơ ^ l = 2 ^
Như vậy biên độ của U a b không phụ thuộc vào

c,

R.

b) Từ (1) ta có thể viết
ƯAB =

= 2 ^ ? í(
^ tan(px =. ------1 , tanẹ>, = 1
trong đó
/?'■
R cúC
Như vậy, biểu thức pha của

U ab

là (p =

(ú t

+

n

5.23. Từ hình 5.9, ta có —7 — = 4" + —Ị— = 4 - + iứ)C

z,c R

J_
/ft>c

Từ đó suy ra

120

=

R

1 + /Vư/?c

*

+ ợ>, -

ọ 2.


X
1 a cung CO

1 ừ đó suy ra

11 1
—— = — + Z Rl
R iioL
icờRL . _
coLR
Z RL = ———— hay Z R! =
R + UoL
(ớL - iR

^

[ /? ( l- < y 2Z.C) + 2/ứ)Z.]
Do đó z = R 1
[ r (l - co2L C ) + ũo( L + C7Ỉ: )]

Khi L +CR-=2L hay —= /?-' thì z =/?.
c
Lúc đó biên độ của dịng điện /„ = — = — sẽ khône phu thuôc vào L và c .
z
R
b)

--- - -- = -■■ ấ
é*'0'-*')
Ta có ƯRC = I.ZRC
R (1 + icoCR) J i + 0)2c 2R 2

Như vậy, ƯRC trề pha so với f
5.24.

một sóc (Ọ, với tan(p = ft)CR.

Sau khi khóa K ở vị trí A một thời aian dài, L tương ứng với sự ngấn mạch.
Khi đó ta có

I, =0
%
5
/„ = — = — - = 0, 5 pl4, theo chiêu đi lên
*

/?,
104
I , = I R = 0 ,5 niA, theo chiều về bên phải
I.L = I ‘I
, = 0,5mA, theo chiều về bẽn trái
b)
Khi khóa K bất ngờ chuyển đến vị trí B, IL tức thời có giá trị khơng đổi,
cụ thể là II = 0,5m A và có chiều về bên trái. Gọi dòng điện qua R\ và R2 là
và I R , chiều của chúng tuơng ứng là đi xuốnu và sang phải. Bây giờ ta
có

+ 0 ,5 .1 0 ”' = I R
r,R , + ụ

« ,= (/*+ /,, ).10‘ =ỈC = 10K

Giãi các phương trinh trên, ta được
I R = 0,25m A , chiều hướng xuống dưới
IR = 0,75m A , chiều hướng sang phải
IE = 0,25/7lA, chiều hướng sana trái
IL = 0,5m A , chiều hướng sans trái
121


c) Sử dụne kết quả của a) nhưng thay
= 5V bằng & = - 1 0 V , ta có
or
l R = - = -ln iA, dấu ( - ) nghĩa là chiều của I R lúc này hướng xuống dưới.
'
R

A ,= 0
I E = -1 mA, dấu ( - ) nghĩa là chiều của I E lúc này hướng về bên trái.
I L = - l m A , dấu ( - ) nghĩa là chiều của I L lúc này hướng về bên phải.
Trone trường họp này, các dịng điện có chiều ngược với chiều của chúng
trong trường hợp a).
5.25. a) N gay khi đóng khóa K (tại thời điểm / = 0), vì dịng điện qua cuộn cảm
Ị
không thể thay đổi một cách đột ngột, nên ta vẫn có I L (o ) = — = - = \A.
R\ 1
b) Vì

= ỉ lR?, nên
dt

dt ,=0

= - I L ( o ) — = 1 .-^ - = - 1 0 4A /s
L
1

c) Nếu gọi VB (o) là điện thế của điểm B so với đất ở thời điểm t = 0 thì
M 0 ) - - M 0 ) * 2 = - 1 - 1 0 4 = - 1 0 4V
d) Khi U L = VB = I lR2, ta có

dt ,=0

R2
Í104)2
.R2
=

/
,
(
0
)
—
=
l
.
L
- ^ L 1= - l 0 8 v /s
2
LV ỉ L
dt ,=0
iV / L

e) Áp dụng công thức WL = —L I I

(o),

/ , ( 0 = ^ ( 0 ) ^ ' = e - ,0‘'A

,

trong đó

Tồn bộ năng lượng tiêu tán trên R trong khoảng từ t = 0 đến t = 0,1 s là
K = ^ ỉ ( Õ ) - | i / ỉ ( 0 , l ) = 1 :l . ( l ) ! - ị l . = 0 , 5 J
5.26. a) Trở kháng cùa cuộn cảm là icoL, còn trở
kháng của một tụ điện là

— —

. Đối với

— ________ __________

CO

ỈŨ)C
,
rât nhỏ, dòng điện đi qua các tụ điện có thê
bị qua và mạch tương đương bây giờ như
hình 5.6G.

A

I(jSmcũt

(P )

/t

Lĩ

Hình 5.6G

Như vậy ta có VHA = JZ = icoLJ với / = ĩ ue i(ơ'.
Vì các máy đo xoay chiều thường chỉ các giá tri hiêu dung nên

Vdo = —= L c o L , .

V2


b) Đối với ft) rất lớn, có thể bị qua các dòng điện đi qua các cuộn cảm, và
mạch tươnc đương như ưèn hình 5.7G. Ta có
VBA = I Z = -/■

/

và
>Ĩ2coCt
c)

Đặt

Hình 5.7G

rư, = - 7= = = ,

^
rư, -=• ,—

.

Vì

Z.:C: > z^c, nên ít), > ft),. Đ ồ thị biểu diễn
sự phụ thuộc của sổ chi của vòn kể theo

(ở có dạns như trên hình 5.8G. Hệ này có
tính cảm kháns khi co nam ưonc vùng
(o.ídu) và có tính dun» khảng khi (0 nam
Hình 5.8G

trong vùng Ị ítf, , 0 0 Sự cộnc hường xảy
ra tại các tần sổ c đặc trims (ứị và cạ,.
d) Trớ kháng tồn phần z là tôns hợp cùa hai trở kháng Z], Z2 mắc song song
Z

7 7

= —l

2
z, + Z 2

'I• z7 r=
VỚ

-ịk

, Z 2 = i ũ)L2 (ớC,2

c,
I/

Như vậy

z =

1
(ủL,

újL2 -

Do đó số chi cùa vôn kê là
I,
VB< =
1

r - CoC, +
coL

coL2

coC2

Lưu ý ràng biểu thức này sẽ quy về các kết qua trong a) và b) đối với cư rất
nho và rất lớn.
123