TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NGUYỄN TẤT THÀNH –YÊN BÁI
(Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT
CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC
BỘ
LẦN THỨ ..., NĂM HỌC .....

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

ĐỀ THI MƠN: VẬT LÍ LỚP 11
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Tĩnh điện (4,5 điểm)
Một điện tích điểm mang điện tích dương q được đặt gần một quả cầu kim loại bán
kính R. Quả cầu được nối đất và giữ cố định.
1. Điện tích điểm q được đặt cố định tại một
điểm nằm cách tâm quả cầu một khoảng d (Hình 3a).
Bằng phương pháp ảnh điện. Hãy
a. Xác đinh lực tương tác giữa điện tích q và
quả cầu.

R

d
q


Hình a.
b. Xác định véctơ cường độ điện trường E tại

các điểm nằm trên đường nối điện tích và tâm quả cầu, cách điện tích q một khoảng r.

2. Điện tích điểm q có khối lượng m được nối
với một sợi dây mềm, nhẹ, mảnh, khơng dãn, cách
điện và có chiều dài . Đầu kia của dây được gắn vào
điểm O cố định (Hình b). Điểm O và tâm quả cầu cách

q

R



L

nhau L (L > + R). Bỏ qua tác dụng của trọng lực.
Kích thích để q dao động nhỏ trong điện trường. Tìm
tần số dao động.

O

Hình b.

Câu 2: Dao động (4,5 điểm)
Hai quả cầu nhỏ bằng kim loại, có khối lượng tương ứng là m và M và đều có bán
kính r, được nối với nhau bởi một lị xo dẫn điện, có độ cứng k. Độ dài lị xo khi khơng biến
dạng là l0 ( l0  r ). Lúc đầu hệ không mang điện và ở trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang
không dẫn điện. Bỏ qua ma sát.



a. Đặt hệ trong điện trường đều có cường độ điện trường E
hướng dọc theo trục của lị xo (Hình 2a). Hãy xác định chu kì và
biên độ dao động của các quả cầu so với khối tâm G của chúng từ
sau khi bật điện trường.
b. Tắt điện trường. Khi hai vật đứng yên và lị xo khơng bị
biến dạng thì tác dụng lên quả cầu I (khối lượng m) lực F biến

m


E

Mm

Hình 2a

m
F
O

Mm
x

Hình 2b
thiên tuần hoàn: F F0cost hướng dọc theo trục của lị xo (Hình
2b) với F0 và ω là các hằng số dương. Viết phương trình dao động của quả cầu I ở chế độ ổn
định.


Câu 3. Điện học (5,0 điểm)


E

1 K
Cho mạch điện như hình vẽ, E2 =1,5 E1 , bỏ qua các điện trở
trong của nguồn, cuộn dây thuần cảm, các tụ điện trước khi mắc vào
L
C
mạch chưa được tích điện, đi-ốt lí tưởng. Đóng khóa K.
a. Viết biểu thức đện tích trên tụ và dịng điện qua mạch khi chưa
A
B
E
có dịng qua nguồn 2
Đ
b. Sau thời gian bao lâu kể từ lúc đóng mạch thì có dịng điện
2
qua nguồn E2 . Khi bắt đầu có dịng qua nguồn E2 thì cường độ
dịng điện trong cuộn dây bằng bao nhiêu?
c. Hãy xác định biểu thức dịng điện qua nguồn E2 và điện tích chuyển qua nguồn
E2 sau khi K đóng.

E

Câu 4. Quang hình (4,0 điểm)
Một bình hình trụ đựng thủy ngân quay chung quanh trục thẳng đứng của hình trụ với
vận tốc góc không đổi  . Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, bề mặt thủy ngân lõm
xuống. Bỏ qua ảnh hưởng của lực căng mặt ngoài. Chứng tỏ rằng một chùm tia tới song
song chiếu từ trên xuống dọc theo trục quay, sau khi phản xạ trên mặt thủy ngân sẽ hội tụ lại
ở một điểm. Định vị trí của điểm hội tụ này?


Câu 5. Phương án thực hành (2,0 điểm)
Cho các dụng cụ sau:
+ Một viên bi đặc, đồng chất có dạng hình cầu.
+ Một thước Panme.
+ Một đồng hồ bấm giây.
+ Một bán cầu rỗng chưa biết bán kính cong.
Hãy xây dựng cơ sở lý thuyết và từ đó nêu phương án thí nghiệm đo bán kính cong của
bán cầu rỗng trên.

.....................HẾT.....................
Người ra đề
(Ký, ghi rõ Họ tên - Điện thoại liên hệ)
Lại Xuân Duy


HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1. Tĩnh điện (4,5 điểm)
Một điện tích điểm mang điện tích dương q được đặt gần một quả cầu kim loại bán
kính R. Quả cầu được nối đất và giữ cố định.
1. Điện tích điểm q được đặt cố định tại một điểm
nằm cách tâm quả cầu một khoảng d (Hình 3a). Bằng
R
d
phương pháp ảnh điện. Hãy
q
a. Xác đinh lực tương tác giữa điện tích q và quả cầu.



b. Xác định véctơ cường độ điện trường E tại các
điểm nằm trên đường nối điện tích và tâm quả cầu, cách
điện tích q một khoảng r.
2. Điện tích điểm q có khối lượng m được nối với
một sợi dây mềm, nhẹ, mảnh, khơng dãn, cách điện và có
chiều dài . Đầu kia của dây được gắn vào điểm O cố
định (Hình b). Điểm O và tâm quả cầu cách nhau L
(L >  + R). Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Kích thích để
q dao động nhỏ trong điện trường. Tìm tần số dao động.
Câu 1
1

Hình a.

R

q



L

O

Hình b.

Nội dung

Thang điểm


Dùng phương pháp ảnh điện, xác định điện tích q’ tương đương với
điện tích trên mặt quả cầu:
Điện tích q’ nằm trên đường thẳng nối tâm quả cầu và điện tích q,
cách tâm quả cầu một đoạn d’. Do quả cầu nối đất, điện thế tại một
điểm B bất kỳ trên mặt cầu bằng 0. B cách q, q’ lần lượt là r 1, r2. Ta
có:
VB 

1  q q'
q q'
   0   0
4 0  r1 r2 
r1 r2

(1)

2
2
2
2
Trong đó: r1  R  d  2Rd cos  và r2  R  d '  2Rd 'cos  (2)

(1) và (2) 

q '  q

R
d

(3)


F k

a. Lực tương tác là:

và

d ' 

R2
d

(4)

q2d 2
R 2  d 2  R 2 

O

I2

0,25
0,25
0,5

b. Ta đi xét điện trường tổng hợp tạo ra bởi điện tích q và ảnh điện q’:

I1

0,5


I3 R

I4 x

Tại các điểm nằm ngồi quả cầu nằm trên đường nối điện tích và
tâm quả cầu, cách điện tích một khoảng r > 0:

0,25




R


q

1 q

d
E I1 

2
2

2
4 0 r 
R  


r  d 



d  



r
;
r



R


q

1 q

d
E I2 

2 2
4 0  r 2 
R  

 r  d 




d  



r
;
r

0,25



R


q

1 q

d
E I4 

2
2

2
4 0 r 
R  


r  d 



d  



r
;
r

0,25

Tại các điểm bên trong quả cầu:
2


E I3 = 0

0,25

Khoảng cách từ điện tích q đến tâm quả cầu là:
d  L2  2  2Lcos 

(6)

Điện tích cảm ứng trên mặt cầu tương đương với điện tích q’ được
xác định trong câu a. Do đó lực điện tác dụng lên q là:

1
qq '
1
q 2 Rd
F 

4 0  d  d ' 2 4 0  d 2  R 2  2

Thay giá trị của d từ (6,7):

0,5

(7)

1 q 2 R L2  2  2Lcos 
F 
4 0  L2  2  2Lcos   R 2  2

0,25
(8)



Lực F là lực hút, có hướng dọc theo đường thẳng nối q và q’. Lực

làm điện tích q dao động là thành phần hình chiếu F của F lên
phương vng góc với dây treo l.
2

F 


2

0,5

2

1 q R L    2Lcos 
sin     
4 0  L2  2  2Lcos   R 2  2

;với sin  d sin  . (9)
0,5

Áp dụng định luật II Newton:
m "  F 

1 q 2 R L2  2  2Lcos 
sin     
40  L2  2  2Lcos   R 2  2

(10)

R

q

d



L

O


Với các dao động bé, ta được:
1
q 2 Rd   
m "
 1    0
40  d 2  R 2  2  d 

Từ
 

(11)
q
d  R 2
2

 

Hay

tần



số


góc

Rd 1 

1 
4 0 m  d 

q

 L  

2

 R

2

dao

với



động


L   (11)

bé


của

q

là

(12)

0,25

RL 1
40 m

Câu 2. (4,5 điểm). Dao động cơ
Hai quả cầu nhỏ bằng kim loại, có khối lượng tương ứng là m và M và đều có bán
kính r, được nối với nhau bởi một lị xo dẫn điện, có độ cứng k. Độ dài lị xo khi khơng biến
dạng là l0 ( l0  r ). Lúc đầu hệ không mang điện và ở trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang
không dẫn điện. Bỏ qua ma sát.


E


a. Đặt hệ trong điện trường đều có cường độ điện trường E hướng m

dọc theo trục của lị xo (Hình 2a). Hãy xác định chu kì và biên độ dao động
của các quả cầu so với khối tâm G của chúng từ sau khi bật điện trường.
b. Tắt điện trường. Khi hai vật đứng yên và lị xo khơng bị biến
dạng thì tác dụng lên quả cầu I (khối lượng m) lực F biến thiên tuần


Hình 2a

m
F
O

hồn: F F0cost hướng dọc theo trục của lị xo (Hình 2b) với F0 và ω
là các hằng số dương. Viết phương trình dao động của quả cầu I ở chế độ
ổn định.
Câu 2
a


E

Nội dung
Xét trong hệ khối tâm
G. Chọn

Ox cùng chiều với E . Gọi x1 và
m
độ quả I và II thì chiều dài lị xo
l l0  x2  x1 (1)
-q

Mm

Mm
x
Hình 2b


Thang điểm
trục
x2 là li
là:

Mm
+q

0,25

m
xm
Om
Do hiện tượng nhiễm điện do hưởng ứng, các quả cầu có điện tích q
q
( q )

El
4

r
4

r
0
0
và - q xác định bởi:

- Áp dụng định luật II đối với quả cầu I:


0,25
(2)
0,5


"
1

mx  qE  k ( x2  x1 ) 

Mặt khác trong hệ khối tâm:

q2
4 0  l0  x2  x1 

2

mx1  Mx2 0 (4)  x2  x1

(3)
m
M

0,25

Thay vào (3):
mx1"  2 0 r  l0  x2  x1  E 2  k ( x2  x1 )  2 0 r 2 E 2
mx1''  (k  2 0 rE 2 )(1 


m
) x1  2 0 rl0 E 2   0 r 2 E 2
M

2 2
2
- Vì l0  r nên  0 r E << 2 0 rlE ta bỏ qua số hạng này.

0,5

- Thay x2 theo x1 ta có
2 0 rl0 E 2
1 1
x  (k  2 0 rE )(  ) x1 
m M
m
''
1

2

x1''  ( k  2 0 rE 2 )(


2 0 rl0 E 2 M
mM 
)  x1 

2
Mm 

( k  2 0 rE )(m  M ) 

2
- Nếu (k   0 rE )  0 ; dao động là điều hòa với

T 

0,25

mM
(2k  4 0 rE 2 )( m  M )

- Vị trí cân bằng có tọa độ

x01 

2 0 rl0 E 2 M
(k  2 0 rE 2 )(m  M ) .

0,5

2

Suy ra biên độ quả I là:

A1  x01 

Tương tự, biên độ quả 2 là

A2 


2 0 rl0 E M
(k  2 0 rE 2 )(m  M ) .

2 0 rl0 E 2 m
(k  2 0 rE 2 )(m  M ) ./.

0,25

Chọn trục tọa độ cùng hướng với F lúc đầu. Gọi x1 và và x2 là li độ 2
quả cầu

k(x 2  x1 )  F0 cost mx1" (1)
 k(x 2  x1 ) Mx "2

(2)

Hai vật có thể dao động đồng pha hoặc ngược pha. Vậy nghiệm có dạng
b

0,5

x1 Acost ; x 2 Bcost (A, B là các hằng số âm hoặc dương)

0,25

Thay vào (1) và (2) :

 k2 (B  A)  F0  m2 A (3)
 k(B  A)  M2 B


(4)

0,5


F
B 

kA
k  M2 thay vào (3):

 k2 (

.
O

x

kA
 A)  F0  m2 A
2
k  M

 k2 (

kA
 A)  F0  m2 A
2
k  M


F0 (k  M2 )
A  2 2
 ( mM  km  kM)
F0 (k  M2 )
x1  2 2
cost
   mM  k(m  M) 

0,5

Câu 3. Điện học (5,0 điểm)
Cho mạch điện như hình vẽ, E2 =1,5 E1 , bỏ qua các điện trở trong của nguồn, cuộn
dây thuần cảm, các tụ điện trước khi mắc vào mạch chưa được tích điện, đi-ốt lí tưởng.
Đóng khóa K.
a. Viết biểu thức đện tích trên tụ và dịng điện qua mạch khi chưa có dịng qua nguồn
E2
b. Sau thời gian bao lâu kể từ lúc đóng mạch thì có dịng điện qua nguồn E2 . Khi
bắt đầu có dịng qua nguồn E2 thì cường độ dịng điện trong cuộn dây bằng bao nhiêu?
c. Hãy xác định biểu thức dòng điện qua nguồn E2 và điện tích chuyển qua nguồn
E2 sau khi K đóng.
Câu 3
Nội dung
Thang điểm
E
a
1
- Ban đầu khi khóa K đóng, chỉ có nguồn
nạp điện cho tụ, q
0,25

trình nạp điện cho tụ cũng chính là q trình dao động của mạch.
- Vì E2 > E 1
E2 .

nên sau khi K đóng, chưa có dịng điện đi qua nguồn

Khi đó ta có:

¿

{i1=i=q Ư(1) ¿ ¿¿¿
Đặt

ω 2=

1
LC

⇒(q−CE 1 )+

E1

i

+1 L
A

1
(q−CE 1 )=0
LC


qC
i+

1,0

B

Đ

i2+ E 2

⇒q−CE 1 =q 0 cos(ω. t+ϕ) Hay ⇒q=q0 cos(ω. t+ϕ)+CE 1

0,25


Tại t=0 ta có:

{q=q0 cosϕ+CE1=0 ¿ ¿¿¿ ⇒¿ {ϕ=π¿¿¿
0,5

⇒¿ {q =CE1 cos(ω.t+π)+CE1 ¿ ¿¿
. Đi-ốt sẽ mở khi

⇒ Δtt=
b

c


uC =E 2

⇔uC =E 1 cos( ω.t +π )+E1 =E2

T
3

1,0

CE ω √3
i1= 1
2
Khi đó cường độ dịng điện qua cuộn dây là:
.
Sau đó đi-ốt mở, dịng điện chạy qua cuộn dây khơng nạp cho tụ nữa vì
lúc này hiệu điện thế giữa hai đầu tụ đã bằng E2 , dòng điện trong
cuộn dây khi đó sẽ nạp thẳng vào cho nguồn E2 , trong quá trình nạp
điện vào cho nguồn E2 thì suất điện động của nguồn này khơng đổi
chỉ có điện tích trong nguồn được tăng lên. Q trình nạp điện sẽ dừng
khi dòng điện qua cuộn dây bằng 0.

0,5

Tại thời điểm đi-ốt mở thì cường độ dịng điện qua cuộn dây là:

i1=

CE 1 ω √3
2


Ở thời điểm t, sau khi đi-ốt mở, cường độ dòng điện qua đi-ốt là i, mạch

E ; L; E2 ta có:
gồm 1
u AB E2  L.i /  E1  di 

E2  E1
E
dt  1 dt 
L
2L

i

di 
i1

0,5

t

E1
E
CE  3 E1
dt  i i1  1 t  1


2L 0
2L
2

2L

Quá trình hoạt động trong mạch sẽ dừng khi
CE  3 E1
i  1

t 0  t CL 3
2
2L

0,5

Điện tích di chuyển qua nguồn E2 :
t

Ta có

CL 3

q idt 
0


0

 CE1 3 E1 
3CE1

t  dt 


2
2L 
4


0,5

Câu 4. Một bình hình trụ đựng thủy ngân quay chung quanh trục thẳng đứng của hình trụ
với vận tốc góc khơng đổi  . Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, bề mặt thủy ngân
lõm xuống. Bỏ qua ảnh hưởng của lực căng mặt ngoài. Chứng tỏ rằng một chùm tia tới song
song chiếu từ trên xuống dọc theo trục quay, sau khi phản xạ trên mặt thủy ngân sẽ hội tụ lại
ở một điểm. Định vị trí của điểm hội tụ này?
Câu 4
Nội dung
Thang điểm
0.5
Xét hệ quy chiếu khơng qn tính gắn với bình như hình vẽ
1.1.Khi đạt trạng thái chuyển động ổn định, mỗi phần tử thủy ngân


ở trên bề mặt cân bằng dưới tác dụng của trọng lực và lực li tâm,
hợp của hai lực nàyvuông góc với mặt thống của thủy ngân.
Mặt thống thủy ngân có trục quay là trục đối xứng. Trong mặt
phẳng chứa trục quay, xét một phần tử thủy ngân A bất kì trên bề
mặt có tọa độ (x,y). Để tìm hệ thức liên hệ giữa x và y ta áp dụng
phương pháp vi phân. Xét một đoạn nhỏ giới hạn mặt thống tại A,
phương của đoạn nhỏ này có thể được xem như trùng phương với
tiếp tuyến tại A. Từ A kẻ tiếp tuyến của mặt thoáng thủy ngân cắt
ˆ
ˆ

trục Ox tại I và hợp với Ox một góc α.Ta có: A1 I1  (góc có
cạnh tương ứng vng góc)

Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
.
Mà

tg  

dy
dx

1.0

Flt m 2 x  2
tg   
 x
P
mg
g .

dy  2
2
 x  dy=
xdx
dx
g
g
Suy ra
.


Tích phân hai vế ta được

2 2
y dy  x  C
2g
.
2 2
y  x
2g .
Với x 0, y =0  C=0 .Do đó
Vậy bề mặt thủy ngân là một paraboloic. Xét tia sáng tới gặp mặt
thủy ngân tại A(hình1.2). Tia phản xạ được xác định dựa vào định
luật phản xạ ánh sáng. Tia phản xạ cắt trục quay tại F. Tia sáng
trùng với trục quay phản xạ ngược lại theo chính nó.

0.5


Ta có i  (góc có cạnh tương ứng vng
góc) OF=OA’-A’F,

A'F=A'A tg A'AF
 x tg(2  900 )
với

Vậy

Mà
Suy ra


1.0

 x tg(900  2 ) .
OF  y  xtg (900  2 ) = y 

x
tg 2

1
1  tg 2
g
2x

 2 
tg 2
2tg
2 x 2 g .

OF 

0.5

g
=const
2 2
.

Vậy giao điểm F có vị trí cố định với mọi tia phản xạ ứng với
chùm tia tới song song với trục quay tại F. Đó là tiêu điểm chính

với tiêu cự có giá trị là:
f OF=

0.5

g
.
2 2

Câu 5. Phương án thực hành (2,0 điểm)
Cho các dụng cụ sau:
+ Một viên bi đặc, đồng chất có dạng hình cầu.
+ Một thước Panme.
+ Một đồng hồ bấm giây.
+ Một bán cầu rỗng chưa biết bán kính cong.
Hãy xây dựng cơ sở lý thuyết và từ đó nêu phương án thí nghiệm đo bán kính cong của
bán cầu rỗng trên.
Câu 5

Nội dung

Điểm

Trường hợp 1: Bi chuyển động không ma sát trên mặt cong của bán cầu.
Khi đó dao động của bi giống dao động của con lắc đơn có độ dài R  r
R  r
T 2
g .
nên chu kì của bi là


0,5

Dùng thước Panme đo r , dùng đồng hồ đo T , dựa vào cơng thức trên
tính được R .
Trường hợp 2: Bi chuyển động
có ma sát trên mặt cong của
bán cầu. Phương trình của
chuyển động quay cho tâm
quay tức thời K

 mg sin  .r I K ,

0,5


trong đó

 

a0
r , và

I K I G  mr 2
2
7
 mr 2  mr 2  mr 2 .
5
5

v ( R  r )  suy ra

Vì G chuyển động trịn quanh C nên ta có G
aG ( R  r )  .
Thay

I K và aG vào phương trình chuyển động quay và chú ý sin  

góc  (rad) nhỏ,
5g
  
 0
7( R  r )

vì

ta

được

7
R  r
mg r  mr 2
 
5
r

0,5

hay

Phương trình này chứng tỏ bi dao động điều hịa với chu kì

7( R  r )
T 2
5g .
Dùng thước Panme đo r , dùng đồng hồ đo T , dựa vào công thức trên
tính được R .

0,5