ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

PHAN QUỐC KHÁNH

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT
ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà nẵng, 2020

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990151053841000000


8
.
4
6
.
0
1
.
1
3

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS. Lê Văn
Dũng, về những lời động viên, nhắc nhở của Thầy trong suốt quá
trình hướng dẫn khoa học cho tôi. Thầy đã giúp tôi vượt qua những
khó khăn để hồn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của mình.
Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã
giảng dạy Lớp cao học Tốn Khóa 36 của Trường Đại học Đà Nẵng
cũng như tồn thể các thầy cơ trong Khoa Tốn trường Đại học Đà
Nẵng vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ
tơi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp
của q thầy, cơ và bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn.
Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người
thân và gia đình tơi, những người ln sát cánh động viên giúp đỡ
tơi hồn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!


MỤC LỤC

Mở đầu

6

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

8

1.1


1.2

XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT . . . . .

8

1.1.1

Không gian mẫu và biến cố . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Xác suất của biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3

Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4

Các biến cố độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.5

Cơng thức xác suất tồn phần và cơng thức Bayes . . 14

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT 15

1.2.1

Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Hai loại biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3

Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4

Kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.5

Phương sai và độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6

Trung vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.7

Mốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.8


Biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.9

Một số phân số xác suất quan trọng

. . . . . . . . . 20

1.2.10 Các định lí giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2.

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ

GIẢI TỐN SƠ CẤP
2.1

26

Một số bài tốn mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


2.2

Áp dụng phương pháp xác suất để giải các bài tốn sơ cấp . 30

2.3

Một số ví dụ tham khảo và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . 50

Kết luận


54

Tài liệu tham khảo

55


6

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xác suất là một phần mới đối với tốn THPT nói chung. Ứng dụng xác
suất trong giải các bài toán THPT là nội dung còn khá là mới mẻ, thú vị.
Hiện nay, việc áp dụng phương pháp xác suất để giải các bài toán thuộc
nhiều lĩnh vực còn nhiều mới lạ đối với học sinh Việt Nam. Tuy nhiên,
phương pháp này lại tỏ ra rất mạnh và hữu ích cho việc giải các bài tốn
thuộc nhiều lĩnh vực, thậm chí các bài tốn Olympic hiện nay. Vì vậy, tơi
chọn đề tài “Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp” để
giới thiệu những ý tưởng cơ bản nhất trong phương pháp xác suất áp dụng
vào các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực, cũng như các bài tốn Olympic.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về xác suất.
- Áp dụng kiến thức về xác suất để áp dụng vào các bài toán thuộc nhiều
lĩnh vực.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các kiến thức cơ bản về xác suất.
- Ứng dụng kiến thức về xác suất để giải các bài toán thuộc nhiều lĩnh
vực. - Ứng dụng kiến thức về xác suất để giải các bài toán Olympic.
4. Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Áp dụng phương pháp xác suất giải toán sơ cấp” tôi đã sử
dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài
luận văn
+ Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.


7

+ Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các
chuyên gia và của các đồng nghiệp
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu
tham khảo cho sinh viên ngành tốn,giáo viên phổ thơng và các đối tượng
quan tâm đến các kiến thức về xác suất.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn dự kiến được chia
thành hai chương:
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
Chương 2:ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ
CẤP
Tài liệu tham khảo


8

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT


1.1. XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

1.1.1. Khơng gian mẫu và biến cố
Phép thử. Trong xác suất, khái niệm phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là
phép thử) là khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa. Ta có thể hiểu phép
thử là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát
một hiện tượng có xảy ra hay khơng. Nói chung, là những thí nghiệm mà
khi thực hiện sẽ xảy ra kết quả hoàn toàn ngẫu nhiên ngay cả khi thí
nghiệm đó được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện giống nhau.
Ví dụ 1. Khi tung một xúc xắc cân đối thì ta khơng thể biết chắc chắn
số chấm xuất hiện của nó. Việc tung xúc xắc đó ta gọi là phép thử ngẫu
nhiên.
Khơng gian mẫu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một
phép thử ngẫu nhiên. Ta thường kí hiệu là Ω.
Ví dụ 2. Gieo một đồng xu cân đối đồng nhất, có hai kết quả có thể xảy
ra: xuất hiện mặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngữa (N) nên có khơng gian
mẫu là:


Ω = S; N .
Biến cố. Mỗi tập con của một không gian mẫu gọi là biến cố. Ta nói
"biến cố A xảy ra" khi thực hiện phép thử nếu kết quả phép thử rơi vào
A.


9

Như vậy mỗi phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố và được
gọi là biến cố sơ cấp, không gian mẫu Ω cũng là một biến cố và được gọi
là biến cố chắc chắn, tập rỗng ∅ cũng là một biến cố và được gọi là biến

cố khơng thể.
Ví dụ 3. Khi tung một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện một cách ngẫu
nhiên. Ta có không gian mẫu là:


Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 ,
còn biến cố xuất hiện mặt lẻ là:


A = 1; 3; 5 .

a. Mối quan hệ giữa các biến cố
Quan hệ bao hàm: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A
⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂
B và B ⊂ A.

b. Các phép toán trên biến cố
Cho A và B là 2 biến cố của không gian mẫu Ω
*Phép giao
A ∩ B (hoặc kí hiệu là: A.B hay đơn giản hơn là AB ), là biến cố xảy
ra khi và chỉ khi đồng thời hai biến cố A và B cùng xảy ra.


A ∩ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A và ω ∈ B .
Nếu hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra (A ∩ B = ∅) thì ta
nói A và B xung khắc.
*Phép hợp



10

A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A,
B xảy ra,


A ∪ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A hoặc ω ∈ B .
*Phép lấy phần bù
A = Ω\A được gọi là biến cố đối của A. Nếu A xảy ra thì A khơng xảy
ra và ngược lại.


A= ω∈Ω:ω∈
/A .

c. Đại số tổ hợp
1) Quy tắc nhân
Nếu một cơng việc được thực hiện k bước.
Bước 1 có n1 cách thực hiện,
Bước 2 có n2 cách thực hiện,
...
Bước k có nk cách thực hiện.
Khi đó, có n1 .n2 .....nk cách thực hiện cơng việc đó.
2) Hốn vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ
tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Số cách sắp xếp n phần tử vào n vị trí sao cho mỗi vị trí có đúng 1 phần
tử là n!.
3) Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n

phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự.
Số tập con k phần tử của một tập n phần tử là:


11

k
Cn =

n!
k!(n − k)!

(0 ≤ k ≤ n).

4) Chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n
phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự.
Số cách lấy ra k phần tử từ tập n phần tử rồi sắp xếp theo một thứ tự
nào đó là:

k
An =

n!
= Cnk .k! (1 ≤ k ≤ n).
(n − k)!

1.1.2. Xác suất của biến cố
a. σ-đại số
Cho không gian mẫu Ω khác rỗng. Một lớp F các tập con của Ω được gọi

là σ-đại số nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
(1) ∅ ∈ F;
(2) Nếu A ∈ F thì A ∈ F;
(3) Nếu A1 , A2 , ...., An , ... ∈ F thì

∞
[

An ∈ F.

n=1

b. Độ đo xác suất
Định nghĩa 1.1.1. Cho F là một σ-đại số trên không gian mẫu Ω. Hàm
tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 tiên đề:
Tiên đề 1. Với mọi A ∈ F, 0 ≤ P (A) ≤ 1;
Tiên đề 2. P (Ω) = 1;
Tiên đề 3. Nếu A1 , A2 , ..., An , ... ∈ F đôi một xung khắc (Ai ∩ Aj = ∅ với


12

mọi i 6= j) thì
P(

∞
[

An ) =


n=1

∞
X

P (An ).

n=1

Khi đó, P (A) được gọi là xác suất biến cố A. (Ω; F; P ) được gọi là không
gian xác suất.

c. Các tính chất cơ bản của xác suất
Từ định nghĩa xác suất trên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:


1) P ∅ = 0,


2) 0 ≤ P A ≤ 1.






3) Nếu A ∩ B = ∅ thì P A ∩ B = P A + P B .
Tổng quát: Nếu A1 , A2 , ..., An đôi một xung khắc thì:








P A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = P A1 + P A2 + ... + P An .





4) P A + P A = 1.
Từ đây ta có cơng thức cộng xác suất như sau: Với A và B là hai biến
cố bất kì,








P A ∪ B = P A + P B − P AB .

d. Không gian mẫu gồm các biến cố sơ cấp đồng khả năng
Cho không gian mẫu Ω gồm N biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra bằng
nhau, tức là:
Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωN }.
và
P ({ω1 }) = P ({ω2 }) = ... = P ({ωN }).
Khi đó, theo Tiên đề 2 ta có:
P ({ω1 }) = P ({ω2 }) = ... = P ({ωN }) =

1
.
N


13

Kết hợp Tiên đề 3 ta có: Với A là một biến cố bất kì của Ω,
P (A) =

|A|
,

|Ω|

trong đó |A| là số phần tử của A.

e. Định nghĩa của xác suất theo hình học
Xét một phép thử có vơ hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể
biểu thị tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học G nào đó: một
đoạn thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không
gian . . . và những kết cục thích hợp cho sự kiện A bởi các điểm thuộc miền
cong g ⊂ G. Với các giả thiết trên, xác suất của sự kiện A được tính như
sau:
P (A) =

kích thước miền g
.
kích thước miền G

Tùy theo G là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối khơng gian mà kích
thước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích.

1.1.3. Xác suất có điều kiện


Định nghĩa 1.1.2. Cho hai biến cố A và B với P B 6= 0, xác suất của


A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu P A|B , xác định bởi




P A∩B

.
P A|B =

P B






Tính chất 1.1.3. 1) P ∅|B = 0, P B|B = 1, P Ω|B = 1.




2) P A|B + P A|B = 1.
3) Với A1 và A2 là hai biến cố xung khắc,






P A1 ∪ A2 |B = P A1 |B + P A2 |B


14









4) Nếu P B 6= 0 thì P A ∩ B = P B P A|B .








Nếu P A 6= 0 thì
P
A
∩

B
=
P
A
P
B|A
.






P B P A|B


5) P B|A =
P A
6) Cơng thức nhân xác suất
Cho A1 , A2 , ..., An là các biến cố của không gian mẫu Ω thỏa mãn


P A1 A2 ...An−1 6= 0. Khi đó:










P A1 A2 ...An = P A1 P A2 |A1 P A3 |A1 A2 ...P An |A1 A2 ...An−1 .

1.1.4. Các biến cố độc lập
Định nghĩa 1.1.4. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy
ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của







biến cố kia hay ta có thể nói A và B độc lập nếu P A∩B = P A P B .
Tổng quát ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.5. Một tập hữu hạn các biến cố A1 ; A2 ; ...; An (n ≥ 2)
được gọi là độc lập nếu k (1 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì An1 , An2 , ..., Ank ta
có:








P An1 An2 ...Ank = P An1 P An2 ...P Ank .
Định lí 1.1.6. Nếu A và B độc lập thì A và B, A và B, A và B là những
cặp biến cố độc lập.

1.1.5. Công thức xác suất tồn phần và cơng thức Bayes
Định nghĩa 1.1.7. Một hệ gồm n biến cố E1 , E2 , ..., En được gọi là hệ
đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:
(i) Ei ∩ Ej = 0 nếu i 6= j (các biến cố đôi một xung khắc);
(ii) E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En = Ω (chắc chắn có 1 biến cố xảy ra).


15

Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: nếu E1 , E2 , ..., En là hệ đầy đủ thì:






P E1 + P E2 + ... + P En = 1.





Định lí 1.1.8. Giả sử Ei ;1 ≤ i ≤ n là một hệ đầy đủ sao cho P Ei >
0, A là biến cố bất kì. Khi đó:














1) P A = P E1 P A|E1 + P E2 P A|E2 + ... + P En P A|En .


2) Nếu thêm điều kiện P A > 0 thì









P Ei P A|Ei
P Ei P A|Ei









.
P Ei |A =
=
P A
P E1 P A|E1 + ... + P En P A|En
1.2. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC
SUẤT


1.2.1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Ánh xạ
X : Ω → R,




được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi a ∈ R, ω ∈ Ω : X ω < a ∈ F.
Nhận xét 1.2.2. Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Mọi ánh xạ X : Ω →
R có miền giá trị hữu hạn đều là biến ngẫu nhiên và được gọi là biến ngẫu
nhiên đơn giản.

1.2.2. Hai loại biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 1.2.3. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc
vơ hạn đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.


16



Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị X Ω , hàm số p :
R → R xác định bởi:


p x =





P X = x


∈

nếu x


0

nếu x

∈
/



X Ω


X Ω



được gọi là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X. Trong trường hợp X Ω


hữu hạn thì ta có thể lập bảng các giá trị của p x như sau:
x1

x2 ...
xn









p x p x1 p x2 ... p xn
x

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X.



Định lí 1.2.4. Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị X Ω = x1 , x2 , ...


và hàm xác suất là p x . Khi đó:


1) p x ≥ 0 với mọi x.
X


2) P a ≤ X ≤ b =
p (xi ).
a≤xi ≤b

3)

X

p (xi ) = 1.

xi ∈X(Ω)

b. Biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 1.2.5. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là gồm một số
khoảng trên trục số thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.





Nếu tồn tại hàm số y = f x thỏa mãn f x ≥ 0, ∀x sao cho với mọi a ≤ b
ta có:



Zb

P a≤X≤b =

f (x) dx,
a



thì f x được gọi là hàm mật độ xác suất của X.


17

Định lí 1.2.6. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất


f x . Khi đó:


1) P X = a = 0, ∀a ∈ R.
Zb




2) P X < b = P X ≤ b =
f (x)dx.
−∞
Z∞






3) P X > a = P X ≥ a =

f (x)dx.
b

Z+∞
4)
f (x)dx = 1.
−∞

1.2.3. Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2.7. Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số :




F x = P X < x , x ∈ R,
được gọi là hàm phân phối xác suất của X.


1. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1 , x2 , ... thì:
X

X
F x =
P (X = xk ) =
P (xk ).
xk
xk

2. Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f x thì:


F x =

Zx
f (t)dt.
−∞



Tính chất 1.2.8. Hàm phân phối xác suất F x của biến ngẫu nhiên X
có các tính chất sau:


1. 0 ≤ F x ≤ 1, ∀x ∈ R, lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
x→−∞
x→+∞




2. Không giảm: nếu x1 ≤ x2 thì F x1 ≤ F x2 .


18



3. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f x thì:


0
F x = f (x).

4. Với a < b, P a ≤ X ≤ b = F b − F a .

1.2.4. Kì vọng
Định nghĩa 1.2.9. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên khơng gian mẫu


Ω. Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E X , được xác định như
sau:


1. Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x thì :
X



E X =

xk p (xk ).

xk ∈X(Ω)



2. Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x thì:


E X =

Z+∞
xf (x)dx.
−∞



Tính chất 1.2.10. 1. Nếu X = C là hằng số thì E C = C.

2. Nếu a,b ∈ R và X, Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác định






trên khơng gian mẫu Ω thì: E aX + b = aE X + b và E X ± Y =




E X ±E Y .

1.2.5. Phương sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.2.11. Cho biến ngẫu nhiên X. Khi đó, đại lượng:


2
Var X = E(X − E (X))
được gọi là phương sai của X, σ (X) =
chuẩn của X.

p

V ar (X) được gọi là độ lệch


19





Tính chất 1.2.12. 1. Var X ≥ 0, Var X = 0 khi và chỉ khi X = C
(hằng số).

2
2. Var X = E X 2 − (E (X)) .




3. Var aX + b = a2 Var X với mọi a,b ∈ R.


Định lí 1.2.13. 1. Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x
thì:

2


X



Var X =

xk ∈X(Ω)

x2 k p (xk ) − 

X

xk p (xk ) .

xk ∈X(Ω)



2. Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x thì:
 +∞

2
Z+∞
Z


x2 f (x)dx −  xf (x)dx .
Var X =
−∞

−∞

1.2.6. Trung vị
Định nghĩa 1.2.14. Số thực m được gọi là trung vị của biến ngẫu nhiên
X nếu:
P (X < m) ≤ 0, 5 và P (X > m) ≤ 0, 5.


Kí hiệu med X = m.


Định lí 1.2.15. Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F x


liên tục trên R thì trung vị là nghiệm phương trình F x = 0,5.

1.2.7. Mốt
Định nghĩa 1.2.16. Giá trị xk của biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là
mode của X nếu
P (X = xk ) ≥ P (X = x) ∀x ∈ R.


20

Kí hiệu mod X = xk .


Giá trị x0 của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f x được gọi


là mode của X nếu hàm mật độ f x đạt giá trị lớn nhất tại x0 .

1.2.8. Biến ngẫu nhiên độc lập
Định nghĩa 1.2.17. Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn (n ≥ 2) được gọi
là độc lập nếu với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ R ta có:
!
n
\
P
{Xk < xk } = P ({X1 < x1 }) P ({X2 < x2 }) ...P ({Xn < xn }) .
k=1

Định lí 1.2.18. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì:






1. E XY = E X E Y .






2. Var X ± Y = Var X + Var Y .

1.2.9. Một số phân số xác suất quan trọng
a. Phân phối Bernoulli
Định nghĩa 1.2.19. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Bernoulli với

tham số p 0 < p < 1 nếu X có miền giá trị X (Ω) = {0, 1} và hàm xác
suất:




1−p



p (k) = P (X = k) =
p




0

nếu k = 0
nếu k = 1
nếu k ∈
/ {0, 1}

Kí hiệu: X ∼ Ber (p).
Tính chất 1.2.20. Nếu X ∼ Ber (p) thì E (X) = p và V ar (X) =
p (1 − p).


21

b. Phân phối nhị thức B n,p
Định nghĩa 1.2.21. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức với


tham số n và p n ∈ N∗ và 0 < p < 1 nếu X có miền giá trị X (Ω) =
{0, 1, ..., n} và hàm xác suất:
n−k

p (k) = Cnk pk (1 − p)

, k ∈ X (Ω)

Kí hiệu: X ∼ B (n, p).
Tính chất 1.2.22. 1. Nếu X ∼ B (n, p) thì E (X) = np và V ar (X) =
np (1 − p).
2. Nếu X1 , X2 , ..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân bố xác suất với X ∼ Ber (p) thì biến ngẫu nhiên T = X1 +X2 +...+Xn
có phân bố nhị thức B (n, p).

c. Phân phối siêu bội
Định nghĩa 1.2.23. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố siêu bội với
ba tham số là các số tự nhiên N ∈ N và K, n ≤ N nếu X có miền giá trị
X (Ω) = {max{0, n + K − N }; ...; min{K, n}} và hàm xác suất:
k n−k
CK
CN −K
p(k) =
, k ∈ X(Ω).
n
CM

Kí hiệu: X ∼ H(K, N, n).
Tính chất 1.2.24.

d. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.2.25. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Poisson với




tham số λ λ > 0 nếu X có miền giá trị N = 0, 1, 2, ... và hàm xác


22

suất:
e−λ λk
p (k) = P (X = k) =
, k ∈ N.
k!
Kí hiệu: X ∼ P oi (λ).
Tính chất 1.2.26. 1. Nếu X ∼ P oi (λ) thì E (X) = λ, V ar (X) = λ.
2. Nếu X1 , X2 , ..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suất
với X ∼ P oi (λ) thì biến ngẫu nhiên T = X1 + X2 + ... + Xn có phân bố
Poisson P oi (nλ).
Định lí 1.2.27. (Luật biến cố hiếm) Cho




Xn ; n ≥ 1 là dãy biến cố

ngẫu nhiên có phân bố nhị thức Xn ∼ B (n; pn ) . Nếu tồn tại giới hạn
lim npn = λ thì:

n→∞

−λ λ

lim P (Xn = k) = e

n→∞

k

k!

, k = 0, 1, 2, ...

Ứng dụng Nếu X ∼ B (n, p) với n khá lớn và p khá bé thì X có xấp
xỉ phân bố Poisson với λ = np, tức là:
P (X = k) =

k
Cn

k

n−k

p (1 − p)

λk −λ
≈ e .
k!

e. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 1.2.28. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố chuẩn với
tham số µ và σ (−∞ < µ < +∞, σ > 0) nếu có hàm mật độ xác suất:

Kí hiệu: X ∼ N µ, σ

(x−µ)2
1
f (x) = √ e− 2σ2 , x ∈ R.
σ 2π


2

Phân bố chuẩn tắc
Biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với µ = 0 và σ = 1 được gọi là phân bố
chuẩn tắc và kí hiệu là Z. Khi đó, hàm mật độ xác suất được kí hiệu là