ĐỊNH LÝ PITAGO - TRƯỜNG HỢP BẰNG NAHU CỦA
HAI TAM GIÁC VUÔNG.
A. Mục tiêu:
- Nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định
lý Pitago đảo.
- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài của một cạnh tam giác vuông
khi biết độ dài của hai cạnh kia.
- Biết vận dụng định lý đảo của định lý Pitago để nhận biết một tam giác
vuông.
- Nắm được các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, vận dụng
định lý Pitago để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông của
hai tam giác vuông.
- Vận dụng để chứng minh các độan thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau.
- Rèn luyện khả năng phân tích, tìm cách giải và trình bày bài toán chứng
minh hình học.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C. Bài tập
Tiết 16: A D



Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết A B
AD

DC; DC

BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm
13 15
12
Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Giải:
Vì AH

BC (H

BC) B H
C
AH

BC; DC

BC (gt)

AH // DC
mà HAC và DCA so le trong. Do đó: HAC = DCA
Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC
Xét tam giác AHC và tam giác CDA có
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC
Do đó:
CDAAHC



(g.c.g)

AH = DC
Mà DC = 12cm (gt)
Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH

2
+BH
2
= AB
2


BH
2
= AB
2
- AH
2
= 13
2
- 12
2
= 5
5
= 25

BH = 5 (cm) (2)
Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH
2
+ HC
2
= AC
2



HC
2
= AC
2
- AH
2
= 15
2
- 12
2
= 91 = 9
2


HC = 9 (cm)
Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)
Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A. MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc
AMC = 135
0
. Tính độ dài đoạn thẳng MC. A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D.
Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A. M
Ta có: AD = MA = 2 cm
AMD = 45
0
; DMC = AMC - AMD = 90
0
B

C
Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM D
DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với A
góc CAM); AC = AB (gt)
Do đó:
AMBADC



(c.g.c)

DC = MB
Tam giác vuông AMD vuông ở A D
nên MD
2
= MA
2
+ MC
2
(pitago)
Do đó: MD
2
= 2
2
+ 2
2
= 8 B
C
Tam giác MDC vuông ở M nên
DC

2
= MD
2
+ MC
2
(Pitago)
Do đó: 3
2
= 8 + MC
2


MC
2
= 9 - 8 = 1

MC = 1
Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh
AB; AC; BC tỉ lệ với
a. 9; 12 và 15 b. 3; 2,4 và 1,8
c. 4; 6 và 7 d. 4 ; 4
2
và 4
Giải:
a.










22
22
22
22515
14412
819
15129
kBCkBC
kACkAC
kABkAB
k
BCACAB

AB
2
+ AC
2
= 81k
2
+ 144k
2
= 225k
2
= BC
2


Vậy tam giác ABC vuông ở A.
b.









22
22
22
497
366
164
764
kBCkBC
kACkAC
kABkAB
k
BCACAB


AB
2
+ AC
2
= 16k

2
+ 36k
2
= 52k
2


49k
2
= BC
2

Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông.
c. Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 90
0
)
d. Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 90
0
)
Tiết 17:
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 90
0
), kẻ AH

BC
Chứng minh: AB
2
+ CH
2
= AC

2
+ BH
2

Giải: A
Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông
Tam giác ABH có H = 90
0


AB
2
= AH
2
+ HB
2


AB
2
- HB
2
= AH
2

AHC

có H = 90
0



AC
2
= AH
2
+ HC
2


AC
2
- HC
2
= AH
2


AB
2
- HB
2
= AC
2
- HC
2
B H
C

AB
2

+ CH
2
= AC
2
+ BH
2



Bài 5: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Trong các cạnh của tam giác ABC
thì cạnh nào là cạnh lớn nhất? A
Giải:
* Kẻ AD

AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC

BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông ở A
BD
2
= AB
2
+ AD
2


AB
2
< BD
2



AB < BD (2) B E D
C
Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE

AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC

EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông ở A
EC
2
= AE
2
+ AC
2


AC
2
< EC
2
hay AC < EC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC
Vậy cạnh lớn nhất là BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB
và từ C kẻ đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng
minh rằng
a.

AMCAMB




b. AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Giải: A
a. Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau
vì cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt)
b. Do
AMCAMB




A
1
= A
2

B
C
Gọi I là giao điểm của AM và BC
Xét hai tam giác AIB và AIC M
A
1
= A
2
(c/m trên); AB = AC

(Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên
AICAIB



(c.c.c)
Suy ra IB - IC; AIB = AIC
mà AIB + AIC = 180
0
(2 góc kề bù nhau)
Suy ra AIB = AIC = 90
0
Vậy

AM

BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC
nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 7:
a. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng
AD là tia phân giác của góc A.
b. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc
với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân
giác của góc A.
Giải: A
a. Xét hai tam giác vuông CDB và ADC
có canh AD là cạnh chung; AB = AC

ADCADB




(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

BAD = CAD (cặp góc tương ứng)
Do đó: AD là tia phân giác của góc A B D
C
b. Hướng dẫn A
Chứng minh
AECADB



(cạnh huyền - góc nhọn)

AD = AE (cặp cạnh tương ứng)
AEK
ADK



(cạnh huyền - cạnh góc vuông) E
D

A
1
= A
2

Do đó Ak là tia phan giác của góc K. B

C

Tiết 18:
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường
trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông
góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK A
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta có: K

CMIAMI



(c.g.c) B M
Vì BM = CM; IM chung; M
1
= M
2

C


IB = IC (cặp góc tương ứng) H
AKI
AHI



(cạnh huyền - góc nhọn) I



IH - IK

IKCIHB



(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

BH = CK.
Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có
4
3

AC
AB
và BC = 15cm.
Tìm các độ dài AB; AC B
Giải:
Theo đề ra ta có:
16
9
4
3
22
ACABACAB

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau A C
và định lý Pitago ta có:
9

25
15
25
16
9
16
9
222222




BCACABACAB

Suy ra: AB
2
= 9.9 = 9
2

AB = 9 cm
AC
2
= 16.9 = (4.3)
2
= 12
2


AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm

Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là
tam giác vuông cân.
Giải: B
Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1
Theo định lý Pitago ta có:
AB
2
= 1
2
+ 2
2
= 1 + 4 = 5
C
BC
2
= 1
2
+ 2
2
= 1 + 4 = 5 A
AC
2
= 1
2
+ 3
2
= 1 + 9 = 10
Do AB
2
= BC

2
nên AC = AB
Do AB
2
+ BC
2
= AC
2
nên ABC = 90
0

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 90
0
). Chứng minh rằng
a. Nếu AB =
2
1
BC thì C = 30
0
C
b. Nếu C = 30
0
thì AB =
2
1
BC
Giải:
Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB
Nối CD thì ta có:

DACBAC



(c.g.c)

CB = CD (1) B A
D
a. Nếu AB =
2
1
BC và AB = AD =
2
1
BD
Thì BC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB = BD
Vậy tam giác BCD đều

BCA = ACD =
2
1
BCD =
00
3060.
2
1

b. CB = CD


Tam giác CBD cân
Nếu BCA = 30
0
; BCD = 60=0

suy ra tam giác

BCD đều

BD = BC


2AB = BC

AB =
2
1
BC
Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE

AC và CF

AB. Biết BE = CF =
8cm. độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân
b. Tính độ dài cạnh đáy BC
c. BE và CF cắt nhao tại O. Nối OA và EF. Chứng minh đường thẳng AO là
trung trực của đoạn thẳng EF. A
Giải:
a.

CEBBFC



vì E = F = 90
0

BE = CF, Bc cạnh chung E
F


FBC = ECB

tam giác ABC cân O
b. Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC B
C
tỉ lệ với 3 và 5
Ta có: 4
16
8
16
9
25
25
9
5
3
222222





FCBFBCBCBFBCBF



101004.254
25
2
2
 BCBC
BC
cm
c. Tam giác ABC cân

AB = AC mà BF = EC (
CEBBFC



)


AF = AE

AEOAFO



(cạnh huyền - cạnh góc vuông)


FAO = EAO

EAI
FAI



(Vì AF = AE ; FAI = EAI)

IF = IE (1)
và FIA = EIA mà FIA + EIA = 180
0

nên FIA = EIA = 90
0


AI

EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF.