BÀI 6: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG
 Mục tiêu
+ Nắm được dấu hiệu nhận biết về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.
+ Nắm được các kiến thức về hai tam giác đồng dạng.
 Kiến thức
+ Vận dụng được khái niệm và định lý về sự đồng dạng của tam giác vuông hay tam giác nói
chung để giải quyết bài tốn.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng


Nếu tam giác vng này có một góc nhọn bằng
góc nhọn của tam giác vng kia thì hai tam
giác đó đồng dạng.



Nếu tam giác vng này có hai cạnh góc vng
tỉ lệ với hai cạnh góc vng của tam giác vng
kia thì hai tam giác đó đồng dạng.



Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của

BC BC 

 ABC ” ABC  .
AB AB

tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh

góc vng của tam giác vng kia thì hai tam
giác vng đó đồng dạng.
Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác
đồng dạng
+ Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam
giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
+ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh hai tam giác vng đồng dạng
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho ABC vuông tại A , đường cao
AH  H  BC  . Chứng minh rằng ABH ” CAH .
Hướng dẫn giải

Trang 1


Có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của hai Cách 1. Xét hai tam giác ABH và CAH , ta có:
tam giác thường vào tam giác vng.
AHB  AHC 90 , HAB


(cùng phụ với
HCA
Cách 2. Sử dụng dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai



) nên ABH ” CAH (g.g).
HAC

tam giác vuông đồng dạng.

Cách 2. Xét hai tam giác vuông HAB và HCA



ta có HAB
(vì cùng phụ với HAC
)
HCA
 ABH ” CAH .

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H . Chứng minh:
a) BEH ” CDH .
b) EHD” BHC
Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác vng BEH và CDH , ta có:




HEB
HDC
(hai góc đối đỉnh).
 90  (gt), EHB

DHC
Suy ra BEH ” CDH .
b) Xét hai tam giác EHD và BHC có:


(hai góc đối đỉnh).
EHD
BHC
Mặt khác BEH ” CDH (chứng minh trên) nên

HE HD
HE HB



.
HB HC
HD HC

Do đó EHD” BHC (c.g.c).
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho hình thang vng ABCD

 A D 90  , M


là trung điểm của AD và BMC
90 . Cho

biết AD 2a . Chứng minh rằng

Trang 2


a) AB.CD a 2 .
b) ABM ” MBC .
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB  AC , đường phân giác AD . Đường vng góc với DC
tại D cắt AC ở E . Chứng minh rằng: ABC ” DEC .
Hướng dẫn giải
Câu 1.
a) Xét hai tam giác vng ABM và DMC , ta có



BAM
MDC
90 , DMC
 ABC (cùng phụ
với góc AMB ) nên ABM ” DMC .
Do đó
AB DM

 AB.DC  AM .DM  AB.DC a 2 .
AM DC
b) Xét hai tam giác vuông MBC và ABM , có
AB MB



BAM
BMC

90 ,
AM MC
(vì ABM ” DMC ) nên MBC ” ABM .
Câu 2.
a) Xét hai tam giác vng ABC và DEC , có


C
chung nên
BAC
EDC
90 , góc
ABC ” DEC .

Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vng để giải tốn
Phương pháp giải
Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam Ví dụ: Cho ABC vng tại A có đường cao AH .
giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai tam giác

a) Chứng minh AB 2 BC.BH .

đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng

b) AB 3cm , AC 4cm . Tính độ dài đoạn

bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đó
suy ra điều cần chứng minh.

thẳng BH .
Hướng dẫn giải


a) Xét hai tam giác vuông ABC và HBA có
Trang 3


ABH chung nên ABC ” HBA .
Do đó

AB BC

 AB 2 HB.BC
HB BA

(điều phải chứng minh).
b) Xét tam giác ABC vng tại A , ta có:
BC 2  AB 2  AC 2 (Py-ta-go)
 BC 2 32  42 25  BC 5  cm  .
Ta có AB 2 HB.BC
 HB 

AB 2
32
 HB  1,8  cm  .
BC
5

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho hình bình hành ABCD có AC  BD . Kẻ CE  AB tại E , CF  AD tại F , BH  AC tại
H và DK  AC tại K . Chứng minh:


a)

AB AH

.
AC AE

b) AD. AF  AK . AC .
Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác vng HAB và EAC có BAH
(góc chung) nên HAB” EAC .
Do đó

AB AH

(điều phải chứng minh).
AC AE

b) Xét hai tam giác vuông KAD và FAC , ta có:


chung
DAK

nên KAD” FAC .
Do đó

AD KA


 AD.FA KA. AC .
AC FA

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho hình thang ABCD

 A D 90  , AD 15cm , CD 9cm . Gọi M

là một điểm trên cạnh

AD , biết rằng MB 5cm , MC 15cm .

a) Chứng minh rằng ABM ” DMC .
b) Gọi N là trung điểm của BC . Tính độ dài MN .
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông ở A . Hạ AD vng góc với BC . Phân giác BE cắt AD tại F và
AC tại E . Chứng minh

DF AE

.
FA EC
Hướng dẫn giải

Câu 1.

Trang 4


a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vng DMC , ta có
MD  MC 2  DC 2 12  cm  , nên MA 3cm .

b) Xét hai tam giác vng ABM

và DMC , ta có

MB CM 5

 nên ABM ” DMC (điều phải chứng
MA CD 3

minh).

 M
 C
 M
 90  BMC

c) Ta có M
90 .
1
2
1
2
BC 2 MB 2  MC 2 52  152 250  BC  250  cm  .
Vậy MN 

250 5 10

 cm  (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
2
2


Câu 2.
Xét hai tam giác vuông DBA và ABC , ta có:


 chung nên DBA” ABC .
BDA
BAC
90 , B
Do đó

BD BA

.
BA BC

Ta lại có BF và BE là tia phân giác của góc B ,
nên suy ra

BD FD BA EA
FD EA




,
BA FA BC EC
FA EC

(điều phải chứng minh).

Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác
Phương pháp giải
Sử dụng định lí tỉ số diện tích của hai tam giác Ví dụ: Cho hình vng ABCD . Gọi E , F lần lượt
đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

là trung điểm của AB và BC , I là giao điểm của
DF và CE . Tính tỉ số diện tích của hai tam giác
CIF và CBE .

Hướng dẫn giải

Ta dễ dàng chứng minh được


CDF BCE (c.g.c), do đó ECB
.
FDC




Mà FDC
 DFC
90 nên FCI
 IFC
90

 CIF
90 .
Trang 5



Xét hai tam giác vuông IFC và BEC , ta có:


(góc chung), suy ra IFC ” BEC .
ICF
BCE
Nếu ta gọi độ dài cạnh hình vng là a thì ta có:
2
a
a
a 5

2
2
2
CF  , CE  BC  BE  a    
.
2
2
 2
2

Vậy

SCIF  CF 
1

  .

SCBE  CE 
5

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8cm , AD 6cm , hai đường chéo cắt nhau tại O . Qua D kẻ
đường thẳng d vng góc với BD , d cắt BC tại E .
a) Chứng minh BDE ” DCE .
b) Kẻ CH vng góc với DE tại H . Chứng minh DC 2 CH .DB .
c) Gọi K là giao điểm của OE và CH . Chứng minh K là trung điểm của CH và tính tỉ số diện
tích của hai tam giác EHC và EDB .
Hướng dẫn giải
a) Xét hai tam giác BDE và DCE , ta có:



chung.
BDE
DCE
90 , góc BED
Suy ra BDE ” DCE (g.g).
b) Ta có CH / / DB (cùng vng góc với ED )


nên DCH
(hai góc so le trong).
BDC
Xét hai tam giác DCB và CHD , có:





(chứng minh trên).
DCB
CHD
90 , DCH
BDC
Suy ra DCB” CHD (g.g) 

DC DB

CH DC

 DC 2 DB.CH (điều phải chứng minh).
c) Vì CH / / BD nên
(định lí Ta-lét) 

EK HK EK KC


,
EO OD EO OB

HK KC

.
OD OB

Mà OD OB  HK KC .
Vậy K là trung điểm của HC (điều phải chứng minh).


Xét ABD có BAD
90 (tứ giác ABCD là hình chữ nhật).
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABD có
BD 2  AB 2  AD 2  62  82  BD 10  cm  .

Trang 6


Ta lại có DC 2 BD.CH  CH 

DC 2 AB 2 82 64

  6, 4  cm 
BD
BD 10 10

( AB DC do ABCD là hình chữ nhật)



Xét hai tam giác EHC và EDB , ta có EHC
chung.
EDC
90 , góc DEB
Suy ra EHC ” EDB (g.g).
2

Vậy

S EHC

S EDB

 64 
2
2
256
 CH   10   64   16 

.
 
 
   
625
 BD   10   100   25 


2

Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC , N là hình chiếu của M trên AC ,
K là hình chiếu của N trên BC . Tính diện tích tam giác ABC , biết rằng MN 15cm , NK 12cm .

Câu 2. Cho hình vng ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD . Gọi E và F lần lượt là
giao điểm của BN với MC và AC . Cho biết AB 30cm . Tính diện tích tam giác BEM và AFN .
Hướng dẫn giải
Câu 1.
Ta có MN / / AB , M là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của ABC .
Do đó AB 2 MN 30  cm  .
Xét hai tam giác vuông ABC và KMN , có




(hai góc so le trong)
BAC
 NKM
90 , ABC KMN
nên ABC ” KMN .  1
Xét MNK có MK  MN 2  NK 2 9  cm  .
1
1
2
Do đó S KMN  NK .MK  .9.12 54  cm  .
2
2
2

100
 AB 
Từ  1 ta có: S ABC 
.54 600  cm 2  .
 .S KMN 
9
 KM 
Câu 2.

Ta có ABN BCM (c.g.c) ABN BCM
.
Dẫn tới BN  CM .
ABN vuông tại A , AB 30cm , AN 15cm nên BN 2 1125 .
2


S
225 1
 BM 
BEM ” BAN  BEM 
 .
 
SBAN  BN  1125 5
1
1
2
Mà S BAN  .30.15 225  S BEM 225. 45  cm  .
2
5

Trang 7


AFN ” CFB 

FN AN 1
1
1

  FN  BF  BN
FB BC 2
2
3

1

1
2
Do đó S AFN  SABN  .225 75  cm  .
3
3

Trang 8