ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN TẤN TUÂN

PHÂN TÍCH TẤM PHÂN LỚP CHỨC NĂNG ĐA CHIỀU
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẲNG HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng
Mã số ngành: 8580201

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2023


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn 1:

TS. Thái Sơn

Chữ ký:

Cán bộ hướng dẫn 2:

TS. Trần Minh Thi

Chữ ký:

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS. TS. Đỗ Nguyễn Văn Vương Chữ ký:

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Liêu Xuân Quí

Chữ ký:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM,
ngày 13 tháng 07 năm 2023.
Thành phần Hội đồng đánh giá Đề cương luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS. TS. Đào Đình Nhân

- Chủ tịch

2. PGS. TS. Ngô Hữu Cường

- Ủy viên

3. TS. Nguyễn Hồng Ân

- Thư ký

4. PGS. TS. Đỗ Nguyễn Văn Vương

- Phản biện 1

5. TS. Liêu Xuân Quí


- Phản biện 2

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG


i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN TẤN TUÂN
MSHV: 2070272
Ngày, tháng, năm sinh: 06/01/1997
Nơi sinh: Bà Rịa Vũng Tàu
Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng
Mã số: 8580201
I. TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích tấm phân lớp chức năng đa chiều có bề dày thay đổi
bằng phương pháp đẳng hình học (Analysis of variable thickness multidirectional functionlly graded plates based on isogeometric analysis).
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1. Tìm hiểu các kết quả nghiên cứu đã được thực hiện về tấm có bề dày thay đổi
và tấm phân lớp chức năng đa chiều.
2. Xây dựng mơ hình tính tốn cho bài tốn tĩnh, dao động tự do và bài toán tải

trọng thay đổi theo thời gian cho tấm phân lớp chức năng đa chiều dựa trên lý
thuyết cơ học vật rắn và lý thuyết tấm bậc ba của Reddy.
3. Phát triển chương trình tính dựa trên phương pháp đẳng hình học
(Isogeometric Analysis) để giải các bài tốn tấm.
4. Khảo sát độ tin cậy của thuật toán, khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số vật
liệu và hình học đến ứng xử cơ học của tấm phân lớp chức năng đa chiều có
bề dày thay đổi.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

: 01/07/2022

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 01/07/2023
V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
TS. Thái Sơn, TS. Trần Minh Thi.

Tp. HCM, ngày 01 tháng 07 năm 2023

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

TS. Thái Sơn

TS. Trần Minh Thi

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

(Họ tên và chữ ký)


ii

LỜI CẢM ƠN
Sau hơn bốn năm học tập ở môi trường đại học và hai năm ở môi trường cao học
tại trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM, giờ đây đã đến lúc em chuẩn bị cho bài báo
cáo cuối cùng trong chương trình học. Và thật tình cờ, cũng thật sự may mắn khi được
em được TS. Thái Sơn và TS. Trần Minh Thi hướng dẫn.
Qua các buổi học với Thầy, ngồi kiến thức ra thì khoảng thời gian nói chuyện
và trao đổi với Thầy, em mới thấy được những lỗ hỏng trong kiến thức của mình ngày
càng lộ rõ và Thầy là người hướng dẫn và chia sẽ cho em những kiến thức đó. Thầy
thực sự nhiệt huyết với nghề cùng với nguồn năng lượng mà thầy gửi đi giúp em có
động lực hơn trong việc học tập và nghiên cứu.
Ngoài học được những kiến thức từ Thầy, em còn học được cách mà Thầy tư
duy hay đánh giá một vấn đề rất hay từ đó giúp em cải thiện bản thân mình hơn và
ngày càng hồn thiện bản thân mình.
Em xin chân thành cảm ơn Thầy Sơn và Thầy Thi! Em chúc Thầy có thật nhiều
sức khỏe để ngày qua ngày lan tỏa được nguồn năng lượng nhiệt huyết và đặc biệt là
kiến thức đến các bạn trẻ!
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 07 năm 2023

Nguyễn Tấn Tuân


iii
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Nghiên cứu này đề xuất một mơ hình số bằng phương pháp đẳng hình học và
lý thuyết tấm bậc ba để tìm hiểu ứng xử tĩnh và động của tấm phân lớp chức năng

đa chiều (MFGPs) có bề dày thay đổi. Lý thuyết tấm bậc ba được sử dụng để mô
tả quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng. Các đặc trưng vật liệu của MFGPs được
giả định thay đổi theo các hướng trong không gian trong thể tích của tấm, các đặc
trưng vật liệu hiệu quả được mô tả theo quy luật hàm mũ. Các phương trình chủ
đạo được xây dựng dựa trên định luật Hamilton và phân tích đẳng hình học (IGA)
được sử dụng như một cơng cụ số để rời rạc hóa phương trình chủ đạo. Một số ví
dụ số được thực hiện để xác minh tính chính xác của phương pháp đề xuất và
nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số hình học cũng như vật liệu đối với ứng xử
của các tấm MFGPs.


iv
ABSTRACT
This study proposes a numerical model using isogeometric analysis and
third-order plate theory to investigate the static and dynamic behavior of multilayered functionally graded plates (MFGPs) with varying thickness. The thirdorder plate theory is employed to describe the relationship between displacement
and deformation. The material properties of MFGPs are assumed to vary in
different directions within the plate's volume, and these effective material
properties are described by exponential law functions. The governing equations
are formulated based on Hamilton's principle, and isogeometric analysis (IGA) is
utilized as a numerical tool to discretize the governing equations. Several
numerical examples are conducted to validate the accuracy of the proposed method
and to study the influence of geometric parameters and materials on the behavior
of MFGPs.


v
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan các nội dung trong luận văn thạc sĩ do chính tơi thực hiện dưới
sự hướng dẫn của TS. Thái Sơn và TS. Trần Minh Thi. Các số liệu, kết quả nếu trong
luận văn là trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác.

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 07 năm 2023
HỌC VIÊN CAO HỌC

Nguyễn Tấn Tuân


vi

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ............................................................................i
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................ii
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... v
MỤC LỤC ..................................................................................................................vi
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ..............................................................................ix
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT................................................... x
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU .......................................................................................... 1
1.1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu .................................................................. 1
1.1.1. Đặt vấn đề ...................................................................................................1
1.1.2. Tình hình nghiên cứu .................................................................................2
1.1.3. Cách chế tạo vật liệu FGMs .......................................................................4
1.1.4. Ứng dụng của FGMs ..................................................................................4
1.2. Mục tiêu và sự cần thiết của nghiên cứu .......................................................... 6
1.3. Nội dung nghiên cứu......................................................................................... 6
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................................ 7
2.1. Đặc trưng vật liệu của MFGPs ......................................................................... 7
2.2. Lý thuyết tấm bậc ba của Reddy và phương trình chủ đạo ............................ 10
2.3. Hàm nội suy NURBS dựa trên phương pháp IGAS ....................................... 14
2.3.2. Bài toán tĩnh .............................................................................................16
2.3.3. Bài toán dao động tự do ...........................................................................16
2.3.4. Bài toán tấm dưới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian ............17

CHƯƠNG 3 VÍ DỤ SỐ ............................................................................................ 19
3.1. Bài tốn uốn tĩnh ............................................................................................. 19
3.1.2. Ví dụ kiểm chứng .....................................................................................19
3.2. Bài toán động .................................................................................................. 22
3.2.1. Xác minh ..................................................................................................22
3.3. Khảo sát thơng số............................................................................................ 24
3.3.1. Bài tốn tĩnh .............................................................................................24
3.3.2. Bài toán dao động của tấm dưới tác dụng của tải trọng động ..................37
CHƯƠNG 4 NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN ............................................................. 45


vii
4.1. Bài toán tĩnh .................................................................................................... 45
4.2. Bài toán động .................................................................................................. 46
4.3. Hướng phát triển ............................................................................................. 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................... 48


viii
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH
Hình 1.1 Hình dạng tấm có bề dày thay đổi................................................................ 1
Hình 1.2 Một số ứng dụng của tấm phân lớp chức năng [nguồn: Internet] ................ 5
Hình 1.3 Một số ứng dụng trong cấu trúc vi mô [nguồn: Internet]............................. 5
Hình 2.1 Tấm hình trịn có bề dày thay đổi ................................................................ 9
Hình 2.2 Tấm chữ nhật có bề dày thay đổi ................................................................. 9
Hình 3.1 So sánh độ võng của tấm hình vng có bề dày thay đổi .......................... 23
Hình 3.2 Tải trọng động hình sin .............................................................................. 38
Hình 3.3 Ảnh hưởng của các chỉ số gradient ( nx , n y , nz ) trong ứng xử động của tấm
MFGPs hình vng (a=1m, SSSS, a/hmin = 50, hmax / hmin =1.5)................................ 39
Hình 3.4 Ảnh hưởng của điều kiện biên của ứng xử động của tấm MFGPs hình

vng (a=1m, SSSS, a/hmin = 20, hmax / hmin =1.2, nx =0.1, ny =0.1, nz =2) ................. 40
Hình 3.5 Ảnh hưởng của tỷ số a / hmin trong ứng xử động của tấm MFGPs hình
vng ......................................................................................................................... 40
n=
0.2, n=
0.5 )................................................ 40
(a=1 m, SSSS, hmax / hmin = 1.2 , n=
x
y
z

Hình 3.6 Ảnh hưởng của tỷ số hmax / hmin trong ứng xử động của tấm MFGPs hình
vng ......................................................................................................................... 41
n=
0.2, n=
1.5 ) ..................................................... 41
(a=1 m, SSSS, a / hmin =50, n=
x
y
z

Hình 3.7 Ảnh hưởng của các chỉ số gradient ( nz , nr ) trong ứng xử động của tấm
MFGPs hình trịn (R=1m, Sr, R/hmin=10, hmax / hmin =1.2) ......................................... 42
Hình 3.8 Ảnh hưởng của điều kiện biên của ứng xử động của tấm MFGPs hình trịn
................................................................................................................................... 43
( R = 1m , R / hmin = 10 , hmax / hmin =1.2, nr =0.2, nz =0.2) ................................................. 43
Hình 3.9 Ảnh hưởng của tỷ số hmax / hmin trong ứng xử động của tấm MFGPs hình
trịn ............................................................................................................................ 43
=
=

nz 1 ) ..................................................................... 43
(R=1 m, Sr, R / hmin = 10
, nr 0.2,


ix
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1 So sánh tần số dao động tự do của tấm hình vng tựa đơn ..................... 20
Bảng 3.2 So sánh tần số dao động tự do của tấm MFGPs có điều kiện biên ngàm .. 21
Bảng 3.3 So sánh ứng xử uốn của tấm đẳng hướng với bề dày thay đổi .................. 22
Bảng 3.4 So sánh tần số dao động tự do của tấm MFGPs hình vng biên tựa đơn 23
Bảng 3.5 Kết quả uốn tĩnh của tấm MFGPs cong lồi khơng đối xứng hình chữ nhật
điều kiện biên SSSS (hmin =a/10, a=1m) ................................................................... 25
Bảng 3.6 Kết quả uốn tĩnh tấm MFGPs cong lõm không đối xứng hình chữ nhật
điều kiện biên SSSS (hmin =a/10, a=1m) ................................................................... 26
Bảng 3.7 Kết quả uốn tĩnh tấm MFGPs cong lồi khơng đối xứng hình chữ nhật điều
kiện biên CCCC (hmin =a/10, a=1m) ......................................................................... 27
Bảng 3.8 Kết quả uốn tĩnh tấm MFGPs cong lõm khơng đối xứng hình chữ nhật
điều kiện biên CCCC (hmin =a/10, a=1m) ................................................................. 29
Bảng 3.9 Kết quả uốn tĩnh tấm MFGPs cong lõm không đối xứng tấm MFGPs hình
trịn (hmin =R/10, R=1m)............................................................................................ 30
Bảng 3.10 Kết quả dao động tấm MFGPs cong lồi không đối xứng hình chữ nhật
biên SSSS (hmin =a/10, a=1m) ................................................................................... 31
Bảng 3.11 Kết quả dao động tự do tấm MFGPs thay đổi đối xứng theo hai hướng
hình chữ nhật biên SSSS (hmin =a/10, a=1m) ............................................................ 32
Bảng 3.12 Kết quả dao động tấm MFGPs cong lồi khơng đối xứng hình chữ nhật
biên CCCC (hmin =a/10, a=1m) ................................................................................. 34
Bảng 3.13 Kết quả dao động tấm MFGPs thay đổi đối xứng theo hai hướng hình
chữ nhật biên CCCC (hmin =a/10, a=1m) .................................................................. 35
Bảng 3.14 Dao động tự do tấm MFGPs cong lõm không đối xứng tấm hình trịn

MFGPs (hmin =R/10, R=1m) ..................................................................................... 36


x
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
CAD (Computer-Aided Design)

Thiết kế hỗ trợ bằng máy tính

CCCC (Clamped boundary)

Điều kiện biên ngàm tại biên

Cr (Clamped boundary)

Điều kiện biên ngàm tại biên

FEM (Finite Element method)

Phương pháp phần tử hữu hạn

FGMs (Functionally Graded Materials)

Vật liệu phân lớp chức năng

IGA (Isogeometric Analysis)

Phân tích đẳng hình học


MFGPs (Multi-directionally Functionally Graded Plates) Tấm phân lớp chức năng
đa chiều
NURBS (Non-Uniform Rational B-spline)

Hàm nội suy NURBS

SCSC (Simply and Clamped boundary)

Điều kiện biên tựa, ngàm

SFSF (Simply and Free boundary)

Điều kiện biên tựa, tự do

SSSS (Simply supported boundary)

Điều kiện biên tựa

Sr (The simply supported boundary)

Điều kiện biên tựa


1
CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU
1.1. Tổng quan về tình hình nghiên cứu
1.1.1. Đặt vấn đề
Trong thực tế, kết cấu dạng tấm có bề dày thay đổi được sử dụng khá phổ biến và
rộng rãi trọng nhiều lĩnh vực nhờ một số các đặc tính cơ học của chúng [1], [2]. Để hiểu
rõ về các đặc tính cơ học này, rất nhiều những nghiên cứu đã được thực hiện bởi các

nhà nghiên cứu [3]–[5].

Hình 1.1 Hình dạng tấm có bề dày thay đổi

Trong lĩnh vực khoa học vật liệu, Vật liệu phân lớp chức năng (FGMs) được xem
là một dạng của vật liệu Composite. Loại vật liệu này được phát triển bởi các nhà
khoa học Nhật Bản vào cuối những năm 80 của thế kỷ trước, nó đã khắc phục được
những hạn chế của vật liệu Composite truyền thống như giảm ứng suất dư, ứng suất
nhiệt và ứng suất tập trung [6]. Thành phần vật liệu thường là gốm và kim loại. Nhờ
có những đặc tính nổi bật, một số lượng lớn các nghiên cứu đã được dành ra để tìm
hiểu và phân tích ứng xử cơ học của dầm, cột, tấm và vỏ được làm từ FGMs [7], [8].
Việc kết hợp loại vật liệu FGMs vào kết cấu dạng tấm có bề dày thay đổi cũng đã
được thực hiện bởi nhiều nhà nghiên cứu [9]–[12] nhằm tìm hiểu về ứng xử cơ học
của loại vật liệu này trong kết cấu dạng tấm có bề dày thay đổi từ đó có thể ứng dụng
chúng vào các lĩnh vực đời sống một cách tốt nhất.
Nhìn chung các nghiên cứu vẫn cịn nhiều hạn chế, các nghiên cứu trước đây về
MFGPs chủ yếu tập trung vào sự biến đổi trong mặt phẳng của các thành phần vật liệu


2
cấu thành mà chưa tìm hiểu ứng xử cơ học của chúng khi các thành phân vật liệu này
biến đổi theo khơng gian trong trong tồn bộ miền của tấm.
Do đó, mục tiêu chính của nghiên cứu này là khảo sát các ứng xử cơ học của tấm
FGMs có bề dày thay đổi dưới tác động của tải trọng tĩnh và tải trọng thay đổi theo thời
gian, trong đó các thành phần vật liệu có xét đến sự thay đổi về mặt không gian trong
miền của tấm. Về vấn đề này, lý thuyết tấm bậc ba được sử dụng để biểu diễn các quan
hệ giữa biến dạng và chuyển vị. Các phương trình chủ đạo được phát triển dựa trên định
lý Hamilton và phương pháp Phân tích đẳng hình học (IGA) được sử dụng như một
phương pháp số để giải phương trình chính tắc.
Nhiều ví dụ số khác nhau được thực hiện để xác nhận tính chính xác của phương

pháp được đề xuất. Các nghiên cứu tham số cũng được thực hiện để khảo sát ảnh
hưởng của các tham số hình học và vật liệu. Các kết quả thu được có thể dùng làm
giải pháp chuẩn cho các cuộc điều tra trong tương lai.
1.1.2. Tình hình nghiên cứu
Do có tính ứng dụng cao trong các một số lĩnh vực thực tế mà một số lượng lớn
các nghiên cứu đã được dành để nghiên cứu ứng xử cơ học của tấm có bề dày thay
đổi nói chung và tấm FGMs có bề dày thay đổi nói riêng.
Tình hình nghiên cứu trong nước
Le Manh và cộng sự [13] đã khảo sát ứng xử uốn và vênh phi tuyến của các tấm
Composite với sự thay đổi chiều dày tuyến tính. Lieu và cộng sự [14] đã nghiên cứu
ứng xử uốn và dao động tự do của các tấm được phân cấp chức năng hai hướng trong
mặt phẳng với bề dày thay đổi. Sau đó, Lieu và Lee [15] đã thực hiện một bài tốn tối
ưu hóa thiết kế dựa trên độ tin cậy để tối ưu hóa sự phân bố vật liệu và bề dày của các
tấm FGMs. Phân tích uốn tĩnh và dao động tự do của các tấm FGMs có bề dày thay đổi
được thực hiện bởi Tran và cộng sự [9] bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu
hạn. Phan [10] đã phát triển một phần tử tứ giác bốn nút hỗn hợp mới để khảo sát ứng
xử tĩnh của các tấm FGM có bề dày thay đổi. Minh và cộng sự [12] đã sử dụng lý thuyết
biến dạng cắt bậc cao của để tính tốn dao động tự do của các tấm bị nứt (FGM) nằm
trên nền đàn hồi Pasternak. Sau đó Minh và cộng sự [16] tiếp tục nghiên cứu tính ổn
định của các tấm FGM hình chữ nhật với vết nứt trung tâm, trong đó chiều dày tấm
được thay đổi theo cấp số nhân dọc theo chiều dài cạnh.


3
Tình hình nghiên cứu quốc tế
Một trong những nghiên cứu đầu tiên về phân tích uốn tuyến tính của tấm có bề
dày thay đổi được thực hiện bởi Wang [17]. Zenkour [18] trình bày các giải pháp phân
tích cho bài tốn uốn tĩnh của các tấm hình chữ nhật với chiều dày thay đổi bằng cách
sử dụng phương pháp tham số nhỏ. Các nghiên cứu đáng chú ý khác về ứng xử uốn
cong tuyến tính của các tấm có bề dày thay đổi đã được công bố gần đây là nghiên cứu

của Kim và Pekoz [19], Zenkour [20], và Yekkalam Tash và Navayi Neya [21]. Cheung
và Zhou cũng nghiên cứu dao động tự do của các tấm Mindlin hình chữ nhật có bề dày
thay đổi theo một hoặc hai hướng bằng cách sử dụng phương pháp Rayleigh – Ritz.
Manna [22] đã tiến hành một nghiên cứu về phân tích dao động tự do của các tấm hình
chữ nhật đẳng hướng có bề dày thay đổi tuyến tính theo một hướng. Tác giả đã sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử tam giác bậc cao, trong khi lý thuyết biến
dạng tấm bậc nhất được sử dụng để bao gồm ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang. Gupta
và cộng sự [23] đã nghiên cứu phân tích ảnh hưởng của vị trí vết nứt đến ứng xử dao
động của tấm vi mô bị nứt một phần với chiều dày không đồng nhất.
Alipour và cộng sự [24] đã tiến hành một cuộc điều tra về ứng xử dao động tự do
của các tấm trịn FGMs có bề dày thay đổi nằm trên nền đàn hồi, kết quả trong nghiên
cứu này thu được đối với các điều kiện biên được ngàm, tự do và tựa đơn. Phân tích dao
động tự do của các tấm mỏng có bề dày thay đổi theo hình trịn và hình khun được
phân loại theo chức năng xun tâm nằm trên nền đàn hồi Pasternak được thực hiện bởi
Hosseini-Hashemi và cộng sự [25]. Sự dao động tự do của một tấm hình trịn FGMs có
bề dày thay đổi được nghiên cứu bởi Shojaeefard và cộng sự [26]. Chen và cộng sự [27]
đã phân tích các ứng xử dao động của các tấm hình bình hành có bề dày thay đổi với
các vật liệu xốp được phân lớp chức năng trong mặt phẳng. Bằng cách áp dụng phương
pháp phân tích đẳng tích, Zhong và cộng sự [28] đã khảo sát dao động tự do của các
tấm hình trịn, hình elip và hình cung của tấm FGMs có bề dày thay đổi.
Kumar và cộng sự [29] đã trình bày một nghiên cứu về dao động tự do của các tấm
FGM hình chữ nhật thn nhọn nằm trên mơ hình nền đàn hồi hai tham số, trong đó lý
thuyết biến dạng cắt bậc cao được sử dụng để biểu diễn các quan hệ động học của tấm.
Jalali và Heshmati [30] đã sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để khảo sát dao
động tự do của các tấm FGMs hình trịn thn nhọn. Một giải pháp chính xác để phân


4
tích dao động tự do của tấm FGM có bề dày thay đổi tuyến tính cũng được phát triển
bởi Kumar và cộng sự [31] bằng cách sử dụng phương pháp của Galerkin-Vlasov.

1.1.3. Cách chế tạo vật liệu FGMs
Vật liệu chức năng (FGMs) là một loại Composite mà các đặc tính vật liệu biến
đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thường gặp
trong các loại Composite lớp. Sự thay đổi dần dần các đặc tính của vật liệu sẽ làm
giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư. Vật liệu chức năng là một tổ
hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, gốm, Ni, Cr, Co, Al…)
phân bố trong không gian khối vật liệu theo một trật tự nhất định.
Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất, các thành
phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ các thành tố
đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dể tạo ra các kết cấu dạng tấm,
vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo tính ổn định
hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động [32]
Chế tạo vật liệu chức năng
Phụ thuộc vào nhu cầu cụ thể của các đặc tính cơ học của vật liệu và điệu kiện
cơng nghệ hiên có mà lựa chọn cơng nghệ chế tạo vật liệu FGMs phù hợp. Để chế
tạo vật liệu FGMs có nhiều phương pháp khác nhau: Phun phủ nhiệt, Lắng đọng hóa
học, Luyện kim bột – biến dạng tạo hình [33], Lắng động vật lý, Tổng hợp nhiệt độ
cao [34], [35].
1.1.4. Ứng dụng của FGMs
Khái niệm về FGM đã được khởi xướng ở Nhật Bản cách đây 30 năm trong một
dự án không gian. Trong dự án này, các FGM được sử dụng để tạo ra một rào cản
nhiệt có thể đạt được nhiệt độ bề mặt là 2000K và độ dốc nhiệt độ là 1000K trên một
phần 10 mm. Kể từ đó, FGM đã thâm nhập vào nhiều lĩnh vực khác nhau trong kỹ
thuật dân dụng, kỹ thuật cơ khí và kỹ thuật điện tử nhờ các tính năng tiên tiến của
chúng. Ví dụ như trong lị ứng xử hạt nhân (tường Plasma), ứng dụng không gian
(thành phần tên lửa, phương tiện không gian), ứng dụng y tế (xương nhân tạo, nha
khoa), v.v.


5


Hình 1.2 Một số ứng dụng của tấm phân lớp chức năng [nguồn: Internet]

Ngoài ra, việc áp dụng FGM cho các cấu trúc vi mô trong các công nghệ cao được
nghiên cứu ngày càng nhiều trong vài năm qua. Các cấu trúc vi mô, bao gồm các
chùm tia vi mô. Và các tấm vi mô là các thành phần cơ bản trong cảm biến sinh học,
kính hiển vi lực nguyên tử, các hệ thống cơ điện tử vi mô và nano. Vì vậy, ứng xử
cơ học của những cấu trúc quy mơ nhỏ đó cần được nghiên cứu tồn diện để thiết kế
phù hợp cho những ứng dụng đắt tiền đó.

Hình 1.3 Một số ứng dụng trong cấu trúc vi mô [nguồn: Internet]


6
1.2. Mục tiêu và sự cần thiết của nghiên cứu
Có thể thấy rằng nghiên cứu về ứng xử của các tấm MFGPs có chiều dày thay đổi
chưa được nghiên cứu một cách tồn diện. Do đó, mục đích chính của nghiên cứu
này là khảo sát ứng xử của tấm MFGPs, trong đó các tấm có bề dày thay đổi có dạng
hình học hình chữ nhật và hình trịn được xem xét. Kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp
vào khối kiến thức trong lĩnh vực cơ học kết cấu và khoa học vật liệu nói chung.
Phương pháp IGA [36] được biết đến rộng rãi như một phương pháp phần tử hữu
hạn nâng cao, được sử dụng để giải phương trình chính tắc. Việc áp dụng phương
pháp IGA vào nghiên cứu này nhằm phát triển một công cụ số để giải quyết các bài
tốn tấm có chiều dày thay đổi.
1.3. Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu này tìm hiểu ứng xử tĩnh và động của tấm được làm bằng vật liệu
chức năng đa chiều (MFGPs) có bề dày thay đổi. Lý thuyết tấm bậc ba được sử dụng
để mô tả quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng. Các đặc trưng vật liệu của MFGPs
được giả định thay đổi theo các hướng trong khơng gian trong thể tích của tấm, các
đặc trưng vật liệu hiệu quả được mô tả theo quy luật hàm mũ. Các phương trình chủ

đạo được xây dựng dựa trên định luật Hamilton và phân tích đẳng hình học (IGA)
được sử dụng như một công cụ số để rời rạc hóa phương trình chủ đạo. Một số ví dụ
số được thực hiên để xác minh tính chính xác của phương pháp đề xuất và nghiên
cứu ảnh hưởng của các thông số hình học cũng như vật liệu đối với ứng xử của các
tấm MFGPs. Nội dung nghiên cứu bao gồm:
- Tìm hiểu các kết quả nghiên cứu đã được thực hiện về tấm có bề dày thay đổi
và Vật liệu phân lớp chức năng.
- Xây dựng mơ hình tính tốn cho bài toán tĩnh và bài toán động cho tấm phân
lớp chức năng đa chiều dựa trên lý thuyết cơ học vật rắn và lý thuyết tấm bậc ba.
- Phát triển chương trình tính dựa trên phương pháp đẳng hình học (Isogeometric
Analysis) để giải các bài toán tấm.
- Khảo sát độ tin cậy thuật tốn và tìm hiểu sự ảnh hưởng của các thơng số vật
liệu và hình học đến ứng xử cơ học của tấm phân lớp chức năng đa chiều có bề dày
thay đổi.


7
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Đặc trưng vật liệu của MFGPs
Trong Hình 2.1 và Hình 2.2, các hình học của các tấm MFGPs hình trịn và hình
chữ nhật có bề dày thay đổi và tọa độ Cartesian tương ứng được mơ tả. Đối với các
tấm hình chữ nhật, chiều dài bên trong hướng x là a và chiều dài bên theo hướng y là
b, gốc tọa độ của hệ thống tọa độ Descartes nằm ở một góc của các tấm. Đối với các
tấm trịn có bán kính R, hệ tọa độ Descartes nằm ở trung tâm của tấm.
Trong nghiên cứu này, các MFGPs được giả định bao gồm hai thành phần vật
liệu riêng biệt, tức là thành phần gốm và kim loại. Các đặc tính vật liệu của MGFM
được tính tốn bằng mơ hình hỗn hợp (hay cịn gọi là mơ hình Voigt) trong tọa độ
Descartes xác định như sau:
(2.1)


=
P ( x, y , z ) P V ( x, y , z ) + P V ( x, y , z )
c c

m m

trong đó P ( x, y, z ) là một đặc trưng của vật liệu, chẳng hạn như Modun đàn hồi

E ( x, y, z ) , hệ số Poisson ν ( x, y, z ) , khối lượng riêng ρ ( x, y, z ) , c và m biểu thị
vật liệu gốm và kim loại tương ứng. Vc ( x, y, z ) và Vm ( x, y, z ) là thể tích của vật liệu
1. Đối với
gốm và kim loại trong hệ tọa độ Descartes với Vc ( x, y, z ) + Vm ( x, y, z ) =
các tấm hình trịn và hình chữ nhật có tọa độ Descartes cho trước như được mơ tả
trong Hình 2.1 và Hình 2.2, các biểu thức tốn học cho phần thể tích gốm được đưa
ra như sau:
• Tấm hình chữ nhật sự phân bố thể tích được tuân theo nguyên tắc
Dạng 1
nx

ny

 4 x  x   4 y  y   z
1
Vc =
+ 
 1 −    1 −   
 a  a    b  b    h ( x, y ) 2 

nz


(2.2)

Dạng 2

1
x  y  z
=
Vc     
+ 
 a   b   h ( x, y ) 2 
nx

ny

nz

(2.3)


8
Dạng 3

 z
1
=
Vc VcxVcy 
+ 
 h ( x, y ) 2 
  2 x n
a

0≤ x<
  
2
  a 
=
Vcx =
; Vcy
n
x
a
2


≤x≤a
 2 − a 
2

x

x

nz

(2.4)

  2 y n
  
  b 

n

2y 

 2 − b 

y

0≤ x<
y

b
2

(2.5)

b
≤ x≤b
2

trong đó nx , n y , nz là chỉ số gia tăng thành phần kim loại trong miền thể tích tấm; a, b
lần lượt là kích thước các cạnh của tấm hình chữ nhật; h( x, y ) là chiều cao tại tọa độ

( x, y ) zt ( x, y ) − zb ( x, y ) ; zt và zb được xác
(x,y) của tấm và được xác định bằng: h=
định trong công thức (2.9) đến (2.11).
• Tấm hình trịn

1
r  z

Vc =

+ 
1 −  
 R   h ( x, y ) 2 
nr

nz

(2.6)

trong đó nr và nr là chỉ số gia tăng thành phần kim loại trong miền thể tích tấm; R là
bán kính của tấm hình trịn; h( x, y ) là chiều cao tại tọa độ (x,y) của tấm và được xác

( x, y ) zt ( x, y ) − zb ( x, y ) ; zt và zb được xác định trong công thức 2.8
định bằng: h=
• Các giá trị của các đặc trưng vật liệu được tính tốn như sau

E ( x, y , z ) =
( Ec − Em )Vc + Em
v ( x, y , z ) =
( vc − vm )Vc + vm
ρ ( x, y , z ) =
( ρc − ρ m )Vc + ρ m

(2.7)

trong đó E(x, y, z), v(x,y,z), p là các đặc trưng của vật liệu cụ thể lần lượt là module
đàn hồi, hệ số Poison, và khối lượng riêng của vật liệu. Chữ c là đại diện cho vật liệu
Ceramic (gốm) và chữ m đại diện cho vật liệu Metal (kim loại).



9

Hình 2.1 Tấm hình trịn có bề dày thay đổi

a. Thay đổi đối xứng theo hai hướng

b. Dạng cong lồi khơng đối xứng
Hình 2.2 Tấm chữ nhật có bề dày thay đổi


10
Biểu thức cho tọa độ của bề mặt trên zt và bề mặt đáy zb cho từng mơ hình trên được
cho như sau
• Cho tấm hình trịn
Dạng cong lõm khơng đối xứng
2

hmin
h
r
− min −   ( hmax − hmin )
zt ( x , y ) =
; zb ( x , y ) =
2
2 R

(2.8)

trong đó hmin và hmax lần lượt là chiều dày nhỏ nhất và chiều dày lớn nhất của tấm hình
trịn; R là bán kính của tấm hình trịn

• Cho tấm hình chữ nhật
Dạng thay đổi bề dày theo cả hai hướng đối xứng

hmax 
x
y
x y
− zb ( x , y ) =
zt ( x , y ) =
1 − k x − k y + k x k y

a
b
a b
2 

(2.9)

 y x y
h= h0 1 − +
 ; hmax= h0 ; hmin= h0 (1 − k x − k y + k x k y )
 b a b

(2.10)

Dạng hình cong lồi khơng đối xứng
 x  x  2 
hmin
hmin
zt ( x , y ) = ; z b ( x , y ) =

−
− 4 ( hmax − hmin )  −   
2
2
 a  a  

(2.11)

trong đó k x và k y (0 < k x , k y < 1) là các hệ số gia tăng bề dày theo hướng x, y tương ứng;
hmin và hmax lần lượt là chiều dày nhỏ nhất và chiều dày lớn nhất của tấm hình chữ nhật;

a, b lần lượt là chiều dài các cạnh của tấm hình chữ nhật.
2.2. Lý thuyết tấm bậc ba của Reddy và phương trình chủ đạo
Trong nghiên cứu này, lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc ba do Reddy [37] đề xuất
được sử dụng để mô tả các quan hệ động học. Lý thuyết này được coi là mơ hình tấm
đáng tin cậy nhất để xem xét ảnh hưởng của hiệu ứng biến dạng cắt trong các tấm mỏng
và dày mà không cần xem xét hệ số hiệu chỉnh cắt nhưng vẫn được biểu diễu dưới dạng
ngắn gọn. Các chuyển vị không gian tại bất kỳ điểm nào trong một tấm có bề dày thay
đổi được cho như sau


11

∂w
∂x
∂w
u2 =
v + f ( z )θ y − g ( z )
∂y
u1 =

u + f ( z )θ x − g ( z )

(2.12)

u3 = w
trong đó u , v và w là các vector chuyển vị của một điểm bất kì trong mặt phẳng tham
chiếu (mặt phẳng mà hệ toạ độ Descartes được đặt trên đó), θ x và θ y là biến dạng góc,
4z3
4z3
và f ( z ) =
. Các quan hệ biến dạng chuyển vị được biểu
z− 2
; g ( z) =
3h ( x, y )
3h 2 ( x, y )

thị như sau:

ε=
ε 0 + f ( z )ε1 + g ( z )ε 2

(2.13)

f ′( z )γ 1 + (1 − g ′( z ) ) γ 2

(2.14)

γ
=
trong đó


∂ u



∂
x


ε xx 
∂ v

 
ε= ε yy  ; ε=

 ; ε=
0
1
γ 
∂ y

 xy 
∂ u ∂ v 
+


∂
∂ x
y



 ∂θ x 


 ∂x 
 ∂θ y 

 ; ε=
2
 ∂y 
 ∂θ ∂θ y 
 x+

∂ y ∂ x 

 ∂ 2w 
 − 2 
 ∂x 
 ∂ 2w 
 − 2 
 ∂y 

∂ 2w 
−2

 ∂ x∂ y 

 ∂w 
 ∂x 
γ xz 

θ x 
′
′
1
f
z
g
z
=
+
−
(
)
(
)
)  ∂w 
 
  (
γ yz 
θ y 
 
 ∂y 

(2.15)

(2.16)

Phương trình cấu thành cho bài toán tấm được đưa ra bởi

σ xx   Q11 Q12

σ  
Q21 Q22
yy
  
0
σ xy  =  0
σ   0
0
 xz  
0
σ yz   0
trong đó Q=
Q=
11
22

0
0
Q66
0
0

0
0
0
Q44
0

0  ε xx 
 

0  ε yy 
 
0  γ xy 

0  γ xz 
 
Q55  γ yz 

E
Eν
E
; Q=
Q=
; Q=
Q=
Q=
12
21
44
55
66
2
2
1 −ν
1 −ν
2(1 + ν )

(2.17)

(2.18)



12
Bằng cách sử dụng định lý Hamilton, phương trình chuyển động có thể được viết
như sau:
t2

0
∫ (δ T − δ U − δ W )dt =
e

(2.19)

t1

trong đó T là động năng, U là thế năng biến dạng đàn hồi, We là công thực hiện bởi
ngoại lực tác động. Cụ thể được xác định như sau

δ T = ∫ ρ uiδ ui dV

(2.20)

δ U = ∫ σ ijδε ij dV

(2.21)

δ We = − ∫ tˆiδ ui dΓ

(2.22)


V

V

Γ

trong đó V là thể tích của tấm, tˆi là ngoại lực tác động lên diện tích tấm Γ và dấu
chấm biểu thị đạo hàm theo thời gian. Thay thế biểu thức (2.13), (2.14) và (2.20) đến
(2.22) vào biểu thức (2.19) và rút gọn các phương trình được trình bày như sau
+ Phân tích uốn tĩnh tuyến tính

∫ δ εˆ

T

∫ qδ wd Ω

ˆ=
ˆd Ω
Dε

Ω

(2.23)

Ω

+ Dao động tự do
ˆ ˆd Ω
 δ u d Ω

Dε
∫ δ εˆ =
∫ um
T

Ω

(2.24)

Ω

+ Phương trình chuyển động

∫

ˆ εˆdΩ + δ uT mu
dΩ =
δεˆT D
∫Ω
∫ Ωq(t )δ wdΩ

Ω

(2.25)

trong đó Ω biểu thị miền làm việc của mặt phẳng tham chiếu và dấu chấm biểu thị đạo
hàm theo thời gian. q (t ) là tải phân bố trên bề mặt của tấm và là một hàm theo thời gian.
Các thành phần khác được đưa ra như sau



13

ε 0 
0
A P C 0
ε 
P H F 0
0 
u1 
 1 

 
ˆ = C F G 0 =
εˆ = ε 2  ; D
u2  ; m
0  ; u =


γ 
u 
 3
 0 0 0 A s Ps 
 1
 0 0 0 Ps Cs 
 γ 2 

I 0
0

 0


0
I0
0

0
0 
I 0 

(2.26)

trong đó:

 ∂θ x 


 ∂x 
 ∂θ y 

 ; ε 2=
y
∂


 ∂θ ∂θ y 
 x+

∂ y ∂ x 

∂ u




∂ x

∂ v

ε 0= 
 ; ε1=
y
∂


∂ u ∂ v 
+


y
∂
∂ x


 ∂ 2w 
− 2 
 ∂x 
 ∂ 2w 
θ x 
=
γ
;

− =


;γ 2
1
2
θ
y
∂
y




2
 2∂ w 
−

 ∂ x∂ y 

 ∂w 
 ∂x 
 ∂w  (2.27)
 
 ∂y 

zt

( A, P, C ) = ∫ (1, f ( z ) , g ( z ) ) Qb dz
zb


zt

( H, F, G ) = ∫
zb

(( f ( z )) , f ( z ) g ( z ) , ( g ( z )) ) Q dz
2

2

b

A s , Ps , Cs ) ∫ ( ( f ′ ( z ) ) , ( f ′ ( z ) ) (1 − g ′ ( z ) ) , (1 − g ′ ( z ) )
(=
zt

2

zb

2

) Q dz
s

trong đó:

 Q11 Q12 0 
Q

Q21 Q22 0  , Q s  55
=
Qb =
 0
 0
0 Q44 

0 
Q66 

 ∂w 
− ∂x 
θ x 
u 
 I1 I 2


 
 
 ∂w 
I I
u1 =
v  ; u 2 =
θ y  ; u3 =
−  ; I 0 =
 3 4
 w
 
 ∂y 
 I 3 I 5

 
0 
0






( I1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , I 6 ) = ∫ ρe {1, f ( z ) , g ( z ) , ( f ( z ) )
zt

zb

2

(2.28)

I3 
I 5 
I 6 

(2.29)

}

, f ( z ) g ( z ) , ( g ( z ) ) dz (2.30)
2