1



BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI





NGUYỄN XUÂN PHƯƠNG









CHIẾN LƯỢC CHỨNG MINH TRONG
SUY LUẬN TOÁN HỌC



Chuyên ngành: Đại số
Mã ngành: 604605

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC












Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2014


2



MỤC LỤC
Mục lục 2
Chương 1: Mở đầu 4
1.1. Lý do chọn đề tài 4
1.2. Mục đích của đề tài 4
1.3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 4
1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5
1.5. Phương pháp nghiên cứu 5

1.6. Bố cục của đề tài 5
Chương 2: Cơ sở lý luận 6
2.1. Cơ sở lí thuyết 6
2.2. Cơ sở lý luận đề tài 6
2.3. Vai trò và vị trí 6
2.4. Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước 6
2.5. Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài 7
Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu 8
3.1. Quá trình hình thành và phát triển toán học 8
3.2. Phương pháp và mô hình nghiên cứu 10
Chương 4: Kết quả nghiên cứu 11
4.1. Các phương pháp chứng minh trong toán học 11
4.1.1. Chứng minh trực tiếp 11
4.1.2. Chứng minh gián tiếp 12
4.1.3. Chứng minh phản chứng 13
4.1.4. Chứng minh bằng quy nạp toán học 15
4.1.5. Chứng minh xây dựng 19
4.1.6. Chứng minh không xây dựng 20
4.1.7. Chứng minh bằng hình ảnh 20
4.1.8. Chứng minh vét cạn 21
4.1.9. Chứng minh xác suất 22


3



4.1.10. Chứng minh tính duy nhất 23
4.1.11. Chứng minh hai cột 25
4.1.12. Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường 25

4.1.13. Chứng minh với sự hỗ trợ của máy tính 26
4.2. Chiến lược chứng minh 27
4.2.1. Chứng minh mệnh đề kéo theo 27
4.2.2. Suy luận tiến và suy luận lùi 29
4.2.3. Đầu tư cho chứng minh vét cạn 30
4.2.4. Mô phỏng các chứng minh đã có 32
4.2.5. Phỏng đoán và chứng minh 35
4.2.6. Phỏng đoán và các ví dụ 36
4.2.7. Bài toán halting 37
Chương 5: Kết luận 40
Tài liệu tham khảo 41



4



CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay đa số học sinh, sinh viên không biết đến cách sắp xếp các suy
luận để chứng minh một định lý, một bài toán hay một vấn đề. Một vấn đề cụ
thể đó có bao nhiêu cách chứng minh, cách chứng minh nào có thể tiếp cận được
vấn đề dễ dàng và nhanh chóng? Các em chỉ biết kết quả cụ thể của kiến thức,
không biết được nguồn gốc hình thành cũng như ý nghĩa kết quả của kiến thức
đó. Do đó khó sử dụng các kiến thức đã biết để chứng minh cho vấn đề nào đó.
Phương pháp chứng minh có liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học trong
xã hội hiện nay: toán học, văn học, vật lí, tài chính, quản trị, địa chất, luật … Do
đó, tôi thực hiện đề tài: chiến lược chứng minh trong suy luận toán học.
1.2. Mục đích của đề tài

Mục đích của đề tài nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản
về tư duy logic, suy luận trong toán học, các phương pháp chứng minh và cách
kết hợp các phương pháp chứng minh để giải quyết bài toán, một vấn đề nào đó
cần chứng minh, cũng như chọn các phương pháp nào thích hợp cho công việc
của mình.
Ngày nay, có nhiều phương pháp chứng minh trong toán học. Trong đề tài
này sẽ trình bày những phương pháp cơ bản, trong đó có một số phương pháp
thông dụng và nhiều hữu ích. Nhằm giúp cho học sinh, sinh viên mau chóng tiếp
cận và thong hiểu được vấn đề mà mình quan tâm.
1.3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Về mặt lý thuyết đề tài nghiên cứu một số khía cạnh bổ trợ của nghệ thuật
và khoa học chứng minh: bao gồm cách chứng minh ngược, tức là thay vì chứng
minh từ giả thuyết đến kết luận, ta chứng minh từ kết luận, cải tiến các chứng
minh đã có và lợi dụng các ưu điểm của các phương pháp chứng minh.
Thông qua việc tiếp cận các phương pháp chứng minh và nghiên cứu cách
kết hợp các chứng minh, sinh viên có thể các môn học khác trong chuyên ngành
của mình được dễ dàng hơn, cũng như vận dụng để giải quyết một số bài toán,


5



vấn đề trong lĩnh vực tài chính, kiểm toán, quản lí, tiếp thị
Từ đó trau dồi tư duy logic và rèn luyện kỹ năng suy đoán, tính toán của
sinh viên.
1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là đại số và lý thuyết số.
Thời gian nghiên cứu là 6 tháng.
Quy mô nghiên cứu: tài liệu về toán ứng dụng, các chuyên đề trên internet.

Đề tài trình bày các vấn đề trong phạm vi như sau:
- Các phương pháp chứng minh trong toán học.
- Chiến lược chứng minh trong suy luận toán học: Sự lựa chọn và kết
hợp các phương pháp chứng minh.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài thực hiện trên cơ sở phương pháp nghiên cứu thu thập lý thuyết liên
quan đến phương pháp chứng minh, dựa trên tư duy logic và thực nghiệm giảng
dạy môn toán.
1.6. Bố cục của đề tài
Đề tài gồm 5 chương:
Chương 1: Mở đầu
Chương 2: Cơ sở lý luận
Chương 3: Thực trạng và phương pháp nghiên cứu
Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Chương 5: Kết luận.


6



CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN
2.1. Cơ sở lí thuyết
 Lý thuyết là một hệ thống tri thức khoa học, cung cấp một quan niệm
hoàn chỉnh về bản chất sự vật và mối liên hệ cơ bản giữa sự vật với thế giới hiện
thực. Lý thuyết gồm các khái niệm, phạm trù và qui luật về sự vật. Khái niệm có
thể hiểu là hình thức tư duy của con người về những thuộc tính, bản chất của sự
vật và mối liên hệ của những đặc tính đó với nhau, hình thành các khái niệm để
tìm hiểu mối quan hệ giữa các khái niệm với nhau, để phân biệt sự vật này với
sự vật khác và để đo lường thuộc tính bản chất của sự vật hay hình thành khái

niệm nhằm mục đích xây dựng cơ sở lý luận.
2.2. Cơ sở lý luận đề tài
Đó là cơ cở lý thuyết và cơ sở thực tiễn. Cơ sở lý thuyết bao gồm các lý
thuyết, luận điểm khoa học, các tiên đề, định lí, định luật, qui luật được làm luận
cứ cho chứng minh. Cơ sở thực tiễn bao gồm số liệu thu thập được, phân tích và
tổng hợp.
2.3. Vai trò và vị trí
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản
xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh
mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất và trở thành công cụ thiết yếu của
mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu
nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động
lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Để đáp ứng được sự phát triển
của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi phải có con
người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những suy luận hợp
lí, các phương pháp chứng minh toán học trong những điều kiện cụ thể để mang
lại hiệu quả lao động thiết thực.
2.4. Kinh nghiệm nghiên cứu trong nước
Trong chương trình giảng dạy của khoa Toán ở các trường đại học như


7



trường đại học Khoa học Tự nhiên, trường đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh có các chương cơ sở logic, phương pháp đếm, phương pháp quy nạp, các
thuật toán đệ quy…Qua đó, sinh viên sẽ học và làm quen được nhiều cách
chứng minh. Nhưng chưa có phần nào tổng hợp các phương pháp chứng minh

và cách thức kết hợp để xây dựng các phương pháp chứng minh.
2.5. Kinh nghiệm nghiên cứu ở nước ngoài
Nhiều nhà toán học ở nước ngoài tập trung nghiên cứu ứng dụng của toán
học. Đã có nhiều nghiên cứu viết thành sách, trong đó có tập hợp được một số
phương pháp chứng minh, một số phương pháp khác được trình bày ở những
phần ứng dụng riêng. Hơn nữa còn có phần ưu điểm của các phương pháp chứng
minh.


8



CHƯƠNG 3: THỰC TRẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1. Quá trình hình thành và phát triển toán học
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng,
cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.

Toán học là ngành khoa học nghiên cứu về
không gian, các con số, số lượng và sự sắp xếp, bao gồm hình học, số học, đại
số và giải tích, các phương pháp của toán học liên quan đến suy luận logic và
thường sử dụng các ký hiệu tượng trưng.
Các nhà toán học tìm kiếm các mô thức và sử dụng chúng để tạo ra những
giả thuyết mới. Họ lý giải tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các
chứng minh toán học. Khi những cấu trúc toán học là mô hình tốt cho hiện thực,
lúc đó suy luận toán học có thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên
đoán về tự nhiên. Thông qua việc sử dụng những phương pháp trừu tượng và
lôgic, toán học đã phát triển từ việc đếm, tính toán, đo lường và nghiên cứu có
hệ thống những hình dạng và chuyển động của các đối tượng vật lý. Con người
đã ứng dụng toán học trong đời sống từ xa xưa. Việc tìm lời giải cho những bài

toán có thể mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ.
Những lập luận chặt chẽ xuất hiện trước tiên trong nền toán học Hy
Lạp cổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác phẩm Cơ sở của Euclid. Kể từ những
công trình tiên phong của Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–
1943) và của những nhà toán học khác trong thế kỷ 19 về các hệ thống tiên đề,
nghiên cứu toán học trở thành việc thiết lập chân lý thông qua suy luận lôgic
chặt chẽ từ những tiên đề và định nghĩa thích hợp. Toán học phát triển tương đối
chậm cho tới thời Phục hưng, khi sự tương tác giữa những phát minh toán học
với những phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng những
phát minh toán học vẫn tiếp tục cho đến ngày nay.
Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong
nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học và tài chính. Toán học ứng
dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào


9



những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó
đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như
thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán
học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán
học thuần túy và toán học ứng dụng, những ứng dụng thực tiễn thường được
khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy.
Từ "mathematics" trong tiếng Anh bắt nguồn từ μάθημα (máthēma)
trong tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa là "thứ học được", "những gì người ta cần biết,"
và như vậy cũng có nghĩa là "học" và "khoa học"; còn trong tiếng Hy Lạp hiện
đại thì nó chỉ có nghĩa là "bài học". Trong tiếng Việt, "toán" có nghĩa là tính;
"toán học" là môn học về toán số.

Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua một loạt gia tăng không
ngừng những phép trừu tượng, hay qua sự mở rộng của nội dung ngành học.
Phép trừu tượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được, có lẽ là về các con số,
với nhận thức rằng, chẳng hạn, một nhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam
có cái gì đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.
Các bằng chứng khảo cổ học cho thấy, ngoài việc biết đếm những vật thể
vật lý, con người thời tiền sử có thể cũng đã biết đếm những những đại lượng
trừu tượng như thời gian, ngày, mùa và năm.
Đến khoảng năm 3000 trước Công nguyên thì toán học phức tạp hơn mới
xuất hiện, khi người Babylon và người Ai Cập bắt đầu sử dụng số học, đại số, và
hình học trong việc tính thuế và những tính toán tài chính khác, trong xây dựng
và trong quan sát thiên văn. Toán học được sử dụng sớm nhất trong thương mại,
đo đạc đất đai, hội họa, dệt và trong việc ghi nhớ thời gian.
Các phép tính số học căn bản trong toán học Babylon (cộng, trừ, nhân
và chia) xuất hiện đầu tiên trong các tài liệu khảo cổ. Giữa năm 600 đến 300
trước Công nguyên, người Hy Lạp cổ đã bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ
thống về toán học như một ngành học riêng, hình thành nên toán học Hy Lạp.

Kể


10



từ đó toán học đã phát triển vượt bậc; sự tương tác giữa toán học và khoa học đã
đem lại nhiều thành quả và lợi ích cho cả hai. Ngày nay, những phát minh toán
học mới vẫn tiếp tục xuất hiện.
3.2. Phương pháp và mô hình nghiên cứu
Tổng hợp các phương pháp chứng minh từ sách giáo khoa, các chuyên đề,

các tài liệu, tư liệu trên internet, phân tích ưu điểm của từng phương pháp chứng
minh. Quan sát, đặt vấn đề và lập giả thuyết xác định tiền đề chính, sau đó phân
tích các kiến thức có được từ những suy luận suy diễn một cách logic để kết luận
giả thuyết.
Qua những ví dụ, phân tích rút ra nhận xét về thuộc tính, bản chất của sự
vật và mối liên hệ của chúng, từ đó đưa ra phương pháp chứng minh thích hợp.



11



CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
4.1. Các phương pháp chứng minh trong toán học
Trong nghiên cứu toán học xuất hiện hai vấn đề quan trọng: Khi nào một
suy luận toán học là đúng và có thể dùng các phương pháp chứng minh nào để
xây dựng các suy luận toán học?
Một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn
mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng
đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận
kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu
diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ.
Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý. Một khi định
lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các
phát biểu khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được
dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác. Những chứng
minh phức tạp thường dễ hiểu hơn khi sử dụng một số các bổ đề, trong đó mỗi
bổ đề được chứng minh riêng rẽ. Còn hệ quả là mệnh đề được suy ra trực tiếp từ
một định lý đã được chứng minh. Trong khi đó phỏng đoán là một mệnh đề mà

mà giá trị chân lí của nó còn chưa biết. Khi tìm ra chứng minh của một phỏng
đoán thì phỏng đoán đó trở thành một định lí. Nhiều trường hợp các phỏng đoán
được chứng minh là sai, do đó chúng không phải là định lí.
Các phương pháp chứng minh được đề cập tới rất quan trọng không chỉ
bởi vì chúng thường xuyên được dùng để chứng minh các định lí toán học mà
còn vì chúng được áp dụng nhiều cả trong tin học. Chẳng hạn, đó là sự kiểm tra
tính đúng đắn của một chương trình máy tính hay việc khẳng định sự an toàn
của một hệ điều hành, xây dựng các luật suy diễn trong lĩnh vực trí tuệ nhân
tạo… Do vậy, nắm vững các kỹ thuật chứng minh là vô cùng cốt yếu trong cả
toán học và tin học.
4.1.1. Chứng minh trực tiếp
Có thể chứng minh mệnh đề kéo theo p → q (“ nếu p thì q”) bằng cách


12



chứng tỏ rằng nếu p là đúng thì q cũng cần phải đúng. Điều này có nghĩa là tổ
hợp p đúng và q sai không bao giờ xảy ra. Loại này gọi là chứng minh trực tiếp.
Để thực hiện một chứng minh như vậy, giả sử p đúng cần chứng minh q đúng
bằng cách phối hợp một cách lôgic các tiên đề, định nghĩa và các định lý trước
đó.
Ví dụ 1: Chứng minh trực tiếp có thể dùng để chứng minh rằng tổng của
hai số nguyên chẵn luôn luôn là số chẵn.
Với hai số nguyên chẵn bất kì x và y ta có thể biểu diễn thành x = 2a và y
= 2b qua hai số nguyên a và b nào đó, vì cả x và y đều là bội số của 2. Mà tổng x
+ y = 2a + 2b = 2(a + b) cũng là bội của 2, do đó theo định nghĩa, nó là số chẵn.
Bài chứng minh này sử dụng định nghĩa số nguyên chẵn và luật phân phối.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ.

Giả sử r và s là hai số hữu tỉ. Theo định nghĩa số hữu tỉ thì có các số
nguyên p và q với q ≠ 0 sao cho r = p/q; và các số nguyên t và u với u ≠ 0 sao
cho s = t/u. Bước tiếp theo cộng r và s ta được

p t pu qt
rs
q u qu

   

Vì q ≠ 0 và u ≠ 0 suy ra qu ≠ 0. Chúng ta biểu iên được tổng r và s là tỉ số
của hai số nguyên pu + qt và qu với qu ≠0. Điều này có nghĩa r + s là một số hữu
tỉ. Như vậy, ý định chứng minh trực tiếp đã thành công.
Bài chứng minh này sử dụng định nghĩa số hữu tỉ và quy tắc cộng hai phân số.
4.1.2. Chứng minh gián tiếp
Vì mệnh đề kéo theo p → q (“ nếu p thì q ”) tương đương với mệnh đề
phản đảo của nó ¬q → ¬p (“ nếu không q thì không p”) nên mệnh đề kéo theo p
→ q (“ nếu p thì q ”) sẽ được chứng minh bằng cách chứng tỏ rằng “ nếu không
q thì không p” là đúng. Chứng minh cách này gọi là chứng minh gián tiếp.
Trong chứng minh gián tiếp, người ta giả sử rằng kết luận của mệnh đề
kéo theo này là sai dẫn đến giả thiết của mệnh đề đó sai thì mệnh đề ban đầu là
đúng.


13



Ví dụ 1: Chứng minh gián tiếp định lí:”Nếu (5n + 2 ) là một số lẻ thì n
cũng là số lẻ”.

Giả sử kết luận của mệnh đề sai, tức là n là số chẵn. Khi đó n = 2k, với k
là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra rằng 5n + 2 = 5(2k) + 2 = 2(5k + 2) nên
5n + 2 là số chẵn, tức là giả thiết (5n + 2) là một số lẻ là sai. Nên mệnh đề ban
đầu là đúng.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:”Nếu n là một số nguyên và (3n + 2) là một số
chẵn thì n là một số chẵn”.
Giả sử kết luận của mệnh đề sai, tức là n là số lẻ. Khi đó n = 2k + 1 với k
là một số nguyên. Từ đó suy ra 3n + 2 = 3(2k + 1) + 2 = 6k + 5 = 2(3k + 2) + 1
là một số lẻ ( vì 2(3k + 2) là số chẵn cộng thêm 1). Vậy 3n + 2 là số lẻ, tức giả
thiết 3n + 2 là một số chẵn là sai. Nên mệnh đề ban đầu là đúng.
Ví dụ 3: Chứng minh gián tiếp định lí:”Nếu n là một số nguyên và (n
3
+
3) là số lẻ thì n cũng là số chẵn”.
Giả sử kết luận của mệnh đề sai, tức là n là số lẻ. Nên n có dạng: n = 2k +
1 với k là một số nguyên.
Khi đó n
3
+ 3 = (2k + 1)
3
+ 3
= 8k
3
+ 12k
2
+ 6k + 1 + 3
= 2(4k
3
+ 6k
2

+ 3k + 2)
Vậy (n
3
+ 3) là một số chẵn, tức giả thiết (n
3
+ 3) là một số chẵn là sai.
Nên mệnh đề ban đầu là đúng.
4.1.3. Chứng minh phản chứng
Để chứng minh mệnh đề kéo theo p → q , giả sử có thể tìm được mâu
thuẫn q sao cho ¬p → q (“không p thì q”) là đúng, tức là :” không p thì sai” là
đúng. Khi đó ¬p phải là sai. Do đó p là đúng. Chứng minh kiểu này được dùng
khi có thể tìm được mâu thuẫn dạng “r và không r”, sao cho có thể chứng minh
được mệnh đề kéo theo ¬p → (r ˄ ¬r) (“không p kéo theo r và không r”) là
đúng. Đó là cách chứng minh phản chứng.
Ví dụ 1: Chứng minh phản chứng định lí:”Nếu (5n + 2 ) là một số lẻ thì n


14



cũng là số lẻ”.
Giả sử (5n + 2) là số lẻ và n không lẻ tức n chẵn. Ở ví dụ trên ta chứng
minh được n chẵn thì (5n + 2) cũng chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (5n +
2) là một số lẻ. Định lí đã được chứng minh.
Chứng minh gián tiếp mệnh đề kéo theo cũng có thể làm như chứng minh
bằng phản chứng. Trong chứng minh gián tiếp ta chứng tỏ rằng p → q là đúng
bằng cách chứng minh trực tiếp ¬q → ¬p (“không q kéo theo không p”). Tức là
trong chứng minh gián tiếp của p → q, ta giả sử rằng ¬q là đúng và chứng minh
rằng ¬p cũng phải đúng. Để viết lại chứng minh gián tiếp mệnh đề p → q như

một chứng minh bằng phản chứng, ta giả sử cả p và ¬q là đúng. Khi đó, ta dùng
các bước trong chứng minh trực tiếp của ¬q → ¬p để chứng minh rằng ¬p cũng
phải đúng. Điều này dẫn tới mâu thuẫn p và ¬p, tức là hoàn tất chứng minh bằng
phản chứng.
Ví dụ 2: Dùng chứng minh phản chứng, chứng minh rằng:”Nếu n là một
số nguyên và (n
3
+ 5) là một số lẻ thì n là một số chẵn”.
Giả sử rằng n
3
+ 5 là một số lẻ và n là một số lẻ. Ta biết rằng tích của kai
số lẻ là một số lẻ, vì n là một số lẻ nên n
2
là một số lẻ và như vậy n
3
cũng là một
số lẻ. Vậy hóa ra 5 = (n
3
+ 5) – n
3
là số chẵn (vì hiệu hai số lẻ là số chẵn). Do đó
giả thiết n
3
+ 5 và n cùng số lẻ là sai. Vậy định lí đã được chứng minh.
Trong chứng minh phản chứng, người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu
nào đó xảy ra, thì dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được
xảy ra. Phương pháp này có lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh
toán học.
Ví dụ 3: Chứng minh phản chứng định lí: “Có một số vô hạn các số
nguyên tố”.

Giả sử chỉ có một số hữu hạn các số nguyên tố, cụ thể là p
1
, p
2
,…, p
n
.
Giả sử
Q = p
1
.p
2
…p
n
+ 1
Theo định lí cơ bản của số học, thì Q là số nguyên tố hoặc nó có thể viết


15



dưới dạng tích của hai hay nhiều số nguyên tố. Tuy nhiên, Q không chia hết bất
kì số nguyên tố nào trong các số nguyên tố p
i
, vì nếu Q chia hết cho p
i
thì
Q - p
1

.p
2
…p
n
= 1 cũng chia hết cho p
i
. Điều này mâu thuẫn vì chúng ta giả sử
rằng đã liệt kê hết tất cả các số nguyên tố. Do đó có một số vô hạn các số
nguyên tố.
Một ví dụ nổi tiếng về cách chứng minh phản chứng là để chứng minh
2
là một số vô tỷ.
Gọi p là mệnh đề”
2
là số vô tỷ” Giả sử ngược lại, không p là đúng, tức
là “
2
là số hữu tỷ”, ta sẽ biểu diễn được
2
a
b

trong đó a và b là các số
nguyên khác không có ước chung lớn nhất là 1 (theo định nghĩa số hữu tỷ). Do
đó, b
2
= a. Bình phương hai vế cho ra 2b
2
= a
2

. Vì vế trái chia hết cho 2, nên
vế phải cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số nguyên). Do
đó a
2
là số chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn. Dẫn đến ta có thể viết
a = 2c, trong đó c cũng là số nguyên. Thay vào phương trình ban đầu cho ra
2b
2
= (2c)
2
= 4c
2
. Chia hai vế cho 2 ta được b
2
= 2c
2
.
Nhưng khi đó, tương tự như trên, b
2
chia hết cho 2, nên b phải là số chẵn.
Nhưng nếu a và b đều là số chẵn, chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này
trái với giả thuyết (không p là đúng), do đó mà chúng ta buộc phải kết luận rằng
2
là số vô tỷ.
4.1.4. Chứng minh bằng quy nạp toán học
Giả sử chúng ta cần tính tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên. Với n = 1, 2, 3,
4, 5 ta được:
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Từ các kết quả này ta dự đoán tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n
2
.


16



Nhưng chúng ta cần phải có phương pháp chứng minh dự đoán trên là đúng, nếu
thực tế đúng như vậy.
Quy nạp toán học là một kỹ thuật chứng minh cực kì quan trọng. Người ta
dùng nó để chứng minh những điều khẳng định kiểu như trên. Quy nạp toán học
rất hay được sử dụng để chứng minh các kết quả về những đối tượng rời rạc
thuộc nhiều kiểu khác nhau. Chẳng hạn, chứng minh độ phức tạp của thuật toán,
tình đúng đắn của một số loại chương trình, các định lí về đồ thị và cây, cũng
như một lớp rộng rãi các đẳng thức và bất đẳng thức.
Chúng ta sẽ mô tả cách dùng phương pháp quy nạp toán học, nhưng điều
quan trọng cần phải nhớ là quy nạp toán học chỉ dùng để chứng minh các kết
quả đã nhận được bằng một cách nào đó chứ không phải là công cụ để phát hiện
ra các công thức hay định lí.
Một minh họa để nhớ cách hoạt động của nguyên lí quy nạp toán học là minh
họa liên quan đến hàng người: người thứ nhất , người thứ hai, người thứ ba…
Có một tin mật được nói với một người và giả sử rằng mỗi người biết tin này
đều sẽ tiết lộ cho người đứng sau mình. Gọi P(n) là mệnh đề “Người n biết tin
mật này”. Khi đó người thứ nhất biết tin mật này thì P(1) là đúng, sau đó P(2)
cũng đúng, vì người thứ nhất nói cho người thứ hai, người thứ hai lại nói cho
người thứ ba, tức P(3) đúng… Cứ như vậy, theo nguyên lý quy nạp toán học,

mọi người trong hàng đều biết điều bí mật đó.
Trong cách chứng minh bằng quy nạp toán học, đầu tiên "trường hợp cơ
sở" sẽ được chứng minh, sau đó sẽ dùng một "luật quy nạp" để chứng minh
(thường là vô tận) các trường hợp khác. Vì trường hợp cơ sở là đúng, tất cả các
trường hợp khác cũng phải đúng, thậm chí nếu ta không thể chứng minh trực
tiếp tất cả chúng là đúng vì số lượng vô tận của nó. Nguyên tắc quy nạp toán học
như sau: Cho N = { 1, 2, 3, 4, } là tập các số tự nhiên và P(n) là một phát biểu
toán học liên quan tới một số tự nhiên n thuộc N sao cho
 Bước cơ sở: P(1) là đúng, tức là, P(n) là đúng khi n = 1
 Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề kéo theo P(k) →P(k + 1) là đúng với


17



mọi số dương k.
Khi đó P(n) là đúng với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ 1: Chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên là n
2
.
Gọi P(n) là mệnh đề: “tổng n số nguyên dương đầu tiên là n
2
”
Bước cơ sở:
P(1) phát biểu rằng tổng của số nguyên dương lẻ đầu tiên là 1
2
. Điều này
hiển nhiên đúng, vì tổng của số nguyên dương đầu tiên là 1.
Bước quy nạp:

Giả sử P(k) là đúng đối với mọi số nguyên dương k nào đó, tức là
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k
2

Ta cần chứng minh P(k + 1) là đúng, với giả thiết P(k) đúng, tức là ta cần chứng
minh:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k +1)
2

Thật vậy, do giả thiết quy nạp P(k) là đúng, ta có
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = k
2
+ (2k + 1) = (k + 1)
2

Đẳng thức này chứng tỏ P(k + 1) được suy ra từ P(k).
Theo nguyên lí quy nạp toán học chỉ ra rằng P(n) đúng với mọi n nguyên dương.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng n
3
– n chia hết cho 3, với mọi n nguyên dương.
Giả sử P(n) là mệnh đề “n
3
– n chia hết cho 3”.
Bước cơ sở:
P(1) phát biểu rằng 1
3
– 1 = 0 chia hết cho 3. Điều này hiển nhiên đúng, vì
số 0 chia hết cho 3.
Bước quy nạp:
Giả sử P(k) là đúng đối với mọi số nguyên dương k nào đó, tức là k

3
– k
chia hết cho 3. Ta cần chứng minh P(k + 1) là đúng, với giả thiết P(k) đúng, tức
là ta cần chứng minh: (k + 1)
3
– (k + 1) chia hết cho 3. Chú ý rằng:
(k + 1)
3
– (k + 1) = (k
3
+ 3k
2
+ 3k + 1) – (k + 1)
= (k
3
– k) + 3(k
2
+ k)
Vì hai số hạng đều chia hết cho 3 (số hạng thứ nhất chia hết cho 3 theo giả


18



thiết quy nạp, số hạng thứ hai bằng 3 lần một số nguyên) suy ra (k + 1)
3
– (k +
1) chia hết cho 3. Bước quy nạp đã hoàn thành. Như vậy, theo nguyên lí quy nạp
toán học n

3
– n chia hết cho 3, với mọi n nguyên dương.
Ví dụ 3: Các số điều hòa H
j
, j = 1, 2, 3, … được định nghĩa như sau:

1 1 1
1
23
j
H
j
    

Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng:

2
1
2
n
n
H 

Giả sử P(n) là mệnh đề “
2
1
2
n
n
H 

”
Bước cơ sở:
P(0) phát biểu rằng
0
1
2
0
11
2
HH   
. Điều này hiển nhiên đúng.
Bước quy nạp:
Giả sử P(k) là đúng, tức là ta có
2
1
2
k
k
H 
. Để chứng minh P(k + 1)
đúng , ta thực hiện các phép biến đổi sau:

1
1
2
1
2
1
1
1 1 1 1

1
2 2 2 1 2
11

2 1 2
11
1
2 2 1 2
1
12
22
1
1
22
1
1
2
k
k
k k k
kk
kk
k
k
H
H
k
k
k
k






      

   


    




  


  





19



Đó là điều cần chứng minh.
4.1.5. Chứng minh xây dựng (chứng minh tồn tại)

Nhiều định lí là những khẳng định sự tồn tại các đối tượng thuộc một loại
nào đó. Một định lí loại này là mệnh đề có dạng ƎxP(x), Với P là vị từ. Chứng
minh mệnh đề dạng ƎxP(x) được gọi là chứng minh xây dựng. Đôi khi cách
chứng minh này được biểu hiện bằng cách tìm ra một dẫn chứng cụ thể với một
thuộc tính nào đó để chứng minh rằng có tồn tại một thứ có tính chất như vậy.
Nếu không tìm ra được phần tử a sao cho P(a) là đúng mà chứng minh rằng
ƎxP(x) là đúng bằng cách khác.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng tồn tại một cặp số nguyên liên tiếp sao cho một số
là số chính phương, còn số kia là lập phương của một số nguyên.
Ta tìm được cặp số 8 và 9. Trong đó 9 = 3
2
, còn 8 = 2
3
. Vậy định lí đã
được chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng tồn tại một số nguyên dương có thể được viết
dưới dạng tổng các lập phương của các số nguyên dương theo hai cách.
Sau nhiều lần tính toán ta tìm được:
1729 = 10
3
+ 9
3
= 12
3
+ 1
3

Vì chúng ta đã biểu diễn được một số nguyên dương dưới dạng tổng các
lập phương theo hai cách, nên định lý được chứng minh.
Ví dụ như trong lý thuyết số, một số Liouville là một số thực x với tính

chất rằng: với mọi số nguyên dương n, tồn tại các số nguyên p và q với q > 1 và
sao cho

Một số Liouville do đó có thể xấp xỉ rất sát bởi một dãy số hữu tỉ. Năm
1844, Joseph Liouville chỉ ra rằng tất cả các số Liouville là số siêu việt, nhờ đó
đã thiết lập lần đầu tiên sự tồn tại của các số siêu việt.


20



4.1.6. Chứng minh không xây dựng
Một chứng minh không xây dựng (nonconstructive proof) sẽ chứng minh
một đối tượng toán học nào đó phải tồn tại (ví dụ "X nào đó thỏa mãn f(X)"), mà
không giải thích làm thế nào để tìm đối tượng đó. Thông thường, nó có dạng
như chứng minh phản chứng trong đó người ta chứng minh việc không tồn tại
một đối tượng là không xảy ra. Ngược lại, một chứng minh xây dựng (chứng
minh tồn tại) chứng minh rằng một đối tượng nào đó tồn tại bằng cách đưa ra
phương pháp tìm nó.
Một ví dụ nổi tiếng về chứng minh không xây dựng là chứng minh tồn tại
hai số vô tỷ a và b sao cho a
b
là số hữu tỷ:
Hoặc
2
2
là một số hữu tỷ và như vậy đã chứng minh xong (với a = b =
2
), hoặc

2
2
là số vô tỷ và ta có thể viết
2
2a 
và b =
2
. Cho ra
2
22
2 2 2




là dạng hữu tỷ của a
b
.
4.1.7. Chứng minh bằng hình ảnh
Mặc dù không phải là một cách chứng minh chính quy, một cách biểu
diễn hình ảnh cho một định lý toán học đôi khi được gọi là "chứng minh không
cần lời". Hình ảnh bên dưới là ví dụ của một chứng minh bằng hình ảnh cổ xưa
định lý Pythagoras trong trường hợp tam giác (3, 4, 5).
A E B





















F







H





















D G C


21



Diện tích hình vuông ABCD là 49 (đơn vị diện tích). Dễ dàng chứng minh
được bốn tam giác vuông AEH, BFE, CGF, DHG bằng nhau, có diện tích bằng
6 và EFGH là hình vuông có diện tích bằng 49 – 4.6 = 25, từ đó suy ra cạnh EF
bằng 5.
4.1.8. Chứng minh vét cạn (Chứng minh từng trường hợp)
Đôi khi để chứng minh p → q là đúng, sẽ là thuận tiện hơn nếu thay cho p
bởi mệnh đề (p
1
˅ p
2

˅ … ˅ p
n
) tương đương với p, tức là (p
1
˅ p
2
˅…˅ p
n
) → p.
Trong chứng minh vét cạn, kết luận sẽ có được bằng cách chia nhỏ nó ra thành
một số trường hợp hữu hạn và chứng minh mỗi trường hợp một cách riêng rẽ.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng |xy| = |x|.|y|, trong đó x và y là các số thực.
Giả sử p là kí hiệu “x và y là các số thực” và q kí hiệu “|xy| = |x|.|y|”. Khi
đó p tương đương với (p
1
˅ p
2
˅ p
3
˅ p
4
), trong đó p
1
là “x ≥ 0 ˄ y ≥ 0”, p
2
là “x
≥ 0 ˄ y < 0”, p
3
là “x < 0 ˄ y ≥ 0”, p
4

là “x < 0 ˄ y < 0”.
Để chứng minh p → q ta cần chứng minh p
1
→ q, p
2
→ q, p
3
→ q và
p
4
→ q.
Chúng ta thấy rằng p
1
→ q vì xy ≥ 0 khi x ≥ 0 và y ≥ 0, nên |xy| = xy =
|x|.|y|.
Ta thấy rằng p
2
→ q vì xy ≤ 0 khi x ≥ 0 và y < 0, nên |xy| = -xy = x.(-y) =
|x|.|y|.
Ta thấy rằng p
3
→ q, suy luận giống như trên chỉ có vai trò x và y đổi với
nhau.
Ta thấy rằng p
4
→ q vì xy > 0 khi x < 0 và y < 0, nên |xy| = xy = (-x).(-y)
= |x|.|y|. Đó là điều cần chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng f(n) = n
3
+ 2n luôn luôn chia hết cho 3, với n

là một số nguyên tùy ý.
Ta viết f(n) = n(n
2
+ 2) với n là số nguyên tùy ý. Khi đó có hai trường hợp
xảy ra:
Trường hợp 1: n chia hết cho 3. Khi đó rõ ràng f(n) chia hết cho 3.
Trường hợp 2: n không chia hết cho 3. Khi đó ta có thể viết n = 3k ± 1 với


22



một số nguyên k nào đó. Ta có
n
2
+ 2 = (3k ± 1)
2
+ 2
= 9k
2
± 6k + 3
= 3(3k
2
± 2k + 1)
Suy ra f(n) = n(n
2
+ 2) cũng chia hết cho 3. Như vậy trong mọi trường hợp
f(n) chia hết cho 3. Đó là điều cần chứng minh.
Số trường hợp đôi khi rất lớn. Ví dụ như, cách chứng minh định lý bốn

màu (còn gọi là định lý bản đồ bốn màu) nghĩ rằng đối với bất kỳ mặt phẳng nào
được chia thành các vùng phân biệt, chẳng hạn như bản đồ hành chính của một
quốc gia, chỉ cần dùng tối đa bốn màu để phân biệt các vùng lân cận với nhau.
Hai miền có chung đường biên được tô bằng hai màu tùy ý miễn là khác nhau.
Định lý bốn màu đầu tiên được đưa ra như một phỏng đoán vào năm 1850 và
cuối cùng đã được hai nhà toán học Mỹ là Kenneth Appel và Wolfgang Haken
chứng minh vào năm 1976. Trước năm 1976 cũng đã có nhiều chứng minh sai,
mà thông thường rất khó tìm thấy chỗ sai, đã được công bố. Có một chứng minh
sai nổi tiếng nhất trong toán học là chứng minh sai bài toán bốn màu được công
bố vào năm 1879 bởi luật sư, nhà toán học nghiệp dư London tên là Alfred
Kempe. Các nhà toán học chấp nhận chứng minh của ông ta đến năm 1890, khi
Percy Heawood phát hiện ra sai lầm trong chứng minh của Kempe. Tuy nhiên
cách lập luận của Kempe lại là cơ sở cho chứng minh của Appel và Haken.
Chứng minh của họ dựa trên sự phân tích từng trường hợp một cách cẩn thận
nhờ máy tính, là một chứng minh vét cạn với 1936 trường hợp. Cách chứng
minh này còn gây tranh cãi vì đa số các trường hợp được kiểm chứng bằng
chương trình máy tính, chứ không phải bằng tay. Cách chứng minh đã biết tới
ngắn nhất của định lý bốn màu ngày nay vẫn có tới hơn 600 trường hợp.
4.1.9. Chứng minh xác suất
Chứng minh xác suất là cách chứng minh trong đó người ta đưa một ví dụ
để cho thấy nó có tồn tại, với một độ tin cậy nào đó, bằng cách dùng các phương
pháp của lý thuyết xác suất. Cái này không nên nhầm lẫn với một tranh luận về


23



một định lý “có thể” đúng. Loại suy diễn sau có thể gọi là “tranh luận có vẻ
đúng” và không phải là một chứng minh; trong trường hợp phỏng đoán Collatz

ta có thể thấy nó cách xa một chứng minh đúng nghĩa như thế nào. Ta bắt đầu
bằng một số bất kỳ. Nếu số đó chẵn, bạn chia số đó cho 2. Nếu số đó là số lẻ,
nhân số đó với 3 rồi cộng thêm 1. Cứ thế mà lặp lại nhiều lần, thì sau cùng, bạn
sẽ nhận thấy điều gì lạ xảy ra? Nếu bạn tiếp tục đủ lâu, thì sau cùng bạn sẽ nhận
được số 1, và nếu bạn vẫn tiếp tục, thì ba số 4, 2, 1 sẽ tiếp tục xuất hiện đi xuất
hiện lại một cách tuần hoàn.
Lấy vài thí dụ:
N = 3; 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 4; 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 5; 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 6; 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
N = 7; 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
Nhà toán học tên Lothar Collatz đã nhận thấy tính chất đó từ năm 1937.
Ông nhận thấy rằng dù bạn bắt đầu bằng số nào, thì sau cùng bạn cũng nhận
được số 1, nhưng ông không chứng minh được tính chất đó.
Chứng minh xác suất, cũng như chứng minh bằng dẫn chứng, là một trong
nhiều cách chứng minh định lý sự tồn tại.
4.1.10. Chứng minh tính duy nhất
Một số định lí khẳng định sự tồn tại duy nhất của một phần tử có một tính
chất cụ thể nào đó. Nói cách khác, những định lí này khẳng định rằng tồn tại
đúng một phần tử có tính chất đó. Để chứng minh một mệnh đề loại này, chúng
ta cần chứng tỏ rằng một phần tử có tính chất đó tồn tại và không còn phần tử
nào khác cũng có tính chất đó. Như vậy, chứng minh tính duy nhất có hai phần:
Tồn tại: chúng ta cần phải chứng minh rằng tồn tại phần tử x có tính chất
mong muốn.
Duy nhất: chúng ta cần phải chứng minh rằng nếu y ≠ x thì y không có
tính chất mong muốn.


24




Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi số nguyên p đều có một số đối duy nhất.
Tức là chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số nguyên q sao cho p + q = 0.
Nếu p là số nguyên thì ta thấy rằng p + q = 0 khi q = -p và q cũng là số
nguyên. Do đó, có tồn tại một số nguyên q sao cho p + q = 0.
Để chứng minh rằng với số nguyên p đã cho, số nguyên q thỏa mãn biểu
thức p + q = 0 là duy nhất, ta giả sử rằng r là số nguyên, đồng thời r ≠ q thỏa
p + r = 0. Khi đó ta có p + q = p + r. Bằng cách trừ hai vế của phương trình cho
p, ta suy ra q = r. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là r ≠ q. Do đó ta đã
chứng minh được tồn tại duy nhất một số nguyên q sao cho p + q = 0.
Ví dụ 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không
kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố. Mọi số tự
nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

12
12
.
k
k
n p p p




trong đó p
1
, p
2

,…, p
k
là các số nguyên tố và α
1
, α
2
,…, α
k
là các số tự nhiên
dương.
Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất
bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi
là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.
Chẳng hạn


Chứng minh gồm hai phần. Phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới
dạng tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Phần thứ hai chứng tỏ rằng biểu diễn
đó là duy nhất.
Phân tích các số
Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó. Giả sử


25



rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số
nguyên tố. Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó. Số n này khác 1 và là
hợp số. Do đó

n = ab
trong đó cả a và b là các số nguyên dương nhỏ hơn n. Vì n là số nhỏ nhất không
thể phân tích thành tích các số nguyên tố nên cả a và b phân tích được thành tích
các số nguyên tố. Nhưng khi đó
n = ab
lại phân tích được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Chứng minh cách biểu diễn là duy nhất
Ta giả sử rằng tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới
dạng tích các thừa số nguyên tố. Khi đó giả sử s là số nhỏ nhất trong các số như
vậy, tức là s = p
1
p
2
…p
m
= q
1
q
2
…q
n
với p
i
, q
j
là các số nguyên tố. Do p
1
chia
hết q
1

q
2
…q
n
suy ra tồn tại q
j
mà p
1
chia hết q
j
.
Từ đó ta có p
1
= q
j
, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2
khai triển khác nhau của số s chia cho p
1
, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất
như vậy, mâu thuẩn này chứng tỏ giả thiết là sai.
Vậy mỗi số nguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng
tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).
4.1.11. Chứng minh hai cột
Một dạng cụ thể của chứng minh sử dụng hai cột song song thường dùng
trong các lớp hình học cơ bản. Chứng minh được viết theo dạng một loạt hàng
phân thành hai cột. Tại mỗi dòng, cột bên trái chứa các mệnh đề ( đôi khi gọi là
phát biểu), còn cột bên phải là lời giải thích ngắn gọn mệnh đề đó là gì, một tiên
đề, giả thuyết, hay có được từ dòng trên (hoặc đôi khi chỉ gọi là "suy diễn").
4.1.12. Chứng minh rỗng và chứng minh tầm thường
Giả sử rằng giả thiết p của mệnh đề kéo theo p → q là sai. Khi đó mệnh