„I HÅC THI NGUY–N
TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC
---------------L– THÀ MINH ANH

MậT Sẩ BI TON TấNG HẹP
V HM Sẫ
Chuyản ngnh: Phữỡng PhĂp ToĂn Sỡ CĐp
MÂ số: 60.46.01.13

LUN VN THC S TON HC
Ngữới hữợng dăn khoa hồc:
TS.NGUYN MINH KHOA

ThĂi Nguyản, thĂng 9 n«m 2014
Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!!


Mưc lưc
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 H m sè li¶n tưc v  kh£ vi
1.1

1.2

1.3

Giợi hÔn cừa hm số mởt bián số . . . . . . . . . . . . . .

3

3

1.1.1

C¡c ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

CĂc tẵnh chĐt cừa giợi hÔn . . . . . . . . . . . . .

5

Sỹ liản tửc cừa hm mởt bián . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

C¡c ành ngh¾a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

CĂc tẵnh chĐt cừa hm liản tửc trản oÔn . . . . . .

7


CĂc nh lỵ và hm khÊ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

nh lỵ Fecmat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

nh lỵ Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

nh lỵ Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.4

ành lỵ Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Mët sè b i to¡n têng hñp v· h m số
2.1


2

11

2.3

Bi toĂn tờng hủp và hm bêc hai trản bêc nh§t
ax2 + bx + c
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
y=
dx + e
x2 − mx + 1
2.1.1 B i to¡n: Cho h m sè y =
. .
x−1
x2 − mx + 1
B i to¡n têng hñp y =
(∗) . . . .
x−1
B i to¡n têng hñp v· h m y = ax3 + bx2 + cx + d

. . . . .

30

2.4

Mët sè · thi håc sinh giäi . . . . . . . . . . . . . . . . . .


39

2.2

Kát luên
Ti liằu tham khÊo

. . . . .

11

. . . . .

11

. . . . .

25

41
42
1


MÐ †U
H m sè l  mët trong nhúng ph¦n cì b£n v trồng tƠm cừa chữỡng trẳnh
toĂn Trung hồc phờ thổng. Trong à thi Ôi hồc, cao ng v cĂc ký thi
Olympic ln ln câ c¡c b i tªp v· h m sè. Lỵ thuyát và hm số liản tửc
v khÊ vi ữủc sỷ dửng rĐt rởng rÂi trong cĂc bi têp cụng nhữ cĂc sĂch
viát và hm số.

Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l trẳnh by mởt số nh lỵ quan trång
cõa h m kh£ vi, li¶n tưc tø â ¡p dưng gi£i mët sè b i tªp têng hđp
v· h m sè. Luªn vôn trẳnh by v giÊi bi toĂn tờng hủp và hm số bêc
hai trản bêc nhĐt ỗng thới ữa ra c¡c b i to¡n têng hđp v· h m sè bªc ba.
Nëi dung cừa luên vôn ữủc trẳnh by trong hai chữỡng:

Chữỡng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  c¡c ành lỵ cỡ bÊn và giợi hÔn,
sỹ liản tửc cừa hm mởt bián, cĂc nh lỵ và hm khÊ vi.

Chữỡng 2

gỗm 2 phƯn. PhƯn 1 trẳnh by bi toĂn tờng hủp và hm số

bêc hai trản bêc nhƠt vợi lới giÊi chi tiát. PhƯn 2 trẳnh by cĂc bi toĂn
tờng hủp hm bêc 3.
Qua Ơy, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc tợi ngữới ThƯy, ngữới hữợng
dăn luên vôn cao hồc cừa mẳnh, TS. Nguyạn Minh Khoa - trữớng Ôi hồc
iằn Lỹc. ThƯy  dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát  hữợng dăn v
giÊi quyát nhỳng thưc mưc cho tổi trong suốt quĂ trẳnh tổi lm luên vôn.
Tổi cụng xin by tọ lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi cĂc ThƯy Cổ trong hởi ỗng
chĐm luên vôn thÔc sắ, cĂc ThƯy Cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc ToĂn K6B, gia
ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  tÔo nhỳng iÃu kiằn thuên lđi nh§t º tỉi câ
thº ho n thi»n khâa håc cơng nhữ luên vôn cừa mẳnh.
ThĂi Nguyản, thĂng 9 nôm 2014.
Hồc vi¶n

L¶ Thà Minh Anh
2



Chữỡng 1

Hm số liản tửc v khÊ vi
1.1 Giợi hÔn cừa hm số mởt bián số
1.1.1 CĂc nh nghắa
nh nghắa 1.1. Số A ữủc gồi l giợi hÔn cừa hm sè y = f (x) khi x → x0

n¸u h m sè y = f (x) x¡c ành trong mët l¥n cên cừa x0 (cõ th khổng xĂc
nh tÔi x0 ): ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − A| < .

Vẵ dử 1.1. Chựng minh rơng x1
lim (2x + 3) = 5.
Chùng minh. Ta câ |(2x + 3) − 5| < ε ⇔ 2|x − 1| < ε ⇔ |x − 1| < 2ε

ε
⇒ ∀x : |x − 1| < δ ⇒ |(2x + 3) − 5| < ε.
2
Do â theo ành ngh¾a ta câ lim (2x + 3) = 5.

Vêy > 0, () =

x1

nh nghắa 1.2. Hm y = f (x) xĂc nh trong mởt lƠn cên cừa x0 (cõ
th khổng xĂc nh tÔi x0 ) gồi l cõ giợi hÔn A khi x x0 náu ối vợi

mồi dÂy xn , xn 6= x0 hởi tử án x0 thẳ dÂy cĂc giĂ tr cừa hm tữỡng ùng

f (x1 ); f (x2 ); f (x3 )...; f (xn )... hởi tử án A.
1

Vẵ dử 1.2. Chựng minh rơng x0
lim x.sin = 0.
x

Chựng minh. Ta nhên thĐy hm f (x) = x.sin x1 khổng xĂc nh tÔi x0 = 0
những xĂc nh tÔi lƠn cên x0 = 0. LĐy dÂy xn bĐt kẳ trong khoÊng (
3


; )
4 4


sao cho lim xn = 0. Ta câ:
n→∞
1
0 ≤ |f (xn )| = |xn .sin | ≤ |xn |.
xn
V¼ lim xn = 0 → lim |xn | = 0 ⇒ lim f (xn ) = 0.
n
n
n
1
Vêy theo nh nghắa 2 ta câ: lim x.sin = 0.
x→0
x

1
.
V½ dư 1.3. Chùng minh rơng khổng tỗn tÔi x1

lim sin
x1
1
2
Chựng minh. Ta lĐy hai d¢y xn = 1 + nπ
;x
n = 1 +
.
(4n + 1)π
Ta câ lim xn = 1; lim x
n = 1. DÂy cĂc giĂ tr tữỡng ựng cừa hm l
n
n
1
= sinn = 0,
f (xn ) = sin
1
1+
−1
nπ
π
1
= sin( + 2nπ) = 1.
f (x
n ) = sin
2
2
1+
(4n + 1)π
⇒ lim f (xn ) = 0; lim f (x

 n ) = 1.
n→∞
n→∞
1
Vªy theo nh nghắa 2, khổng tỗn tÔi lim sin
.
x1
x1

Nhên xt 1.1. nh nghắa 1 v nh nghắa 2 l tữỡng ữỡng.
nh nghắa 1.3. Hm số y = f (xn) xĂc nh lƠn cên bản phÊi x0. Số
A ữủc gồi l giợi hÔn bản phÊi cừa hm số khi x x0 . Kỵ hiằu A =

lim
x(x0 +0)

f (x) = f (x0 + 0) n¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0,∀x : 0 < x − x0 < δ ⇒

|f (x) − A| < ε.

ành ngh¾a 1.4. H m y = f (x) xĂc nh tÔi lƠn cên bản trĂi x0 (cõ th
khổng xĂc nh tÔi x0 ). Số A gồi l giợi hÔn trĂi cừa hm f (x) khi x x0 ,
kỵ hiằu A =

lim

x(x0 0)

f (x) = f (x0 − 0) n¸u ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈


0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − A| < ε.

4


Vẵ dử 1.4. Tẳm giợi1 hÔn mởt phẵa cừa hm sè:
f (x) = 2014 +

1
1 + 5x − 1

, x → 1.

Gi£i. Ta câ: 1 −1 x → +∞ khi x → 1 − 0.
Do â

1

1
1 + 5x − 1

→ 0. Vªyf (1 − 0) = 2014 khi x → 1 + 0. Ta câ

1
1
→ −∞, do â 5 x − 1 → 0. Vªy f (1 + 0) = 2015.
1x

1.1.2 CĂc tẵnh chĐt cừa giợi hÔn
Tẵnh chĐt 1.1. Náu x→x

lim f (x) = A, A l  mët sè húu hÔn khi õ hm f (x)

l b chn trong mởt lƠn cên no õ V (x0), tực l mởt sè M > 0 sao
cho: |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ V (x0), x 6= x0.
Chùng minh. i·u ki»n cõa nh lỵ Êm bÊo tỗn tÔi mởt lƠn cên V (x0) sao
0

cho: 1 > |f (x) − A| ≥ |f (x)| − |A|.

⇒ |f (x)| < 1 + |A| vªy 1 + |A| õng vai trỏ cừa M. Tẵnh chĐt 1 ữủc chựng
minh.

Tẵnh chĐt 1.2. Náu xx
lim f (x) = A, A 6= 0 l số hỳu hÔn, khi õ cõ mởt
0

lƠn cên V (x0)  sao cho |f (x)| > |A|
, ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0 .
2

Tẵnh chĐt 1.3. Náu xx
lim f1 (x) = A1 , lim f2 (x) = A2 v cõ mởt lƠn cên
xx
0

thẳ A1 ≤ A2.
0

V (x0 ) : f1 (x) ≤ f2 (x), x V (x0 ), x 6= x0


Tẵnh chĐt 1.4. N¸u x→x
lim f1 (x) = A, lim f2 (x) = A v  f1 (x) ≤ ϕ(x) ≤
x→x
th¼ x→x
lim ϕ(x) = A.
0

f2 (x), ∀x ∈ V (x0 ), x 6= x0

0

0

Tẵnh chĐt 1.5. (Tiảu chuân Cauchy) CƯn v ừ  xx
lim f (x) hỳu hÔn

l hm y = f (x) xĂc nh mởt lƠn cên cừa x0 (cõ th trứ ra x0) v > 0
lƠn cên V (x0 ) sao cho: |f (x0 ) − f (x”)| < ε, ∀x0 , x” ∈ V (x0 ); x0 , x” 6= x0 .
0

5


Tẵnh chĐt 1.6. Cho xx
lim f (x)

xx0

õ: xx
lim [f (x) ± g(x)] = A ± B; lim [f (x).g(x)] = A.B

xx
0

hỳu hÔn.Khi
v náu B 6= 0 thẳ

= A, lim g(x) = B; A, B

0

0

f (x)
A
lim
= .
x→x0 g(x)
B
sinx
V½ dư 1.5. Chùng minh r¬ng x→0
lim
= 1.
x

Chùng minh. H m f (x) =

sinx
khỉng x¡c nh tÔi im x0 = 0 những
x


xĂc nh tÔi lƠn cên cừa nõ chng hÔn V (x0 ) = x : 0 < |x| < .
2
π
Tr÷íng hđp 1: 0 < x < , tø h¼nh v³ ta câ: S4AOM < SquatAOM < S4AOT
2
1
1
d < 1 .OA.AT (1.1)
⇔ OA.M H < .OAAM
2
2
2
d < AT ⇔ sinx < x < tanx ⇔ 1 < sinx < 1 .
⇔ M H < AM
x
cosx
−π
π
Tr÷íng hñp 2:
< x < 0, °t x = −t ⇒ 0 < t < .
2
2
sin(−t)
sint
π
V¼ cosx = cos(−t) = cost; sinx
=
=
v
do

0
<
t
<
nản
x
t
t
2

(1.1) văn úng khi
< x < 0.
2
1
sinx
Do lim
= 1 lim
= 1.
x→0 cosx
x→0 x

6


1.2 Sỹ liản tửc cừa hm mởt bián
1.2.1 CĂc nh nghắa
nh nghắa 1.5. Hm f(x) ữủc gồi l liản tửc tÔi im x0 náu nõ thọa
mÂn hai iÃu kiằn:

i) f(x) xĂc nh tÔi x0 v lƠn cên.

ii) lim = f (x0 ). iºm x0 khi â gåi l  iºm li¶n tửc cừa y = f(x).
xx0

nh nghắa 1.6. Hm f(x) ữủc gồi l liản tửc trĂi (hoc phÊi) tÔi im
x0 náu nâ thäa m¢n hai i·u ki»n sau:

i) f(x) x¡c ành tÔi x0 v lƠn cên trĂi hoc phÊi cừa im x0 .
ii) f (x0 − 0) = f (x0 ) ho°c f (x0 + 0) = f (x0 ).

ành ngh¾a 1.7. Hm f(x) ữủc gồi l liản tửc trản oÔn [a, b] náu nõ liản
tửc tÔi x (a, b) v liản tửc phÊi tÔi x = a, liản tửc trĂi tÔi x = b.

1.2.2 CĂc tẵnh chĐt cừa hm liản tửc trản oÔn
Tẵnh chĐt 1.7. Cho f(x) l hm sè li¶n tưc tr¶n [a,b] v  f (a).f (b) < 0.
Khi â ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0.
Chựng minh. Khổng giÊm tẵnh tờng quĂt ta giÊ thiát f(a) < 0; f(b) > 0.

°t α0 = a, β0 = b ⇔ f (α0 ) < 0; f (β0 ) > 0.
α0 + β0
°t u0 =
, n¸u f (u0 ) = 0 thẳ c = u0 , náu f (u0 < 0) th¼ °t
2
α1 = u0 , β1 = 0 cỏn náu f (u0 > 0) thẳ t 1 = 0 , 1 = u0 . Ta lÔi xt

[1 , β1 ] v  câ f (α1 ).f (β1 ) < 0.
1 + 1
v quĂ trẳnh tiáp diạn vợi thuêt toĂn lp lÔi.Nhữ
Tiáp tửc t u1 =
2
n + n

vêy ta s nhên ữủc [n , (n)], un =
.
2
Náu f (un ) = 0 th¼ c = un v  c ch¿ l nghiằm cừa phữỡng trẳnh
f(x) = 0.
Náu f (un ) < 0 th¼ ta °t αn+1 = un , βn+1 = n ; cỏn náu f (un > 0) thẳ °t

αn+1 = αn , βn+1 = un .
7


Tiáp tửc quĂ trẳnh ny ra vổ hÔn ta nhên ữủc 2 dÂy số n , n cũng hởi
tử v cõ chung giợi hÔn l c. Tứ Ơy ta nhên ữủc f(c) = 0 v cõ iÃu phÊi
chựng minh.

Tẵnh chĐt 1.8. (Weierstrass 1) Náu hm số f(x) liản tửc trản oÔn [a, b]

thẳ nõ s b chn trản oÔn Đy.
Tẵnh chĐt 1.9. ( Weierstrass 2) Náu hm số f (x) liản tửc trản oÔn [a,b]
thẳ nõ Ôt giĂ tr lợn nhĐt, giĂ tr nhọ nhĐt trản oÔn Đy.
Tẵnh chĐt 1.10. Náu hm số f(x) liản tửc trản oÔn [a, b] v  µ ∈ [m, M ]
m = min f (x), M = maxf (x) th¼ ∃ξ ∈ (a, b) : f () = à.

1.3 CĂc nh lỵ và hm khÊ vi
1.3.1 nh lỵ Fecmat
nh lỵ 1.1. GiÊ sỷ hm y = f (x) x¡c ành trong kho£ng (a, b). N¸u f (x)

Ôt cỹc tr tÔi mởt im c (a, b) v náu tÔi c tỗn tÔi Ôo hm hỳu hÔn
f 0 (c) thẳ f 0 (c) = 0.


1.3.2 nh lỵ Rolle
nh lỵ 1.2. Cho hm số y = f (x) xĂc nh liản tửc trản oÔn [a; b] v

khÊ vi trong kho£ng (a;b) gi£ sû f (a) = f (b) khi õ tỗn tÔi c (a; b) sao
cho f 0(c) = 0.
Chựng minh. Theo tẵnh chĐt cừa hm li¶n tưc ⇒ ∃M = max f (x),
m = minf (x).
Khi â câ hai kh£ n«ng x£y ra: ho°c c£ 2 giĂ tr M, m Ôt tÔi 2 mút a,b
tực l : f (a) = f (b) = m = M ⇒ f (x) = C(const), ∀x ∈ (a; b).

⇒ f 0 (n) = 0, ∀x ∈ (a; b) ⇒ f 0 (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) ho°c câ mởt giĂ tr Ôt
tÔi c (a; b) v theo nh lỵ Fecmat ta cõ f 0 (c) = 0.

Vẵ dö 1.6. Cho f (x) = (x − 1)(x − 2)...(x 2014). Chựng minh rơng
phữỡng trẳnh f 0(x) = 0 câ óng 2013 nghi»m.
8


Chùng minh. Ta câ f1 = f2 = ... = f2014.
p dửng nh lỵ Rolle cho cĂc oÔn [1; 2]; [2; 3]; ...; [2013; 2014]

⇒ ∃c1 ∈ [1; 2]; c2 ∈ [2; 3]; ...; c2013 ∈ [2013; 2014] sao cho
f 0 (c1 ) = 0, f 0 (c2 ) = 0, ..., f 0 (c2013 ) = 0.
Ta lÔi cõ do f(x) l  a thùc bªc 2014 ⇒ f 0 (x) l  a thùc bªc 2013. ⇒

f 0 (x) = 0 câ óng 2013 nghi»m C1 ; C2 ; C3 ; ...; C2013 .

Vẵ dử 1.7. Chựng minh rơng phữỡng tr¼nh f (x) = x2 − xsinx − cosx = 0.



 
−Π
Gi£i. V¼ f 2 > 0, f (0) < 0, f 2 > 0 do õ theo tẵnh chĐt cừa
hm liản tửc f(x) = 0 cõ ẵt nhĐt 2 nghiằm.
Náu f(x) = 0 cõ vổ số nghiằm lợn hỡn hoc bơng 3 thẳ theo nh lỵ Rolle

f , (x) = 0 cõ ẵt nhĐt 2 nghiằm những vẳ f , (x) = 2x − sinx − xcosx + sinx =
x(2 − cosx) = 0 ch¿ câ 1 nghi»m x = 0. Do â f(x) = 0 ch¿ câ óng hai
nghiằm.

1.3.3 nh lỵ Lagrange
nh lỵ 1.3. Cho hm số y = f (x) x¡c ành, li¶n tưc tr¶n [a, b] v khÊ vi

trong (a, b), khi õ tỗn tÔi ẵt nh§t mët iºm c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a)
.
f 0 (c) =
b−a

− f (a)
Chùng minh. X²t h m bê trñ h(x) = f (x) − f (a) − (x − a) f (b)b −
a
∀x ∈ [a, b].

Th§y rơng hm h(x) thọa mÂn nh lỵ Rolle nản c ∈ (a, b): h0 (c) = 0.
f (b) − f (a)
f (b) − f (a)
⇒ h0 (c) = f 0 (c) −
= 0 →
V¼ h0 (x) = f 0 (x) −

b−a
b−a
f (b) − f (a)
f 0 (c) =
, c ∈ (a, b).
b−a

V½ dư 1.8. Cho 0 < b < a, chùng minh: a −a b < ln ab < a −b b .
Chùng minh. X²t

h m sè f (x) = lnx trản[a, b]: f(x) liản tửc trản oÔn

[b, a], f 0 (x) = 1, ∀x ∈ (b, a). Khi â theo nh lỵ Lagrange c (b, a) sao
9


f (a) − f (b)
1 lna − lnb
⇔ =
.
a−b
c
a−b
1 1 1
M°t kh¡c v¼ 0 < b < c < a → < <
a
c
b
a
ln

1
b < 1 ⇒ a − b < ln a < a − b .
⇒ <
a a−b
b
a
b
b
cho f 0 (c) =

ị nghắa hẳnh hồc cừa nh lỵ Lagrange: Trản ữớng cong y = f (x)

nối 2 im [a, f (a)] , [b, f (b)] cõ ẵt nhĐt 1 im m tiáp tuyán tÔi õ song
song vợi dƠy cung nối hai im õ.

1.3.4 nh lỵ Cauchy
nh lỵ 1.4. Cho c¡c h m sè y = f (x), y = g(x) x¡c ành li¶n tưc tr¶n
[b, a]. Gi£ sû f(x), g(x) kh£ vi 0trong (a, b) v  g0(x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b). Khi
f (a) f (c)
= 0 .
â ∃c ∈ (a, b) : f (b)b −
−a
g (c)

Chùng minh. V¼ g(x) thọa mÂn nh lỵ Lagrange nản c0 (a, b) sao cho
g(b) − g(a) = g 0 (c0 )(b a). Vẳ g 0 (c0 ) 6= 0 nản ta câ g(a) 6= g(b).
f (b) − f (a)
[g(x) − g(a)].
X²t h m bê trñ: h(x) = f (x) − f (a)
g(b) g(a)

h(x) thọa nh lỵ Rolle trản [a; b] ⇒ ∃c ∈ (a, b) : h0 (c) = 0.
f (b) − f (a) 0
.g (c) = 0
⇔ f 0 (c) −
g(b) − g(a)
f 0 (c) f (b) − f (a)
⇒ 0
.
=
g (c)
g(b) − g(a)

10


Ch֓ng 2

Mët sè b i to¡n têng hđp v· h m sè
2.1 Bi toĂn
tờng hủp và hm bêc hai trản bêc nhĐt
2
y=

ax + bx + c
dx + e

2.1.1 B i to¡n: Cho h m sè y = x

2


− mx + 1
x−1

.
X²t khi m = 1

x2 x + 1
1
y=
=x+
.
x1
x1
KhÊo sĂt v v ỗ th h m sè (**).

C¥u 1.
Gi£i. Mi·n x¡c ành ∀x 6= 1.
Chi·u bián thiản :

x2 x + 1
= .
x1  x 1

x2 x + 1
1
Tiằm cên xiản: y = x v¼ lim
− x = lim
=0
x→∞ x − 1
x→1

x−1
x2 − 2x
y, =
= 0 ⇔ x = 0, x = 2.
(x 1)2
Tiằm cƠn ựng x = 1 vẳ lim

11

()


BÊng bián thiản

V ỗ th:
Giao Ox : y = 0 → x2 − x + 1 = 0 væ nghi»m ỗ th (**) khổng cưt Ox.
Giao Oy: x = 0 y = 1 ỗ th (**) giao Oy tÔi ( 0,-1).

CƠu 2. Chựng minh giao cừa hai tiằm cên l tƠm ối xựng cừa ỗ th

(**).

GiÊi. Giao cừa hai
( tiằm cên l I(1, 1), ta tnh tián Oxy → IXY theo cæng
thùc êi tåa ë

x=X +1
y =Y +1

.


1
1
Y =X+ .
X +11
X
Ơy l hm l nản ỗ th nhên gốc tồa ở I lm tƠm ối xựng. iÃu n y

Thay v o (**) ta câ: Y + 1 = X + 1 +

câ ngh¾a l  trong h» tåa ë Oxy ỗ th (**) nhên giao cừa hai tiằm cên
I(1,1) lm t¥m èi xùng.
12


CƠu 3. Tẳm trản ỗ th (**) nhỳng im cõ tåa ë nguy¶n.
Gi£i. Khi x nguy¶n º y nguy¶n ta ph£i câ x −1 1 nguy¶n.
"

⇒ x − 1 = ±1 ⇒

x1 = 1, y1 = −1

x2 = 2, y2 = 3.
Vêy ữớng thng (*) cõ M1 (0, 1); M2 (2, 3) l 2 im cõ tồa ở nguyản.

CƠu 4. Tẳm trản ữớng trỏn x2 + y2 = 1 nhỳng im cõ tồa ở nguyản
cừa ỗ th (**).

GiÊi. Ta tẳm ữủc 2 im cõ tồa ở nguyản M1(0, 1) thọa phữỡng trẳnh

x2 + y 2 = 1. Vêy M1 (0, 1) l im phÊi tẳm.

CƠu 5. Chựng tọ trản ỗ thà (**) khæng câ iºm n o c¡ch ·u Ox, Oy.
Gi£i. Nhúng iºm c¡ch ·u Ox, Oy thuëc mët trong hai ữớng phƠn giĂc
y = x; y = -x.

+ Phữỡng trẳnh tữỡng giao cừa ỗ th (**) vợi y = -x :
x2 − x + 1
= −x ⇔ 2x2 − 2x + 1 = 0 vổ nghiằm ỗ th (**) khỉng c­t
x−1
y = -x.
+ y = x l  ti»m cªn xiản ỗ th (**) khổng cưt y = x.
Vêy trản ỗ th (**) khổng cõ im no cĂch Ãu Ox, Oy.

Nhên xt: Cõ th giÊi bơng cĂch dũng khoÊng cĂch.
CƠu 6. Tẳm trản ỗ th (**) nhỳng im cõ khoÊng cĂch án Ox gĐp hai
lƯn khoÊng cĂch án Oy.

GiÊi. Vẳ M (x, y) Oxy nản ta cõ khoÊng c¡ch (M, Ox) = |y|, kho£ng

c¡ch (M, Oy)= |x|.

Nhúng iºm cõ khoÊng cĂch án Ox gĐp hai lƯn khoÊng cĂch ¸n Oy: |y|
= 2|x| ⇒ y = ± 2x

x2 − x + 1
= −2x ⇔ 3x2 − 3x + 1 = 0 vổ
+ Xt phữỡng trẳnh tữỡng giao:
x1
nghiằm ỗ thà (**) khỉng c­t ÷íng th¯ng y = -2x.

x2 − x + 1
+ Xt phữỡng trẳnh tữỡng giao :
= 2x ⇔ x2 − x − 1 = 0
x−1
√
1± 5
⇒x=
.
2
√
1± 5
thäa mÂn yảu
Vêy nhỳng im trản ỗ th (**) cõ honh ë x =
2
c¦u cõa b i to¡n.
13


CƠu 7. Chựng minh trản ỗ th (**) cõ bốn iºm c¡ch gèc tåa ë O(0, 0)
mët kho£ng d = 2014.

GiÊi. im pcỹc Ôi D(2, 3) khoÊng cĂch tứ O(0, 0) án im cỹc Ôi:
d1 = OD =

2) =
(x2D + yD

13.

iºm cüc tiºu T(0, 1)⇒ kho£ng c¡ch tø O(0,0) ¸n iºm cüc tiºu: d2 =


OT = 1.
Vªy d = 2014 ⇒ d > d1 ; d > d2 ⇒ ÷íng trỏn tƠm O(0, 0) bĂn kẵnh
R = 2014 cưt ỗ th (**) tÔi 4 im tực l trản ỗ th (**) câ 4 iºm c¡ch
·u O(0, 0) mët kho£ng d = 2014.

CƠu 8. Tẳm trản ỗ th (**) nhỳng im cõ tờng khoÊng cĂch án hai
tiằm cên l nhọ nhĐt.

GiÊi. GiÊ sỷ M (x0, y0) thuởc ỗ th (**). Khi õ khoÊng cĂch tứ M án

tiằm cên ựng x = 1 l  d1 = |x0 − 1|.

Kho£ng c¡ch tø M án tiằm cên xiản x - y = 0 l
1
1
1
1
|1.x0 + (−1)y0 |
= √ .|x0 − (x0 +
)| = √ .
.
d2 = p
x0 − 1
2
2 |x0 − 1|
12 + (−1)2
1
Vªy d1 + d2 = |x0 − 1| + √
.

1
2.
|x0 − 1|
p dưng b§t
s¯ng thùc Cauchy ta câ:
1
1
2
d1 + d2 ≥ 2 |x0 − 1|. √ .
=√
.
4
2 |x0 − 1|
2
1
¯ng thùc x£y ra khi |x0 − 1| = √
2.|x0 − 1|
1
1
.
⇔ (x0 − 1)2 = √ ⇒ x0 = 1 ±
4
2
2
2
Vêy d1 + d2 nhọ nhĐt bơng
, nhỳng im M (x0 , y0 ) thuởc ỗ th (**)
4
2
1

cõ honh ở x0 = 1 +
thọa yảu cƯu bi toĂn.
4
2
Tẳm trảnhai nhĂnh ỗ th (**) hai im M, N sao cho MN min.
1
Gi£ sû M 1 + α, 1 + +
( > 0) thuởc nhĂnh bản phÊi tiằm



1
cên ựng , N 1 − β, 1 − β −
thuëc nh¡nh bản trĂi tiằm cên ựng cừa

ỗ th (**).

CƠu 9.
GiÊi.

14


p dưng b§t ¯ng thùc Cauchy ta câ: r
p
1
1
M N = (xM − xN )2 + (yM − yN )2 = (α + β)2 + (α + β + + )2
α β
r

r
√
1 2
2
1
) ≥ 2 αβ. 2 +
+ 2 2
= (α + β). (1 + (1 +
αβ
αβ
αβ
s r
r
q √
1
1
+ 2 ≥ 2 2 2αβ.
+ 2 = 2 (2. 2 + 2)
= 2 2 +


1
==
.
4
2
1
Vêy im M thuởc ỗ th (**) câ ho nh ë xM = 1 + √
, iºm N thuởc
4

2
1
ỗ th (**) cõ honh ở xN = 1
cõ MN min.
4
2

CƠu 10. Chựng minh tẵch cĂc khoÊng cĂch tứ mởt im bĐt kẳ trản ỗ th
(**) án cĂc tiằm cên l mởt hơng số.

GiÊi. GiÊ sỷ M (x0, y0) l mởt im bĐt kẳ thuởc ỗ th (**).
KhoÊng cĂch tứ M án tiằm cên ựng l d1 = |x0 1|.

KhoÊng cĂch tứ M án tiằm cên xiản: x − y = 0 l 
1
)|
|x0 − (x0 +
1
1
|x0 − y0 |
x0 − 1
√
=
=√ .
.
d2 = √
2
2
2 |x0 − 1|
1

Vªy d1 .d2 = √ ( const). Ta câ i·u ph£i chựng minh.
2
Tẳm im M trản ỗ th (**) sao cho khoÊng cĂch tứ M án giao

CƠu 11.

cừa hai ữớng tiằm cên l nhọ nhĐt.

GiÊi. Giao cừa hai ữớng tiằm cên I(1, 1). GiÊ sỷ M (x0, y0) thuởc ỗ th

(**)

r

1
(x0 − 1)2 + (x0 − 1 +
)2
x
−
1
0
v s
u
u
1
1
t2 (2(x0 − 1)2 .
= 2(x0 − 1)2 +
+
2

≥
+2
(x0 − 1)2
(x0 − 1)2
1
¯ng thùc x£y ra ⇔ 2(x0 − 1)2 =
.
(x0 − 1)2
1
1
⇔ (x0 − 1)4 = ⇒ x0 = 1 ± √
.
4
2
2

⇒IM =
s

p

(x0 − 1)2 + (y0 − 1)2 =

15


1
1
√
Vªy iºm M câ ho nh ë x0 = 1 −

hoc
x
=
1
+
thọa mÂn yảu
0
4
4
2
2
cƯu bi toĂn.

CƠu 12. Chựng minh trản ỗ thà (**) câ vỉ sè c°p iºm m  ti¸p tuy¸n tÔi
hai im cừa mội cp l song song.


GiÊi. Giao im cừa(2 tiằm cên l I(1, 1), tnh tián theo OI
, h» trưc Oxy
⇒ h» trưc IXY vỵi

x=X +1

y =Y +1

⇒Y +1=X +1+

1
1
⇒Y =X+ .

X +1−1
X

(i)

H m (i) l  h m l´ ⇒ ỗ th (i) nhên gốc tồa ở I lm tƠm ối xựng. Khi
õ vợi im M(X, Y) bĐt kẳ thuởc ÷íng th¯ng (i) ⇒ M , (−X, −Y ) cơng
thc ỗ th (i). Trản ỗ th (i) cõ vổ số cp im M, M , . Yảu cƯu bi
toĂn tữỡng ữỡng chựng minh tiáp tuyán tÔi M song song vợi tiáp tuyán
tÔi M , chựng minh hằ số gõc cừa tiáp tuyán tÔi M bơng hằ số gõc cừa
tiáp tuyán tÔi M , chựng minh Y (X) = Y , (X).
1
1
= Y , (−X).
Thªt vªy ta câ: Y , (X) = 1 − 2 = 1 −
X
(−X)2
Chùng minh tiáp tuyán tÔi mồi im cừa ỗ th (**) luổn cõ hằ

CƠu 13.

số gõc nhọ hỡn 1.

GiÊi. Tiáp tuyán tÔi im cõ honh ở x bĐt kẳ cừa ỗ th (**) câ h» sè

1
< 1.
(x − 1)2
. Chùng minh ti¸p tuyán tÔi mồi im cừa ỗ th (**) luổn tÔo vợi


gõc: k = y , (x) = 1

CƠu 14

hai tiằm cên mởt tam giĂc cõ diằn tẵch khổng ời.

GiÊi. Tiáp tuyántÔi im
 cõ honh ở
 x0 bĐt kẳ cừa ỗ th (**):

1
1
= 1
(x x0 ).
y x0 +
(x0 − 1)2
 x0 − 1

1
x0
⇔y = 1−
.x
+
.
1
(x0 − 1)2
(x0 − 1)2 +
x0 − 1



1
2x0 − 1
⇔y = 1−
.x +
.
2
2
(x
−
1)
(x
−
1)
0
0


1
2
1
.x
+
.
⇔y = 1−
+
(x0 − 1)2
x0 − 1 (x0 − 1)2
16



+ Giao cừa hai tiằm cên l I(1,1).




2
+ Tiáp tuyán cưt tiằm cên ựng x = 1 tÔi E 1, 1 +
X0 − 1
2
⇒ IE =
.
|x0 − 1|
+ Ti¸p tuy¸n cưt tiằm cên xiản y = x tÔi F (2x0 − 1, 2x0 − 1)
p
p
⇒ IF = (2x0 − 2)2 + (2x0 − 2)2 = (8(x0 − 1)2 = 8|x0 − 1|.

+ Di»n t½ch tam gi¡c IDF:
√
√
1
2
1
2
.8|x0 − 1|.
= 4 2 (const).
S = .IE.IF. sin 450 = .
2
2 |x0 − 1|
2

Tẳm trản ỗ th (**) nhỳng im m tiáp tuyán tÔi õ song song

CƠu 15.

vợi ữớng thng y = -2x + 1.

GiÊi. GiÊ sỷ im trản ỗ th (**) cõ honh ở x0 thọa mÂn yảu cƯu bi
toĂn y , (x0 ) = −2 ⇔ 1 −

1
⇒ x0 = 1 .
3

1
1
2
=
2

(x

1)
=
0
(x0 1)2
3

1
Vêy nhỳng im trản ỗ thà (**) câ ho nh ë x0 = 1 ± √ thọa mÂn yảu
3

cƯu cừa bi toĂn.

CƠu 16. Tẳm trản ỗ th (**) nhỳng im m tiáp tuyán tÔi õ vuổng gõc
1
vợi ữớng thng y = x + 2014.
2
GiÊ sỷ im trản ỗ th (**) cõ honh ở x0 thọa mÂn yảu cƯu bi
1
1
toĂn y , (x0 ). = 1 ⇒ y , (x0 ) = −2 ⇔ x0 = 1 .
2
3
1
Vêy nhỳng im trản ỗ th (**) câ ho nh ë x0 = 1 ± √ thäa m¢n yảu
3
cƯu cừa bi toĂn.

GiÊi.

CƠu 17. Tẳm trản Ox nhỳng im m tứ õ k ữủc hai tiáp tuyán vuổng
gõc vợi nhau án ỗ th (**).

GiÊi. GiÊ sỷ I(x0, 0) Ox thọa yảu cƯu cừa bi toĂn.

Tiáp tuyán (x0 , 0) cõ dÔng y = k(x x0 ).
x2 x 1
Khi õ phữỡng trẳnh tữỡng giao l:
= kx − kx0 .
x−1
⇔ f (x) = (k − 1)x2 − (k − kx0 + 1)x + kx0 − 1 = 0 ph£i câ nghi»m k²p


x 6= 1 ⇒ 4 = 0.
⇔ (k + kx0 − 1)2 − 4(k − 1)(kx0 − 1) = 0.
17


⇔ (x0 + 1)2 k 2 − 2(x0 + 1)k + 1 − 4x0 k 2 + 4k + 4kx0 − 4 = 0.
⇔ (x0 − 1)2 k 2 + 2(x0 + 1)k 3 = 0 (i).
Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng phữỡng trẳnh (i) phÊi cõ 2 nghiằm phƠn biằt

k1 , k2 :


3
2
=
1

(x

1)
=
3

x
=
1

3.
0

0
(x0 1)2

Vêy nhỳng im trản Ox câ ho nh ë x0 = 1 ± 3 thäa yảu cƯu cừa bi

k1 .k2 = 1
toĂn.

CƠu 18. Tẳm trản Ox nhỳng im m tứ õ k ữủc ẵt nhĐt mởt tiáp
tuyán án ỗ th (**).

GiÊi. GiÊ sỷ I(x0, 0) Ox thọa yảu cƯu cừa bi toĂn.

Tiáp tuyán tÔi (x0 , 0) cõ dÔng y = k(x x0 ).
x2 x 1
Khi õ phữỡng trẳnh tữỡng giao l  :
= kx − kx0 .
x−1
⇔ f (x) = (k − 1)x2 − (k − kx0 + 1)x + kx0 − 1 = 0 ph£i câ nghi»m k²p

x 6= 1 ⇒ 4 = 0.
⇔ (k + kx0 − 1)2 − 4(k − 1)(kx0 − 1) = 0,
⇔ (x0 + 1)2 k 2 − 2(x0 + 1)k + 1 − 4x0 k 2 + 4k + 4kx0 − 4 = 0,
⇔ (x0 − 1)2 k 2 + 2(x0 + 1)k 3 = 0 (i) .
Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng phữỡng trẳnh (i) phÊi cõ ẵt nhĐt 1 nghiằm
k.

3
TH1: x0 = 1 ⇒ ∃ nghi»m k = .
4

TH2: x0 6= 1 yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng 4, 0.
⇔ (x0 + 1)2 + 3(x0 − 1)2 ≥ 0 úng x0 6= 1.
Vêy mồi im trản Ox Ãu k ữủc ẵt nhĐt mởt tiáp tuyán án ỗ th (**).

CƠu 19. Chựng minh tiáp tuyán tÔi mồi im cừa ỗ thà (**) khỉng i
qua giao cõa 2 ti»m cªn.

Gi£i. Giao cừa 2 tiằm cên l I(1, 1). Tiáp tuyán tÔi im cõ honh ở

x0 =
6 1 cừa ỗ th(**) cõ phữỡng trẳnh
 l:
1
1
= 1
[x x0 ].
y x0 +
x0 − 1
(x0 − 1)2
N¸u ti¸p tuy¸n i qua I(1, 1) ta ph£i câ:
1
x0 − 1
1
1
2
1 − x0 −
= 1 − x0 +
⇔
−
=

⇔
= 0.
x0 − 1
(x0 − 1)2
x0 − 1 x0 − 1
x0 − 1
i·u n y khæng x£y ra ∀x0 6= 1. Vêy khổng cõ tiáp tuyán no cừa ỗ th
18


(**) i qua I(1,1).

CƠu 20. Xt ữớng thng (d) cõ phữỡng trẳnh: y = kx + k + 1. Vợi giĂ tr
no cừa k thẳ ữớng thng (d) cưt ỗ th (**) tÔi 2 im thuởc 2 nhĂnh.

GiÊi.
Phữỡng trẳnh tữỡng giao cừa ữớng thng (d) vợi ỗ th (**):
2

x x+1
= kx + k + 1 ⇔ f (x) = (k − 1)x2 + 2x − (k + 2) = 0 (ii).
x1
Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng
phữỡng trẳnh (ii) cõ 2 nghi»m:
(
k 6= 1
x1 < 1 < x2 ⇒ i·u ki»n
(k − 1)f (1) < 0
(
k 6= 1

⇔
⇔ k > 1.
(k 1)(1) < 0
Tẳm iÃu kiằn  ữớng thng(d) (trong cƠu 20) cưt ỗ th (**)

CƠu 21.

tÔi 2 im thuởc nhĂnh bản phÊi tiằm cên ựng.

GiÊi. Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng
phữỡng trẳnh (ii) phÊi cõ 2 nghiằm


k 6= 1



(k − 1)f (−1) > 0
sao cho 1 < x1 < x2 ⇒ i·u ki»n


S

1<
2






k 6= 1
k 6= 1




k<1


(k
−
1)(−1)
>
0
k
<
1
⇔
⇔
⇔
k



−2
<0
1






1<
k−1
+1<0
2(k − 1)
k+1

0 < k < 1.

CƠu 22. Tẳm iÃu kiằn  ữớng thng (d) (trong cƠu 20) cưt ỗ th (**)
tÔi 2 im thuởc nhĂnh bản trĂi tiằm cên ựng.

GiÊi. Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng
phữỡng trẳnh (ii) phÊi câ 2 nghi»m

k 6= 1



(k − 1)f (1) > 0
sao cho x1 < x2 < 1 ⇒ i·u ki»n


S

 <1
2





k 6= 1



k<1
k<1
(k
−
1)(−1)
>
0
⇔
⇔
⇔ k < 0.
⇔
1
k



+
1
>
0
−2
>
0



<1
k+1

k−1
2(k − 1)
Vỵi gi¡ trà n o cừa k thẳ ữớng thng (d) tiáp xúc ỗ th (**).

C¥u 23.

19


GiÊi. ữớng thng (d) tiáp xúc vợi ỗ th (**)
tữỡng ữỡng phữỡng trẳnh



k 6= 1
(ii) phÊi cõ nghiằm k²p x 6= 1 ⇒ i·u ki»n
f (1) 6= 0 .


 4, = 0


(
√

 k 6= 1

k 6= 1
−1 ± 5
⇔
⇔k=
⇔ ∀k
.
2

2
k
+
k
−
1
=
0

 1 + (k − 1)(k + 2) = 0

CƠu 24. Vợi giĂ tr no cừa k thẳ cỹc Ôi, cỹc tiu ỗ th (**) nơm và hai

phẵa cừa ÷íng th¯ng (d).

Gi£i. X²t f (x, y) = kx − y + k + 1 = 0.

2
Yảu cƯu bi toĂn t÷ìng ÷ìng f(C).f(CT) < 0 ⇔ −2 < k < .
3
Vợi giĂ tr no cừa k thẳ cỹc Ôi, cỹc tiu ỗ th (**) nơm và mởt


CƠu 25.

phẵa cừa ữớng thng (d).

GiÊi. Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng f(C).f(CT) > 0 k < 2 hoc

2
k> .
3

CƠu 26. Vợi giĂ trà n o cõa k th¼ câ mët cüc trà cõa ỗ th (**) nơm trản

ữớng thng (d).

GiÊi. Yảu cƯu bi to¡n t÷ìng ÷ìng f(C).f(CT) = 0 ⇔ k = −2 hoc

2
k= .
3

CƠu 27. XĂc nh a  phữỡng trẳnh sau câ 2 nghi»m ph¥n bi»t:
Gi£i.

x2 − x + 1
= a(x − 1) + 1.
x−1
÷íng th¯ng 4: y = a(x - 1) + 1 luæn i qua iºm cè ành I(1, 1)

(l giao cừa hai tiằm cên cừa ỗ th (**) v  quay xung quanh I khi a thay
êi. Vªy 4 giao ỗ th (**) tÔi 2 im phƠn biằt 4 nơm trong gõc tÔo

bi 2 ữớng tiằm cên cừa ỗ th (**) a > 1. Tực l phữỡng trẳnh  cho
cõ 2 nghiằm phƠn biằt a > 1.

CƠu 28. Biằn luên theo a số nghiằm cừa phữỡng tr¼nh:
x2 − (a + 1)x + 1 + a = 0.

GiÊi.2 Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng x2 x + 1 = a(x − 1).
⇔

x −x+1
= a ( v¼ x = 1 khæng l  nghi»m ).
x−1
20


Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l honh ở giao im cừa ữớng
thng y = a v ỗ th (**).
+ Khi a < -1 ÷íng th¯ng y = a cưt ỗ th (**) tÔi 2 im phữỡng
trẳnh  cho câ 2 nghi»m ph¥n bi»t.
+ Khi a = -1 ữớng thng y = a tiáp xúc vợi ỗ th (**) tÔi im M(0,-1)

phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm k²p x = 0.
+ Khi -1 < a < 3 ữớng thng y = a khổng cưt ỗ th (**)

phữỡng trẳnh  cho vổ nghiằm.
+ Khi a = 3 ữớng thng y = a tiáp xúc vợi ỗ th (**) tÔi im N(2,3)
phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm kp x = 2.
+ Khi a > 3 ÷íng th¯ng y = a cưt ỗ th (**) tÔi 2 im phƠn biằt

phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm phƠn biằt.


CƠu 29. Biằn luên theo a số nghiằm cừa phữỡng trẳnh:
x2 x + 1
log2 a = 0
x1
.

GiÊi. Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng x xx 1+ 1 = log2(a).
2

Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho l honh ở giao im cừa ữớng
thng y = log2 a v ỗ th (**).
+ Khi a ≤ 0 ⇒ khæng ∃ log2 a phữỡng trẳnh  cho vổ nghiằm.
1
1
+ Khi a > 0,khi log2 (a) < −1 = log2 (2)−1 = log2 ( ⇔ 0 < a < ÷íng
2
2
th¯ng y = log2 a cưt ỗ th (**) tÔi 2 im phƠn biằt phữỡng trẳnh Â
cho cõ 2 nghiằm phƠn biằt.

1
ữớng thng y = log2 a tiáp xúc vợi ỗ
2
th (**) tÔi im M(0, -1) phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm k²p

+ Khi log2 (a) = −1 ⇔ a =
x = 0.

1

1
< log2 (a) < log2 8 ⇔ < a < 8
2
2
ữớng thng y = log2 a khổng cưt ỗ th (**) phữỡng trẳnh  cho
+ Khi 1 < log2 a < 3 ⇔ log2

væ nghi»m.
+ log2 a = 3 ⇔ a = 8 ⇒ ÷íng th¯ng y = log2 a tiáp xúc vợi ỗ th (**)
tÔi im N(2,3) phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm kp x = 2.
+ Khi log2 a > 3 ⇔ a > 8 ữớng thng cưt ỗ th (**) tÔi 2 im ph¥n
21


biằt phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm phƠn biằt.

CƠu 30. Biằn luên theo a số nghiằm cừa phữỡng tr¼nh:
x2 − x + 1 a2 − a + 1
=
.
x−1
a−1

Gi£i.

(

a2 − a + 1
+
⇒

< −1
a−1
a 6= 0
a2 − a + 1
cưt ỗ th (**) tÔi 2 im phƠn biằt.
ữớng thng y =
a1
phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm ph¥n bi»t.
a2 − a + 1
a2 − a + 1
+
= 1 a = 0 ữớng thng y =
tiáp xúc vợi
a1
a1
ỗ th (**) tÔi x = 0 phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm kp x = 0.
a2 a + 1
a2 − a + 1
= 3 ⇔ a = 2 ữớng thng y =
tiáp xúc vợi ỗ th
+
a1
a1
(**) tÔi N(2,3) phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm kp x = 2.
a2 − a + 1
a2 − a + 1
+
> 3 ⇔ a > 1, a 6= 2 ⇒ ữớng thng y =
cưt ỗ
a1

a1
th (**) tÔi 2 im phƠn biằt phữỡng trẳnh  cho cõ 2 nghiằm phƠn
< a < 1

biằt.

CƠu 31. Tẳm trản ữớng thng y = 3 tĐt cÊ cĂc im cõ th k ữủc 2
tiáp tuyán lêp vợi nhau mởt gõc 450 .

GiÊi. + y = 3 l tiáp tuyán tiáp xúc vợi ỗ th (**) tÔi N(2, 3).

tiáp tuyán thự 2 tÔo vỵi y = 3 mët gâc 450 câ h» sè gâc l  1 ho°c -1.
1
1
y , (x) = ±1 ⇒ 1 −
=
±1
⇒
1
−
= −1.
(x − 1)2
(x − 1)2
1
1
1
2
√
⇔
(x

−
1)
=
⇒
x
=
1
±
⇔2=
.
(x − 1)2
2
2




1
1
1
+ Vỵi x = 1 ± √ ⇒ ti¸p tuy¸n 2 l : y − y 1 + √
=− x−1− √ .
2
2
2
1
1
1
+ Vỵi x = 1 − √ ⇒ ti¸p tuy¸n 2 l : y − y(1 − √ ) = −(x − 1 + ).
2

2
2
Tứ Ơy ta xĂc nh ữủc 2 im giao vợi y = 3 l 2 im phÊi tẳm.

CƠu 32. Vợi giĂ tr no cừa b thẳ ữớng thng y = b cưt ỗ th (**) tÔi 2
im phƠn biằt A, B sao cho AB = 6.

GiÊi.
Yảu cƯu bi toĂn tữỡng ữỡng phữỡng trẳnh tữỡng giao:
2

x x+1
= 6 cõ 2 nghi»m xA , xB : |xA − xB | = 6.
x1
phữỡng trẳnh x2 (b+1)x+1+b = 0 cõ 2 nghi»m xA , xB : |xA −xB | = 6.
22


phữỡng trẳnh cõ 2 nghiằm
xA , xB : (xA + xB )2 − 4xA xB = 36.
(
4>0
Theo Vi²t ⇒ i·u ki»n l
(b + 1)2 − 4(1 + b) = 36
(
(
(b + 1)2 − 4(b + 1) > 0
(b + 1)(b − 3) > 0
⇔
⇔

b2 − 2b − 3 = 0
b = 1, b = 3
Vêy khổng tỗn tÔi b thọa mÂn yảu cƯu cừa bi toĂn.

CƠu 33. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th

x2 2x + 2
y=
.
x1

(33)

GiÊi.

x2 x + 1
1.
(33) y =
x1
Vêy v ỗ th (**) tnh tián theo trửc Oy xuống phẵa dữợi mởt ỡn v ta
ữủc ỗ th (33).

CƠu 34. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th
x2
y=
.
x1

(34)


GiÊi.

x2 x + 1
(34) y =
+ 1.
x1
Vêy v ỗ th (**) tnh tián theo trửc Oy lản trản mởt ỡn v ta ữủc ỗ
th (34).

CƠu 35. Tứ ỗ th(**) suy ra ỗ th
x2 − 3x + 3
y=
.
x−2

(35)

Gi£i.

(x − 1)2 − (x − 1) + 1
(35) ⇔ y =
.
(x − 1) − 1
Vªy v³ ỗ th (**) tnh tián theo trửc honh sang phÊi mởt ỡn v ta ữủc
ỗ th (35).

CƠu 36. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th
x2 + x + 1
y=
.

x

GiÊi.

(x + 1)2 − (x + 1) + 1
(36) ⇔ y =
.
(x + 1) − 1
23

(36)


Vêy v ỗ th (**) tnh tián sang bản trĂi theo Ox mởt ỡn v ta ữủc ỗ
th (36).

CƠu 37. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th
x2 x + 1
.
y=
|x − 1|

Gi£i.

(37)

x2 − x + 1
V¼ x − x + 1 > 0, ∀x ⇒ (37) ⇔ y = |
|
x− 1




x2 − x + 1 x2 − x + 1
x2 − x + 1




,
>0
,x > 1
x−1
x−1
x−1
⇔y=
⇔
y
=
x2 − x + 1 x2 − x + 1
x2 − x + 1






,
<0
,x < 1

x1
x1
x1
Vêy v ỗ th (**), giỳ nguyản phƯn x > 1 lĐy ối xựng phƯn x < 1 qua
2

trửc Ox ta ữủc ỗ th (37) gỗm cÊ 2 phƯn.

CƠu 38. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th

x2 − |x| + 1
.
y=
|x| − 1

(38)



x2 − x + 1


,x ≥ 0
x−1
(38) ⇔ y =
x2 + x + 1



,x < 0

x 1
Vêy v ỗ th (**), bọ phƯn bản trĂi Oy, giỳ nguyản phƯn bản phÊi Oy v

GiÊi.

lĐy ối xựng chẵnh nõ qua Oy ta ữủc ỗ th (38) gỗm cÊ 2 phƯn.

CƠu 39. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th

x2 x + 1
|y| =
.
x1

(39)

GiÊi. Vẳ x2 − x + 21 > 0, ∀x ⇒2 (39) x¡c ành ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1. Khi

x x+1 x x+1
,
> 0.
x1
x1
Vêy v ỗ th (**) bọ phƯn dữợi Ox, giỳ nguyản phƯn trản Ox v lĐy ối
õ (39) y =

xựng chẵnh nõ qua Ox ta ữủc ỗ th (39) gỗm cÊ 2 phƯn.

CƠu 40. Tứ ỗ th (**) suy ra ỗ th


x2 |x| + 1
y=|
|.
|x| − 1
24

(40)