Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
CHƯƠNG II : ĐA THỨC
1. Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
Dạng 1. Tính giá trị của đa thức
Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x
0
, y = y
0
; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để
tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết
n n 1
0 1 n
P(x) a x a x a
−
= + + +
dưới dạng
0 1 2 n
P(x) ( (a x a )x a )x )x a= + + + +
Vậy
0 0 0 1 0 2 0 0 n
P(x ) ( (a x a )x a )x )x a= + + + +
.
Đặt b
0
= a
0

; b
1
= b
0
x
0
+ a
1
; b
2
= b
1
x
0
+ a
2
; …; b
n
= b
n-1
x
0
+ a
n
. Suy ra: P(x
0
) = b
n
.
Từ đây ta có công thức truy hồi: b

k
= b
k-1
x
0
+ a
k
với k ≥ 1.
Giải trên máy: - Gán giá x
0
vào biến nhớm M.
- Thực hiện dãy lặp: b
k-1
ALPHA M
+ a
k
Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính
− + −
=
− + +
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
khi x =
1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Ans
Aán phím: 1

.
8165
=
− + − +
÷ − + + =
2
2
( 3 Ans ^ 5 2 Ans ^ 4 3 Ans x Ans 1)
( 4 Ans ^ 3 Ans x 3 Ans 5)
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
X
Aán phím: 1
.
8165
SHIFT STO X
− + − +
÷ − + + =
2
2
( 3 ALPHA X ^ 5 2 ALPHA X ^ 4 3 ALPHA X x ALPHA X 1)
( 4 ALPHA X ^ 3 ALPHA X x 3 ALPHA X 5)
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy
fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng
phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có
thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm
CALC
, máy hỏi X? khi đó
1

Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
khai báo các giá trị của biến x ấn phím là
=
xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả
sau khi tính nên gán giá trị x
0
vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm
tra và đổi các giá trị.
Ví dụ 1.2: Tính
− + −
=
− + +
5 4 2
3 2
3x 2x 3x x
A
4x x 3x 5
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x =
865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x
1
= - 0,235678 vào biến nhớ X:

( )
.−
235678
SHIFT STO X
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím
=
là

xong.
 Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả
năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá
phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy
tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả
gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Dạng 2: Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong
đó r là một số (không chứa biến x). Thế
b
x
a
= −
ta được P(
b
a
−
) = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
b
a
−
), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998)
Tìm số dư trong phép chia:P=
14 9 5 4 2
x x x x x x 723
x 1,624
− − + + + −

−
Số dư r = 1,624
14
- 1,624
9
- 1,624
5
+ 1,624
4
+ 1,624
2
+ 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
1. 624 SHIFT STO X
− −
+ + + − =
ALPHA X ^14 ALPHA X ^ 9 ALPHA X ^ 5
ALPHA X ^ 4 ALPHA X ^ 2 ALPHA X 723
Kết quả: r = 85,92136979
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
2
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được
P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho ax +b thì m + r = 0
hay m = -r = - P(
b
a
−

). Như vậy bài toán trở về dạng toán 1.
Ví dụ 3.1: Xác định tham số
(Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000).
Tìm a để
4 3 2
x 7x 2x 13x a+ + + +
chia hết cho x+6
- Giải -
Số dư
( ) ( )
2
4 3
a ( 6) 7( 6) 2 6 13 6
 
= − − + − + − + −
 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím:
( )
−
6
SHIFT
STO
X
( )
−
(
ALPHA
X
^

4
+
7
ALPHA
X
3
x
+
2
ALPHA
X
2
x
+
13
ALPHA
X
)
=
Kết quả: a = -222
Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001)
Cho P(x) = 3x
3
+ 17x – 625. Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3?
Giải –
Số dư a
2
= -

( ) ( )
3
3 3 17 3 625
 
− + − −
 
=> a =
±
( ) ( )
3
3 3 17 3 625
 
− − + − −
 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
3
( ) ( 3 ( ( ) 3 ) 17 ( ( ) 3 ) 625 )− − + − − =x
Kết quả: a =
±
27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x
3
+ 17x – 625 = (3x
2
– 9x + 44)(x+3) – 757.
Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a
2
= 757 => a = 27,51363298 và a = -
27,51363298
Vi du3.3

Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5 + m chia hết cho Q(x)
= 3x +2
H.Dẫn:
- Phân tích P(x) = (2x
3
+ 3x
2
- 4x + 5) + m = P
1
(x) + m. Khi đó:
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P
1
(x) + m = (3x + 2).H(x)
3
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Ta có:
1 1
2 2
0
3 3
P m m P
   
− + = ⇒ = − −
   
   
Tính trên máy giá trị của đa thức P

1
(x) tại
2
3
x = −
ta được m =
Vi du3.4:
Cho hai đa thức P(x) = 3x
2
- 4x + 5 + m; Q(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7 + n
Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung
0
1
2
x =
H.Dẫn:
0
1
2
x =
là nghiệm của P(x) thì m =
1
1
2
P
 

−
 
 
, với P
1
(x) = 3x
2
- 4x + 5
0
1
2
x =
là nghiệm của Q(x) thì n=
1
1
2
Q
 
−
 
 
với Q
1
(x) = x
3
+ 3x
2
- 5x + 7.
Tính trên máy ta được: m =
1

1
2
P
 
−
 
 
= ;n =
1
1
2
Q
 
−
 
 
=
Vi du3.5:
Cho hai đa thức P(x) = x
4
+ 5x
3
- 4x
2
+ 3x + m;Q(x) = x
4
+ 4x
3
- 3x
2

+ 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức
R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm.
H.Dẫn:
a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n =
b) P(x)
M
(x - 2) và Q(x)
M
(x - 2) ⇒ R(x)
M
(x - 2)
Ta lại có: R(x) = x
3
- x
2
+ x - 6 = (x - 2)(x
2
+ x + 3), vì x
2
+ x + 3 > 0 với mọi x nên
R(x) chỉ có một nghiệm x = 2.
Ví dụ 3.6
Cho đa thức f(x) = x
4
+ 9x
3
+ 2x
2

+ 11x .
1. Tim giá trị của m để f(x) + m chia hết cho x+6
4
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
2. Với m vừa tìm được ở câu 1. T ính giá trị của đa thức P(x) = f(x) + m khi cho:
x =
2
3
11
2
3
1
++
+
+
2
3
11
2
3
1
−−
−
Giải:
1. f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết được dưới d ạng
f(x) + m = Q(x)(x+6)
do đ ó f(-6) + m = 0
⇔
m = - f(-6)
HS lập quy trình tính đ úng k ết quả


⇔
m = - f(-6) = - (- 642)= 642
2. Với m = 642
ta được đa thức P(x) = x
4
+ 9x
3
+ 2x
2
+ 11x + 642
Học sinh tính được x = 1.
Thay x = 1 vào và tính đ úng P(1) = 665
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của
( )
P x
thỏa mãn một điều kiện nào
đó:
Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c
a) Tìm a, b, c biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x)
có giá trị tương ứng là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653
b) Tìm số dư r của phép chia đa thức P(x) cho 12x – 1
c) Tìm giá trị của x khi P(x) có giá trị là 1989
Giải:
a) Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x
3

+ax
2

+ c
ta được hệ





=++
=++
=++
21237,369,13
20455,225,6
19932,144,1
cba
cba
cba

Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975
b) Số dư của phép chia P(x) =x
3
+10x
2
+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-
2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375
c) Giải phương trình P(x) =x
3
+10x

2
+3x+1975= 1989 hay x
3
+10x
2
+3x-14 =0
x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126
5
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx - 1
1) Xác định số hữu tỉ a và b để x =
57
57
+
−
là nghiệm của P(x);
2) Với giá trị a, b tìm được hãy tìm các nghiệm còn lại của P(x).
Giải:
x = 6-
35
⇒ b =
axx
x
−−
2
1

=6+
35
-(6-
35
)
2
- a(6-
35
)
(a+13) = b+6a+65 = 0 ⇒ a = -13 ; b =13 ⇒ P(x) =x
3
-13x
2
+13x-1
(x-1)(x
2
-12x+1) = 0 ⇒ x = 1 ; x ≈ 0,08392 và x ≈ 11,916
Ví dụ 4.3:Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx –
2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số
dư là 3.
Hướng dẫn:
Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r ⇒ P(a) = r
Vậy P(13) = a.13
3
+ b.13
2

+ c.13 – 2007 = 1
P(3) = a.3
3
+ b.3
2
+ c.3 – 2007 = 2
P(14) = a.14
3
+ b.14
2
+ c.14 – 2007 = 3
Tính trên máy và rút gọn ta được hệ ba phương trình :
2197. 169 13. 2008
27 9 3 2009
2744 196 14 2010
a b c
a b c
b c
+ + =


+ + =


+ + =

Tính trên máy được :a = 3,693672994 ≈ 3,69
b = –110,6192807 ≈ –110,62
c = 968,2814519 ≈ 968,28
Dạng 5. Tìm đa thức thương khi chia đa thức

cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2
x + a
3
cho x – c ta sẽ được thương là
một đa thức bậc hai Q(x) = b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
và số dư r. Vậy a
0
x
3
+ a
1
x
2

+ a
2
x + a
3
=
(b
0
x
2
+ b
1
x + b
2
)(x-c) + r = b
0
x
3
+ (b
1
-b
0
c)x
2
+ (b
2
-b
1
c)x + (r + b
2
c). Ta lại có công

thức truy hồi Horner: b
0
= a
0
; b
1
= b
0
c + a
1
; b
2
= b
1
c + a
2
; r = b
2
c + a
3
.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư
khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép
chia đa thức P(x) cho (x +
b
a

)
6
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Ví dụ 5.1
Tìm thương và số dư trong phép chia x
7
– 2x
5
– 3x
4
+ x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = - 5; a
0
= 1; a
1
= 0; a
2
= -2; a
3
= -3; a
4
= a
5
= 0; a
6
= 1; a
7
= -1; b
0

= a
0
= 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
− × + =
× − =
× + − =
× + =
× + =
× + =
× + − =
( ) 5 SHIFT STO M 1 ALPHA M 0
ALPHA M 2
ALPHA M ( ) 3
ALPHA M 0
ALPHA M 0
ALPHA M 1
ALPHA M ( )1
(-5)
(23)
(-118)
(590)
(-2950)
(14751)
(-73756)
Vậy x
7
– 2x
5
– 3x

4
+ x – 1 =
= (x + 5)(x
6
– 5x
5
+ 23x
4
– 118x
3
+ 590x
2
– 2590x + 14751) – 73756.
Ví dụ5.2: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 cho (x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có:
1 0 -2 -3 0 0 1 -1
-5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên như sau:
( )−
5
SHIFT

STO


M

1
×

ANPHA

M

+
0
=
(-5) : ghi ra giấy -5

×

ANPHA

M

+

-
2
=
(23) : ghi ra giấy 23

×

ANPHA


M

-
3
=
(-118) : ghi ra giấy -118

×

ANPHA

M

+
0
=
(590) : ghi ra giấy 590

×

ANPHA

M

+
0
=
(-2950) : ghi ra giấy -2950


×

ANPHA

M

+
1
=
(14751) : ghi ra giấy
14751
7
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn

×

ANPHA

M

-
1
=
(-73756) : ghi ra giấy
-73756
x
7
- 2x
5
- 3x

4
+ x - 1 =
= (x + 5)(x
6
- 5x
5
+ 23x
4
- 118x
3
+ 590x
2
- 2950x + 14751) – 73756
Vi du5.3: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x
3
+ 2x
2
- 3x + 1 cho (2x - 1)
Vi du 5.4:
Chia x
8
cho x + 0,5 được thương q
1
(x) dư r
1
. Chia q
1
(x) cho x + 0,5 được thương
q
2

(x) dư r
2
. Tìm r
2
?
H.Dẫn:
- Ta phân tích: x
8
= (x + 0,5).q
1
(x) + r
1
q
1
(x) = (x + 0,5).q
2
(x) + r
2
- Dùng lược đồ Hoocner, ta tính được hệ số của các đa thức q
1
(x), q
2
(x)
và các số dư r
1
, r
2
:
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1

2
−
1
1
2
−
1
4
1
8
−
1
16
1
32
−
1
64
1
128
−
1
256
1
2
−
1 -1
3
4
1

2
−
5
16
3
16
−
7
64
1
16
−
VËy:
2
1
16
r = −
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c:
P(x)=r
0
+r
1
(x-c)+r
2
(x-c)
2
+…+r
n
(x-c)

n
.
Ví dụ6.1 Phân tích x
4
– 3x
3
+ x – 2 theo bậc của x – 3.
Giải
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q
1
(x)(x-c)+r
0
theo sơ đồ Horner để được q
1
(x)
và r
0
. Sau đó lại tiếp tục tìm các q
k
(x) và r
k-1
ta được bảng sau:
1 -3 0 1 -2 x
4
-3x
2
+x-2
3 1 0 0 1 1 q
1
(x)=x

3
+1, r
0
= 1
3 1 3 9 28 q
2
(x)=x
3
+3x+1,r
1
=28
3 1 6 27 q
3
(x)=x+6, r
0
= 27
3 1 9 q
4
(x)=1=a
0
, r
0
= 9
Vậy x
4
– 3x
3
+ x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)
2
+ 9(x-3)

3
+ (x-3)
4
.
8
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa
thức
Nếu trong phân tích P(x) = r
0
+ r
1
(x-c)+r
2
(x-c)
2
+…+r
n
(x-c)
n
ta có r
i

≥
0
với mọi i = 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c.
Ví dụ 7.1: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x
4
– 3x
3

+ x – 2 là c = 3. (Đa
thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất
hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng
toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, ….
 Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính
có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm
không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải
nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm.
Dạng.8. tính giá trị của đa thức khi biết
một số giá trị khác của đa thức
Ví dụ 8.1
Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25.
Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ?
H.Dẫn:
Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho:
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x)
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ
hơn 5, nghĩa là:
Q(x) = P(x) + a
1

x
4
+ b
1
x
3
+ c
1
x
2
+ d
1
x + e
Bước 2: Tìm a
1
, b
1
, c
1
, d
1
, e
1
để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức
là:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1

1 0
16 8 4 2 4 0
81 27 9 3 9 0
256 64 16 4 16 0
625 125 25 5 25 0
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
+ + + + + =


+ + + + + =


+ + + + + =


+ + + + + =

+ + + + + =


⇒ a
1
= b
1
= d
1

= e
1
= 0; c
1
= -1
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x
2

Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x)
bằng 5 có hệ số của x
5
bằng 1 nên:
Q(x) = P(x) - x
2
= (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)
9
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x
2
.
Từ đó tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =
Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11.
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ
đó tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ;
P(9) =
Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10.
Tính
(5) 2 (6)
?
(7)
P P
A
P
−
= =
H.Dẫn:
- Giải tương tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) +
( 1)
2
x x +
. Từ
đó tính được:
(5) 2 (6)
(7)

P P
A
P
−
= =
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn:
f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ?
H.Dẫn:
- Đặt g(x) = f(x) + ax
2
+ bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0
⇒ a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:
3 0
9 3 11 0
25 5 27 0
a b c
a b c
a b c
+ + + =


+ + + =


+ + + =

⇒ bằng MTBT ta giải được:
1
0
2

a
b
c
=−


=


=−

⇒ g(x) = f(x) - x
2
- 2
10
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x -
5), do vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x
2
+ 2.
Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) =
Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4;
f(3) = 1 nên:

10
12
8 4 2 4
27 9 3 1
d
a b c d
a b c d
a b c d
=


+ + + =


+ + + =


+ + + =

lấy 3 phương trình cuối lần lượt trừ cho phương trình đầu và giải hệ gồm 3 phương
trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả:
5 25
; ; 12; 10
2 2
a b c d= = − = =

⇒
3 2
5 25
( ) 12 10

2 2
f x x x x= − + +
⇒
(10)f =
Ví dụ8.5:
Chođa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) đều được dư
là 6 và f(-1) =-18 .Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tương tự như bài 8, ta có f(x) = x
3
- 6x
2
+ 11x
Từ đó tính được f(2005) =
Ví dụ 8.6 Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x
5
+ ax
4
– bx
3
+ cx
2
+ dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
11
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương
ứng là 9, 21, 33, 45

Giải:
Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là :
1+a-b+c+d-2007=9 a-b+c+d=2015 (1)
32+16a-8b+4c+2d-2007=21 16a-8b+4c+2d=1996 (2)
243+81a-27b+9c+3d-2007=33 81a-27b+9c+3d=1797 (3)
1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 256a-64b+16c



⇔




+4d=1028 (4)







Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế
với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình
bậc nhất 3 ẩn :
-14a+6b-2c=2034
-78a+24b+6c=4248
-252a+60b-12c=7032






Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211
Ta có P(x)=x
5
– 93,5x
4
+ 870x
3
-2972,5x
2
+ 4211x – 2007
Q(1,15) = 66,15927281 ≈ 66,16
Q(1,25) = 86,21777344 ≈ 86,22
Q(1,35) = 94,91819906 ≈ 94,92
Q(1,45) = 94,66489969 ≈ 94,66
Ví dụ 8.7:
Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f .
Biết P(1) = 1 , P(2) = 4 , P(3) = 9 , P(4) = 16 , P(5) = 25 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9)
Giải:

Ta có P(1) = 1 = 1
2
; P(2) = 4 = 2
2
; P(3) = 9 = 3
2
; P(4) = 16 = 4
2
; P(5) = 25 = 5
2
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x
2
.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x
5
bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 6
2
Hay P(6) = 5! + 6
2
= 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 7
2
Hay P(7) = 6! + 7
2
= 769
BÀI TẬP

12
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Dạng 1. Tính giá trị của đa
Bài tập 1.1Cho P(x) = x
5
-14x
4
+85x
3
-224x
2
+274x-110
a) Lập quy trình bấm phím tính giá trị của biểu thức tại x=a
b) Tính P tại x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4.
Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức:
a. Tính
4 3 2
x 5x 3x x 1+ − + −
khi x = 1,35627
b. Tính
5 4 3 2
P(x) 17x 5x 8x 13x 11x 357= − + + − −
khi x = 2,18567
Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x
15
-2x
12
+ 4x
7
- 7x

4
+ 2x
3
- 5x
2
+ x - 1
Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(
3
1
4
)
H.Dẫn:
- Lập công thức P(x)
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng
CALC
- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) =
P(-5,1289) = ; P(
3
1
4
) =
Bài tập:1.4Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9

tại x = 0,53241
Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
tại x = -2,1345
H.Dẫn:
- Áp dụng hằng đẳng thức: a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
). Ta
có:
P(x) = 1 + x + x
2
+ x

3
+ + x
8
+ x
9
=
2 9 10
( 1)(1 ) 1
1 1
x x x x x
x x
− + + + + −
=
− −
Từ đó tính P(0,53241) =
Tương tự:
Q(x) = x
2
+ x
3
+ + x
8
+ x
9
+ x
10
= x
2
(1 + x + x
2

+ x
3
+ + x
8
) =
9
2
1
1
x
x
x
−
−
Từ đó tính Q(-2,1345) =
Bài tập1.5:Cho đa thức
9 7 5 3
1 1 13 82 32
( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x= − + − +
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
13
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Giải:
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x)
nên
1

( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x
= − − − − + + + +
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với
mọi x nguyên thì tích:
( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x
− − − − + + + +
chia
hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên
với mọi x nguyên.
Bài tập1.6:Cho
( )
2
3 2
35 37 60080
10 2007 20070
x x
P x
x x x
− +
=
− + −
và
( )
2
10 2007
a bx c
Q x
x x

+
= +
− +
a) Với giá trị nào của a, b, c thì P(x) = Q(x) đúng với mọi x thuộc tập xác
định .
b) Tính giá trị của P(x) khi x =
13
5
−
.
Tính n để
( )
( )
( )
( )
= −
− +
2
2
10 2007
P x
T x n
x x
chia hết cho x + 3
Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x
4
+5x
3
- 3x
2

+ x - 1. Tính giá trị của P(1,35627).
Giải:
P(1,35627) = 10,69558718
Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x
8
+ 4x
7
+ 6x
6
+ 4x
5
+ x
4
1. T ính giá trị của P(x) và (làm tròn đến 0,0001) khi cho x nhận các giá trị :
-
2
,
π

2
, 1, -
2
1
.
Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) =
5
1
x
5
+

3
1
x
3
+
15
7
x + 2008
1. Tính giá trị của f(x) khi cho x nhận các giá trị: 2 ; -1 ; 3; -
2
1
;
2
.
2. Chứng minh rằng: f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Giải:
2. f(x) =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7
x + 2008

14
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Đặt A =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7
x
Ta CM: A là một số nguyên với mọi x nguyên dương từ đó f(x) là một số nguyên.
Thật vậy: A =
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+
15
7

=
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+ x -
15
8x
=
5
1
x
5
+
3
1
x
3
+ x -
5
1
x -
3
1
x

5
5
xx −
-
3
3
xx −
+ x
Ta CM x
5
- x Chia hết cho 5; x
3
- x chia hết cho 3.
thật vậy: x
5
- x = x(x
4
- 1)= x(x
2
- 1)(x
2
+ 1)
=x(x
2
- 1)(x
2
- 4 + 5)
= x(x
2
- 1)(x

2
- 4) + 5x(x
2
- 1)
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1)
(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5.
nên
5
5
xx −
nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5
x
3
- x = x(x
2
-1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 nên
3
3
xx −
nguyên
Vậy bài toán CM xong.
Dạng 2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x)
cho nhị thức ax + b
Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia
5 3 2
x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319
x 2,318
− + − +
+
Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003)

Cho
( )
4 4 2
x
P x 5x 4x 3x 50= + − + −
. Tìm phần dư r
1
, r
2
khi chia P(x) cho x – 2
và x-3. Tìm BCNN(r
1
,r
2
)?
Bài tập2.3 :Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x
3
- 5x
2
+ 4x - 6 cho (2x - 5)
Giải:
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒
5 5 5
0.
2 2 2
P Q r r P
     
= + ⇒ =
     
     

15
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Tính trên máy ta được: r =
5
2
P
 
 
 
=
Bài tập2.4:Tính số dư r trong phép chia
− + − +
+
5 3 2
6,723 1,857 6,458 4,319
2,318
x x x x
x
Bài tập2.5:: Tìm số dư trong các phép chia sau:
a) x
3
– 9x
2
– 35x + 7 cho x – 12.
b) x
3
– 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x
6
-4x

5
+7x
4
-11x
3
-8x
2
+5x-2007. Gọi r
1
và r
2
lần lượt là số dư
của phép chia f(x) cho x-1,12357 và x+0,94578.
Tính B=0,(2006)r
1
-3,(2007)r
2
.
Dạng 3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m
chia hết cho nhị thức ax + b
Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để:
Tìm m để đa thức
+ + − + + −
5 4 3 2
5 3 5 17 1395x x x x x m
chiahết cho
( )
+ 3x
b) Với giá trị nào của m thì đa thức
+ − + − +

5 4 2
4 9 11 29 4 3x x x x m
chia hết
cho 6x + 9
Bài tập3.2:Tìm m để đa thức
+ + − + + −
5 4 3 2
5 3 5 17 1395x x x x x m
chia hết cho
( )
3x −
Bài tập3.3:Cho đa thức
( )
= − + − + +
5 4 3 2
3 4 5 6P x x x x x x m
a) Tìm số dư r trong phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005
b) Tìm giá trị m
1
để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5
c) Tìm giá trị m
2
để đa thức P(x) có nghiệm x = 3
Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + m.

a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10.
Kết quả m = -9090 (2,5đ)
b) Tìm các nghiệm của đa thức P(x) với giá trị vừa tìm được của m.
Kết quả
x
1
= -10, x
2
≈ 9,49672 (2,5đ)
Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x + m.
a)T×m m ®Ó ®a thøc P(x) chia hÕt cho x + 5.
b) Víi m t×m ®îc ë c©u a), h·y t×m sè d r khi chia ®a thøc P(x) cho x – 3.
16
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số của
( )
P x
thỏa mãn một điều kiện nào đó :
Bài tập4.1:
Cho biết đa thức P(x) = x
4
+ mx
3
– 55x

2
+ nx – 156 chia hết cho x – 2 và chia
hết cho x – 3. Hãy tìm giá trị của m, n rồi tính tất cả các nghiệm của đa thức
Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e có giá trị bằng 5, 4, 3, 1, -2 lần
lượt tại
x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giá trị của a, b, c, d, e và tính gần đúng các nghiệm của đa
thức đó
Bài tập4.3:Xác định các hệ số a , b ,c của đa thức
2007)(
23
−++= cxbxaxxP
để sao cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư là
1 , chia cho (x – 3) có số dư là 2 và chia cho (x - 14) có số dư là 3. ( Kết quả lấy với
2 chữ số ở phần thập phân )
Giải:
Lập luận đưa đến hệ 2 điểm; tìm được a,b,c đúng mỗi ý cho 1 điểm
Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28
Bài tập4.4Cho hai đa thức sau:
f(x) = x
4
+ 5x
3
- 4x
2

+ 3x + a
g(x) = -3x
4
+ 4x
3
- 3x
2
+ 2x + b
a)Tìm điều kiện của a và b để hai đa thức f(x) và g(x) có nghiệm chung
x = 0,25 ?
b) Cho đa thức:Q(x) =5x
5
- x
4
- 6x
3
+ 27x
2
- 54x + 32
Sử dụng các phím nhớ. Lập quy trình tìm số dư trong phép chia đa thức Q(x) cho
2x + 3?
c)Tính a để x
4
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 13x + a chia hết cho x + 6
d)Cho P(x) = 3x
3

+ 17x – 625
+ Tính P(2
2
)
+ Tính a để P(x) + a
2
chia hết cho x + 3
Bài tập4.5:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức
Q(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx – 2007 tại các giá trị của
x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45
Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x – 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?’
Bài tập4.7 :Biết đa thức Q(x) = x
4
+ mx
3

- 44x
2
+ nx - 186 chia hết cho x + 2 và
nhận x = 3 là nghiệm. Hãy tính giá trị của m và n rồi tìm tất cả các nghiệm còn lại
của Q(x).
Giải
Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = 0 => t×m m, n
Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã 2 nghiÖm nguyªn
m = 6; n = -11
x
2
= -2
17
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
=> Q(x) = (x+2)(x-3)(x
2
+7x-31)
Dïng m¸y gi¶i ph/tr bËc 2 => 2 nghiÖm cßn l¹i.
x
3

≈
3,076473219
x
4
≈ -10,076473219
Bài tập4.8:Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.
Q(x) = x
5
+ ax

4
– bx
3
+ cx
2
+ dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương
ứng là
9, 21, 33, 45(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Bài tập4.8:Biết rằng số dư trong phép chia đa thức
x
5
+ 4x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
– ax + 7 cho (x + 5) bằng 2007. Tìm a.
Dạng 5: Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x
4
+8x
3
-7x
2
+8x -12 cho đa thức x – 2 ta được
thương là đa thức Q(x) có bậc là 3 . Hãy tìm hệ số của x
2

trong Q(x) ?
Bài tập5.2:Cho P(x) =
4 3
2
2 5 7
3
x x x− + +
.
a)Tìm biểu thức thương Q(x) khi chia P(x) cho x – 5.
b)Tìm số dư của phép chia P(x) cho x – 5 chính xác đến 3 chữ số thập phân.
Bài tập5.3:Tìm số dư trong phép chia đa thức
x
5
– 7,834x
3
+ 7,581x
2
– 4,568x + 3,194 cho x – 2,652.
Tìm hệ số của x
2
trong đ thức thương của phép chia trên.
Dạng 6. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Dạng 7. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
Dạng8. tính giá trị của đa thức khi biết một số giá trị khác của đa thức
Bài tập8.1: Cho đa thức
( )
= + + + + +
5 4 3 2
P x x ax bx cx dx e


và cho biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 .
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?
Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + 132005
Biết rằng khi x lần lượt nhận giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x)
lần lượt là 8, 11, 14, 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15.
Bài tập8.3:Cho P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9. viết quy trình để
tính P(9) và P(10) ?
Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9.
a) Tìm số dư khi chia P(x) cho x - 4 ?
b) Tìm số dư khi chia P(x) cho 2x + 3 ?
Bài tập8.5:Q(x) = x
5
+ ax

4
– bx
3
+ cx
2
+ dx – 2007
Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.
Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng
là 9, 21, 33, 45 (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
18
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Bài tập8.6:Cho
17 16 15
P(x) =ax + bx + cx +. . . + m
P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . .; P(17) = 17. Tính P(18) (H
(x)
= x )
Bài tập8.7: Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11. (H
(x)
= 2x +3)
a. Tìm a, b, c, d
b. Tính
( ) ( )

15 12
15
20
P P
A
+ −
= +
.
Giải:
a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x + 3
Suy ra a, b, c, d
C2: Giải hệ phương trình , suy ra a, b, c, d
b, Nhập P(x) = x
4
- 10x
3
+ 35x
2
- 48x + 27 vào máy
Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12
shift Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =
a. a = - 10, b = 35
c = - 48, d = 27
b. 3400.8000
Bài tập8.8: Cho đa thức
( )
= + + + +
4 3 2
P x x ax bx cx d
biết P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29

Tính giá trị của a , b , c , d và P(40) , P(2008) ?
Bài tập8.9: Cho
( )
= + + + +
4 3 2
P x x ax bx cx d

biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 . (H
(x)
=1/2 x
2
)
Tính giá trị của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ?
Bài tập7.10: Cho Q(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q .
Biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 , Q(4) = 11 . (H
(x)
= 2x +3)
Tính các giá trị của Q(10) , Q(11) , Q(12) , Q(13)
Hướng dẫn
Q(1) = 5 = 2.1 + 3; Q(2) = 7 = 2.2 + 3; Q(3) = 9 = 2.3 + 3 ;
Q(4) = 11 = 2.4 + 3
Xét đa thức Q
1
(x) = Q(x) – (2x + 3) (H

(x)
= 2x +3)
Bài tập8.12: Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e .
Biết P(1) = 3 , P(2) = 9 , P(3) = 19 , P(4) = 33 , P(5) = 51 . (H
(x)
= 2x
2
+1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) , P(11) .
Bài tập8.13: Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9. Hãy viết quy trình để tính P(9) và P(10) ? (H
(x)
=
x
2
)
Bài tập8.14: Cho P(x) = x
4

+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Có P(1) = 0,5 ; P(2) = 2 ; P(3) = 4,5 ; P(4) = 8. Tính P(2002), P(2003) (H
(x)
=1/2 x
2
)
Bài tập8.15: Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 5; P(2) = 14; P(3) = 29; P(4) = 50.
Hãy tính P(5) , P(6) , P(7) , P(8)
Bài tập8.16: Cho P(x) = x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48. Tính P(2007) (H
(x)
=x
3

-x
2
)
19
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Bài tập8.17: Cho f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c .
Biết : f






3
1
=
108
7
; f






−

2
1
=
5
3
−
; f






5
1
=
500
89
.
Tính giá trị đúng và gần đúng của f






3
2
.
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a,b,c)

Bài tập8.18:- Bài tập8.16: Cho đa thức
( )
4 3 2
P x x ax bx cx d= + + + +

biết P(1) = 0 , P(2) = 4 , P(3) = 18 , P(4) = 48 . Tính P(2007) ? (H
(x)
=x
3
-x
2
)
Bài tập8.19: Cho đa thức
( )
dcxbxaxxxf ++++=
234
.
Biết rằng
( ) ( )
;112;61 == ff
( )
;163 =f

( )
214 =f
. (H
(x)
= 5x +1)
a) Hãy tính đúng giá trị của
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

9;8;7;6;5 fffff
( trình bày vắn
tắt lời giải)
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho
( )
nf
chia hết cho 24. ( trình bày vắn
tắt lời giải)
Giải
( )
15 += xxf
tại
( ) ( ) ( )
155;4;3;2;1 +−=⇒= xxfxgx
có 5 nghiệm là 1;
2; 3; 4; 5
( ) ( )( )( )( )
4321 −−−−=⇒ xxxxxg
hay
( ) ( )( )( )( ) ( )
154321 ++−−−−= xxxxxxf
. Thay x = 5; 6; 7; 8; 9 ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
17269;8818;3967;1516;505 ===== fffff
Bài tập8.20: Cho đa thức P(x) có bậc 4 thoả mãn:
P(1) = -1, P(2) = 2, P(3) = 7, P(4) = 14, P(5) = 24.
Tính P(26), P(27), P(28), P(29), P(30).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=1/24;,b = -5/12;c =59/24; d= -25/12;
e=-1)
Kết quả P(26) = 13.324, P(27) = 15.677, P(28) = 18.332,

P(29) = 21.314, P(30) = 24.649 (5đ)
Bài tập8.21: Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c
Biết rằng: P(1945) = 1945 ; P(1954) = 1954 ; P(1975) = 1975. (H
(x)
= x )
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=-5874;,b = 11501055,19;c =-
7506045115)
a) Tính P(2005).
b) Đặt Q(x) = P(x) + m. Tìm giá trị của m để đa thức Q(x) chia hết cho (x -
2005,05) (chính xác đến 5 chữ số thập phân).
20
Trêng THPT T Thơc ViƯt Yªn
Bài tập8.22: Cho
3 2
( ) 4P x x ax bx cx d= + + + +
Biết
(1) 5; (2) 7; (3) 9; (4) 11P P P P= = = =
Tính
(20) (10)
2
P P−

(H
(x)
= 2x +3)
Bài tập8.23: Đa thức

6 5 4 3 2
( )P x x ax bx cx dx ex f= + + + + + +
có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x lần lượt nhận giác trị là 1; 2; 3; 4; 5; 6
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)
a) Xác định các hệ số a, b, c, d, e, f của P(x)
b) Tính giá trị của P(x) với x = 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
Bài tập8.24: Cho đa thức
( )
5 4 3 2
P x x ax bx cx dx e= + + + + +
biết P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 . (H
(x)
= 2x
2
-1)
Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) và P(11) ?
Bài tập8.25: Cho đa thức
( )
5 4 3 2
P x x ax bx cx dx e= + + + + +

và cho biết P(-1) = -2 , P(2) = 4 , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 .
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;)
Tính P(38) và P(40) ?
Bài tập8.26: Cho đa thức
( )
4 3 2
P x x ax bx cx d= + + + +
biết P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 . (H
(x)

=1/2 x
2
)
Tính giá trò của a , b , c , d và P(8) , P(2007) ?
Bài tập8.27: Cho đa thức
( )
4 3 2
P x x ax bx cx d= + + + +

biết P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29 .
Tính giá trò của a , b , c , d và P(40) , P(2008) ?
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập8.28 : Cho
4 3 2
( )P x x ax bx cx d= + + + +

có P(0) = 12,P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60
a)Xác đònh các hệ số a, b, c, d của P(
x
)
b)Tính P(66)
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập tổng hợp
21
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Bài tập1: : (Thi khu vực 2001, lớp 8)
Cho đa thức P(x) = 6x
3
– 7x
2

– 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phân tích
P(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x
3
– 5x
2
– 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.
Bài tập2: : (Thi khu vực 2002, lớp 9)
a. Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + f.
Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15.
Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;e=)
Bài tập3: Cho P(x) = x
4
+ mx
3
+ nx
2
+ px + q.

Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. (H
(x)
= 2x +3)
Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13).
Bài tập4: (Thi khu vực 2002, lớp 9)
Cho P(x) = x
4
+ 5x
3
– 4x
2
+ 3x + m và Q(x) = x
4
+ 4x
3
– 3x
2
+ 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có
một nghiệm duy nhất.
Bài tập5: : (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a. Cho P(x) = x
5
+ 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2

– 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x
5
+ ax
4
+bx
3
+ cx
2
+ dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) =
33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). (H
(x)
= 2x
2
+1)
Bài tập6: (Sở SG Cần Thơ 2002)
Cho f(x)= x
3
+ ax
2
+ bx + c.
Biết
1 7 1 3 1 89
f( ) ;f( ) ;f( )
3 108 2 8 5 500
= − = − =
.

Tính giá trị đúng và gần đúng của
2
f( )
3
?
Bài tập7: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III của Bộ GD, 1975)
1. Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a
4
– 6a
3
+ 27a
2
– 54a + 32.
2. Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n
4
– 6n
3
+ 27
2
– 54n + 32 luôn là số
chẵn với mọi số nguyên n.
Bài tập11: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)
Có chính xác đúng 4 số nguyên dương n để
2
(n 1)
n 23
+
+
là một số nguyên.
Hãy tính số lớn nhất.

Bài tập12: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988)
Chia P(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5. Chia P(x)
cho x – 2 được số dư là -4.
22
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x
81
+ ax
57
+ bx
41
+ cx
19
+ Mx + N chia hết cho
(x-1)(x-2)
Bài tập13: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai –Cát Tiên, 2004)
Cho đa thức P(x) = x
10
+ x
8
– 7,589x
4

+ 3,58x
3
+ 65x + m.
a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648
b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)
c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).
x -2,53 4,72149
1
5
34
3
6,15
+
5
7
6 7
P(x)
Bài tập14: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004)
1.Tính
5 4 3
E=7x -12x +3x -5x-7,17
với x= -7,1254
2.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính
5 4 3 3 4
3 2 2 3
7x y-x y +3x y+10xy -9
F=
5x -8x y +y
3.Tìm số dư r của phép chia :
5 4 2

x -6,723x +1,658x -9,134
x-3,281
4.Cho
7 6 5 4 3 2
P(x)=5x +2x -4x +9x -2x +x +10x-m
. Tìm m để P(x) chia hết
cho đa thức x+2
Bài tập15: : (Sở GD Lâm Đồng, 2005)
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)
biết P(x) = 4x
5
+ 12x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
– 5x – m + 7
c. Cho P(x) = ax
5
+ bx
4
+ cx
3
+ dx
2
+ ex + f
biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107.
Tính P(12)?
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ; e=;f=)

Bài tập16: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33.
Biết P(N) = N + 51. Tính N?
Bài tập17: : (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r
1
khi chia P(x) cho x – 4.
c. Tìm số dư r
2
khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài tập18: : (Sở GD Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c.
Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r
1
khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r
2

khi chia P(x) cho 5x +7.
23
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
d. Tìm số dư r
3
khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài tập19: Cho đa thức:
dxcbaxP
xxx
++++= )(
234
.
a) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -2 với a = c = -2007 và b = d = 2008.
b) Với giá trị nào của d thì đa thức P(x)

( x -2 ) với a = 2; b = -3; c = 4.
c) Tìm số dư và hệ số x
2
của phép chia đa thức P(x) cho x - 5 với a = d = -2; b = c=
2.
d) Cho biết:
{
(1) 5 (2) 8 (3) 11 (4) 14P P P P
= = = =
(H
(x)
= 3x +2)
1) Tính P(5) đến P(10).
2) Tính:
( )

2007)6()8(.
2008
1
−−=
PPA
3) Tìm các hệ số a, b, c, d, của đa thức P(x).
(giải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
Bài tập20: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x
4
+ax
3
+ bx
2
+ cx + d.
Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)?
(HDgiải hệ phương trinh bằng MTBT để tìm a=;,b = ;c =; d= ;)
b. Khi chia đa thức 2x
4
+ 8x
3
– 7x
2
+ 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa
thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x
2
trong Q(x)?
Bài tập21: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x
3
là k, k ∈ Z thoả mãn:

f(1999) = 2000; f(2000) = 2001.Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số.
H.Dẫn:
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b).
Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0

1999 2000 0 1
2000 2001 0 1
a b a
a b b
+ + = =−
 
⇔ ⇔
 
+ + = =−
 
⇒ g(x) = f(x) - x - 1
* Tính giá trị của f(x):
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho:
(x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
)
⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x
0
) + x + 1.
Từ đó tính được: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài tập22: Cho đa thức Q(x) = ( 3x
2
+ 2x – 7 )
64
.

24
Trêng THPT T Thôc ViÖt Yªn
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:
Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)
64
= 2
64
.
Để ý rằng : 2
64
=
( )
2
32
2
=
2
4294967296
.
Đặt
42949 = X
;
67296 = Y
Ta có : A =
5 2 2 10 5 2
( X.10 +Y) = X .10 + 2XY.10 + Y

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:

X
2
.10
10
= 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
2XY.10
5
= 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0
0
Y
2
= 4 5 2 8 7 5 1 6 1
6
A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1
6
Vậy A = 18446744073709551616
Bài tập23: Cho x
1000
+ y
1000
= 6,912; x
2000
+ y
2000
= 33,76244
Tính A = x
3000
+ y
3000

Giải:
Đặt a = x
1000
, b = y
1000
. Ta có: a + b = 6,912; a
2
+ b
2
= 33,76244
Khi đó : a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) = (a + b)
3
- 3.
( )
( )
( )
2
2 2
2
a b a b
a b
+ − +
⋅ +
Đáp số : A = 184,9360067

Bài tập24: Cho:
17 16 15
P(x) =ax + bx + cx + . . . + m

biết: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17.
Tính P(18)
Bài tập25: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
a) 3x
3
+ 2,435x
2
+ 4,29x + 0,58 = 0
b) 3x
3
+2,735x
2
+4,49x+0,98 = 0
x = 0,145 x = 0,245
Bài tập26: Tìm nghiệm của phương trình:
a)
2 2
2 5 2 10 29x x x x− + − + + =

b)
2 2
4 5 10 50 5x x x x− + − − + =
x = 0,20 x = 0,25
Bài tập27:
Cho
( )

3 2
2 15 16P x x x x m= − + +
và
( )
3 2
9 81 182Q x x x x n= − + +
25