B®GIÁODỤCVÀĐÀOTẠO
TRƯÍNGĐ Ạ I H O C Q U Y N H Ơ N

PHANLINHHY

MËTSODẠNGPHƯƠNGTRÌNHĐOIVỴI
CÁCHÀMSOHOC

LUŠNVĂNTHẠCSĨPHƯƠNG PHÁP TỐN SƠCAP

BÌNHбNH-NĂM2020


PHANLINHHY

MËTSODẠNGPHƯƠNGTRÌNHĐOIVỴI
CÁCHÀMSOHOC

Chunngành:PhươngphápTốnsơca p Mã
so :8.46.01.13

Ngườihướngdan:PGS.TS NGUYENSUM


Mnclnc
MéAU.........................................................................................1
Lớicm n ........................................................................................4
1 MậTSOPHNG TRèNHHMCBN

5

1.1

Hmsoliờntc...................................................................................5

1.2

Hmsochn,hmsol..................................................................6

1.3

Hmsotuanhonvphntuanhon.............................................8

1.4

Mđtsophngtrỡnhhmcbn....................................................10
1.4.1

PhngtrỡnhhmCauchy..............................................10

1.4.2

PhngtrỡnhhmJensen................................................15

1.4.3

PhngtrỡnhhmJensentrờnon[,].......................17

2 PHNGTRèNHHMOIVẻICCHMSOHOC

20


2.1

Khỏiniằmphngtrỡnhsaiphõn................................................20

2.2

Hmnhõntớnh........................................................................24

2.3

Phngtrỡnhsaiphõntuyentớnh.............................................26
2.3.1

Mđtsokhỏiniằmvketqu cbn....................................26

2.3.2

Lýthuyetvenghiằm...........................................................27
i

ii


2.3.3
2.4

Giảiphươngtrìnhsaiphântuyentính................................32

M®ts o b à i t o á n á p d ụ n g ................................................................39


Ketl u ª n ......................................................................................49
Tàili»uthamkhảo........................................................................50


MÐĐAU
1. Lídochonđetài
M®ttrongnhǎnglĩnhvựcnghiêncáuvớinhieuketquảđep,thúvịvàcó nhieu áng
dụng trong tốn hoc là các bài tốn ve phương trình hàm.Chȁng hạn, phương trình hàm
Cauchy là phương trình hàm cơ bản và đơngiản nhat, nó có nhieu ỏng
dng

trong

hỡnh

hoc,

so

hoc,

xỏc

suat

thongkờ,lýthuyetso,ỏngdngtrongvêtlývcúcỏngdngtrongmđtsovan
evekthuêt,kinhte,tichớnh...
Cỏc hng nghiờn cỏu ve phng trỡnh hm ó thu hút m®t đ®i
ngũđơng đảo các nhà tốn hoc trên the giới quan tâm nghiên cáu đoi với

cáclớp phương trình hàm mà các ȁn hàm là các hàm xác định trên các
khơnggiantràutượng.Đoiv ớicác lớ p phương trìnhh àmsơcap,các hà
mcantìm các hàm so thực ho°c phác, hi»n nay chưa có m®t tài li»u nào
trìnhbàym® tcác h b a o q tv e l ýt hu y etvà án gdụn g củ a nó.Do đó, các đ
e tàivenhǎnglớpphươngtrìnhhàmcụtheratđadạng,phongphúvàvanmangtínhthờisự.
M®t trong nhǎng lớp phương trình hàm thường được sả dụng trong
cáckìthihocsinhgiỏi,Olympictốnhocchohocsinhvàsinhviênđạiho
clàlớpcácphươngtrìnhhàmđoivớicáchàmsohoc.Vi»cnghiêncáuvà

1


2

tìm hieu lớp phương trình hàm này mang lại nhieu li ớch trong viằc
gingdytrunghocphthụngvboidnghocsinhgiicỏccap.
2. Mncti ờu nghiờn cf ớu
Mcớchcaluênvnltrỡnhby,hằthonghúacỏckienthỏcvemđtlp phng trỡnh
hmoivicỏchmsohoc.Haynúicỏchkhỏc,trỡnhbycỏcketquvelpphngtrỡnhhmoivicỏchmso
xỏcnhtrờntêphpsotnhiờnhocrđnghnltrờnmđttêphprirc.
3. oitủngvphnvinghiờncfớu
oitngnghiờncỏuchớnhcaetillpcỏcphngtrỡnhhmcxỏc nh trờn
mđttêphp

ri

rc

v


mđt

so

dng

toỏn

s

cap

cú

liờn

quanencỏcdngphngtrỡnhny.
4. Phngphỏpnghiờncfớu
Trc het chỳng tụi nghiờn cỏu m®t so tài li»u ve phương trình
hàm,trình bày m®t cách h» thong cơ sở lý thuyet và các bài toán áng
dụng củaphương trình hàm đoi với các hàm so hoc. Trỡnh by mđt so
phng phỏpegiidngphngtrỡnhny.
5. Nởidungcaluênvn
Nđidungcaluênvncchiathnhhaichng,cthe:
Chng1:Kienthỏcchunb.


Trìnhb à y c á c k i e n t h á c c h u ȁ n b ị v e h à m v à p h ư ơ n g t r ì n h h à
m n ó i chung.
Cáck e t q u ả t r o n g c h ư ơ n g đ ư ợ c t h a m k h ả o t à c á c t à i l i » u [ 2 ] ,

[ 3 ] , [ 4 ] , [5],[7].
Chương2 :Phươngtrìnhhàmđoivớicáchàmsohoc.
Trình bày lý thuyet và các bài tốn ve phương trình hàm đoi với
cáchàm so hoc như phương trình sai phân, các tính chat c®ng tính và
nhântínhcủacáchàmsohoc,phươngtrìnhsaiphântuyentính.
Các ket quả trong chương này được tham khảo tà các tài li»u [1], [2],
[4],[6],[8].


LÍICẢM ƠN
Đe hồn thành luªn văn, trước het tơi xin được gởi lời cảm ơn sâu
sacđen PGS.TS.Nguyen Sum đã dành thời gian hướng dan, đánh giá, chỉ
bảo,tªn tình giúp đơ trong suot quá trình xây dựng đe tài cũng như hồn
thànhluªnv ă n . Q u a đ â y , t ô i c ũ n g x i n g ở i đ e n B a n g i á m h i » u t r ư ờ n g Đ ạ
i h o c Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau đại hoc, q thay cơ khoa Tốn và Thongkê, cũng như q
thay cơ tham gia giảng dạy khóa cao hoc Tốn 2018 -2020 lời cảm ơn sâu
sac ve công lao dạy do trong suot quá trỡnh giỏo dc,o to ca nh
trng.

ong

thi,

tụi

xin

gi

li


cm

n

ti

têp

the

lpCaohocToỏnkhúaK21trngihocQuyNhn,óđngviờn,giỳptụitron
gquỏtrỡnhhoctêpvhonthnhluênvn.
Tuy ó cú nhieu co gang nhưng do thời gian và khả năng còn hạn
hepnên các van đe trong luªn văn chưa được trình bày sâu sac và khơng
thetránh khỏi sai sót. Mong nhªn được sự góp ý xây dựng của q thay cơ
vàcácbạn.

4


Chương1

MËTS O P H Ư Ơ N G T R Ì N H H À M CƠ
BẢN
Trong chương này, chúng tơi sě giới thi»u định nghĩa và m®t vài
tínhchat, định lý quan trong, can thiet ve hàm và phương trình hàm nói
chung.Cácketquảnàyđượcthamkhảotàcáctàili»u[2],[3],[4],[5],[7].
1.1


Hàms o l i ê n t n c

Địnhnghĩa1.1.1.G i ả s ả h à m s o f xácđ ị n h t r ê n k h o ả n g ( a,b)⊂R
vàx 0∈( a,b).T a n ó i f (x)l à h à m l i ê n t ụ c t ạ i x 0n e u v ớ i m o i d ã y s o
{xn }∞n=1 ,xn∈(a,b)saochol xn=x0tađeucól i m
f(xn)=f(x0).
n→∞
n→∞
im
Địnhnghĩanàytươngđươngvớiđịnhnghĩadướiđây:
Địnhn g h ĩ a 1 . 1 . 2 . H à m f (x)xá c đ ị n h t rê n ( a,b)đư ợ c g o i l à l i ê n tụ c t ạ i
x0∈(a,b)neu
li f(x)=f(x0).
m

x→x0

Hàmsokhôngliêntụctạiđiemx 0được goilàgiánđoạntạiđiemx 0.
Địnhnghĩa1.1.3.GiảsảhàmsofxácđịnhtrêntªphợpK,trongđó
5


6

KlmđtkhonghochpcanhieukhonghocR.Tanúihmsof
liờntctrờnKn e u núliờntctimoiiemthuđctêphpú.
nhn g h a 1 . 1 . 4 . H à m s o f xácđ ị n h t r ê n đ o ạ n [ a,b]đ ư ợ c g o i l à l i
ê n tụctrênđoạn[a,b]neunóliêntụctrênkhoảng(a,b)và
li f(x)=f(a),l i
m m

+

x→a

f(x)=f(b).

x→b−

Ð mục trên, ta đã định nghĩa được hàm so liên tục. Tuy nhiên, vi»c
sảdụngc á c đ ịn h n g h ĩ a đ ó đ e x á c đ ị n hh à m s o l i ê n t ụ c t h ì k h ô n gd e d à n
g . Dovªy,ngườitacháng minh đượcm®tsotínhchat ra thǎch,giúpt
axácđịnhnhanhm®thàmsoliêntục.
1) Các hàm so sơ cap cơ bản như: hàm đa thác, hàm lũy thàa, hàm
cănthác, hàm lượng giác, hàm so mũ, hàm logarit,.. . là các hàm so liên
tụctrênmienxácđịnhcủachúng.
2) Giảsảf(x),g(x)làcáchàmliêntụctrênD∈R.Khiđó(f+g)(x)=
f(x)+g(x),(f◦ g)(x)=f[g(x)]l à c á c h à m l i ê n t ụ c t r ê n D .
3) Giảsảg(x)/=0,∀x∈R.Khiđó f (x)
Ngồira,tacịncótínhchatsau.
1.2

g(x
)

cũnglàhàmliêntục.

Hàmsochȁn,hàmsolẻ

Địnhn g h ĩ a 1 . 2 . 1 . X é t h à m s o f (x)v ớ i t ª p x á c đ ị n h D (f)⊂ Rv à t ª p
giátrịR(f)⊂R.Khiđó:

a) f(x)đượcg oi l à h à m s o c h ȁn t r ên M ,M ⊂ D(f)
(goita t l à h à m chȁntrênM)neu
∀x∈M⇒ −x∈Mv à f(−x)=f(x),∀x∈M.


b) f(x)đ ư ợ c g o i l à h à m s o l ẻ t r ê n M ,M ⊂ D(f)
( g o i t a t l à h à m l ẻ trênM)neu
∀x∈M⇒ −x∈Mv à f(−x)=−f(x),∀x∈M.
Vídn1.2.2.Tìmtatcảcáchàmsof:R→Rthỏamãn
f(−x) =f(x),∀x∈R.
Lờigiải.Phươngtrình(1.1)tươngđươngvớiphươngtrình
1
f(x)= [f(x)+f(−x)],∀x∈R.
2
Xéthàmso
1
[g(x)+g(−x)],∀x∈R.
f(x)
2
=

(1.1)

(1.2)

(1.3)

trongđóglàhàmsobatkỳtrênR.Khiđódethayhàmfthỏamãn(1.1).Ngượcl ạ i , n e u
h à m f thỏam ã n ( 1 . 1 ) t h ì t a c ó ( 1 . 2 ) , c h o n g (x)= f (x),suyrafcúdng
(1.3).

Vêyhmsocantỡmcúdng
f(x)=

1
2

[g(x)+g(x)],xR,

trongúglmđthmsotựyýtrờnR.
Vớdn1.2.3.Tỡmtatccỏchmsof:RRthamón
f(x) =f(x),xR.
Ligii.Phngtrỡnh(1.1)tngngviphngtrỡnh
1
f(x)= [f(x)f(x)],xR.
2
Xộthmso
1
[g(x)g(x)],xR.
f(x)
2
=

(1.4)

(1.5)

(1.6)


trongúglhmsobatktrờnR.Khiúdethayhmfthamón(1.4).Ngcli,t(1.5

)neuhmfthamón(1.4)thỡfcúdng(1.6).
Vêyhmsocantỡmcúdng
f(x)=

1
2

[g(x)g(x)],xR,

trongúgl mđthmsobatktrờnR.
1.3

Hmsotuanhonvphntuanhon

nhn g h a 1 . 3 . 1 . H à m s o f(x)đượcg oi làh àm t u a n h o àn (c®n g tín
h )chukìa,(a>0)trênMn e u M⊂ D(f)và

∀x∈M⇒x±a∈M,


f(x+a)=f(x),∀x∈M.


Sot h ự c T > 0 n h ỏ n h a t ( n e u c ó ) t h ỏ a m ã n f (x+T)= f (x),∀x∈ M
đượcgoilàchukỳcơsởcủahàmsotuanhoànf(x).
Địnhn g h ĩ a 1 . 3 . 2 . H à m so f(x)đượcgoilàhàm phảntuanho àn (c®n
gtính)chukìb,(b>0)trênMn e u M⊂ D(f)và
∀x∈M⇒ x±b∈M,



f(x+b)=−f(x),∀x∈M.


Víd n 1 . 3 . 3 ( I M O 1968).Chosothực a.Giảsảhàmf: R →Rthỏamãn
1 +√
f(x+a)=
f(x)−(f(x))2,∀x∈R.
2
(a) Chángminhrangf(x)làhàmtuanhồn.
(b) Layvídụhàmfvớia=1.


Lờigiải.(a)Vì

1
f(x+a)≥

vớimoix∈Rvà
f(x+a)(1−f(x+a))=

1−
4

2

1
(f(x)−(f(x))2)=( −f(x))2,
2

nên

1 +√
[f(x+2a)=f(x+a+a)=
f(x+a)−(f(x+a))2
2
1 +√
=
f(x+a)(1−f(x+a))
2
1 + 1−
=
r(
f(x))2
2
2
1
1
=
(f(x)− )=f(x).
2+
2
Dođóflàhàmtuanhồn,với2a>0làchukỳcơsở.
(b)f (x)= 1 k h i 2 n≤ x< 2 n+1v ớ i s o n g u y ê n n ,v à f (x)= 1
2n+1≤x<2n+2vớisongunn.
Vídn1.3.4.Tìmtatcảcáchàmsof:R→Rthỏamãn
f(x+a)−f(x)=h(x),∀x∈R,
(1.7)trongđóhlàhàmphảntuanhồnc®ngtínhchukìatrênR.
Lờigiải.Vìhlàhàmphảntuanhồnc®ngtínhchukìatrênR.nên
1
h(x)=−h(x+a)= [h(x)−h(x+a)].
2

Khiđó(1.7)trởthành
f(x+a)−f(x)= 1
2
⇔f(x+a)+ h(x+a)
2

[h(x)−h(x+a)]
=f(x)
+

h(x
)
2

2

khi


⇔F(x+a)=F(x)
1.4

vớiF (x)=f(x)+

h(x)
.
2

Mëtsophươngtrìnhhàmcơbản


1.4.1 Phươngt r ì n h h à m C a u c h y

Bàitốn1.4.1.(PTHCauchy)Tìmtatcảcáchàmsof(x)liêntụctrên
Rthỏamãn
f(x+y)=f(x)+f(y),∀x,y∈R.

(1.8)

Lờig i ả i . T à ( 1 . 8 ) v ớ i x = y = 0 t h ì f (0)= 0 ,f(−x)= − f(x).V ớ i
y=xthì
f(2x)=2f(x),∀x∈R.
(1.9)Tagiảsảvớikn g u y ê n dương,f(kx)=kf(x),∀x∈R.Khiđó,
f((k+1)x)=f(kx+x)
=f(kx)+f(x)
=kf(x)+f(x)
=(k+1)f(x),∀x∈R,∀k∈N.
Dođó,theongunlíquynạptacó
f(nx)=nf(x),∀x∈R,∀n∈N.
Kethợpvớitínhchatf(−x)=−f(x),tađược
f(mx)=mf(x),∀x∈R,∀m∈Z.
Tà(1.9)tacó
x
x
x
f(x)=2f( )=2 2f( )=...=2 nf( ).
2
22
2n

(1.10)



Tàđósuyra
x

1

f( n
=2 )

2nf

(x),∀x∈R,∀∈N.

(1.11)

Kethợp(1.10)và(1.11)tađược
f

m=m
2n

f(1),∀m∈Z,n∈N+.
2n

Vìf(x)làhàmliêntụcnên
f(x) =ax,∀x∈R,a=f(1).
Thảlại,tathayhàmf(x)=axthỏamãnphươngtrình(1.8).
Ket luªn
f(x)=ax,vớia ∈Rt ù y ý

Nhªn xét 1.4.2.1) Tà đieu ki»n (1.8) ta thay chỉ can giả thietf(x)lhm
so

liờn

tc

ti

mđt

iemxoR

cho

trc

l

.

hmf(x)thamón(1.8)sliờntctrờnR.
Thêtvêy,theogiithietthỡ
li
m f(x)=f(x0)

xx0

vvimoix 1Rtaeucú
f(x)=f(xx1+x0)+f(x1)f(x0),xR.

Túsuyra
li f(x)=l i
m m
xx1

f(xx1+x0)+f(x1)f(x0)

xx1

=f(x0)+f(x1)f(x0)
=f(x1).

Khi

ú,


2)K e t q u ả c ủ a B à i t o á n 1 . 4 . 1 s ě k h ô n g t h a y đ ő i n e u t a t h a y b a n
g
[α,+∞)ho°c(−∞,β]tùyý.
Bàit o á n 1 . 4 . 3 ( P h ư ơ n g t r ì n h h à m C a u c h y m ũ ) .X á c đ ị n h c á c h à m s
o
f(x)l i ê n t ụ c t r ê n R v à th ỏ a m ã n đ i e u k i » n
f(x+y)=f(x)f(y),∀x,y∈R.

(1.12)

Lờigiải.Tathayf(x)≡0làm®tnghi»mcủa(1.12).
Xétt rườ n g h ợ p f (x)/≡0.Kh i đ ó t on t ạ i x 0∈Rs a o ch o f (x0)
Theo(1.12)thì

f(x0)=f(x+(x0−x))=f(x)f(x0−x)/=0,∀x∈R.
Suyraf(x)/=0,∀x∈Rvà
x +x
x
f(x)=f
=hf i2>0,∀x∈R.
2 2
2
Đ°tlnf(x)=g(x).Khiđóg(x)liêntụctrênRvà
g(x+y)=lnf(x+y)
=ln[f(x)f(y)]
=lnf(x)+lnf(y)
=g(x)+g(y),∀x,y∈ R.
TheoBàitốn1.4.1thìg(x)=bx,b∈Rtù.Vªy
f(x)=ebx=αx,vớiα>0tù.
Ket luªn
f(x)≡0h o ° c f (x)=ax,(a>0).

0.


Bàit o á n 1 . 4 . 4 . X á c đ ị n h c á c h à m f (x)l i ê n t ụ c t r ê n R \
{0}t h ỏ a m ã n đieuki»n
f(xy)=f(x)+f(y),∀x,y∈R\{0}.

(1.13)

Lờig iả i . Thayx=t,y=tvàophươngtrình(1.13)tađược
f(t2)=2f(t).
Tươngtự, th ay x=−t,y=−tv ào p hư ơn g trình (1 . 1 3) t ađ ượ c

f(t2)=2f(−t).
Dođó,
2f(t)=2f(−t),t∈R\{0}.
Xétt rư ờn g h ợp x >0,y> 0.Đ ° t x =e svày = e t.K h i đ ó s =lnxv à
t=lny.
Vìx,y∈R+

nên

s,t∈R.Thayx=e svày=e tvào(1.13)tađược
f(es+t)=f(es)+f(et).

Đ°t
g(s)=f(es).
Tàphươngtrìnhtrêntacó
g(s+t)=g(s)+g(t),
vớimois,t∈R.Tà(1.14)tacó
f(x)=clnx,∀x∈R+.

(1.14)


Vìf(t2)=2f(−t)nênnghi»mliêntụctőngqtcủaphươngtrìnhhàm(1.13)là
f(x)=cln|x|,∀x∈R\{0}.
Bàitốn1.4.5.Xác địnhcáchàmf(x)liêntụctrênR\
{0}vàthỏamãnđieuki»n
f(xy)=f(x)f(y),∀x,y∈R\{0}.

(1.15)


Lờigiải.Thayy=1vào(1.15)tađược
f(x)(1−f(1))=0,∀x∈R.

(1.16)

Neuf(1)/=1thìtà(1.16)tasuyraf(x)≡0vànghi»mnàythỏamãn(1.15).
Xétf(1)=1.Khiđó
1=
1,
f(1)=fx
f(x)f ∀x∈R\{0}.
x
x
Vªyf(x)/=0vớimoix∈R\{0}.
Dođó,f(x2)=f(x)f(x)=[f(x)]2>0,x∈R\{0}.
+Xétx,y∈R+.
Đ°tx=eu,y=e vvà f(et)=g(t).Khiđótacó
g(u+v)=g(u)g(v),∀u,v∈ R.

(1.17)TheoBàitốn1.4.4thì(1.17)⇔g(t)=a t,∀t∈R(a>0t ù y ý).
Dođ ó f (x)=f(eu)=g(u)=a u=a lnx=(elna)lnx=x lna=x α,∀x∈
Rt r o n g đ ó α=lna.
+Xétx,y∈R−.


Viy=x,t(1.15)vtheoketqutrờntacú
[f(x)]2=f(x2)=(x2)=(|x|)2,xR,Rt ự y ý.
Dof(x)lhmliờntctrờnR n ờ n

|x|




f(x)=

,
+

,,
xR
|x| xR .

Thlicỏcketqutacúketluênsau.
Nghiằmca(1.15)lmđttrongcỏchmsosau:1)f(x)
0,xR\{0}.
2)f(x)=|x|,xR\{0},Rtựyý.


|x|
3)f(x)= ,
+
xR β,,
−|x| ∀x∈R− .
1.4.2 Phươngtrìnhhàm Jensen

Địnhn g h ĩ a 1 . 4 . 6 . M®thàmsof:R→RđượcgoilàhàmsoJensenneunó
thỏamãn
x

+y

(x)+f(y)
2 ,∀x,y∈R.
f 2 =f
Địnhl ý 1.4.7.Ng hi» mtőngquátliên tựccủaphươngtrìnhhàm Jensen
x
f

+y
(x)+f(y)
=
f
2
2,

vớim o i x , y∈ Rl à
f(x)=ax+b,
vớia , bl à h a n g s o t ù y ý .

(1.18)


Chúngminh.Layy=0,tacó
x f (x)+a
f =
.
2
2

2


(1.19)Đ°tb=f(0),thay(1.19)vào(1.18),tađược
f(x+y)+b
2

=

f(x)+f(y)
2

,

hay
f(x+y)+b=f(x)+f(y)
⇔f(x+y)−b=[f(x)−b]+[f(y)−b].
Đ°tg(x)=f(x)−b,tacóphươngtrình
g(x+y)=g(x)+g(y).
Theok e t q u ả v e n g h i » m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h h à m C a u c h y c ® n g t í n h
t a được
g(x)=ax,
suyra
f(x)=ax+b.
Địnhlýđãđượcchángminh.
Địnhl ý 1.4.8.Nghi»mtőngquátliêntựccủaphươngtrìnhhàm

x
f

+x2+...xn f (x1)+f(x2)+...+f(xn)
n =
n

,

1

vớimo i x 1,x2,...,xn∈Rl à f (x)=ax+b,v ới a , bl à h a n g so t ù y ý .

(1.20)