B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯÍNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NËI
——————– * ———————

DƯƠNG TRONG LUY›N

VE MËT SO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ
HYPERBOLIC PHI TUYEN SUY BIEN

LUŠN ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC

HÀ NËI - 2017


B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯÍNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NËI
——————– * ———————

DƯƠNG TRONG LUY›N

VE MËT SO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ
HYPERBOLIC PHI TUYEN SUY BIEN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã so: 62.46.01.03

LUŠN ÁN TIEN SĨ TỐN HOC

Ngưíi hưỵng dȁn khoa hoc: GS.TSKH. Nguyen Minh Trí

HÀ NËI - 2017

LÍI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cáu của tôi. Các ket quả
này được làm dưới sự hướng dan của GS. TSKH. Nguyen Minh Trí.
Các ket quả trong luªn án viet chung với thay hướng dan đeu đã được
sự nhat trí của thay hướng dan khi đưa vào luªn án. Các ket quả
trong luªn án là trung thực và chưa tàng được công bo trong các cơng
trình của các tác giả khác.

Nghiên cúu sinh: Dương Trong Luy»n

1


LÍI CẢM ƠN
Luªn án được thực hi»n và hồn thành tại B® mơn Giải tích, Khoa
Tốn - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, dưới sự hướng dan của
GS. TSKH. Nguyen Minh Trí. Thay đã dan dat tác giả làm quen với
nghiên cáu khoa hoc khi tác giả còn là hoc viên cao hoc. Ngoài nhǎng chỉ
dan ve m°t khoa hoc sự đ®ng viên và lịng tin tưởng của thay dành cho
tác giả ln là đ®ng lực giúp tác giả tin tưởng và say mê trong nghiên
cáu khoa hoc. Với tam lòng tri ân sâu sac, tác giả xin bày tỏ lòng biet
ơn chân thành và sâu sac nhat đoi vời thay.
Tác giả xin trân trong gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi»u, Phòng sau
Đại hoc, Ban Chủ nhi»m Khoa Toán - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm
Hà N®i, đ°c bi»t là các thay giáo, cơ giáo trong B® mơn Giải tích, Khoa
Tốn - Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, các thay giáo, cơ giáo
trong Phịng Phương trình vi phân, Vi»n Tốn hoc, đã ln giúp ,
đng viằn, to mụi trng hoc têp nghiờn cỏu thuên lợi cho tác giả.

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hi»u, các anh chị em Khoa Tự nhiên,
Trường Đại hoc Hoa Lư đã tạo moi đieu ki»n thuªn lợi giúp đơ tác
giả trong q trình hoc tªp nghiên cáu và hồn thành luªn án.
Tác giả xin trân trong cảm ơn quy NAFOSTED đã tài trợ cho tác
giả trong suot quá trình hoc nghiên cáu sinh.
Lời cảm ơn sau cùng, xin dành cho gia đình của tác giả, nhǎng
người đã dành cho tác giả tình yêu thương tron ven, tàng ngày chia sẻ,
đ®ng viên tác giả vượt qua moi khó khăn đe hồn thành luªn án.

2


Mnc lnc
Trang
Líi cam đoan

1

Líi cảm ơn

2

Mnc lnc

3

Mët so quy ưỵc và kí hi»u

5


Mð đau

6

Tong quan

10

Chương1. MËT SO KIEN THỨC CHUAN B±

17

1.1

1.2

Tốn tả ∆γ và m®t so khơng gian hàm..................................17
1.1.1

Tốn tả .............................................................17

1.1.2

Mđt so khụng gian hm................................................19

1.1.3

Mđt so tớnh chat............................................................20

Têp hỳt ton cục và tính chat..............................................23

1.2.1

M®t so định nghĩa.............................................................23

1.2.2

M®t so tính chat............................................................26

Chương2. SỰ TON TẠI NGHI›M VÀ TÍNH CHÍNH QUY
CỦA NGHI›M CỦA BI TON BIấN OI VẻI
PHNG TRèNH ELLIPTIC SUY BIEN
2.1

28

Mđt so định lí ve sự ton tại nghi»m yeu..................................28
2.1.1

Định lí ve sự ton tại nghi»m yeu..................................29

2.1.2

Định lí ve sự ton tại nghi»m yeu không âm.................41
3


2.2

Tính chính quy của nghi»m của bài tốn biên elliptic suy
bien.............................................................................................44


Chương3. TŠP HÚT TỒN CỤC ĐOI VỴI

PHƯƠNG

TRÌNH HYPERBOLIC TAT DAN CHỨA TOÁN TỬ
ELLIPTIC SUY BIEN MẠNH TRONG MIEN B± CHN 52
3.1

3.2
3.3

Sự ton tại và duy nhat của nghi»m tích phân........................53
3.1.1

Đ°t bài tốn................................................................53

3.1.2

Sự ton tại và duy nhat của nghi»m tích phân............54

Sự ton tại tªp hút tồn cục trong S2

1

2

(k ,k

(Ω) × L2(Ω) . . 61


Đánh giá so chieu fractal của têp hỳt ton cc...................69

Chng4. TP HT TON CC OI VẻI

PHNG

TRèNH HYPERBOLIC TAT DAN CHỨA TỐN TỬ
GRUSHIN TRÊN TỒN KHƠNG GIAN
4.1

4.2

82

Sự ton tại duy nhat của nghi»m tích phân.............................83
4.1.1

Đ°t bài tốn................................................................83

4.1.2

Sự ton tại và duy nhat của nghi»m tích phân............84

Sự ton ti têp hỳt ton cc trong S2(RN ) ì L2(RN ).........86
k

Ket luªn và kien nghị

111


Các ket quả đạt được.....................................................................111
Kien nghị m®t so van đe nghiên cáu tiep theo................................111
Danh mnc cơng trình khoa hoc của tác giả liên quan đen
luªn án

113

Tài li»u tham khảo

113
4


MậT SO QUY ẻC V K HIU
Trong ton bđ luên án, ta thong nhat m®t so kí hi»u như sau:
RN
khơng gian vectơ thực N chieu.
R+

tªp các so thực khơng âm.

R ∗+

tªp các so thực dương.

|x|

chuȁn Euclid của phan tả x trong không gian RN .


Ck(Ω)

không gian các hàm khả vi liên tục đen cap k trong mien Ω.

C0∞(Ω) không gian các hàm khả vi vơ hạn có giá compact trong Ω.
Lp(Ω)

khơng gian các hàm lũy thàa bªc p khả tích Lebesgue
trong mien Ω.

H′

không gian đoi ngau của không gian Banach H.

⟨·, ·⟩

đoi ngau giǎa H và H ′ .

(·, ·)H

tích vơ hướng trong khơng gian H.

Id

ánh xạ đong nhat.

~

h®i tụ yeu.


‹→

phép nhúng liên tục.

‹→‹→

phép nhúng compact.

Vol(Ω) đ® đo Lebesgue của tªp Ω trong khơng gian RN .
∆x
RN

Tốn tả Laplace theo bien x trong

∆y
RN

Toán tả Laplace theo bien y trong

: ∆x
=
1

5

: ∆y
=
2

N1


Σ ∂2

∂i
i
=
Σ
1

.

N2
j
=
1

∂2
∂j

.


∆z
RN

Toán tả Laplace theo bien z trong

6

: ∆z

=
3

N3

Σ∂2

l
=
1

∂l

.


MÐ ĐAU
1. Lí do chon đe tài
Lí thuyet phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cáu đau
tiên trong các cơng trình của J. D’Alembert (1717-1783), L. Euler (17071783), D. Bernoulli (1700-1782), J. Lagrange (1736-1813), P. Laplace
(1749-1827), S. Poisson (1781-1840) và J. Fourier (1768-1830), như là
m®t cơng cụ chính đe mơ tả cơ hoc cũng như mơ hình giải tích của Vªt
lí. Vào giǎa the k XIX với sự xuat hi»n các cơng trình của Riemann,
lí thuyet phương trình vi phân đạo hàm riêng đã cháng tỏ là m®t cơng
cụ thiet yeu của nhieu ngành tốn hoc. Cuoi the k XIX, H. Poincaré
đã chỉ ra moi quan h» bi»n cháng giǎa lí thuyet phương trình vi phân
đạo hàm riêng và các ngành toán hoc khác. Sang the k XX, lí thuyet
phương trình vi phân đạo hàm riêng phát trien vơ cùng mạnh mě nhờ
có cơng cụ giải tích hàm, đ°c bi»t là tà khi xuat hi»n lí thuyet hàm suy
r®ng do S. L. Sobolev và L. Schwartz xây dựng.

Nghiên cáu các phương trình, h» phương trình elliptic tőng quát và
phương trình hyperbolic đã đóng vai trị rat quan trong trong lí thuyet
phương trình vi phân. Hi»n nay các ket quả theo hướng này đã tương
đoi hoàn chỉnh. Cùng với sự phát trien khơng ngàng của tốn hoc cũng
như khoa hoc cơng ngh» nhieu bài tốn liên quan tới đ® trơn của nghi»m
của các phương trình, h» phương trình khơng elliptic và phương trình
hyperbolic tat dan suy bien đã xuat hi»n. Có m®t so lớp phương trình,
trong đó có lớp phương trình elliptic suy bien và phương trình hyperbolic
tat dan suy bien, ở m®t khía cạnh nào đó cũng có m®t so tính chat
giong với phương trình elliptic và phương trình hyperbolic tat dan cháa
tốn tả ∆. Tuy nhiên các ket quả đạt được cho các phương trình
elliptic và
7


hyperbolic tat dan suy bien van cịn ít, chưa đay đủ. Với các lí do nêu
trên chúng tơi đã chon đe tài nghiên cáu cho luªn án của mình là “Ve
mët so phương trình elliptic và hyperbolic phi tuyen suy bien.
2. Mnc ớch nghiờn cfớu
ã Nđi dung 1 : Nghiờn cáu bài toán biên elliptic suy bien cháa
toán tả ∆γ với các n®i dung sau:
- Nghiên cáu sự ton tại nghi»m yeu của bài tốn;
- Tính chính quy của nghi»m yeu.
ã Nđi dung 2 : Nghiờn cỏu phng trỡnh hyperbolic tat dan cháa toán
tả elliptic suy bien mạnh trong mien bị ch°n với các n®i dung sau:
- Nghiên cáu sự ton tại và duy nhat nghi»m tích phân;
- Nghiên cáu sự ton tại tªp hút tồn cục;
- Đánh giá so chieu fractal ca têp hỳt ton cc.
ã Nđi dung 3 : Nghiên cáu phương trình hyperbolic tat dan cháa tốn
tả Grushin trong tồn khơng gian với các n®i dung sau:

- Nghiên cáu sự ton tại và duy nhat nghi»m tích phân;
- Nghiên cáu sự ton tại tªp hút tồn cục.
3. Đoi tưđng và phạm vi nghiên cfíu
Đoi tượng nghiên cáu của luªn án là xét bài tốn biên và bài tốn
biên giá trị ban đau có cháa tốn tả elliptic suy bien
∂
∆γ := Σ
N
∂xj
j=1

γ2
j

∂
∂xj

.

4. Phương pháp nghiên cfíu
• Đe nghiên cáu sự ton tại nghi»m yeu của bài toán chúng tôi sả
dụng phương pháp bien phân.
8


• Đe nghiên cáu tính chính quy của nghi»m chúng tơi sả dụng định
lí nhúng kieu Sobolev và m®t so bat đȁng thác.
• Đe nghiên cáu sự ton tại duy nhat của nghi»m tích phân chúng tơi
sả dụng phương pháp nảa nhóm (xem [53, 59]).
• Đe nghiên cáu dáng đi»u ti»m cªn của nghi»m, chúng tơi sả dụng

các cơng cụ và phương pháp của lí thuyet h» đ®ng lực vơ hạn chieu
(xem [13,14,21,22,52,58,62,74]), nói riêng là phương pháp phương trình
năng lượng và phương pháp đánh giá phan đi của nghi»m.
• Đe cháng minh so chieu fractal của tªp hút tồn cục là bị ch°n
chúng tôi sả dụng phương pháp l− quy đạo (xem [51, 55]).
5. Các ket quả đạt đưñc và j nghĩa của đe tài
Luªn án đã đạt được nhǎng ket quả chính sau đây:
• Đoi với bài tốn biên elliptic suy bien đưa ra và cháng minh được
sự ton tại nghi»m yeu của bài tốn với m®t so đieu ki»n của so hạng phi
tuyen.Và cũng cháng minh được tính chính quy của nghi»m. Đây là n®i
dung của Chương 2.
• Đoi với phương trình hyperbolic tat dan cháa tốn tả elliptic suy
bien mạnh trong mien bị ch°n: Cháng minh được sự ton tại và duy nhat
của nghi»m tích phân. Cháng minh được sự ton tại của tªp hút tồn
cục và đánh giá được so chieu fractal của tªp hút. õy l nđi dung ca
Chng 3.
ã oi vi phng trỡnh hyperbolic tat dan cháa tốn tả Grushin
trong tồn khơng gian: Cháng minh được sự ton tại và duy nhat của
nghi»m tích phân. Cháng minh được sự ton tại của tªp hút tồn cục.
Đây là n®i dung của Chương 4.
Các ket quả của luªn án là mới, có ý nghĩa khoa hoc, và góp phan

9


vào vi»c hoàn thi»n vi»c nghiên cáu sự ton tại của nghi»m yeu, tính
chính quy của nghi»m của bài tốn biên elliptic suy bien, và dáng đi»u
ti»m cªn nghi»m của các phương trình hyperbolic tat dan cháa tốn tả
elliptic suy bien.
Các ket quả chính của luªn án đã được cơng bo trong 04 bài báo

trên các tạp chí chuyên ngành quoc te, và đã được báo cáo tại
• Xêmina của B® mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại hoc
S phm H Nđi;
ã Xờmina ca phũng Phng trỡnh vi phân, Vi»n Tốn hoc, Vi»n Hàn
lâm Khoa hoc và Cơng nghằ Viằt Nam;
ã Hđi ngh quoc te lan thỏ V ve nghiên cáu và giáo dục trong Toán
hoc, Indonesia, 2012.
6. Cau trúc luªn án
Ngồi các phan mở đau, tőng quan, ket luªn, kien nghị, danh mục
các cơng trình được cơng bo và danh mục tài li»u tham khảo, luªn án
bao gom 4 chương:
- Chương 1: M®t so kien thúc chuȁn bà.
- Chương 2: Sự ton tại nghi»m và tính chính quy của nghi»m của bài
tốn biên đoi với phương trình elliptic suy bien.
- Chương 3: T¾p hút tồn cực đoi với phương trình hyperbolic tat dan
chúa tốn tủ elliptic suy bien mạnh trong mien bà ch¾n.
- Chương 4: T¾p hút tồn cực đoi với phương trình hyperbolic tat dan
chúa tốn tủ Grushin trên tồn khơng gian.

10


TONG QUAN
Các nghiên cáu ve phương trình elliptic đã được đe cªp khá nhieu
trong các cơng trình [17, 29, 38, 39, 67] và các trích dan thêm ở
trong đó. Các ket quả đạt được đoi với phương trình elliptic, h»
phương trình elliptic, phương trình parabolic, và phương trình
hyperbolic tat dan là tương đoi tron ven.
Năm 1970, nhà toán hoc người Nga V. V. Grushin đã đưa ra toán tả
Gk = ∆x + |x|2k∆y với (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1+N2 , N1, N2 ≥ 1, k ∈ Z+

trong [32], tác giả V. V. Grushin đã đạt được các ket quả sau:
• Neu k = 0 thì G0 là elliptic trong mien Ω.
• Neu k > 0 thì Gk khơng là elliptic trong mien Ω ⊂ RN1+N2 có
giao khác rong với m°t x = 0.
Đây là ví dụ đien hình cho lớp tốn tả hypoelliptic, nhưng khơng
là elliptic. Nhà tốn hoc V. V. Grushin đã cháng minh được neu Gku
là hàm khả vi vơ hạn trong mien Ω thì u cũng khả vi vơ hạn trong
mien Ω và các tính chat địa phương của Gk được tác giả nghiên cáu khá
đay đủ trong [32]. Nhǎng ket quả mang tính tiên phong này đã thúc
đȁy hàng trăm cơng trình nghiên cáu sau đó. M®t so chun gia ngồi
nước cũng đã nghiên cáu phương trình elliptic suy bien, phương trình
parabolic suy bien, phương trình hyperbolic suy bien và cũng đã đạt
được m®t so ket quả trong các cơng trình [15, 16, 31, 32, 40, 44–48, 61, 75]
và các trích dan thêm ở trong đó. M®t so tác giả trong nước cũng đạt
được các ket quả sâu sac trong vi»c nghiên cáu các phương trình, h»
các phương trình elliptic suy bien phi tuyen, phương trình parabolic suy
11


bien, và phương trình hyperbolic suy bien. Các ket quả đã đạt được
là: sự ton tại và không ton tại nghi»m của bài tốn biên cho phương
trình elliptic suy bien, h» phương trình elliptic suy bien trong các cơng
trình [5, 6, 24–26, 42, 64, 66, 68–71] và các trích dan thêm ở trong đó. Sự
ton tại nghi»m, dáng đi»u ti»m cªn nghi»m của phương trình parabolic
suy bien, trong các cơng trình [1–4,7,9,56] và các trích dan thêm ở trong
đó. Tính đieu khien được của phương trình parabolic suy bien cháa
tốn tả Grushin trong các cơng trình [8, 9].
Năm 2012 các tác giả A. E. Kogoj và E. Lanconelli đã đưa ra toán
tả tőng quát cho hai toán tả Grushin và toán tả Pk1,k2 trong [44], đã
chỉ ra so mũ tới hạn của định lí nhúng kieu Sobolev, đong nhat thác

kieu Pohozaev, cháng minh sự ton tại nghi»m yeu và tính chính quy
của
nghi»m yeu của bài tốn sau bang phương pháp bien phân:

∆γ u − ηu + f (X, u) = 0

(0.1)

trong Ω,



u = 0 trên ∂Ω,

ở đó Ω là tªp mở bị ch°n trong RN , η ≥ 0 và ∆γu, N
˜ được định nghĩa
trong Chương 1.
Hàm f : Ω × R → R là hàm liên tục thỏa mãn:
• f (X, ξ) = o(ξ) khi ξ → 0 đeu với moi X ∈
Ω, f (X, ξ) = o(ξ
• X ∈ Ω,

N˜ +2

) khi ξ → ∞, đeu với moi

N˜ 2

ã Ton ti hai hang so à > 2, u0 > 0 thỏa mãn ξf (X, ξ) > µF (X, ξ)
∫ξ

f (X, τ
với |ξ| > u0 và F (X, ξ) > 0 với ξ > u0, F (X,
0
ξ) =
Năm
2016 các tác giả C. T. Anh, và B. K. My trong [5] đã nghiên
12


cáu sự ton tại nghi»m của Bài toán (0.1) với η = 0 và đieu ki»n
của f : Ω × R → R là hàm liên tục thỏa mãn:

13


• f (X, 0) = 0,
lim

f
(X,ξ)
2∗ γ
|ξ|→+∞ |ξ|

−1

• lim
|ξ|

F (X,ξ)
|ξ|2


→+∞

∫ξ

F (X, ξ)
lim
sup
•

|ξ|→0

0
F (X,ξ)
|

2

=

=∗ 0, =
2

2N˜

;

γ N˜ −2

0 đeu với moi X


∈

Ω, trong đó

f (X, τ
< µ 1đeu với moi X ∈ Ω, với µ 1là giá trị riêng đau

tiên của toán tả −∆γ trong mien Ω với đieu ki»n biên Dirichlet
thuan nhat;
• Ton tại C∗ ≥ 0, θ > 0 thỏa mãn:
H(X, ξ1) ≤ θH(X, ξ2) + C∗, ∀ξ1, ξ2 ∈ R, 0 < |ξ1| < |ξ2|, ∀X ∈ Ω,
trong đó H(X, ξ) = 1 ξf (X, ξ) − F (X, ξ).
2

Khi đó Bài tốn (0.1) ln có nghi»m yeu khơng tam thường. Và
nhieu ket quả đoi với bài tốn cháa tốn tả −∆γ ta có the xem trong
[6, 46, 47, 50, 72, 73].
Các ket quả ve sự ton tại nghi»m, dáng đi»u ti»m cªn nghi»m của
phương trình hyperbolic tat dan cháa toán tả elliptic và toán tả elliptic
suy bien trong mien bị ch°n cũng đã đạt được m®t so ket quả nhat
định. Ta xét bài toán sau:




utt + βut = ∆u + f (X, u), X ∈
Ω, tu(X,
> 0,t) = 0, X ∈ ∂Ω, t > 0,
 u(X, 0) = u0(X), ut(X, 0) =

u1(X),

trong đó Ω là mien bị ch°n có biên trơn trong RN , β là hang so
dương và u0(X) ∈ H1(Ω), u1(X) ∈ L2(Ω).
0

14

(0.2)


- Năm 1984, J. K. Hale trong [34] và A. Haraux trong [37] đã
cháng minh được sự ton tại nghi»m tồn cục và tªp hút tồn cục của
Bài tốn (0.2) với đieu ki»n sau f (X, ξ) ≡ f (ξ) ∈ C(R; R), N ≥ 3 và
thỏa mãn:
|f (ξ)| ≤ C0(|
ξ|

ρ
+1

2
f (ξ)
, lim
+ 1), 0 ≤ ρ
> −λ1.
inf
<
ξ
N − 2 |ξ|→∞


- Năm 1989, A. V. Babin and M. I. Vishik [13] đã cháng minh
được sự ton tại tªp hút tồn cục của Bài toán (0.2) trong trường hợp
so mũ
tới hạn, tác là ρ =

2

N −2

và sau đó được tőng quát bởi J. M. Arrieta, A.

N. Carvalho, và J. K. Hale [10].
- Năm 1988, R. Temam [62] đã cháng minh được sự ton tại của
tªp hút tồn cục của Bài tốn (0.2) và năm 1994, E. Feireisl [28] đã
cháng minh tªp hút tồn cục có so chieu fractal là hǎu hạn với đieu
ki»n sau f (X, ξ) ≡ g(ξ) + h(X), h(X) ∈ L2(Ω), g(ξ) ∈ C2(R; R)
thỏa mãn:

|ξ|→∞

G
(ξ)
ξ2

≥
0, lim inf
c1G(ξ)
|ξ|→∞


ξg(ξ) −
ξ2

≥ 0, G(ξ)
=

∫
ξ

g(τ

1

>

0

và
|g′(ξ)| ≤ C2(1 + |ξ|ρ)
với

0 ≤ ρ < ∞ khi N = 1,
 2, 0 ≤ ρ < 2

khi N

 = 3,

′
 ρ = 0 (tác là g là bị ch°n) khi N ≥ 4.

- Năm 1991, J. K. Hale and G. Raugel [36] đã cháng minh được
sự ton tại nghi»m tồn cục và tªp hút tồn cục của Bài toán (0.2) với
15


N = 2, f (X, ξ) ≡ f (ξ) thỏa mãn đieu ki»n tăng trưởng mũ
f (ξ)
f ∈ C(R; R), |f (ξ)| ≤ eθ(ξ), lim inf
> −λ ,
1
|ξ|→+∞ ξ
trong đó θ là hàm liên tục thỏa mãn
θ(ξ)
lim
= 0.
|ξ|→∞
ξ2

16


- Năm 2004, J. M. Ball trong [14] đã cháng minh được sự ton tại
tªp hút tồn cục của Bài tốn (0.2) bang phương pháp phương trình
năng lượng với đieu ki»n của hàm f (X, ξ) ≡ f (ξ) là hàm liên tục
thỏa
mãn lim inf
|ξ|→+∞

f(ξ)


ξ

> −λ1, λ1 là giá trị riêng đau tiên của toán tả −∆

với đieu ki»n biên Dirichlet thuan nhat và |f (ξ)| ≤
C0
N > 2, C0 > 0 là hang so, |f (ξ)| ≤ e
liên tục thỏa mãn lim

θ
|ξ|→∞ (ξ)
ξ2

θ(ξ)

1 + |ξ|

N

neu

N

, neu N = 2 trong đó θ là hàm

= 0.

- Năm 2014, các tác giả A. E. Kogoj và S. Sonner trong [46], đã
nghiên cáu Bài tốn (0.2) suy bien có dạng sau:





utt (X, t) + βut = Lu(X, t) + f (u(X, t)),
∈ Ω, t >u(X,
0, t) = 0, X ∈ ∂Ω, t > 0,



X

(0.3)

u(X, 0) = u0(X), ut(X, 0) =
u1(X),

trong đó Ω là mien bị ch°n có biên trơn trong RN , β là hang so dương,
L là toán tả X− elliptic (xem [46, 48]), và f (ξ) thỏa mãn đieu ki»n:
• |f (ξ1) − f (ξ2)| ≤ C|ξ1 − ξ2|(1 +|ξ1|ρ +|ξ2|ρ), với C > 0, 0 ≤ ρ <
2
q−2
,
q là hang so c nh ngha trong [46];
lim
ã sup

||+

f ()


< à1, với µ1 là giá trị riêng đau tiên của tốn tả −L

ξ

trong mien Ω với đieu ki»n biên Dirichlet thuan nhat.
Khi đó Bài tốn (0.3) có nghi»m tồn cục, có tªp hút tồn cục và so
chieu fractal của tªp hút đó là hǎu hạn.
17


Cùng với vi»c nghiên cáu Bài toán (0.2) nhieu tác giả cũng nghiên
cáu bài tốn đó trong mien khơng bị ch°n và cũng đạt được m®t so ket

18