Mửc lửc
M Ưu
1 Mởt số kián thực cỡ bÊn
1.1

Khổng
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4

gian Hilbert . . . . . . . . . . . .
Khỉng gian ành chu©n . . . . . .
Khæng gian Hilbert . . . . . . . .
nh xÔ trong khổng gian Hilbert .
Mởt số khĂi niằm cừa giÊi tẵch lỗi

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2
3
3
3
6
7
8

2 Tẵnh yáu thữớng cừa nghiằm bĐt ng thực bián phƠn v
Ăp dửng
10
2.1
2.2
2.3


BĐt ng thực bián phƠn v mởt số tẵnh chĐt cừa têp
Nghiằm yáu thữớng cừa bĐt ng thực bián phƠn . .
Tẵnh dứng hỳu hÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Ph÷ìng ph¡p iºm ph¡p tuy¸n . . . . . . . .
2.3.2 Phữỡng phĂp im phĂp tuyán chẵnh xĂc . .
2.3.3 Phữỡng phĂp chiáu Ôo hm . . . . . . . . .

Kát luên
Ti liằu tham khÊo

nghiằm
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

10
13
18
20
22
24

28
29

1



M Ưu
BĐt ng thực bián phƠn l mởt trong nhỳng lắnh vỹc quan trồng cừa
toĂn hồc vợi nhiÃu ựng dửng trong cĂc lắnh vỹc toĂn hồc khĂc nhau cụng
nhữ cĂc khoa hồc khĂc nhữ kinh tá, iằn, giao thổng, cỡ hồc,... Viằc nghiản
cựu và sỹ tỗn tÔi nghiằm v cĂc tẵnh chĐt cuÊ têp nghiằm cừa bi toĂn bĐt
ng thực bián phƠn v mối liản hằ cụng nhữ ựng dửng cừa chúng văn thu
hút nhiÃu nh toĂn hồc.
Burke v Ferris [3] giợi thiằu khĂi niằm yáu thữớng cho nghiằm cừa bi
toĂn tối ữu trong mối liản hằ vợi hm chưn v ữa ra cĂc c trững dữợi
dÔng cĂc iÃu kiằn hẳnh hồc. Marcotte v Zhu [8] dỹa trản c trững hẳnh
hồc ny  ữa ra khĂi niằm yáu thữớng cho têp nghiằm cừa bi toĂn bián
phƠn. Hồ cụng ữa ra cĂc c trững cho tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm
bi toĂn bián phƠn trong mối liản hằ vợi hm chưn ối ngău. Sau õ nhiÃu
nh toĂn hồc cụng  nghiản cựu cĂc c trững cho tẵnh yáu thữớng cừa
nghiằm bi toĂn bián phƠn v ữa ra cĂc ựng dửng cừa chóng nh÷ Wu
v  Wu [14], Liu v  Wu [7]. Mët trong cĂc ựng dửng quan trồng nhĐt cừa
tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm bi toĂn bián phƠn õ l Êm bÊo tẵnh
dứng hỳu hÔn cừa cĂc dÂy số sinh bi cĂc thuêt toĂn giÊi cĂc bi toĂn
bián phƠn. CĂc ựng dửng nhữ vêy ữủc nghiản cựu bi nhiÃu nh toĂn hồc
(xem, chng hÔn, [7, 8, 9, 10, 14, 1] v cĂc ti liằu ữủc trẵch dăn trong
õ).
 tẳm hiu và tẵnh yáu thữớng cừa têp nghiằm cừa bi toĂn bián phƠn
cụng nhữ cĂc ựng dửng cừa nõ, chúng tổi chồn à ti "
" cho khoĂ
luên cừa mẳnh. Nởi dung chẵnh cừa khoĂ luên dỹa trản cĂc kát quÊ gƯn
Ơy trong bi bĂo [1].

Tẵnh yáu thữớng
cừa têp nghiằm cừa bi toĂn bián phƠn v ựng dửng


2


Chữỡng 1
Mởt số kián thực cỡ bÊn
Trong chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt
cỡ bÊn cừa giÊi tẵch hm v giÊi tẵch lỗi. Ti li»u tham kh£o cho ch÷ìng
n y l  [2, 4, 5, 13]

1.1 Khổng gian Hilbert
1.1.1 Khổng gian nh chuân

nh nghắa 1.1. Cho X l mởt khổng gian vector trản R. Mởt chuân trản

l mởt Ănh xÔ || Ã || : X [0, ) thoÊ mÂn ba tẵnh chĐt sau:
(i) ||x|| = 0 suy ra x = 0.
(ii) λx|| = |λ|||x|| vỵi måi x ∈ X v  λ ∈ R.
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vỵi måi x, y ∈ X .
Khỉng gian ành chu©n l  mët c°p (X, || · ||) vỵi X l  mët khỉng gian
vector v  || Ã || l mởt chuân trản X .
X

Mởt số vẵ dử và khổng gian nh chuân.

Vẵ dử 1.1. nh xÔ || · || : Rm → [0, ∞), x¡c ành bði:
||x|| =

m
X


! 12

x2i

, x = (x1 , · · · , xm ), Rm

i=1

l mởt chuân trản Rm, gồi l chuân thổng thữớng cừa Rm. Do õ Rm vợi
chuân nhữ trản l khổng gian nh chuân.
3


Vẵ dử 1.2. GiÊ sỷ X l têp tĐt cÊ c¡c h m li¶n tưc f : [a, b] → R. Khi â
||f || = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, f X,

l mởt chuân trản X . Khi õ X vợi chuân trản l khổng gian nh chuân
v ta thữớng kỵ hiằu X = C[a, b] khổng gian cĂc hm thỹc liản tửc trản
[a, b].
nh nghắa 1.2. DÂy số {xn} trong khổng gian nh chuân (X, ||Ã||) ữủc
gồi l hởi tử tợi x X náu
||xn x|| → 0
khi n → ∞.
Ta k½ hi»u xn → a khi n → ∞ ho°c
lim xn = x.

n→∞

Ta câ c¡c mằnh à sau.


Mằnh à 1.1. Giợi hÔn cừa dÂy số náu tỗn tÔi l duy nhĐt.
Mằnh à 1.2. DÂy số {xn} trong khỉng gian ành chu©n (X, || · ||) hëi tư

tỵi a ∈ X khi v  ch¿ khi måi dÂy con cừa {xn} hởi tử tợi a.
nh nghắa 1.3. DÂy số {xn} trong khổng gian nh chuân (X, ||Ã||) ữủc
gồi l dÂy Cauchy náu
lim ||xn xm || = 0.

n,m→∞

M»nh · 1.3. Måi d¢y hëi tư ·u l  d¢y Cauchy.
nh nghắa 1.4. Khổng gian nh chuân (X, || Ã ||) ữủc gồi l Ưy ừ náu

mồi dÂy Cauchy Ãu hởi tử.
nh nghắa 1.5. Khổng gian nh chuân Ưy ừ ữủc gồi l khổng gian
Banach.
Vẵ dử 1.3. Khổng gian Rn vợi chuân thổng thữớng l Ưy ừ. Q khổng
Ưy ừ vợi chuân thổng thữớng.

4


ành ngh¾a 1.6. Cho a l  mët iºm trong khỉng gian nh chuân X v
r > 0.

Hẳnh cƯu m tƠm a bĂn kẵnh r l têp

B(a, r) = {x X : ||x a|| < r}


Hẳnh cƯu õng tƠm a bĂn kẵnh r l têp
r) = {x X : ||x a|| r}
B(a,

Hẳnh cƯu m (tữỡng ựng, õng) tƠm 0 bĂn kẵnh r = 1 ữủc kẵ hiằu l B
(tữỡng ựng, B ).
nh nghắa 1.7. Cho A l  mët tªp con cõa X v  x ∈ X . Khi õ
(i) Náu tỗn tÔi mởt hẳnh cƯu m tƠm x nơm trong A thẳ x ữủc gồi l
im trong cừa A. Têp tĐt cÊ cĂc im trong cừa A ữủc kẵ hiằu l
textintA.
(ii) Náu tỗn tÔi mởt hẳnh cƯu tƠm x nơm trong phƯn bũ cừa A thẳ x ữủc
gồi l im ngoi cừa A
(iii) Náu mồi hẳnh cƯu tƠm x Ãu cõ giao khĂc rộng vợi cÊ A v phƯn bũ
cừa A thẳ x ữủc gồi l im biản cừa A.
Têp tĐt cÊ cĂc im trong v im biản cừa A ữủc gồi l bao õng cừa A,
kẵ hiằu clA.
nh nghắa 1.8. Mởt têp A trong khổng gian nh chuân X ữủc gồi l
m náu A khổng chựa bĐt kẳ im biản no, v A ữủc gồi l õng náu nõ
chựa mồi im biản.
Mằnh à 1.4. GiÊ sỷ têp con A cừa khổng gian nh chuân X l  âng.
Khi â, n¸u {xn} ⊂ A hëi tư tợi a thẳ a A.
nh nghắa 1.9. Têp A trong khổng gian nh chuân X ữủc gồi l b
chn náu vợi mồi b X , tỗn tÔi M > 0 sao cho ||a − b|| ≤ M vỵi mồi
a A.
nh nghắa 1.10. Têp con A trong khổng giannh chuân X ữủc gồi l
compact náu mồi dÂy số trong A ·u câ d¢y con hëi tư trong A.
M»nh · 1.5. Måi tªp compact ·u âng v  bà ch°n.
ành ngh¾a 1.11. Gi£ sû (X, || · ||X ) v  (Y, || · ||Y ) l  hai khỉng gian ành
chu©n. nh xÔ f : X Y ữủc gồi l liản tửc tÔi a X náu vợi mồi dÂy
{xn } trong X hởi tử tợi a thẳ dÂy số {f (xn )} hëi tư tỵi f (a) trong Y .

5


1.1.2 Khỉng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.12. Cho X l  mët khổng gian vector thỹc. Tẵch vổ hữợng

trản X l mởt Ănh xÔ hÃ, Ãi : X ì X R thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt:
(i) Vợi mồi x X , hx, xi ≥ 0 v  hx, xi = 0 khi v  ch¿ khi x = 0.
(ii) hx, yi = hy, xi vỵi måi x, y ∈ X .
(iii) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi vỵi måi x, y, z ∈ X v  α, β ∈ R.
Khi õ, X vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi ữủc gåi l  khæng gian ti·n Hilbert.

Cho X l  khæng gian tiÃn Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi. Trản X ta
nh nghắa
q

||x|| =

hx, xi,

x X.

Thẳ || Ã || l mởt chuân trản X v ữủc gồi l chuân sinh bi tẵch vổ hữợng
hÃ, Ãi.
Ta cõ mằnh à sau:

Mằnh à 1.6 (BĐt ng thực Cauchy -Schwarz). Vợi mồi x, y ∈ X , ta câ
hx, yi ≤ ||x||.||y||.


ành ngh¾a 1.13. Khổng gian tiÃn Hilbert Ưy ừ vợi chuân sinh bi tẵch
vổ hữợng ữủc gồi l khổng gian Hilbert.
Vẵ dử 1.4. Khổng gian Rn vợi tẵch vổ hữợng
hx, yi =

n
X

xi yi ,

x = (x1 , · · · , xn ), y = (y1 , · · · , ym ) ∈ Rn

i=1

l  khỉng gian Hilbert.
V½ dư 1.5. Khỉng gian `2 = {(x1, x2, · · · ) : xi R, Pi=1 |xi|2 < } vợi
tẵch vổ hữợng

hx, yi =

X
i=1

l  khæng gian Hilbert.
6

xi yi


CĂc khĂi niằm và dÂy hởi tử, hm liản tửc, tªp âng, tªp mð, tªp

compact trong khỉng gian Hilbert X ữủc hiu theo nghắa trong khổng
gian nh chuân vợi chuân sinh bi tẵch vổ hữợng. Trong trữớng hủp ny,
sỹ hởi tử (liản tửc) ữủc gồi l hởi tử (liản tửc) theo chuân hoc hởi tử
(liản tửc) mÔnh.

Mằnh à 1.7. Tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi l hm liản tửc.
1.1.3 nh xÔ trong khổng gian Hilbert

Tứ phƯn ny tr i, náu khổng cõ phĂt biu khĂc, H l khổng gian
Hilbert vợi tẵch vổ hữợng hÃ, Ãi vợi chuân || Ã || sinh bi tẵch vổ hữợng.
Trong phƯn ny, chúng tổi trẳnh by mởt số khĂi niằm và Ănh xÔ s ữủc
dũng phƯn sau. KhĂi niằm Ưu tiản l và Ănh xÔ Lipschitz.

nh nghắa 1.14. nh xÔ F : H H ữủc gồi l Lipschitz vợi hơng số
L>0

náu

||f (x) F (y)|| ≤ L||x − y||,

∀ x, y ∈ H.

Ti¸p theo l mởt số loÔi ỡn iằu cừa Ănh xÔ.

nh nghắa 1.15. Cho X l  mët tªp con kh¡c réng cõa H . nh xÔ F :
ữủc gồi l
(a) ỡn iằu trản X náu vợi mồi x, y X ,

XH


hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0;

(b) ìn iằu ngữủc mÔnh trản X náu tỗn à > 0 sao cho vỵi måi x, y ∈ X ,
hF (x) − F (y), x − yi ≥ µ||F x − F y||2 ;

(c) giÊ ỡn iằu trản X náu vợi måi x, y ∈ X ,
hF (x), y − xi ≥ 0

⇒

hF (y), y − xi ≥ 0;

(d) gi£ ìn iằu mÔnh trản X náu tỗn tÔi à > 0 sao cho vỵi måi x, y ∈ X ,
hF (x), y − xi ≥ 0

hF (y), y − xi ≥ à||y x||2 ;



(e) giÊ ỡn iằu+ trản X náu F giÊ ỡn iằu trản X v vợi mồi x, y ∈ X ,
hF (x), y − xi ≥ 0 hF (y), y − xi = 0

⇒

F (x) = F (y).

Nhên xt 1.1. Dạ thĐy rơng (b) (a), (a) ⇒ (c), (d) ⇒ (c) v  (e) ⇒

(c). Tuy nhi¶n cĂc chiÃu ngữủc lÔi khổng úng.
7



1.1.4 Mởt số khĂi niằm cừa giÊi tẵch lỗi
Trong phƯn n y chóng tỉi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì bÊn cừa giÊi
tẵch lỗi s ữủc sỷ dửng phƯn sau.

ành ngh¾a 1.16. Cho X l  mët khỉng gian vector v C l têp con cừa
X.

ã

Têp C ữủc gồi l lỗi náu vợi mồi x, y C v ∈ [0, 1], ta ·u câ
αx + (1 − α)y C.

Têp C ữủc gồi l mởt nõn náu x ∈ C vỵi måi X ∈ C v  λ > 0.
ã Têp C ữủc gồi l mởt nõn lỗi náu nõ l mởt nõn ỗng thới l têp
lỗi.
ã

Cho A, B l  c¡c tªp con cõa H v  λ ∈ R. Khi â

A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
v 

λA := {λa : a ∈ A}.

nh nghắa 1.17. Cho C l têp con cừa H . Têp cỹc cừa C , kẵ hiằu bi

C o,


l tªp x¡c ành bði

C o = {x∗ ∈ H : hx , xi 0}.

nh nghắa 1.18. nh xÔ F tứ mởt têp con lỗi X cừa H vo R ữủc gồi

l lỗi náu

F (x + (1 )y) λF (x) + (1 − λ)F (y)

vỵi måi x, y ∈ X v  λ ∈ (0, 1).
ành ngh¾a 1.19. Cho C l  mët tªp con cõa H v  x ∈ H . KhoÊng cĂch
tứ x tợi C ữủc nh nghắa bði
dist(x, C) := inf{||y − x|| : y ∈ C}.

H¼nh chiáu cừa x lản C ữủc nh nghắa bi
PC (x) := {y ∈ C : ||y − x|| = dist(x, C)}.
8


Khi C l têp con khĂc rộng, õng v lỗi cừa H thẳ PC (x) chựa duy nhĐt
mởt im. Khi õ PC l Ănh xÔ khổng giÂn, tực l

||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||,

∀ x, y ∈ C.

M»nh · 1.8. [5] Gi£ sû X l  tªp con õng lỗi cừa H . Khi õ yx X l
hẳnh chiáu PX (x) khi v ch khi


hx yx , y − yx i ≤ 0 ∀ y ∈ X.

nh nghắa 1.20. Cho C l mởt têp con khĂc rộng, lỗi cừa H v x C .

Nõn phĂp tuyán cừa C tÔi x, ữủc kẵ hiằu l NC (x), l têp ữủc xĂc nh
bi:
NC (x) = {x H : hx∗ , y − xi ≤ 0 for all y C}.
Nõn tiáp tuyán cừa C tÔi x, kẵ hiằu l TC (x), l têp ữủc xĂc nh bi:
TC (x) = cl

[ C x


>0

Ta cõ tẵnh chĐt sau

NC (x) = [TC (x)]o

9

!

.


Chữỡng 2
Tẵnh yáu thữớng cừa nghiằm bĐt
ng thực bián phƠn v Ăp dửng
2.1 BĐt ng thực bián phƠn v mởt số tẵnh chĐt

cừa têp nghiằm
Trong phƯn ny, chúng tổi trẳnh by khĂi niằm và bi toĂn bián phƠn,
têp nghiằm v mởt số tẵnh chĐt liản quan án têp nghiằm. Nhỳng khĂi
niằm v tẵnh chĐt ny l cỡ bÊn (xem, chng hÔn, [2, 4]).

nh nghắa 2.1. Cho X l mởt têp con khĂc rộng, lỗi, õng cừa H v F

l Ănh xÔ tứ H vo H . Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn, kẵ hiằu l V IP ,
l bi to¡n t¼m x∗ ∈ X sao cho
hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀ x ∈ X.

(2.1)

B i to¡n bĐt ng thực bián phƠn ối ngău, kẵ hiằu l DV IP , l  b i to¡n
t¼m x∗ ∈ X sao cho
hF (x), x − x∗ i ≥ 0 ∀ x X.

(2.2)

Têp nghiằm cừa V IP ữủc kẵ hiằu l X v têp nghiằm cừa DV IP
ữủc kẵ hiằu l  X∗.
V½ dư 2.1. X²t trong khỉng gian hai chi·u bĐt ng thực bián phƠn vợi
X = [1, 0] ì [−2, −1] v  F (x) = (x1 − 1, x2 + 1) måi x = (x1 , x2 ).
Khi â tªp nghi»m X ∗ l  tªp c¡c gi¡ trà x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ X sao cho

(x∗1 − 1)(x1 − x∗1 ) + (x∗2 − 1)(x2 − x∗2 ) ≥ 0
10


vỵi ∀ (x1 , x2 ) ∈ X .

Tùc l , (x∗1 , x∗2 ) ∈ [−1, 0] × [−2, −1] sao cho

x1 (x∗1 − 1) − x∗1 (x∗1 − 1) + x2 (x∗1 + 1) − x∗2 (x∗2 + 1) ≥ 0
vỵi måi (x1 , x2 ) ∈ [−1, 0] × [−2, −1]. Hay (x∗1 , x∗2 ) ∈ [−1, 0] ì [2, 1]
thoÊ mÂn

x1 (x1 1) (x2 + 1) − x∗2 (x∗2 + 1) ≥ 0.
Do â

(x∗1 − 1/2)2 + (x∗2 + 1)2 ≤ 1/4.

Vªy X ∗ = {(0, −1)}.
Tªp nghi»m X∗ cõa DV IP l  tªp accs gi¡ trà x∗ − (x1∗ , x2∗ ) ∈ [−1, 0] ×
[−2, −1] sao cho

(x1 − 1)(x1 − x1∗ ) + (x2 + 1)(x2 − x2∗ ) ≥ 0 ∀ (x1 , x2 ) ∈ X.
Do â,


x1∗ + 1
x1 −
2

2



(x1∗ − 1)2
1 − x2∗ 2 (x2∗ + 1)2
−

−
+ x2 +
≥0
4
2
4

vỵi måi (x1 , x2 ) ∈ X . Hay l ,
2


1 + x1∗
0−
2

(1 − x1∗ )2 (1 + x2∗ )2
−
−
≥ 0.
4
4

Tø â suy ra 4x1∗ − (x2∗ + 1)2 ≥ 0 v  X∗ = {(0, −1)}.
Mèi quan h» giúa hai têp nghiằm ữủc th hiằn qua mằnh à sau.

Mằnh à 2.1. Náu F liản tửc trản X thẳ X X ∗.

Chùng minh. L§y x ∈ X v  x∗ ∈ X∗. Cho {xn} l  mët d¢y trong X x¡c
ành bði xn = x∗ + (x − x∗ )/n. V¼ x∗ ∈ X∗ n¶n ta câ


hF (xn ), xn − x∗ i ≥ 0
Tø â suy ra hF (xn ), x x i 0. Vẳ F liản tửc v xn → x∗ n¶n F (xn ) →
F (x∗ ), nản ta ữủc

hF (x ), x x i 0.
Vªy x∗ ∈ X ∗ . Do â, X∗ ⊂ X ∗ .
11


Tuy nhi¶n, tø X∗ ⊂ X ∗ khỉng suy ra tẵnh liản tửc cừa F trản X . Thêt
vêy, ta x²t v½ dư sau

V½ dư 2.2. X²t X = [0, 1] ì [0, 1] v vợi x = (x1, x2) ∈ R2, F x¡c ành
bði F (0, 0) = (1, 1) v  F (x) = (0, 0) n¸u x 6= (0, 0).

Khi õ ta cõ th tẵnh ữủc X = X v  X∗ = {(0, 0)}. Tùc l  X∗ ⊂ X ∗ .
Tuy nhi¶n h m sè F khỉng li¶n tửc tÔi (0, 0).

Mằnh à 2.2. X X khi v  ch¿ khi F l  gi£ ìn i»u tr¶n X ∗.
Chùng minh. Gi£ sû X ∗ ⊂ X∗. Vỵi méi x∗ ∈ X∗, ta câ
hF (x∗ ), y − x∗ i ≥ 0 ∀y ∈ X.
V¼ x∗ ∈ X∗ , n¶n ta câ

hF (y), y − x∗ i ≥ 0.
Vẳ thá F giÊ ỡn iằu trản X .
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ F giÊ ỡn iằu trản X . L§y x∗ ∈ X ∗ , tùc l  hF (x∗ ), y−
x∗ i ≥ 0 ∀y ∈ X. V¼ F gi£ ìn i»u, n¶n hF (y), y − x∗ i ≥ 0. Tø â suy ra
x∗ ∈ X∗ . Vêy X X .

Mằnh à 2.3. Náu F liản tửc v giÊ ỡn iằu trản X thẳ X = X v


l têp õng, lỗi.
Chựng minh. Tứ hai m»nh · tr¶n ta suy ra X ∗ = X∗. Gi£ sû {xn} l  mët
X∗

d¢y sè trong X ∗ v  xn → x∗ ∈ X . V¼ xn ∈ X nản, vợi mồi y X , ta cõ

hF (xn ), y xn i 0.
Vẳ F liản tửc, tứ bĐt ng thực trản ta cõ

hF (x ), y − x∗ i ≥ 0,
tùc l  x∗ ∈ X ∗ . Vªy X ∗ l  tªp âng.
Cho α ∈ (0, 1) v  x∗ , y ∗ ∈ X ∗ = X∗ . Ta câ hF (y), y − x∗ i ≥ 0 v 
hF (y), y − y ∗ i ≥ 0 vỵi måi y ∈ X . Do â

hF (y), y − (αx∗ + (1 − α)y ∗ )i ≥ 0
Tùc l  αx∗ + (1 − α)y ∗ ∈ X∗ = X ∗ . Do â X ∗ l  têp lỗi.
12


Mằnh à 2.4. Náu F giÊ ỡn iằu mÔnh trản X , thẳ V IP cõ nhiÃu nhĐt
mởt nghiằm.
Chựng minh. Gi£ sû x∗, y∗ l  hai nghi»m cõa b i to¡n bián phƠn. Khi õ,
ta cõ

hF (x ), y x i 0.
Bi tẵnh giÊ ỡn iằu mÔnh cừa F , ta câ

hF (y ∗ ), y ∗ − x∗ i ≥ µ||y ∗ − x∗ ||2 .
M°t kh¡c


hF (y ∗ ), y ∗ − x∗ i = −hF (y ∗ ), x∗ − y ∗ i ≤ 0.
Tø â, suy ra ||y ∗ − x∗ ||2 ≤ 0, hay y ∗ = x∗ .

M»nh · 2.5. N¸u F li¶n tưc v  gi£ ìn i»u+ tr¶n X F l  hơng số trản
X .

Chựng minh. GiÊ sỷ x v y l  hai nghi»m b§t ký cõa V IP . Khi â ta câ
hF (y ∗ ), y ∗ − x∗ i ≥ 0,
v 

hF (y ∗ ), y ∗ − x∗ i ≤ 0.
Do â

hF (y ∗ ), y ∗ − x∗ i = 0.
B§t ¯ng thùc

hF (x∗ ), y ∗ − x∗ i ≥ 0
v  t½nh gi£ ìn i»u

+

cõa F suy ra F (x∗ ) = F (y ∗ ).

2.2 Nghiằm yáu thữớng cừa bĐt ng thực bián
phƠn
KhĂi niằm nghiằm yáu thữớng chp bĐt ng thực bián phƠn do Marcotte

v Zhu ữa ra nôm 1998 trong bi bĂo [8].


nh nghắa 2.2. Têp nghiằm X cừa bi toĂn VIP ữủc gồi l yáu thữớng

náu F thoÊ mÂn

!

F (x ) int

\

[TX (x) ∩ NX ∗ (x)]◦ ,

x∈X ∗

13

vỵi måi

x∗ ∈ X ∗ .

(2.3)


Tứ nh nghắa, ta thĐy rơng náu têp nghiằm X l yáu thữớng thẳ tỗn
tÔi mởt hơng số > 0 sao cho

αB ⊂ F (x∗ ) + [TX (x∗ ) ∩ NX ∗ (x∗ )]◦ ,

vỵi méi x∗ ∈ X ∗ .


(2.4)

Ta gåi h¬ng sè α trong (2.4) l modulus cừa tẵnh yáu thữớng cừa X .
Vợi bi toĂn bián phƠn VIP, cên cừa sai số l mởt ữợc lữủng cừa khoÊng
cĂch tứ mởt im bĐt ký thuởc H tợi têp nghiằm X . Marcotte v Zhu [8]
chựng minh rơng náu F liản tửc v giÊ ỡn iằu + trản têp cpmpact X thẳ
X l yáu thữớng khi v ch khi tỗn tÔi > 0 sao cho

αdist(x, X ∗ ) ≤ G(x),

vỵi måi x X,

Ơy G l hm chưn ối ngău cừa b i to¡n VIP v  ÷đc x¡c ành bði

G(x) := maxhF (z), x − zi
z∈X

= hF (˜
y ), x − y˜i,

(2.5)

vỵi y l phƯn tỷ bĐt ký trong têp (x) := arg maxz∈X hF (z), x − zi.
Liu v  Wu [7] ữa ra mởt cên cừa sai số dỹa v hm ch­n gèc cõa b i
to¡n VIP
g(x) := maxz∈X hF (x), x − zi
(2.6)
= hF (x), x − zi vỵi z ∈ Γ(x),
vỵi Γ(x) := {z ∈ X : hF (x), x − zi = g(x)} khi x ∈ H .
Liu v  Wu chựng minh rơng náu F ỡn iằu trản X v hơng số trản

(x ) for some x X ∗ , g(x) < +∞, g kh£ vi G¥teaux v  Lipschitz a
phữỡng trản X , thẳ X l yáu thữớng khi v ch khi tỗn tÔi > 0 sao cho

αdist(x, X ∗ ) ≤ g(x),

vỵi måi x X.

Trong khoĂ luên ny, chúng tổi trẳnh by cĂc c trững khĂc cừa tẵnh
yáu thữớng cừa têp nghiằm X m khổng thổng qua hm chưn ối ngău
cụng nhữ h m ch­n gèc. C¡c °c tr÷ng b y ÷đc cỉng bè trong b i b¡o
[1] bði c¡c t¡c gi£ A.Al-Homidan, Q.H. Ansari v L. V. Nguyen.

nh lỵ 2.1. Cho X l têp con khĂc rộng, õng, lỗi cừa H v F : X → H

l  h m li¶n tưc v  gi£ ìn i»u+ trản X . GiÊ sỷ têp nghiằm X cừa bi
toĂn bián phƠn VIP khĂc rộng. Thẳ X l yáu thữớng khi v ch khi tỗn tÔi
mởt hơng số α sao cho
hF (PX (x)), x − PX (x)i ≥ α dist(x, X ∗ ), vỵi måi x ∈ X.
(2.7)
∗

∗

14


Chựng minh. GiÊ sỷ têp nghiằm X l yáu thữớng v x X bĐt ký. Khi
õ ta cõ

x − PX ∗ (x) ∈ TX (PX ∗ (x)) ∩ NX ∗ (PX ∗ (x))

v 

kx − PX ∗ (x)k = dist(x, X ∗ ).
Sû dung (2.4), ta câ

hF (PX ∗ (x)), x − PX ∗ (x)i ≥ α kx − PX (x)k = dist(x, X ).
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ iÃu kiằn (2.7) thoÊ mÂn vợi mởt hơng sè α > 0 n o
â. Ta chùng minh r¬ng (2.4) úng. Xt x X . Dạ thĐy rơng (2.4) óng
n¸u TX (x∗ ) ∩ NX ∗ (x∗ ) = {0}. Gi£ sû r¬ng TX (x∗ ) ∩ NX ∗ (x∗ ) 6= {0}. X²t
0 6= v ∈ TX (x ) NX (x ). Thẳ vợi mội y ∗ ∈ X ∗ , ta câ

hv, vi > 0 and hv, y ∗ − x∗ i ≤ 0.
i·u ny suy ra rơng têp nghiằm X b tĂch vợi phƯn tỷ x + v bơng siảu
phng

Hv = {x ∈ H : hv, x − x∗ i = 0}.
V¼ v TX (x ), vợi mội dÂy số thỹc dữỡng {tk } hởi tử và 0, tỗn tÔi dÂy sè
{vk } hëi tư tỵi v sao cho x∗ + tk vk X vợi k ừ lợn. Vẳ hv, vk i > 0 vỵi k
õ lỵn, x∗ + tk vk thuëc tªp mð {x ∈ H : hv, x − x∗ i > 0}. Do â, vỵi k
õ lỵn, ta câ

dist (x∗ + tk vk , X ∗ ) ≥ dist (x∗ + tk vk , Hv ) =

tk hv, vk i
.
kvk

Tø (2.7), vỵi k õ lỵn, ta câ

hF (PX ∗ (x∗ + tk vk )), x∗ + tk vk − PX ∗ (x∗ + tk vk )i ≥ αdist (x∗ + tk vk , X ∗ )

hv, vk i
≥ αtk
,
kvk
ho°c, t÷ìng ÷ìng,


x∗ − PX ∗ (x∗ + tk vk )
∗
F (PX ∗ (x + tk vk )), vk +
tk

15



≥α

hv, vk i
.
kvk

(2.8)


V¼ tk > 0 v  v ∈ NX ∗ (x∗ ), ta câ x∗ = PX ∗ (x∗ + tk v). Bi tẵnh khổng dÂn
cừa toĂn tỷ chiáu, ta ữủc







∗
∗






∗ (x + tk vk )
x
−
P
X