50 câu ơn phần Tốn - Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội - Phần 21 (Bản word có giải)
PHẦN 1: TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Lĩnh vực: Toán học (50 câu hỏi - 75 phút)
Câu 1: Biểu đồ dưới đây biểu thị số lượng cửa hàng Điện Máy Xanh (ĐMX) và đóng góp của cửa hàng
này trong tổng doanh thu ĐMX.

Hỏi từ tốc độ tăng trưởng số lượng cửa hàng trong tháng nào là cao nhất?
A. Tháng 12.

B. Tháng 9.

C. Tháng 10.

D. Tháng 11.

1 3 2
Câu 2: Một vật chuyển động theo quy luật s  t  t  9t , với t là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt
3
đâdu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10
giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. 89( m / s) .

B. 109( m / s) .

Câu 3: Cho a là số thực dương khác 1. Giá trị của log
A.

1
.
2

B. 0 .

C. 71( m / s) .
a

D.

25
( m / s) .
3

a bằng

C.  2 .

D. 2 .

 mx  (m  2) y 5
Câu 4: Cho hệ phương trình: 
. Giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm
 x  my 2m  3
âm là
A. m  2 hay m 

5
.
2

B. 2  m 


5
.
2


C. m  

5
hay m   2 .
2

D. 

5
 m   1.
2

Câu 5: Cho hai số phức z1 1  i và z2 2  i . Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức z1  2z 2 có
tọa độ là
A. (3;5) .

B. (2;5) .

C. (5;3) .

D. (5; 2) .

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2 x  2 y  z  2021 0 , vectơ nào trong
các vecto được cho dưới đây là một vecto pháp tuyến của (P) ?




A. n ( 2; 2;1) .
B. n (4;  4; 2)
C. n (1;  2; 2) .


D. n (1;  1; 4) .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2;3;  1), N(  1;1;1) và P(1; m  1; 2) . Tìm
m để tam giác MNP vng tại N .

A. m  6 .
Câu 8: Bất phương trình
A. 4 .

B. m 0 .

C. m  4 .

D. m 2 .

3x  5
x2
 1
 x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn  10 ?
2
3
B. 5 .


C. 9 .

D. 10 .

Câu 9: Phương trình sin 2 x  3cos x 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0;  ) ?
A. 0 .

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 10: Cho cấp số cộng  un  có u5  15, u20 60 . Tổng S 20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
là
A. S 20 600 .

B. S20 60 .

C. S 20 250 .

Câu 11: Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
1
A. 1  ln 3 .
2

1
B. 1  ln 5 .
2


D. S 20 500 .

1
, biết F (0) 1 . Tính F ( 2) .
2 x 1

C. 1  ln 3 .

D.

1
(1  ln 3) .
2

Câu 12: Cho hàm số f (x) , hàm số y f  (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương
trình f (x)  2x  m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x  (0; 2) khi và chỉ khi

A. m f (2)  4 .

B. m  f (0) .

C. m  f (0) .

D. m  f (2)  4 .


Câu 13: Một chiếc ô tô đang chuyển động với vận tốc v (t ) 2 

t2  4
( m / s) . Quãng đường ô tô đi được

t 4

từ thời điểm t 5( s) đến thời điểm t 10( s) là
A. 12, 23 m .

B. 32,8 m .

C. 45, 03 m .

D. 10, 24 m .

Câu 14: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với lương tháng đầu là 8 triệu, cứ
sau 6 tháng thì tăng lương 10% . Nếu tính theo hợp đồng thì sau đúng 5 năm, người đó nhận tổng số tiền
của công ty là
10
A. 80 1,1  1 (triệu đồng).

10
B. 800 1.1  1 (triệu đồng).

10
C. 480 1.1  1 (triệu đồng).

10
D. 48 1.1  1 ( triệu đồng).













Câu 15: Tập nghiệm của bât phương trình  
4





2 x 3

 
 
 4



2 x 2 3 x

là

 3 
A.   ;1
 2 


3

B.   ;    [1; ) .
2


3

C.   1; 
2


3

D.   1;  .
2


Câu 16: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y  2  sin x , trục hoành và các đường thẳng
x 0, x  . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quay quanh trục hồnh có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V 2 2 .

B. V 2 (  1) .

C. V 2 .

D. V 2(  1) .

Câu 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( 10;10) để hàm số y 2 m 2 x 4  2(4 m  1)x 2  1 đồng biến
trên khoảng (1; ) ?

A. 7 .

B. 16 .

C. 15 .

D. 6 .

Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn iz 1  3i . Môđun của z bằng
A. 10 .

B. 4 .

C. 2 2 .

D. 2 .

Câu 19: Xét các số phức z thỏa mãn ( z  2i)(z  2) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tât cả
các điểm biểu diển các số phức z là một đường trịn có tâm là điểm nào dưới đây?
A. Q(2; 2) .

B. M(1;1) .

C. P ( 2;  2) .

D. N ( 1;  1) .

Câu 20: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2;  3), B(3; 4) . Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao
cho A, B, M thẳng hàng.
A. M(1;0) .


B. M(4;0) .

 5 1
C. M   ;   .
 3 3

 17 
D. M  ;0  .
 7 

Câu 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(7;3) . Lập phương
trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC .
A. 3x  8 y  35 0 .

B. 3x  8 y  35 0 .

C. 8 x  3 y  20 0 .

D. 8 x  3 y  4 0 .


Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( 1; 2; 2) và B(3;0;  1) . Gọi (P) là mặt phẳng chứa
điểm B và vng góc với đường thẳng AB . Mặt phẳng (P) có phương trình là
A. 4 x  2 y  3 z  15 0 .

B. 4 x  2 y  3 z  9 0 .

C. 4 x  2 y  3 z  9 0 .


D. 4 x  2 y  3 z  15 0 .

Câu 23: Tam giác ABC vng cân đỉnh A có cạnh huyền là 2. Quay tam giác ABC quanh trục BC thì
được khối trịn xoay có thể tích là
A.

2 2
.
3

B.

4
.
3

C.

2
.
3

D.

1
.
3

Câu 24: Một đồ chơi bằng gỗ có dạng có dạng một khối nón và một nửa khối cầu ghép với nhau như hình
bên. Đường sinh khối nón bằng 5 cm , đường cao khối nón là 4 cm . Thể tích của đồ chơi bằng.


3
A. 30 cm .





3
B. 72 cm .





3
C. 48 cm .





3
D. 54 cm .





Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. AB C  có AB 2a, AA a 3 . Tính thể tích của khối lăng

trụ ABC.ABC theo a .
A. V 3a 3 .

B. V 

a3
.
4

C. V 

3a 3
.
4

D. V a 3 .

Câu 26: Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB, AD và G là trọng tâm tam giác SBD . Mặt phẳng (MNG) cắt SC tại điểm H . Tính
A.

2
.
5

B.

1
.
4


C.

1
.
3

D.

SH
.
SC

2
.
3

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M
và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Tính
thể tích khối chóp O.ABC.
A.

1372
.
9

B.

686
.

9

C.

524
.
3

D.

343
.
9

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;  3), B( 2;3;1) đường thẳng đi qua
A(1; 2;  3) và song song với OB có phương trình là


 x 1  2t

A.  y 2  3t
 z  3  t


 x  2  t

B.  y 3  2t
 z 1  3t



 x 1  2t

C.  y 2  3t
 z  3  t


 x 1  4t

D.  y 2  6t
 z  3  2t


Câu 29: Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f  ( x) như hình bên. Hàm số
y f x 2  4x  x 2  4x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng ( 5;1) ?



A. 5 .



B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .

 8 4 8
Câu 30: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; 2;1), B   ; ;  . Biết I(a; b;c) là tâm
 3 3 3

đường tròn nội tiếp của tam giác OAB . Tính S a  b  c .
A. S 1 .

B. S 0 .

C. S  1 .

D. S 2 .

Câu 31: Cho hàm số đa thức f (x) có đạo hàm trên  . Biết f (0) 0 và đồ thị hàm số y f  (x) như hình
2
bên. Hàm số g(x)  4f (x)  x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0; 4) .

B. (4; ) .

C. ( ;  2) .

D. ( 2;0) .

Câu 32: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 5;5] để phương trình
| mx  2 x  1|| x  1| có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 8 .

B. 9 .

C. 10 .

D. 11 .

2

Câu 33: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên [0;1], thỏa mãn  f  ( x)  4.  2 x 2  1  f ( x)  với


1

mọi x thuộc đoạn [0;1] và f (1) 2 . Giá trị I x f ( x) dx bằng
0

A.

3
.
4

B.

5
.
3

C.

11
.
4

D.


4
3

Câu 34: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đơi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số
từ tập A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng
A.

43
.
342

B.

1
.
27

C.

11
.
324

D.

17
.
81

Câu 35: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E . Biết góc

5 2
giữa hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là  thỏa mãn tan  
. Gọi thể tích của hai tứ diện
7
ABCE và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỉ số

A.

3
.
5

B.

5
.
8

Câu 36: Tiếp tuyến của hàm số y 

C.

V1
.
V2

3
.
8


D.

1
.
8

x 8
tại điểm có hồnh độ x 0 3 có hệ số góc bằng bao nhiêu?
x 2

Câu 37: Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 38: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 2x  y  1 0 . Mặt phẳng (P)
có một vectơ pháp tuyến có dạng (a; b;c) . Giá trị của P a  b  c là
Câu 39: Từ 2 chữ số 1 và 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho khơng có 2 chữ số 1 đứng
cạnh nhau?
Câu 40: Cho lim
x 1

f ( x)  10
f ( x)  10
5 . Giá trị lim
bằng bao nhiêu?
x  1 ( x  1)( 4 f ( x )  9  3)
x 1

Câu 41: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiểm bệnh kể từ ngày
xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f (t) 4t 3 

t4

(người). Nếu xem f  (t ) là tốc độ truyền
2

bệnh (người/ ngày) tại thời điểm t với t  [0;6] . Hỏi vào ngày thứ mấy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ lớn
nhất?
4
3
2
Câu 42: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y  3 x  8 x  6 x  24 x  m có 7

điểm cực trị. Tính tổng các phân tử của S .


Câu 43: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0;10] và
2

10

0

6

10

 f (x)dx 7
0

và

6


 f (x)dx 3 .
2

Tính

P  f ( x)dx   f ( x)dx.
Câu 44: Cho hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ.
Đặt g ( x)  f ( f ( x )  1) . Tìm số nghiệm của phương trình g  ( x) 0

Câu 45: Cho số phức z a  bi (a, b  ) thỏa mãn (2  i)( z 1  i)  (2  3i)( z  i) 2  5i . Tính
S 2a  3b .

Câu 46: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên bằng cạnh đáy và
bằng a . Gọi M là trung điểm của SC. Góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và ( ABCD) bằng
Câu 47: Trong không gian Oxyz , gọi A là điểm đối xứng của điểm A(1;1;1) qua đường thẳng
 x 6  4t

d :  y  2  t . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oyz ) .
 z  1  2t

Câu 48: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình x 2  3log2 x  x log2 5 .
Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có SC  ( ABC ) và tam giác ABC vuông tại B . Biết AB a, AC a 3
6
và góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng  với cos  
 Tính độ dài SC theo a .
19
Câu 50: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 . Khối chóp có thể
tích lớn nhất bằng bao nhiêu?



BẢNG ĐÁP ÁN

1.A

2.A

3.D

4.D

5.C

6.B

7.B

8.B

9.B

10.C

11.A

12.A

13.B

14.C


15.A

16.B

17.B

18.A

19.B

20.D

21 .B

22.D

23.C

24.A

25. A

26.A

27.B

28.C

29.A


30.D

31. A

32.B

33.A

34.C

35.A

36.-10

37.2

38.3

39.55

40.1

41.4

42.42

43.4

44.9


45.5

46.45

47.3

48.3

49.6a

50.576

PHẦN 1. TƯ DUY ĐỊNH LƯỢNG
Câu 1: Chọn A
Câu 2: Ta có v(t) s (t) t 2  2t  9 .
Ta có: v 2t  2  v 0  t 1
Tính: v(1) 8; v(10) 89, v(0) 9 .
Vậy vận tốc lớn nhất là 89( m / s) . Chọn A
Câu 3: Ta có: log

a

a log 1 a 2 log a a 2 . Chọn D
a2

2
2
2
Câu 4: Ta có: D m  m  2, D x  2 m  2 m  6, D y 2 m  3 m  5


Hệ phương trình có nghiệm khi D 0  m  1; m 2
Hệ có nghiệm x 

 2m 2  2m  6
2m 2  3m  5
,
y

m2  m  2
m2  m  2


 2
m  m  2  0

Hệ phương trình có nghiệm âm khi  2
2 m  3 m  5  0


 m   1

5
  m  2
   m   1 . Chọn D

2
 5



m

1
 2

Câu 5: Ta có z1  2 z2 (1  i )  2.(2  i) 5  3i
Vậy điểm biểu diễn số phức z1  2 z2 có tọa độ là (5;3) . Chọn C



Câu 6: (P) có véc-tơ pháp tuyến n1 (2;  2;1) suy ra n 2.n1 (4;  4; 2) là véc-tơ pháp tuyến của ( P) .
Chọn B


Câu 7: Ta có NM (3; 2;  2), NP (2; m  2;1) .
 
Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi NM.NP 0
 3.2  2.(m  2)  2.1 0  m 0 . Vậy giá trị cần tìm của m là m 0 . Chọn B
Câu 8: Bất phương trình

3x  5
x2
 1
 x  9 x  15  6 2 x  4  6 x  x  5 .
2
3

Vì x  ,  10  x  5 nên có 5 nghiệm nguyên. Chọn B
Câu 9: sin 2 x  3cos x 0  2sin x.cos x  3cos x 0  cos x.(2sin x  3) 0





cos
x

0

x

 k (k  )

2

 sin x  3 ( loai vì sin x  [  1;1])

2
Theo đề: x  (0;  )  k 0  x 
u5  15

Câu 10: Ta có: 
u20 60
 S20 20u1 


. Chọn B
2

u1  4d  15



u1  19d 60

u1  35
.

d 5

20.19
20.19
.d 20.( 35) 
.5 250 . Chọn C
2
2

dx
1
 ln | 2 x  1| C .
Câu 11: Ta có F ( x) f ( x)dx 
2 x 1 2
F (0) 1 

1
1
1
ln1  C 1  C 1  F ( x)  ln | 2 x  1| 1  F ( 2) 1  ln 3. Chọn A
2
2
2


Câu 12: Ta có f (x)  2x  m  m  f (x)  2x(*) . Xét hàm số g(x) f (x)  2x trên (0; 2) .
Ta có g (x) f  (x)  2  0, x  (0; 2) nên hàm số g(x) nghịch biến trên (0; 2) .
Do đó (*) đúng với mọi x  (0; 2) khi m  g (2)  f (2)  4 . Chọn A
10 
t2  4 
2

Câu 13: Quãng đường ô tô đi được là: s 

dt 32,8 m . Chọn B
5
t 4 


Câu 14: Tổng số tiền người nhận hợp đồng lãnh sau 5 năm:
S kn  A.n

(1  r ) k  1
với A 8 triệu; n 6 tháng; k 10 ( 5 năm là 10.6 tháng); r=10 %.
r

 Skn 8.6

(1  10%)10  1
480 1.110  1 (triệu đồng). Chọn C
10%


Câu 15:  
 4




2 x 3

 
 
 4



2 x 2 3 x

 2 x  3 2 x 2  3 x  2 x 2  x  3 0  

3
 x 1 .
2

 3 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là   ;1 . Chọn A
 2 
Câu 16: Ta có phương trình

2  sin x 0 vô nghiệm nên:






0

0



V   ( 2  sin x ) 2 dx   (2  sin x)dx  (2 x  cos x) 0 2 ( 1) . Chọn B
Câu 17: Khi m 0 thì y 2x 2  1 đồng biến trên (0; ) nên đồng biến trên (1; ) .
Như vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 x 0
Xét khi m 0 (lúc đó hệ số m  0 ): y 4m x  4(4m  1) x, y 0   2 4m  1 .
x  2
m

2



2 3





 x1 0

4m  1
4m  1
1



 0 , tức là m  thì y 0   x2 
+ Nếu
. Ta có bảng biến thiên:
2
m
m
4

4m  1

x

3

m

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên (1; ) thì



1

m




1
1

4
m 
m 



4
4
  m 2  3 
4m  1 m 2
m2  4m  1 0  


  m 2  3




1

4m  1
m 
4
1  
m
 4 m  1 m


1
 4  m 2 


 m 2  3

3

.

1

m 
4 thì y  0  x 0  hàm số đồng biến trên (0; ) nên đồng biến trên (1; ) .
+ Nếu 
 m 0
 m 2  3
Như vậy, hàm số đồng biến trên (1; ) khi 
.
 m 2  3
Từ đó suy ra có 16 giá trị nguyên của m  ( 10;10) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B
Câu 18: Thay z a  bi vào iz 1  3i ta được
 a 3
i (a  bi ) 1  3i  ai  bi 2 1  3i   b  ai 1  3i  
b  1
Vậy số phức z 3  i  | z | 9  1  10 . Chọn A
Câu 19: Gọi số phức z x  yi ( x, y  ) :
( z  2i )( z  2) ( x  yi  2i )( x  yi  2) x 2  y 2  2 x   2 y  2i ( x  y  2) là số thuần ảo thì:
x 2  y 2  2 x  2 y 0  ( x  1) 2  ( y  1) 2 2
Vậy tập hợp điểm M(x; y) : (x  1) 2  (y  1) 2 2 là một đường trịn có tâm I(1;1) . Chọn B


Câu 20: Điểm M  Ox  M(m;0) . Ta có AB (1;7) và AM (m  2;3) .

Để A, B, M thẳng hàng 

m 2 3
17
  m  . Chọn D
1
7
7


 5
Câu 21: Vì M là trung điểm của BC  M  5; 
 2
Phương trình đường thẳng

AM :

x 1 y 4

 AM : 3 x  8y  35 0
. Chọn B
5 1 5  4
2

Câu 22: (P) là mặt phẳng vng góc với đường thẳng AB nên (P) có một vectơ pháp tuyến là

B(3;0;  1) ,
(P)
và
đi

qua
phương
trình
mặt
phẳng
là
AB (4;  2;  3)
4( x  3)  2 y  3( z 1) 0  4 x  2 y  3 z  15 0. Chọn D
Câu 23: Ta có: AB  AC  2 .
Gọi H là trung điểm của cạnh AB thì AH  BC và AH 1 . Quay tam giác ABC quanh trục BC thì
được khối trịn xoay có thể tích là:

1
2
V 2. HB. AH 2   Chọn C
3
3
1 2
1 2
Câu 24: Thể tích phân khối nón V   r h   3 .4 12 .
3
3

2
2 3
3
Phân nửa thể tích khối cầu V   R   3 18 .
3
3
Thể tích khối đồ chơi V 12 18 30 . Chọn A

Câu 25: Tam giác ABC đều cạnh 2a  SABC 

(2a) 2 3
a 2 3 .
4

Thể tích khối lăng trụ là V SABC .AA a 2 3.a 3 3a 3  Chọn A
Câu 26:


Trong mặt phẳng (ABCD) , gọi E MN  AC . Trong mặt phẳng (SAC) , gọi H EG  SC .
 H  EG; EG  (MNG)
 H SC  (MNG).
Ta có: 
 H  SC
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SG và SH .
 IJ / /HG
CH CE
 A, I, J thẳng hàng. Xét ACJ có EH / /AJ 

3  CH 3HJ .
Ta có 
HJ EA
 IA / /GE
Lại có SH 2HJ nên SC 5HJ . Vậy

SH 2
 . Chọn A
SC 5


Câu 27: Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0;c) . Phương trình mặt phẳng (P) là:

x y z
  1 .
a b c

Gọi H là hình chiếu của O lên (P) . Ta có: d(O;(P)) OH OM .

Do đó maxd (O;(P)) OM khi và chỉ khi (P) qua M(1; 2;3) nhận OM (1; 2;3) làm VTPT. Do
đó ( P) có phương trình:

1( x  1)  2( y  2)  3( z  3) 0  x  2 y  3 z 14 

x y z
 
1
.
14 7 14
3

14
1
1
14 686
. Chọn B
Suy ra: a 14, b 7, c  . Vậy VO. ABC  .OA.OB.OC  .14.7. 
3
6
6
3

9

Câu 28: Chọn OB ( 2;3;1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
 x 1  2t

Phương trình đường thẳng qua A(1; 2;  3) và song song với OB là  y 2  3t . Chọn C
 z  3  t



2

2
Câu 29: Ta có y (2 x  4) f x  4 x  2 x  4 (2 x  4)  f x  4 x  1 .







 2 x  4 0
 x  2 (1)
y  0    2
  2
 f x  4 x  1 0
 f x  4 x  1 0






Từ đồ thị hàm số f  (x) ta có








f  x 2  4 x  1 0  f 








 2
 x  4 x  4
2
x  4 x 1   x 2  4 x 0

 2
 x  4 x a  (1;5)






 x  2  ( 5;1)
 x 0  ( 5;1)

 x  4  ( 5;1)
(2)

 x  2  4  a  ( 5;1)

 x  2  4  a  ( 5;1)

Từ (1) và (2) y ' 0 có 5 nghiệm đều là nghiệm bội lẻ nên đạo hàm đổi dấu khi qua các nghiệm, do đó đồ
thị hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn A
Câu 30:



 8 4 8
OA

(2;
2;1),
OB   ; ; 
Ta có:
 3 3 3
 

16 8 8 
 OA.OB 

  0  OA  OB
3 3 3
Lại có: OA 3, OB 4  AB 5 .

Gọi D là chân đường phân giác trong góc AOB
 D thuộc đoạn AB.


DA OA 3
3
 12 12 

  DA  DB  D  0; ;  .
Theo tính chất của phân giác trong ta có:
DB OB 4
4
 7 7
1
OA  OB  AB
6
Tam giác OAB có diện tích S  .OA.OB 6 , nửa chu vi p 
2
2
S
OA.OB 12
 r  1 là bán kính đường trịn nội tiếp; chiều cao OH 
 .
p
AB
5

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB  I thuộc đoạn OD .
a 0

DI
r
5
5


  DI  DO  I (0;1;1) hay  b 1
Ta có:
DO OH 12
12
c 1

Vậy S a  b  c 2 . Chọn D
Câu 31:


Đặt hàm h( x) 4 f ( x)  x 2 .
h ( x ) 4 f  ( x)  2 x
 x  2
1
h ( x ) 0  f ( x)  x   x 0
2
 x 4





h(0) 4 f (0)  02 0
Bảng biến thiên

Hàm số g(x) | h(x) | đồng biến trên từng khoảng (a;  2), (0; 4) và (b; ) với a  (  ;  2), b  (4; )
2
Vậy chọn đáp án A , hàm số g ( x)  4 f ( x )  x đồng biến trên khoảng (0; 4) . Chọn A

 mx  2 x  1 x  1

Câu 32: Ta có | mx  2 x  1|| x  1| 
 mx  2 x  1  ( x  1)
Xét (1), ta có:
m  1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x   .
m  1 thì phương trình có nghiệm x 0 .

Xét (2), ta có:
m  3 thì phương trình vơ nghiệm.
m  3 thì phương trình có nghiệm x 

2
.
m3

 (m  1) x 0 (1)
 (m  3) x 2 (2) .



Vì


2
2
0, m  3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x 0, x 
khi m  1 và
m 3
m3

m  3 . Mà m  [ 5;5] và m    m  { 5;  4;  2;0;1; 2;3; 4;5}  có 9 giá trị m . Chọn B
2

Câu 33: Ta có:  f  (x)  4.  2x 2  1  f (x) 
2

  f  ( x)   4 x. f  ( x)  4 x 2 12 x 2  4  4  x. f  ( x)  f ( x) 
2

  f  ( x)  2 x  12 x 2  4  4[ x. f ( x)]
1

2

1

1

1

2

2


  f '  x   2x  dx  12x  4  dx  4  x.f  x   'dx   f '  x   2x  dx 8  4  x.f  x  
0



0

1

 f
0



0

2

( x )  2 x  dx 8  4. f (1) 

1

 f
0



0


1

0

2

( x)  2 x  dx 0  f  ( x) 2 x


2
Từ đó: f ( x ) f ( x )dx 2xdx x  C mà f (1) 2  C 1 nên f ( x ) x 2  1
1
1
3
x. f ( x)dx  x x 2  1 dx  . Chọn A
Vậy I 
0
0
4





7
Câu 34: Số các chữ số có 8 chữ số đơi một khác nhau là 9.A9  Khơng gian mẫu  có số phân tử bằng

n() 9.A 97 .
Gọi B: “số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 25”
Một số chia hết cho 25 tận cùng bằng 00, 25, 50, 75 .

Nhưng vì số đó có các chữ số khác nhau nên số đó tận cùng bằng 25, 50,75 .
5
TH1: Số đó tận cùng bằng 25 hoặc 75 , khi đó số các số là: 2.7.A 7
6
TH2: Số đó tận cùng bằng 50 , khi đó số các số là: A8 .

5
6
Suy ra, số các số có 8 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 25 là: n(B) 2.7.A 7  A8

Suy ra P ( B) 

2.7. A75  A86 11

. Chọn C
9. A97
324

Câu 35: Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vng góc của A, E trên mặt phẳng (BCD). Khi đó H, I  DM
với M là trung điểm BC . Ta tính được AH 

(BCD) EMD


a 6
a 3
a 3
. Ta có góc giữa (P) với
, DH 
, MH 

3
3
6


 tan  

EI 5 2
.

MI
7

Gọi DE  x 

DE EI
DI


AD AH DH

a 6
x
DE.AH
3 x 6
 EI 

AD
a
3

DE.DH
DI 

AD

a 3
x
3  x 3  MI DM  DI  a 3  x 3 .
a
3
2
3

x 6
EI 5 2
5 2
5
3



 x a.
Vậy tan  
MI
7
7
8
a 3 x 3

2

3
Khi đó:

VDBCE DE 5
V
3

  ABCE  . Chọn A
VABCD AD 8
VBCDE 5


Câu 36: Ta có: y 

 10
 10
 k  y   x0   y  (3) 
 10 . Đáp án:  10
2
( x  2)
(3  2) 2

Câu 37: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
 f ( x) liên tục tại x  1, x 1 .
 f  ( x) đổi dấu khi x qua x  1, x 1 .
Suy ra hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x  1, x 1 .
Vậy hàm số y f (x) có 2 điểm cực trị. Đáp án: 2

Câu 38: Mặt phẳng (P) : 2x  y  1 0 có một vectơ pháp tuyến là n (2;1;0) .
Khi đó a 2, b 1, c 0  a  b  c 3 . Đáp án: 3

Câu 39: TH1: Có 8 chữ số 8 . Có 1 số
TH2: Có 1 chữ số 1,7 chữ số 8 . Có 8 cách xếp chữ số 1 nên có 8 số.
TH3: Có 2 chữ số 1,6 chữ số 8 . Xếp 6 số 8 ta có 1 cách.


2
Từ 6 số 8 ta có 7 chỗ trống để xếp 2 số 1 . Nên ta có: C7 21 số.

TH4: Có 3 chữ số 1,5 chữ số 8 .Tương tự TH3, từ 5 chữ số 8 ta có 6 chỗ trống để xếp 3 chữ số 1.Nên có:
C63 20 số.
4
TH5: Có 4 chữ số 1, 4 chữ số 8 . Từ 4 chữ số 8 ta có 5 chỗ trống để xếp 4 chữ số 1 .Nên có: C5 5 .

Vậy có: 1  8  21  20  5 55 số. Đáp án: 55
Câu 40: lim
x 1

Do đó lim
x 1
lim
x 1

f ( x)  10
1
1
5 nên f ( x )  10  x
 5( x  1) hay f ( x )  x
 5x  5
x 1


f ( x)  10
5 x  5  10
5( x  1)( x  1)
lim
lim
( x  1)( 4 f ( x)  9  3) x 1 ( x  1)( 4(5 x  5)  9  3) x 1 ( x  1)( 20 x  29  3)

5( x  1)
1 . Đáp án: 1
( 20 x  29  3)

Câu 41: Ta có: f  (x) 12t 2  2t 3 , x  [0;6] .
Khảo sát hàm f  (x) .

 t 0

2

Ta có f (t ) 24t  6t ; f (t ) 0  
.
 t 4
Vậy tốc độ truyền lớn nhất sẽ lớn nhất vào ngày thứ 4 . Đáp án: 4
Câu 42: Xét hàm số f (x) 3x 4  8x 3  6x 2  24x  m trên  . Ta có f  (x) 12x 3  24x 2  12x  24 .
 x  1
f ( x) 0   x 2 . Bảng biến thiên của hàm số :
 x 1


4
3

2
Dựa vào BBT suy ra đồ thị hàm số y  3 x  8 x  6 x  24 x  m có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị

của hàm số f (x) 3x 4  8x 3  6x 2  24x  m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt


13  m  0

 8  m  13 . Mà m nguyên nên m {9;10;11;12} S .
8  m  0
Suy ra tổng tất cả các phần tử của tập S là 42. Đáp án: 42
Câu 43:

10


0

f ( x)dx 7 

2

6

10

0

2


6

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 7 

2

10

0

6

 f ( x)dx   f ( x)dx 4 .

Đáp án: 4
Câu 44:

Ta có g  ( x )  f  ( x). f  ( f ( x)  1)
 f  ( x) 0
 g  ( x) 0   
 f ( f ( x)  1) 0
 x a  ( 1;0)

+) Với f ( x) 0   x 1
 x b  (1; 2)


 f ( x )  1 a  ( 1;0)



+) Với f ( f ( x )  1) 0   f ( x)  1 1
 f ( x )  1 b  (1; 2)


 f ( x) a  1  (0;1)
 f ( x) 2

 f ( x) b  1 (2;3)

Từ đồ thị hàm số f (x) ta có:
- Phương trình (1) có 2 nghiệm.
- Phương trình (2) có 2 nghiệm khơng trùng với 2 nghiệm của phương trình (1).
- Phương trình (3) có 2 nghiệm khơng trùng với 2 nghiệm của phương trình (1) và 2 nghiệm của phương
trình (2).
Vậy phương trình g  ( x) 0 có tất cả 9 nghiệm. Đáp số: 9
Câu 45: Ta có z a  bi (a, b  )  z a  bi
Vậy (2  i)(z  1  i)  (2  3i)(z  i) 2  5i  (2  i)(a  bi 1  i)  (2  3i)(a  bi  i) 2  2bi)
 (2  i)(a  1  (b  1)i)  (2  3i)(a  (b  1)i) 2  5i
 2(a  1)  2(b  1)i  (a  1)i  (b  1)i 2   2a  2(b  1)i  3ai  3(b  1)i 2  2  5i
 2a  2  (2b  2)i  (a  1)i  b  1  2a  (2b  2)i  3ai  3b  3 2  5i


 2b 2
  2b  (4a  4b  3)i 2  5i  

 4a  4b  3 5

a 1

b  1


Suy ra S 2a  3 b 2.1  3.( 1) 5 . Đáp án: 5
Câu 46: Gọi O là tâm hình vng ABCD

BD  SO
 BD  (SOC)  BD  OM
Ta có: 
BD  AC
(MBD)  (ABCD) BD


 OC) MOC.

 ((MBD),(ABCD))
(OM,
BD  OM
BD  OC

Có OM MC 

SC a
a 2
  ΔMOCMOC cân tại M;OC 
.
2 2
2

a 2
OC
2




cos MOC
cos MCO

 2 
 MOC
45 .
SC
a
2

Vậy ((MBD),
(ABCD)) 45 .
Đáp án: 45
Câu 47: Gọi H là hình chiếu của A trên d  H  d  H(6  4t;  2  t;  1  2t) .


Ta có AH (5  4t;  3  t;  2  2t ) , d có VTCP u ( 4;  1; 2) .
 
Vì AH  d  AH.u 0  24t  24 0  t 1  H(2;  3;1) .
Gọi A ' là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d nên A (3;  7;1) .
Khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (Oyz) là: d  A';(Oyz)  3 .
Đáp án: 3
t
Câu 48: Điều kiện: x  0 . Đặt t log 2 x  x 2 .
t 2

 


Khi đó (*)  2

t

 

3  2
t

t log 2 5

t

t

 4  3
 4  3  5       1.
 5  5
t

t

t

t

t

t


4  3 3
 4  3
 4
Xét hàm số f (t)       f  (t)   ln    ln  0, t
 5  5
 5 5  5 5
Do đó hàm số f (t) nghịch biến trên  .


Mà f (2) 1 nên f (t )  1  f (t )  f (2)  t  2  log 2 x  2  x  4 .
Đối chiếu điều kiện ta được: 0  x  4 .
Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn. Đáp án: 3
 BH  AC
 HK  SA
.
Câu 49: Kẻ 
và 
 H  AC
 K  SA

SA (SAC)  (SAB)


 .
Khi đó: HK  SA, HK  (SAC)  ((SAC), (SAB)) (HK, BK) HKB
BK  SA, BK  (SAB)

Ta có: BC  AC 2  AB 2 a 2 .
BH 


BA.BC a 2.a a 2


AC
a 3
3


6
cos  
13
19  sin  
Khi đó: 
.
19
   0;90 



a 2
BH
BH
a 38
 BK 
 3 
Do đó: sin  
.
BK
sin 

13
39
19
 AB  SC
 AB  ( SBC )  AB  SB
Ta có: 
 AB  BC
Khi đó tam giác SAB vng tại B.
Do đó:

1
1
1
 2  2  SB2 38a 2  SB  38a .
2
BK
AB SB

Tam giác SBC vng tại C . Khi đó: SC  SB2  BC 2 6a . Đáp án: 6a
Câu 50: Gọi I là tâm mặt cầu và S.ABCD là hình chóp nội tiếp mặt cầu.