Lời nói đầu
Khoá luận này trình bày một số khái niệm cơ bản về môđun bằng ngôn ngữ
phạm trù và trình bày một định lý quan trọng về hạng tử trực tiếp tuyệt đối của
môđun trên vành các iđêan chính.
Khoá luận gồm 2 chơng :
Chơng 1 : Trình bày một cách chi tiết và hệ thống một số khái niệm về phạm
trù.
Chơng 2 : Trình bày một số khái niệm về môđun bằng ngôn ngữ phạm trù nh
vật không, cấu xạ đơn, cấu xạ lên, tích, đối tích, nhân, đối nhân, đồng thời cũng giới
thiệu khái niệm hạng tử trực tiếp tuyệt đối của môđun và chuyển một định lý quan
trọng về hạng tử trực tiếp tuyệt đối trong nhóm aben sang cho môđun trên miền
chính.


Chơng 1.
Phạm trù
Định nghĩa 1.1. Một phạm trù C là mét líp c¸c vËt A, B, C ... cïng víi
(i) Một họ các tập rời nhau Mor(A,B) với mỗi cặp các vật A, B của C ;
(ii) Với mỗi bộ ba c¸c vËt A, B, C thuéc C , x¸c định một hàm ứng với mỗi


Mor(A,B), và mỗi Mor(B,C) một phần tử



Mor(A,C) ;

(iii) Một hàm ứng với mỗi vật A thuộcC một phần tử 1A Mor(A,A);
sao cho:
a) NÕu

β )

α

α

 Mor(A,B),   Mor(B,C) ,   Mor(C,D) th× ( β

α

 Mor(A,B) th×

α

) =(

;

b) NÕu

α

1A =

α

= 1B

α


.

Chó ý 1.2.
a) NÕu   Mor(A,B), ta viÕt  : A B hoặc A B và gọi là
một cấu xạ của C từ A vào B . Cấu xạ đợc gọi là tích của các cấu xạ , .
b) Cấu xạ ổ của C đợc gọi là cấu xạ đồng nhất nếu ổ
= một khi ổ





=



và ổ

và ổ có nghĩa .

Mỗi 1A là một cấu xạ đồng nhất. Ngợc lại, nếu ổ là một cấu xạ đồng nhất,
thì ổ:

AA

với mỗi vật A nào đó và ổ = ổ1A = 1A .

Nh vậy, cấu xạ ổ của C là đồng nhất nếu và chØ nÕu ỉ =1A víi duy nhÊt mét
vËt A nµo đó của C .
Ví dụ 1.3. (Về các phạm trù)

a) Phạm trù các tập hợp C = Set. Các vật của Set là các tập hợp.
Với A, B Set, Mor(A,B) là tập hợp các ánh xạ từ A đến B. Hợp thành
các cấu xạ đợc hiểu theo nghĩa thông thờng, chẳng hạn


:

AB ;

: BC

thì





:

định nghĩa





(a) = (



(a)), a




A.

A C

đợc


Cấu xạ đồng nhất ứng với vật A là ánh xạ đồng nhất của tập hợp A.
1A = idA : A
a a,

A
a

A.



b) Phạm trù các nhóm đợc kí hiệu bởi Gr . Các vật của Gr là các nhóm. Với
A, B Gr, Mor(A,B) là tập hợp các đồng cấu nhóm từ A đến B. Hợp thành các
cấu xạ chính là hợp thành các đồng cấu nhóm. Cấu xạ đồng nhất ứng với vật A
chính là đồng cấu đồng nhất của nhóm A.
c) Phạm trù các R - môđun trái (với vành R có đơn vị ), đợc kí hiệu bởi M,
các vật là các R- môđun trái, các cấu xạ là các đồng cấu R- môđun, với phép hợp
thành các đồng cấu môđun và các đồng cấu đồng nhất idA với A M.
Định nghĩa 1.4.
Cấu xạ




của C đợc gọi là cấu xạ đơn nếu mọi biểu đồ giao hoán
ổ1
B ,
X
A
( ổ1 = ổ2)
ổ2

đều suy ra ổ1 = ổ2 .
Cấu xạ của C đợc gọi là cấu xạ lên nếu mọi biểu đồ giao hoán




A
đều suy ra



1

=



2


B

.




Y,

(



1



=



2

)

Chú ý 1.5. Nh vậy, với mỗi vật A, 1A là cấu xạ đơn và cũng là cấu xạ lên.
Thật vậy,
+ Giả sử, có
ổ1
X


ổ2

1A

A

A ,

suy ra æ1 = 1Aæ1 = 1 Aæ2 = æ2 . Vậy 1A là cấu xạ đơn .

(1Aổ1 = 1 Aæ2)


+ Gi¶ sư, cã
σ

1A

A

1

A
σ

suy ra

σ


1

σ

=

σ

1 =

1 A

θ ':

B⃗ A

NÕu θ :
viết A B .

2

1 )

2 A

đợc gọi là một tơng đơng nếu tồn tại

sao cho ' = 1A và

AB




1 =

1 A

. Vậy 1A là cấu xạ lên.

AB

Định nghĩa 1.6. Cấu xạ :



(

2



1 =

2 A

Y ,

' = 1B .

là một tơng đơng thì ta nói vật A tơng đơng với B và


Chú ý 1.7. a) Nếu là tơng đơng thì ' nh trên là duy nhÊt .
ThËt vËy, nÕu cã θ '' : B ⃗ A

sao cho θ ''

θ' = 1A θ' = θ ''

θ

θ = 1A th×

θ' = θ '' 1B = θ '' .

Vậy, ta gọi ' là cấu xạ nghịch đảo cđa θ , vµ ký hiƯu nã lµ θ

-1

.

b) TÝch của hai tơng đơng là một tơng đơng.
Thật vậy, giả sử

1

AB ;

:

2


:

B C là hai tơng đơng, tức

là
':

1

= 1A ,

1

Cần chứng minh: h =

2

' θ

minh

B ⃗ A ; θ '' : C ⃗ B

∃

∃

θ :


C⃗ A

θ '= 1B , θ '' θ
θ

1

A ⃗C

= 1B ,

2

''= 1C .

là một tơng đơng, tức lµ chøng

sao cho θ h = 1A , h θ = 1C .

ThËt vËy, lÊy θ = θ ' θ '' :
θ h = θ ' θ '' θ
θ 1)= θ ' θ 1 = 1A .

:

2

sao cho

2


θ

1

C ⃗ A , ta cã

= θ '( θ '' θ 2) θ

h θ = θ 2 θ 1 θ ' θ '' = θ 2( θ
θ 2(1B θ '') = θ 2 θ '' = 1C .

1

1

= θ '1B θ

θ ') θ '' = θ

2

1

= θ '(1B

(1B) θ '' =

VÝ dô 1.8.
(i) Trong phạm trù các tập hợp Set, mỗi ánh xạ đơn (đơn ánh) là một cấu xạ

đơn; mỗi ánh xạ lên (toàn ánh) là một cấu xạ lên; mỗi song ánh là một tơng đơng.
Chứng minh.




+) Giả sử



:A

B là đơn ánh và giả sử có biểu đồ giao hoán

ổ1
X




A

ổ2

B ,

ổ1 =




(



ổ2)



(ổ1(x)) =

Cần chứng minh ổ1 = æ2 .
ThËt vËy, ∀ x
α

æ1(x) =

α

X ta cã

¿

α

æ2(x) suy ra

(ỉ2(x))

do ®ã ỉ1(x) = ỉ2(x). VËy ỉ1 = ỉ2.


β :A

+) Giả sử



1

=

Thật vậy, xét b



B là toàn ánh và biểu đồ sau giao hoán






A

cần chứng minh



B



2

Y ,





1





1



=



2

,

.

B, a




A : (a)=b, ta có (

(b). Vì b



B là tuỳ ý nên

)(a)= (



2

)(a)
suy ra



1

+) Giả sử





(b) =



A sao cho

2

:A


-1






1



=

B là song ánh, suy ra luôn tồn tại

= 1A và






-1

= 1B . Vậy



2

.


-1

:B

là một tơng đơng.

(ii) Trong phạm trù Gr , mỗi đơn cấu nhóm là một cấu xạ đơn; mỗi toàn cấu
nhóm là một cấu xạ lên, mỗi đẳng cấu nhóm là một tơng đơng.
Chứng minh
(Hoàn toàn tơng tự nh trong phạm trù Set ).
Mệnh đề 1.9. Trong phạm trù C bất kỳ :
(i) Tích hai cấu xạ đơn là một cấu xạ đơn, tích hai cấu xạ lên là một cấu xạ
lên .
(ii) Nếu
(iii) Nếu
Chứng minh.

là cấu xạ đơn thì




là cấu xạ đơn.

là cấu xạ lên thì là cấu xạ lên.




(i) + Giả sử

: A

chứng minh
mọi





C là hai cấu xạ đơn, ta cần

C là một cấu xạ đơn, tức là chứng minh ổ1 = ổ2 với

A thoả mÃn : βα æ1 = βα æ2.

⃗

æ1 ,æ2 : X


B; β :B

⃗

:A

ThËt vËy, ta cã βα æ1 = βα æ2, suy ra
α

æ1 =

ổ2 ( vì là cấu xạ đơn và



( æ1)= β (α æ2), suy ra

æ1,

α

α

⃗

æ2 : X

B ), suy

ra ổ1 = ổ2 (vì




là cấu xạ đơn). Vậy ổ1 = ổ2 , ta có điều phải chứng minh.

+ Giả sử



:A





C là một cấu xạ lên , tức là chứng minh


minh
với mäi
σ

:A
σ

,

1

ThËt vËy, ta cã


β =

σ

2

⃗

:C

2

B; β :B

σ

1

⃗

σ

Y tho¶ m·n :

βα =



2


C là hai cấu xạ lên , ta chứng

=

1

, do

, do là cấu xạ lên , suy ra




1





1

=



.

2




là cấu xạ lên, suy ra


=

2

1

. Vậy ta có điều phải

2

chứng minh.


(ii) Giả sử



B; :B



:A

Thật vậy, với mäi ỉ1 , ỉ2 : X ⃗
ỉ2 , ®Ịu cã


β (

α

β (

æ1) =

)æ2 , suy ra æ1 = æ2 ( vì


(iii) Giả sử





, ta có (
), suy ra



1



)α
1


σ

1

=(

σ

σ

,

( βα ) =

:C

β )α

2

σ

2

2

α

A tho¶ m·n tÝnh chÊt


ỉ2), suy ra (

B; :B

C là cấu xạ lên, ta chứng minh

:A

là cấu xạ đơn .

là cấu xạ đơn ). Vậy



:A

Thật vậy, với mọi





C là cấu xạ đơn, ta cần chứnh minh

C là hai cấu xạ và










ổ1=



)ổ1 = (



là cấu xạ đơn.

C là hai cấu xạ và

:A

là cấu xạ lên .

(nhân

Y thoả mÃn :


1

( ) , suy ra




và
1

=






1

=



2

vào bên trái
là cấu xạ
2 (vì
2

lên ). Vậy là cấu xạ lên.
Mệnh đề 1.10. Trong phạm trù C , nếu cấu xạ
xạ đơn vừa là cấu xạ lên.
Chứng minh.




là tơng đơng thì nó võa lµ cÊu


Giả sử



:A



B là một tơng đơng, tức là

:B



A

sao cho

= 1A và = 1B.


Vì 1A là cấu xạ đơn nên là cấu xạ đơn; mặt khác, vì 1B là cấu xạ lên nên
là cấu xạ lên (theo mệnh đề 1.9).


* Chú ý rằng mệnh đề đảo của 1.10 cũng đúng với các phạm trù quen biết nh

phạm trù nhóm, phạm trù môđun, nhng nó không còn đúng với một phạm trù tổng
quát nữa.
Định nghĩa 1.11. Phạm trù mà mọi cấu xạ vừa là cấu xạ đơn vừa là cấu xạ lên đều
là tơng đơng đợc gọi là phạm trù cân bằng (phạm trù Balance).
Định nghĩa 1.12.
Vật A của phạm trù C đợc gọi là vật phổ dụng đầu hay vật đầu nếu với mọi
vật X của C thì

|Mor( A, X )|

= 1.

Vật B của phạm trù C đợc gọi là vật phổ dụng cuối hay vật ci nÕu víi mäi
vËt X cđa C th×

|Mor( X, B)|

= 1.

Chú ý 1.13. Nếu phạm trù có vật đầu ( hoặc vật cuối ) thì vật đầu ( hoặc vật cuối )
đó là duy nhất ( sai khác một tơng đơng ).
Chứng minh.
Giả sử A, A' đều là các vật đầu của C, theo định nghĩa vật phổ dụng đầu
: A ⃗ A' vµ ∃ ! β : A' ⃗ A suy ra
1A' , vì Mor(A,A') và Mor(A',A) có duy nhất một cấu xạ. Vậy A
!



= 1A và

A'.

=

Đối với vật cuối ta chứng minh tơng tự.
Ví dụ 1.14. a) Trong phạm trù các tập hợp Set, tập hợp rỗng là vật phổ dụng đầu.
Mọi tập hợp chỉ gồm một phần tử duy nhất là vật phổ dụng cuối.
b) Trong phạm trù các nhóm Gr, nhóm chỉ gåm mét phÇn tư duy nhÊt (phÇn
tư trung lËp) võa là vật đầu, vừa là vật cuối
c) Cho một tập hợp S, ta xây dựng một phạm trù nh sau: Mỗi vật là một ánh
xạ f : S



G, với G thuéc Gr . NÕu f : S

⃗

vËt th× Mor(f, f ') gốm tất cả các đồng cấu u : G
hoán
S

f


G

G và f ':S




G' là hai

G' làm biểu đồ sau giao


f'

u

,

f ' = u f.

G'



Vật khởi đầu trong phạm trù này là một ánh xạ g : S



mỗi nhóm G và mọi ánh xạ f : S



F sao cho với

G, tồn tại duy nhất một đồng cấu




:F

G sao cho biểu đồ sau giao hoán
g


S

G


f

f = g.

,

G'
Vật đợc gọi là nhóm tự do trên tập S.
Định nghĩa 1.15. Cho Ai , i


vật là các họ {X,

}

I


i i



I là các vật của phạm trù C . Ta xét phạm trù D ,


, trong đó

cũng là một vật của D thì cấu xạ từ {X,
là cấu xạ : X






Ai . Giả sử {Y, i} i

:X
i

}i

I

vào {Y,

i


}i

I

I

đợc hiểu

Y sao cho biểu đồ sau giao ho¸n
γ
⃗

X

i

Y

β

i

α

,

i

i


= β

γ

i

, ∀ i

I.
Ai
VËt phỉ dơng ci cđa D (nếu tồn tại) đợc gọi là tích của họ các vËt {Ai}i

¿ I.

NÕu {Y, β

}

¿ I

i i

lµ tÝch cđa hä {Ai}i

Định nghĩa 1.16. Cho Ai , i
vật là các họ {X,



}


i i

I



:X




i I

Y=

Ai.

, trong đó




i

X . Giả sử {Y, β i} i

: Ai

⃗


}

vµo {Y, β i} i

i i

¿ I

I

I

đợc hiểu là

Y sao cho biểu đồ sau giao hoán



X

ta kí hiệu

I là các vật của phạm trù C . Ta xét phạm trù D ,

cũng là một vật của D thì cấu xạ từ {X,
cấu xạ

I,


Y

β

i

I.
Ai

i

,

β

i

= γ

α

i

, ∀ i

¿


{Ai}i




Vật phổ dụng đầu của D (nếu tồn tại) đợc gọi là đối tích của họ các vật
I.


Nếu {X,

i} i

I

là đối tích của họ {Ai}i

I,


i I

ta kí hiệu X =

A i.

Định nghĩa 1.17. Phạm trù C mà mọi họ các vật trong C đều có tích (hoặc đối tích)
đợc gọi là phạm trù có tích ( hoặc có ®èi tÝch ).
Chó ý 1.18. NÕu tÝch hc ®èi tÝch của một họ các vật tồn tại thì nó là duy nhất ( sai
khác một tơng đơng ).
Thật vậy , vì tích hoặc đối tích của họ các vật tồn tại thì nó là vật phổ dụng
cuối hoặc vật phổ dụng đầu trong phạm trù D. Theo chú ý 1.13. nó là duy nhất.
Ví dụ 1.19. Phạm trù Set là phạm trù có tích và đối tích. Tức, nếu {A i}i

họ các tập hợp thì luôn tồn tại


i I


i I

Ai và

I

là một

Ai

Thật vậy .
a) Tồn tại tích : Xét tÝch descartes
A=

∏
i∈ I

Ai = {(xi) i

| xi

¿ I

Ai , i


¿

I}.

= xj , j



I.



và họ các phép chiếu






j

Bây giờ ta sÏ chøng minh {A,

α

j

:A


Aj ,

((xi) i
}

j j

¿ I)
¿ I

lµ mét tÝch cđa hä {Ai}i

¿ I

.

ThËt vËy, gi¶ sư

β

j

:B

⃗

∀ j

Aj ,


¿

I,

¿ I

,

là một họ các ánh xạ. Khi đó ánh xạ


:B



A,

(x) = (

β j(x))j

∀ x

¿

B

sÏ tho¶ m·n tÝnh chÊt
α
¿


B, ∀ j

¿

VËy γ

j

γ (x) = α

j

( γ (x)) =

α

j

(( β j(x))j

¿ I)

= j(x) , x

I.
đợc xác định duy nhất làm cho biểu đồ sau giao hoán
A





B







j



,

j

j



=



j

, j


I.
Aj
Vì vậy {A,



}

i i

I

là một tích của họ {Ai}i

b) Tồn tại đối tích : Xét hợp rời A =





: Ai

i

Ai
iI



A ,


I

.

và các phép nhúng
i

(ai ) = ai , ∀ ai

¿

A i, ∀ i

I.
α

Ta chøng minh {A,

i

}i

I



Thật vậy, giả sử
ánh xạ.


i

là đối tích của họ {Ai}i

: Ai

⃗

∀ i

¿

β i(a) , ∀ a

¿

B ,

.

¿ I

I lµ một họ các

Khi đó ánh xạ




: A


(a) =

B,

A, a = ai

¿

Ai (

∃ i ¿ I) .

sÏ tho¶ m·n tÝnh chÊt
γ

A), ∀ i

¿

α

i

(ai) = γ (

i

(ai)) = γ (ai) = i(ai) ,


ai



Ai(ai



I.

Vậy

đợc xác định duy nhất làm cho biểu đồ sau giao hoán



A





B



i

i




,

i

=



i

, i

I.
Ai
Vì vậy {A,

Định nghĩa 1.20.
phổ dụng ).



i

}i

I

là đối tích của họ {Ai}i


I

.

Vật vừa là vật đầu vừa là vật cuối đợc gọi là vật không (hay vật

Chú ý 1.21. Từ chú ý 1.13 ta suy ra vật không của phạm trù C (nếu tồn tại ) luôn
luôn là duy nhất, do vậy nó đợc kí hiệu bởi 0.
Ví dụ 1.22. a) Trong phạm trù Set không có vật không .
b) Trong phạm trù các nhóm Gr, nhóm chỉ gồm một phần tử duy nhất (phần
tử trung lập ) là vật không .
c) Trong phạm trù các môđun, môđun 0 chính là vật không .


Định nghĩa 1.23. a) Giả sử : A B là một cấu xạ , ta nói
đợc qua vật C, nếu có biểu đồ giao hoán sau



A



phân tích

B

ổ






,

ổ.



=

C
b) Cấu xạ phân tích qua vật không đợc gọi là cấu xạ "không", và đợc kí hiệu
bởi 0.
0


A

B

ổ



,

ổ.




0 =

0
Chú ý 1.24. a) Cấu xạ 0 là duy nhất nếu nó tồn tại .



Thật vậy, giả sử 0 , 0' : A

B là hai cấu xạ không . Ta có biểu đồ giao

hoán
0


A

B

ổ



,



ổ


0' =



0=

0
và
0'


A
ổ'

B


'

,

'ổ' .

0


Vì 0 là vật không nên




=

'

và

ổ = ổ' ,

suy ra

0=

0' .
b) Các cấu xạ






A; : B



:0






0;

0,

0



với

đều là các cấu xạ không , vì



0
1o

A



,



=




1o ;

0



B



1o

0
,



=1o

;


0
0


A





B

ổ

X





,

0=





ổ.

0



A

0



B

ổ



X
,



0



=0

ổ.

0
Định nghĩa 1.25. Giả sử C là phạm trù có vật không 0 và
Khi đó :



là cặp (K, ổ) với ổ : K



(i) Nhân của


hơn nữa, với mọi cặp (K', ổ') với ổ' : K'



A



là cấu xạ từ A vào B.

A sao cho

A sao cho

phân tích duy nhất qua æ, tøc tån t¹i duy nhÊt δ : K'
sau giao hoán
ổ
K





ổ = 0, và

ổ' = 0 thì ổ' đợc






K sao cho biểu đồ

B

ổ'

ổ = ổ'.

,

K'
(ii) Đối nhân của


cho



đợc hiểu là cặp (

= 0, và hơn nữa, với mọi cặp (



' = 0, thì ' phân tích duy nhất qua
cho biểu đồ sau giao hoán




B




'




, C) với

', C') víi

σ

A

σ

σ

σ

':B

:B

⃗


⃗

C sao

C' sao cho

, tøc ∃ ! η : C



C' sao

C




,



=

'.
C'

Chú ý 1.26.
a) Nhân của




nếu tồn tại, đợc xác định duy nhất, sai khác một tơng đơng;

tức là, nếu (K, ổ), (K', ổ') cùng là nhân của



thì K



K'.


Thật vậy, vì (K, ổ), (K', ổ') cùng là nhân của
ổ



K




A

ổ'




nên ta có

B
ổ' = ổ

,

,

K'
và
ổ
K

A

'

B

ổ'

ổ = ổ' ' .

,

K'
K






Từ đây suy ra
K'.

' = 1K ; δ ' δ = 1K', nªn δ

b) NÕu (K, ổ) là nhân của



Thật vậy, giả sử với mọi




ổ

X

là một tơng đơng. Vậy

thì ổ là cấu xạ đơn.
1

,

1


K

2

: X



K thoả mÃn

ổ

A ,

1

=ổ

,

2

2

ta cần chỉ ra

= δ

1


.

2

XÐt
æ
K ⃗
δ

1,

δ

A ⃗
æ δ

2

B

1

X
Ta cã

α

(æ δ


)=(

1

α

æ) δ

1

= 0 ( do (K, ổ) là nhân của

Nh vậy 1, 2 đều thoả mÃn biểu đồ giao hoán trên. Vậy
(do tÝnh duy nhÊt cđa cÊu x¹ tõ X tíi K) .
Chú ý 1.27. Ta cũng chứng minh đợc đối nhân (C,
nhất và là cấu xạ lên .
Chứng minh.



) của



1



).


=



1

nếu tồn tại là duy


+) Giả sử ( ,C) và (
phải chứng minh C C'.
Thật vậy, vì (





',C') cùng là đối nhân của


,C) và (



A








:A


',C') cùng là đối nhân của

B




B , ta

nên ta cã :

C
∃ ! η

'

η

,

σ

=

'.

C'
α
⃗

A

σ
σ

σ
⃗

B

C
∃ ! η '

'

η ' σ '=

,

.
C'

' = 1C' và

Từ đây, ta suy ra
ơng. Vậy C C'.

+) (C,





) là đối nhân của

' = 1C , suy ra

, ta ph¶i chøng minh

⃗

ThËt vËy, gi¶ sư với mọi p, q : C

C

cấu xạ lên.

Y thoả mÃn

Y ,

q

là một tơng đ-




p





B



p



=q



ta cần chỉ ra p = q.
Xét


A




B






'

C

p,q

Y
Ta cã
cđa α ).

σ

'

α

= (p

σ

)

α

= p(

σ


α

) = 0 (do (C,

σ

) lµ đối nhân

Suy ra p, q cùng thoả mÃn biểu đồ giao hoán trên . Vậy p = q (do tính duy
nhÊt cđa cÊu x¹ tõ C tíi Y ).


Chơng 2.
Phạm trù các môđun.

2.1.

Một số khái niệm cơ bản.

Định nghĩa 2.1.1. Ta gọi là một vành mỗi tập hợp R
hai ngôi :



cùng với hai phép toán

Phép cộng:
+: R


R






(x,y)

R
x + y.

và phép nhân :
.: R



R

(x,y)



R

xy .

thoả mÃn các điều kiện sau đây :
(i) R là một nhóm abel ®èi víi phÐp céng.
(ii) PhÐp nh©n cã tÝnh chÊt kÕt hỵp : (xy)z = x(yz), ∀ x, y, z

(iii) PhÐp nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng :
(x + y)z = xz + yz ,
z(x + y) = zx + zy ,

∀

x, y, z

¿

R.

Khi hai phÐp to¸n đà rõ ta sẽ nói đơn giản R là một vµnh.

¿

R.


Nhóm (R, +) đợc gọi là nhóm cộng của vành với phần tử trung lập của nó đợc
kí hiệu là 0.
Vành R đợc gọi là giao hoán, nếu phép nhân của nó giao hoán, nghĩa là xy =
yx, với mọi x, y R.
Vành R đợc gọi là vành có đơn vị, nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có
phần tử 1 R sao cho 1x = x1 = x với mọi x R.
Định nghĩa 2.1.2. Cho R là một vành có đơn vị. Ta gọi một môđun trái trên R hay
R- môđun trái là mét nhãm abel céng X cïng víi mét hµm
μ

tõ tÝch đề các R




:R

X





X

X vào X thoả mÃn ba điều kiện sau:

(i) Hµm μ lµ song céng tÝnh, nghÜa lµ :
μ ( α +

β ,x) = μ (

μ ( α , x+y) =
¿

R, ∀ x, y

¿

¿

, x) + μ ( β , x),


μ ( α , x) +

μ ( α , y),

∀

α

, β

X.

(ii) μ (
∀ x

α

α

, μ ( β ,x)) = μ ( αβ , x),

∀

α

, β

¿


R,

X.
(iii) μ (1, x) = x , x



X.

Hàm đợc gọi là phép nhân vô hớng của môđun X. Với mỗi R, mỗi
x X, phần tử ( , x) của X đợc gọi là tích vô hớng của x với và đợc kí
hiệu là x. Theo cách kí hiệu này, các điều kiện từ (i) đến (iii) đợc viết lại nh sau
:
(



+ )x =

(x + y) =
α

α

α

x+

x + β x,
α


y,

( β x) = αβ x ,
1x = x , ∀α ,β∈¿ ¿ R, ∀ x,y∈¿ ¿ X.

* Tơng tự, một môđun phải trên R là một nhóm aben X cùng với một hàm


: X



R



X

thoả mÃn các điều kiện giống nh (i), (iii) trong đó các vô hớng đợc viết ở bên phải
và


μ
¿

( μ (x,

α


), β ) = μ (x, αβ );

X hay đợc viết lại nh sau :



R, x



(x







,



) = x( ),

R, x




,


X.



Nh vậy các môđun trái và môđun phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm : khi



một tích



R " tác động " trên các môđun này thì



"tác động" trớc hay

"tác động" trớc. Do đó, nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm môđun trái
và môđun phải trên R là trùng nhau.
Nếu không nói rõ gì thêm thì thuật ngữ R- môđun là chỉ các R- môđun trái,
trong đó R là vành có đơn vị, không nhất thiết phải là vành giao hoán. Trong trờng
hợp cần thiết, ta sẽ nói rõ R- môđun phải hay hai phía.
Ví dụ 2.1.3. (Về môđun)
a) Lấy R là vành Z tất cả các số nguyên. Với một nhóm abel bất kì X, hàm
: Z X ⃗ X, μ (n,x) = nx, ∀n∈¿ ¿ Z, x X thoả mÃn các điều
kiện (i), (ii), (iii). Nh vậy, mọi nhóm abel đều có thể xem là một môđun trên vành Z
tất cả các số nguyên.



b) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên một vành bất kì, nó
đợc gọi là môđun "không" .
c) Mỗi vành có đơn vị R là một môđun trên chính nó. Mỗi iđêan trái của R
cũng là một R - môđun ( trái ).
d) Mỗi vành có đơn vị là một môđun trên mọi vành con chứa đơn vị của nó.
e) R là một vành có đơn vị, S là một tập,tập X = Rs tất cả các hàm
f:S



R

lập thành một nhóm aben đối với các hàm đợc ®Þnh nghÜa

bëi
(f + g)(s) = f(s) + g(s) ; ∀ f, g

¿

X, ∀ s

¿

S.

XÐt hµm
μ

¿


X, ∀ s

¿

X

⃗

X

μ ( α ,f) = α f víi ( α f)(s) = α (f(s)),

xác định bởi
f

:R







R,

S.

Ta thấy rằng thoả mÃn các điều kiện (i), (ii), (iii). Theo định nghĩa 2.1.2,
X là một môđun trên R.



Sau đây là một vài tính chất cơ bản của môđun:
Tính chất 2.1.4. Với mọi a, b

R, mọi x, y





X ta cã

(i) 0x = 0, a0 = 0.
(ii) a(-x) = (-a)x = - ax.
(iii) a(x - y) = ax - ay , (a - b)x = ax - bx.
Chøng minh.
(i) 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x. Suy ra 0x = 0.
a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Suy ra a0 = 0.
(ii) 0 = a0 = a(x + (-x)) = ax + a(-x).
Suy ra a(-x) =

- ax.

0 = 0x = (a + (-a))x = ax +(- a)x.
Suy ra (- a)x = - ax.
Từ hai đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh.
(iii) Đây là hệ quả trực tiếp (ii).

Định nghĩa 2.1.5. Giả sử X là một R- môđun. Tập con A X đợc gọi là một

R- môđun con của X nếu A bản thân nó là một R- môđun ( với phép cộng và phép
nhân với vô hớng trên X đợc hạn chế trên A).
Ví dụ 2.1.6. ( Về môđun con ).
a) Mọi nhãm con A cđa mét nhãm aben céng X ®Ịu là một môđun con của
môđun X trên Z.
b) Mọi iđêan A của một vành giao hoán X với đơn vị 1 đều là một môđun con
của X xem nh một môđun trên chính nó.
c) Nếu A là một iđêan trái của vành R, và M là một R- môđun, thì
AM = {a1x1 + ... + anxn | ai

¿

Ai , xi

¿

M, n



N} là một môđun con của

M.
Bổ đề 2.1.7. Mọi tập con không rỗng A của một R- môđun X là một môđun con
của X nếu và chỉ nếu với mọi x, y ¿ A, mäi α ¿ R : x + y A và x
A.

Chứng minh.
Do định nghĩa của môđun con, ta có điều kiện cần. Điều ngợc lại tơng đơng
với mọi x A thì phần tử đối - x của nó cũng thuộc A. Điều này là đúng vì - x =

(-1)x thuộc A. Vậy A là môđun con .



Định nghĩa 2.1.8. Giả sử X, Y là các R- môđun, ánh xạ f : X Y đợc gọi
là đồng cấu môđun nếu f là đồng cấu đối với các nhóm aben X, Y và bảo toàn phép
nhân với vô hớng. Nói cách khác f là đồng cấu của môđun X vào môđun Y nếu và
chỉ nếu với mọi x, y ¿ X; víi mäi α∈¿ ¿ R :
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(

α

x) =

α

f(x).

VÝ dơ 2.1.9.(VỊ ®ång cấu môđun)
a) ánh xạ đồng nhất 1A : A A là đồng cấu môđun đối với mọi
môđun A. Nó đợc gọi là đồng cấu đồng nhất của môđun A.
b) ¸nh x¹ 0 : X
bëi 0(x) = 0 víi mäi x
thờng.



Y của một R- môđun X vào R-môđun Y xác định
X là một đồng cấu môđun . Nó đợc gọi là đồng cấu tầm




c) Đồng cấu Z- môđun chính là đồng cấu nhóm aben.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của đồng cấu môđun .



Tính chất 2.1.10. Với mäi ®ång cÊu f : X
¿ R ta cã :

Y, mäi x, y

¿

X , mäi α , β

(i) f(0) = 0.
(ii) f(-x) = - f(x).
(iii) f(

α

x + β y) =
n

(iv) f(

∑i=1 α


f(x) + β f(y).

α
n

x) =

i i

∑i=1 α

i

f(xi).

Chøng minh.
(i) f(0) = f(0 +0) = f(0) + f(0). Suy ra f(0) = 0.
(ii) f(- x) = f((-1)x) = (-1)f(x) = - f(x).
(iii) f(

α

x + β y) = f(

α

x) + f( β y) =




f(x) + f(y).

(iv) Đây là kết quả trực tiếp của (iii).

Định nghĩa 2.1.11. Một đồng cấu f : X
môđun Y đợc gọi là:



a) Đơn cấu nếu nó cũng là đơn ánh.
b) Toàn cấu nếu nó cũng là toàn ánh.

Y của một R- môđun X vào R -


c) Đẳng cấu nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Khi đó ta nói hai môđun
X và Y đẳng cấu với nhau, kí hiệu X



Y.

d) Nếu X bằng Y thì f đợc gọi là tự đồng cấu của X. Mỗi tự đồng cấu mà
cũng là đẳng cấu đợc gọi là tự đẳng cấu.
Thí dụ, đồng cấu đồng nhất
1X : X



X


là một tự đẳng cấu của môđun X.
Mệnh đề 2.1.12. Giả sử f : X Y là một đồng cấu từ R- môđun X vào Rmôđun Y và A là một môđun con của X, B là một môđun con của Y. Khi đó:
a) ảnh f(A) = {f(x) | x
b) ảnh ngợc f-1(B) = {x

A} là một môđun con của Y.




X | f(x) = y



B } là một môđun con của X.

Chứng minh.
a) Chứng minh f(A) là một môđun con của Y, giả sử



R và x, y
f(A) là tuỳ ý cho trớc. Theo định nghĩa của f(A) tồn tại những phần tử a, b A
sao cho f(a) = x, f(b) = y. Vì A là môđun con nên a + b A và a A
(theo bổ đề 2.1.7). Mặt khác, do f là đồng cấu nên x + y = f(a) + f(b) = f(a + b) ¿
f(A) vµ α x = α f(a) = f( α a) ¿ f(A). Theo bæ đề 2.1.7, f(A) là một môđun
con của Y.



R và a, b
b) Chứng minh f-1(B) là một môđun con của X, giả sử

f-1(B) là tuỳ ý cho trớc. Theo định nghĩa của f-1(B) ta có f(a) B và f(b)
B. Do f là đồng cấu và B là môđun con nên theo bổ đề 2.1.7. ta có f(a + b) =
f(a) + f(b) ¿ B vµ f( α a) = f(a) B . Lại theo định nghĩa của f-1(B) các
đẳng thức trên chứng tỏ rằng a + b ¿ f-1(B) vµ α a ¿ f-1(B) hay f-1(B) là một
môđun con của X ( theo bổ đề 2.1.7).


Định nghĩa 2.1.13.
a) Imf = f(X) đợc gọi là ảnh của đồng cấu f.
b) Kerf = f-1(0) đợc gọi là hạt nhân của đồng cấu f.
Mệnh đề 2.1.14. Giả sử f : X
môđun Y. Khi đó :



Y là một đồng cấu từ R- môđun X vào R-

(i) f là đơn cÊu nÕu vµ chØ nÕu Kerf = 0,
(ii) f lµ toµn cÊu nÕu vµ chØ nÕu Imf = Y.
Chøng minh.