Chương 3
Tích phân và một số ứng dụng
Từ Chương 2, ta biết rằng nếu hàm số f (x) khả vi trong khoảng (a, b) thì có đạo
hàm trong khoảng (a, b) và ta hồn tồn tính được đạo hàm của hàm số trong khoảng
đó. Một bài tốn đặt ra là nếu cho trước một hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b)
thì liệu có tồn tại một hàm số F (x) khả vi trong khoảng (a, b) và F 0 (x) = f (x) với mọi
x thuộc khoảng (a, b), và nếu hàm F (x) như vậy tồn tại thì ta sẽ tìm hàm đó như thế
nào? Chương này nhằm trả lời câu hỏi đó. Bên cạnh đó, chúng ta sẽ tìm hiểu một số
ứng dụng quan trọng của bài toán trên trong nhiều lĩnh vực trong thực tế như kinh
tế, nông nghiệp và một số ngành khoa học khác.

3.1. Tích phân bất định
3.1.1. Nguyên hàm của hàm số
Định nghĩa 3.1.1. Nguyên hàm
Hàm F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f (x) nếu tại mọi điểm x thuộc miền
xác định của f ta đều có F 0 (x) = f (x).
Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C, với C là hằng số cũng là một
nguyên hàm của f (x).
Ví dụ 3.1.2. Ta có các hàm số F (x) = x3 ; G(x) = x3 + 2; H(x) = x3 + 0, 1 đều
là các nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 vì đạo hàm của chúng đều bằng 3x2 .
Định lí 3.1.3. Giả sử F (x) có đạo hàm trong (a, b) và F (x) là nguyên hàm của f (x)
với mọi x. Khi đó, ta có các khẳng định sau:
(1) Với mọi hằng số C, F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ (a, b).
(2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f (x), ∀x ∈ (a, b) đều có dạng F (x) + C.

3.1.2. Tích phân bất định
Định nghĩa 3.1.4. Nếu f (x) có một nguyên hàm là F (x) thì nó có một họ các ngun
hàm là F (x) + C với C là một hằng số tùy ý và họ ngun hàm đó được gọi là tích
phân bất định của hàm f (x).
56

Z
Ký hiệu:

Z
f (x)dx, trong đó:

là dấu tích phân; x là biến lấy tích phân; f (x) là

hàm dưới dấu tích phân; fZ(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Như vậy theo định nghĩa f (x)dx = F (x) + C.
Z

5

Z

Ví dụ 3.1.5. Tính các tích phân sau: (a) x dx;
(b)
!0
Z
6
6
x
x
+ C vì
+ C = x5 .
Giải: (a) Ta có x5 dx =
6
6

Z
(b) sin xdx = − cos x + C vì (cos x)0 = sin x.

sin xdx.

• Các tính chất của tích phân bất định
Z
0
Z
(1)
f (x)dx = f (x);
d f (x)dx = f (x)dx;
Z
Z
Z
dF (x)
0
dx = F (x)dx = dF (x) = F (x) + C;
(2) dF (x) = F (x) + C hay
dx
Z
Z
(3) kf (x)dx = k f (x)dx với k là một hằng số;
Z
Z
Z
(4) (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx;
Z
Z
(5) Nếu có f (x)dx = F (x) + C và u = ϕ(x) thì f (u)du = F (u) + C.

• Bảng các tích phân bất định của một số hàm cơ bản
Z

Z
0dx = C;

1)
Z
2)

xα dx =

xα+1
+C
α+1

9)
(α 6= −1);

10)

Z

1
dx = ln |x| + C;
x
Z
ax
4)
ax dx =

+ C;
ln a
Z
5)
cos xdx = sin x + C;
Z
6)
sin xdx = − cos x + C;
Z
dx
7)
= tan x + C;
cos2 x
Z
dx
8)
= − cot x + C;
sin2 x
3)

11)
12)
13)
14)
15)

dx
= arctan x + C;
1 + x2
Z

dx
√
= arcsin x + C;
1 − x2




Z

a + x

dx
1

+ C;
=
ln

a2 − x 2
2a
a − x

Z
p
f 0 (x)
p
dx = 2 f (x) + C;
f (x)
Z

√
dx
√
= ln(x + x2 + a) + C;
x2 + a
Z
dx
1
x
=
arctan
+ C;
a2 + x 2
a
a
Z
dx
x
√
= arcsin + C.
2
2
a
a −x

Chú ý 3.1.6. Từ định nghĩa nguyên hàm ta thấy phép tính đạo hàm và phép tính
nguyên hàm là hai phép tính ngược nhau nên từ bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản
57



ta suy ra được bảng nguyên hàm của một số hàm cơ bản, chẳng hạn các tích phân từ
1 đến 10 trong bảng. Các tích phân từ 11 đến 15 ta có thể xây dựng dựa vào tính chất
của tích phân bất định và các tích phân đã biết.

3.1.3. Các phương pháp tính tích phân bất định
(a) Phương pháp tính trực tiếp
Sử dụng các tính chất và bảng tích phân bất định của một số hàm cơ bản để tính
trực tiếp một số tích phân đơn giản.
Ví dụ 3.1.7. Tính các tích phân
Z
3x2 + 2x − 1
(a)
dx;
x2
Z
Giải: (a)

3x2 + 2x − 1
dx =
x2

Z

Z 2
dx
x +x+1
dx.
(b)
;
(c)

1 + e−x
x−1
!

Z 
3x2 2x
1
2
1
+ 2 − 2 dx =
3 + − 2 dx
x2
x
x
x x
Z

1
= 3x + 2 ln |x| + + C.
x
Z
Z
Z x
dx
dx
e dx
(b)
=
=
= ln(ex + 1) + C.

1
1 + e−x
ex + 1
1+ x

Z e
Z 2
3
x2
x +x+1
dx =
+ 2x + 3 ln |x − 1| + C.
(c)
x+2+
dx =
x−1
x−1
2
(b) Phương pháp đổi biến số
Z
Cách 1: Giả sử cần tính tích phân
ta có

f (x)dx. Đặt x = ϕ(t) với ϕ(t) là hàm đơn điệu,

Z

Z
f (x)dx =


f [ϕ(x)]ϕ0 (x)dx,

(3.1)

Trong một vài trường hợp việc tính tích phân mới này đơn giản hơn. Cách đặt này
thường áp dụng để đưa từ tích phân của hàm số vơ tỷ mà có chứa các biểu thức sau:
Z
√
(1)
R(x, a2 + x2 )dx, đặt x = a tan t;
Z
√
a
(2)
R(x, x2 − a2 )dx, đặt x =
;
cos t
Z
√
(3)
R(x, a2 − x2 )dx, đặt x = a sin t;
về tích phân của hàm lượng giác đơn giản hoặc từ tích phân của hàm hữu tỷ có chứa
biểu thức (x2 + a2 ) về tích phân của hàm lượng giác.
Ví dụ 3.1.8. Tính các tích phân
Z
(a) I =

Z √

dx

;
2
(x + a2 )2

(b) I =

58

1 − x2
dx.
x2


Z
Giải: (a) I =

(x2

dx
·
+ a2 )2

adt
a4
2
2 2
;
(x
+
a

)
=
· Vậy
cos2 t
cos4 t


Z
Z
1
1
1
1
2
I=
cos tdt = 3 (1 + cos 2t)dt = 3 t + sin 2t + C.
a3
2a
2a
2
Z √
1 − x2
(b) I =
dx.
x2
Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt. Do đó:
Z
Z
Z
Z

Z p
cos2 t
1 − sin2 t
dt
1 − sin2 t
·cos tdt =
dt =
dt =
− dt = − cot t−t+C.
I=
sin2 t
sin2 t
sin2 t
sin2 t
√
1 − x2
Vì x = sin t ⇒ cot t =
; t = arcsin x. Vậy
x
√
1 − x2
− arcsin x + C.
I=−
x
Đặt x = a tan t ⇒ dx =

Cách 2: Giả sử cần tính tích phân. Đặt t = ψ(x) với ψ(x) khả vi, t là biến mới, khi
đó
Z
Z

0
f [ψ(x)]ψ (x)dx = f (t)dt.
(3.2)
e3x
dx.
e2x + 1
Giải: Đặt t = ex ⇒ dt = ex dx. Suy ra, ta có tích phân sau:
Z
Z 2
Z
Z
t2
t +1−1
dt
I=
dt =
dt = dt−
= t−arctan t+C = ex −arctan ex +C.
2
2
2
t +1
t +1
t +1
Z
√
3
Ví dụ 3.1.10. Tính tích phân I = x2 1 + x3 dx.
Z


Ví dụ 3.1.9. Tính tích phân I =

Giải:
Ta nhận thấy x2 dx đưa được về d(x3 ) nên để tính tích phân trên ta có thể đặt
√
3
1 + x3 = u hoặc cũng có thể đặt u = 1 + x3 .
√
3
Chẳng hạn, đặt 1 + x3 = u ⇒ u3 = 1 + x3 ⇒ u2 du = x2 dx. Vậy
√
4
3
Z
3
1+x
u4
I = u.u2 du =
+C =
+ C.
4
4
Chú ý 3.1.11.
(1) Công thức (3.1) và (3.2) chứng minh bằng phương pháp lấy đạo hàm hai vế.
(2) Sau khi tìm được nguyên hàm ta phải trả lại vai trò cho biến cũ ban đầu.
(c) Phương pháp tích phân từng phần
Định lí 3.1.12. Giả sử u = u(x); v = v(x) là các hàm số có đạo hàm trên khoảng K,
ta có:
Z
Z

udv = uv − vdu.
59


Chú ý 3.1.13. Cơng thức tích phân từng phần dùng để tính tích phân của một tích
các hàm số. Để tính được tích phân các hàm số này ta phải khéo léo lựa chọn hàm u
và dv.
Z
Ví dụ 3.1.14. Tính tích phân I = x2 ex dx.
Z
2
x
x
2 x
Giải: Đặt u = x ⇒ du = 2xdx; dv = e ⇒ v = e ⇒ I = x e − 2 x.ex dx.
dv = ex ⇒ v = ex


Z
2 x
x
x
⇒ I = x e − 2 x.e − e dx = x2 ex − 2xex + 2ex + C.

Đặt u = x ⇒ du = dx;

3.1.4. Tích phân một số hàm cơ bản
(a) Tích phân các phân thức hữu tỷ
Z
p(x)

trong đó bậc của p(x) nhỏ hơn bậc của q(x).
Xét tích phân
q(x)
• Nếu q(x) có nghiệm thực: Phân tích q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam
thức bậc hai sau đó dùng phương pháp hệ số bất định, hoặc phương pháp thêm bớt
p(x)
để phân tích
thành tổng hoặc hiệu các phân thức có dạng:
q(x)
Z
Z
dx
(x ± a)1−k
dx
= ln |x ± a| + C hoặc
=
+ C.
x±a
(x ± a)k
1−k
Z
x−3
Ví dụ 3.1.15. Tính tích phân I =
dx.
x3 − x
Giải: Ta có
x−3
A
B
C

= +
+
3
x −x
x x−1 x+1
A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1)
x−3
⇔ 3
=
x −x
x3 − x
⇒ x − 3 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1)
(3.3)
Vì (3.3) đúng với mọi giá trị của x nên đúng với giá trị x cụ thể.
Thay x = 0 : −3 = −A ⇒ A = 3.
Thay x = 1 : −2 = 2B ⇒ B = −1.
Thay x = −1 : −4 = 2C ⇒ C = −2.

Z 
3
1
2
Vậy I =
−
−
dx = 3 ln |x| − ln |x − 1| − 2 ln |x + 1| + C.
x x−1 x+1
• Nếu q(x) = x2 + px + q trong đó p2 − 4q < 0
+ Xét q(x) = A
Z

Z
dx
2A
2x + p
A
I=
dx = A 
=p
arctan p
+ C.
2
2
2
2
x + px + q
p
4q − p
4q − p
4q − p2
x+
+
2
4
60


+ Nếu p(x) = Ax + B

Z
Z

Z
Ax + B
dx
A
d(x2 + px + q)
Ap
I=
dx =
+ B−
2
2
2
x + px + q
2
x + px + q
2
x + px + q


A
Ap
2
2x + p
p
= ln |x2 + px + q| + B −
arctan p
+ C.
2
2
4q − p2

4q − p2
Z
3x − 1
dx.
Ví dụ 3.1.16. Tính tích phân I =
2
x − 4x + 8
Giải: Ta có
Z
Z 3 (2x − 4) + 5
Z
dx
3
2x − 4
2
dx
=
dx
+
5
I=
x2 − 4x + 8
2
x2 − 4x + 8
x2 − 4x + 8
3
5
x−2
= ln(x2 − 4x + 8) + arctan
+ C.

2
2
2
(b) Tích phân các biểu thức lượng giác
Để tính tích phân của các hàm số lượng giác thông thường tùy vào đặc thù của
từng bài tốn ta có thể biến đổi sơ cấp đưa về tích phân của các hàm lượng giác cơ
bản, hoặc dùng phương pháp đổi biến đưa về tích phân của các hàm hữu tỷ đơn giản.
Z
Giả sử cần tính tích phân I = R(sin x; cos x)dx.
Bằng cách đặt t = tan

x
2dt
2t
1 − t2
⇒ x = 2 arctan t; dx =
;
sin
x
=
;
cos
x
=
·
2
1 + t2
1 + t2
1 + t2


Khi đó
Z
I=

R

2t 1 − t2
;
1 + t2 1 + t2

!

2dt
là tích phân của hàm hữu tỷ.
1 + t2

Tuy nhiên không phải bài nào ta cũng quy tích phân dạng trên về tích phân của
hàm hữu tỷ bằng cách đặt trên, vì có thể sẽ đưa về tích phân của hàm hữu tỷ phức
tạp.
Z
dx
·
Ví dụ 3.1.17. Tính tích phân I =
4 sin x + 3 cos x + 5
x
Giải: Đặt t = tan . Suy ra ta có tích phân theo biến t như sau:
2
Z
2dt
1

1
I=
=
−
+
C
=
−
+ C.
x
2t2 + 8t + 8
t+2
tan + 2
2
Z
3
cos x
dx·
Ví dụ 3.1.18. Tính tích phân I =
sin4 x
Z
cos2 x. cos xdx
Giải: Ta viết lại tích phân trên như sau: I =
.
sin4 x
Dễ thấy cos xdx = d(sin x); cos2 x = 1 − sin2 x do đó ta đặt t = sin x và có:
Z
Z
Z
1

1
1
1
1 − t2
−4
I=
dt = t dt − t−2 dt = − 3 + + C = −
+
+ C.
3
4
t
3t
t
3 sin x sin x
61


Nhận xét 3.1.19.
(1) Nếu R(− sin x; − cos x) = R(sin x; cos x) thì đặt: t = tan x (hoặc t = cot x)
⇒ dx =

dt
t
1
1
tan x
√
√
√

=
;
cos
x
=
=
·
; sin x = √
2
1+t
1 + t2
1 + t2
1 + tan2 x
1 + tan2 x

(2) Nếu R(sin x; − cos x) = −R(sin x; cos x) (lẻ đối với cos x); đặt t = sin x.
(3) Nếu R(−Zsin x; cos x) = −R(sin x; cos x) (lẻ đối với sin x); đặt t = cos x.
(4) Nếu I = sinm x cosn xdx trong đó:
+ Nếu ít nhất một trong hai số m; n lẻ, đặt t = sin x (n lẻ) hoặc t = cos x (m lẻ);
+ Nếu m; n chẵn và mn < 0, đặt t = tan x;
1 − cos 2x
+ Nếu m; n chẵn và dương áp dụng cơng thức hạ bậc sin2 x =
···
2
Z
Z
Z
(5) Các tích phân dạng:
sin ax cos bxdx; sin ax sin bxdx; cos ax cos bxdx ta áp
dụng các công thức biến đổi tích thành tổng

[cos(a − b) − cos(a + b)]
;
2
[cos(a − b) − cos(a + b)]
;
cos a. cos b =
2
[sin(a + b) + sin(a − b)]
sin a. cos b =
·
2
sin a. sin b =

3.1.5. Một số bài toán về ứng dụng của tích phân bất định
Chúng ta biết phép tốn ngun hàm là phép toán ngược của phép toán đạo hàm
và tích phân bất định là một họ các nguyên hàm, các nguyên hàm đó sai khác nhau
bởi hằng số C. Vì vậy, đối với các bài tốn thực tế, khi bài tốn được mơ hình hóa bởi
đạo hàm của hàm số tức là cho biết tỷ lệ biến đổi tức thời của một hiện tượng chẳng
hạn như, lợi nhuận biên, doanh thu biên, vận tốc, gia tốc, tỷ lệ tăng trưởng của vi
khuẩn, tỷ lệ phát triển của sâu bệnh,... thì chúng ta hồn tồn có thể tìm được hàm
tổng lợi nhuận, tổng doanh thu, quãng đường, vận tốc, số lượng vi khuẩn sau khoảng
thời gian t nhờ tính tích phân. Ta sẽ tìm hiểu các ứng dụng này thơng qua các ví dụ
cụ thể dưới đây.
Ví dụ 3.1.20. Tỷ lệ gia tăng về số lượng vi khuẩn theo thời gian t được đo bởi hàm
số
dP
= 105, 74t + 2639, 3.
dt
Với t là thời gian tính bằng giờ, t = 0 thì P = 0.
(a) Tìm mơ hình về số lượng vi khuẩn.

(b) Sử dụng mơ hình
Z này để dự đoán số lượng vi khuẩn sau 24 giờ.
Giải: (a) Ta có P =

(105, 74t + 2639, 3)dt = 52, 87t2 + 2639, 3t + C.

62


Vì khi t = 0 thì P = 0 nên C = 0. Vậy mơ hình về số lượng vi khuẩn là
P = 52, 87t2 + 2639, 3t.
(b) Khi t = 24 thì
P = 52, 87.242 + 2639, 3.24 = 93796, 32 (con) .
Vậy, sau 24 giờ số lượng vi khuẩn lên tới 93796,32 con.
Ví dụ 3.1.21. Doanh thu biên cho việc bán một sản phẩm được mơ hình bởi
dR
100
= 50 − 0, 02x +
,
dx
x+1
với x là số lượng hàng hóa đã bán, khi x = 0 thì R = 0. Tìm tổng doanh thu khi bán
được 2000 sản phẩm.

Z 
100
dx = 50x − 0, 01x2 + 100 ln(x + 1) + C.
Giải: Ta có R =
50 − 0, 02x +
x+1

Theo giả thiết x = 0 thì R = 0 nên C = 0 nên R = 50x − 0, 01x2 + 100 ln(x + 1).
Khi x = 2000 thì R = 60760, 14$.

3.2. Tích phân xác định
Từ các kiến thức đã được học ở hình học phẳng, chúng ta biết diện tích là một số
đo bằng số của miền được giới hạn. Với các hình đơn giản, như miền hình tam giác,
miền hình chữ nhật, miền hình thang,... tức là các miền giới hạn bởi các đoạn thẳng,
hay miền hình trịn, chúng ta có thể tính diện tích bằng các cơng thức tính trong hình
học.
Ta cùng tìm hiểu một số ví dụ sau đây:
Ví dụ 3.2.1. (a) Tính diện tích S của miền tam giác giới hạn bởi các đường f (x) = 2x,
x = 0 và x = 2.
(b) So sánh diện tích S và hiệu F (2) − F (0) với F (x) là nguyên hàm bất kỳ của f (x)
trên đoạn [0, 2].

Hình 3.1:

63


1
1
Giải: (a) Nhìn hình vẽ 3.1 có S = ah = · 4.2 = 4.
2
2
(b) Ta có F (x) = x2 ⇒ F (2) − F (0) = 22 − 02 = 4. Vậy S = F (2) − F (0).
Trong chương này, chúng ta được học thêm một phương pháp tìm diện tích của các
hình trên, đó là dùng tích phân xác định. Bằng tích phân xác định, ta cịn có thể tìm
diện tích của các miền giới hạn bởi các đường cong kín bất kỳ, hay các miền không
phải chỉ giới hạn bởi các đoạn thẳng như miền R được chỉ ra ở hình vẽ 3.2.


3.2.1. Diện tích của hình thang cong và tích phân xác định
Định nghĩa 3.2.2. Cho hàm số f (x) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a, b]. Hình
phẳng giới hạn bởi đường cong y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
được gọi là hình thang cong (Hình 3.2).

Hình 3.2:

Bài tốn: Cho f (x) là hàm số liên tục, đồng biến và nhận giá trị dương trên đoạn
[a, b]. Chứng minh rằng diện tích A của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
số f , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định bởi
A = F (b) − F (a).
Trong đó F (x) là một nguyên hàm bất kỳ của f (x) trên đoạn [a, b].
Chứng minh.
Giả sử A(x), a ≤ x ≤ b (Hình 3.3) là hàm số biểu thị diện tích của miền giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành, đường thẳng x = a và đường thẳng đi qua
hồnh độ x và vng góc với trục Ox tại điểm x. Để tìm hiểu mối quan hệ giữa A(x)
và f (x), cho x một số gia ∆x, diện tích của phần ứng với số gia ∆x ký hiệu là ∆A.
Gọi f (m) và f (M ) tương ứng là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm f trên
đoạn [x, x + ∆x].

64


Hình 3.3:

Hình 3.4:
Nhìn hình vẽ 3.4, ta nhận thấy:
∆A
≤ f (M )

∆x
∆A
⇔ lim f (m) ≤ lim
≤ lim f (M )
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x→0
⇔ f (x) ≤ A0 (x) ≤ f (x).

f (m).∆x ≤ ∆A ≤ f (M ).∆x ⇔ f (m) ≤

Do đó A0 (x) = f (x) vì F 0 (x) = f (x) ⇒ A(x) = F (x) + C. Vì A(a) = 0 nên
C = −F (a). Vì thế A(x) = F (x) − F (a) ⇒ A(b) = F (b) − F (a).
Vậy diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f , trục hoành và
hai đường thẳng x = a, x = b được xác định bởi
A = F (b) − F (a).
Trong đó F (x) là một nguyên hàm bất kỳ của f (x) trên đoạn [a, b].
Định nghĩa 3.2.3. Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu
F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân xác
Zb
Zb

b


định của f từ a đến b và ký hiệu là f (x)dx hoặc f (x)dx = F (x)
= F (b) − F (a),
a

a


a

trong đó a, b được gọi là các cận lấy tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số
dưới dấu tích phân, f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x là biến số lấy tích phân.
Zb
f (x)dx là một số không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm

Chú ý 3.2.4. (1)
a

65


F (x) trong họ các nguyên hàm của f . Thật vậy,
Zb


b


f (x)dx = (F (x) + C)
= (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a).
a

a

(2) Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân mà chỉ phụ thuộc vào
hàm số dưới dấu tích phân và cận lấy tích phân, tức là
Zb


Zb
f (x)dx =

f (t)dt.

a

a

(3) Với định nghĩa tích phân xác định, diện tích A của hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị của hàm số y = f (x) (hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a, b]), trục hoành
Zb
và hai đường thẳng x = a, x = b là: A = f (x)dx.
a

Quay trở lại Ví dụ 3.2.1 ta thấy diện tích của miền tam giác đó là
Z2
S=