ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



NGUYỄN HÀ LINH





ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY





LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2012


1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q
Q
Z
p
Z
∗
p
Z
p
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
C
R
C R
Q
Z
p
p
Q Z
p
1
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
Q
Z
p
p
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F
a + (b + c) = (a + b) + c (ab)c = a(bc)
a, b, c ∈ F.
a + b = b + a ab = ba a, b ∈ F.
a(b + c) = ab + ac a, b, c ∈ F.
1 ∈ F a1 = 1a = a a ∈ F.
0 ∈ F a + 0 = 0 + a = a a ∈ F.
a ∈ F −a ∈ F a + (−a) = 0.
0 = a ∈ F a
−1
∈ F
aa
−1
= 1.
F a
0
, a
1
, . . . , a
m
∈ F
f(x) = a
m
x

m
+a
m−1
x
m−1
+. . .+a
1
x+a
0
x F F [x].
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
m
= 0 f(x) m deg f(x) = m. a
m
f a
m
= 1 f(x)
f(x) =

a
i
x
i
g(x) =

b
i
x
i

f(x) + g(x) =

(a
i
+ b
i
)x
i
f(x)g(x) =

c
k
x
k
c
k
=

i+j=k
a
i
b
j
.
f(x), g(x), h(x) ∈ F [x].
deg(f(x) + g(x))  max{deg f(x), deg g(x)}.
f(x) = 0 g(x) = 0 f(x)g(x) = 0
deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).
f(x) = 0 f(x)g(x) = f(x)h(x) g(x) = h(x).
f(x), g(x) ∈ F [x]. f(x) = q(x)g(x)

q(x) ∈ F[x] g(x) f(x) f(x) g(x)
g(x)|f(x) g(x) (g)
c ∈ F k (x − c)|(x
k
− c
k
).
f(x) ∈ F [x] c ∈ F q(x) ∈ F [x]
f(x) = q(x)(x −c) + f(c).
f(x) = a
m
x
m
+ . . . + a
0
∈ F [x] K
F c ∈ K f(x)
f(c) = a
m
c
m
+ . . . + a
0
= 0 c
f(x) = 0.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) ∈ F [x] c ∈ F.
c f(x) f(x) x − c.
f(x) deg f(x)
f(x), g(x) ∈ F[x]

g(x) = 0 q(x), r(x) ∈ F [x]
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
r(x) = 0 deg r(x) < deg g(x).
I = ∅ F [x]
F [x]
f(x), g(x) ∈ I f(x) + g(x) ∈ I
f(x) ∈ I q(x) ∈ F[x] q(x)f(x) ∈ I
I = ∅ F[x] f −g ∈ I
fh ∈ I f(x), g(x) ∈ I h(x) ∈ F [x]
I = {0} F [x] d(x) = 0
I
I = (d) = {d(x)q(x) | q(x) ∈ F [x]}.
f(x) ∈ I. f(x) = d(x)q(x) + r(x)
r(x) = 0 deg r(x) < deg d(x). f(x), d(x) ∈ I
r(x) = f(x) − d(x)q(x) ∈ I r(x) = 0 d(x)
f(x) = d(x)q(x). d(x) ∈ I d(x)q(x) ∈ I
q(x) ∈ F[x]
d(x) ∈ F [x]
f(x), g(x) ∈ F[x] d(x)|f(x) d(x)|g(x)
h(x)|f(x) h(x)|g(x) h(x)|d(x).
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) g(x) gcd(f(x), g(x)) gcd(f(x), g(x)) = 1 f(x)
g(x)
f(x), g(x) 0
gcd(f(x), g(x)) f(x) g(x)
a(x), b(x) ∈ F [x]
gcd(f(x), g(x)) = a(x)f(x) + b(x)g(x).
p(x), f(x), g(x) ∈ F [x] gcd(p(x), f(x)) = 1
p(x)|f(x)g(x) p(x)|g(x).
1 = p(x)a(x) + f(x)b(x).

g(x) = p(x)a(x)g(x) + f(x)b(x)g(x).
p(x) p(x)|g(x).
0 = g(x) ∈ F [x] g
∗
(x) = g(x)/a
n
a
n
g(x) g
∗
(x)
f(x), g(x) ∈ F [x] g(x) = 0 g(x)|f(x)
gcd(f(x), g(x)) = g
∗
(x).
f(x) = q(x)g(x) + r(x), r(x) = 0, deg r(x) < deg g(x).
g(x) = q
1
(x)r(x) + r
1
(x), r
1
(x) = 0, deg r
1
(x) < deg r(x).
. . . . . . . . .
r
n−2
(x) = q
n

(x)r
n−1
(x) + r
n
(x), r
n
(x) = 0, deg r
n
(x) < deg r
n−1
(x).
r
n−1
(x) = q
n+1
(x)r
n
(x).
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
gcd(f(x), g(x)) = r
∗
n
(x)
r
n
(x)|r
n−1
(x).
r
n

(x)|r
n−2
(x).
r
n
(x)|g(x) r
n
(x)|f(x) r
∗
n
(x)|f(x)
r
∗
n
(x)|g(x) h(x)|f(x) h(x)|g(x)
h(x)|r(x). h(x)|r
1
(x).
h(x)|r
n
(x).
h(x)|r
∗
n
(x).
f(x) ∈ F [x]
deg f(x) > 0 f(x)
deg f(x) > 0 f(x)
f(x)
f(x) 1 F f(x)

2 3
F.
f(x) f(x + a)
a ∈ F.
deg f(x) > 1 f(x) x = a ∈ F f = (x −a)g
deg g = deg f −1 ≥ 1. f
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) 2 3 f
1 f(x) F f(x) F
f(x)
f(x) ∈ F [x] a ∈ F. h ∈ F
h
1
(x) = h(x − a). deg h
1
(x) = deg h(x) h ∈ F
f(x + a) = k(x)g(x) f(x + a)
f(x) = k
1
(x)g
1
(x) f(x)
f(x)
f(x + a)
F
K F a ∈ K a
F 0 = f(x) ∈ F [x] a
a F a F
K F a ∈ K
F p(x) ∈ F [x]

a g(x) ∈ F [x] a
p(x)
a 0 F
0 F a
p(x) ∈ F [x] a
p(x) p(x) p(x)
p(x)
F [x] a
p(x) g(x) ∈ F[x]
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a p(x) g(x) p(x)
gcd(g(x), p(x)) = 1 1 = p(x)q(x) + g(x)h(x)
q(x), h(x) ∈ F [x]. x = a 1 = 0
g(x) p(x) q(x) ∈ F [x]
a q(x)
p(x) q(x) = p(x)k(x) q(x) k(x) = b ∈ F.
q(x) = bp(x)
q(x) p(x) b = 1 p(x) = q(x).
p(x) ∈ F [x]
a
x
3
− 2 ∈ Q[x]
3
√
2 ∈ R
x
2
+ 1 ∈ R[x] i ∈ C
p > 1 p|ab p|a p|b

a, b.
p(x) ∈ F [x] p(x)|a(x)b(x) p(x)|a(x)
p(x)|b(x) a(x), b(x) ∈ F[x]
p(x)|a(x)b(x) p(x) a(x)
b(x). gcd(p(x), a(x)) = 1.
s(x), r(x) ∈ F [x] 1 = s(x)p(x) + r(x)a(x).
e(x), f(x) ∈ F [x] 1 = e(x)p(x) + f(x)b(x).
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 = p(x)g(x) + r(x)f(x)a(x)b(x)
g(x) ∈ F [x] p(x)
1 p(x).
1
f(x) ∈ F [x]
d > 0. d = 1 f(x)
f(x) f(x) = f(x) d = 1
d > 1 d
f(x) f(x) f(x) = f(x)
f(x) f(x) = g(x)h(x)
deg g(x), deg h(x) < deg f(x) g
∗
(x) = g(x)/a
k
a
k
g(x) f(x) = g
∗
(x)(a
k
h(x))
1 = a

k
b
t
b
t
h(x)
h
∗
(x) = a
k
h(x) f(x) = g
∗
(x)h
∗
(x) g
∗
(x), h
∗
(x)
d g
∗
(x)
h
∗
(x)
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x)
f(x)
f(x) = p
1

(x)p
2
(x) . . . p
n
(x) = q
1
(x)q
2
(x) . . . q
m
(x).
n n = m
p
i
(x) = q
i
(x) i = 1, . . . , n. n = 1
p
1
(x) = q
1
(x)q
2
(x) . . . q
m
(x). p
1
(x)|q
1
(x)q

2
(x) . . . q
m
(x). p
1
(x)
p
1
(x) q
i
(x)
p
1
(x)|q
1
(x) q
1
(x) = p
1
(x)t
1
(x).
q
1
(x) t
1
(x) = a ∈ F
q
1
(x) = ap

1
(x) p
1
(x) q
1
(x)
1 = 1.a. a = 1 p
1
(x) = q
1
(x) m > 1
1 = q
2
(x) . . . q
m
(x) n = 1.
n > 1 p
1
(x)|q
1
(x)q
2
(x) . . . q
m
(x) p
1
(x)
p
1
(x)|q

1
(x) q
1
(x)
p
1
(x), q
1
(x)
p
1
(x) = q
1
(x) p
1
(x)
p
2
(x)p
3
(x) . . . p
n
(x) = q
2
(x)q
3
(x) . . . q
m
(x).
n − 1 = m −1

q
i
(x) p
i
(x) = q
i
(x) i = 2, . . . , n.
f(x) ∈ F [x] K F
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) K
f(x) F
F F

T F F x
−1
∈ T
0 = x ∈ T x + y, xy, −1 ∈ T x, y ∈ T.
T F F
T T
ϕ : F → F

ϕ(1) = 1
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) x, y ∈ F
ϕ : F → F

ϕ
ϕ(F ) F

F
F


F

F
ϕ : F → F

ϕ
ϕ : F → F

ϕ
F F

F F

f(x) ∈ F [x]
F
f(x)
f
∗
(x) f(x)
f(x) f
∗
(x) f(x)
deg f(x) = n.
n = 1 f(x) = x −a a ∈ F. a f(x)
K = F. n > 1
n
f(x)
I = (f) = {g(x)f(x) | g(x) ∈ F [x]}.
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

I F [x]. g(x) ∈ F [x]
g(x) + I = {g(x) + h(x) | h(x) ∈ I}.
g(x) +I = h(x) +I g(x) −h(x) ∈ I.
K = {g(x) + I | g(x) ∈ F [x]}.
(g(x) + I) + (h(x) + I) = (g(x) + h(x)) + I
K g + I = g
1
+ I h + I = h
1
+ I
g − g
1
∈ I h − h
1
∈ I. g − g
1
h − h
1
f.
(g + h) − (g
1
+ h
1
) = (g − g
1
) + (h − h
1
) f
(g + h) − (g
1

+ h
1
) ∈ I (g + h) + I = (g
1
+ h
1
) + I.
K
(g + I)(h + I) = gh + I
K K
K 0+I K 1+I
g + I ∈ K −g + I ∈ K. 0 + I ∈ K
g + I ∈ K g + I = 0 + I. g /∈ I
g f f gcd(f, g) = 1.
1 = f(x)p(x) + g(x)q(x) p(x), q(x) ∈ F [x].
fp ∈ I fp + I = 0 + I
1 + I = (fp + gq) + I = (fp + I) + (gq + I) = gq + I = (g + I)(q + I).
g + I K K
ϕ : F → K ϕ(a) = a + I.
ϕ ϕ(a) = ϕ(b) a, b ∈ F a + I = b + I.
a − b ∈ I. a − b f(x) a − b = 0 a − b
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
0 f(x)
a − b = 0. a = b. ϕ
K F α = x + I ∈ K.
f(x) = x
n
+ a
n−1
x

n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
. a ∈ F
a + I ∈ K K
f(α) = (x + I)
n
+ (a
n−1
+ I)(x + I)
n−1
+ . . . + (a
0
+ I)
= (x
n
+ I) + (a
n−1
x
n−1
+ I) + . . . + (a
0
+ I)
= (x
n
+ a
n−1
x

n−1
+ . . . + a
0
) + I
= f(x) + I = 0 + I.
α f(x) K
f
1
(x) ∈ K[x] f(x) = (x −α)f
1
(x) deg f
1
(x) = n −1.
K
1
K
f
1
(x) K
1
F f(x).
K
∗
K
1
F
f(x) K
∗
F
f(x)

f(x)
g(x), h(x) ∈ F [x]
f(x) = g(x)h(x) deg g, deg h < n = deg f.
K F g(x).
h(x) K.
K
1
h(x) K
1
F f(x)
K
1
F f(x)
F f(x)
Q(i
√
3,
3
√
2) C
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q i
√
3,
3
√
2 f(x) = x
3
−2
Q Q(i

√
3,
3
√
2) 3 x
3
− 2
x
1
=
3
√
2, x
2
=
3
√
2(−
1
2
+
i
√
3
2
), x
3
=
3
√

2(−
1
2
−
i
√
3
2
).
x
1
, x
2
, x
3
∈ Q(i
√
3,
3
√
2) Q
x
1
, x
2
, x
3
i
√
3

3
√
2
T
F F T
F
T F.
F F
n n1 = 1+. . .+1 n
1 (−n)1 n −1 01 = 0.
k k1 = 0
ϕ : Q → F ϕ(n/m) = (n1)(m1)
−1
Q F
k k1 = 0. p
p1 = 0. p
p1 = 1 = 0 p > 1. p p = nm
1 < n, m < p. 0 = p1 = (n1)(m1). n, m < p n1 = 0
m1 = 0. n1 m1 a, b ∈ F
n1 m1
0 = 0(ab) = (n1)a(m1)b = 1.1 = 1,
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p m1 = 0
m ∈ pZ. m ∈ pZ m1 = 0.
m1 = 0 m = ps + r s, r ∈ Z 0  r < p,
0 = m1 = ps1 + r1 = r1. r < p r = 0 p
T = {(n1)(m1)
−1
| n ∈ Z, m /∈ pZ} ⊆ F.
T F T p

m /∈ pZ p gcd(m, p) = 1
1 = ms + pt s, t ∈ Z
1 = 1.1 = (m1)(s1) + pt1 = (m1)(s1).
(m1)
−1
= s1 s ∈ Z T = {n1 | n ∈ Z}.
n ∈ Z n = pt + r 0  r < p n1 = pt1 + r1 = r1.
T = {n1 | 0  n < p}. 0  n, n

< p n1 = n

1 (n −n

)1 = 0
n − n

p n = n

T
F p F T q
F d = dim
T
F T − F
{e
1
, . . . , e
d
} F. x ∈ F
x = a
1

e
1
+ . . . + a
n
e
n
, a
i
∈ T
i = 1, . . . , n. F q = p
d
.
p
d, p
d
q = p
d
p Z
p
K Z
p
x
q
− x. E = {α ∈ K | g(α) = 0}, E
g(x) K g

(x) = qx
q−1
− 1
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

g(x). 1 ∈ Z
p
p1 = 0. q1 = p
d
1 = 0.
g

(x) = (q1)x
q−1
− 1 = −1. g(x) g

(x)
1. g(x) K
E q
E p q g(−1) = −1 + 1 = 0
−1 ∈ E. p p p = 2.
g(−1) = (−1)
q
+ 1 = 1 + 1 = 2.1 = p.1 = 0.
−1 ∈ E. −1 ∈ E.
a, b ∈ E. g(a) = g(b) = 0. a
q
= a b
q
= b.
(ab)
q
= ab. g(ab) = 0 ab ∈ E.
(a + b)
q

= a
q
+ C
1
q
a
q−1
b + . . . + C
q−1
q
ab
q−1
+ b
q
= a + b,
C
k
q
k q q = p
d
p
C
k
q
p
k = 1, . . . , q − 1. C
k
q
a
q−k

b
k
= (C
k
q
1)a
q−k
b
k
= 0
k = 1, . . . , q − 1. (a + b)
q
= a
q
+ b
q
. a
q
= a
b
q
= b (a + b)
q
−(a + b) = 0, a + b ∈ E 0 = a ∈ E
a
q
= a. a = 0 a
−1
a
q−1

= 1.
a
q−2
a E. E
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q
f(x) ∈ C[x]
x = α ∈ C f(x) = (x − α)g(x) g(x) ∈ C[x].
deg f(x) ≥ 2 f(x)
C
f(x) ∈ R[x]. α = a + bi
f(x) α /∈ R α = a − bi
f(x) f(x) (x−a−bi)(x−a+bi)
(x −a −bi)(x −a + bi) = x
2
−2ax + a
2
+ b
2
∈ R[x] x
2
−2ax + a
2
+ b
2
R
C R
Q
Q
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

f(x) ∈ Q[x]. f(x) Q
af(x) 0 = a ∈ Z
f(x)
Q
f(x) Q
f(x) = a
n
x
n
+ . . . + a
1
x + a
0
∈ Z[x] a
n
= 0 n > 0
Q
1 Q Q
r
s
f(x)
r a
0
s a
n
r
s
∈ Q r, s s > 0
(r, s) = 1.
r

s
f(x) f(
r
s
) = 0.
0 = f(
r
s
) = a
n
(
r
s
)
n
+ a
n−1
(
r
s
)
n−1
+ . . . + a
1
r
s
+ a
0
.
0 = a

n
r
n
+ a
n−1
r
n−1
s + . . . + a
1
rs
n−1
+ a
0
s
n
.
a
n
r
n
= −(a
n−1
r
n−1
s + . . . + a
1
rs
n−1
+ a
0

s
n
).
s. (r, s) = 1 s a
n
a
0
s
n
= −(a
n
r
n
+ a
n−1
r
n−1
s + . . . + a
1
rs
n−1
).
r (r, s) = 1 r a
0
.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(x) = x
n
+ . . . + a
1

x + a
0
r
s
f(x) r − ms
f(m) m (r + s)
f(−1) (r − s) f(1)
f(x) x − m
f(x) = a
n
(x − m)
n
+ b
n−1
(x − m)
n−1
+ . . . + b
1
(x − m) + b
0
.
b
0
, b
1
, . . . , b
n−1
∈ Z m ∈ Z f(m) = b
0
x =

r
s
f(
r
s
) = 0.
0 = f(
r
s
) = a
n
(
r
s
− m)
n
+ b
n−1
(
r
s
− m)
n−1
+ . . . + b
1
(
r
s
− m) + f(m).
0 = a

n
(r −ms)
n
+ b
n−1
(r −ms)
n−1
s + . . . + b
1
(r −ms)s
n−1
+ f(m)s
n
.
f(m)s
n
= −{a
n
(r −ms)
n
+ b
n−1
(r −ms)
n−1
s + . . . + b
1
(r −ms)s
n−1
}.
r − ms. f(m)s

n
r − ms
r − ms f(m).
m = 1 r − s f(1) m = −1 r + s
f(−1)
Q
10x
3
+ 3x
2
− 106x + 21;
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9x
3
+ 6x
2
− 8x + 7;
x
3
− x
2
+ x − 6;
6x
4
+ 19x
3
− 7x
2
− 26x + 12.
f(x) = 10x

3
+ 3x
2
− 106x + 21
r
s
r
s
r|21 s|10
r = ±1, ±3, ±7, ±21 s = ±1, ±2, ±5, ±10
f(1) = −72 f(−1) = 120
±
1
2
, ±
1
5
, ±3,
3
2
, ±
3
5
, ±7, −
7
2
, ±
7
5
1

5
, 3, −
7
2
f(x) f(x) Q
f(x) = 9x
3
+6x
2
−8x+7
f(x) 3 f(3x) = 27x
3
+18x
2
−24x+21 y = 3x
f(y) = y
3
+2y
2
−8y+21 f(y) a
n
= 1
f(y)
r|21 r = ±1, ±3, ±7, ±21 f(1) = 16, f(−1) = 30
−3, −7
f(−3) = 0, f(−7) = 0. f(y)
f(x) Q
f(x) = x
3
−x

2
+x−6
a
n
= 1 6 r = ±1, ±2, ±3, ±6
f(1) = −5 f(−1) = −9 r = 2
f(2) = 0 f(x)
f(x) = 6x
4
+19x
3
−7x
2
−26x + 12
r
s
r
s
2.1.1 r|12 s|6
r = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 s = ±1, ±2, ±3, ±6.
f(1) = 4 f(−1) = 18 2.1.3
1
2
, −
1
3
, 2, −3 f(
1
2
) = 0 f(−3) = 0 f(x)

24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Q
≥ 4
Q
(x
2
+ 1)(x
2
+ 1)
Q
Z[x]
p(x) ∈ Z[x]. p(x) = g(x)f(x)
p(x) g(x), f(x) Q
p(x) g
∗
(x), f
∗
(x)
Z deg g(x) = deg g
∗
(x), deg f(x) = deg f
∗
(x)
p(x) Q
f(x) ∈ Z[x]
f(x) 1
f(x) = g(x)h(x)
g(x) = b
n
x

n
+ . . . + b
1
x + b
0
h(x) = c
k
x
k
+ . . . + c
1
x + c
0
.
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên