ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







VŨ VIỆT HƯNG







ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER
CHO MÔĐUN ARTIN







LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM







VŨ VIỆT HƯNG





ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER
CHO MÔĐUN ARTIN


Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn






THÁI NGUYÊN – 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n∈Z
M
n

n∈Z
R
n

R
0

(M
n
) n
(R, m) M R

R
(M/q
n
M)
m q dim M M

R
(M/q
n
M) t
t x
1
, . . . , x
t
∈ m (M/(x
1
, . . . , x
t
)M) < ∞
dim M
N-dim
R
A R A
R
A (R, m) q ⊆ m


R
(0 :
A
q) < ∞ 
R
(0 :
A
q
n
) n
A q
A
t t x
1
, . . . , x
t
∈ m
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ∞
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
A
A {A
i

}
i∈I
A

i∈I
A
i
A
i
∩ L
i
= {0} i ∈ I, L
i
A

i=j∈I
A
j
A {A
i
}
i∈I
A =

i∈I
A
i
A {A
i
}

i∈I
a ∈ A
a = a
i
1
+ . . . + a
i
k
a
ij
∈ A
ij
j = 1, . . . , k.
S S
S S =

n∈Z
S
n
{S
n
} S S
n
S
m
⊆ S
n+m
m, n ∈ Z.
S
n

n
S =

n∈Z
S
n
S
0
S S
n
S
0
n ∈ Z.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S
0
S
0
.
S
0
S
0
⊆ S
0
. S
n
S
0
ϕ : S

0
× S
n
→ S
n
ϕ(a, x) = ax
S
0
S
n
⊆ S
n
L L S
S L L S
a
1
, . . . , a
n
∈ S
S = {f(a
1
, . . . , a
n
) | f(x
1
, . . . , x
n
) ∈ L[x
1
, . . . , x

n
]},
L[x
1
, . . . , x
n
] n L
c ∈ L c1 ∈ S.
{a
1
, . . . , a
n
} S S = L[a
1
, . . . , a
n
].
S =

n∈Z
S
n
S S
0
a
1
, . . . , a
n
∈ S
1

S = S
0
[a
1
, . . . , a
n
] S S
0
S S
S
0
S
0
S
S = S
0
[a
1
, . . . , a
n
] a
1
, . . . , a
n
∈ S
1
.
ϕ : S
0
[x

1
, . . . , x
n
] → S ϕ(f(x
1
, . . . , x
n
)) = f(a
1
, . . . , a
n
)
S
0
[x
1
, . . . , x
n
] n S
0
S
∼
=
S
0
[x
1
, . . . , x
n
]/ Ker ϕ S

0
S
0
[x
1
, . . . , x
n
]
S
0
[x
1
, . . . , x
n
]/ Ker ϕ S
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K S = K[x
1
, . . . x
n
]
n K S ax
α
1
1
. . . x
α
n
n
a ∈ K S α

1
+ . . . + α
n
0 u = ax
α
1
1
. . . x
α
n
n
v = bx
β
1
1
. . . x
β
n
n
α
i
= β
i
i = 1, . . . , n. f ∈ S
n f n
n  0 S
n
n S
n
= 0

n < 0. S
f ∈ S
S =

n∈Z
S
n
S
n
S
m
⊆ S
n+m
n, m S
S
S =

n∈Z
S
n
I
S I =

n∈Z
(I ∩ S
n
).
I S =

n∈Z

S
n
I

f
i
∈ I f
i
∈ S
i
f
i
∈ I i
I
⇒ f
i
∈ I i

f
i
∈ I
f =

f
i
∈ I f
i
∈ S
i
I =


n∈Z
(I ∩ S
n
) f ∈ I f
f =

g
i
g
i
∈ I ∩S
i
. f
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
i
= g
i
i f
i
∈ I ∩ S
i
i f
i
∈ I i
⇒ I =

j∈J
F

j
S F
j
∈ S. j F
j
=
n
j

k=−m
j
f
jk
, f
jk
∈ S
k
I ⊆ (f
jk
, j ∈ J, k = m
j
, . . . , n
j
)S. f
jk
∈ I j, k.
(f
jk
, j ∈ J, k = −m
j

, . . . , n
j
)S ⊆ I.
I = (f
jk
, j ∈ J, k = −m
j
, . . . , n
j
)S I {f
jk
}
j ∈ J k = −m
j
, . . . , n
j
⇒ I ⊆

n∈Z
(I ∩ S
n
) f ∈ I
I (f
k
) f
k
∈ S
k
f = f
k

1
G
1
+ . . . + f
k
n
G
n
f
k
i
∈ S
k
i
∩ I G
i
∈ S.
f
I
f
k
i
f ∈

n∈Z
(I ∩ S
n
)
S I S
I

S =

n∈Z
S
n
S X
(X
n
)
n∈Z
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X X =

n∈Z
X
n
S
m
X
n
⊆ X
m+n
m, n ∈ Z.
X
n
n
0 ∈ X
S =

n∈Z

S
n
X =

n∈Z
X
n
S X
n
S
0
S
0
X
n
⊆ X
n
X =

n∈Z
X
n
S
Y X Y =

n∈Z
(Y ∩ X
n
).
Y S X =


n∈Z
X
n
Y

f
i
∈ Y f
i
∈ X
i
f
i
∈ Y i = 0, . . . s
Y
Y X
X/Y
X =

n∈Z
X
n
S Y
X n ∈ N Y
n
= Y ∩ X
n
Y =


n∈Z
Y
n
Z =

n∈Z
Z
n
Z
n
= X
n
/Y
n
Z S
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
X
n
/Y
n
a =
n

i=−m
a
i
∈ S a
i
∈ S
i

f =
k

j=−t
(f
j
+ Y
j
) ∈ Z f
i
∈ X
i
af =
n+k

j=−m−t


i+j=k
a
i
f
j
+ Y
k

∈ Z.
ϕ : X/Y → Z ϕ(
n


i=−m
f
i
+ Y ) =
n

i=−m
(f
i
+ Y
i
)
X/Y S
X =

n∈Z
X
n
X

=

n∈Z
X

n
S
k ≥ 0 k
S X X


(f
n
)
n∈N
,
f
n
: X
n
→ X

n+k
S
0
K S = K[x, y] K
S S
x
2
∈ S 2 ϕ : S → S
ϕ(f) = x
2
f 2
I
R R R =

n∈Z
R
n
R
n

= 0 n < 0 R
R =
∞

n=0
R
n
R =

n≥0
R
n
M =

n∈Z
M
n
R M
n
= 0 n < 0
∞

n=0
M
n
M =

n≥0
M
n

12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I R. R(I) =
∞

n=0
I
n
f =
n

i=0
f
i
g =
m

i=0
g
i
R(I) f + g =

i
(f
i
+ g
i
)
fg =
n+m


k=0
h
k
h
k
=

i+j=k
f
i
g
j
.
R(I) R(I)
R R(I)
R I. R(I) =
∞

n=0
I
n
t
n
,
R(I) R[t] M R
R
I
(M) =
∞


n=0
I
n
M R(I)
a =
n

i=0
a
i
∈ R(I),
a
i
∈ I
i
f =
m

i=0
f
i
∈ R
I
(M) f
i
∈ I
i
M,
af =
n+m


k=0
g
k
g
k
=

i+j=k
(a
i
f
j
).
R
I
(M) =
∞

n=0
I
n
M
M I.
R
R = J
0
⊇ J
1
⊇ . . .

R R J
n
J
m
⊆ J
n+m
n, m. R = J
0
⊇ J
1
⊇ . . . S
n
= J
n
/J
n+1
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
n ≥ 0, S =
∞

n=0
S
n
.
S λ = x + J
n+1
∈ S
n
µ = y + J
m+1

∈ S
m
x ∈ J
n
y ∈ J
m
λµ = xy + J
n+m+1
.
S R
R M R = J
0
⊇ J
1
⊇ . . .
R M = J
0
M ⊇ J
1
M ⊇ . . .
M. X =
∞

n=0
J
n
M/J
n+1
M
S =

∞

n=0
J
n
/J
n+1
I R (I
n
)
n≥0
R
G
I
(R) R I
G
I
(R) =

n0
I
n
/I
n+1
. M R
(I
n
M)
n≥0
M M

M I
G
I
(M). G
I
(M) =

n0
I
n
M/I
n+1
M
R I R
M
R(I) R
I
(M)
R(I)
G
I
(R)
G
I
(M) G
I
(R)
R I
I = (a
1

, . . . , a
k
)R. R(I) =
R[a
1
, . . . , a
k
] a
1
, . . . , a
k
1 R[a
1
, . . . , a
k
]
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R(I) ϕ : R(I) → G
I
(R)
ϕ(

a
i
) =

(a
i
+ I
i+1

) 0 G
I
(R)
R(I). R(I) G
I
(R)
R
S = R[x
1
, . . . , x
s
] s R S
deg x
1
= . . . = deg x
s
= 1 M =

n∈Z
M
n
S
S M M
N
0
⊇ N
1
⊇ . . . M
k N
n

= N
k
n ≥ k.
R[x
1
, . . . , x
s
] M =

n∈Z
M
n
k, p
M
n
= 0 n > p
(0 :
M
n
(x
1
, . . . , x
s
)R) = 0 n < k.
M
n
R k  n  p.
S = R[x
1
, . . . , x

s
] s R
M =

n∈Z
M
n
S
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

n≥r
M
n
M r ∈ N

n−r
(0 :
M
n
(x
1
, . . . , x
s
)R) M r ∈ N.
n ∈ Z N
0
⊇ N
1
⊇ . . .
R M

n
SN
0
⊇ SN
1
⊇ . . .
M SN
i
M N
i
C
r
=

n≥r
M
n
m, m

∈ C
r
a ∈ S.
m =

i≥r
m
i
m

=


i≥r
m

i
m
i
, m

i
i ≥ r a =

i≥0
a
i
a
i
i ≥ 0 m + m

=

i≥r
(m
i
+ m

i
)
i ≥ r am =


k≥r

i+j=k
a
j
m
i
. m + m

, am ∈ C
r
C
r
M
µ R µ
R
0 → M

→ M → M

→ 0 R M ∈ µ
M

, M

∈ µ.
µ R
M, N R f
i
: M → N i = 1, . . . , s

M ∈ µ N =
s

i=1
Im f
i
N ∈ µ.
N ∈ µ 0 =
s

i=1
Ker f
i
M ∈ µ
s s = 1.
f = f
1
. N = Im f. M ∈ µ
0 → Ker f → M → Im f → 0 R
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
µ N = Im f ∈ µ. s > 1. N

=
s−1

i=1
Im f
i
.
i ∈ {1, . . . , s − 1} f

∗
i
: M → N

f
∗
i
(y) = f
i
(y).
Im f
i
⊆ N

i = 1, . . . , s − 1 f
∗
i
f
∗
i
Im f
∗
i
= Im f
i
i = 1, . . . , s − 1.
s−1

i=1
Im f

∗
i
= N

. M ∈ µ s − 1
f
∗
i
i = 1, . . . , s − 1 N

∈ µ. f
s
: M → N/N

f
∗
s
(y) = f
s
(y) + N

. f
s
R
Im f
s
+ N

= N
Im f

s
= {f
s
(y) + N

| y ∈ M} =

Im f
s
+ N


/N

= N/N

.
f
s
: M → N/N

M ∈ µ
Im f
s
= N/N

N/N

∈ µ. 0 → N


→
N → N/N

→ 0 R N

, N/N

∈ µ µ
N ∈ µ.
s s = 1. f = f
1
.
Ker f = 0. f : M → N
0 → M
f
→ N → N/M → 0 R N ∈ µ
µ M ∈ µ. s > 1
s − 1. M

=
s−1

j=1
Ker f
j
. M

M i ∈ {1, . . . , s − 1}, f
i
: M/M


→ N
f
i
(y + M

) = f
i
(y). y + M

= z + M

y − z ∈ M

⊆ Ker f
i
f
i
(y − z) = 0 f
i
(y) = f
i
(z). f
i
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f
i
R
s−1


i=1
Ker f
i
= {y + M

∈ M/M

| f
i
(y + M

) = 0, ∀i = 1, . . . , s − 1}
= {y + M

∈ M/M

| f
i
(y) = 0, ∀i = 1, . . . , s − 1}
= {y + M

∈ M/M

| y ∈ Ker f
i
, ∀i = 1, . . . , s − 1}
= {y + M

∈ M/M


| y ∈ M

} = 0.
M/M

∈ µ. f
∗
s
: M

→ N
f
∗
s
(y) = f
s
(y) f
∗
s
f
s
M

M f
∗
s
R
Ker f
∗
s

= {y ∈ M

| f
∗
s
(y) = f
s
(y) = 0}
= {y ∈
s−1

j=1
Ker f
j
| y ∈ Ker f
s
}
=
s

j=1
Ker f
j
= 0.
f
∗
s
: M

→ N N ∈ µ

Ker f
∗
s
= 0 M

∈ µ. 0 → M

→ M → M/M

→ 0
M

, M/M

∈ µ µ M ∈ µ.
M R Ann
R
M = {a ∈ R | aM = 0}.
Ann
R
M R I R M
R/I (r + I)m = rm
I ⊆ Ann
R
M. M R/I
a ∈ I m ∈ M am = (a + I)m = (0 + I)m = 0
a ∈ Ann
R
M I ⊆ Ann
R

M. I ⊆ Ann
R
M
ϕ : R/I × M → M ϕ(r + I, m) = rm
M R/I
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
S = R[x
1
, . . . , x
s
] s R
M =

n∈Z
M
n
S N
t
= (0 :
M
x
t+1
s
R)/(0 :
M
x
t
s
R)
t ≥ 0

N
t
S t ≥ 0 N
t
R[x
1
, . . . , x
s−1
]
α
t
: N
t
→ N
t−1
α
t
(y + (0 :
M
x
t
s
R)) = x
s
y + (0 :
M
x
t−1
s
R)

1 t ≥ 1.
β
t
: N
t
→ N
0
α
1
. . . α
t
β
t
t t ≥ 1
(0 :
M
x
t
s
R)
M t. (0 :
M
x
t
s
R) M
m = m
p
+ m
p+1

+ . . . + m
k
∈ (0 :
M
x
t
s
R) m
i
∈ M
i
i = p, p + 1, . . . , k. 0 = x
t
s
m = x
t
s
m
p
+ x
t
s
m
p+1
+ . . . + x
t
s
m
k
.

x
t
s
m
i
∈ M
i+t
i = p, p+1, . . . , k. 0
x
t
s
m
i
= 0
i = p, p + 1, . . . , k. m
i
∈ (0 :
M
i
x
t
s
R) ⊆ (0 :
M
x
t
s
R).
(0 :
M

x
t
s
R) M (0 :
M
x
t
s
R)
(0 :
M
x
t+1
s
R)
N
t
= (0 :
M
x
t+1
s
R)/(0 :
M
x
t
s
R)
m + (0 :
M

x
t
s
R) ∈ N
t
m ∈ (0 :
M
x
t+1
s
R) x
t
s
(x
s
m) = 0.
x
s
m ∈ (0 :
M
x
t
s
R). x
s
m + (0 :
M
x
t
s

R) = 0 + (0 :
M
x
t
s
R).
x
s
N
t
= 0, x
s
S ⊆ Ann
S
N
t
. N
t
S/x
s
S S/x
s
S
∼
=
R[x
1
, . . . , x
s−1
] N

t
R[x
1
, . . . , x
s−1
]
y + (0 :
M
x
t
s
R) ∈ N
t
y ∈ (0 :
M
x
t+1
s
R).
0 = x
t+1
s
y = x
t
s
(x
s
y). x
s
y ∈ (0 :

M
x
t
s
R)
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
s
y + (0 :
M
x
t−1
s
R) ∈ N
t−1
. α
t
α
t
1 α
t
y + (0 :
M
x
t
s
R) y

+ (0 : Mx
t

s
R) N
t
x
s
y + (0 :
M
x
t−1
s
R) = x
s
y

+ 0 :
M
x
t−1
s
R x
s
y − x
s
y

∈ (0 :
M
x
t−1
s

R) x
s
(y − y

).x
t−1
s
= 0 y − y

∈ (0 :
M
x
t
s
R)
y + (0 :
M
x
t
s
R) = y

+ (0 :
M
x
t
s
R)
N
0

= (0 :
M
x
s
R). β
t
t
y + (0 :
M
x
t
s
R) ∈ N
t
y n y ∈ (0 :
M
n
x
t+1
s
R)
β
t
(y + (0 :
M
x
t
s
R)) = x
t

s
y ∈ (0 :
M
n+t
x
s
R) ⊆ N
0
β
t
(y + (0 :
M
x
t
s
R)) n + t N
0
.
α
t
β
t
= α
1
α
t
t
S = R[x
1
, . . . , x

s
] s R
M =

n∈Z
M
n
S
N
t
α
t
: N
t
→ N
t−1
A M t ≥ 0
A
t
=

(A + 0 :
M
x
t
s
R) ∩ (0 :
M
x
t+1

s
R)

(0 :
M
x
t
s
R).
A ⊆ B A
t
⊆ B
t
t ≥ 0.
A ⊆ B A
t
= B
t
t ≥ 0 A = B.
A
0
, β
1
(A
1
), β
2
(A
2
), . . .

R[x
1
, . . . , x
s−1
] N
0
.
t ≥ 0 A ⊆ B
A + (0 :
M
x
t
s
R) ⊆ B + (0 :
M
x
t
s
R).
A
t
⊆ B
t
.
A ⊆ B A
t
⊆ B
t
t A = B.
B ⊆ A. b ∈ B \ A.

20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
b =
p

n=q
b
n
b
n
n q  p b /∈ A
b = 0. x
p−q+1
s
b =
p

n=q
x
p−q+1
s
b
n
p
x
p−q+1
s
b = 0. b ∈ (0 :
M
x
p−q+1

R). p − q + 1 ≥ 1
t b ∈ (0 :
M
x
t
s
R).
b = 0 b /∈ (0 :
M
x
0
s
R) = 0.
t ≥ 0 b ∈ (0 :
M
x
t+1
s
R) \ (0 :
M
x
t
s
R).
b ∈ B \ A t ≥ 0 b
b ∈ (0 :
M
x
t+1
s

R) \ (0 :
M
x
t
s
R). b
∗
B \ A
t
∗
b
∗
∈ (0 :
M
x
t
∗
+1
s
R) \ (0 :
M
x
t
∗
s
R)
b
∗
∈ (B +0 :
M

x
t
∗
s
R)∩(0 :
M
x
t
∗
+1
s
R). b
∗
+(0 :
M
x
t
∗
s
R) ∈ B
t
∗
.
B
t
= A
t
b
∗
+ (0 :

M
x
t
∗
s
R) ∈ A
t
∗
.
a ∈ (A + 0 :
M
x
t
∗
s
R) ∩ (0 :
M
x
t
∗
+1
s
R)
b
∗
+ (0 :
M
x
t
∗

s
R) = a + (0 :
M
x
t
∗
s
R) ∈ N
t
∗
.
a = a
1
+ a
2
a
1
∈ A, a
2
∈ (0 :
M
x
t
∗
s
R)
a
1
+ a
2

∈ (0 :
M
x
t
∗
+1
s
R).
b
∗
− a
1
− a
2
∈ (0 :
M
x
t
∗
s
R). a
2
∈ (0 :
M
x
t
∗
s
R)
b

∗
− a
1
∈ (0 :
M
x
t
∗
s
R). A ⊆ B b
∗
− a
1
∈ B b
∗
− a
1
/∈ A
b
∗
−a
1
∈ B\A t < t
∗
b
∗
−a
1
∈ (0 :
M

x
t+1
s
R)\(0 :
M
x
t
s
R),
t
∗
b
∗
− a
1
∈ A. a
1
∈ A
b
∗
∈ A, b
∗
. A = B.
x
s
A ⊆ A (x
s
A)
t
⊆ A

t
t ≥ 0
α
t
(A
t
) = (x
s
A)
t−1
t ≥ 1.
α
t
(A
t
) =

x
s
y+(0 :
M
x
t−1
s
R) ∈ N
t−1
| y ∈ (A+0 :
M
x
t

s
R)∩(0 :
M
x
t+1
s
R)

.
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
x
s
y + (0 :
M
x
t−1
s
R) ∈ α
t
(A
t
) y = a + a

a ∈ A
a

∈ (0 :
M
x
t

s
R) a + a

∈ (0 :
M
x
t+1
s
R). x
s
a

∈ (0 :
M
x
t−1
s
R)
x
s
y = x
s
(a + a

) ∈ (0 :
M
x
t
s
R).

x
s
y + (0 :
M
x
t−1
s
R) = x
s
a + (0 :
M
x
t−1
s
R)
∈ (x
s
A + 0 :
M
x
t−1
s
R) ∩ (0 :
M
x
t
s
R)/(0 :
M
x

t−1
s
R)
= (x
s
A)
t−1
.
y + (0 :
M
x
t−1
s
R) ∈ (x
s
A)
t−1
y ∈ (x
s
A + 0 :
M
x
t−1
s
R) ∩ (0 :
M
x
t
s
R). y = x

s
a + a

∈ (0 :
M
x
t
s
R) a ∈ A
a

∈ (0 :
M
x
t−1
s
R). y + (0 :
M
x
t−1
s
R) = x
s
a + (0 :
M
x
t−1
s
R).
x

s
a + a

∈ (0 :
M
x
t
s
R) a

∈ (0 :
M
x
t−1
s
R) ⊆ (0 :
M
x
t
s
R)
x
s
a ∈ (0 :
M
x
t
s
R) x
t

s
x
s
a = 0 a ∈ (0 :
M
x
t+1
s
R)
a ∈ (A + 0 :
M
x
t
s
R) ∩ (0 :
M
x
t+1
s
R).
y + (0 :
M
x
t−1
s
R) = x
s
a + (0 :
M
x

t−1
s
R) ∈ α
t
(A),
α
t
(A
t
) = (x
s
A)
t−1
⊆ A
t−1
.
β
1
(A
1
) = α
1
(A
1
) ⊆ A
0
. β
t−1
α
t

(A
t
) ⊆ A
t−1
β
t
(A
t
) ⊆ β
t−1
(A
t−1
) t
M R[x
1
, . . . , x
s
]
r
∞

r
M
n
⊇
∞

r+1
M
n

⊇ . . . R[x
1
, . . . , x
s
]
M k

∞

r+k

M
n
=
∞

r+i
M
n
, ∀i ≥ k

m
r+k

∈ M
r+k

∞

r+k


+1
M
n
=
∞

r+k

M
n
m
r+k

+1
, m
r+k

+2
, . . . , m
p
m
i
∈ M
i
i = r + k

+ 2, . . . , p
m
r+k


= m
r+k

+1
+ m
r+k

+2
+ · · · + m
p
.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
m
r+k

− m
r+k

+1
− m
r+k

+2
− . . .− m
p
= 0 0
0 m
r+k


= 0 M
r+k

= 0
p M
n
= 0, ∀n > p
R[x
1
, . . . , x
s
] M
−r

−∞
(0 :
M
n
(x
1
, . . . , x
s
)R) ⊇
−r−1

−∞
(0 :
M
n
(x

1
, . . . , x
s
)R) ⊇ . . .
k (0 :
M
n
s

i=1
x
i
R) = 0, ∀n < k
k  n  p
N
0
⊇ N
1
⊇ . . . R M
n
SN
0
⊇ SN
1
⊇ . . . R[x
1
, . . . , x
s
]
M u

SN
u
= SN
u+i
, ∀i ≥ 0 m N
u
1 ∈ S
m = 1m SN
u
SN
u+i
, ∀i ≥ u m = fy
f =

i≥0
a
i
∈ S y ∈ N
u+i
y m
n f = a
0
∈ R m = a
0
.y ∈ N
u+i
N
u
= N
u+i

, ∀i ≥ 0
M
n
R k  n  p
s s = 0 S = R
s

i=1
x
i
R = 0
(0 :
M
n
s

i=1
x
i
R) = M
n
= 0, ∀n < k s = 0
M
n
= 0 n < k n > p M =
p

k
M
n

M
n
R k  n  p M
R
s ≥ 1 R[x
1
, . . . , x
s−1
]
R
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
M
n
·x
i
→
M
n+1
i = 1, . . . , s
s

1
Ker(x
i
) = {m ∈ M
n
| mx
i
= 0, i = 1 . . . , s} = 0
µ R

M
n+1
R M
n
R M
k
R n M
n
R n  k M
n
R
n  p
N
i
= (0 :
M
n
x
s
i+1
R)/(0 :
M
x
s
i
R)
i ≥ 0 (N
i
)
n

n N
i
M
n
R n  p.
(N
i
)
n
∼
=
(0 :
M
x
s
i+1
R)/(0 :
M
n
x
s
i
R)
M
n
= 0 n > p (N
i
)
n
= 0 n > p (N

i
)
n
R n  p a ∈ (0 :
N
i
s−1

i=1
x
i
R)
a ∈ (0 :
M
x
s
i+1
R) x
i
a = 0 i = 1, . . . , s − 1
x
i
a ∈ (0 :
M
x
s
i
R) i = 1, . . . , s − 1 a ∈ (0 :
M
x

s
i+1
R)
x
s
a ∈ (0 :
M
x
s
i
R) x
i
a ∈ (0 :
M
x
s
i
R) i = 1, . . . , s
x
s
i
a ∈ (0 :
M
s

i=1
x
i
R) M
n

= 0 n > p (0 :
M
n
s

i=1
x
i
R) = 0
n < k
(0 :
M
(x
1
, . . . , x
s
)R) =
+∞

−∞
(0 :
M
n
(x
1
, . . . , x
s
)R) =
p


k
M
n
.
x
s
i
a ∈
p

k
M
n
a ∈
p−i

k−i
M
n
+ (0 :
M
x
s
i
R)
a ∈
p−i

k−i
(N

i
)
n
(0 :
N
i
s−1

i=1
x
i
R) ⊆
p−i

k−i
(N
i
)
n
(0 :
(N
i
)
n
s−1

i=1
x
i
R) = 0, ∀n < k − i.

24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
N
i
N
i
R[x
1
, . . . , x
s−1
]
i ≥ 0 A
0
⊇ A
1
⊇ . . . R[x
1
, . . . , x
s
]
M t ≥ 0
A
ti
= (A
t
+ (0 :
M
x
s
i
R) ∩ (0 :

M
x
s
i+1
R)/(0 :
M
x
s
i
R).
N
i
A
0i
⊇ A
1i
⊇ A
ti
⊇ . . . , ∀i ≥ 0.
N
i
R[x
1
, . . . , x
s−1
] i ≥ 0
t
i
R[x
1

, . . . , x
s−1
] Q
i
N
i
A
ti
= Q
i
t ≥ t
i
i ≥ 0 i ≥ 0 u = max{t
i
, t
i+1
}
β
i
(Q
i
) = β
i
(A
u
i
) ⊇ β
i+1
(A
u

i
+1
) = β
i+1
(Q
i+1
).
β
0
(Q
0
) ⊇ β
1
(Q
1
) ⊇ . . . ⊇ . . .
R[x
1
, . . . , x
s−1
] N
0
N
0
R[x
1
, . . . , x
s−1
]
T ≥ 0 β

i
(Q
i
) = β
i+1
(Q
i+1
)
i ≥ T I = max{t
0
, t
1
, . . . , t
T
} A
ti
= A
t+1i
= Q
i
t ≥ I T ≥ i ≥ 0.
A
ti
= A
t+1i
= Q
i
t ≥ I i ≥ T. i
i ≥ T A
tT

= A
t+1T
= Q
T
A
ti
= A
t+1i
= Q
i
i ≥ T A
0i+1
⊇ A
1i+1
⊇ . . .
A
ti+1
⊇ Q
i+1
β
i
(A
ti
) ⊇ β
i+1
(A
ti+1
) ⊇ β
i+1
(Q

i+1
).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên