TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP. HỒ CHÍ MINH

BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Mơn thi: MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ

U CẦU
Phần I : Mơ hình tốn kinh tế và phương pháp mơ hình trong phân tích kinh
tế.
Câu 1. Trình bày ngăn gon nôi dung cua cac kiên thưc vê:
a. Hê sô co gian, hê sô tăng trưởng, hê sô thay thê.
b. Mơ hình tơi thiểu hóa chi phí cua doanh nghiêp khi sản lượng cho trước,
mơ hình tơi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước.
c. Mơ hình tơi đa hóa lợi nhuận cua doanh nghiêp.
Câu 2. Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có cac nơi dung đa trình bày ở Câu 1, sau đó
giải chi tiêt cac bài tập đó.
Phần II : Bài tốn Quy hoạch tuyến tính (QHTT).
Câu 3. Trình bày ngăn gon nôi dung cua cac kiên thưc vê:
a. Bài toan QHTT (Mục đích giải, khai niêm, cac dang cua bài toan QHTT,
tính chât cua bài toan QHTT).
b. Bài toan đơi ngẫu và ưng dụng cua bài toan đôi ngẫu vào viêc giải bài toan
QHTT.
Câu 4. Cho 3 ví dụ là bài toan thưc tê và thưc hiên cac yêu câu sau cho mơi bài toan:
a. Lập mơ hình bài toan QHTT cho bài toan thưc tê (goi là bài toan (P)).
b. Giải bài toan QHTT (P) băng phương phap đơn hình.
c. Viêt bài toan đôi ngẫu cua bài toan (P) và giải băng đinh ly đôi ngẫu.

BÀI LÀM
Phần I : Mô hình tốn kinh tế và phương pháp mơ hình trong phân tích kinh
tế.
Câu 1. Trình bày ngăn gon nơi dung cua cac kiên thưc vê:

1


a) Hê sô co gian, hê sô tăng trưởng, hê sô thay thế.
1. Hê sô co gian:


Hê sô co gian riêng và toàn phân:

Để đo tỉ lê cua sư thay đổi tương đôi (tưc thời) cua biên nôi sinh với sư thay đổi
tương đôi cua 1 biên ngoai sinh, người ta dùng hê sô co gian (hê sô co gian riêng).
‐

Hê sô co gian riêng cua y theo x tai �0 :
�
��� (�0 )

��(�0 ) �0�
=
.
(� = 1,2, . . . , �).
��� �(�0 )

�

Tai �0 , khi �� tăng 1% cịn cac biên khac khơng đổi thì y thay đổi xâp xỉ ��� (�0 ) %.
‐
‐

�


Nêu hê sô co gian ��� (�0 ) > 0 (< 0) thì x và y thay đổi cùng (ngược) chiêu.
Hê sô co gian chung (toàn phân) cua y theo �1 , �2 , . . . , �� tai �0 :
�

0

� (� ) =

�

�=1

�

��� (�0 ).

Khi cac biên �1 , �2 , . . . , �� cùng thay đổi 1% thì y thay đổi xâp xỉ băng �� (�0 ) %.
‐

Hê sô co gian cua y (riêng hoặc tồn phân) phụ thc điểm chúng ta tính, tưc là

phụ thc vào cac biên ngoai sinh. Tuy nhiên, nêu quan hê giữa y và cac biên
α

α

α

ngoai sinh có dang: y = α0 x11 x22 . . . xnn với α0 , α1 , . . . , αn là cac tham sô (dang

hàm Cobb - Douglas), khi đó có thể chưng minh được răng:
�

��� (�) = �� (� = 1,2, . . . , �) và do đó: �� =

�
�.
�=1 �



Cac tính chât cua hê sô co gian

‐

Xét hàm y = f(x) và x = g(w). Khi đó: �� = �� × � = �� × ��� .

‐

�

��

�

Xét hàm y = f(�1 , �2 , . . . , �� ). Ta đinh nghĩa:
+ Hàm cận biên theo �� : Mfi =

∂f


∂��

y

(1);

+ Hàm trung bình theo �� : Afi = �� (2).
�

�� �

�
Từ (1) và (2) suy ra: ��� = �� . � =

2. Hê sô tăng trưởng:

�

Mfi
Afi

(� = 1,2, . . . , �).

2

�





Hê sơ tăng trưởng: Nêu trong trường hợp mơ hình có biên ngoai sinh là biên
thời gian, khi này sư biên đông cua biên nôi sinh theo thời gian được đo băng hê
sô tăng trưởng (nhip tăng trưởng).

‐

Yêu câu: Cân đo lường tỉ lê (%) thay đổi cua biên nôi sinh theo đơn vi thời gian.

‐

Hê sô tăng trưởng cua y theo thời gian: �� =

‐

Xét hàm y = f(�1 , �2 , . . . , �� , �) khả vi theo t.

�� 1

.

�� �

Ý nghĩa: Hê sô tăng trưởng ry (%) đo tỉ lê biên đông cua biên nơi sinh theo thời gian.


Cac tính chât cua hê sơ tăng trưởng:

‐

Xét hàm y = f(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)). Khi đó: ry =


3. Hê sô thay thê:

y
n
ε r
i=1 xi xi .

Xét hàm sô y = f(�1 , �2 , . . . , �� ) tai �0 . Khi đó �(�0 ) = �0 .
‐

Yêu câu: Nêu cho hai biên ngoai sinh thay đổi và cô đinh cac biên khac sao cho
biên nôi sinh y không thay đổi, tưc là � = �0 . Yêu câu là đi xac đinh sư thay đổi
cua hai biên ngoai sinh với tỉ lê thay thê.

‐
‐

Tỉ lê (hê sô) thay thê này được goi là hê sô thay thê biên (lao đơng và vơn,…).
Ta có thể tính hê sô thay thê này dưa vào công thưc vi phân toàn phân:
dy = f1 dx1 + f2 dx2 + . . . + fi dxi + . . . + fj dxj + . . . + fn dxn .

Cho hai biên xi và xj thay đổi, do y và xk (k ≠ i, j) không đổi nên từ công thưc vi
phân tồn phân ta có:

fi dxi + fj dxj = 0 ⇔

Ta có cac kêt luận sau:
‐


fj
dxi
=−
dxj
fi

x0

= MRS(i, j)

Nêu MRS(i, j) < 0 thì tai �0 u tơ y có thể thay thê được cho u tơ j với tỉ lê

−MRS(i, j).Tỉ lê này cho ta biêt khi giảm (tăng) mưc xj mơt đơn vi thì phải tăng

(giảm) mưc xi bao nhiêu đơn vi để giữ nguyên mưc cua y và được goi là hê sô
‐

thay thê (cận biên) cua xi và xj .

Nêu MRS(i, j) > 0 thì tai �0 yêu tô y và yêu tô j bổ sung cho nhau với tỉ lê

MRS(i, j).Tỉ lê này cho ta biêt khi tăng (giảm) mưc xj môt đơn vi thì phải tăng
3


(giảm) mưc xi bao nhiêu đơn vi để giữ nguyên mưc cua y và được goi là hê sô
‐

bổ sung (cận biên) cua xi và xj.


Nêu MRS(i, j) = 0 thì tai �0 u tơ y và u tơ j khơng thể thay thê hoặc bổ
sung cho nhau.

b) Mơ hình tơi thiểu hóa chi phí của doanh nghiêp khi sản lượng cho trước, mơ hình
tơi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước.
1. Mơ hình tơi thiểu hóa chi phí cua doanh nghiêp khi sản lượng cho trước:
‐

Nơi dung: Với mưc sản lượng dư kiên (Q) và cac yêu tơ đâu vào (PK , PL ) cho

‐

Mơ hình: Xac đinh K, L ≥ 0 sao cho TC = PK K + PL L → min thỏa điêu kiên

‐
‐

trước. Doanh nghiêp cân lưa chon mưc sử dụng cac yêu tô đâu vào (K, L) sao
cho chi phí là nhỏ nhât.

f(K, L) = Q trong đó Q, K, L là biên nôi sinh; TC, PK , PL là biên ngoai sinh.
Phân tích mơ hình cưc tiểu hóa chi phí: Lập hàm Lagrange
l(K, L, λ) = PK K + PL L + λ[Q − f(K, L)]

Để l đat gia tri nhỏ nhât thì điêu kiên cân là:

f(K, L) = Q
f(K, L) = Q
��
��

=�−�
=0
⇔ PK ��/��
��
��
=
��
��
PL ��/��
=�−�
=0
��
��

Hàm chi phí TC(Q, K, L) nêu xét trong ngăn han thì ta xem gia u tơ mua vê là
khơng đổi.

TC

.

‐

Chi phí trung bình AC =

‐

MC(Q0 ) = λ∗ với Q0 là sản lượng tôi ưu và λ∗ goi là nghiêm tơi ưu cua �.

‐


Chi phí biên MC =

∂TC
∂Q

.

Q

2. Mơ hình tơi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước:
‐

Nơi dung: Với mưc sản lượng dư kiên (Q) và cac yêu tô đâu vào (PK , PL ) cho

trước. Doanh nghiêp cân lưa chon mưc sử dụng cac yêu tô đâu vào (K, L) sao
cho mưc sản lượng là lớn nhât.

4


‐

Mơ hình: Xac đinh K, L ≥ 0 sao cho Q = f(K, L) → max thỏa điều kiện PK K +

‐

Phân tích mơ hình cưc tiểu hóa chi phí: Lập hàm Lagrange

PL L = TC trong đó Q, K, L là biên nôi sinh; TC, PK , PL là biên ngoai sinh.

l(K, L, λ) = Q + λ[TC − PK − PL ]

‐

Để l đat gia tri nhỏ nhât thì điêu kiên cân là:

‐

MC(Q0 ) = 1/λ∗ là sản lượng tôi ưu và λ∗ là nghiêm tôi ưu cua �.

PK K + PL L = M
PK K + PL L = M
��
��
=
− �PK = 0
PK ��/��
⇔
�� ��
=
�� ��
PL ��/��
=
− �PL = 0
�� ��

c) Mơ hình tơi đa hóa lợi nhuận của doanh nghiêp.
‐
‐


Kí hiêu TR(Q) là doanh thu khi doanh nghiêp cung ưng và tiêu thụ trên thi
trường mưc sản lượng Q. Như đa nói, ta có cac đinh nghĩa doanh thu biên MR
và doanh thu trung bình AR sau đây: MR(Q) =

dTR
dQ

; AR(Q) =

TR
Q

Goi TC(Q) là chi phí tương ưng với Q (có tính tơi ưu vê kinh tê) thì lợi nhuận sẽ
là:

π(Q) = TR(Q) − TC(Q) → max
dTR

dTC

(MR = MC).

‐

Điêu kiên cân để có tơi ưu là:

‐

Doanh nghiêp là người châp nhận gia nên gia ban sản phẩm P là biên ngoai sinh


dQ

1. Với thi trường canh tranh hồn hảo

=

dQ

và P khơng đổi theo mưc cung cua doanh nghiêp. Doanh nghiêp căn cư vào
hàm sản xuât, hàm chi phí và gia P để xac đinh mưc cung tơi đa hóa lợi nhuận.
Ta có: TR(Q) = P.Q

‐

Điêu kiên tôi ưu: P = MC.

‐

Điêu kiên đu: �'' (�) < 0 ⇔ MR' < MC'

Nghĩa là, đôi với doanh nghiêp canh tranh hoàn hảo, ho sẽ chon sản lượng đem
cung ưng cho thi trường ở mưc mà chi phí biên băng gia ban.
2. Thi trường đôc quyên

5


‐

Do khơng có sản phẩm canh tranh thay thê nên doanh nghiêp có tồn qun

qut đinh gia ban và mưc cung để tơi đa hóa lợi nhuận, và mưc câu cua thi
trường băng mưc cung cua doanh nghiêp, tưc là: P = P(Q).

Trong trường hợp này π(Q) = TR(Q) − TC(Q) → max có hai biên nơi sinh P và Q.
‐

Thông thường P là hàm nghich biên cua Q nên tồn tai hàm ngược Q = Q(P).

Thưc chât, cả hai hàm P = P(Q) và Q = Q(P) đêu thể hiên cùng mơt mơi quan hê,
đó là quan hê giữa gia và mưc câu cua thi trường.

+ Nêu biểu diễn quan hê này băng hàm Q = Q(P) thì hàm này goi là hàm câu (xuôi).
Ý nghĩa: Nêu doanh nghiêp đơc qun qut đinh gia là P thì mưc câu cua thi
trường (cũng là mưc cung cua doanh nghiêp sẽ là Q(P).
+ Nêu biểu diễn quan hê này băng hàm P = P(Q) thì hàm này goi là hàm câu
(ngược). Ý nghĩa: Nêu doanh nghiêp đôc quyên cung ưng cho thi trường mưc Q thì
phải đinh gia là P mới cân băng mưc câu cua thi trường.
‐

Doanh thu: TR = P(Q).Q

‐

Điêu kiên đu: �'' (�) < 0 ⇔ MR' < MC'

‐

dP

Điêu kiên tôi ưu: P(Q) + Q dQ = MC(Q)


3. Hàm hai biên và thi trường canh tranh hoàn hảo
‐

Giả sử doanh nghiêp có hàm sản xuât Q = f(K, L) trong đó K là vơn và L là lao

‐

Đơi với doanh nghiêp canh tranh hồn hảo ta có bài toan:

‐

Điêu kiên cân để hàm hai biên tôi ưu ta phải có: P. MPK = PK và P. MPL = PL

đông; gia vôn là PK , gia lao đông là PL ; gia ban sản phẩm cua doanh nghiêp là P.
Hay xac đinh mưc sử dụng vôn và lao đông để đat lợi nhuận cao nhât.
π = PQ − (PK K + PL L) = P. f(Q, L) − (PK K + PL L) → max

4. Hàm hai biên và thi trường canh tranh đơc qun
‐

Giả sử doanh nghiêp có hàm sản xuât Q = f(K, L) trong đó K là vôn và L là lao

‐

Đôi với doanh nghiêp đôc qun, bài toan sẽ có dang:

đơng; gia vơn là PK , gia lao đông là PL ; gia ban sản phẩm cua doanh nghiêp là P.
Hay xac đinh mưc sử dụng vôn và lao đông để đat lợi nhuận cao nhât.


6


π = PQ − (PK K + PL L) = P(f(K, L)). f(K, L) − (PK K + PL L) → max

‐

Điêu kiên cân để hàm hai biên tôi ưu ta phải có:

‐

Đơi với cả hai doanh nghiêp ta ln có:

‐

Đơi với doanh nghiêp canh tranh hồn hảo ta sẽ có:

P(f(K, L)). MPK = PK và P(f(K, L)). MPL = PL

5. Phân tích so sanh tĩnh

��∗
��∗
∗
=− � �à
=− �∗
�PK
�PL

��∗

��

= �∗ .

Câu 2. Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có cac nơi dung đa trình bày ở Câu 1, sau đó
giải chi tiêt cac bài tập đó.
Ví dụ 1: Mơt doanh nghiêp đơc qun có hàm chi phí biên MC = 3Q2 − 2Q − 700
hàm doanh thu trung bình AR = 2000 – Q trong đó Q là mưc sản lượng cua hang.
a) Hay xac đinh hàm tổng chi phí TC nêu chi phí cơ đinh FC = 30; hàm doanh
thu biên MR.
b) Hay xac đinh mưc cung và gia ban cua hang.
c) Phân tích tac đông cua FC đên sản lượng tôi ưu và mưc lợi nhuận tôi đa cua
doanh nghiêp.
d) Tai FC = 30, nêu FC giảm 2% thì sản lượng tơi ưu và mưc lợi nhuận tôi đa cua
hang sẽ biên đông như thê nào?
Bài làm
a) TC =

MCdQ = Q3 − Q2 − 700Q + 30

TR = AR. Q = (2000 − Q). Q = 2000Q − Q2 suy ra MR =

b) Điêu kiên cân để lợi nhuận đat tôi đa:

dTR
dQ

= 2000 − 2Q

MR = MC hay 2000 − 2Q = 3Q2 − 2Q − 700


Giải phương trình ta được Q = 30 tương ưng với gia ban P = 1970. Lợi nhuận tơi
ưu: �∗ = 53970.

c) Vì FC khơng có trong phương trình MR = MC nên FC khơng tac đơng đên sản
lượng tôi ưu �∗ .

7


2

3

2

Lợi nhuận tôi ưu: �∗ = (2000�∗ − �∗ ) − (�∗ − �∗ − 700�∗ + ��)
Vì

��∗

=− 1 < 0 nên FC tac đông ngược chiêu đên lợi nhuận tơi đa.

��

d) Chi phí cơ đinh khơng tac đơng đên sản lượng tôi ưu.
∗

���� =


��∗ ��
30
. ∗ = ( − 1)
≈− 0,0005.
��� �
53970

Như vậy, tai FC = 30, nêu FC giảm 2% thì lợi nhuận tơi đa tăng 0,001%.
Ví dụ 2: Cho hàm sản xuât Y(t) = 0,2K0,4 L0,8
Trong đó K = 120 + 0,1t; L = 300 + 0,3t.
a) Tính hê sơ co gian cua Y theo K và L.

b) Tính hê sơ tăng trưởng cua vơn K, lao đông L và Y.
c) Hay cho biêt hiêu quả cua viêc tăng qui mô sản xuât trong trường hợp này.
Bài làm
a) Ta có: Y = 0,2K0,4 L0,8
�(�∣�) =
�(�∣�)

�� � 0,2.0,4. K−0,6 L0,8 K
. =
= 0,4.
�� �
0,2K0,4 L0,8

�� � 0,2.0,8. K0,4 L−0,2 L
=
. =
= 0,8.
�� �

0,2K0,4 L0,8

b) Hê sô tăng trưởng cua vôn K:
�� =

�� 1
0,1
. =
.
�� � 120 + 0,1�

Hê sô tăng trưởng cua lao đông L:
�� =

�� 1
0,3
0,1
. =
=
.
�� � 300 + 0,3� 100 + 0,1�

Hê sô tăng trưởng cua Y:

�� 1 0,2[0,4.0,1(120 + 0,1�)−0,6 + 0,8.0,3(300 + 0,3�)−0,2 ]
�� =
. =
�� �
0,2(120 + 0,1�)0,4 (300 + 0,3�)0,8
=

=

0,04(120 + 0,1�)−0,6 + 0,24(300 + 0,3�)−0,2
(120 + 0,1�)0,4 (300 + 0,3�)0,8

0,04
0,24
0,04
0,08
+
+
=
120 + 0,1� 300 + 0,3� 120 + 0,1� 100 + 0,1�
8


c) Ta có: �� = ��/� + ��/� = 0,4 + 0,8 = 1,2.

Vậy: Trong điêu kiên cac yêu tô khac không đổi, nêu K và L tăng lên 1% thì Y tăng
lên 1,2%.
Ví dụ 3: Mơt doanh nghiêp đơc quyên có hàm câu P = 70 – 3Q và hàm tổng chi phí
TC = Q3 − Q AD, trong đó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cao.

a) Với AD = 4, hay xac đinh mưc sản lượng và mưc gia ban tôi ưu cua doanh
nghiêp.

b) Phân tích tac đơng cua chi phí quảng cao đên sản lượng và mưc gia ban tôi ưu.
c) Tai mưc AD = 4 nêu chi phí quảng cao tăng 2% thì mưc sản lượng tơi ưu và
mưc gia ban tơi ưu sẽ thay đổi thê nào?
Bài làm

a) Với AD = 4, TC = Q3 − 2Q.

Điêu kiên cân để lợi nhuận đat tôi đa:
P'(Q)Q + P(Q) = MC hay ( − 3)Q + 70 − 3Q = 3Q2 − 2.

Giải phương trình ta được Q = 4. Thử điêu kiên đu ta thây đây cũng là điêu kiên đu
cua mô hình tơi ưu.
b) Goi sản lượng và gia ban tơi ưu lân lượt là �∗ và �∗ .
�∗ là nghiêm cua phương trình:

( − 3)Q + 70 − 3Q = 3Q2 − AD hay 3Q2 + 6Q − AD − 70 = 0

Đặt F = 3Q2 + 6Q − AD − 70.

Theo công thưc đao hàm riêng cua hàm ẩn, ta có:
��∗
=−
���

��

���
��
��∗

=

−

1


2 AD

6�∗ + 6

>0

Theo cơng thưc đao hàm cua hàm hợp, ta có:
��∗
��∗ ��∗
=
.
<0
��� ��∗ ���

Như vậy, chi phí quảng cao tac đông cùng chiêu đên sản lượng tôi ưu và tac đông
ngược chiêu đên gia ban tôi ưu.

9


�∗

��∗ ��

c) Theo câu b, ��� = ��� . �∗ = 2
∗

Tai AD = 4, ���� ≈ 0,0083
∗


���� =

1

AD(6�∗ +6)

.

��
�∗

��∗ ��
1
��
. ∗ = ( − 3)
.
∗ ≈− 0,0017
��� �
2 AD(6�∗ + 6) �

Như vậy, tai mưc AD = 4, nêu chi phí quảng cao tăng 2% thì mưc sản lượng tôi
ưu tăng 0,0166% và mưc gia ban tôi ưu sẽ giảm 0,0034%.

Ví dụ 4: Hàm sản xuât cua doanh nghiêp có dang Q = 25K0,5 L0,5 trong đó Q: sản
lượng, K: vôn, L: lao đông. Cho gia vôn �� = 12, gia lao đơng �� = 3.

a) Tính mưc sử dụng K, L để sản xuât sản lượng �0 = 1250 với chi phí nhỏ nhât.

b) Nêu gia vơn và lao đông đêu tăng 10% với mưc sản lượng như trước, mưc sử

dụng vôn, lao đông tôi ưu sẽ thay đổi như thê nào?

c) Tính hê sơ co gian cua tổng chi phí theo sản lượng tai �0 .
d) Phân tích tac đơng cua gia vơn, lao đơng tới tổng chi phí.
Bài làm

Để sản xuât sản lượng �0 = 1250 với chi phí nhỏ nhât, ta sử dụng điêu kiên:
��

��
��
��

=

��
�
( ∗ ) ℎ�� = 4
��
�

Kêt hợp điêu kiên 25K0,5 L0,5 = 1250 ( ∗∗ ) ta tìm được K = 25, L = 100,
λ=

12
= 0,48.
12,5 × 25−0,5 1000,5

Kiểm tra điêu kiên đu, ta lập ma trận Hess trong phương phap nhân tử Lagrange thì
0

được � = 25
6,25

25
−0,24
0,06

6,25
0,06 . Ta có detH = 37,5 > 0 nên K = 25, L = 100
−0,015

là nghiêm cua mơ hình tơi ưu.

b) Nêu gia vôn và gia lao đông đêu tăng cùng tỉ lê thì điêu kiên (*) và (**) khơng
đổi do đó nghiêm tơi ưu khơng đổi.
�

�

�

�
��
c) �� = �� × �� = �' × �� . Thay sơ liêu trong giả thiêt ta được: ���
� = 1.
�

10



���

d) Ta có: �� = �∗ ,
�

���
���

= �∗

Nên gia vơn, gia lao đông tac đông cùng chiêu đên tổng chi phí.
Ví dụ 5: Mơt doanh nghiêp sản xt hai mặt hàng với sản lượng Q1 , Q2 , ban trong

thi trường canh tranh hồn hảo có hàm tổng chi phí là TC = 2Q21 + 3Q1 Q2 + 3Q22 .
Gia cac mặt hàng là P1 = 20 và P2 = 30.

a) Tìm cac mưc sản lượng để lợi nhuận doanh nghiêp đat tôi đa.
b) Tai cac mưc sản lượng ở câu a), nêu tăng sản lượng cả hai mặt hàng thêm 5% thì
chi phí biên đơng như thê nào?
c) Giả sử nhà nước đanh thuê trên tổng doanh thu cua công ty với thuê suât là t (0 <
t < 1). Khi đó nêu doanh nghiêp vẫn duy trì mục tiêu lợi nhuận tơi đa thì sản lượng
cua cac mặt hàng là bao nhiêu?
Bài làm
a) Ta có hàm lợi nhuận:
π Q1 , Q2 = 20Q1 + 30Q2 − (2Q21 + 3Q1 Q2 + 3Q22 ).
Điêu kiên cân để lợi nhuận đat cưc đai:
π'Q1 = 0
20 − 4Q1 + 3Q2 = 0
Q =2
⇔

⇔ 1
'
Q2 = 4
30 − 3Q1 + 6Q2 = 0
πQ2 = 0

Ta có: A = π''Q1Q1 =− 4, B = π''Q1 Q2 =− 3, C = π''Q2 Q2 =− 6

⇒ ∆ = AC − B2 = 15 > 0
Q1 = 2
∆>0
Vì
nên tai
lợi nhuận cua doanh nghiêp đat cưc đai.
Q2 = 4
A<0
b) Ta có đơ co gian cua hai mặt hàng đơi với chi phí:
dTC Q1
Q1
εTC
.
= 4Q1 + 3Q2 . 2
Q1 =
dQ1 TC
2Q1 + 3Q1 Q2 + 3Q22
2
= 4.2 + 3.4 .
= 0,5.
2. 22 + 3.2.4 + 3. 42
dTC Q2

Q2
εTC
.
3Q
+
6Q
.
=
=
1
2
Q2
dQ2 TC
2Q21 + 3Q1 Q2 + 3Q22
4
= 3.2 + 6.4 .
= 1,5.
2. 22 + 3.2.4 + 3. 42
TC
⇒ %TC = εTC
Q1 . %Q1 + εQ2 . %Q2 = 0,5.5% + 1,5.5% = 10%.

Khi sản lượng cua hai mặt hàng đêu tăng 5% thì chi phí tăng 10%.
c) Hàm lợi nhuận với thuê suât t: π Q = 1 − t P. Q − TC
11


Hàm lợi nhuận đat cưc đai: π' Q = 0 ⇔ 1 − t P − TC' = 0 ⇔ 1 − t P = MC.
Với mặt hàng thư nhât với sản lượng Q1 và gia P1 ta có:
1 − t P1 = MC Q1

⇔ 1 − t . 20 = 4Q'1 + 3Q'2
⇔ 4Q'1 = 20 − 20t − 3Q'2
3
⇔ Q'1 = 5 − 5t − Q'2 (0 < t < 1).
4
Với mặt hàng thư nhât với sản lượng Q2 và gia P2 ta có:
1 − t P2 = MC Q2
⇔ 1 − t . 30 = 3Q'1 + 6Q'2
⇔ 6Q'2 = 30 − 30t − 3Q'1
1
⇔ Q'2 = 5 − 5t − Q'1 0 < t < 1 .
2
3
Q'1 = 5 − 5t − Q'2
4
Vậy với sản lượng cua hai mặt hàng
(0 < t < 1) thì doanh
1
Q'2 = 5 − 5t − Q'1
nghiêp vẫn duy trì được mục tiêu lợi nhuận tơi đa.

2

Phần II : Bài tốn Quy hoạch tuyến tính (QHTT).
Câu 3. Trình bày ngăn gon nơi dung cua cac kiên thưc vê:
a) Bài tốn Quy hoạch tuyến tính.
Mục đích giải: Quy hoach tuyên tính là mơt bơ phận cơ bản và có nhiêu ưng dụng
trong thưc tiễn cua tơi ưu hóa. Giải bài toan quy hoach tun tính được hiểu là tìm
được dù chỉ mơt phương an tôi ưu; hoặc là chưng tỏ trên tập phương an hàm mục
tiêu không bi chặn, tưc là hàm mục tiêu có thể nhận gia tri nhỏ tùy y đôi với bài

toan dang min (hoặc lớn tùy y đôi với bài toan dang max).
Cac thuật toan giải bài toan quy hoach tun tính khơng những giúp giải qut cac
bài toan quy hoach tuyên tính tổng quat cỡ lớn mà nó cịn là điểm xt phat quan
trong trong viêc nghiên cưu ly thuyêt giải cac bài toan tôi ưu tổng quat.
Khái niệm: Bài toan QHTT dang tổng quat với n ẩn là bài toan có dang:
f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → max (min) (1)

≥
��1 �1 + ��2 �2 + . . . + ��� �� ≤ �� (� = 1,2, . . . , �) (2)
=
12


≥0
�� ≤ 0 , � = 1,2, . . . , � (3)
�ù� ý

Trong đó:

(1) được goi là hàm mục tiêu cua bài toan.
(2) được goi là hê ràng buôc chính cua bài toan. Mơi phương trình hoặc bât phương
trình trong (2) được goi là môt ràng buôc cua bài toan.
(3) được goi là hê ràng buôc dâu cua bài toan.
(2) và (3) được goi là hê ràng buôc cua bài toan.
Khi đó:
‐

Mơi vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) thõa (2) và (3) được goi là môt phương an (PA)

cua bài toan.

‐

Môi phương an x thỏa (1), nghĩa là tai đó hàm mục tiêu đat gia tri nhỏ nhât (lớn

nhât) trên tập cac phương an được goi là môt phương an tôi ưu cua bài toan.
‐

Giải mơt bài toan QHTT là đi tìm mơt phương an tơi ưu cua nó hoặc chỉ ra răng

bài toan vơ nghiêm, nghĩa là bài toan khơng có phương an tơi ưu.
Các dang cua bai tốn QHTT:
1. Bài toan quy hoach dang chính tăc:
Dang chính tăc cua bài toan quy hoach tun tính tổng quat là bài toan.
Tìm vectơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn sao cho:

f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → max (min)

��1 �1 + ��2 �2 + . . . + ��� �� = �� (� = 1,2, . . . , �)
�� ≥ 0, � = 1,2, . . . , �

Nhận xét. Bài toan QHTT dang chính tăc là bài toan QHTT dang tổng quat trong đó:
‐
‐

Cac ràng bc chính đêu là phương trình.
Cac ẩn đêu khơng âm.

2. Bài toan quy hoach dang chuẩn tăc:
Dang chuẩn tăc cua bài toan quy hoach tuyên tính tổng quat là bài toan.
Tìm vectơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn sao cho:


13


f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → max (min)

��1 �1 + ��2 �2 + . . . + ��� �� = �� (� = 1,2, . . . , �)
�� ≥ 0, � = 1,2, . . . , �

Trong đó:
‐
‐

Cac hê sô tư do đêu không âm.
Trong ma trận hê sô tư do có đu m vector cơt đơn vi: �1 , �2 , . . . , ��.
�1 =

Khi đó:
‐
‐
‐

1
0
, �2 =
⋮
0

0
1

, . . . , �� =
⋮
0

0
0
⋮
1

Cac ẩn ưng với cac vector côt đơn vi được goi là cac ẩn cơ bản. Cụ thể ẩn ưng
với vector côt đơn vi �� là ẩn cơ bản thư k.

Môt phương an mà cac ẩn cơ bản đêu băng 0 được goi là phương an cơ bản.
Mơt phương an cơ bản có đu m thành phân dương được goi là không suy biên.

Ngược lai mơt phương an cơ bản có ít hơn m thành phân dương goi là suy biên.

Tính chât cua bai toán QHTT:
Định lý 1: (Dâu hiêu vê sư tồn tai phương an cơ bản). Nêu bài toan QHTT có
phương an và hang cua ma trận hê ràng buôc băng n thì nó sẽ có PACB. Từ đó suy
ra bài toan QHTT dang chính tăc nêu có phương an thì sẽ có phương an cơ bản.
Định lý 2: (Tính hữu han cua sô phương an cơ bản). Sô phương an cơ bản cua môt
bài toan QHTT là hữu han.
Định lý 3: (Dâu hiêu tồn tai phương an tôi ưu). Nêu bài toan QHTT có phương an
và gia tri hàm mục tiêu bi chặn dưới (trên) trên tập phương an khi f(x) → min (max)
thì bài toan có phương an tơi ưu.
b) Bài tốn đơi ngẫu và ưng dung của bài tốn đơi ngẫu vào viêc giải bài tốn
QHTT.
Bai tốn đối ngẫu vao việc giải bai toán QHTT:
Cho (P) là bài toan QHTT có dang chính tăc như sau:

f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → max (min)
14


�11 �1 + �12 �2 + . . . + �1� �� = �1
�21 �1 + �22 �2 + . . . + �2� �� = �2
….…….

��1 �1 + ��2 �2 + . . . + ��� �� = ��
�� ≥ 0, � = 1,2, . . . , �

Từ bài toan (P) ta lập được bài toan QHTT (D) như sau và ta goi bài toan (D) là bài
toan đôi ngẫu cua bài toan (P).
f(y) = b1 y1 + b2 y2 + . . . + bm ym → min (max)
�11 �1 + �12 �2 + . . . + ��1 �� ≥ ( ≤ )�1
�12 �1 + �22 �2 + . . . + ��2 �� ≥ ( ≤ )�2
….…….

�1� �1 + �2� �2 + . . . + ��� �� ≥ ( ≤ )��
�� ≥ 0, � = 1,2, . . . , �

Chú y. Bài toan (D) được lập từ bài toan (P) theo nguyên tăc sau:
1. Sô ẩn cua bài toan (D) băng sô ràng bc chính cua bài toan (P) và sơ ràng bc
chính cua bài toan (D) băng sô ẩn cua bài toan (P).
2. Hê sô cua ẩn �� trong hàm mục tiêu cua bài toan (D) là sô hang tư do �� trong hê
ràng bc chính cua bài toan (P).

3. Cac hê sô cua cac ẩn và hê sô tư do trong ràng bc chính thư j cua bài toan (D)

là cac hê sô tương ưng cua ẩn �� trong hê ràng bc chính và hàm mục tiêu cua bài

toan (P).

4. Nêu (P) là bài toan max thì (D) là bài toan min và hê ràng bc chính cua bài
toan (D) là hê bât phương trình với dâu ≥. Nêu (P) là bài toan min thì (D) là bài toan
max và hê ràng bc chính cua bài toan (D) là hê bât phương trình với dâu ≤.
5. Cac ẩn cua bài toan (D) đêu có dâu tùy y.
Cách lập bai tốn đối ngẫu:
Bài toan đôi ngẫu được lập trưc tiêp theo quy tăc sau, goi là quy tăc đôi ngẫu
(P)

(D)

15


f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cnxn → max f(y) = b1 y1 + b2 y2 + . . . + bm ym → min
≥
��1 �1 + ��2 �2 + . . . + ����� ≤ ��
=

≤0
�� ≥ 0
�ù� ý

≥
�1� �1 + �2� � + . . . + ����� ≤ ��
=

≥0
�� ≤ 0

�ù� ý

Cặp rang buộc đối ngẫu:
Trong môt cặp ràng buôc đôi ngẫu (P) và (D) như trong đinh nghĩa thì ta có n cặp
ràng bc đơi ngẫu như sau:
Trường hợp 1: f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → max

�� ≥ 0 ⇔ �1� �1 + �2� �2 + . . . + ��� �� ≥ �� , � = 1,2, . . . , �.
Trường hợp 2: f(x) = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn → min

�� ≥ 0 ⇔ �1� �1 + �2� �2 + . . . + ��� �� ≤ �� , � = 1,2, . . . , �.

Ứng dụng cua bai toán đối ngẫu vao việc giải bai toán QHTT:
Định lý độ lêch bù yếu: Điêu kiên cân và đu để phương an �0 cua bài toan (P) và

phương an �0 cua bài toan (D) đêu là phương an tôi ưu là trong cac cặp ràng bc

đơi ngẫu cua bài toan đó: Nêu môt ràng buôc thỏa man phương an với dâu bât đẳng
thưc thưc sư thì ràng bc cịn lai phải thõa man phương an với dâu băng.

Ứng dung: Nhờ đinh ly đô lêch bù yêu, khi ta biêt được môt phương an tôi ưu cua
môt trong hai bài toan cua cặp bài toan đơi ngẫu thì ta có thể tìm được tập phương
an tơi ưu cua bài toan cịn lai. Ứng dụng này thường được sử dụng trong viêc giải
quyêt cac vân đê cua bài toan QHTT.
Câu 4. Cho 3 ví dụ là bài toan thưc tê và thưc hiên cac yêu câu sau cho môi bài toan:
a) Lập mô hình bài toan QHTT cho bài toan thưc tê (goi là bài toan (P)).
b) Giải bài toan QHTT (P) băng phương phap đơn hình.
c) Viêt bài toan đơi ngẫu cua bài toan (P) và giải băng đinh ly đôi ngẫu.

16



Ví dụ 1: Mơt phân xưởng cân sản xt 20 chiêc xe ôtô, 33 chiêc xe găn may và 18
chiêc xe đap. Mn sản xt sơ xe đó, phân xưởng đa sử dụng những loai may khac
nhau cho trong bảng sau:
Loai may (đơn vi hoat đông: giờ)
A
B
C
Xe ôtô
2
5
2
Xe găn may
1
2
1
Xe đap
4
1
2
Công suât hoat đông cua may A không vượt qua 24 giờ, may B không vượt qua 12
giờ và may C khơng vượt qua 39 giờ.
a) Lập mơ hình bài toan để xac đinh phân xưởng có thể sản xuât được tôi ưu.
b) Giải bài toan QHTT băng phương phap đơn hình.
c) Viêt bài toan đơi ngẫu cua bài toan (P) và giải băng đinh ly đôi ngẫu.
Bài làm
a) Goi �1 , �2 , �3 lân lượt là loai may A, B, C. Điêu kiên: �1 , �2 , �3 ≥ 0.
Ta có cac hê ràng bc:


2�1 + 5�2 + 2�3 ≤ 24
�1 + 2�2 + �3 ≤ 12
4�1 + �2 + 2�3 ≤ 39

Để phân xưởng có thể sản xt được tơi ưu ta có:

� � = 20�1 + 33�2 + 18�3 → ���

Vậy, ta có bài toan quy hoach tuyên tính:

� � = 20�1 + 33�2 + 18�3 → ���
2�1 + 5�2 + 2�3 ≤ 24
�1 + 2�2 + �3 ≤ 12
4�1 + �2 + 2�3 ≤ 39
�� ≥ 0, � = 1, 2, 3.
b) Đưa bài toan vê dang chính tăc băng cach cơng vào mơi ràng buôc cac biên phụ
�4 , �5 , �6 như sau:

Lập bài toan đơn hình

� � = 20�1 + 33�2 + 18�3 → ���
2�1 + 5�2 + 2�3 + �4 = 24
�1 + 2�2 + �3 + �5 = 12
4�1 + �2 + 2�3 + �6 = 39
�� ≥ 0, � = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

17


20

33
�1
�2
0
�4
24
2
5
�5
0
12
1
2
0
�6
39
4
1
� �
0
-20
-33
0
�4
0
0
1
�3
18
12

1
2
0
�6
15
2
-3
� �
216
-2
3
0
�4
0
0
1
�3
18
9/2
0
7/2
20
�1
15/2
1
-3/2
� �
231
0
0

- Phương an tôi ưu cua bài toan là �0
- Gia tri hàm mục tiêu đat được là: �
��

��

PACB

c) Bài toan đôi ngẫu (D) cua bài toan (P) là:

18
0
0
�3
�4
�5
2
1
0
1
0
1
2
0
0
-18
0
0
0
1

-2
1
0
1
0
0
-2
0
0
18
0
1
-2
1
0
-2
0
0
-1
0
0
16
= 15/2, 0, 9/2 .
�0 = 231.

0
�6
0
0
1

0
0
0
1
0
0
-1/2
1/2
1

�

12
12
39/2
12
15/2

g y = 24�1 + 12y2 + 39y3 → ���
2�1 + �2 + 4�3 ≥ 20
5�1 + 2�2 + �3 ≥ 33
2�1 + �2 + 2�3 ≥ 18
�1 ≥ 0, �2 ≥ 0, �3 ≥ 0.
Cac cặp ràng buôc đôi ngẫu
2�1 + 5�2 + 2�3 ≤ 24
�1 ≥ 0
�1 + 2�2 + �3 ≤ 12
�2 ≥ 0
4�1 + �2 + 2�3 ≤ 39
�3 ≥ 0

�1 ≥ 0
2�1 + �2 + 4�3 ≥ 20
�2 ≥ 0
5�1 + 2�2 + �3 ≥ 33
�3 ≥ 0
2�1 + �2 + 2�3 ≥ 18
Do bài toan đa có phương an tôi ưu cua bài toan là �0 = 15/2, 0, 9/2 , nên theo
đinh lí đơ lêch bù u ta có hê phương trình sau:

�1
2�1 + �2 + 4�3 = 20
⇔ �2 = 16 − 2�1
2�1 + �2 + 2�3 = 18
�3 = 1

Do đó, theo phương phap đơn hình đơi ngẫu bài toan (D) có lời giải tôi ưu là:
�0 = (�1 , 16 − 2�1 , 1), �(�0 ) = 231.

Ví dụ 2: Mơt tiêm may cân sản xuât tôi đa 20 cai quân, 18 cai ao thun và ít nhât 16
cai ao khoac để giao cho khach hàng. Để sản xt sơ qn ao đó, tiêm đa sử dụng

18


những tâm vải giơng nhau và mơi tâm vải có 4 cach căt ra sô quân ao cho trong
bảng sau:
Cách cắt

1


2

3

4

Sơ qn

2

1

1

2

Sơ ao thun

1

2

3

4

Sơ ao khoac

2


1

2

1

a) Lập mơ hình bài toan để sô mảnh vải phải căt theo môi cach sao cho sô quân ao
đu để giao cho khach hàng và tổng sô tâm vải phải sử dụng tôi ưu.
b) Giải bài toan QHTT băng phương phap đơn hình.
c) Viêt bài toan đôi ngẫu cua bài toan (P) và giải băng đinh ly đôi ngẫu.
Bài làm
a) Goi �1 , �2 , �3 , �4 lân lượt là sô tâm vải phải căt theo cach 1, 2, 3, 4, thì ta có mơ
hình toan cua bài này là: Điêu kiên: �1 , �2 , �3 , �4 ≥ 0.
Ta có cac hê ràng buôc:

2�1 + �2 + �3 + 2�4 ≤ 20
�1 + 2�2 + 3�3 + 4�4 = 18
2�1 + �2 + 2�3 + �4 ≥ 16

Để sô mảnh vải phải căt theo môi cach sao cho sô quân ao đu để giao cho khach
hàng và tổng sô tâm vải phải sử dụng tơi ưu ta có:
� � = �1 + 2�2 + 3�3 + 3�4 → ���
Vậy, ta có bài toan quy hoach tuyên tính:
� � = �1 + 2�2 + 3�3 + 3�4 → ���
2�1 + �2 + �3 + 2�4 ≤ 20
�1 + 2�2 + 3�3 + 4�4 = 18
2�1 + �2 + 2�3 + �4 ≥ 16
�� ≥ 0, � = 1, 2, 3, 4.

b) Ràng bc chính thư nhât là mơt bât phương trình dang ≤ nên ta công vào vê trai

ẩn phụ �5 , ràng bc chính thư ba là mơt bât phương trình dang ≥ nên ta trừ vào vê
trai ẩn phụ �6 . Cac ẩn cua bài toan đêu không âm. Ta được bài toan dang chính tăc
tương đương như sau:

� � = �1 + 2�2 + 3�3 + 3�4 − M�7 − M�8 → max
19


2�1 + �2 + �3 + 2�4 + �5 = 20
�1 + 2�2 + 3�3 + 4�4 + �7 = 18
2�1 + �2 + 2�3 + �4 − �6 + �8 = 16
�� ≥ 0, � = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Lập bài toan đơn hình mở rông

1
2
3
3
�1
�2
�3
�4
0
�5
20
2
1
1
2

-M
�7
18
1
2
3
4
�8
-M
16
2
1
2
1
� �
0
-1
-2
-3
-3
-34
-3
-3
-5
-5
0
�5
14
5/3
1/3

0
2/3
�3
3
6
1/3
2/3
1
4/3
�8
-M
4
4/3
-1/3
0
-5/3
� �
18
0
0
0
1
-4
-4/3
1/3
0
5/3
�5
0
9

0
3/4
0
11/4
�3
3
5
0
3/4
1
7/4
1
�1
3
1
-1/4
0
-5/4
� �
18
0
0
0
1
0
- Phương an tôi ưu cua bài toan là � = 3, 0, 5, 0 .
- Gia tri hàm mục tiêu đat được là: � �0 = 18.
��

��


PACB

0
�5
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0

0
�6
0
0
-1
0
1
0
0
-1

0
1
5/4
1/4
-3/4
0

c) Bài toan đôi ngẫu (D) cua bài toan (P) là:

g y = 20�1 + 18y2 + 16y3 → ���
2�1 + �2 + 2�3 ≥ 1
�1 + 2�2 + �3 ≥ 2
�1 + 3�2 + 2�3 ≥ 3
2�1 + 4�2 + �3 ≥ 3
�1 ≥ 0, �3 ≤ 0.

Cac cặp ràng buôc đôi ngẫu

2�1 + �2 + �3 + 2�4 ≤ 20
2�1 + �2 + 2�3 + �4 ≥ 16
�1 ≥ 0
�2 ≥ 0
�3 ≥ 0
�4 ≥ 0

�1 ≥ 0
�3 ≤ 0
2�1 + �2 + 2�3 ≥ 1
�1 + 2�2 + �3 ≥ 2
�1 + 3�2 + 2�3 ≥ 3

2�1 + 4�2 + �3 ≥ 3

20

�

20
6
8
42/5
18
3
-


Do bài toan đa có phương an tơi ưu cua bài toan là �0 = 3, 0, 5, 0 , nên theo đinh lí
đơ lêch bù u ta có hê phương trình sau:

2�1 + �2 + 2�3 = 1
�1 = 0
�1 = 0
�1 + 3�2 + 2�3 = 3 ⇔ �2 + 2�3 = 1 ⇔ �2 = 1
�1 = 0
3�2 + 2�3 = 3
�3 = 0

Do đó, theo phương phap đơn hình đơi ngẫu bài toan (D) có lời giải tôi ưu là:
�0 = (0, 1, 0), �(�0 ) = 18.

Ví dụ 3: Mơt xí nghiêp có kê hoach sản xuât 3 loai sản phẩm ao sơ mi, quân thun

và nón từ 3 loai nguyên liêu chỉ may, vải, cúc. Cho biêt khôi lượng nguyên liêu
(đơn vi nguyên liêu) xí nghiêp đang có, đinh mưc sử dụng cac loai nguyên liêu để
sản xuât ra môt sản phẩm môi loai và tiên lời (ngàn USD) cua môi sản phẩm trong
bảng sau:
Ngun liêu

Khơi lượng
ngun liêu
hiên có

Chỉ may

Đinh mưc sử dụng ngun liêu cho 1 sản phẩm
Áo sơ mi

Quân thun

Nón

240

2

3

2

Vải

200


1

2

1

Cúc

400

4

Tiên lời 1 sản phẩm

10

2
12

9

a) Lập mơ hình bài toan để với kê hoach sản xt tơi ưu, tính tổng sơ tiên lời tơi đa
và khơi lượng ngun liêu mơi loai cịn thừa sau khi sản xuât cho xí nghiêp biêt
răng, với gia ban đa đinh thì cac sản phẩm sản xuât ra đêu có thể tiêu thụ được hêt.
b) Giải bài toan QHTT băng phương phap đơn hình.
c) Viêt bài toan đơi ngẫu cua bài toan (P) và giải băng đinh ly đôi ngẫu.
Bài làm:
a) Goi �1 , �2 , �3 là khôi lượng sản phẩm loai ao sơ mi, quân thun và nón mà doanh
nghiêp cân sản xuât. Điêu kiên: �1 , �2 , �3 ≥ 0.

Ta có cac hê ràng buôc:

2�1 + 3�2 + 2�3 ≤ 240
�1 + 2�2 + �3 ≤ 200
4�1 + 2�3 ≤ 400
21


Để xí nghiêp sản xt tơi ưu ta có:
� � = 10�1 + 12x2 + 9�3 → ���

Vậy, ta có bài toan quy hoach tuyên tính:

� � = 10�1 + 12x2 + 9�3 → ���
2�1 + 3�2 + 2�3 ≤ 240
�1 + 2�2 + �3 ≤ 200
4�1 + 2�3 ≤ 400
�� ≥ 0, � = 1, 2, 3.

b) Đưa bài toan vê dang chính tăc băng cach cơng vào mơi ràng buôc cac biên phụ
�4 , �5 , �6 như sau:
� � = 10�1 + 12�2 + 9�3 → ���

Lập bài toan đơn hình
��
0
0
0

12

0
0
12
0
10
-

��

2�1 + 3�2 + 2�3 + �4 = 240
�1 + 2�2 + �3 + �5 = 200
4�1 + 2�3 + �6 = 400
�� ≥ 0, � = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

PACB

�4
�5
�6
� �
�2
�5
�6
� �
�2
�5
�1
� �

240

200
400
0
80
40
400
960
40/3
220/3
100
1160

10
�1
2
1
4
-10
2/3
-1/3
4
-2
0
0
1
0

12
�2
3

2
0
-12
1
0
0
0
1
0
0
0

9
�3
2
1
2
-9
2/3
-1/3
2
-1
1/3
-1/6
1/2
0

Phương an tôi ưu cua bài toan là �0 = 100,

0

�4
1
0
0
0
1/3
-2/3
0
4
1/3
-2/3
0
4

40
3

,0 .

Gia tri hàm mục tiêu đat được là: � �0 = 1160.

c) Bài toan đôi ngẫu (D) cua bài toan (P) là:

g y = 240�1 + 200y2 + 400y3 → ���

22

0
�5
0

1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0

0
�6
0
0
1
0
0
0
1
0
-1/6
1/12
1/4
1/2

�

80

100
120
100


Cac cặp ràng buôc đôi ngẫu

2�1 + �2 + 4y3 ≥ 10
3�1 + 2�2 ≥ 12
2�1 + �2 + 2�3 ≥ 9
�1 ≥ 0, �2 ≥ 0, �3 ≥ 0.

2�1 + 3�2 + 2�3 ≤ 240
�1 + 2�2 + �3 ≤ 200
4�1 + 2�3 ≤ 400
�1 ≥ 0
�2 ≥ 0
�3 ≥ 0

�1 ≥ 0
�2 ≥ 0
�3 ≥ 0
2�1 + �2 + 4y3 ≥ 10
3�1 + 2�2 ≥ 12
2�1 + �2 + 2�3 ≥ 9

Do bài toan đa có phương an tơi ưu cua bài toan là �0 = 100,
lí đơ lêch bù u ta có hê phương trình sau:

40

3

, 0 , nên theo đinh

�1 = 4
�2 = 0
2�1 + �2 + 4y3 = 10
3�1 + 2�2 = 12 ⇔ 2�1 + 4y3 = 10 ⇔ �2 = 0
�2 = 0
3�1 = 12
�3 = 1/2

Do đó, theo phương phap đơn hình đơi ngẫu bài toan (D) có lời giải tơi ưu là:
�0 = (4, 0, 1/2), �(�0 ) = 1160.

23