F Í S I C A I
A U T O R :
L U I S R O D R Í G U E Z V A L E N C I A
C O L A B O R A D O R E S
A L I C I A L I R A
R O S E M A R I E P O H L
V E R Ó N I C A P E T E R S
Y O L A N D A V A R G A S
M A N U E L A R R I E T A
J U A N B A R R E R A
J O R G E L A Y
D A G O B E R T O C A S T R O
D E P A R T A M E N T O D E F Í S I C A
F A C U L T A D D E C I E N C I A
U N I V E R S I D A D D E S A N T I A G O
E j e r c i c i o s r e s u e l t o s
SOLUCIONES EJERCICIOS FISICA I
versión 2
Auto r : Luis R odríguez Valencia
1
DEPARTAMENTO DE FISICA
UNIVERSIDA D DE SANTIAGO DE CHILE
Colaboradores: Alicia Lira, Rosemarie Pohl,
Verónica Peters ,Yolanda Vargas,
Manuel Arrieta, Dagoberto Castro,
Juán Barrera, Jorge L ay.
4 de dici embre de 2003
1
email:
II
Capítulo 1

Soluciones ejercicios
Nadie e s perfecto, l uego si encuen tra errores, tenga la g en tileza de infor-
marnos
Ejercicio 1.1 Un cuerpo describe una órbita circular de radio R =100 m
en torno a un punto fijo con rapidez constan te dando una vuelta completa
por se g undo. Determine l a magnitud d e la ace leración del cuerpo.
Solución. Laaceleraciónenórbitacircularesdemagnitud
a =
v
2
R
=
(
2πR
T
)
2
R
=
4π
2
R
T
2
=
4π
2
× 100
1
=3947. 8ms

−2
N
Ejercicio 1.2 Si el cuerpo d el ejercicio anterior, r e pentinamen te siguiera
en línea recta, determine la ra pid ez de crecimiento de la distancia al punto
fijo en ms
−1
.
Solución. Este problem a, es más apropiad o hacerlo cuando se tenga claro
el concepto de derivada. De todos modos se soluciona po r m edios geométricos
alamaneradeNewton.Siv es la rapidez en la órbita circular y sigue en
línea r ecta, el c uerpo reco rre una distancia
d = vt.
2 So luciones e j e rcicio s
R
vt
α
v
α
Figura 1.1:
P o r e l t eorem a de Pitágoras, la distancia D al cen tro de la circunferencia
original crece de la forma
D =
√
R
2
+ v
2
t
2
ver figura. La veloc idad del c uerpo podemos imaginarnos se p uede des com-

po n er en una parte paralela a esa distancia, la que la hace crecer y otra parte
perpendicula r que no la afect a. De mod o que la rapidez de crecim ien to de
esa distancia D será
v cos α
pero de la figura
cos α =
vt
√
R
2
+ v
2
t
2
obtenie ndo para la rapidez de crecimiento
v
2
t
√
R
2
+ v
2
t
2
ms
−1
con R =100my v =
2πR
1

=628. 319 m s
−1
se tiene u n a fu n ción conoc ida del
tiempo .
N
Ejercicio 1.3 Las masas de la T ierra y d e la L una son aproxim adamente
M
T
=5,98 × 10
24
kg y M
L
=7,36 × 10
22
kg sien do la distancia promedi o
entre ellos 3,84 × 10
8
m. Determine l a fuerza ejercida por la Tierra sobre la
Luna y la e jercida por l a Luna sobre la T ierra.
3
Solución. A mbas son de igual m agnitud dada por
F = G
M
T
M
L
d
2
=6,67259 × 10
−11

5,98 × 10
24
× 7,36 × 10
22
(3,84 × 10
8
)
2
=1. 99 × 10
20
N
N
Ejercicio 1.4 De los datos del ejercicio anter ior , determin e el tiempo em -
pleado po r la L una e n d ar u na vuelta completa en torno a la T ierra, en días.
Solución. Considerando a la T ierra en reposo, la seg unda ley de Newton
da
G
M
T
M
L
d
2
= M
L
4π
2
d
T
2

osea
T =
s
4π
2
d
3
GM
T
=
s
4π
2
(3,84 × 10
8
)
3
6,67259 × 10
−11
× 5,98 × 10
24
=2. 366 894 458 × 10
6
s
=27. 39 días
Sin em ba rgo ambos cuerpos d escriben órbitas casi circulares e n torno al cen-
trodemasademodoquesillamamosR
L
y R
T

a los radios de las órbitas,
con R
L
+ R
T
= d se tiene qu e
G
M
T
M
L
d
2
= M
L
4π
2
R
L
T
2
,
G
M
T
M
L
d
2
= M

T
4π
2
R
T
T
2
obien
G
M
T
d
2
=
4π
2
R
L
T
2
,
G
M
L
d
2
=
4π
2
R

T
T
2
4 So luciones e j e rcicio s
y si las sumamos
G
M
L
+ M
T
d
2
=
4π
2
d
T
2
,
expresión dad a en clase en la form a
R
3
=
G(M
1
+ M
2
)
4π
2

T
2
El efecto del m ovim iento de la Tierra da el va lo r
T =
s
4π
2
d
3
G(M
T
+ M
L
)
=
s
4π
2
(3,84 × 10
8
)
3
6,67259 × 10
−11
× (5,98 × 10
24
+7,36 × 10
22
)
=2. 352 462 04 × 10

6
s
=27. 23 dí as
Ni uno de los dos cálculos pu ede ser considerado exacto po r qu e el movim iento
de la Luna es mucho mas complej o que una órbita circular.
N
Ejercicio 1.5 Determine aproxim adam ente la fuerza que hace la Luna so-
bre una persona q ue está sobre la superficieterrestreydemasa80 kg.
Solución. La distancia entre los cen tros es d =3,84 × 10
8
m.elradio
terrestre es aproxim adam ente 6,38 × 10
6
m de manera que si la Luna esta
sobre la person a la distancia sera 3,84 × 10
8
− 6,38 × 10
6
=3. 776 2 × 10
8
m
resultando para la fuerza
F = G
mM
L
d
2
=6,67259 × 10
−11
80 × 7,36 × 10

22
(3. 776 2 × 10
8
)
2
=2. 755 × 10
−3
N
=2. 8 × 10
−4
kgf
bastante pequeñ a.
5
N
Ejercicio 1.6 SielradiodelaLunaes1,74×10
6
m determ ine cuanto pes a
un kg de oro e n la Lu na.
Solución. Elcalculodelafuerzagravitacionalda
F = G
mM
L
d
2
=6,67259 × 10
−11
1 × 7,36 × 10
22
(1,74 × 10
6

)
2
=1. 622 N
=0.166 kgf
alrededor de 1/6 de lo que pesa en la super ficie terrestre.
N
Ejercicio 1.7 De acuerdo a lo s radios orbitales, evalúe los p eriod os orbita-
les u sando la tercera ley d e Kepler, co m parando con l os datos tabulados.
Solución. Losdatostabuladosson
R km T años T calculado
Mercurio 57, 909, 175 0,24084445 0,241
Venus 108, 208, 930 0,61518257 0,615
Tierra 149, 597, 890 0,99997862 1,000
Marte 227, 936, 640 1,88071105 1. 881
Júpiter 778, 412, 020 11,85652502 11. 871
Saturno 1, 426, 725, 400 29,42351935 29. 458
Urano 2, 870, 972, 200 83,74740682 84. 088
Neptuno 4, 498, 252, 900 163,7232045 164. 914
Plutón 5, 906, 376, 200 248,0208 248. 126
losperiodoscalculadoslosondeacuerdoa
T =
s
4π
2
R
3
GM
S
=
s

4π
2
R
3
GM
S
la masa d el So l es apr oximad amen te M
S
=1,991 × 10
30
kg de modo que
resulta
6 So luciones e j e rcicio s
N
MercurioT =0,241 años
Venus T =0,615 años
Tierra T =1. 000 años
Marte T =1. 881 años
Júpiter T =11. 871 años
Saturno T =29. 458 años
Uran o T =84. 088 años
Neptuno T = 164. 914 años
Plutón T =248. 126 años
Las pequeñas diferencias podría n ser adjudicadas al hecho que las órbitas
no son circulares.
Ejercicio 1.8 Determ in e a qué d ista nc ia entre la Tierra y la Luna, u n
cuerpo no es atraído hacia ningu no de los dos c uerpos.
Solución. Sea x ladistanciaalcentrodelaTierray d la distancia entr e
la Tierra y la luna. D ebe tenerse
G

mM
T
x
2
− G
mM
L
(d − x)
2
=0
o sea
(d − x)
x
=
r
M
L
M
T
de donde
x =
d
1+
r
³
M
L
M
T
´

=
3,84 × 10
8
1+
r
³
7,36×10
22
5,98×10
24
´
=3. 456 × 10
8
m
N
Ejercicio 1.9 Un péndulo de lon g itu d L =2 mefec túa o scilaciones en l a
superfici e terre stre. D etermine el número de oscilaciones que efectúa en cada
segundo.
7
Solución. De acuerd o a
T =2π
s
L
g
.
resulta
T =2π
r
2
9,8

=2. 84 s
y entonces la frecuencia es
f =
1
T
=0. 352 osc/s
N
Ejercicio 1.10 Utilizando la s leyes de Kepler, d iscuta la existencia del p la-
neta X, hipo té tico planeta igual a la Tierra, en s u misma órbita elíptica e n
torno al S o l, pero que pe rm anec e siempre oculto detrás del So l y por eso n o
ha si do observado.
Solución. No es posible porq u e si en algún instante ellos están en línea
recta con el Sol, más tarde, el que tiene mayor rapidez, se adelantará.
N
Ejercicio 1.11 Si la distancia pro m edio de la Tierra a l Sol es apr ox im ada-
mente 1,496 × 10
11
m dete rm ine aproximadam ente la masa del Sol.
Solución. Supon emo s que ad em ás se conocen otros d atos tal como q ue
el periodo de la órbita t errestre T =365× 24 × 3600 s = 3. 153 6 × 10
7
s de
manera q ue
T
2
=
4π
2
GM
sol

R
3
,
en to nces
M
sol
=
4π
2
GT
2
R
3
=
4π
2
6,67259 × 10
−11
(3. 153 6 × 10
7
)
2
(1.496 × 10
11
)
3
=1. 99 × 10
30
kg
8 So luciones e j e rcicio s

N
Ejercicio 1.12 Verifiqu e con lo s datos de la tabla, el cumplimiento de la
tercera Ley de Kepler.
Ejercicio 1.13 De acuerdo a las masas de los planetas, evalúe las velocida-
desdeescapedesdesussuperficies, compa ra ndo sus valores con los tabulados.
Solución. De acuerdo a los datos (dos primeras colum nas)
Masa kg R km v
e
km s
−1
Mercurio 0,33022 × 10
24
2439,74,25
Venus 4,8690 × 10
24
6051,810,36
Tierra 5,9742 × 10
24
6378,14 11,18
Marte 0,64191 × 10
24
3397 5,02
Júpiter 1898,7 × 10
24
71492 59,54
Saturno 568,51 × 10
24
60268 35,49
Urano 86,849 × 10
24

25559 21,29
Neptuno 102,44 × 10
24
24764 23,71
Plutón 0,013 × 10
24
1195 1,27
v
e
km s
−1
calculada
4. 250 1
10. 361 9
11. 180 3
5. 021 7
59. 533 5
35. 480 3
21. 294 8
23. 495 6
1. 204 9
y
v
e
(M,R)=
r
2GM
R
,
podemos calcular

Mercurio v
e
=4. 250 1 km s
−1
Venus v
e
=10. 3619kms
−1
Tierra v
e
=11. 1803kms
−1
Marte v
e
=5. 0217kms
−1
Júpiter v
e
=59. 533 5 km s
−1
Saturno v
e
=35. 4803kms
−1
Uran o v
e
=21. 294 8 km s
−1
Neptuno v
e

=23. 495 6 km s
−1
Plutón v
e
=1. 204 9 km s
−1
N
Ejercicio 1.14 De acuerdo a las masas de los planet as y sus radios, evalúe
la aceleración de gravedad en sus superficies, com pa rando s us valores con los
tabulados.
9
Solución. La aceleración de gravedad es la fuerz a gra vitacional dividida
por la masa es decir
g =
GM
P
R
2
P
donde R
P
y M
P
son el radio y la masa del planeta.
Mercurio Ven us Tierra M arte
Masa×10
−27
g 0.33022 4.8690 5 .9742 0.64191
Gr avedad en la superficie cm s
−2

370 887 980 371
Radio m ed io ecuatoria l (Km) 2,439.7 6,051.8 6,378.14 3,397
Júpiter Saturno Urano N eptuno Plutón
1,898.7 5 68.51 86.849 102.44 0.013
2312 896 869 1100 81
71,492 60,268 25,5 59 24,764 1,195
Calculando para el primero y el ultimo
g
Mercurio
=
6,67259 × 10
−11
(0,33022 × 10
24
)
(2,4397 × 10
6
)
2
=3. 702 m s
−2
=370,2cms
−2
g
Pluton
=
6,67259 × 10
−11
(0,013 × 10
24

)
(1,195 × 10
6
)
2
=0. 607 m s
−2
=60,7cms
−2
N
Ejercicio 1.15 Estudiesiexistealgunaleyquedecuentadelasdistancias
de los planetas al Sol. (Por razon es históricas, consider e un idades d onde
ladistanciaTierraSolsea10). Si exis te algu na discontinuidad e n su ley,
aventure algu na hipótesis.
Solución. Losdatos,laprimeracolumnadelatabla,cuandosonex-
presados tomando arbitrariam ente R
T
=10, dan los valores de la segunda
columna . Esos números, con imaginación y paciencia se parecen a la secuencia
de n ú me ros enteros de la tercera columna, n úm eros llamados de Titius-Bode.
10 Soluciones ej ercicios
R km 10 × R/R
T
Titius-Bode
Mercurio 57909175 3,87 4
Venus 108208930 7,23 7
Tierra 149597890 10 10
Marte 227936640 15,22 16
Júpiter 778412020 5 2,03 52
Saturno 1426725400 9 5,37 100

Urano 2870972200 19 1,91 196
Neptuno 4498252900 30 0,69 388
Con esfuerzo y alg o más, se p ued e ve r que esos números corresponden a
la secuencia 4+3× 2
n−1
con n =1, 2, 3, ··· . Si se observa la ta bla de eso s
valores, se descubre que correspo n dería la existencia de un planeta con n =4
n 4+
3
2
2
n
17
210
316
428
552
6100
7196
8388
esto es, la secuencia predice un planeta con 10×R/R
T
=28, en tre Marte y
Júpiter, p recisam ente donde está el cinturón de Asteroides. N adie ha pod ido
justificar e sta “le y” de modo que al parecer se trataría de una c oincidencia .
N
Ejercicio 1.16 Cons ide re un satélite artificial en órbita ec uatorial geoes-
tacionaria, es decir que p erm an ece siempre sobre el mismo punto de la su-
perficie t erre stre. Determine entonces la altur a del s atélite sobre la supe rficie
terrestre y l a rapidez de él en su órbita.

Solución. Si Ω denota la v eloc idad angula r terrestre e sto es
Ω =
2π
24 × 3600
rad/s
11
obienqueelperiododelarotaciónT =día=24×3600 = 86400,0s,entonces
la condición para q ue el satélite esté geo estaciona rio será
v =
2πr
T
pe ro la rapidez en órbita circular es
v =
r
GM
T
r
de modo que tenemos
2πr
T
=
r
GM
T
r
eleva nd o al cuad rado
4π
2
r
2

T
2
=
GM
T
r
de donde podemos despejar r
r
3
=
GM
T
T
2
4π
2
r =
3
r
GM
T
T
2
4π
2
cálculos numéricos para
T = 86400,0
M
T
=5,98 × 10

24
G =6,67259 × 10
−11
r =
3
q
GM
T
T
2
4π
2
=4. 226 × 10
7
m
en ton ces la altu ra sobr e la superficie terrestre será
h = r − R
T
=
=4. 226 × 10
7
− 6,38 × 10
6
=3. 588 × 10
7
m
=3. 588 × 10
4
km
y

v =
r
GM
T
r
=3072. 791 m s
−1
= 11062. 05 km h
−1
12 Soluciones ej ercicios
N
Ejercicio 1.17 Respecto a la situación del pr oblem a anterior, si la altu ra
del s at élite es reducida a la mitad pasand o a otra órbita circular, d e termine
el número d e vueltas que da el satélite por día en torno a la Tierra.
Solución. Ahora la a ltu ra e s la m ita d, e s dec ir
h =
3. 588 × 10
7
2
=1. 794 × 10
7
m
de donde
r =6,38 × 10
6
+1. 794 × 10
7
=2. 432 × 10
7
m

r =2. 432 × 10
7
en to nces
v =
r
GM
T
r
=4050. 569 m s
−1
Suponiendo que la v elocidad es en el mism o sentido de la rotación terrestre,
esto corresponde a un periodo
T =
2πr
v
= 37724. 839 8 s
esto es en un día el satélite d a
86400,0
37724. 839 8
=2,29
vueltas y la Tierra da u na, luego relat ivo a la Tierra el satélite da
1,29
vueltas.
N
Ejercicio 1.18 Consider e a una persona en el E cuador terrestre. Producto
de la r otación te rrestre esa person a está acelerada hacia el centro de la Tierra.
Deter mine la magnitu d de esa aceleració n . Si la persona se para s obre una
balanzayellatieneunamasade80 kg determine la lec tura de la ba lanza en
kgf.(1kgf =9,8N)
13

Solución. Si N es la fuerza qu e hace la balanza sob re l a persona hacia
arriba, l a segunda le y de Newton da
mg − N = m
v
2
R
T
donde v es la rapidez Ecuatorial de la Tierra que puede calcula rse de acuerdo
a
v =
2πR
T
T
donde T es el periodo de rotació n terrestre (un día). Así resulta
N = mg − m
v
2
R
T
= mg − m
4π
2
R
T
T
2
ynuméricamente
m =80kg
R
T

=6,38 × 10
6
m
g =9,8ms
−2
N =781. 301 N
=
781. 301
9,8
=79. 72 kgf.
O sea la rotación ter restre disminu ye algo el peso de la persona.
N
Ejercicio 1.19 Determin e el radio que deber ía tener un planeta co n la mis-
ma m asa terrestre, para que la v elocidad de escape en su superficie fuera la
velocidad de la luz.
Solución. La velocidad de escape e s
v
e
=
r
2GM
T
R
14 Soluciones ej ercicios
e igualando a c =2,99792458 × 10
8
ms
−1
c =
r

2GM
T
R
,
podemos despejar
R =
2GM
T
c
2
=0,008 9 m
=0,89 cm
(Si el radio Terrestre fuera reducido a un valor menor que ese, tendríamos
un agujero negro con la masa de la Tierr a)
N
Ejercicio 1.20 Determine el radio que debería tener una estrella con la
misma masa que el Sol, para que la velocidad d e escape en su supe rficie fuera
la velocidad de la luz.
Solución. Es ig ual, pero ahora M
S
=1,991 × 10
30
kg obteniendo
R =
2GM
S
c
2
=2956. 339 m
N

Ejercicio 1.21 Determine la velocidad de rotación que d ebería tener un
planeta com o l a T ierra, en vueltas por día, para que d espegáramos d e la
superfici e en e l Ecuador.
Solución. Como sabe mos que la rapide z para órbita circular a ni v el del
suelo sería
v =
r
GM
T
R
T
ello da v =
q
GM
T
R
T
= 7908. 378 974 m s
−1
de m odo el peri od o d e l a r otación
debe ser
T =
2πR
T
v
=5068. 892 s
lo que corresponde a
86400,0
5068. 892
=17. 05

vueltas por día.
15
N
16 Soluciones ej ercicios
Capítulo 2
Soluciones ejercicios
Ejercicio 2.1 Demu estre las identidades
(a ×

b) × c =(a · c)

b − (

b · c)a.
(a ×

b) · c = a · (

b × c).
¯
¯
¯
a ×

b
¯
¯
¯
2
= a

2
b
2
− (a ·

b)
2
.
Solución. D eben haber muchas demostraciones. La tercera es fácil pues
si φ es el ángulo en tre a y

b
¯
¯
¯
a ×

b
¯
¯
¯
2
= a
2
b
2
sin
2
φ =
= a

2
b
2
(1 − cos
2
φ)
= a
2
b
2
− a
2
b
2
cos
2
φ
= a
2
b
2
− (a ·

b)
2
.
La segunda, intercambiar la cruz con el punto, se demuestra así:
(a ×

b) · c =(a

y
b
z
− a
z
b
y
)c
x
+(a
z
b
x
− a
x
b
z
)c
y
+(a
x
b
y
− a
y
b
x
)c
z
= c

x
a
y
b
z
− c
x
a
z
b
y
+ c
y
a
z
b
x
− c
y
a
x
b
z
+ c
z
a
x
b
y
− c

z
a
y
b
x
y
a · (

b × c)=(b
y
c
z
− b
z
c
y
)a
x
+(b
z
c
x
− b
x
c
z
)a
y
+(b
x

c
y
− b
y
c
x
)a
z
= c
x
a
y
b
z
− c
x
a
z
b
y
+ c
y
a
z
b
x
− c
y
a
x

b
z
+ c
z
a
x
b
y
− c
z
a
y
b
x
18 Soluciones ej ercicios
resultan igu ales. L a p rim era e s lar ga. Veamos la c om ponente x de (a ×

b) × c, esta es:
(a ×

b)
y
c
z
− (a ×

b)
z
c
y

=(a
z
b
x
− a
x
b
z
)c
z
− (a
x
b
y
− a
y
b
x
)c
y
=
c
z
a
z
b
x
− c
z
a

x
b
z
− c
y
a
x
b
y
+ c
y
a
y
b
x
=(c
y
a
y
+ c
z
a
z
)b
x
− (c
z
b
z
+ c

y
b
y
)a
x
=
(c · a − c
x
a
x
)b
x
− (c ·

b − c
x
b
x
)a
x
=(c · a)b
x
− (c ·

b)a
x
,
de modo que es claro q u e algo similar ocu rre con la s otras dos componen-
tes y luego
(a ×


b) × c =(c · a)

b − (c ·

b)a.
N
Ejercicio 2.2 S i los lados de un triángulo son a, b, c determine los á ngulos
del t riángu lo.
Solución. Podemos o bten erlos de varias maneras, por ejemplo d el teore-
ma del cosen o
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos γ,
obien
cos γ =
a
2
+ b
2
− c
2
2ab
,
y otras dos similar es
cos α =

a
2
+ c
2
− b
2
2ac
,
cos β =
c
2
+ b
2
− a
2
2bc
,
N
Ejercicio 2.3 Cons idere los puntos cuyas coordenadas son A =(1, 1, 1),
B =(1, 2, 1),C=(−1, 2, 0) determine
a) E l área del triángulo ABC.
b) Los ángulos del triángulo ABC.
c) La s magnit udes d e los lados del tr iángulo ABC.
19
d) Las alturas del triángulo ABC.
Solución. Los vectores c on magnitud y di rección l os lados del triángulo
pueden escribirse
c =
−→
AB =(1, 2, 1) − (1, 1, 1) = (0, 1, 0)

a =
−−→
BC =(−1, 2, 0) − (1, 2, 1) = (−2, 0, −1)

b =
−→
CA =(1, 1, 1) − (−1, 2, 0) = (2, −1, 1)
de manera que
c × a =(0, 1, 0) × (−2, 0, −1) = (−1, 0, 2)

b × c =(2, −1, 1) × (0, 1, 0) = (−1, 0, 2)
a ×

b =(−2, 0, −1) × (2, −1, 1) = (−1, 0, 2)
en ton ces el área del triángulo es
A =
1
2
|(−1, 0, 2)| =
1
2
√
5.
las magnitud es de los lados son
|c| = |(0, 1, 0)| =1
¯
¯
¯

b

¯
¯
¯
= |(2, −1, 1)| =
√
6
|a| = |(−2, 0, −1)| =
√
5
los ángulos están dados por
sin α =
|

b×c
|
|

b
|
|c|
=
√
5
√
6
sin β =
|c×a|
|a||c|
=
√

5
√
5
=1
sin γ =
|

b×a
|
|a|
|

b
|
=
√
5
√
5
√
6
=
1
√
6
las alturas del triáng ulo s e calcula n d e acu erd o a
h
C
=
¯

¯
¯

b
¯
¯
¯
sin α =
√
5,
h
B
= |a| sin γ =
√
5
√
6
,
h
A
= |c| sin β =1.
N
Ejercicio 2.4 Consid ere un p araleló gram o donde se dan t res vértice s A =
(0, 1, 1),B=(1, 0, 1),C=(1, 1, 0).
20 Soluciones ej ercicios
a) Determ in e el cuarto vértice.
b) D etermine el área del paralelógramo.
c) Determ in e las longitud e s de las diagon ale s.
Solución. Construyamos los vectores
−→

AC =
−→
OC −
−→
OA =(1, 0, −1) ,
−→
AB =
−−→
OB −
−→
OA =(1, −1, 0) ,
de manera que
−−→
AD =
−→
AB +
−→
AC =(2, −1, −1) ,
en to nces el cuarto vértice está en l a posición (esta es una solución de otras
po sib les)
−−→
OD =
−→
OA +
−−→
AD =(2, 0, 0)
El área del paralelógr am o será
A =
¯
¯

¯
−→
AB ×
−→
AC
¯
¯
¯
= |(1, 1, 1)| =
√
3,
donde las longitudes de las diagonales serán
¯
¯
¯
−→
AB +
−→
AC
¯
¯
¯
= |(2, −1, −1)| =
√
6,
¯
¯
¯
−→
AB −

−→
AC
¯
¯
¯
= |(0, −1, 1)| =
√
2.
N
Ejercicio 2.5 Es criba la ecuación de un plano que es perpe ndicular a la
direcc ión ˆn =(1, −1, 1)/
√
3 y que pasa a distanc ia 3 de l origen.
Solución. La ecuación resulta
ˆn · r =3,
o sea
x − y + z =3
√
3.
N
21
Ejercicio 2.6 Se a una recta
x =2t +1,
y = −t +2,
z =3t − 1,
siendo t u n pa rámetro . Determ in e su distancia al origen.
Solución. L a distan cia de un p unto arbitr ario de la recta al origen e s
d =
p
x

2
+ y
2
+ z
2
,
esto es
d =
p
(2t +1)
2
+(−t +2)
2
+(3t − 1)
2
=
√
14t
2
− 6t +6.
La cantidad subradical, polinomio de s egundo grado, tiene un mínimo just o
en el punto medio entre sus dos raíces que son
t
1
=
3
14
+
5
14

i
√
3,t
2
=
3
14
−
5
14
i
√
3 yelpuntomedioes
t =
1
2
(
6
14
)=
3
14
,
yparaesevalord es la distancia de la recta al origen, cuyo va lor r esulta
d =
5
14
√
42 = 2. 315,
N

Ejercicio 2.7 Se an a =(1, 1, 0),

b =(−1, 1, 1) dos vecto res. Determine la
ecuación de un plano que pase po r e l o rigen y que contenga los vectores a y

b.
Solución. Si los dos vectores a y

b están sobre el plano, entonces un
v ector norm al al plano es

N = a ×

b. Calculan do res ulta

N =(1, 1, 0) × (−1, 1, 1) = (1, −1, 2) .
La ecuación del plano e s, en genera l
r ·

N = constan te,
22 Soluciones ej ercicios
y si p asa por el origen
r ·

N =0.
Calculando (x, y, z) · (1, −1, 2) = x − y +2z de modo que la ecuación del
plano es
x − y +2z =0.
N
Ejercicio 2.8 Determ ine e l á rea de un t rián gu lo e n fu n ció n s olam e n te d e

sus l ados a, b y c.
Solución. En principio el área del triángulo puede ser escrit a d e muc has
maneras, po r ejemplo
A =
1
2
¯
¯
¯
a ×

b
¯
¯
¯
=
1
2
ab sin γ,
=
1
2
¯
¯
¯

b × c
¯
¯
¯

=
1
2
bc sin α,
=
1
2
|c × a| =
1
2
ca sin β,
pero la tarea es elim in ar lo s án gu los. Para ello con sid er e
c = a cos β + b cos α.
Expresando l os “cosenos” en términos de los “senos” se obtiene
c = a
r
1 − (
2A
ca
)
2
+ b
r
1 − (
2A
bc
)
2
,
obien

c
2
=
p
c
2
a
2
− (2A)
2
+
p
b
2
c
2
− (2A)
2
,
y el resto es álgebra. Para despejar A
(c
2
−
p
c
2
a
2
− (2A)
2

)
2
= c
4
−2
p
(c
2
a
2
− 4A
2
)c
2
+c
2
a
2
−4A
2
= b
2
c
2
−4A
2
de donde
c
2
+ a

2
− b
2
=2
p
(c
2
a
2
− 4A
2
)
(c
2
+ a
2
− b
2
)
2
=4(c
2
a
2
− 4A
2
)
16A
2
=4c

2
a
2
−(c
2
+a
2
−b
2
)
2
=(a + b −c)(a + b + c)(c − a + b)(c + a − b)