Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 1/35
Matemáticas Discretas
TC1003
Teoría de Conjuntos: Propiedades de las Operaciones
Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia

Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35
El Argumento del Elemento
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que
X ⊆ Y
recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x, x ∈ X → x ∈ Y. Una
estrategia sería:
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base

Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 2/35
El Argumento del Elemento
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que
X ⊆ Y
recordemos que X ⊆ Y ≡ ∀x, x ∈ X → x ∈ Y. Una
estrategia sería:
■
Para manejar el para todo se usa el método de
generalización: suponga un elemento arbitrario
x,
■
para probar que muestre que x ∈ X → x ∈ Y
seguiremos la estrategía del método de prueba
directo:
◆
supondremos que x ∈ X para x arbitrario,
◆
mostraremos que x ∈ Y.
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes

Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 3/35
Ejemplo
Pruebe que Z ⊆ Q.
Demostraci
´
on
Sea z un elemento cualquiera de Z. Así
z =
z
1
Por lo tanto, z puede ser visto como la división
entre dos enteros (el mismo z y el 1). Por tanto, z
es un racional. Por tanto z está en Q. Por el
argumento del elemento arbitrario Z ⊆ Q.
Argumento del
Elemento

Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 4/35
Versiones Operativas de las Operaciones
Sean X y Y subconjuntos de un conjunto universal
U , y suponga que x y y con dos elementos de U :
■
x ∈ X ∪ Y ≡ (x ∈ X) ∨ (x ∈ Y)
■

x ∈ X ∩ Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x ∈ Y)
■
x ∈ X − Y ≡ (x ∈ X) ∧ (x  Y)
■
x ∈ X
c
≡ x  X
■
(x, y) ∈ X × Y ≡ (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y)
■
x ∈ P(X) ≡ x ⊆ X
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan

Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 5/35
Indique en orden los conjuntos que completan las
afirmaciones:
■
Decir que un elemento x pertenece a B ∩
(
A ∪ C
)
significa que x pertenece a B y que x pertenece
a
(a).
■
Decir que un elemento x pertence a
(
B − C
)
∪ A
significa que x pertenece a A o que x pertenece
a
(b).
■
Decir que un elemento x pertenece a C −
(
B ∪ A

)
significa que x pertenece a
(c) pero que x no
pertenece a
(d).
Dentro de la opciones:
1. C − B 2. B − C
3. A ∪ C 4. B ∪ A
5. C 6. C − A
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´

on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 6/35
Prueba de Igualdad entre Conjuntos
Sean X y Y conjuntos dados. Para probar que
X = Y:
■
pruebe que X ⊆ Y,
■
pruebe que Y ⊆ X.
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on

De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 7/35
Leyes Conmutativas
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
■
A ∪ B = B ∪ A
■
A ∩ B = B ∩ A
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci

´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 8/35
Leyes Asociativas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
■
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
■
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia

Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 9/35
Leyes Distributivas
Sean A, B y C conjuntos cualquiera, entonces:
■
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
■
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento

Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 10/35
Leyes de Identidad
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
■
A ∪ ∅ = A
■
A ∩ U = A
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad

Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 11/35
Leyes de Complemento (Negación)
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
■
A ∪ A
c
= U
■
A ∩ A
c
= ∅
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa

Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 12/35
Leyes de Idempotencia
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
■
A ∪ A = A
■
A ∩ A = A
Argumento del
Elemento

Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 13/35
Leyes de Dominación
Sean A un conjunto cualquiera, entonces:
■
A ∪ U = U
■
A ∩ ∅ = ∅

Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 14/35
Leyes de De Morgan
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
■
(A ∪ B)

c
= A
c
∩ B
c
■
(A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on

De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 15/35
Leyes de Absorción
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
■
A ∪ (A ∩ B) = A
■
A ∩ (A ∪ B) = A
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci

´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 16/35
Complemento Base
■
U
c
= ∅
■
∅
c
= U
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes

Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 17/35
Ley de Diferencia
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, entonces:
■
(A − B) = A ∩ B
c
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad

Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 18/35
Indique en orden la opción que contiene la ley
cuyo uso se lleva a cabo en:
a)

((
D − E
)
c
)
c

c
=
(

D − E
)
c
:Doble Complemento
b)
(
B ∩ C
)
∩
(
B ∩ C
)
c
= ∅ :Ley Complemento
c) E
c
∩
(
D ∩ B
)
=
(
E
c
∩ D
)
∩ B :Asociativa
d) E
c
∪ E

c
= E
c
:Idempotencia
e) B ∩
(
B ∪
(
C ∪ D
))
= B :Absorción
dentro de la lista:
1. Ley de Complemento 2. Ley de Idempotencia
3. Ley Asociativa 4. Ley del Doble Complemento
5. Propiedad Distributiva 6. Ley de Absorción
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 19/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.
A −
(
A ∩ E
)
= A ∩
(
A ∩ E
)
c
por Ley de Diferencia
= A ∩
(

A
c
∪ E
c
)
por De Morgan
=
(
A ∩ A
c
)
∪
(
A ∩ E
c
)
por Ley Distributiva
= ∅ ∪
(
A ∩ E
c
)
por Ley de Complemento
=
(
A ∩ E
c
)
∪ ∅ por Ley Conmutativa
= A ∩ E

c
por Ley de Identidad
= A − E por Ley de Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 20/35
Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.
(
D ∩ A
c
)
∪
(
D ∩ A
)
= D ∩
(
A
c
∪ A
)
por Ley Distributiva
= D ∩
(
A ∪ A
c
)
por Ley Conmutativa
= D ∩ U por Ley de Complemento
= D por Ley de Identidad
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 21/35

Ejemplo
Indique en orden las leyes que justifican los pasos indicados.
(
C ∪ B
c
)
c
∪
(
C
c
∩ B
c
)
=
(
C
c
∩
(
B
c
)
c
)
∪
(
C
c
∩ B

c
)
por
=
(
C
c
∩ B
)
∪
(
C
c
∩ B
c
)
por
= C
c
∩
(
B ∪ B
c
)
por
= C
c
∩ U por
= C
c

por
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 22/35
Ejemplo
Indique en orden la simplificación de cada
conjunto:

a) B ∪ ∅
b) B ∪ B
c) B − ∅
d) B ∩ B
c
e) B ∪ B
c
dentro de la lista:
1. B
2. U
3. ∅
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan

Absorci
´
on
Complemento
Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 23/35
Ejemplo
Indique cuáles opciones contiene expresión que
se simplifica a E:
1.
(
E ∩ C
c
)
∩
(
E
c
∩ C
c
)
2.
(
D
c
∩ E
)
∪ E
3.

(
E
c
∩ D
)
c
∪
(
E
c
∩ D
c
)
∪
(
E ∩ D
)
4.
(
E ∩
((
E
c
∪ D
)
c
))
∪
(
E ∩ D

)
5. E ∩
(
D
c
∪ C ∪ E
)
Argumento del
Elemento
Ejemplo 1
Operativa
Prueba de
igualdad
Conmutatividad
Asociatividad
Distributividad
Leyes Identidad
Leyes
Complemento
Leyes
Idempotencia
Leyes
Dominaci
´
on
De Morgan
Absorci
´
on
Complemento

Base
Ley Diferencia
Conjuntos: Propiedades de las Operaciones Matemáticas Discretas - p. 24/35
Teorema
Para cualquier conjuntos E y D se cumple: Si
E ⊆ D entonces E ∪ D ⊆ D.
Demostraci
´
on
Sean E y D cualquier conjuntos. Según , lo
que se debe demostrar es que todo elemento x de
es también elemento de . Sea x un
elemento cualquiera de E ∪ D. Existen sólo dos
casos para x:
i) x ∈ E
ii) x ∈ D