TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI TỐN CỦA G.POLYA
ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TỐN CHO
HỌC SINH THƠNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
VỀ SỐ PHỨC LỚP 12

PHÚ THỌ - 2014


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên con đường cơng nghiệp hóa, hiện đại hóa, để
cơng cuộc đó thành cơng thì con người là nhân tố quyết định. Trong những
năm qua, cùng với sự phát triển chung của cả nước, dưới sự lãnh đạo của
Đảng, sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo có vị trí chiến lược rất quan
trọng trong việc xây dựng con người mới, phát triển kinh tế xã hội, những con
người có năng lực lao động sáng tạo, tích cực, chủ động, có năng lực giải
quyết những vấn đề thường gặp, qua đó góp phần thực hiện thắng lợi các mục
tiêu của Đất nước.
Mục tiêu của giáo dục và đào tạo là “nhằm nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, xây dựng con người mới phát triển toàn diện”,
việc đổi mới phương pháp dạy học là một nhu cầu cấp bách và việc phát triển
tư duy Toán học của học sinh trung học phổ thông cũng là một vấn đề quan
trọng.
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong
Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa
VIII (12 - 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụ

thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15
(4 – 1999).
Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thơng
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Có thể nói cốt lõi của việc đổi
mới dạy và học là hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen
học tập thụ động. Luật giáo dục năm 2005 cũng đã ghi: “Phương pháp giáo

2


dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của người học, bồi
dưỡng năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên” (Chương I, điều 5). Thực hiện nhiệm vụ trên trong những năm qua
ngành Giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới cả về nội dung và
phương pháp dạy học.
Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học mơn tốn ở trường
trung học phổ thơng là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo,
chống lại thói quen học tập thụ động. Trong việc đổi mới phương pháp dạy
học môn Tốn ở trường trung học phổ thơng, việc bồi dưỡng năng lực giải
toán cho học sinh là đặc biệt quan trọng và cần được tiến hành thường xuyên
bởi chính các em là thế hệ nhân tài tương lai của Đất nước.
Muốn giải một bài tốn, ngồi việc nắm vững kiến thức tốn học ra cịn
cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những bài tốn chưa có
sẵn thuật giải chiếm phần lớn trong mơn tốn, nó gây cho học sinh khơng ít
khó khăn trong q trình giải tốn. Do đó là người giáo viên phải biết đề ra
đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở, phù hợp với trình độ học sinh và
trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của

G.Pôlya (G.Pôlya - Giải bài tập như thế nào?) [12].
Việc giải tốn khơng chỉ đơn thuần là cung cấp lời giải mà quan trọng
hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải
tốn. Trong dạy học thầy cơ thường chỉ cho học sinh biết rằng có nhiều
trường hợp từ một bài tốn cụ thể lại có thể minh họa bằng nhiều cách giải
khác nhau, điều đó góp phần rất lớn cho việc luyện tập tốn. Vì thế, trong việc
giải bài tập không nên thỏa mãn và dừng lại với các kết quả đã có, mà phải
chịu khó tìm tịi, khám phá những cái mới trên cơ sở những cái đã biết, qua đó
rút ra các phương pháp giải chung cho những bài tốn có dạng tương tự.
Mặt khác, về nội dung mơn tốn: Trong hệ thống kiến thức được đưa
vào chương trình dạy cho học sinh trung học phổ thơng, ngồi những nội

3


dung quen thuộc của mơn tốn như các phép biến hình, Vectơ và tọa độ, Tập
hợp, Phương trình và bất phương trình, Hàm số và đồ thị, những yếu tố của
phép tính vi phân và tích phân, Đại số tổ hợp, ... thì số phức đã được đưa vào
chương trình mơn tốn ở trường trung học phổ thơng là hồn thiện hệ thống
số và khai thác một số ứng dụng khác của số phức trong Đại số, trong Hình
học và trong Lượng giác.
Số phức xuất hiện từ thế kỉ XIX do nhu cầu phát triển của toán học về
giải những phương trình Đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học
tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật.
Số phức có thể được dùng như một cơng cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài
toán cả trong Đại số, Hình học lẫn Lượng giác, Tổ hợp, ... Với sự trở lại của
số phức trong trường trung học phổ thơng nhiều vấn đề của tốn sơ cấp có thể
được trình bày rõ ràng và cụ thể hơn.
Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương Số phức được
đưa vào, trong đó gồm các phần: Khái niệm về số phức; Các phép toán: cộng,

trừ, nhân, chia hai số phức; Phương trình bậc hai với hệ số thực, phương trình
bậc hai với hệ số phức (nâng cao) và biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác
(nâng cao) chiếm vị trí khá quan trọng và thường có trong các đề thi tốt
nghiệp, Đại học và Cao đẳng. Tuy vậy, đối với học sinh trung học phổ thơng
thì số phức là nội dung cịn mới mẻ, với thời lượng khơng nhiều, học sinh mới
biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng
dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc giải thành thạo các dạng bài
tập về số phức là một vấn đề khó, địi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán
nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của tốn học.
Xuất phát từ những lí do trên tơi chọn đề tài là: “Vận dụng quy trình
giải tốn của G.Pơlya để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông
qua dạy học một số dạng bài tập về số phức lớp 12 ”.

4


2. Mục tiêu khóa luận
Việc nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu vận dụng quy trình giải tốn
của G.Pơlya để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học
một số dạng bài tập về số phức lớp 12 để rèn luyện cho học sinh tư duy quan
sát và dự đốn khi giải tốn, phân tích tìm tịi cách giải và trình bày lời giải
của bài toán, nhận biết được các quan hệ của dạng bài tập về số phức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận về quy trình giải tốn của G.Pơlya, năng lực
giải một số dạng bài tập về số phức lớp 12 trong trường trung học phổ thông.
Vận dụng quy trình giải tốn của G.Pơlya giúp học sinh định hướng
đường lối giải toán để giải một số dạng bài tập về số phức lớp 12.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu
quả của việc vận dụng quy trình giải tốn của G.Pơlya.
4. Phương pháp nghiên cứu

4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Đọc và nghiên cứu các tài liệu về lí luận (triết học, lý luận giáo dục và
lý luận dạy học mơn tốn, …); nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài rồi
phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức để làm sáng tỏ phương pháp dạy học
một số dạng bài tập về số phức lớp 12 thơng qua quy trình giải tốn của
G.Pơlya.
4.2. Phương pháp quan sát, điều tra
Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với giáo viên dạy tốn trung
học phổ thơng, tìm hiểu tình hình học tập vận dụng quy trình giải tốn của
G.Pơlya vào giải một số dạng bài tập về số phức của học sinh lớp 12.
4.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh
nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
4.4. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

5


Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để
hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Quá trình dạy học giải toán lớp 12.
- Phạm vi: Trường THPT Thanh Ba, huyện Thanh Ba, tỉnh Phú Thọ.
6. Ý nghĩa khoa học
Góp phần làm rõ cơ sở lí luận của năng lực, năng lực toán học, năng
lực giải toán và thực trạng của việc bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinh
trung học phổ thông.
Đưa ra một số dạng bài tập về số phức vận dụng quy trình giải tốn của
G.Pơlya từ đó bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh trung học phổ thơng.
7. Bố cục của khóa luận

Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Vận dụng quy trình giải tốn của G.Pơlya để bồi dưỡng
năng lực giải tốn cho học sinh thông qua một số dạng bài tập số phức lớp 12
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

6


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập tốn
1.1.1. Mục đích, vị trí, vai trị, ý nghĩa của bài tập tốn trong trường phổ
thơng
G.Pơlya cho rằng: “Trong tốn học, nắm vững bộ mơn tốn quan trọng
hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một
cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy, cả trong trường trung học cũng như trong
các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến
thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ
nào đó nắm vững mơn học. Vậy thế nào là nắm vững mơn tốn ?. Đó là biết
giải tốn !”. [13, tr.82] Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vai
trị và ý nghĩa của bài tập tốn trong trường trung học phổ thơng như sau:
1.1.1.1. Mục đích
Để đào tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngày
nay, những con người năng động sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ,
có khả năng lao động kĩ thuật cao, … trong các nhà trường phổ thơng đã đặt
ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo. Tốn học có vai trị to lớn
trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức tốn học là
cơng cụ để học sinh học tập tốt các môn học khác, giúp học sinh hoạt động có

hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Vì vậy, trong dạy học tốn nói chung, giải bài tập
tốn nói riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sát thực. Có thể thấy rõ
một số mục đích bài tập tốn ở trường phổ thơng là:
- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học
sinh biết những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức
của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các
lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.

7


- Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vững
chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng tốn học phổ thơng cơ bản,
hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào
những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học
tập các bộ môn khoa học khác.
- Thông qua việc giải bài tập, học sinh khắc sâu các kiến thức đã học,
biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tịi, sáng tạo các kiến thức
mới. Qua đó rèn luyện tư duy lơgic, sáng tạo, tính kiên trì, cần cù, chịu khó, ...
ở người học sinh.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
1.1.1.2. Vị trí và vai trị của bài tập tốn
Trong dạy học tốn ở trường trung học phổ thơng, bài tập tốn có vai
trị vơ cùng quan trọng, vì theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thơng, dạy
tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh có thể xem giải tốn là hình
thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tập tốn ở trường phổ thơng là
một phương tiện rất có hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp
học sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ
xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện

để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học tốn ở trường phổ thơng. Vì vậy, tổ
chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn học có vai trị quyết định đối với
chất lượng dạy học toán”. [6, tr.201]
Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập tốn học có vai trị quan trọng
trong mơn tốn. Điều căn bản là bài tập có vai trị giá mang hoạt động của học
sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ

8


phổ biến trong tốn học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động
ngôn ngữ”. [6, tr.388]
Như vậy bài tập tốn ở trường phổ thơng có vị trí, vai trị quan trọng
trong hoạt động dạy, học tốn ở trường trung học phổ thơng. Vì thế, cần lựa
chọn các bài tập toán sao cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh,
như thế mới phát huy được năng lực giải toán của học sinh.
1.1.1.3. Ý nghĩa của bài tập tốn
Ở trường phổ thơng, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học.
Việc giải tốn có nhiều ý nghĩa, cụ thể là:
- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và
rèn luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rất tốt
để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiếm tri thức mới.
- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn
đề cụ thể, vào thực tiễn và vào vấn đề mới.
- Đó là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự
kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
- Việc giải tốn có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát

triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt.
1.1.2. Chức năng của bài tập toán
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với nhiều dụng
ý khác nhau. Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm
việc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, … Mỗi bài tập cụ thể
được đặt ra ở một thời điểm nào đó của q trình dạy học đều chứa đựng một
cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau, những chức năng
này đều ảnh hưởng đến các mục đích dạy học trong mơn tốn, hệ thống bài
tập có các chức năng sau:

9


- Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học
sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình
dạy học. Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu
gọn, mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ thống hóa
kiến thức và nhấn mạnh phần trọng tâm của lí thuyết. Đặc biệt bài tập cịn
mang tác dụng giáo dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp học sinh rèn
luyện kĩ năng tính tốn, kỹ năng đọc hình vẽ, kĩ năng sử dụng các phương tiện
học tập, kỹ năng thực hành toán học; phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn
đề một cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian, …
Chẳng hạn, sau khi đã dạy cho học sinh phương pháp tam thức bậc hai
để giải phương trình phức, chúng ta có thể đưa ra ví dụ sau đây:
Ví dụ 1: (Đề thi khối A năm 2009)
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2  2 z  10  0 .
Tính giá trị của biểu thức A  z1  z2 .
2

2


Để tính được giá trị của A học sinh phải giải được phương trình trên để tìm
z1 ; z2 mà để tìm được z1 ; z2 thì cách dễ dàng nhất là sử dụng tam thức bậc hai,

từ đó dẫn học sinh tới việc tính  ' .
Lời giải
Ta có:  '   9   3i 

2

Nên phương trình có các nghiệm: z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i
Vậy: z1  z2   1   3    1  32  20 .
2

2

2

2

2

Ví dụ 2: Tìm số phức m để phương trình: z 2  mz  1  2i  0 nhận z  1  i
làm nghiệm và giải phương trình với m tìm được.
Để tìm được m, học sinh cần chú ý giả thiết bài tốn, sau khi tìm được m học
sinh sử dụng tam thức bậc hai để giải phương trình dễ dàng hơn.
Lời giải
Ta có : z  1  i là nghiệm của phương trình khi:

10



(1  i ) 2  m(1  i )  1  2i  0  (1  i )m  1  m 

1  1  i
.

1 i
2

 1  i 
Với m tìm được ta có phương trình: z 2  
 z  1  2i  0 , giải phương
 2 

trình tìm được các nghiệm là: z  1  i và z 

1  3i
.
2

Vậy qua ví dụ này, giáo viên đã khắc sâu cho học sinh khi gặp các
phương trình bậc hai phức cũng sử dụng được tam thức bậc hai như các
phương trình bậc hai thực và chú ý phép tốn số phức có đủ các tính chất như
số thực.
- Với chức năng giáo dục, bài tập giúp học sinh hình thành thế giới
quan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở
bản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động mới, rèn luyện cho
học sinh đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, khơng ngại khó, sự chính xác và chu đáo
trong khoa học.

- Với chức năng phát triển, bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao
khả năng suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, suy
diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái qt hóa, … thơng thạo một số
phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách
thơng minh, sáng tạo. Từ đó hình thành phẩm chất tư duy khoa học.
Chẳng hạn sau khi làm xong ví dụ 1, giáo viên có thể cho học sinh làm
các bài tập khác gần gũi hoặc là những trường hợp tương tự với bài toán trên
như:
Bài 1: Giải phương trình: z 2  2 3z  4  0 .
Hướng dẫn
Sử dụng tam thức bậc hai, làm tương tự như ví dụ 1 tìm được hai nghiệm là:
z1  1  3i và z2  1  3i .

Bài 2: Giải phương trình sau trên  : z 4  2 z 3  z 2  2 z  1  0 (*)

11


Lời giải
- Nếu z  0 thì (*) trở thành 1  0 nên z  0 không là nghiệm của (*) .
- Nếu z  0 ta có:
z 4  2z 3  z 2  2z  1  0  z 2 

1
 1
 2 z    1  0 (do z  0)
2
z
z



1
1
Đặt w = z+  z 2  2  w 2  2 , ta được:
z
z

 w=1
.
w 2  2  2w  1  0  w 2  2w  3  0  
 w=-3

Do đó: z 

1
1
 1 (1) hay z   3 (2).
z
z

+ Giải (1)  z 2  z  1  0 .
Ta có:   1  4  3 

 

2

3i

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 


1  3i
1  3i
.
; z2 
2
2

+ Giải (2)  z 2  3 z  1  0 .
Ta có:   9  4  5 .
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 

3  5
3  5
.
; z2 
2
2

Do học sinh đã giải được bài toán trên nên khi xét các bài toán tương
tự, nâng cao hơn như thế này sẽ tạo cho học sinh tích cực hơn trong việc tìm
tịi lời giải của bài tốn. Qua đó hình thành cho học sinh biết suy nghĩ, suy xét
bài tốn ở những góc độ khác nhau, biết sử dụng triệt để giả thiết, từ giả thiết
bài tốn biết đặt ẩn phụ để đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc hai
quen thuộc đã biết cách giải.
- Với chức năng kiểm tra, bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá
được mức độ và kết quả của q trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá
khả năng độc lập học tốn và trình độ phát triển của học sinh.

12



Thơng qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh,
những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh, qua đó có
thể bổ sung, rèn luyện và bồi dưỡng tiếp cho học sinh.
Có thể nói rằng hiệu quả của việc dạy tốn ở trường phổ thơng phần
lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng
có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương
trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của
tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
1.1.3. Dạy học giải bài tập tốn học theo tư tưởng của G.Pơlya
Trong mơn tốn ở trường phổ thơng có nhiều bài tập tốn chưa có hoặc
khơng có thuật giải và cũng khơng có một thuật giải tổng qt nào để giải tất
cả các bài toán, chúng ta chỉ có thể thơng qua việc dạy học giải một số bài
toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong
việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập tốn
khơng có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời
giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài tốn, vì vậy
cần trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tịi, phát hiện
cách giải bài toán là cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Pôlya về cách thức giải tốn, phương pháp tìm tịi lời giải cho một bài toán
thường được tiến hành theo bốn bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn
Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện
hay khơng ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay khơng, hay
chưa đủ, hay thừa, hay có mâu thuẫn?
Hình vẽ, sử dụng kí hiệu một cách thích hợp.
Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể
diễn tả các điều kiện đó thành cơng thức được không?


13


Việc đánh giá được dữ kiện có thỏa mãn hay không, thừa hay
thiếu đã bước đầu thể hiện tư duy sáng tạo. Nếu làm tốt khâu này thì
việc giải bài tốn đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng.
Bước 2 : Tìm tịi lời giải bài tốn
Việc tìm tịi lời giải là một bước quan trọng bậc nhất trong
hoạt động giải toán. Điều cơ bản của bước này là biết định hướng
đúng để tìm ra nhanh chóng hướng giải bài tốn.
Bạn đã gặp bài tốn này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán
này ở dạng hơi khác?
Bạn có biết một bài tốn nào liên quan khơng? Một định lí có
thể dùng được khơng?
Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen
thuộc chứa đựng ẩn hay ẩn tương tự.
Đây là một bài tốn liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có
thể sử dụng nó khơng? Có thể sử dụng kết quả của nó khơng? Hay
sử dụng phương pháp? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới
sử dụng được nó khơng?
Có thể phát biểu bài tốn một cách khác không? Một cách
khác nữa?
Nếu bạn chưa giải được bài tốn đã đề ra, thì hãy thử giải một
bài tốn có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài tốn có liên quan,
dễ hơn khơng? Một bài tốn tổng quát hơn? Một trường hợp riêng?
Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải được một phần bài tốn
khơng? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua điều kia. Khi đó ẩn
được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào?
Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích khơng? Có thể


14


thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và
dữ kiện mới được gần nhau hơn không?
Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ
điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài
toán chưa?
Qua các bước dẫn dắt ở bước 2, ta thấy rằng năng lực giải
toán của học sinh đã được thể hiện ở mức độ cao hơn. Chẳng hạn
việc giải thử giải một bài tốn có liên quan hay tổng qt hơn chính
là sự thể hiện năng lực giải tốn.
Bước 3 : Trình bày lời giải
Hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước
đề đúng chưa? Trình bày lại lời giải khi đã điều chỉnh những chỗ
cần thiết.
Qua bước này ta thấy việc thực hiện chương trình giải và
chứng minh được là đúng, tức là đã hồn thành bài tốn, các yếu tố
của năng lực giải toán đã được thể hiện đầy đủ.
Bước 4 : Nghiên cứu sâu lời giải
Bạn có thể kiểm tra lại kết quả khơng? Bạn có thể kiểm tra lại
tồn bộ q trình giải bài tốn khơng?
Có tìm ra được kết quả bằng một cách khác khơng? Có thể
thấy ngay trực tiếp kết quả khơng?
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài
tốn nào khác khơng?
Như vậy, có thể nói “Q trình học sinh học phương pháp chung để
giải tốn là một q trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành
kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thơng qua việc giải hàng loạt bài

toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ

15


thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,
trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo”. [12, tr.423]
Ví dụ: Tìm số phức z biết rằng: z 2  2 z  1 (*)
Lời giải
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.
(?) u cầu của bài tốn là gì.
(!) Bài tốn u cầu tìm số phức z thỏa mãn: z 2  2 z  1 .
(?) Để tìm z ta thường sử dụng kiến thức nào.
(!) Sử dụng số phức liên hợp, dạng tổng quát của số phức z và giả thiết cho:
z 2  2 z  1.

Bước 2: Tìm tịi lời giải bài toán
(?) Từ dạng tổng quát của số phức, rút ra được dạng tổng quát của số phức
liên hợp và mối liên hệ khơng.
(!) Có vì theo lý thuyết: z  a  bi  z  a  bi (a, b   ) , mà theo giả thiết có
z2  2z  1 .

(?) Như vậy bài tốn có thể thực hiện được khi biết dạng tổng quát của số
phức z và dạng tổng quát của số phức liên hợp z . Hãy thiết lập mối liên hệ
giữa z và z theo giả thiết.
(!) …
(?) Đưa ra dạng khai triển của phương trình vừa tìm được.
(!) …
(?) Bây giờ vì vế trái phương trình tìm được có dạng một số phức bằng 0, vậy
hãy xác định phần thực, phần ảo của số phức đó. Rút ra điều gì?

Bước 3: Trình bày lời giải
Giả sử z  a  bi  z  a  bi; a, b   và z 2  a 2  b 2  2abi .

16


(*)  a 2  b2  2abi  2(a  bi)  1
 a 2  b2  2a  1  2b(a  1)i  0
a 2  b2  2a  1  0
a  b  2a  1  0 
 
 b  0
2b(a  1)  0
a  1

2

2

Với b=0 thì : a 2  2a  1  0  a  1  2 .
Với a=1 thì : b 2  2  0  b   2 .
Kết luận có 4 số thỏa mãn là: z  1  2 và z  1  i 2 .
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong q trình giải.
- Có thể giải bài tốn này theo cách khác được khơng ?
-…
Như vậy qua ví dụ này, giáo viên cần quan tâm tới vấn đề thiết lập mối
liên hệ giữa số phức và số phức liên hợp của nó, điều kiện để một số phức
bằng 0.
1.2. Lý luận về năng lực giải toán của học sinh

1.2.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên
một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn:
- Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban
đầu cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật
bậc cao sống với người hàng ngàn năm vẫn khơng có năng lực như con người
vì chúng khơng có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển
năng lực).
- Hai là, năng lực con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Muốn một
người của thế hệ sau được phát triển trong thế giới tự nhiên, xã hội đã được

17


các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó trong mơi trường
văn hóa - xã hội. Con người khi lọt lịng mẹ đã có sẵn các tố chất nhất định
cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng nếu khơng có mơi trường xã
hội thì cũng khơng phát triển được.
- Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt
động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và
chịu sự tác động của nó, trẻ em và người lớn ở thế hệ sau khơng chỉ đơn giản
sử dụng hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn
chiếm lĩnh chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt được
các kết quả “vật chất” mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng
có bản chất nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con người
tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng. Vậy đào tạo có
hiệu quả nhất là đưa học sinh vào các dạng hoạt động thích hợp.
1.2.2. Khái niệm về năng lực, năng lực toán học

1.2.2.1. Khái niệm về năng lực
Theo nhà tâm lý học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì năng lực được
hiểu như là: “Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp
ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện
thành cơng hoạt động đó". [16, tr.15]
Như vậy nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong một cá
thể, một thứ phi vật chất. Song nó thể hiện ra được qua hoạt động và đánh giá
được nó qua kết quả hoạt động. Thơng thường, một người được gọi là có năng
lực nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động
nào đó và đạt được kết quả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của
những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện và hoàn
cảnh tương đương. Người ta thường phân biệt ba trình độ của năng lực:
- Năng lực là tổng hoà các kĩ năng, kĩ xảo.

18


- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt
động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ
của những thành tựu đạt được của xã hội loài người.
- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được
những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vơ song. Khi nói đến năng lực
phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người. Năng lực
chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu đặt
ra.
1.2.2.2. Khái niệm năng lực toán học
Về khái niệm năng lực toán học, theo nhà tâm lý học người Nga
V.A.Cruchetxki sẽ được giải thích trên hai bình diện:
- Như là các năng lực sáng tạo (khoa học) - các năng lực hoạt động toán
học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.

- Như là các năng lực học tập giáo trình phổ thơng, lĩnh hội nhanh
chóng và có kết quả cao các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là
các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học
toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực
toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như
nhau. [15]
Cũng theo V.A.Cruchetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của học
sinh có năng lực tốn học là:
- Khả năng tri giác có tính chất hình thức hoá tài liệu toán học, gắn liền
với sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong một bài
toán cụ thể vào trong một biểu thức tốn học.
- Khả năng tư duy có tính khái qt hoá nhanh và rộng.
- Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn.
- Sự tư duy lơgíc lành mạnh.

19


- Tính linh hoạt cao của các q trình tư duy thể hiện ở:
+ Sự xem xét cách giải các bài tốn theo nhiều khía cạnh khác nhau.
+ Sự di chuyển dễ dàng và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một
thao tác trí tuệ khác, từ tiến trình suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ
nghịch.
- Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề tốn học, khát vọng
tìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm.
- Trí nhớ có tính chất khái qt về các kiểu bài tốn, các phương thức
giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lôgic.
- Khả năng tư duy lôgic, trừu tượng phát triển tốt.
1.2.3. Khái niệm về năng lực giải tốn

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực
giải toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải tốn là gì và
thể hiện như thế nào?
Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải
quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, địi hỏi huy động khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện. [11]
Như vậy, một người được coi là có năng lực giải tốn nếu người đó
nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả
tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến
hành hoạt động giải tốn đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương
đương.
Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực tốn học
và khái niệm về năng lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và
cấu trúc của năng lực giải toán như sau:
- Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài tốn và các yêu
cầu của một lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ.

20


- Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả
năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài tốn.
- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các ký
hiệu, ngơn ngữ tốn học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang
ngơn ngữ: Ký hiệu, quan hệ, phép tốn giữa các đại lượng đã biết, chưa biết
và ngược lại.
- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của
năng lực giải quyết vấn đề.
- Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao
trong lao động giải tốn.

- Khả năng tìm tịi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức cùng lúc
vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn được lời giải tối ưu.
- Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một
số kiến thức mới thơng qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn
trong quá trình giải tốn.
- Có khả năng nêu ra được một số những bài tập tương tự cùng với cách
giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật tốn, hoặc thuật
tốn để giải bài tốn đó).
- Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài tốn tổng qt,
từ bài tốn có một số yếu tố tổng qt đến bài tốn có nhiều yếu tố tổng quát,
nhờ các thao tác trí tuệ: Phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ
thống hoá, đặc biệt hố.
Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế
ban cho, song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, cịn phần nhiều
là do sự tích luỹ, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Qua quá trình học
tập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp,
từ đó năng lực giải toán được tăng lên. Một phần do học sinh phải có ý thức
tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô hướng dẫn, rèn

21


luyện. Chính vì vậy, tơi rất đề cao các bài ôn tập, bởi chúng đã góp phần
không nhỏ trong việc rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.
Tóm lại, để rèn luyện năng lực giải tốn cho học sinh, phương pháp tốt
nhất là đưa ra một hệ thống các bài tập nhằm giúp cho học sinh nắm vững tri
thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực
tiễn.
1.2.4. Bồi dưỡng năng lực giải toán
Trong bài tổng luận của tác giả Trần Thúc Trình “Nhìn lại lịch sử cải

cách nội dung và phương pháp dạy - học toán ở trường phổ thông trên thế
giới trong thế kỉ XX” đã đưa ra mười chỉ tiêu năng lực là:
1) Năng lực phát triển và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép
tốn, các khái niệm.
2) Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu.
3) Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu.
4) Năng lực biểu diễn dữ kiện thành kí hiệu.
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.
6) Năng lực xây dựng một chứng minh.
7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hoá.
8) Năng lực giải một bài toán chưa toán học hoá.
9) Năng lực khái quát hoá toán học.
10) Năng lực phân tích bài tốn và xác định các phép tốn có thể áp
dụng để giải.
Do đặc thù của bộ mơn tốn nên hoạt động giải tốn là hoạt động
khơng thể thiếu được của người học tốn, dạy tốn, nghiên cứu về tốn. Trong
cuốn “Sáng tạo tốn học” G.Pơlya đã viết: “... q trình giải tốn là đi tìm
kiếm một lối thốt ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại,
đó chính là q trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn giường như khơng
thể đạt được ngay. Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, cịn trí tuệ chỉ

22


có ở con người. Vì vậy, giải tốn có thể xem như một trong những biểu hiện
đặc trưng nhất trong hoạt động của con người ...’’. [13, tr.25]
Trong khi say mê giải tốn, trí tuệ con người được huy động tới mức
tối đa, khả năng phân tích và tổng hợp được rèn luyện, tư duy trở nên nhanh
nhẹn. Bài toán mà chúng ta có thể bình thường khơng giải được nhưng nó có
thể khêu gợi tính tị mị và buộc ta phải sáng tạo và nếu tự mình giải bài tốn

đó thì ta có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng
lợi.
Một điểm cần chú ý nữa là: “Trong quá trình giải bài tập tốn cần
khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải
đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều
cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy.
Mặt khác tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp
nhất ...”. [13, tr 214]
Như vậy, để bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh ở trường trung
học phổ thơng thì điều quan trọng là bồi dưỡng năng lực giải toán cho họ. Mà
để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh ta cần tập trung vào bồi dưỡng
mười năng lực thành phần trên.
1.3. Thực trạng bồi dưỡng năng lực dạy học toán và dạy học giải toán ở
trường trung học phổ thơng
Để tìm hiểu thực trạng bồi dưỡng năng lực giải tốn của học sinh trung
học phổ thơng, tơi đã tiến hành điều tra tại trường THPT Thanh Ba – huyện
Thanh Ba – tỉnh Phú Thọ.
1.3.1. Điều tra giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu thực trạng việc bồi dưỡng năng
lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông.

23


- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy mơn tốn ở
trường THPT Thanh Ba, huyện Thanh Ba, tỉnh Phú Thọ.
- Nội dung điều tra:
+ Đề nghị giáo viên trả lời câu hỏi trong phiếu điều tra.
+ Nội dung của phiếu (phụ lục 1).

- Ý định sư phạm của 5 câu hỏi trong phiếu điều tra:
Câu 1: Điều tra quan điểm của giáo viên về năng lực giải toán.
Câu 2: Điều tra về sự đánh giá của giáo viên về những biểu hiện của học sinh
có năng lực giải tốn.
Câu 3: Điều tra về những khó khăn của giáo viên trong việc bồi dưỡng năng
lực giải toán của học sinh.
Câu 4: Điều tra về quan điểm của giáo viên về sự cần thiết của việc bồi dưỡng
năng lực giải toán cho học sinh.
Câu 5: Điều tra về mức độ u thích mơn tốn của học sinh.
- Kết quả điều tra:
Câu

1

2

A

6,6 %

7,84 %

12,81 %

69,89 %

12,01 %

B


7,94 %

5,97 %

11,81 %

20,01 %

11,03 %

C

80,76 %

81,05 %

10,01 %

0%

69,08 %

D

4,7 %

5,14 %

65,37 %


10,1 %

7,88 %

Đáp án

3

4

5

- Kết luận sơ bộ: Qua kết quả điều tra giáo viên có thế rút ra kết luận sau:
+ Đa số giáo viên đã hiểu đúng về năng lực giải tốn. Tuy nhiên vẫn cịn một
số giáo viên chưa hiểu đúng về năng lực giải tốn.
+ Vẫn cịn một số giáo viên chưa phát hiện đúng những biểu hiện của học
sinh có năng lực giải tốn.

24


+ Đa số giáo viên đều đánh giá năng lực giải tốn của học sinh cịn yếu.
+ Đa số giáo viên nhận thức được và quan tâm đến việc bồi dưỡng năng lực
giải toán cho học sinh, tuy nhiên sự quan tâm chưa đúng mức.
+ Đa số giáo viên đều gặp khó khăn trong q trình bồi dưỡng năng lực giải
toán cho học sinh mà nguyên nhân chủ yếu mà họ nhận thấy là do năng lực
giải toán của học sinh cịn yếu, học sinh chưa có hứng thú với mơn học và bản
thân giáo viên cũng chưa tìm được phương pháp nào cụ thể để áp dụng.
1.3.2. Điều tra học sinh
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu thực trạng của việc bồi dưỡng

năng lực giải toán của học sinh.
- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 12A2, 12A4 trường THPT Thanh Ba
- huyện Thanh Ba - tỉnh Phú Thọ.
- Nội dung điều tra: Thông qua bài kiểm tra.
Đề kiểm tra
Câu 1: Tìm số phức z thỏa mãn: và z.z  25 .
Câu 2: Tìm các căn bậc hai của các số phức: z1  21  20i và z2  1  4 3i .
Câu 3: Cho z   , chứng minh rằng: z  1 

1
hoặc z 2  1  1 (*).
2

- Mục đích sư phạm của 3 câu trong đề kiểm tra:
Câu 1: Đây là bài tốn được sử dụng kiến thức lí thuyết về số phức kết hợp
với kiến thức giải phương trình thực. Qua bài này có thể kiểm tra được khả
năng vận dụng kiến thức vào bài tập cụ thể. Qua đó đánh giá được năng lực
giải tốn của học sinh.
Câu 2: Đây là bài tốn có nhiều cách giải. Qua bài tốn này có thể kiểm tra
được mức độ linh hoạt của học sinh trong giải tốn. Qua đó đánh giá được
năng lực giải toán của học sinh.

25