TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ
CỦA TRƯỜNG 



PHÚ THỌ - 2014

1

3




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
“Lý thuyết số với tư cách là một cơ sở của mọi lí thuyết tốn học, là địa
hạt đầy ắp sự quen biết và cũng đầy ắp những bóng tối, cũng là nơi dễ phơi
bày nhất những thách đố trí tuệ lồi người. Đặc biệt trong những thập kỉ qua,
người ta đã tìm ra những ứng dụng to lớn của lí thuyết số trong khoa học và
công nghệ.”

 4

Người ta đã chứng minh được 



3

 là một trường và tập hợp các

số dạng a  b 3 , với a, b   , là một vành số nguyên đại số của trường






3 .

“Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích duy nhất được thành tích các
thừa số nguyên tố, nếu trong sự phân tích đó ta khơng kể đến thứ tự các thừa
số”, đây thường được gọi là định lí cơ bản của Số học. Tuy nhiên, dễ thấy
trong Số học các số dạng a  b 3 , với a, b   khơng có định lí phân tích
duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố.







Chẳng hạn, ta có sự phân tích: 4  2.2  1  3 1  3 .
Điều đó dẫn chúng ta đến sự cần thiết phải nghiên cứu các tính chất số
học của các vành số dạng a  b 3 .

Xuất phát từ vấn đề đó tơi mạnh dạn chọn đề tài “Tính chất số học
trong vành số nguyên đại số của trường 

 3  ” cho khóa luận tốt nghiệp

đại học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Ứng dụng lý thuyết số đại số nghiên cứu một số tính chất số học trong
vành số nguyên đại số của trường toàn phương 

2

 3  .


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại các kiến thức về phần tử nguyên trên một vành, phần tử
đại số trên một trường.
Dùng lý thuyết số đại số làm rõ các tính chất cơ bản trong vành số
nguyên đại số của trường 

 3  .

4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của lý thuyết số trong vành số
nguyên đại số của trường 

 3  rồi phân hóa, hệ thống hóa các


kiến thức.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài
liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên
cứu.
 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực
tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung
và hình thức của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng: Các số nguyên đại số của trường 

 3  .

 Phạm vi: Dùng lý thuyết số đại số để nghiên cứu tính chia hết, số
nguyên tố trong vành số nguyên đại số của trường 

 3  .

6. Ý nghĩa khoa học
Khóa luận được hồn thành có thể là tài liệu tham khảo tốt cho giảng
viên và sinh viên Toán, đặc biệt là đối với sinh viên năm thứ hai và thứ ba của
trường đại học và cao đẳng.

3


7. Bố cục của khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số đại số

1.2. Liên hợp và biệt thức
1.3. Số nguyên đại số
1.4. Cơ sở nguyên
1.5. Chuẩn và vết
1.6. Số nguyên đại số của các trường tồn phương
Chương 2. Tính chất số học trong vành số nguyên đại số của trường
( 3 )

2.1. Trường ( 3 ) . Vành các số nguyên đại số của trường ( 3 )
2.2. Tính chia hết trong vành các số nguyên đại số A
2.3. Số nguyên tố trong vành các số nguyên đại số A

4


CHƯƠNG 1.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Số đại số
Định nghĩa 1.1.1. Số phức  được gọi là đại số nếu  là nghiệm của một đa
thức khác không với hệ số trên  .
Nhận xét: Có thể coi đa thức ở định nghĩa 1.1.1 với hệ số thuộc  sai khác
một nhân tử là bội chung nhỏ nhất của các hệ số hữu tỉ của đa thức ban đầu.
Định lý 1.1.2. Tập các số đại số A là trường con của trường số phức  .
Chứng minh:

 

Ta có  là đại số khi và chỉ khi   :   là hữu hạn.



Giả sử  ,  là các số đại số. Khi đó,







  

 

  ,  :      ,  :      :  


 


 

Lại do  là đại số trên  , nên  cũng là đại số trên   . Vậy



  



 




   ,  :    ,   :   hữu hạn, nên    ,  :   hữu hạn. Mặt


 



khác,    ,    ,  , 



   0  thuộc  ,   , nên các số này thuộc

A.
Vậy A là một trường, nên A là trường con của trường  .

 

Định lý 1.1.3. Nếu K là một trường số thì K    , với  là một số đại
số.
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp, ta cần chứng minh rằng nếu





 


K  K1  ,  thì K  K 1  (với K 1 là trường con của K ). Gọi p và q
là hai đa thức tối tiểu của  ,  , và giả sử sự phân tích nhân tử trên  là:

5


 



 



 



 



p t  t   1 t   2 ... t   n

q t  t  1 t   2 ... t  n

khơng giảm tính tổng qt có thể giả sử:    1;   1 . Do p và q bất khả
quy nên các  i ,  j phân biệt. Vì, với mỗi i và mỗi k  1 tồn tại một phần tử
x  K 1 sao cho:


 i  x k   1  x  1
Do chỉ có hữu hạn các đẳng thức trên, nên tồn tại c  0, c  K 1 , sao
cho:

 i  x k   1  c  1
với 1  i  n, 2  k  m . Đặt:

    c





 

 





Ta chứng minh K1  ,   K1  . Rõ ràng K1   K1  ,  , mặt

 






 

khác với mọi   K1  thì     c  . Do đó, p   c   p   0 .







 

Xét đa thức r t  p   ct  K 1  t  , với  là nghiệm của đa

 

thức q t , r t

 

 

trên K1  . Giả sử, đa thức khác không, sao cho

 

q   r   0 thì  là một trong các số 1,  2,...., m , khi đó   c  là




một trong các số 1,  2,....,  n . Ta chọn c sao cho    . Gọi h t là đa

 

 

 

thức tối tiểu của  trên K 1  . Khi đó h t | q t và h t | r t . Vì q và

r chỉ có một nghiệm chung trong  , nên bậc h  1 , vậy:



h t t

6


 

 

 

với   K 1  . Vậy, 0  h      nên      K 1  .

 

Chú ý: Nếu mở rộng của trường K là   , thì nói chung sự mở rộng là


 

 





khơng duy nhất, vì          1  ... .
1.2. Liên hợp và biệt thức
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử L và L ' là hai trường chứa trường K .
1) Nếu có đẳng cấu  : L  L ' sao cho (a )  a với mọi a  K thì 
gọi là K - đẳng cấu; nếu thêm L và L ' là đại số trên K thì ta bảo đó là
những trường liên hợp trên K .
2) Hai phần tử x  L và x '  L ' gọi là liên hợp trên K nếu có một K đẳng cấu  : K (x )  K (x ') sao cho (x )  x ' (lúc đó  là duy nhất). Như
vậy khi x và x ' liên hợp trên K thì hoặc x và x ' đều liên hợp trên K ,
hoặc đều đại số trên K , và cùng có đa thức tối tiểu.

 

Định lý 1.2.2. Cho K    là mở rộng trường bậc n trên  . Khi đó, có

 



n đồng cấu phân biệt  i : K    i  1,..., n




 

và  i   i là các

nghiệm phân biệt của đa thức tối tiểu của  trên  .
Chứng minh:
Giả sử 1,  2,...., n là các nghiệm của đa thức tối tiểu p của  . Với
mỗi i cũng có đa thức tối tiểu p (là ước của p , và p bất khả quy) và do dó

 

 

có một đồng cấu trường duy nhất  i :     i

 

 

 

sao cho  i   i .

Thật vậy, nếu     thì   r  với r   t  và bậc r < bậc n , và
ta có:

 i    r i 

7



Ngược lại, nếu  : K   là đồng cấu thì  là đồng nhất trên  . Do
đó, ta có:







   p    p   



 

sao cho   là một trong những i , vì  là một trong những  i .



Ví dụ: Giả sử K   i thì ta có hai đồng cấu:

 1(x  iy )  x  iy
 2 (x  iy )  x  iy
với x, y   .
Chú ý: Các K – liên hợp của  không nhất thiết phải thuộc K . Hơn nữa,

i cũng không nhất thiết phải thuộc K .


 

Ví dụ: giả sử  là căn bậc 3 thực của 2 . Khi đó,   là trường con của  .
K – liên hợp của  là:  ,  ,  2 , với  





1
1  3i . Rõ ràng,
2

 ,  2 không là số thực, nên nó khơng thuộc    .

 





Định nghĩa 1.2.3. K    có bậc n , giả sử 1;  2 ;...;  n là cơ cở của
K (coi K là  – không gian vectơ). Ta định nghĩa biệt thức của cơ sở này

là:



 


2

  1;  2 ;...;  n   det  i  j  .







Nếu ta chọn một cơ sở khác 1;  2 ;...; n thì

k 

n

c
i 1

ik

 i cik    , với k  1,.., n và det cik   0 .

8


Do cơng thức định thức của một tích các ma trận, và  i là đồng cấu
(đồng nhất trên  ), nên:

     ; ;...;


  1;  2 ;...; n   det cik

2

1

2

n

 .

 

Định lý 1.2.4. Biệt thức của một cơ sở bất kỳ trên K    là số hữu tỉ
khác không. Hơn nữa, nếu tất cả các K – liên hợp của  là thực thì biệt thức
dương.
Chứng minh:





Trước hết, ta chọn cơ sở 1,  , ......,  n 1 . Nếu các liên hợp của  là

1 ;....; n thì:

   .
2


 1,  , ......,  n 1   det ij



  được xác định bởi

Chú ý rằng định thức Vandermonde D  det tij
công thức D 

 t

1i  j n

i



 tj .

Do đó, xem tất cả các phần tử thuộc  t1,...., tn  , nếu cho mỗi ti  t j





thì D triệt tiêu. Vì D có ước là các ti  t j . Để tránh sự lặp lại các nhân tử
hai lần, ta giả sử i  j . Dễ dàng so sánh bậc ta thấy rằng D khơng có các
nhân tử khác hằng số khác; so sánh nhân tử của t1t22 ....tnn từ cơng thức của D .
Ta có:

 1,  , ......, 


n 1

2



       .
i
j

1i  j n






Lại do, D là phản đối xứng với các ti , nên D 2 là đối xứng. Do đó, 
là số thực. Vì các i phân biệt nên   0 .

9







Giả sử 1;  2 ;...; n là cơ sở bất kỳ, thì:

  

  1;  2 ;...; n   det cik

2



 

với mỗi số thực cik , và det cik  0 nên   1;  2 ;...; n   0 , và là số thực.
Rõ ràng, nếu tất cả các i là thực thì  chỉ có thể là số thực.

 

Định nghĩa 1.2.5. Với   K    , ta định nghĩa đa thức trường của 
trên K được xác định bởi:



n



 

f t   t   i  .
i 1


1.3. Số nguyên đại số
Định nghĩa 1.3.1. Một số phức  được gọi là một số nguyên đại số nếu có
một đa thức đơn vị p(t ) với hệ số nguyên nhận  là nghiệm. Tức là:

 n  an 1 n 1  ....  a 0  0 , với ai  , i  1, n .
Gọi B là tập tất cả các số nguyên đại số.
Ví dụ:   2i là một số nguyên đại số, vì  2  2  0 ;  
một số nguyên đại số vì  2    1  0 . Nhưng  





1
1  5 là
2

22
thì khơng là số
7

ngun đại số.
Bổ đề 1.3.2. Một số phức  là một số nguyên đại số khi và chỉ khi nhóm cộng
sinh bởi tất cả các phần tử 1,  ,  2 ..... là hữu hạn sinh.
Chứng minh:
Nếu  là số nguyên đại số, thì tồn tại số n sao cho:

 n  an 1 n 1  ....  a0  0 , với ai  , i  1, n . (*)


10


Ta cần chứng minh các lũy thừa của  là nhóm cộng sinh bởi
1,  , .....,  n 1 (Gọi là nhóm  ). Do (*) nên  n   . Quy nạp, nếu m  n

và  m   thì





 m 1   m 1n n   m 1n  n  an 1 n 1  ....  a 0  
Điều này chứng tỏ tất cả các lũy thừa của  đều thuộc  .
Ngược lại, giả sử mọi lũy thừa của  đều thuộc nhóm cộng G hữu hạn
sinh. Gọi  là nhóm con của G sinh bởi các phần tử 1,  ,....,  n cũng là hữu
hạn sinh, giả sử  sinh bởi v1,..., vn . Với mỗi vi là một đa thức của  với hệ
số nguyên, vì vậy  vi cũng là một đa thức. Do đó, tồn tại các số nguyên bij
sao cho:

 vi 

n

b v
j 1

ij

j


.

Vậy, ta có hệ phương trình thuần nhất sau:






 b   v  b v  ...  b v  0
1
12 2
1n n
 11
b21v1  b22   v2  ...  b2nvn  0


b v  b v  ...  b   v  0
n2 2
nn
n
 n1 1








Do tồn tại các v1,..., vn   (khơng đồng thời bằng 0 ), nên ta có:
b11  
b 12
b21
b22  


bn 1
bn 2


b1n

b2n
 0.


 bnn  

Vậy,  là nghiệm của một đa thức đầu một với hệ số nguyên nên  là
một số nguyên đại số.

11


Định lý 1.3.3. Tập các số nguyên đại số là vành con của trường các số đại
số.
Chứng minh:
Giả sử  ,   B . Ta cần chứng minh     B;    B . Bởi Bổ đề
1.3.2 ta có tất cả các lũy thừa của  đều thuộc nhóm cộng hữu hạn sinh 

của  , và tất cả các lũy thừa của  đều thuộc nhóm cộng hữu hạn sinh 
của  . Mặt khác, tất cả các lũy thừa là tổ hợp tuyến tính ngun của các
phần tử có dạng  i  j thuộc     . Giả sử  sinh bởi v1,..., vn , và 
sinh bởi w1,..., wm khi đó   là nhóm cộng sinh bởi các phần tử có dạng

 i  j với i  1, n, j  1, m . Do đó, tất cả các lũy thừa của    và   đều
thuộc nhóm con cộng hữu hạn của  , bởi Bổ đề 1.3.1.    và   là số
nguyên đại số.
Vậy B là vành con của vành A.
Định lý 1.3.4. Nếu số phức  là nghiệm của đa thức đầu 1 với hệ số là các số
nguyên đại số thì  là một số nguyên đại số.
Chứng minh:
Giả sử, ta có  n   n 1 n 1  ...   0  0 , với   B . Khi đó  sinh
ra một vành con  của B. Theo Bổ đề 1.3.2, ta có các lũy thừa của  đều
thuộc một  - môđun con hữu hạn sinh M của  , sinh bởi 1,  , .....,  n 1 .
Vậy, theo định lý 1.3.1 thì mỗi  i và các lũy thừa của nó đều thuộc nhóm





cộng hữu hạn sinh i bởi các phần tử  ij 1  j  ni . Từ đó, ta có M là
nhóm cộng sinh bởi hữu hạn các phần tử:





 1 j ,  2 j ,....,  n 1 j  k ; 1  ji  ni ; 1  i  n  1; 0  k  n  1 .
1


2

n 1

12


Vì vậy, M là nhóm cộng hữu hạn sinh. Do đó, ta có điều phải chứng
minh.
Định nghĩa 1.3.5. Cho K là một trường, ta ký hiệu: D  K  B và gọi D
là vành nguyên của K . Dễ thấy, D là một vành con của K , hơn nữa do
    K ,   B nên   D .

Bổ đề 1.3.6. Nếu   K thì c  D với c là số nguyên khác khơng.
Chứng minh:

 

Ta có,  để K   

suy ra nếu   K thì   a 0  a1  ...  an 1 n 1   n

a

i



 .


Nhân cả hai vế với các bội chung của các ai
c  b0  b1  ...  bn 1 n 1  bn n

 là nghiệm của đa thức
cnt n  cn 1t n 1  ...  c1t  c0  0
 (cnt )n  cn 1(cnt )n 1  ...  0

(1)

Đặt cnt   thì ta có (1) trở thành  n  cn 1 n 1  ...  0
suy ra  là một số nguyên đại số.
Vậy c  D .

 

Định lý 1.3.7. Nếu K là một trường số thì K    , với  là một số
nguyên đại số.
Chứng minh:

 

Theo Định lý 1.1.2, ta có K    , với  là một số đại số. Mặt khác,
theo bổ đề 1.2.6,   c là một số nguyên đại số với 0  c   .

 

 

Vậy, K       .


13


 

Chú ý: Với c   , ta gọi    là tập các phần tử có dạng p  , với

 

p   t  . Nếu K    , với  là số nguyên đại số thì D chứa    vì
D là vành chứa  . Tuy nhiên, D khác    . Ví dụ, 

số và

5 là một số nguyên đại số. Ta có

t 2  t  1 , do đó

Vì vậy,

 5  là một trường

1 5
là nghiệm của đa thức
2

1 5
1 5
là số nguyên đại số, hơn nữa

thuộc 
2
2

 5.

1 5
1 5
 D . Rõ ràng,
   5 .
 
2
2

Bổ đề 1.3.8. Số đại số  là một số nguyên đại số khi và chỉ khi đa thức tối
tiểu trên  có hệ số thuộc  .
Chứng minh:
Giả sử, p là đa thức tối tiểu của  trên  , khi đó p là đa thức đầu
một và bất khả quy trong  t  . Nếu p   t  thì  là số nguyên đại số.

 

Ngược lại, nếu  là số nguyên đại số thì q   0 , với mọi đa thức q đơn vị
thỏa mãn p | q . Theo bổ đề Gauss thì p   t  , vì  p   t  với  là số
hữu tỷ và là ước của q , do p , q là đa thức đơn vị nên   1 .
Bổ đề 1.3.9. Một số hữu tỷ là số nguyên đại số khi và chỉ khi nó là số nguyên
hữu tỷ. Tức là: B     .
Chứng minh:
Rõ ràng   B   . Giả sử   B   ; khi đó đa thức tối tiểu của


 trên  là t   . Theo bổ đề 1.3.8 thì các hệ số của đa thức tối tiểu thuộc
 , do đó    , vậy    .

14


1.4. Cơ sở nguyên
Định nghĩa 1.4.1. Cho K là một mở rộng trường bậc n trên  . Một cơ sở
(hay gọi là  - cơ sở) của K là một cơ sở của K không gian vectơ trên

 

trường  . Theo định lý 1.3.8. ta có K    , với  là một số nguyên đại





số có đa thức tối tiểu p bậc n , và một cơ sở của K là 1,  ,....,  n 1 .
Vành D các số nguyên đại số của K là một nhóm cộng giao hốn.





Một  - cơ sở của D,  được gọi là cơ sở nguyên của K (hoặc của D ). Vì






vậy,  1,  2,..., s là một cơ sở nguyên khi và chỉ khi  i  D với mọi i và
mỗi phần tử của D được biểu diễn duy nhất dưới dạng
a1 1  a 2 2  ...  ass

với các số nguyên hữu tỉ a1;...; as . Rõ ràng theo bổ đề 2.3.4. thì một cơ sở
nguyên của K là một  - cơ sở. Do đó, ta có n  s .

   , với  là một số nguyên đại số (định lý
1.3.7), và 1,  ,....,   là một  - cơ sở gồm cả các số nguyên đại số,
nhưng không đủ để chỉ ra rằng 1,  ,....,   là một cơ sở nguyên. Một số
Ví dụ: Xét K       
n 1

n 1

các phần tử của    với hệ số hữu tỉ có thể là số nguyên đại số. Chẳng hạn,

 5  ta thấy 12  12 5 là nghiệm của phương trình t  t  1  0 , do
đó nó là một số thuộc   5  , nhưng nó khơng phải là số thuộc   5  .
K 

2





Bổ đề 1.4.2. Nếu  1,  2,....,  n là một cơ sở của K gồm các số nguyên đại
số, thì định thức  1,  2,...., n  là số nguyên hữu tỉ khác không.



Chứng minh:
15


Theo định lý 1.2.3. thì   1,  2,....,  n  là một số hữu tỉ và cũng là số


nguyên đại số vì i là nguyên đại số. Vậy, theo bổ đề 1.3.8. thì

 1,  2,...., n  là số nguyên hữu tỷ. Cũng theo định lý 1.2.3. thì


  1,  2,....,  n   0 .



Định lý 1.4.3. Mọi trường số K đều có một cơ sở nguyên.
Chứng minh:

 

Giả sử K    , với  là một số nguyên đại số. Do đó, tồn tại một





cơ sở gồm các số nguyên đại số của K , chẳng hạn 1,  ,....,  n 1 . Ta thấy

rằng, có những  - cơ sở không là cơ sở nguyên. Tuy nhiên, định thức của
một  - cơ sở gồm các số nguyên đại số là số nguyên hữu tỉ, ta chọn một cơ





sở gồm những số nguyên đại số 1, 2,...., n sao cho  1, 2,...., n 


là nhỏ nhất. Ta chứng minh cơ sở này là cơ sở nguyên. Vì nếu khơng, có một
số ngun đại số  của K sao cho:

  a11  a 22  ....  ann
với ai   và ai không đồng thời thuộc  . Giả sử a1   , khi đó
a1  a  r với a   và 0  r  1 . Đặt:

 1    a1,  i  i i  2,..., n  .





Khi đó,  1,  2,....,  n là một cơ sở gồm các số nguyên đại số. Định
thức của ma trận chuyển từ cơ sở  sang cơ sở là  :

16


a1  a a 2 a 3

0
1 0
0
0 1



0
0 0

 an
 0
 0 r
 
 1

do đó,  1, 2,...., n   r 2  1,  2,...., n  .







Vì, 0  r  1 nên điều này mâu thuẫn với việc chọn cơ sở 1, 2,...., n



sao cho  1, 2,...., n  là nhỏ nhất.








Từ đó, ta có 1, 2,...., n là một cơ sở nguyên.
Định nghĩa 1.4.4. Ta gọi một số nguyên hữu tỉ là tự do bình phương nếu và
chỉ nếu nó khơng có ước là bình phương một số nguyên tố.
Định lý 1.4.5. Cho  1,  2,....,  n  D từ một  - cơ sở của K . Nếu



  1,  2,....,  n  là tự do bình phương thì  1,  2,....,  n



 là một cơ sở

nguyên.
Chứng minh:



Giả sử 1,  2,...., n
cij sao cho  i 

c

ij


 là một cơ sở nguyên, khi đó tồn tại số hữu tỉ

j

 

và   1,  2,....,  n   det cij



2

  1,  2,...., n  .



 

Vì, vế trái là tự do bình phương, nên det cij  1 , từ đó

 ,  ,....,   là  - cơ sở của D , vậy nó một là cơ sở nguyên.
1

2

n

17



1.5. Chuẩn và vết

 

Định nghĩa 1.5.1. Cho K    là trường số bậc n có các K - đồng cấu

 1,  2,...,  n : K   . Khi đó, đa thức trường là lũy thừa của đa thức tối
tiểu. Và   K là số nguyên đại số khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức
trường với hệ số nguyên hữu tỉ.
Với   K , ta định nghĩa chuẩn của  là
n

 

 

NK   i 
i 1

và vết của  là
n

      .

TK  

i

i 1


Trong trường hợp không cần chỉ rõ trường K , ta viết tắt chuẩn và vết

 

 

theo thứ tự là N  và T  .
n



 

Do đa thức trường có dạng f   t   i 
i 1

, nên ta có  là số

nguyên đại số khi và chỉ khi chuẩn và vết của  là số nguyên hữu tỉ. Hơn nữa

 i là các đơn cấu nên

 

   

N   N  N 

 


và nếu   0 thì N   0 . Cho p, q là các số hữu tỉ thì





 

 

N p  q   pN   qN  .

 

Định lý 1.5.2. Cho trường số K    , với  có đa thức tối tiểu p bậc n .





Khi đó,  - cơ sở 1,  ,....,  n 1 có biệt thức:
 1,  ,...., 


n 1

 

  1



18



n n 1


2

   .

N p' 


Chứng minh:
Ta có:    1,  ,....,  n 1  


n



 

1i  j n




i   j





2

, với 1,  2,...., n là các

    t    và do

liên hợp của  . Vậy, p t   t  i nên p ' t 
i 1

n

n

i

j 1 i 1, j  i

đó:

   

p ' j 




n

i 1, j  i

 i ; j  1, n .

j

Nhân vế với vế n đẳng thức trên ta được:

 

 p ' j 

 



n

i , j  1, j  i

 i ; j  1, n .

j

   . Còn vế phải, ứng với mỗi

Vế trái của đẳng thức trên là N p ' 




nhân tử i   j





 với i  j



đều có nhân tử  j  i

 và tích hai nhân tử có

 

2

dạng  i   j , và số cặp i, j , 1  i  j  n là s 



n n 1
2

 . Do đó, ta


có điều phải chứng minh.





Định lý 1.5.3. Nếu  1,  2,....,  n là một  - cơ sở của K thì

 

 1,  2,...., n   det T i j



 .

Chứng minh:



              . Do đó:

Ta có T  i j 

n

r 1

n


r

i

j

r 1

  

 1,  2,....,  n   det  i  j



2

r

i

r

j

   det   

 det  i  j

 


 n

 det    r  i  r  j   det T  i j
 i 1


   

19

j

 .

i


1.6. Số nguyên đại số của các trường toàn phương.
Định nghĩa 1.6.1. Ta gọi là trường toàn phương mọi mở rộng bậc 2 của
trường  các số hữu tỉ.
Chú ý: Ta gọi một số nguyên là tự do bình phương nếu và chỉ nếu nó khơng
có ước là bình phương một số nguyên tố.
Định lý 1.6.2. Mọi trường toàn phương K có dạng   d  trong đó d là
 
tự do bình phương.
Chứng minh:

 

Do K là một trường toàn phương nên K    với  là số nguyên

đại số và  là nghiệm của đa thức:



t 2  at  b  0 a, b  



a  a 2  4b
Vậy, ta có:  
2

Giả sử, a 2  4b  r 2d với r , d   và d là tự do bình phương. Khi
đó:

 

 

nên    

a  r d
2

 d  . Do đó, ta có mệnh đề sau:

Định lý 1.6.3. Giả sử K    d  là một trường toàn phương và A là vành
 
các phần tử của K nguyên trên  . Giả sử x  a  b d  K ; Thế thì
x  A khi và chỉ khi 2a và a 2  b 2d thuộc  .


Chứng minh:

20


 

Giả sử x  A thế thì  x

cũng là nghiệm của phương trình phụ

 

 

thuộc nguyên của x , vậy  x  A . Do A là một vành nên x   x và

 

 

 

x . x

thuộc A . Nhưng  x  a  b d , nên x   x  2a

và


 

x . x  a 2  db 2 thuộc  và nguyên trên  . Cuối cùng do  đóng

nguyên nên 2a và a 2  db 2 thuộc  .
Đảo lại nếu 2a và a 2  db 2 thuộc  , lúc đó x là nghiện của phương
trình x 2  2ax  a 2  db 2  0 nghĩa là x nguyên trên  .
Định lý 1.6.4. Giả sử K    d  là một trường toàn phương và A là vành
 
các phần tử của K nguyên trên  . Thế thì:
u v

A 
d : u, v  ; u 2  dv 2  4  .
2 2


Chứng minh:
Giả sử x  a  b d  A , a, b   , ta có 2a và a 2  db 2 thuộc  ,

 

vậy 2a

2

 

 d 2b


có thể viết 2b 

2

 

  , nhưng 2a   nên d 2b

s
; s, t   và
t

s , t   1 , ta suy ra
2

2

2

  . Vì 2b   nên ta

 

 

s, t  1 . Từ d 2b

2




ds 2
  với
t2

t 2 chia hết d . Nhưng d khơng có nhân tử chính

phương khác 1 , nên t 2  1 và t  1 . Vậy 2b   . Đặt 2a  u , 2b  v ,

u, v   , ta được
x  a b d 

u v

d : u, v  
2 2

và

21


u 2 v 2d

  , hay u 2  dv 2  4 .
4
4

a 2  b 2d 


Đảo lại các phần tử

u v

d với u, v   và u 2  dv 2  4 hiển
2 2

nhiên thuộc A .
Định lý 1.6.5. Giả sử K    d  là một trường toàn phương với d  
 
khơng có nhân tử chính phương, và A là vành các phần tử của K nguyên trên
 . Khi đó:





i) Nếu d  2 hay d  3 (mod 4 ) A là một  -môđun nhận 1, d làn cơ sở, và
do đó các phần tử của A có dạng a  b d với a, b   .
ii) Nếu d  1 (mod 4 ), các phần tử của A có dạng





1
u  v d , với u, v  
2






 1

và cùng tính chẵn lẻ,  -môđun A nhận  1, 1  d  làm cơ sở.
 2


Chứng minh:
Giả sử x   , ta hãy ký hiệu bằng x lớp các số nguyên bằng x









(mod 4 ), và xét vành  4  0, 1, 2, 3 , d  0 và d chỉ có thể bằng 1, 2, 3 ;






chẳng hạn d  5 , d  1 ; d  2 , d  2 ; d  7 , d  3 . Từ điều kiện u, v  
và u 2  dv 2  4 trong định lý 1.6.4 ta có bảng sau:
d 1


d 2

d 3

u, v

0

1

2

3

u, v

0

1

2

3

u, v

0

1


2

3

2

0

1

0

1

v

2

0

1

0

1

v

2


0

1

0

1

0

1

0

1

dv

0

2

0

2

dv

0


3

0

3

v

dv

2

2

22

2


u

2

0

1

0


1

u

2

0

1

0

1

u

2

0

1

0

Bây giờ ta chứng minh định lý.









khi và chỉ khi u, v  0, 2 ,

i) A chứa  -môđun A ' có cơ sở 1, d : A '  a  b d a, b   . Mặt
2

khác, theo bảng d  2 và d  3 ta có u  dv

2

nghĩa là khi và chỉ khi u, v là những số nguyên chẵn, vậy u  2a và v  2b
với a, b   ; từ đó ta suy ra mọi phần tử của A đều thuộc A ' . Vậy A  A ' .
2

2

ii) Theo bảng d  1 ta có u  dv khi và chỉ khi u, v là những số ngun
u v

có tính chất cùng chẵn hay cùng lẻ. Vậy A   
d : u, v    . Mặt
2 2


khác hiển nhiên 1 và










 1

1
1  d thuộc A và  1, 1  d  độc lập tuyến
2
 2


tính. Xét  -mơđun A ' với cơ sở là:





 1

 1, 1  d  : A 
 2


Ta có: A '  A . Ngược lại, lấy x 
x 










b
a  1  d a, b    .
2


u v

d  A , ta có thể viết
2 2



1
v
u  v  1  d . Vì u, v cùng tính chẵn lẻ nên u  v ln ln
2
2





chẵn, do đó u  v  2a với a   ; vậy x  a 






v
1  d , và do đó
2

x  A ' . Ta được A  A ' .

Định nghĩa 1.6.6. Ta gọi A là vành các phần tử nguyên của K    d  .
 
Nếu d dương ta gọi là trường toàn phương thực, d âm gọi là trường toàn
phương ảo.
23

1


CHƯƠNG 2.
TÍNH CHẤT SỐ HỌC

 3 
2.1. Trường   3  . Vành các số nguyên đại số của trường   3  .
TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 

Xét tập hợp:

 3   x  y 3 x, y  

Dễ kiểm tra rằng   3  là một trường con của trường các số phức


.

Thật vậy, hiển nhiên tổng, hiệu, tích của hai số thuộc 
một số thuộc 
của 

 3  lại là

 3  . Ta chỉ cần chứng tỏ nghịch đảo của một số khác 0

 3  cũng thuộc tập hợp này.
Giả sử   x  y 3    3  , nếu   0 thì x  0 hoặc y  0 .

Khi đó:
1





1
x  y 3

Nếu x, y




x  y 3
x
y
 2
 2
2
2
2
x  3y
x  3y
x  3y 2

là các số hữu tỉ khơng đồng thời bằng 0 thì

x
y
cũng là những số hữu tỉ.
, 2
2
x  3y x  3y 2
2

Vậy

1






3

 3  .

24


Nếu   x  y 3  


 3  , thì phần tử   x  y

 3  . Số  được gọi là số liên hợp của  . Ta có:
 .  x  y 3 x  y 3   x  3y
2

2

3 cũng thuộc

 .

Mệnh đề 2.1.1. Vành các số nguyên đại số của trường 

 3  là



1   3
A  a  b

a, b    .
2



Chứng minh:
Ta có 

 3   a  b



3 a, b   .

  a  b 3   3 là số nguyên đại số khi và chỉ khi

 

 

 

 

N  , T    ; ở đó N   a 2  3b 2 , T   2a .

Giả sử   a  b 3   3 là một số nguyên đại số.
Khi đó ta có 2a   và a 2  3b 2   . Từ 2a   suy ra a 
u   . Khi đó, từ


u2
 3b 2  k  
4

suy ra

u 2  12b 2  4k

12b 2  4k  u 2   . Điều này chứng tỏ b phải có dạng b 

u
với
2

hay

v
với v   .
2

Do đó ta có u 2  3v 2  0 (mod 4 ).
Nếu u  0 (mod 2 ), nghĩa là a   thì u 2  0 (mod 4 ).
Nên từ u 2  3v 2  0 (mod 4 ) suy ra v 2  0 (mod 4 ) do đó v  0
(mod 2 ), nghĩa là b   .
Từ đó ta có:

25