TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SỬ DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ TỐN HỌC
TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN LỚP 11 Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

PHÚ THỌ - 2014

PHÚ THỌ - 2014


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
ĐHSP: Đại học sư phạm
ĐHQG: Đại học quốc gia
THPT: Trung học phổ thông
TCN: Trước Công nguyên
GV: Giáo viên
HS: Học sinh


MỞ ĐẦU
1. TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI
Trên thế giới: Khái quát các sự kiện lịch sử tốn học được trình bày
trong nghiên cứu của một số tác giả như: Kolmogorov (Nga), Blekman I.I,
Mưskix (Đức),… Trong các cơng trình này, lịch sử tốn học thực sự được
khẳng định là khoa học về các quy luật khách quan đối với sự phát triển
Toán học.
Tại Việt Nam: Các nghiên cứu về lịch sử toán học được thực hiện

bởi một số nhóm tác giả như: Nguyễn Phú Lộc, Phạm Gia Đức, Phạm Đức
Quang, Nguyễn Duy Tiến,…Các cơng trình nghiên cứu này chủ yếu tập
trung vào việc tóm lược các sự kiện lịch sử chính của các giai đoạn phát
triển Toán học (trên thế giới và Việt Nam) và được trình bày chủ yếu dưới
dạng giáo trình, tài liệu tham khảo. Hướng nghiên cứu về tăng cường các
yếu tố lịch sử toán học trong dạy học đang nhận được sự quan tâm của
nhiều nhà khoa học và các cán bộ giảng dạy mơn Tốn. Tuy nhiên, các
nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lý luận chung về lịch sử hình thành kiến
thức tốn học, về vai trị của các yếu tố lịch sử tốn học trong dạy học mơn
Tốn. Nghiên cứu việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học cụ thể vào các
nội dung cụ thể của mơn Tốn ở từng cấp học chưa được chú trọng.
Tại trường Đại học Hùng Vương: Về lĩnh vực nghiên cứu có đề tài
khóa luận tốt nghiệp của Phạm Thị Tuyết Mai: “Tăng cường một số yếu tố
lịch sử toán học và trị chơi tốn học trong dạy học tốn Trung học cơ sở
nhằm tích cực hoạt động học tập của học sinh”. Đề tài đi sâu phân tích,
trình bày các yếu tố lịch sử tốn học góp phần tích cực hóa hoạt động học
tập của học sinh THCS, phù hợp chương trình Số học và Đại số cấp THCS.
Nghiên cứu về việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học mơn
Tốn THPT nói chung, mơn Tốn lớp 10 nói riêng có đề tài của Phùng Quốc
Dũng, Phạm Thị Liên Phương, Đinh Thị Thu Thảo. Còn nghiên cứu việc

1


sử dụng yếu tố lịch sử trong dạy học môn Tốn lớp 11 ở trường THPT thì
chưa có đề tài nào được thực hiện.
2. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật Giáo dục Việt Nam (2005) quy định rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,

rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (Điều 28, mục 2, chương II).
Đối với việc dạy học mơn Tốn ở trường phổ thông, một trong những
nhiệm vụ cần làm để thực hiện quy định trên của Luật Giáo dục là hình thành,
phát triển văn hóa tốn học cho học sinh. Đây cũng chính là một trong các mục
tiêu của giáo dục tốn học ở trường phổ thơng [1]. Tuy nhiên, đã là văn hóa tốn
học thì khơng thể khơng có những hiểu biết về các yếu tố lịch sử hình thành và
phát triển của khoa học tốn học. Hơn nữa, lý luận dạy học hiện đại cũng đã
khẳng định vai trò của sự hiểu biết lịch sử, nguồn gốc toán học trong việc tạo
nền tảng cơ sở vững chắc để người học toán làm toán, vận dụng toán và khơi
gợi hứng thú trong học tập mơn Tốn.
Theo chương trình đổi mới giáo dục phổ thơng, sách giáo khoa tốn
THPT hiện hành được viết theo tinh thần của Luật Giáo dục. Theo đó, các yếu tố
về lịch sử tốn học đã được chú trọng đưa vào phong phú hơn chương trình cũ.
Tuy nhiên, do nhiều nguyên nhân, các yếu tố lịch sử tốn học khơng được và
cũng khơng thể trình bày một cách đầy đủ, tường tận cho tất cả các nội dung
mơn Tốn. Song, đối với người giáo viên dạy tốn, để có thể thực hiện tốt mục
tiêu dạy học mơn Tốn, cần thiết phải có những hiểu biết về các yếu tố lịch sử
một cách phong phú hơn so với ít nhất những vấn đề đã có trong khn khổ nội
dung chương trình dạy học mình đảm nhiệm. Hơn nữa, cần hiểu rõ vai trò, ý
nghĩa của các yếu tố lịch sử ấy đối với việc daỵ học và biết cách sử dụng chúng
vào quá trình dạy học.

2


Là người giáo viên dạy mơn Tốn ở trường phổ thơng trong tương lai,
chúng tơi ý thức rõ việc tích lũy kiến thức về lịch sử bộ môn cho bản thân là một
trong những yêu cầu không thể thiếu. Hơn nữa, tập dượt trải nghiệm việc kết hợp
kiến thức lý luận dạy học bộ môn với kiến thức lịch sử toán học nhằm khai thác

tối đa giá trị của các kiến thức này trong dạy học đối với giáo sinh là một việc
làm cần thiết, có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễn. Việc làm này cần được tiến
hành đối với tất cả các nội dung mơn Tốn ở các lớp phổ thông và nên chú trọng
hơn cho các lớp đầu cấp.
Vì những lý do trên, chúng tơi lựa chọn: “Sử dụng một số yếu tố lịch sử
toán học trong dạy học mơn Tốn lớp 11 ở trường Trung học phổ thơng” làm
đề tài nghiên cứu.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu, lựa chọn một số yếu tố lịch sử tốn học phù hợp với chương
trình, nội dung mơn Toán lớp 11THPT; hướng dẫn sử dụng các yếu tố lịch sử
toán học vào dạy học nhằm khơi gợi hứng thú học tập cho học sinh.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
 Tìm hiểu khoa học lịch sử tốn học; làm rõ vai trị của các yếu tố lịch sử
tốn học trong dạy học mơn Tốn, làm rõ quan niệm về yếu tố lịch sử tốn
học có thể sử dụng trong dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.
 Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa tốn lớp 11 (nâng cao). Tìm
hiểu một số yếu tố lịch sử tốn học được trình bày trong chương trình
mơn Tốn lớp 11.
 Sưu tầm, lựa chọn các yếu tố lịch sử tốn học (khơng có trong sách giáo
khoa) phù hợp với nội dung chương trình mơn Tốn lớp 11 THPT; hướng
dẫn sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học đó trong dạy học.
 Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu khẳng định tính khả thi, hiệu quả
của việc sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học trong dạy học mơn Tốn.

3


5. KHÁCH THỂ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Khách thể nghiên cứu: Q trình dạy học mơn Tốn ở trường THPT.
 Đối tượng nghiên cứu: Các yếu tố lịch sử toán học.

 Phạm vi nghiên cứu: Chương trình mơn Tốn lớp 11 cải cách hiện hành.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Nghiên cứu lý luận
Tập hợp, đọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài
liệu, các đề tài nghiên cứu, các văn kiện của Đảng, Nhà nước liên quan tới đề tài:
- Tìm hiểu về khoa học lịch sử tốn học, vai trị của các yếu tố lịch sử tốn
học trong dạy và học mơn Tốn.
- Nghiên cứu mục tiêu, nội dung chương trình mơn Tốn lớp 11 theo
chương trình hiện hành.
- Tìm hiểu mức độ trình bày các yếu tố lịch sử tốn học trong sách giáo
khoa mơn Toán lớp 11 (nâng cao)
- Nghiên cứu, lựa chọn một số yếu tố lịch sử toán học phù hợp với chương
trình, nội dung mơn Tốn lớp 11 (nâng cao) THPT; hướng dẫn sử dụng các yếu
tố lịch sử toán học vào dạy học.
6.2. Điều tra, quan sát
Khảo sát định tính về tính sinh động, hấp dẫn của giờ dạy Tốn có sử
dụng các yếu tố lịch sử tốn học.
Khảo sát sự hứng thú học tập mơn Tốn của học sinh lớp 11 qua việc sử
dụng các yếu tố lịch sử tốn học trong dạy học mơn Tốn ở một số trường THPT
trên địa bàn tỉnh Phú Thọ.
6.3. Tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên dạy giỏi ở trường THPT về việc
sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong dạy học.

4


6.4. Phương pháp chuyên gia
Xin ý kiến của các giảng viên dạy học mơn Tốn ở trường Đại học Hùng
Vương, các giáo viên dạy mơn Tốn ở trường phổ thơng để điều chỉnh, hoàn

thiện đề tài.
6.5.Thử nghiệm sư phạm
Thử nghiệm sư phạm nhằm bước đầu khẳng định tính khả thi, hiệu quả
của việc sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học trong dạy học mơn Tốn lớp 11.
7. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
 Về lý luận:
- Làm rõ vai trò của việc sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học trong dạy
học mơn Tốn ở trường phổ thông
- Làm rõ quan niệm về các yếu tố lịch sử tốn học có thể sử dụng trong
dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng.
 Về thực tiễn:
- Sưu tầm, chọn lọc được một hệ thống yếu tố lịch sử tốn học phù hợp
với chương trình mơn Tốn lớp 11 THPT; đưa ra chỉ dẫn sử dụng các yếu tố lịch
sử toán học đã sưu tầm trong dạy học làm giờ học thêm sinh động, kích thích
hứng thú học tập của học sinh..
- Đề tài là tài liệu tham khảo cần thiết cho sinh viên Toán và giáo viên
Toán THPT quan tâm đến vấn đề gây hứng thú học tập của học sinh trong dạy
học Toán.
8. CẤU TRÚC, BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
Ngoài lời cảm ơn, mục lục, phần mở đầu, kết luận, phụ lục và danh mục
tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Sử dụng một số yếu tố lịch sử tốn học trong dạy học mơn
Tốn lớp 11 ở trường THPT.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

5


CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. VỀ KHOA HỌC LỊCH SỬ TỐN HỌC
Tốn học là mơn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc không
gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, Tốn học là mơn học về
"hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là mơn học nghiên cứu về
các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý
học (lơgic) và ký hiệu tốn học. Các quan điểm khác về toán học được miêu
tả trong Triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học,
Tốn học được mệnh danh là "ngơn ngữ của vũ trụ". Các chuyên gia trong
lĩnh vực toán học được gọi là nhà toán học [3].
Lịch sử Toán học là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển
Toán học, ngành khoa học này giải quyết các nhiệm vụ: Xác định rõ các phương
pháp, các khái niệm, các tư tưởng toán học đã được phát minh như thế nào; các
lý thuyết toán học khác nhau đã hình thành như thế nào trong lịch sử; tính chất
và các đặc điểm của sự phát triển toán học ở các dân tộc khác nhau trong từng
giai đoạn lịch sử; sự cống hiến của các nhà toán học. Nghiên cứu phát hiện các
mối liên hệ giữa toán học với nhu cầu và hoạt động thực tiễn của con người; và
với sự phát triển của các khoa học khác; sự ảnh hưởng của cơ cấu kinh tế xã hội
đến nội dung và tính chất sự phát triển tốn học trong từng giai đoạn.
Nghiên cứu phát hiện nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic tốn học
hiện đại, tính biện chứng của sự phát triển của nó, giúp hiểu rõ mối quan hệ giữa
các bộ phận toán học; dự đoán được triển vọng phát triển của toán học. Lĩnh vực
của ngành học về Lịch sử Toán học phần lớn là sự nghiên cứu nguồn gốc của
những khám phá mới trong toán học, theo nghĩa hẹp hơn là nghiên cứu
các phương pháp và kí hiệu tốn học chuẩn trong q khứ. Trước thời kì hiện
đại và sự phổ biến rộng rãi tri thức trên tồn thế giới, các ví dụ trên văn bản
của các phát triển mới của toán học chỉ tỏa sáng ở những vùng, miền cụ thể.

6



Các văn bản toán học cổ nhất từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia)
khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đại khoảng 1800 TCN (Rhind
Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200
TCN (Berlin 6619) và Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras). Tất cả
các văn tự này có nhắc đến Định lý Pythagore; đây có lẽ là phát triển toán học
rộng nhất và cổ nhất sau Số học cổ đại và Hình học. Những cống hiến của Hy
Lạp cổ đại với tốn học, nhìn chung được coi là một trong những cống hiến
quan trọng nhất, đã phát triển rực rỡ cả về phương pháp và chất liệu chủ đề
của toán học. Một đặc điểm đáng chú ý của lịch sử toán học cổ đại và trung
đại là theo sau sự bùng nổ của các phát triển toán học thường là sự ngưng trệ
hàng thế kỉ. Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng tại Ý vào thế kỉ 16, các phát triển
toán học mới, tương tác với các phát hiện khoa học mới đã được thực hiện
với tốc độ ngày càng tăng, và điều này còn tiếp diễn cho tới hiện tại. Như vậy,
lịch sử tốn có nội dung nghiên cứu hết sức phong phú và là môn học được dạy
chính khố trong các trường Đại học sư phạm. Đây cũng là một ngành khoa học
nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học ở Việt Nam và trên thế giới.
Nghiên cứu sơ bộ các giai đoạn phát triển của toán học chúng ta sẽ thấy
mỗi phương pháp, khái niệm, tư tưởng toán học đều mang những yếu tố lịch sử
về nguồn gốc phát sinh, phát triển, nhu cầu phát sinh, người phát minh, những
hiểu biết về ngọn nguồn lịch sử về cấu trúc logic của toán học giúp người dạy
toán và học toán nắm được phần nào mối quan hệ giữa các bộ phận của toán
học, nhìn nhận rõ hơn quá trình phát triển, những bước đang đi, con đường sẽ tới
của toán học. Hơn nữa, nghiên cứu các giai đoạn phát triển của toán học chúng
ta cịn nắm được mối liên hệ của tốn học với những nhu cầu và hoạt động thực
tiễn của con người, mối liên hệ của toán học với sự phát triển của các ngành
khoa học khác, sự đấu tranh gay gắt giữa cái cũ và cái mới trong nội dung tốn
học, tính chất của sự phát triển tốn học, vai trò của nhân dân, của tập thể và cá
nhân các nhà bác học...


7


1.2. VAI TRÒ CỦA VIỆC SỬ DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ TỐN
TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN
1.2.1. Quan niệm về các yếu tố lịch sử toán học được sử dụng trong dạy học
Vì là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển Toán học nên
lịch sử tốn học có tính khái qt và nội dung kiến thức hết sức phong phú.
Bởi lẽ đó, khơng phải mọi yếu tố lịch sử tốn đều có thể sử dụng vào q
trình dạy học. Mục đích của việc sử dụng yếu tố lịch sử toán học trong dạy
học là giúp người học hiểu thêm về nguồn gốc của những khám phá các kiến
thức toán học, hiểu thêm về cuộc đời của những nhà toán học vĩ đại cùng
những cống hiến của họ đối với việc phát triển tri thức môn học. Từ tấm
gương lao động, sáng tạo và sự thành cơng của các nhà tốn học, giáo viên có
thể từng bước dẫn dắt, rèn luyện cho người học thói quen suy nghĩ các vấn đề
một cách bạo dạn, sáng tạo, tạo tiền đề cho người học tiếp cận tri thức theo lối
kiến tạo. Theo Tâm lý học, đây chính là tiền đề của sự cố gắng trí tuệ, nỗ lực
bản thân (tính tích cực bên trong) của người học [12]. Như vậy, các câu
chuyện lịch sử tạo cho học sinh hứng thú với bài học, làm cho giờ học thêm
sinh động. Bởi vậy, các yếu tố lịch sử được sử dụng trong q trình dạy học
mơn Tốn cần được chọn lọc một cách kỹ lưỡng, phù hợp với nội dung dạy
học, có tác dụng kích thích học sinh tham gia vào quá trình kiến tạo kiến thức,
hỗ trợ quá trình dạy học dưới vai trị chất xúc tác.
Trong tài liệu này, chúng tôi quan niệm rằng yếu tố lịch sử tốn học có thể
sử dụng trong dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng bao gồm các sự kiện toán
học, các truyền thuyết và những câu chuyện về cuộc đời, những cống hiến của
các nhà toán học xung quanh các vấn đề tốn học có trong chương trình mơn
Tốn ở trường phổ thơng.
1.2.2. Vai trị của yếu tố lịch sử toán học đối với giáo viên
Việc hiểu rõ các sự kiện lịch sử cơ bản của bộ mơn mình giảng dạy, hiểu

rõ các quy luật phát triển của khoa học liên quan đến bộ môn là rất cần thiết. Một
trong những đòi hỏi của năng lực người giáo viên là những hiểu biết về lịch sử

8


phát triển của vấn đề, về những ứng dụng của kiến thức chuyên ngành mình phụ
trách vào việc giải quyết các bài tốn được đặt ra trước xã hội lồi người, về ý
nghĩa của những thực tiễn đời sống đối với sự phát triển kiến thức mơn học [12].
Nói riêng, đối với giáo viên dạy mơn Tốn, những hiểu biết về lịch sử mơn học
mình đảm nhiệm bao gồm các vấn đề như: con người đã lao động như thế nào để
sáng tạo ra các khái niệm toán học? Các hình ảnh cụ thể trực quan là cần thiết
như thế nào trong các bước đầu tiên khi giới thiệu kiến thức? Các lý thuyết toán
học trừu tượng và các chứng minh chặt chẽ đã được xây dựng và tích luỹ như thế
nào? Ai là người đặt nền móng cho nó? Những khó khăn đặc biệt mà lồi người
đã phải vượt qua trong q trình phát triển tốn học,… Lịch sử tốn học có thể
giúp cho giáo viên dạy tốn biến Tốn học thành một mơn học hấp dẫn, lơi cuốn
đối với học sinh, làm cho các giờ học thực sự trở thành nguồn vui, sự mong đợi
đối với học sinh, là nguồn tiếp sức, giúp ích cho học sinh trong cuộc sống, trong
công tác sau này.
Để giúp học sinh hiểu rõ lịch sử tốn, người giáo viên có thể tích hợp vào
các bài giảng của mình lời giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét lịch sử của
vấn đề, làm cho giờ học thêm sinh động. Các buổi nói chuyện về lịch sử toán
học, lịch sử các phát minh toán học, tiểu sử các nhà tốn học lớn sẽ có tác dụng
trong việc khêu gợi khả năng sáng tạo của học sinh, động viên họ, giúp họ củng
cố lòng tin ở bản thân mình.
Tóm lại, đối với người dạy Tốn, các yếu tố lịch sử là công cụ hỗ trợ
hiệu lực cho việc dạy học trên mọi phương diện từ xây dựng nội dung đến
việc thiết kế các biện pháp chuyển hóa sư phạm, lựa chọn hình thức, phương
pháp dạy học. Vì vậy, việc tìm hiểu các kiến thức về lịch sử tốn nói chung và

lịch sử của vấn đề có liên quan đến chương trình tốn THPT nói riêng là một
trong những nhiệm vụ tự học, tự bồi dưỡng của mỗi giáo viên Tốn.
1.2.3. Vai trị của các yếu tố lịch sử tốn học đối với học sinh
Nhìn chung, quá trình nhận thức của học sinh THPT là sự tiếp thu các
kiến thức của khoa học đã được chọn lọc thành tri thức của chương trình đảm

9


bảo phù hợp với tâm sinh lý và mục tiêu giáo dục trung học phổ thông, các yếu
tố lịch sử có liên quan khơng phải là mục tiêu chính để giảng dạy trong
chương trình phổ thơng. Tuy nhiên, lý luận giáo dục hiện đại đã khẳng định
vai trò của các yếu tố liên quan đến tri thức cũng có tác động mạnh mẽ đến
nhận thức của người học. Do đó, việc sử dụng các yếu tố lịch sử vào trong
dạy học mơn Tốn THPT là cần thiết. Sử dụng một số yếu tố lịch sử tốn học
trong dạy học mơn Toán lớp 11 giúp học sinh hiểu thêm về nguồn gốc của
những khám phá các kiến thức toán học, hiểu thêm về cuộc đời của những nhà
toán học vĩ đại cùng những cống hiến của họ đối với việc phát triển tri thức mơn
học. Qua đó dẫn dắt, rèn luyện cho người học thói quen suy nghĩ các vấn đề một
cách bạo dạn, sáng tạo, tạo tiền đề cho người học tiếp cận tri thức theo lối kiến
tạo. Việc đưa các câu chuyện tốn học có nội dung gắn liền với các kiến thức
tốn trong giờ học tạo khơng khí tị mị, dí dỏm và kích thích tư duy với học
sinh, bởi các câu chuyện vui mang đầy tính tư duy và sáng tạo. Bằng những câu
chuyện toán học kết hợp với kiến thức kèm theo học sinh tự mình sẽ hiểu được
con đường dẫn tới một định nghĩa, định lý toán học, đồng thời tăng thêm hứng
thú đối với kiến thức tốn học vừa được truyền thụ. Ngồi ra, các câu chuyện
tốn học cịn giúp cho tập thể lớp học có được bầu khơng khí vui vẻ, thân ái, rèn
cho học sinh những tư duy toán học sáng tạo. Đây là điều kiện cơ bản nâng cao
chất lượng học tập mơn Tốn của học sinh.
Ví dụ: Khi học sinh học Đại số, lớp 11, ở chương 2, bài 3, khi học về

nhị thức Niu-tơn, ngồi việc trình bày nội dung kiến thức nếu đưa thêm vào
vài mẩu chuyện về sự đam mê nghiên cứu, khám phá của nhà bác học Niu-tơn
hay tam giác Pa-xcan được nhà toán học Pa-xcan sáng tạo ra khi nào sẽ có tác
dụng kích thích hứng thú cho học sinh rất nhiều. Khi học về lượng giác, ngoài
những chỉ dẫn trong sách giáo khoa, nếu được bổ sung thêm các kiến thức về
lịch sử của vấn đề học sinh sẽ thấy rõ rằng lượng giác xuất phát từ nhu cầu
của thực tế và những kiến thức đó được sử dụng để tính tốn trong các ngành
thiên văn, vật lý, kỹ thuật,… qua đó nảy sinh động cơ học tập cho học sinh.

10


Nhờ những kiến thức về lịch sử toán học, học sinh thấy rằng toán học
phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của con người. Những tấm gương
của các nhà tốn học đã lao động qn mình để tìm kiếm tri thức, những khó
khăn trong đời sống khơng lay chuyển được lòng say mê nghiên cứu, sáng tạo
dù trong bất cứ hồn cảnh nào… sẽ có tác dụng tốt trong việc hình thành hồi
bão, ước mơ và rèn luyện đạo đức công dân cho học sinh.
Từ những phân tích trên cho thấy sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học
trong dạy học mơn Tốn kích thích ở họ sự hứng thú, tích cực, chủ động tìm
tịi thơng tin một cách có định hướng, có hệ thống, trình bày kiến thức theo
quan niệm kiến tạo tri thức từ góc nhìn sự phát sinh, phát triển, mang lại cho
học sinh niềm say mê, hứng thú, sáng tạo trong học tập.
1.3. NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC YẾU TỐ LỊCH SỬ TỐN
HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN LỚP 11 HIỆN HÀNH
1.3.1. Chương trình mơn Tốn lớp 11 (theo [1])
1.3.1.1. Mục tiêu
- Về kiến thức: Hiểu và nắm được: Các tính chất của các hàm lượng
giác, các công thức, các dạng và cách giải phương trình lượng giác; các cơng
thức về tổ hợp như hai quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niutơn; khái niệm biến cố, các quy tắc tính xác suất của biến cố; phương pháp

quy nạp tốn học, các tính chất và cơng thức của dãy số, cấp số cộng và cấp
số nhân; giới hạn của hàm số, giới hạn của dãy số, và các quy tắc tìm giới hạn
của hàm số và dãy số, hàm số liên tục và các tính chất của hàm liên tục; khái
nệm đạo hàm các quy tắc tính đạo hàm, ý nghĩa của đạo hàm, vi phân của một
hàm số; khái nệm và các tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng trục,
phép quay, phép đối xứng tâm, phép vị tự, phép đồng dạng, hai hình bằng
nhau; khái niệm và tính chất của hai đường thẳng song song, đường thẳng
song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, vectơ trong không gian,

11


hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt
phẳng vng góc và khoảng cách.
- Về kỹ năng: Rèn luyện các kỹ năng: sử dụng các công thức lượng
giác vào biến đổi và giải các dạng phương trình lượng giác; thành thạo các bài
tốn về tổ hợp và xác suất; tìm giới hạn của dãy số, hàm số, xét tính liên tục
của hàm số; tính đạo hàm của các hàm số, nắm được ý nghĩa của đạo hàm; sử
dụng thành thạo các phép dời hình trong chứng minh và giải bài tập; biết cách
chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, hai đường thẳng song
song với nhau và hai mặt phẳng song song với nhau; thành thạo trong các bài
toán chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau, đường thẳng vng
góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc với nhau và tính khoảng cách.
- Về thái độ: Rèn luyện tư duy lôgic, ngôn ngữ chính xác; phát triển
khả năng suy đốn; rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản (phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hố, khái qt hố); hình thành những phẩm chất trí tuệ: tính
linh hoạt, độc lập, sáng tạo,…hình thành, phát triển tác phong làm việc khoa
học, thói quen tự kiểm tra; giáo dục cho học sinh tinh thần, thái độ học tập
nghiêm túc, chủ động.
1.3.1.2. Cấu trúc nội dung chương trình

Tổng số: 140 tiết
Đại số (90 tiết)
Nội dung

Số tiết

Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

22

Chương II. Tổ hợp và xác suất.

24

Chương III. Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

13

Chương IV. Giới hạn.

13

Chương V. Đạo hàm.

17

Ôn tập cuối năm.

1


12


Hình học (50 tiết)
Nội dung

Số tiết

Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng.

14

Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ

17

song song.
Chương III. Vectơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc.

18

Ơn tập cuối năm.

1

1.3.2. Các yếu tố lịch sử tốn học được trình bày trong sách giáo khoa
Bên cạnh việc trình bày nội dung tri thức chương trình của mơn học đáp
ứng mục tiêu giáo dục toán học trong nhà trường THPT giai đoạn hiện nay, sách
giáo khoa Toán lớp 11 cũng đã giới thiệu một số yếu tố lịch sử toán học. Cụ thể:
1.3.2.1. Trong chương trình Đại số

 Một số mẩu chuyện về nhà toán học Pascal [10, Tr 68]
 Cuốn sách tiếng việt về xác suất - thống kê xuất bản lần đầu tiên ở nước ta
[10,Tr 77]
 Dãy số Phi-Bô-Na-Xi [10, Tr 107]
 Giôn Uơ-Lit – Người sáng tạo ra kí hiệu ∞ [10, Tr 145]
 Cơ-Si, nhà tốn học lớn [10, Tr 176]
 Vài nét về sự ra đời của khái niệm đạo hàm [10, Tr 220]
1.3.2.2. Trong chương trình Hình học
 Phương pháp tiên đề trong hình học [11, Tr 81]
 Hình tự đồng dạng và hình học Fractal [11, Tr 37]
 Kim tự tháp Ai Cập [11, Tr 110]
* Nhận xét chung: Mặc dù sách giáo khoa đã chú trọng đưa vào một số yếu tố
lịch sử toán học, tuy nhiên chưa được phong phú về mặt nội dung. Các yếu tố
lịch sử toán học trong tồn bộ chương trình tốn lớp 11 THPT được trình bày sơ
lược, chủ yếu mang tính giới thiệu về một số nhà toán học trên thế giới và sơ

13


lược các cơng trình của họ. Những câu chuyện tốn học, bài toán dẫn tới sự ra
đời một vấn đề toán học cụ thể, một nghành toán học mới chưa được giới thiệu ở
chương trình lớp 11. Hạn chế này ít nhiều có thể dẫn tới sự nhận thức một cách
máy móc về cách giải, về cơng thức có sẵn ở học sinh khi học toán.
1.4. THỰC TRẠNG VIỆC SỬ DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ VÀO
TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở LỚP 11 HIỆN NAY
Tốn học là một môn khoa học cơ bản, nhiệm vụ của người giáo viên là
truyền thụ kiến thức cho học sinh, học sinh tiếp nhận kiến thức, biến kiến thức
của nhân loại thành kiến thức của mình. Rất ít khi học sinh thắc mắc rằng kiến
thức này xuất phát từ đâu, khi nào. Cịn người giáo viên cũng ít khi quan tâm đến
lịch sử của vấn đề, nếu có cũng chỉ tìm hiểu qua những chỉ dẫn trong sách giáo

khoa. Do khuôn khổ sách giáo khoa có hạn nên những chỉ dẫn về các yếu tố lịch
sử trong sách giáo khoa khơng có nhiều và cũng chưa thực sự đầy đủ cả về chất
và về lượng, hầu như là chỉ nêu lên chứ chưa nói rõ được từ điểm xuất phát cho
đến sự phát triển của vấn đề.
Để khảo sát về thực trạng sử dụng các yếu tố lịch sử toán trong dạy học
tốn nói chung, dạy học mơn Tốn lớp 11 nói riêng, chúng tơi đã tiến hành thăm
dị ý kiến của 20 giáo viên dạy Toán và 200 học sinh lớp 11 ở một số trường
THPT trên địa bàn tỉnh Phú Thọ. Việc khảo sát tập trung vào các vấn đề sau:
*Đối với học sinh:
- Tìm hiểu các em về vốn hiểu biết các yếu tố lịch sử toán liên quan đến
kiến thức mơn Tốn.
- Tìm hiểu về mức độ thường xuyên được tiếp cận các yếu tố lịch sử toán
học trong q trình học tập. (thơng tin điều tra trong phụ lục số 1)
* Đối với giáo viên:
- Tìm hiểu nhận thức của giáo viên về vai trò của các yếu tố lịch sử toán
học đối với hiệu quả tiếp thu kiến thức của học sinh trong dạy học môn Toán.
- Khảo sát sơ bộ về vốn kiến thức lịch sử toán của giáo viên.

14


- Khảo sát những khó khăn của giáo viên khi sử dụng các yếu tố lịch sử
toán học vào quá trình dạy học mơn Tốn (thơng tin điều tra trong phụ lục 2).
Nhận xét chung qua phần khảo sát :
* Đối với học sinh: Từ kết quả thăm dò, chúng tôi nhận thấy:
- Với câu hỏi về sự hiểu biết lịch sử tốn học trong chương trình, thì tỷ lệ
trả lời sai chiếm 76%, trong số 24% trả lời đúng thì có khơng q 1/5 số học sinh
đúng cả 3 câu hỏi.
- Với câu hỏi về sự hứng thú khi được thầy cơ kể các câu chuyện lịch sử
tốn thì hầu hết (96%) trả lời là rất thích.

- Với câu hỏi thầy cơ có thường xun chỉ dẫn, giới thiệu về lịch sử vấn
đề đang học hay khơng, thì phần lớn (90%=180/200) trả lời là không thường
xuyên.
Như vậy, hầu hết học sinh không được tạo điều kiện để tiếp cận các yếu tố
lịch sử tốn học (trong chương trình đang học). Những hiểu biết về các yếu tố
lịch sử toán học liên cịn nơng cạn, sơ sài.
Thực trạng này có thể do nguyên nhân sau: Giáo viên không quan tâm
đến việc giới thiệu các yếu tố lịch sử liên quan cho học sinh; không giới thiệu
cho học sinh những địa chỉ cụ thể để giúp học sinh tự tìm hiểu kiến thức về lịch
sử toán liên quan; học sinh thụ động theo yêu cầu của giáo viên, nên không quan
tâm đến vấn đề này; việc học toán của học sinh hồn tồn tách rời khơng có mối
quan hệ với việc nhìn nhận nguồn gốc hay giá trị thực tiễn của kiến thức.
* Đối với giáo viên: Từ kết quả thăm dị, chúng tơi nhận thấy:
- Với câu hỏi về vai trò của các yếu tố lịch sử trong dạy học tốn thì tỷ lệ
giáo viên cho là quan trọng chiếm 75% (vì yếu tố lịch sử sẽ kích thích hứng thú
học tập của học sinh, giờ học sẽ sôi động hơn), tỷ lệ giáo viên cho là không quan
trọng chiếm 22% (vì khơng liên quan gì đến kiến thức thi cử của học sinh).
- Với câu hỏi về mức độ có thường xuyên sử dụng các yếu tố lịch sử
vào dạy học mơn Tốn? Thì tỷ lệ thường xun là 11,6%, tỷ lệ không thường
xuyên là 88,4% .

15


- Với câu hỏi về khó khăn khi sử dụng yếu tố lịch sử vào dạy học thì đa số
giáo viên được hỏi đề trả lời do không đủ thời gian cho một tiết học và thiếu tài
liệu định hướng cụ thể việc lựa chọn, sử dụng các yếu tố lịch sử toán học trong
dạy học.
- Với câu hỏi khảo sát về vốn kiến thức lịch sử tốn học thì tỷ lệ tham
gia trả lời câu hỏi là khoảng 50%, trong số đó có khoảng 20% là đúng hết các

câu hỏi.
Như vậy, phần lớn giáo viên được khảo sát đều nhận thức đúng đắn vai
trò của các yếu tố lịch sử tốn trong việc kích thích hứng thú học tập của học
sinh, hỗ trợ cho bài giảng thêm sinh động, hỗ trợ sự tiếp thu, sự nhớ kiến thức
của học sinh. Tuy nhiên, số giáo viên thực tế thường xuyên sử dụng các yếu tố
lịch sử dưới vai trị kích thích việc học tập của học sinh lại khơng nhiều.
Thực trạng này có thể bởi những nguyên nhân sau:
- Do thời lượng dành cho dạy học môn học trong khung chương trình
có hạn nên việc giới thiệu thêm các yếu tố lịch sử liên quan của bài học khó
thực hiện.
- Do cách đánh giá kiến thức mơn Tốn ở trường phổ thông chủ yếu là
đánh giá kiến thức thuần tuý, không quan tâm tới việc đánh giá những hiểu biết
của học sinh về nguồn gốc, vai trò của các kiến thức được học, do đó cách dạy và
học mơn Tốn chủ yếu đáp ứng cách đánh giá kiến thức thuần tuý.
- Do các tài liệu để định hướng việc chọn lọc, sưu tầm các yếu tố lịch
sử toán học phù hợp cho việc dạy học cịn hạn chế nên khó tạo được sự phong
phú, hấp dẫn trong các nội dung yếu tố lịch sử tốn học chứ chưa nói tới việc
lựa chọn cách thức sử dụng chúng trong dạy học.
* Kết luận chung : Việc sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học vào q trình
dạy học mơn Tốn lớp 11 THPT ở tỉnh Phú Thọ như một chất xúc tác làm tăng
hiệu quả dạy học mà vốn chưa được chú trọng một cách đúng mức. Nguyên
nhân chủ yếu dẫn tới thực trạng trên là do giáo viên toán ở trường THPT chưa ý
thức nghiêm túc việc này, nguyên nhân sâu xa hơn nữa có thể do họ cịn thiếu

16


các tài liệu định hướng về việc lựa chọn, sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học vào
q trình dạy học mơn Tốn với từng vấn đề cụ thể.
1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Lịch sử Toán học là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển
Toán học. Lý luận dạy học mơn Tốn đã khẳng định vai trị quan trọng của
các yếu tố lịch sử tốn học đối với việc dạy và học mơn Tốn: Đối với người
học toán, các yếu tố lịch sử toán học kích thích ở họ sự hứng thú, tích cực, chủ
động tìm tịi thơng tin một cách có định hướng, có hệ thống, trình bày kiến
thức theo quan niệm kiến tạo tri thức từ góc nhìn sự phát sinh, phát triển. Đối
với người dạy toán, các yếu tố lịch sử là công cụ hỗ trợ hiệu lực cho việc dạy
học trên mọi phương diện.
Hiện nay, việc sử dụng các yếu tố lịch sử tốn học trong dạy học mơn
Tốn ở các trường phổ thơng trên địa bàn tỉnh Phú Thọ ít được chú trọng.
Điều này một mặt gây nên hạn chế trong việc trang bị cơ sở vận dụng toán
học cho học sinh, mặt khác làm cho việc kích thích hứng thú học tập của học
sinh cũng thiếu những định hướng để thực hiện. Một trong những nguyên
nhân dẫn đến tình trạng trên là giáo viên dạy mơn Tốn ở trường Trung học
phổ thơng hiện nay cịn gặp một số khó khăn khi sử dụng các yếu tố lịch sử
trong dạy học. Trong đó, khó khăn chủ yếu là họ thiếu các tài liệu định hướng
cụ thể việc sưu tầm, sử dụng các yếu tố lịch sử toán học theo các chủ đề cụ thể
của mơn Tốn trong q trình dạy học.
Lý luận và thực tiễn đã trình bày là những căn cứ quan trọng để chúng tôi
khẳng định rằng việc sử dụng các yếu tố lịch sử toán học vào trong dạy học mơn
Tốn THPT là hết sức cần thiết, là cơ sở cho việc thực hiện chương 2 của đề tài.

17


CHƯƠNG 2
SỬ DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC
MƠN TỐN LỚP 11 Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
2.1. MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ TỐN HỌC TRONG DẠY HỌC MƠN
TỐN TỐN Ở LỚP 11 THPT

2.1.1. Một số yếu tố lịch sử dưới dạng các câu chuyện vui về các phát
minh và các ứng dụng của Tốn học.
* Bài tốn chia bị (Truyền thuyết Ấn Độ)
Có một ông già trước khi lâm chung để lại di chúc rằng, muốn chia 19
con bò theo quy định sau: con cả được chia 1/2 tổng số bò, con thứ hai được
1/4 tổng số bò, còn con thứ ba được chia 1/5 tổng số bị nhưng khơng được
bán để chia tiền. Theo phong tục Ấn Độ giáo thì bị là con vật linh thiêng nên
không đựợc giết thịt. Sau khi người cha qua đời tìm hết cách mà vẫn chưa tìm
ra cách! Một hơm có một nhà thơng thái đến và đã đưa ra cách chia hợp lí.
Vậy nhà thơng thái đã dùng cách nào?
* Nhà vua Napoleon và hình học
Napoleon là một nhà vua anh minh, với tài quân sự lỗi lạc. Ơng cịn nổi
tiếng là người u thích và say mê toán học. Người thường ra các bài tốn
dưới dạng các câu đố vui. Trong đó có bài tốn về hình học như sau:
“Trên ba cạnh của một tam giác bất kỳ, dựng về phía ngồi tam giác
các tam giác đều, hãy chỉ ra tâm của các tam giác đều đó là các đỉnh của một
tam giác đều nào đó”.
*Bài tốn cổ nhất về cấp số cộng
Đây là bài tốn tìm được trong một cuốn sách nổi tiếng được viết bằng
giấy chỉ thảo Ai Cập của Raiđơ, cuốn này tìm được vào cuối thế kỷ 19 và có
niên đại 2000 năm trước Công nguyên, bản này chép tay lại cịn bản gốc có lẽ
đã xuất hiện vào khoảng 3000 năm trước Cơng ngun. Nội dung bài tốn
như sau:

18


“Chia 100 đấu lúa mì cho 5 người, sao cho số lúa mì người thứ hai nhận
được nhiều hơn người thứ nhất đúng bằng số lúa mì người thứ người thứ ba
nhận được nhiều hơn người thứ hai, người thứ tư nhận được nhiều hơn người

thứ ba, người thứ năm nhận được nhiều hơn người thứ tư. Thêm vào đó tổng
số lúa của người thứ nhất và người thứ hai nhận được ít hơn 7 lần tổng số lúa
mà ba người còn lại nhận được. Hỏi mỗi người nhận được bao nhiêu lúa ?”.
* Nhà vua Ấn Độ không đủ thóc để thưởng cho người đã phát minh ra bàn
cờ Vua
Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ
Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà
vua cho một số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt
lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ơ thứ hai hai hạt,… cứ như
vậy số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng.
(Chúng ta thấy rằng số hạt thóc để làm phần thưởng chính là tổng của
64 số hạng đầu của cấp số nhân với u1  1 và q  2 . Vậy

s64  1  2  4  ....  263 

1(1  264 )
 264  1
1 2

Cứ cho rằng 1000 hạt thóc nặng 20gam (cho dù ít hơn thực tế), thì khối
lượng thóc là :
20(264  1)
gam  369 tỉ tấn.
1000

Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt của Trái Đất thì sẽ được một
lớp thóc dày 9mm ! Thử hỏi nhà vua làm sao nhà vua có thể có đử số thóc
khổng lồ như vậy ?)
* Mất dê do đường rẽ
“Mất dê do đường rẽ” là một thiên truyện có ngụ ý sâu xa trong cổ tích

“Liệt tử”. Câu chuyện như sau:

19


Người hàng xóm của Dương Tử mất dê, liền dẫn thân tộc của ông ta và
nhờ cả gia nhân của Dương Tử đi tìm. Dương Tử nói: “Ồ! Mất một con dê mà
cần nhiều người đi tìm thế ?”. Người hàng xóm trả lời: “Vì có nhiều đường rẽ”
Khi người hàng xóm trở về:
- Tìm được dê khơng?
- Mất rồi!
- Sao lại mất?
-

Trong đường rẽ lại có nhánh nên khơng biết đường nào nên phải quay về.
Vậy tại sao lại khơng tìm được dê, khả năng tìm được là bao nhiêu?
Giả sử từ nhánh thứ hai, đường nhánh liền cạnh nối thơng với nhau tạo

thành một ngã ba hình chữ Y mới và cứ như thế các đường nhánh sẽ thơng
với nhau. Nếu vậy thì khi đến ngã ba thứ nhất nó có thể đi vào nhánh bên trái
hoặc nhánh bên phải rồi lại đến một trong hai đường rẽ tiếp theo. Tương tự
như vậy sau khi đến mỗi ngã rẽ con dê lại có hai lựa chọn. Cứ như vậy ta
được đường đi của con dê được minh hoạ như sau:
1
1
1
1
1
1


2

1

3
4

5

1

3
6

1
4

10

10

1
5

1

……………………………………………………………………

20



Ta thấy một bảng số tam giác có các số hai bên cạnh đều bằng 1, các số
còn khác đều bằng tổng hai số trên vai nó. Đó là việc cộng dồn các đường mà
dê có thể đi qua.
Năm 1653 ở châu Âu xuất hiện bảng số tam giác này, khi Pa-xcan
(1623-1662) viết bản thảo “Phép tình tốn theo bảng số tam giác” nhưng sau
khi ông mất được 3 năm thì sách này mới được in ra. Có thể thấy rằng, các số
ở các hàng là hệ số của các số hạng khai triển của một nhị thức Niu-tơn

a  b

n

, và các hệ số này được gọi là các hệ số nhị thức

cnm . Việc tìm ra các

hệ số nhị thức là công lao của Pa-xcan. Sau này, bởi vì Pa-xcan đã phát triển
nhiều tính chất và ứng dụng củ bảng số này nên các nhà toán học châu Âu và
một số nơi khác gọi bảng số này là tam giác Pa-xcan.
* Sự xuất hiện của lý thuyết xác suất.
Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ những bức thư trao đổi giữa
hai nhà toán học vĩ đại người Pháp Pa-xcan và Phéc-ma xung quanh cách giải
đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong trò chơi cờ bạc của một nhà quý tộc
Pháp đặt ra cho Pa-xcan đó là: Hai người chơi xúc sắc, mỗi người cần có một
số điểm để thắng cuộc. Nếu họ ngừng chơi trước khi kết thúc, thì các tiền đặt
cọc được phân chia giữa họ như thế nào ? Số điểm của mỗi người chơi được
chỉ ra khi anh ta ngừng chơi. Và bài toán đặt ra là xác định xác suất thắng
cuộc của mỗi người chơi tại một thời điểm đã cho của cuộc chơi. Người ta giả
thiết rằng các người chơi có một cơ may bằng nhau để được một điểm.

Lời giải của bài tốn khơng địi hỏi gì hơn sự hiểu biết thơng thường.
Tốn học xác suất can thiệp vào khi ta tìm ra một phương pháp để tính được
các trường hợp có thể, mà khơng cần thực sự đếm chúng. Điểm xuất phát của
lý thuyết xác suất là như thế
* Gần như chắc chắn có sự sống trên Sao Hỏa.
An: Theo bạn sự sống trên Sao Hỏa dưới dạng này hay dạng khác là bao nhiêu ?

21


Bình: Ừm, để mình nghĩ xem vì khơng có chút thơng tin nào về việc
này, mình phải cho rằng cũng có thể có mà cũng có thể khơng, như vậy xác
suất có sự sống và khơng có sự sống trên Sao Hỏa là bằng nhau và bằng
Như vậy xác suất có sự sống trên Sao Hỏa là

1
.
2

1
.
2

An: Tốt lắm! Bây giờ ta xét vấn đề ở khía cạnh khác nhé. Anh cho rằng
xác suất khơng có ngựa trên Sao Hỏa là bao nhiêu?
Bình: Theo sự thận trọng ở trên, mình cho rằng xác suất đó bằng

1
2


khơng hơn khơng kém.
An: Xác suất khơng có bị trên Sao Hỏa là bao nhiêu?
Bình: Cũng bằng

1
.
2

An: Xác suất khơng có chó trên Sao Hỏa là bao nhiêu?
Bình: Cũng bằng

1
.
2

Họ cứ như thế và đưa ra 17 giống vật nuôi khác nữa.
An: Tốt lắm! như vậy xác suất khơng có đồng thời ngựa, bị, chó và 17
giống vật ni khác đó trên Sao Hỏa là

1 1
1
  ...  : với 20 thừa số, tức là:
2 2
2

20

1
1
, anh có cơng nhận như vậy khơng?

  =
 2  1048576

Bình: Đúng như vậy, khơng có gì đáng nghi ngờ.
An: Cám ơn vậy thì xác suất khơng có giống nào trong các giống ấy là
1
, vậy xác suất có ít nhất một trong các giống ấy là bao nhiêu?
1048576

Bình: Là 1 

1
 0,9999 .
1048576

22


An: vậy thì xác suất có sự sống trên Sao Hỏa là 0,5 hoặc 0,9999. Một
trong hai kết quả đó là sai, Vậy có phải ngun nhân của tình trạng trên là sự
suy luận dựa trên cái không biết mà ra?
Hãy thử lý giải vấn đề trên!
* Nghịch lý Zenon thúc đẩy sự xuất hiện khái niệm giới hạn.
Zenon là một triết gia Hy Lạp ở một thành phố phía nam nước Ý. Thật
ra, không thể xếp ông vào hàng ngũ những nhà toán học thực sự thời cổ đại
nhưng ông là một trong những người đầu tiên của nhân loại nhận thức được
khái niệm chứng minh, ông được xem là người đầu tiên dùng lý luận và phản
chứng. Aristotle cho rằng ông là người sáng lập ra phép biện chứng. Các
nghịch lý sau đây của ông muốn dùng lý luận tốn học bác bỏ thì phải dùng
khái niệm giới hạn và chuỗi hội tụ ở thế XVIII mới lý giải, lý thuyết tập hợp

của Cantor (thế kỷ XIX) mới lý giải được.


Khơng thể có một chuyển động nào cả: Vì đường đi có thể chia

nhỏ vơ hạn (chia đơi mãi) nên cần vượt qua một tập hợp vô hạn các phần tử


nhỏ của con đường (thực chất là chưa hình dung được

1

2

k

 1 ).

k =1



Lực sĩ chạy nhanh A-sin trong thần thoại Hy Lạp người được

mệnh danh là có đơi chân chạy nhanh như gió khơng đuổi kịp con rùa: Vì Asin ln phải đạt tới các vị trí mà con rùa vừa đi qua (thực chất là chưa hình


dung được

k =1




1

2

k



n
).
n 1

Mũi tên khơng thể bay được nếu như thời gian được xem như là

tổng các khoảnh khắc ngắn ngủi mà trong mỗi khoảnh khắc đó mũi tên được
xem như là đứng yên.
* Toán học và thơ Xuân Diệu
Thầy giáo cho học sinh đề bài bình luận văn học “Hãy bình luận các
câu thơ sau đây của Xuân Diệu

23