BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG VŨ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ LŨY THỪA
CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI LỚP 6

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn

Phú Thọ, năm 2022


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
UBND TỈNH PHÚ THỌ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG VŨ

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ LŨY THỪA
CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI LỚP 6

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Tiến Trung

Phú Thọ, năm 2022

i

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu chuyên ngành Lý luận và
phƣơng pháp dạy học bộ môn Tốn tại Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng, tơi xin
chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong
khoa Khoa học tự nhiên và các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, để bản thân
tơi tích lũy đƣợc nhiều kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu và hồn thiện luận
văn. Đồng thời tơi xin cảm ơn sự hỗ trợ nhiệt tình của các thành viên lớp K5Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn tốn.
Đặc biệt, tơi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo: PGS.TS. Nguyễn Tiến
Trung đã hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt q trình nghiên cứu và hồn
thiện luận văn.
Dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Rất mong nhận đƣợc sự góp ý, chỉ dẫn của quý thầy cô giáo và các bạn đồng
nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện.
Xin trân trọng cảm ơn!
Phú Thọ, tháng 6 năm 2022
Tác giả

Nguyễn Thị Phƣơng Vũ


ii
LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là Nguyễn Thị Phƣơng Vũ, học viên cao học chuyên ngành: Lý
luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn, Trƣờng Đại học Hùng Vƣơng, khóa

học 2020 - 2022.
Tôi xin cam đoan: Luận văn này là cơng trình nghiên cứu thực sự của cá
nhân, đƣợc thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Tiến
Trung.
Luận văn tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả trình bày trong luận văn
đƣợc thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực, chƣa ai từng công bố
trƣớc đây.
Tơi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Phú Thọ, ngày 11 tháng 6 năm 2022
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Phƣơng Vũ


iii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................. i
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... ii
MỤC LỤC ..................................................................................................................... iii
DANH MỤC BẢNG ...................................................................................................... v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ................................................................................................ vi
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................... vii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ......................................................................................1
2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU ...............................................................................2
3. KHÁCH THỂ, ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU ................................2
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC...............................................................................3
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ...............................................................................3
6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.......................................................................3
7. Ý NGHĨA KHOA HỌC ......................................................................................4

8. CẤU TRÚC LUẬN VĂN ...................................................................................4
Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................5
1.1. Kĩ năng và rèn luyện kĩ năng ........................................................................... 5
1.2. Đặc điểm tâm sinh lý của HS khá và giỏi mơn tốn lớp 6 và vấn đề rèn
luyện kĩ năng cho học sinh. ................................................................................... 15
1.3. Chuyên đề toán lũy thừa (Toán lớp 6) ........................................................... 18
1.4. Thực trạng hoạt động rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy thừa cho HS khá
và giỏi lớp 6 tại một số trƣờng THCS trong huyện Thanh Ba, tỉnh Phú Thọ ....... 23
Chƣơng 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ
LŨY THỪA CHO HỌC SINH KHÁ VÀ GIỎI LỚP 6 ...................................32
2.1. Một số định hƣớng trong việc rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy thừa cho
HS khá và giỏi lớp 6.............................................................................................. 32
2.2. Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy thừa cho HS khá và
giỏi lớp 6 ............................................................................................................... 32
Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...........................................................72


iv
3.1. Mục đích, tổ chức thực nghiệm sƣ phạm ....................................................... 72
3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................... 73
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm ......................................................... 73
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 81
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................... 82
PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 1


v
DANH MỤC BẢNG

Bảng 3.1.Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm. ......................... 75

Bảng 3.2.Bảng phân bố tần số ghép lớp điểm kiểm tra sau thực nghiệm. .......... 75
Bảng 3.3.Bảng phân bố tần suất điểm kiểm tra sau thực nghiệm. ...................... 75
Bảng 3.4.Bảng phân bố tần suất ghép lớp điểm kiểm tra sau thực nghiệm. ....... 76
Bảng 3.5.Bảng phân bố tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm. ......................... 78


vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân phối điểm kiểm tra của hai lớp đối chứng và thực
nghiệm ................................................................................................................. 76
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ tần suất về điểm kiểm tra của hai nhóm đối chứng và
thực nghiệm ......................................................................................................... 77
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ tần số ghép lớp điểm kiểm tra của thực nghiệm ............... 77
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ tần số ghép lớp điểm kiểm tra của đối chứng ................... 78


vii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Chữ viết tắt

Nghĩa viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

HS


Học sinh

GV

Giáo viên

KN

Kĩ năng

NXB

Nhà xuất bản

TN

Thực nghiệm

THCS

Trung học cở sở

THPT

Trung học phổ thông

UCLN

Ƣớc chung lớn nhất



1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật giáo dục nƣớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam quy định:
“Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng
tạo của học sinh phù hợp với đặc trƣng từng môn học, lớp học và đặc điểm đối
tƣợng học sinh; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác,
khả năng tƣ duy độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực của ngƣời học;
tăng cƣờng ứng dụng công nghệ thơng tin và truyền thơng vào q trình giáo dục.”.
(Luật giáo dục 2019). Một trong những yếu tố góp phần thực hiện mục tiêu giáo dục
là rèn luyện kĩ năng cho ngƣời học trong học tập.
Quan điểm xây dựng chƣơng trình giáo dục phổ thơng tổng thể 2018 chỉ rõ:
“Chương trình giáo dục phổ thơng bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người
học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức, kĩ năng cơ bản, thiết thực,
hiện đại; hài hồ đức, trí, thể, mĩ; chú trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kĩ năng
đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống; tích hợp cao ở các lớp học
dưới, phân hố dần ở các lớp học trên; thông qua các phương pháp, hình thức tổ
chức giáo dục phát huy tính chủ động và tiềm năng của mỗi học sinh, các phương
pháp đánh giá phù hợp với mục tiêu giáo dục và phương pháp giáo dục để đạt được
mục tiêu đó”. (Chƣơng trình giáo dục phổ thơng tổng thể 2018)
Chƣơng trình giáo dục phổ thơng mơn tốn 2018 đã chỉ ra đặc điểm của mơn
tốn ở trƣờng phổ thơng: “Mơn Tốn ở trường phổ thơng góp phần hình thành và
phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học
sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải
nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán
học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Tốn học với các mơn học và hoạt động giáo
dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hố học, Sinh
học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM”. (Chƣơng trình giáo dục phổ

thơng mơn tốn 2018)
Trong tốn học, Bài tốn về lũy thừa rất đa dạng. Nó xuyên suốt chƣơng
trình học từ THCS lên THPT và các cấp học cao hơn. Khi học sinh có nền móng


2
vững chắc về kĩ năng giải bài toán này sẽ tạo cơ sở, tiền đề cho việc học tập tốt hơn
ở các cấp học cao hơn, năng lực của bản thân sẽ phát triển hơn. Kiến thức về lũy
thừa trong chƣơng trình THCS chủ yếu tập trung ở chƣơng trình lớp 6,7 lũy thừa
của số nguyên và số hữu tỷ.
Qua tìm hiểu về khung chƣơng trình và thời lƣợng giảng dạy tốn về lũy thừa
cho học sinh lớp 6, có thể thấy rằng lƣợng kiến thức cơ bản về lũy thừa đƣợc nêu ra
đầy đủ, tuy nhiên thời lƣợng dành cho nội dung này còn hạn chế, học sinh chƣa
thực sự có nhiều cơ hội để thực hiện giải thành thạo các dạng toán này, trong các đề
thi chọn học sinh giỏi toán lớp 6 chủ đề lũy thừa đƣợc lựa chọn đƣa vào với các bài
tốn hay và khó. HS vẫn còn lúng túng trong cách giải quyết các bài toán này, việc
rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kĩ năng giải các bài toán về lũy thừa chƣa đƣợc chú
trọng.
Hiện nay, chƣa có luận văn nghiên cứu chuyên sâu về rèn luyện kĩ năng giải
toán lũy thừa cho học sinh cấp THCS, nên tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng
giải toán về lũy thừa cho học sinh khá và giỏi lớp 6 ” để nghiên cứu.
2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Mục tiêu nghiên cứu là đề xuất những biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán
về lũy thừa cho HS khá và giỏi lớp 6 nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học.
3. KHÁCH THỂ, ĐỐI TƢỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Khách thể, đối tƣợng nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy và học chủ đề lũy thừa cho HS khá và
giỏi ở lớp 6.
Đối tƣợng nghiên cứu là quá trình hình hành kĩ năng giải toán về lũy thừa
cho HS khá và giỏi lớp 6

3.1. Phạm vi nghiêm cứu
Các nghiên cứu khảo sát đƣợc tiến hành trên phạm vi các trƣờng trung học
cơ sở hiện nay, đơn cử là các trƣờng THCS thị trấn Thanh Ba 1, THCS Đồng Xuân,
THCS thị trấn Thanh Ba 2.


3
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu tăng cƣờng rèn luyện kĩ năng giải toán theo một số bƣớc giải toán đƣợc
đề xuất của Polya đồng thời phối hợp việc rèn luyện kĩ năng sử dụng máy tính điện
tử cho học sinh thì có thể góp phần phát triển kĩ năng giải toán cho học sinh khá
giỏi lớp 6, nâng cao hiệu quả dạy và học mơn Tốn.
5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải tốn và quy trình giải tốn
của G.Polya đề xuất.
- Nghiên cứu thực trạng kĩ năng giải toán của HS khi học các bài toán về lũy
thừa ở lớp 6.
- Phân loại đƣợc các dạng toán về lũy thừa và đƣa ra gợi ý về cách giải bài
toán về lũy thừa thơng qua các ví dụ đồng thời rèn cho HS định hƣớng tìm lời giải.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
phƣơng pháp rèn luyện kĩ năng giải các dạng toán về lũy thừa cho HS khá và giỏi lớp
6.
6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong nghiên cứu này, các phƣơng pháp nghiên cứu định tính và định lƣợng
đƣợc sử dụng. Cụ thể có thể phân loại nhƣ sau:
6.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài
nghiên cứu, các tài liệu tham khảo liên quan đến môn học.
- Nghiên cứu các vấn đề đổi mới phƣơng pháp dạy học.
- Nghiên cứu về rèn luyện kỹ năng giải toán, dạy học giải bài tập toán.

6.2. Phƣơng pháp điều tra và khảo sát thực tiễn
- Trao đổi với GV có nhiều kinh nghiệm trong việc tổ chức các hoạt động
dạy học chủ đề các bài toán về lũy thừa.
- Sử dụng phiếu điều tra để khảo sát thực trạng dạy và học giải toán về lũy
thừa cho HS khá và giỏi lớp 6 tại một số trƣờng THCS tại huyện Thanh Ba, tỉnh
Phú Thọ để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.


4
6.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm xây dựng phiếu học tập trong chủ đề giải tốn
về lũy thừa để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
7. Ý NGHĨA KHOA HỌC
7.1. Về mặt lý luận
- Góp phần làm rõ thêm một số vấn đề cơ bản về kĩ năng, rèn luyện kĩ năng,
kĩ năng giải toán, kĩ năng giải các bài toán về lũy thừa, cơ bản dựa trên quy trình
giải tốn do G.Polya đề xuất.
- Đề xuất đƣợc một số phƣơng pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy thừa
cho HS khá và giỏi lớp 6.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Chỉ rõ các kĩ năng cơ bản giải toán về lũy thừa cho HS lớp 6
- Đề xuất đƣợc một số giải pháp cụ thể vận dụng rèn luyện kĩ năng giải toán
lũy thừa cho HS khá và giỏi lớp 6.
8. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn gồm ba chƣơng
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh
khá và giỏi lớp 6
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm



5
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và rèn luyện kĩ năng
1.1.1. Kĩ năng
Kĩ năng là một thuật ngữ bao gồm kiến thức, năng lực và khả năng để thực
hiện các nhiệm vụ. Các kĩ năng đƣợc phát triển thông qua kinh nghiệm sống và làm
việc, chúng cũng có thể rèn luyện đƣợc thơng qua học tập. Có nhiều loại kĩ năng
khác nhau, với một số ngƣời một số kĩ năng có thể đƣợc dễ dàng tiếp cận hơn
những kĩ năng khác, dựa trên những thứ nhƣ sự khéo léo, khả năng thể chất và trí
thơng minh.
Theo từ điển Tiếng Việt “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu
nhận đƣợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” (Viện ngơn ngữ học 2005, tr.
426). Theo Nguyễn Quang Cẩn (2005, tr. 149), “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ
kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận
hay thực hành xác định”. Theo Lê văn Hồng (2001, tr 131), “Kĩ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phƣơng pháp) để giải quyết một nhiệm
vụ mới”.
Nhƣ vậy, các quan niệm khác nhau về kĩ năng vẫn chỉ ra một số đặc điểm
chung nhƣ sau: Các khái niệm kĩ năng nêu ở trên đều thống nhất quan điểm kĩ năng
là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phƣơng pháp…) để giải
quyết một nhiệm vụ. Vì vậy, mặc dù có nhiều định nghĩa khác nhau về kĩ năng
nhƣng đều có một quan điểm chung đó là kĩ năng đƣợc hình thành khi chúng ta đem
những kiến thức, hiểu biết mình có đƣợc để áp dụng vào thực tế.
Hình thành kĩ năng là hình thành cho HS nắm vững một hệ thống các thao
tác nhằm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, nhiệm vụ và
đối chiếu với những hành động cụ thể.

Để hình thành đƣợc kĩ năng, trƣớc tiên HS cần phải có kiến thức làm cơ sở
cho sự hiểu biết, từ đó luyện tập riêng rẽ từng thao tác một cho đến khi thực hiện


6
hành động đúng mục đích và u cầu. Q trình thực hiện các hoạt động để giải
quyết nhiệm vụ đặt ra sẽ hình thành nên kĩ năng.
Kĩ năng thƣờng đƣợc hình thành theo quy luật nhất định, thƣờng bắt đầu từ
việc nhận thức và kết thúc là biểu hiện cụ thể.
Theo Bùi Văn Nghị (2016), Quá trình hình thành kĩ năng ở HS gồm năm giai
đoạn:
Giai đoạn 1: “Giai đoạn có kĩ năng sơ đẳng. Ở giai đoạn này con ngƣời ý
thức đƣợc mục đích hành động và tìm kiếm các hành động dựa trên vốn hiểu biết và
kĩ xảo đời thƣờng. Hành động đƣợc thực hiện theo cách “thử” và sai”.
Giai đoạn 2: “Giai đoạn biết cách làm nhƣng khơng đầy đủ, ở giai đoạn này,
con ngƣời có hiểu biết về cách thức thực hiện hành động, sử dụng các kĩ xảo đã có
nhƣng khơng phải là kĩ xảo chuyên biệt dành cho hành động này”.
Giai đoạn 3: “Giai đoạn có những kĩ năng chung nhƣng mang tính chất riêng
lẻ. Trong giai đoạn này, con ngƣời có hàng loạt kĩ năng phát triển cao nhƣng cịn
mang tính chất riêng lẻ, các kĩ năng này cần các dạng hoạt động khác nhau. Chẳng
hạn: nhƣ trong dạy học có kĩ năng lập kế hoạch giảng dạy, kĩ năng thiết kế bài
giảng..”
Giai đoạn 4: “Giai đoạn có kĩ năng phát triển cao; ở giai đoạn này, con ngƣời
biết sử dụng sáng tạo vốn hiểu biết và kĩ xảo đã có. Họ khơng chỉ ý thức đƣợc mục
đích hành động mà cịn ý thức đƣợc cả động cơ lựa chọn cách thức để đạt đƣợc mục
đích”.
Giai đoạn 5: “Giai đoạn có tay nghề, trong giai đoạn này thì con ngƣời biết
sử dụng một cách thành thạo, có sáng tạo đầy triển vọng các kĩ năng khác nhau.
Đây là giai đoạn cao nhất của sự phát triển”.
Do đó, kĩ năng sẽ đƣợc hình thành thơng qua luyện tập. Khi hình thành kĩ

năng cho HS, trƣớc tiên GV cần trang bị cho HS tri thức về kĩ năng và tiến hành
một số nội dung nhƣ sau:
- Hƣớng dẫn, gợi ý HS phân tích dữ kiện của bài toán, xác định phƣơng
hƣớng và bƣớc đi để giải bài tốn. Từ đó tìm đƣợc hƣớng giải quyết, cơng cụ thích
hợp để giải bài tốn.


7
- Hƣớng dẫn HS phân tích đƣợc nguồn gốc của giả thiết, các điều kiện đã
cho của bài toán thậm chí cả kết quả của bài tốn để phát hiện ra mối liên hệ giữa
các điều đã cho và yêu cầu của bài tốn.
- Hƣớng dẫn, hỗ trợ HS hình thành một mơ hình khái qt để giải bài tốn,
các đối tƣợng cùng loại.
- Gợi ý, hƣớng dẫn HS khái qt hóa bài tốn dựa trên kết quả vừa đạt đƣợc
và sáng tạo ra các bài tốn tƣơng tự.
Ví dụ: Khi hình thành kĩ năng giải tốn về lũy thừa cho HS, GV có thể thực
hiện biện pháp: Rèn luyện cho HS khả năng phân tích đề, xây dựng các phiếu bài
tập, cho HS rèn luyện các kĩ năng nhận dạng các loại bài tốn: Tính tốn, so sánh,
chứng minh chia hết, tìm chữ số tận cùng, ứng dụng thực tế. Từ kết quả của các bài
toán cụ thể khái qt hóa bài tốn, tìm ra những bài tốn mới vận dụng các kết quả
đó.
Việc hình thành kĩ năng cho HS là rất quan trọng. Nó góp phần tạo nên thói
quen học tập tích cực cho học sinh. Nhƣ vậy HS sẽ chủ động trong hoạt động học
của mình hồn thành đƣợc mục tiêu kế hoạch giảng dạy của GV.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích những kiến thức và kinh
nghiệm đã có vào giải những bài tốn cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống
hành động giải tốn để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học.
Kĩ năng giải toán đƣợc chia thành năm thành phần:
•


Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài tốn

•

Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lƣợc giải, hƣớng giải cho bài tốn

•

Kĩ năng trình bày lời giải bài tốn

•

Kĩ năng kiểm tra, đánh giá q trình giải bài tốn

•

Kĩ năng nghiên cứu kết quả bài toán

Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành KN cho HS, khó có thể phân chia đƣợc
rạch rịi theo các giai đoạn nói trên. Chẳng hạn khi khai triển hành động giải toán,
HS chƣa hẳn đã nắm vững kiến thức về hành động đó, mà chính trong quá trình
thực hiện hành động, các em dần nắm vững các kiến thức cần thiết. Chứng tỏ


8
giữa kiến thức và KN là hai mặt không thể tách rời của hành động học. Lí luận dạy
học cũng xác định cách dạy của GV sẽ ảnh hƣởng sâu sắc đến cách học của HS.
Nhƣ vậy cách học của HS chịu ảnh hƣởng sâu sắc bởi cách dạy của GV. Cũng nhƣ
các KN khác, KN giải toán cũng đƣợc hình thành qua bắt chƣớc và rèn luyện.

Để KN giải tốn đƣợc rèn luyện và vận dụng trong q trình nhận thức, trƣớc
hết HS phải thấy rõ tác dụng của những KN thành phần, mối quan hệ giữa chúng
trong việc giải quyết một bài tốn cũng nhƣ qui trình thực hiện.
Kĩ năng giải toán đƣợc chia thành ba mức độ:
- Mức độ biết làm: HS vận dụng đƣợc kiến thức đã học để giải quyết các bài
toán cơ bản nhƣ: Viết chính xác cơng thức, kí hiệu tốn học, giải đƣợc các bài toán
theo mẫu...
- Mức độ thành thạo: HS vận dụng đƣợc kiến thức đã học để giải quyết bài tốn
tƣơng tự nhanh, chính xác, giải quyết bài tốn tổng hợp.
- Mức độ linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo: HS tìm nhiều phƣơng án giải quyết bài
tốn, chuyển hóa vấn đề khéo léo và cách giải quyết vấn đề độc đáo.
1.1.3. Quy trình giải tốn của G.Polya
Trên thế giới, nhiều nhà khoa học, nhà nghiên cứu đã có các cơng trình khoa
học, các bài báo đề cập đến vấn đề kĩ năng giải toán cho HS:
Đầu tiên phải kể đến là những nghiên cứu về q trình giải tốn và q trình
sáng tạo tốn học rất nổi tiếng của Nhà toán học ngƣời Hungary: G. Polya, đƣợc
đúc kết trong ba bộ sách: How to Slove it? (Giải một bài toán nhƣ thế nào?),
Mathematical Discovery (Sáng tạo toán học) và Mathematics and Plausible
Reasoning (Tốn học và những suy luận có lí)
Theo tƣ tƣởng sƣ phạm của G.Polya, Thầy giáo muốn phát triển khả năng
giải tốn của HS thì phải khiến cho HS thích thú những bài tốn và đảm bảo cho các
em thật nhiều điều kiện học hỏi (Bắt chƣớc) và thực hành. Phƣơng pháp chung để
giải một bài toán thực hiện theo quy trình bốn bƣớc: tìm hiểu bài tốn, xây dựng
chƣơng trình giải bài tập tốn, trình bày lời giải và nghiên cứu, phân tích bài giải.
Trong quy trình bốn bƣớc giải tốn của G.Polya, đối với mỗi học sinh đều
rèn luyện kĩ năng giải toán 3 bƣớc đầu. HS khá và giỏi ngoài việc thành thạo ba


9
bƣớc đầu sẽ thực hiện tiếp bƣớc thứ 4. Tuy nhiên để rèn luyện tốt kĩ năng giải toán

cho HS ngồi việc thực hiện quy trình bốn bƣớc giải tốn của Polya, chúng ta phải
rèn cho HS cách giải các bài tốn hay và khó, nhận dạng bài tốn và vận dụng các
kết quả đạt đƣợc trong quá trình rèn luyện kĩ năng để hồn thành tốt các bài tốn
liên quan và vận dụng vào giải các bài toán thực tế.
Quy trình 4 bƣớc giải tốn của Polya nhƣ sau:
Bƣớc 1. Tìm hiểu bài tốn. Xuất phát từ u cầu của bài tốn, phân tích các
dữ kiện đề bài đƣa ra và dựa vào kiến thức đã học để tìm ra ý tƣởng giải quyết bài
toán.
Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải bài tốn. Từ kết quả của bƣớc 1, suy
luận, sắp xếp lại các bƣớc giải bài toán.
Bƣớc 3. Trình bày lời giải. Dựa vào chƣơng trình giải tốn của bƣớc 3, thực
hiện trình bày lời giải của bài tốn
Bƣớc 4. Nghiên cứu phân tích lời giải. Trả lời các câu hỏi liên quan đến bài
giải dựa trên một số gợi ý nhƣ sau: - “Có cách giải khác khơng?”; - “Có thể thỏa
mãn điều kiện của bài tốn khơng?”; - “Phát biểu bài tốn theo hình thức khác đƣợc
khơng?”; - “Có thể sử dụng kết quả tìm đƣợc của bài tốn khơng?”...
Ví dụ Chứng minh rằng: A = 5 + 52 + 53+....+521 khơng phải là số chính phƣơng
Bƣớc 1. Tìm hiểu bài tốn
GV đặt câu hỏi để học sinh phân tích tìm hiểu nội dung bài tốn
- Đây là bài tốn dạng gì? Bài tốn chứng minh
- Số chính phƣơng là số nhƣ thế nào? Bình phƣơng của một số tự nhiên
- Tổng A có tính đƣợc khơng? Có A = A =

- Nếu A là số chính phƣơng thì A đƣợc biểu diến nhƣ thế nào? A = m2 (m
= m2

)


10

- Dựa vào

= m2 có thể chỉ ra đƣợc khơng có giá trịnh của số tự nhiên m

thỏa mãn khơng? Có thể biến đổi

= m2

522 – 5 = 4m2

522 – 5 = (2m)2
Nhƣ vậy 522 – 5 phải là số chính phƣơng
Mà (511 – 1)2 < 522 – 5 < (511)2
Nên 522 – 5 khơng phải là số chính phƣơng hay khơng có giá trị m thỏa mãn.
Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải bài tốn.
Tính tổng A = 5 + 52 +53 +....+521
Giả sử A là số chính phƣơng, A = m2 chỉ ra không tồn tại m
Sử dụng tính chất khơng tồn tại số chính phƣơng kẹp giữa bình phƣơng của
hai số tự nhiên liên tiếp.
Bƣớc 3. Trình bày lời giải.
Ta có A = 5 + 52 +53 +....+521
5A = 52 + 53 +54 +....+522
5A– A = (52 + 53 +54 +....+522) – (5 + 52 +53 +....+521)
4A = 522 – 5
A=
Giả sử A là số chính phƣơng tồn tại m
Khi đó

= m2


522 – 5 = 4m2
522 – 5 = (2m)2

sao cho A = m2


11
(511)2 – 5 = (2m)2
Mặt khác ta có (511 – 1)2 < 522 – 5 < (511)2
(511 – 1)2 < (2m)2 < (511)2 (Vơ lý vì khơng tồn tại một số
chính phƣơng ở giữa bình phƣơng của hai số tự nhiên liên tiếp)
Vậy A = 5 + 52 +53 +....+521 khơng phải là số chính phƣơng.
Bƣớc 4. Nghiên cứu và phân tích lời giải.
GV hƣớng dẫn HS nghiên cứu phân tích bài tốn bằng cách đặt ra một số câu
hỏi sau?
(1) Nếu A = 5 + 52 +53 +....+522 thì có áp dụng đƣợc các giải trên khơng?
(2) Bài tốn có cách giải khác khơng?
(3) Kết quả của bài tốn cịn đúng khơng nếu thay số 21 trong A bằng số tự
nhiên bất kỳ?
Với câu hỏi (1) Nếu A = 5 + 52 +53 +....+522 áp dụng cách giải trên có 523 –
5 = (2m)2 việc tìm ra hai số tự nhiên liên tiếp để (2m)2 nằm giữa bình phƣơng của
chúng sẽ gặp khó khăn.
Với câu hỏi (2) bài tốn có cách giải khác dựa vào tính chất của số chính
phƣơng
Nếu A là số chính phƣơng A m (m

) thì A m2

Do đó nếu A m mà A khơng chia hết cho m2 thì A khơng phải là số chính
phƣơng.

Nhận xét: A = 5 + 52 +53 +....+521 chia hết cho 5
Mà

A = 5 + 52 +53 +....+521 = 5.(1 + 5+ 52 + ...+ 520)
(1 + 5+ 52 + ...+ 520) không chia hết cho 5

Suy ra A không chia hết cho 52


12
Vậy A khơng phải là số chính phƣơng.
Với câu hỏi số (3) dựa vào cách giải mới ta có thể kết luận
A = 5 + 52 +53 +....+5n không là số chính phƣơng với mọi số tự nhiên n > 0
Ví dụ thể hiện các bƣớc chi tiết giải một bài tốn liên quan đến lũy thừa theo
quy trình giải toán của Polya. Khi học sinh rèn luyện đƣợc rõ ràng và đầy đủ các
bƣớc nhƣ trên thì việc giải toán của HS sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn, HS sẽ tích lũy
đƣợc nhiều kinh nghiệm để áp dụng vào giải quyết các vấn đề trong quá trình học
của mình khơng chỉ riêng mơn tốn mà tất cả các mơn học và các tình huống trong
thực tế.
Tiếp theo, Tác giả Alan H. Schoenfeld với cuốn Mathematical Problem
Solving nghiên cứu về bản chất của tƣ duy ở nhiều cấp độ, kĩ năng tƣ duy bậc cao,
trọng tâm của cuốn sách là phân tích hành vi giải quyết những vấn đề phức tạp. Các
tác phẩm: Learning to think mathematically, make mathematics work for all
children, powerful learning, Reflections on doing and teaching mathematics đều là
những cuốn sách hữu ích cho GV trong quá trình giảng dạy cho học sinh, khi tìm
hiểu về những cuốn sách này GV khơng chỉ tích lũy cho mình kiến thức lý luận về
dạy học mà cịn có rất nhiều những tình huống thực tế đƣợc phân tích cụ thể để GV
học tập và chuyển đổi thành phƣơng pháp dạy học riêng cho mình.
1.1.4. Rèn luyện kĩ năng giải tốn
Trong nƣớc, có nhiều tác giả nghiên cứu về phƣơng pháp dạy học mơn tốn

và kĩ năng giải tốn, một trong số đó có thể kể đến các ấn phẩm sau: Nguyễn Bá
Kim, Vũ Dƣơng Thụy (2000); Bùi Văn Nghị (2008) đã phân tích một cách cụ thể
các phƣơng pháp dạy học vận dụng trong các nội dung cụ thể để GV tham khảo,
vận dụng trong quá trình giảng dạy mơn tốn cho HS đạt hiệu quả cao, trong đó có
đề cập tới việc phát triển các kĩ năng giải toán cho học sinh. Nghiên cứu của Lê
Anh Quân (2011); Nguyễn Thị Thanh Thủy (2010); … đã đƣa ra các biện pháp rèn
luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các chủ đề khác nhau nhƣ hàm số
luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit; giải toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất cho đối tƣợng học sinh khá giỏi.


13
Rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS, GV phải rèn luyện cho học sinh hai kĩ
năng: tìm lời giải và giải bài toán. Tùy từng yêu cầu của bài tốn, việc rèn luyện kĩ
năng giải tốn có thể tiến hành đồng thời cả hai nội dung trên, cũng có thể tách biệt
thành hai quá trình riêng biệt. GV cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội
dung, từ đó có kế hoạch để rèn luyện cho HS kĩ năng giải toán trên hai phƣơng diện
đã nêu.
Trong giảng dạy, rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS, Giáo viên cần bồi
dƣỡng cho HS theo các mức độ của kĩ năng giải toán từ mức độ biết làm đến mức
độ linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo. Đối với HS khá và giỏi, GV chú trọng rèn luyện
nhiều ở hai mức độ thành thạo tiếp đến linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo nhƣ vậy sẽ
kích thích học sinh có hứng thú học tập và tiếp cận đƣợc nội dung kiến thức sâu
rộng hơn.
Ví dụ 1. Rèn luyện kĩ năng ở mức độ biết làm.
Rút gọn A =
Khi đọc yêu cầu của bài toán này, HS sẽ nhận biết đƣợc sử dụng các phép
toán về lũy thừa để biến đổi rút gọn biểu thức A
Ta có A =


=

=

=

= 122 = 144

Vậy A = 144
Ví dụ 2. Rèn luyện kĩ năng ở mức độ thành thạo.
So sánh: 236 và 88
Với yêu cầu của bài toán này, cấu tạo của lũy thừa bao gồm hai thành phần
cơ số và số mũ, khi HS nắm vững kiến thức lập tức có thể nhận thấy cách giải của
bài này là đƣa hai lũy thừa về cùng cơ số hoặc số mũ sau đó so sánh yếu tố còn lại.
Cụ thể:
Hƣớng 1. Đƣa hai lũy thừa đó về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8 rồi so sánh số mũ.
Ta có: 236 = (23)12 = 812
Mà 88 < 812
Suy ra 88 < 236
Hƣớng 2. Đƣa hai lũy thừa về cùng số mũ 4 = UCLN(36;8)


14
Ta có: 236 = (29)4 = 5124; 88 = (82)4 = 644
Mà 512 > 64 nên 236 > 88
Vậy 236 > 88
Ví dụ 3. Rèn luyện kĩ năng ở mức độ linh hoạt, mềm dẻo, sáng tạo.
Cho S = 41 + 42 +...+496, Chứng minh S chia hết cho 2,3,4,5,6,7.
Trong bài này, việc chứng minh S chia hết cho 2 và 4 căn cứ vào từng số
hạng của biểu thức là 4n luôn chia hết cho 2,4 nên rất dễ dàng tìm ra; tiếp theo để

chứng minh S chia hết cho 3,5,6,7 chúng ta phải tìm cách biết đổi, xâu chuỗi với
các tính chất đã học: Dùng nhóm, phân tích S thành nhân tử trong S chứa hạng tử
chia hết cho các số đấy
Nhóm hai số hạng để chứng minh S chia hết cho 5
S = (41 +42)+.....+(495 + 496) = 4.5+....+495.5 = 5.(4+.....+495)
S chia hết cho 5
Nhóm 3 số hạng để chứng minh S chia hết cho 3 và 7
S = (41 +42 + 43)+......+ (494+ 495 + 496) = 4.(1+4+42)+......+494.( 1+4+42)
= 21.4+......+21.494 = 21.(4+...+494)
S chia hết cho 3 và 7
Để chứng minh S chia hết cho 6, HS phải biết sử dụng thêm kiến thức một số
chia hết cho hai số ngun tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
UCLN(a,b) = 1, m chia hết cho cả a và b thì m chia hết cho tích a.b
UCLN(2,3) = 1, S chia hết cho cả 2 và 3 thì m chia hết cho tích 2.3 = 6
Sau khi hoàn thiện xong nhiệm vụ của bài tập, giáo viên đặt ra một số tình
huống để mở rộng bài tốn.
Tình huống 1. Lũy thừa của 4 đảm bảo u cầu gì thì bài tốn vẫn đúng?
Bài này việc ghép đƣợc hai, ba số hạng trong S thì số mũ của S tối thiểu phải
thỏa mãn chia hết cho cả hai và ba. Vậy với số mũ có dạng 6k thì bài tốn vẫn đúng
Tình huống 2. Ngồi các số này ra S có thể chia hết cho các số nào khác khi ta có
thể nhóm 4,5,... số hạng.
S = (41 + 42 + 43+ 44) +.......+ (493 + 494 + 495 + 496)
= 4.(1+4+42+43) +......+ 493.( 1+4+42+43)


15
= 85.(4+....+493) = 5.17.(4+....+493)
Vậy S chia hết cho 17 và 85.
Khi rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy thừa cho HS lớp 6, giáo viên giữ vai
trò hƣớng dẫn, hỗ trợ để HS tìm hiểu và chiếm lĩnh đƣợc nội dung kiến thức cơ bản

về khái niệm lũy thừa, các phép tốn và các phép biến đổi, từ đó giải quyết đƣợc
các bài tốn về lũy thừa.
Tóm lại, muốn rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS, nhiệm vụ đầu tiên của
GV là phải trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản, khơi nguồn cảm hứng, tạo
sự hứng thú cho HS, dẫn dắt HS từ những nhiệm vụ đơn giản đến các nhiệm vụ
phức tạp hơn trên cơ sở kích thích sự tị mị muốn tìm hiểu, khám phá và giải quyết
vấn đề của HS. Trong quá trình thực hiện đó kĩ năng giải tốn của HS sẽ hình thành.
1.2. Đặc điểm tâm sinh lý của HS khá và giỏi mơn tốn lớp 6 và vấn đề rèn
luyện kĩ năng cho học sinh.
1.2.1. Đặc điểm tâm sinh lý của HS khá và giỏi mơn tốn lớp 6
Theo nhà tâm lí học ngƣời Thụy Sĩ Jean Piaget, giai đoạn trẻ từ 11 đến 15
tuổi là giai đoạn thao tác hình thức hay tƣ duy logic. Nhƣ vậy, Đối với HS cấp
THCS (giai đoạn từ 11 đến 15 tuổi), các em có khả năng khái quát các ý tƣởng và
cấu trúc các vấn đề trừu tƣợng. HS có khả năng đƣa ra kết luận dựa vào những giả
thuyết hơn là dựa hồn tồn vào quan sát thực tế. Trí tuệ của chúng đã đạt mức phát
triển hoàn chỉnh.
Học sinh học khá và giỏi mơn tốn thì bản thân các em cũng có tố chất cơ
bản về tốn học, nhƣ là: thơng minh, tƣ duy lơgic tốt, u thích tốn học, có khả
năng phân tích, suy luận, xâu chuỗi các sự kiện...
Trong quá trình dạy học, GV cần quan sát, đánh giá khách quan để phát hiện
các HS học khá và giỏi mơn tốn, từ đó chúng ta có những biện pháp để bồi dƣỡng
và phát triển năng lực toán học cho các em.
Chúng ta có thể nhận biết học sinh khá và giỏi mơn tốn thơng qua một số
đặc điểm sau:


16
- Trong quá trình học, HS nhận thức rất nhanh, tự chủ đƣợc kiến thức của
mình, có khả năng vận dụng linh hoạt cách giải của bài toán này sang các bài tốn
khác tƣơng tự, có khả năng tìm lời giải nhanh, ngắn gọn.

- Khi gặp một bài tốn khó, học sinh rất có hứng thú, chăm chú suy nghĩ giải
quyết nó. Nếu chƣa tìm ra lời giải thì bàn luận với bạn bè, tham khảo tài liệu, sự
gợi ý của thầy cô để giải quyết đƣợc vấn đề của mình. Và đặc biệt học sinh khơng
dừng lại ở việc hiểu bài mà cịn muốn tìm ra những cách giải khác với cách giải
chung.
- Học sinh khá và giỏi toán có cách suy luận logic, chặt chẽ, giải quyết vấn
đề độc đáo, sáng tạo. Bản tính này cũng đƣợc vận dụng trong việc phân tích và giải
quyết các vấn đề ở các môn học khác hay các sự việc xảy ra trong đời sống.
- Học sinh khá và giỏi môn tốn có chút hiếu thắng, tính cách hơi khơ khan
và đơi khi có tính bảo thủ. Các em có tính ganh đua trong học tập, luôn cố gắng giải
quyết bài tập nhanh, tìm ra cách giải khác với các bạn và thầy cô.
Mục tiêu của rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS là rèn cho HS từ các kĩ năng
cơ bản đến kĩ năng nâng cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ giải quyết các bài toán
đơn lẻ đến các bài toán tổng hợp. Rèn cho HS từ bắt chƣớc đến đến thành thục và
trở thành kĩ năng, kĩ sảo khi thực hiện giải một bài toán. Và đặt biệt khi rèn luyện kĩ
năng giải toán cho một chuyên đề, chúng ta chia chuyên đề đó thành những chủ đề
nhỏ và rèn luyện kĩ năng giải quyết từng chủ đề nhỏ khi đó chúng ta sẽ có kĩ năng
giải toán cho cả chuyên đề.
Đối với học sinh khá và giỏi toán lớp 6, Việc rèn luyện kĩ năng giải tốn nói
chung và kĩ năng giải tốn về lũy thừa nói riêng là rất cần thiết. Nó khơng những
củng cố kiến thức cho học sinh mà còn tăng khả năng vận dụng kiến thức vào giải
quyết các bài tập cụ thể, các bài toán thực tế. Rèn luyện kĩ năng giải toán về lũy
thừa cho học sinh khá và giỏi lớp 6, ngồi việc rèn luyện việc phân tích bài tốn,
tìm lời giải, chúng ta phải rèn cho HS khả năng nhận dạng các bài tập về lũy thừa,
khả năng phân tích, khái qt bài tốn, khả năng vận dụng bài toán trong thực tế.
1.2.2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS khá và giỏi lớp 6