TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

PHÚ THỌ - 2014

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài khóa luận
Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng
nhiều trong tốn học và nhiều bộ môn khoa học khác. Ma trận là công cụ để
nghiên cứu lí thuyết về hệ phương trình tuyến tính. Nhờ có ma trận mà các ánh
xạ tuyến tính được nghiên cứu sâu sắc hơn. Ngồi ra, ma trận cịn giúp cho việc
xác định được giá trị riêng, vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính, xác định
những dạng ánh xạ tuyến tính đặc biệt. Ma trận được dùng để giải các bài tốn
về hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính hệ số là hằng số.
Định thức có vai trị rất to lớn, nó là phương tiện để nghiên cứu khơng
gian vectơ. Đặc biệt, định thức có ứng dụng quan trọng trong việc giải và biện
luận các hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng của ma trận. Định thức cịn được
ứng dụng trong nhiều bộ mơn khoa học khác: Hình học, Giải tích, Vật lý...
Các dạng bài tập về ma trận và định thức được đề cập trong tất cả các
giáo trình Đại số tuyến tính [1], [2], [5], [6] đây là nội dung cơ bản nhưng rất
quan trọng ở bậc Đại học. Nhưng các tài liệu này đa số chỉ dừng lại ở việc giải
bài toán mà hạn chế trong việc khai thác lời giải bài toán. Việc khai thác bài
toán thể hiện sự sáng tạo và hiểu sâu hơn lời giải một bài toán. Hiện nay, số tài

liệu viết về giải và khai thác không nhiều thường tập trung ở toán sơ cấp chẳng
hạn tài liệu [4] đề cập đến việc giải và khai thác các bài toán sơ cấp dành cho
bồi dưỡng giáo viên trung học cơ sở.
Nhằm mục đích hiểu sâu sắc hơn về ma trận và định thức chúng tôi chọn
vấn đề “Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức” làm
nội dung nghiên cứu trong khóa luận.
2. Mục tiêu khóa luận
Phân loại, trình bày hệ thống lời giải và đưa ra hướng khai thác một số
dạng bài tập về ma trận, định thức.

2


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu những kiến thức cơ bản về ma trận và định thức như các
phép tốn, hạng, cách tính định thức...
 Phân loại các dạng bài tập về ma trận và định thức và trình bày lời giải
cho các dạng bài tập.
 Đưa ra hướng khai thác, đề xuất bài toán mới từ bài toán cho trước
trong mỗi dạng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Dựa vào các khái niệm, kiến thức về không gian vectơ, hệ sinh, cơ sở, đồng
cấu trong khóa luận nêu ra các phương pháp để giải các bài toán về ma trận và
định thức:
 Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp.
 Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức.
 Tìm ma trận nghịch đảo dựa vào tính chất nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính.
 Khai triển định thức theo định lý Laplace.
 Đưa định thức về dạng tam giác, phương pháp quy nạp.

 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng hoặc tích các định thức.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu: ma trận và định thức
 Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời
giải bài toán về ma trận, định thức mà phần tử thuộc các trường số
, ... .

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận
và định thức đồng thời phân dạng bài tập cơ bản liên quan đến ma trận, định
thức và giải các bài tập đó. Thơng qua đó, khai thác lời giải từ những bài toán

3


cụ thể. Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên có hứng thú
nghiên cứu các dạng bài tập về ma trận và định thức.
7. Bố cục của khóa luận
Ngồi phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận được
chia thành 3 chương.
Chương 1: Lý thuyết về ma trận.
Chương 2: Lý thuyết về định thức.
Chương 3: Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức.

4


CHƯƠNG 1.
LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về ma

trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ, mối liên hệ giữa ma
trận và ánh xạ tuyến tính, các tính chất, các dạng ma trận.
1.1. Phép tính ma trận
1.1.1. Khái niệm ma trận
Cho n, p

*

, K là một trường.

Định nghĩa 1.1. [9]
Ánh xạ A : 1,, n  1,, p  K

 i, j   aij

(hoặc aij )

được gọi là ma trận n dòng p cột với phần tử (hạng tử) thuộc K . Ký hiệu:

A   a ij 1 i  n   a ij 
1 j  p

1  i  n ,1  j  p

 a11

  
 a
 1






a1 p 

 
a n p 

Ở đây, các chỉ số ngồi dấu ngoặc theo thứ tự chỉ dịng và cột.
Cặp  n, p  được gọi là cấp của ma trận A , n là số dòng, p là số cột của A .
Với  i, j    1, ,n 

 1, ,p , số hạng

aij nằm ở dòng thứ i và cột thứ j

được gọi là hạng tử (hoặc hệ số) tại vị trí  i, j  của A .
Ta nói rằng:


A là một ma trận vuông khi và chỉ khi n  p , khi đó ta nói A là một

ma trận vng cấp n .


A là một ma trận cột (hay ma trận một cột) khi và chỉ khi p  1 .




A là một ma trận dòng (hay ma trận một dòng) khi và chỉ khi n  1 .

5


Nếu A   aij 
là ma trận vuông cấp n , các cấp aii 1  i  n  được gọi là
1i , j n
các phần tử chéo của A và  a11,...., ann  được gọi là đường chéo của A .
M n , p  K  là tập các ma trận n dòng, p cột và với phần tử thuộc K .
M n  K   M n ,n  K  là tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc K .

Giả sử A   aij 
 M n , p  K  . Khi đó:
1i  n ;1 j  p

 

  ai1 ,...., aip  thuộc M 1, p  K 

 

 a1 j 
 
    thuộc M n ,1  K  được
 a nj 
 

 Với i  1,, n , ma trận dòng aij


1 j  p

được gọi là dòng thứ i của A .

 Với j {1,, p} , ma trận cột aij

1 i  n

gọi là cột thứ j của A .
1.1.2. Ma trận và ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.2. [9] Giả sử E là một K - không gian vectơ n  dim  E  ,

   e1 ,..., en  là một cơ sở của E , x E ,  x1 ,...., xn  là các thành phần của x
trong  : x 

n

xe .
i 1

i i

 x1 
 
Ma trận cột    được gọi là ma trận cột các thành phần của x trong  và
x 
 n
được ký hiệu là Mat  x  . Như vậy: Mat  x   M n ,1  K  .
Rõ ràng ánh xạ Mat : E  M n ,1  K  là một song ánh.
x  Mat  x 


6


Khi X  Mat  x  , ta nói rằng x được biểu diễn bởi X trong cơ sở  , hoặc
X biểu diễn x trong  .

Định nghĩa 1.3. [9] Giả sử E là một K - không gian vectơ n  dim  E  ,

   e1 ,..., en  là một cơ sở của E , p 

*

, V  V1 ,...,Vn  là một họ hữu hạn

gồm p phần tử của E , với mỗi j  1,...., p ,  a1 j ,...., anj  là các thành phần
của V j trong  :
n

j  1,...., p , V j   aij ei .
i 1

Ma trận  aij 

1i  n ,1 j  p

 a11  a1 p 


       M n , p  K  được gọi là ma trận của họ

a  a 
np 
 n1

V đối với cơ sở của  và được ký hiệu là Mat V  .
Định nghĩa 1.4. [9]
1) Giả sử E , F là hai K - không gian vectơ, p  dim  E  , n  dim  F  ,

   e1 ,..., en  là một cơ sở của E ,    f ,.... f n  là một cơ sở của F ,
1

f  L  E, F  .

Với mỗi j  1,..., p , ta ký hiệu  a1 j ,...., anj  là các thành phần của f  e j 
trong  : f  e j    aij f i .
n

i 1

Ma trận thuộc M n , p  K  xác định bởi: M  ,  f    aij 

1i  n ,1 j  p

gọi là ma trận của f đối với cơ sở  và  được ký hiệu là Mat ,  f  .
2) Giả sử E là một K - không gian vectơ n  dim  E  ,    e1 ,..., en  là một
cơ sở của E , f  L  E  . Ma trận M n  K  xác định bởi:
Mat   f   Mat ,  f 

7



được gọi là ma trận của f đối với cơ sở  và ký hiệu là : Mat   f  .
Rõ ràng rằng : Mat , : L  E , F   M n , p  K  là một song ánh.
f  Mat ,  f 

Khi A  Mat ,  f  ta nói rằng f được biểu diễn bởi A trong các cơ sở  và

 hoặc A biểu diễn f trong các cơ sở  và  .
1.1.3. Không gian vectơ M n , p  K 
Chúng ta sẽ chuyển cấu trúc vectơ của L  E , F  lên M n , p  K  bằng song ánh



Mat , trong đó    e1 , e2 ,..., en  ,   f 1 ,.... f n



là những cơ sở cố định

tương ứng của E , F . Giả thiết :

  K , f , g  L  E , F  , A   aij ij  Mat  ,  f  , B   bij ij  Mat  ,  g 
n

 f  ei    aij f i

i 1
Như vậy ta có: j  1,..., p , 
n
g e   b f


i
ij i

i 1

Do đó j  1,..., p ,   f  g   ei      aij  bij  f i .
Điều này dẫn đến định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5. [9]
1) Luật hợp thành trong M n , p  K  ký hiệu là  xác định bởi:
  aij   M n , p  K  ,   bij   M n , p  K  ,  aij    bij    aij  bij 
ij

ij

ij

ij

ij

gọi là phép cộng trong M n , p  K  .
2) Luật ngoài K  M n , p  K   M n , p  K  , thể hiện bằng cách không viết dấu
nào cả (hoặc bởi một điểm), xác định bởi:
  K ,   aij   M n , p  K  ,  aij    aij 
ij

ij

8


ij


gọi là phép nhân với vô hướng.
Nhận xét 1.1. [9] Chỉ có thể cộng các ma trận cùng cấp.
Mệnh đề 1.1. [9]
1)  M n. p  K  , ,   là một không gian vectơ.
2) Với mọi K - không gian vectơ ( p chiều) E và ( n chiều) F với mọi cơ sở

 của E và cơ sở  của F , ánh xạ: Mat , : L  E , F   M n , p  K  là một
f  Mat ,

đẳng cấu K - không gian vectơ.
Ta ký hiệu:

1) 0n , p hoặc đơn giản hơn là 0 chỉ ma trận thuộc M n , p  K  có tất cả hạng tử
bằng 0 .
2) Với  n, p  

*

và  i, j   1,..., n  1,..., p , ta ký hiệu ma trận thuộc

M n , p  K  có các phần tử ở vị trí thứ  i, j  bằng 1 và các phần tử khác bằng

không là Eij , các ma trận Eij được gọi là ma trận sơ cấp.
Mệnh đề 1.2. [9]
1)  Eij 


 i , j 1,...,n1,..., p

là một cơ sở của M n , p  K  và được gọi là cơ sở chính

tắc của M n , p  K  .
2) dim  M n , p  K    np .
1.1.4. Phép nhân trên ma trận
Định nghĩa 1.6. [9]
Giả sử A   aij   M n , p  K  , B   b jk   M p ,q  K  ma trận thuộc M n ,q  K 
ij

jk

xác định bởi: AB   cik ik
p

trong đó   i, k   1,...., n  1,....., q , cik   aij b jk gọi là tích của A với B
j 1

ký hiệu là AB .

9


Ánh xạ M n , p  K   M p ,q  K   M n ,q  K  được gọi là phép nhân ma trận.

 A, B   AB
Nhận xét 1.2. [9] Tích AB tồn tại khi và chỉ khi số cột của A bằng số dòng
của B .
Mệnh đề 1.3. [9]

Giả sử E , F , G là ba K - không gian vectơ  ,  ,  lần lượt là cơ sở của
E , F , G . Với f  L  E , F  , g  L  F , G  ta có:

Mat ,  g  f    Mat ,  g    Mat ,  f   .

Mệnh đề 1.4. [9]
Giả sử E , F là hai K - không gian vectơ  ,  tương ứng là cơ sở của E , F ,
f  L  E , F  , x  E ta có: Mat  f  x     Mat  ,  f    Mat   x  

Xuất phát từ các tính chất quen thuộc về các phép tốn đại số với các ánh xạ
tuyến tính ta suy ra các tính chất về các phép tốn đại số đối với các ma trận.
Mệnh đề 1.5. [9]
1) Giả phân phối trái:
A  M n , p  K  , B, C  M p ,q  K  , A  B  C   AB  AC .

2) Giả phân phối phải:
A, B  M n , p  K  , C  M p ,q  K  ,  A  B  C  AC  BC .

3)   K , A  M n , p  K  , B  M p ,q  K  :

  A  B    AB   A   B 
4) Giả kết hợp:

A  M n , p  K  , B  M p ,q  K  , C  M q ,r  K  ,  AB  C  A  BC 
Mệnh đề 1.6. [9]
1)  M n  K  , , ,   là một K - đại số kết hợp và có đơn vị.

10



2) Với mọi K - không gian vectơ n chiều E và mọi cơ sở  của E , ánh xạ:
Mat : L  E   M n  K  là một đẳng cấu K - đại số có đơn vị.
f  Mat  f 

Định nghĩa 1.7. [9] Một ma trận vuông A thuộc M n  K  được gọi là lũy linh
nếu tồn tại k 



sao cho Ak  0 . Số v  A   min k 

*

: Ak  0 được gọi

là chỉ số lũy linh A và Ak  0, k  v  A 
Định nghĩa 1.8. [9] Giả sử A  M n , p  K  .
1) Hạt nhân của A là không gian vectơ con của M p ,1  K  , ký hiệu là ker  A 
được xác định bởi :
ker  A    X  M p ,1  K  ; AX  0 .

2) Ảnh của A là không gian vectơ con của M n ,1  K  , ký hiệu là Im  A  , được
xác định bởi:
Im  A   Y  M n ,1  K  ; X  M p ,1  K  , Y  AX    AX ; X  M p ,1  K  .

1.1.5. Nhóm GLn  K 
Định nghĩa 1.9. [9] Một ma trận A thuộc M n  K  được gọi là khả nghịch
khi và chỉ khi tồn tại một A '  M n  K  sao cho AA '  A ' A  I n . Nếu A khả
nghịch thì A ' là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của A ký hiệu là A1 .
Ta ký hiệu tập hợp các ma trận khả nghịch thuộc M n  K  là GLn  K  .

Mệnh đề 1.7. [9]
1) Phép nhân là luật hợp thành trong GLn  K  và GLn  K  là một nhóm và
được gọi là nhóm tuyến tính.
2) Với mọi K - khơng gian vectơ n chiều E và mọi cơ sở  của E , ánh xạ
f  Mat  f  là một đẳng cấu từ nhóm  GL  E  ,   lên nhóm  GLn  K  ,   .

11


Định lý 1.1. [9] Giả sử A  M n  K  , f là một tự đồng cấu biểu diễn bởi A
trong một cơ sở. Các tính chất sau tương đương:
1) f là song ánh.
2) A khả nghịch trái.
3) A khả nghịch phải.
4) A khả nghịch.
5) A chính quy trái.
6) A chính quy phải.
7) A chính quy.
Ta nhắc lại A được gọi là:
Chính quy trái khi và chỉ khi B, C   M n  K   ,  AB  AC  B  C  .
2

Chính quy phải khi và chỉ khi B, C   M n  K   ,  BA  CA  B  C  .
2

Chính quy khi và chỉ khi A chính quy trái và chính quy phải.
1.1.6. Hạng của một ma trận


Định nghĩa 1.10. [ 6] Cho hệ vectơ hữu hạn sinh  1 ,..., n V khi đó hạng






của hệ vectơ bằng số chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ.




hạng  1 ,..., n  dim  1 ,..., n .





Định nghĩa 1.11. [9] Giả sử A  M n , p  K  . Ta gọi hạng của một họ các cột
của A trong M n ,1  K  là hạng của A , ký hiệu là rank  A  .

 a11  a1 p 
 a1 p 
 a11 


 
 
Như vậy, nếu ký hiệu A       và C1     ,..., C p     là
a 
a  a 
a 

np 
 n1 
 n1
 np 
các cột của A thì:

rank  A   rank  C1 ,...., CP  .

12


Mệnh đề 1.8. [9] Giả sử E , F là các không gian vectơ  ,  tương ứng là các
cơ sở của E , F , f  L  E , F  , A  Mat  ,  f  . Ta có rank  f   rank  A .
Mệnh đề 1.9. [9] A  M n , p  K  , rank  A   min  n, p  .
Mệnh đề 1.10. [9] A  M n  K  , rank  A  n  A  GLn  K  .


P  GLp  K  , rank  AP   rank  A
Mệnh đề 1.11. [9] A  M n, p  K  , 
.

Q

GL
K
,
rank
QA

rank

A







n

1.1.7. Các phép biến đổi sơ cấp
Giả sử  n, p   

 0,1  , A   aij   M n  K  . Các phép biến đổi sơ cấp
2

ij

trên cột của A là các phép biến đổi sau đây (trong đó C j là ký hiệu cột thứ j
của ma trận A , 1  j  p  ).
- Hoán vị hai cột của A .
- Thay cột C j của A bởi  C j , trong đó   K  0 .
- Thay cột C j của A bởi C j   Ck , trong đó   K và k  1,2,..., p   j .
Ta định nghĩa một cách tương tự các phép biến đổi trên dòng của A .
Mệnh đề 1.12. [9]
Các phép biến đổi sơ cấp trên dịng hoặc cột khơng làm thay đổi hạng
1.1.8. Chuyển vị
Định nghĩa 1.12. [9]
Với mọi ma trận A   aij 


1 i  n ,1 j  p

 a11  a1 p 


      thuộc M n , p  K  , chuyển vị
a  a 
np 
 n1

của A là ma trận thuộc M p ,n  K  , ký hiệu là t A xác định bởi:

13


t

A   bij 

1i  p ,1 j  n

 a11  a1n 


  a ji       
a

 p1  a pn 

Mệnh đề 1.13. [9]

1)A  M n , p  K  , tt A  A.
2)  K ,   A, B    M n , p  K   ,  A  B    t A  B
2

3)A  M n , p  K  , B  M p ,q  K  ,



t

t

 AB   t B t A.

4)A  GLn  K  , t A  GLn  K  ,  t A 

1



t

 A . .
1

1.1.9. Vết của một ma trận vuông

 

Định nghĩa 1.13. [9] Với mọi ma trận vuông A  aij

nghĩa vết của A, ký hiệu là tr  A  : tr  A  

ij

 M n  K  ta định

n

a
i 1

ii

. Nói cách khác vết của ma

trận A là tổng các phần tử chéo của A.
Mệnh đề 1.14. [9]
1) Ánh xạ tr : M n  K   K là một dạng tuyến tính.

A  tr  A 
2) A  M n , p  K  , B  M p ,q  K  , tr  AB   tr  BA  .
1.2. Đổi cơ sở
1.2.1. Ma trận chuyển cơ sở
Định nghĩa 1.14. [9] Cho E là không gian vectơ n chiều,  ,  ' là hai cơ sở
của E . Ma trận chuyển cơ sở từ  sang  ' , ký hiệu Pass   ,  '  là ma trận
thuộc M n  K  có các cột được tạo bởi các thành phần của các vectơ của  '
biểu thị trên cơ sở  , nghĩa là: Pass   ,  '  Mat   ' .
Mệnh đề 1.15. [9]

14



Mọi cơ sở  ,  ' của E : Pass   ,  '   Mat  ',  Id E  .
Mệnh đề 1.16. [9]
Giả sử E là một không gian vectơ  ,  ',  " là những cơ sở của E . Ta có:

1) Pass   ,  "  Pass   ,  '  Pass   ',  " .
2) Pass   ,    I n

3) Pass   ,  ' khả nghịch và  Pass   ,  '   Pass   ',   .
1

1.2.2. Đổi cơ sở đối với một vectơ
Mệnh đề 1.17. [9] Giả sử E là một không gian vectơ  ,  ' là hai cơ sở của
E, P  Pass   ,  '  , x  E , X  Mat  x  , X '  Mat '  x  . Thế thì:

X  PX '
Nhận xét 1.3. [9] Vậy trong một phép biến đổi đối với một cơ sở trong một
vectơ, tự nhiên ta sẽ biến đổi các tọa độ cũ (tọa độ của x trong  ) theo các
tọa độ mới (tọa độ của x trong  ' ), nếu muốn biểu diễn tọa độ mới của
x theo tọa độ cũ của x , ta có công thức X '  P 1 X , nhưng cần phải tính ma

trận nghịch đảo của P khi dùng công thức này.
1.2.3. Đổi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính
1.2.3.1. Cơng thức đổi cơ sở
Mệnh đề 1.18.[9]
Giả sử E , F là hai không gian vectơ,  ,  ' là hai cơ sở của E ,

P  Pass   ,  ' ,  ,  ' là hai cơ sở của F , Q  Pass   ,  ' , f  L  E , F  ,


A  Mat ,  f  , A '  Mat ', '  f  . Thế thì: A '  Q 1 AP .
1.2.3.2. Ma trận tương đương
Định nghĩa 1.15. [9] Giả sử A, B  M n , p  K  ta nói A tương đương với B
nếu:  P, Q  GLp  K   GLn  K  , B  Q1 AP .

15


Mệnh đề 1.19. [9]
Giả sử A  M n , p  K  , r  rank ( A) . Thế thì A tương đương với ma trận J n , p ,r

 In
xác định bởi J n ,, p ,r  
 0 n  r ,r

0n , p r 
. Đặt biệt J n , p ,0  0 .
0nr , p r 

Hệ quả 1.1. [9]

A, B   M n , p  K   , A tương đương với B  rank  A  rank  B  .
2

Hệ quả 1.2. [9] A  M n  K  , rank  t A   rank  A 
1.2.4. Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu
Mệnh đề 1.20. [9]
Giả sử E là một không gian vectơ n chiều  ,  ' là hai cơ sở của E,

P  Pass   ,  ' , f  L  E  , A  Mat  f  , A '  Mat '  f  . Thế thì:

A '  P1 AP .

Định nghĩa 1.16. [9] Cho A, B  M n  K  . Ta nói A đồng dạng với B , và ký
hiệu A

B , khi và chỉ khi tồn tại P  GLn  K  sao cho: B  P 1 AP .

Mệnh đề 1.21. [9]   A, B    M n  K   ,  A
2

B  tr  A   tr  B   .

Nhận xét 1.4. [9]
1) Hiển nhiên hai ma trận vng đồng dạng thì chúng tương đương.
2) Hai ma trận tương đương có thể khơng đồng dạng, chẳng hạn, với n  2 ,
1 0 
0 0
các ma trận 
và

 1 0  tương đương và hạng của chúng bằng 1 ,
1 0 



nhưng khơng đồng dạng vì chúng không cùng vết.
3) Giả sử A  M n  K  . Nếu tồn tại   K sao cho A  I n thì A   I n . Thật
vậy P  GLn  K  : P  I n  P 1   I n .

16



4) Nếu n  2 , hai ma trận vuông có thể cùng vết mà khơng đồng dạng. Chẳng
0 0
0 1
hạn, với n  2 các ma trận 
và 

 có cùng vết nhưng khơng đồng
0 0
0 0

dạng và khơng tương đương vì ma trận thứ nhất có hạng bằng 0 ma trận thứ
hai có hạng bằng 1 .
Định nghĩa 1.17. [9] Giả sử E là không gian vectơ hữu hạn chiều, f  L  E  .
Vết của f ký hiệu là tr  f  là vết của ma trận bất kỳ biểu diễn tự đồng cấu
f.

Từ các tính chất vết của ma trận vng ta suy ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.22. [9] Giả sử E là một K - không gian vectơ.
1) Ánh xạ tr : L  E   K là một dạng tuyến tính.
f  tr  f 

2)   f , g    L  E   , tr  g  f   tr  f  g  .
2

1.3. Vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận.
Định nghĩa 1.18. [7] Giả sử E là một không gian vectơ f : E  E là một tự

đồng cấu. Vectơ   0 của E được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại



số k  K sao cho : f   k . Số k được gọi là giá trị riêng của f ứng với

 


vectơ riêng  .

Nếu A là ma trận tự đồng cấu của f thì giá trị riêng của f cũng được gọi là
giá trị riêng của A .
Định nghĩa 1.19. [7] Giả sử A là ma trận của tự đồng cấu f . Ma trận A  kI
được gọi là ma trận đặc trưng, còn đa thức :
A  kI   1 k n  ...  A
n

được gọi là đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f .

17


Định nghĩa 1.20. [7] Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa được nếu
nó đồng dạng với một ma trận chéo.
Định lý 1.2. [7] Một ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi nó là ma
trận vng của một tự đồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không
gian.
Hệ quả 1.3. [7] Nếu A  M n  K  , đa thức đặc trưng A  kI có n nghiệm
phân biệt thì A chéo hóa được.
Định lý. 1.3 [7] Giả sử A  M n  K  , k1 ,..., k p là các nghiệm của đa thức đặc
trưng A  kI , mi là số bội của ki , i  1,..., p , m1  ...  m2  n , tức là :

A  kI   1  k  k1 
n

và hạng

 A  kI   n  mi . Khi đó

m1

 k  k2 

m2

... k  k p 

mp

A chéo hóa được.

1.4. Các ma trận đặc biệt
1.4.1. Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng
1.4.1.1. Ma trận đối xứng
Định nghĩa 1.21. [9] Một ma trận vuông A thuộc M n  K  được gọi là đối
xứng nếu: t A  A .
Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hạng tử trong K là
Sn  K  .

Mệnh đề 1.22. [9] Sn  K  là một không gian vectơ con của M n  K  .
Mệnh đề 1.23. [9]   A, B    S n  K   ,  AB  Sn  K   AB  BA  .
2


Mệnh đề 1.24. [9] A  Sn  K   GLn  K  , A1  S n  K  .
1.4.1.2. Ma trận phản đối xứng
Định nghĩa 1.22. [9] Một ma trận vuông A thuộc M n  K  được gọi là phản
đối xứng nếu: t A   A .

18


Ta ký hiệu tập hợp các ma trận phản đối xứng cấp n với hạng tử trong K là
An  K  .

Mệnh đề 1.25. [9] An  K  là một không gian vectơ con của M n  K  .
Mệnh đề 1.26. [9] Các không gian S n  K  và An  K  bù nhau trong M n  K  .
1.4.2. Ma trận tam giác
Định nghĩa 1.23. [9] Cho A  M n  K  .
1) Ta nói A là tam giác trên nếu   i, j   1,...., n ,  i  j  aij  0  . Ta ký
2

hiệu tập hợp các ma trận tam giác trên cấp n với hạng tử trong K là Tn ,t  K  .
2) Ta nói A là tam giác dưới nếu   i, j   1,...., n ,  i  j  aij  0  . Ta ký
2

hiệu tập hợp các ma trận tam giác dưới cấp n với hạng tử trong K là Tn ,d  K  .
3) Ta nói A là ma trận tam giác nếu khi A là ma trận tam giác trên hoặc A là
ma trận tam giác dưới.
Mệnh đề 1.27. [9] Tn ,t  K  và Tn ,d  K  là những không gian vectơ con của
Mn K .

Nhận xét 1.5. [9] Rõ ràng  Eij 


1i , j  n

dim Tn ,t  K   

là một cơ sở của Tn ,t  K  , và do vậy:

n  n  1
.
2

Mệnh đề 1.28. [9] Tn ,t  K  là một đại số con có đơn vị của đại số có đơn vị
Mn K .

Nhận xét 1.6. [9]
1) Các hạng tử chéo của tích hai ma trận tam giác trên là tích của các hạng tử
chéo của hai ma trận đó.
2) Đặc biệt, các hạng tử chéo của một lũy thừa của một ma trận tam giác là
các lũy thừa các hạng tử chéo của ma trận đó.

19


Mệnh đề 1.29. [9] A  Tn ,t  K   GLn  K  , A1  Tn ,t  K  .
 a11 


 T K .
Mệnh đề 1.30. [9] Giả sử A    
 n ,t  

 0  a 
nn 


Ta có : A  GLn  K    i  1,..., n , aii  0  .
Hơn nữa, nếu A  GLn  K  , thì các hạng tử chéo của A1 là nghịch đảo của
 a 111 



các hạng tử chéo của A : A1   

.
 0  a 1nn 



1.4.3. Ma trận đường chéo
Định nghĩa 1.24. [9] Cho n 

*

. Một ma trận vuông A   aij 

1i , j  n

thuộc

M n  K  được gọi là ma trận đường chéo nếu :


  i, j   1,..., n ,  i  j  aij  0  .
2

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đường chéo cấp n với hạng tử trong K là
Dn  K  .

Với mọi  1 ,...., n   K n , ta ký hiệu ma trận đường chéo thuộc M n  K  có
các hạng tử chéo là 1 ,...., n là diag  1 ,...., n  :
0
 1

diag  1 ,...., n   


0


n


Mệnh đề 1.31. [9] Dn  K  là một đại số con giao hốn và có đơn vị của
Mn K .

Mệnh đề 1.32. [9] Giả sử D  diag  1 ,...., n   Dn  K  .
Ta có: D  GLn  K   i  1,...., n , i  0 .

20


Hơn nữa, nếu D  GLn  K  thì D 1  diag   11 ,....,  1n  .

1.4.4. Ma trận đa thức
Định nghĩa 1.25. [2] Nếu f  t   a0  a1t  .....  ar t r  K t  là đa thức một
biến và A  M n  K  là ma trận vng thì ta gọi: f  A   a0 I  a1 A  ....  ar Ar
là ma trận đa thức.
Định lý 1.4. [2]
1) Với mọi f , g  K t  và   K thì  f  g  A   f  A   g  A  ,

 f  A    f  A 

và fg  A   f  A  g  A  .

2) Gọi f A  t   A  tI là đa thức đặc trưng của A . Khi đó f A  A   0 .
3) Tồn tại duy nhất một đa thức đơn (tức là hệ số cao nhất bằng 1) có bậc bé
nhất nhận A làm nghiệm. Hơn nữa mọi đa thức nhận A làm nghiệm đều chia
hết cho đa thức đó. Đa thức đó gọi là đa thức cực tiểu của A .
1.4.5. Dạng chuẩn tắc của ma trận lũy linh
Định nghĩa 1.26. [6] Cho tự đồng cấu lũy linh f của K không gian vectơ
hữu hạn chiều E . Sau khi phân tích E thành tổng trực tiếp những không gian
vectơ con xyclic đối với f , chọn cơ sở xyclic trong mỗi khơng gian vectơ
con này thì được một cơ sở của E , trong đó f có ma trận tạo bởi những ma
trận vuông dạng:
0
0
1 0



   



1 0
0

Những ma trận này nằm dọc theo đường chéo chính. Ma trận này gọi là ma
trận dạng chính tắc của tự đồng cấu lũy linh.

21


1.4.6. Dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận vuông
Định nghĩa 1.27. [6] Ma trận J  M n  K  được gọi là ma trận Jordan nếu có
dạng :
0 
1 1 0 ... 0
 0   ... 0
0 
2
2


 0 0 3 .... 0
0 
J 

 
    
 0 0 0 ... n1  n1 


0

0
0
...
0

n 


 j  K , j  1, n
Trong đó : 
, j  {1,..., n  1} nếu  j  1 thì  j   j 1 .
 i {0,1}, j  1, n  1

Định nghĩa 1.28. [6] Ma trận Jordan dạng đặc biệt :
k
0

Jk   

0
 0

1

...

0

k


...

0







0

... k

0

...

0

0
0

  được gọi là một khối Jordan thuộc giá trị k .

1
k 

Nhận xét 1.7. [6] Mỗi ma trận Jordan J gồm nhều khối Jordan tạo nên:
 J1


J 




J2



 , trong đó J , J ,..., J là các khối Jordan.
1
2
k



Jk 

22


CHƯƠNG 2.
LÝ THUYẾT VỀ ĐỊNH THỨC
Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về định thức : định
nghĩa định thức, các tính chất của định thức và các phương pháp tính định thức.
Đó là phương tiện để nghiên cứu không gian vectơ và lý thuyết về hệ phương
trình tuyến tính. Tài liệu được sử dụng tham khảo chủ yếu ở đây là [9].
2.1. Định thức của một họ n vectơ trong một cơ sở của một không gian
vectơ n chiều

Cho n 

*

, E là một không gian vectơ n chiều.

2.1.1. Không gian  n  E 
Định nghĩa 2.1. [9] Tập hợp  n  E  các dạng n - tuyến tính thay phiên trên
một K - không gian vectơ n chiều  n  1 là một K - không gian vectơ 1
chiều.
Với mọi cơ sở    e1 ,..., en  của E , det  : E n  K ký hiệu ánh xạ xác định
bởi: det  V1 ,...,Vn  

    a   ...a   , với mọi V ,...,V  thuộc E
 


11

n n

1

n

n

, trong

n


đó với mỗi j  1,...., n ,

a j
ij

1i j  n

là các thành phần của V j trong  :

n

V j   ai j j ei j
i j 1

Phần tử det  V1 ,...,Vn  (của K ) được gọi là định thức của V1 ,...,Vn  trong cơ
sở  .
Với mọi cơ sở  của E ,  det   là một cơ sở của  n  E  .
2.1.2. Tính chất
Ta ký hiệu tập các cơ sở của E là   E  .
Tính chất 1. [9]    n  K  , S  E n ,     E  ,  S       det   S  .

23


Hệ quả 2.1. [9]  ,  '    E  , S  E n ,det  '  S   det  '    det   S  .
Mệnh đề 2.1. [9] Giả sử     E  , S  E n . Thế thì S phụ thuộc tuyến tính khi
và chỉ khi det   S   0 .
2.2. Định thức của một tự đồng cấu
Mệnh đề 2.2. [9] Với mọi f  L  E  , tồn tại duy nhất một phần tử   K sao

cho:    n  E  ,   f  ...  f    .
Định nghĩa 2.2. [9] Phần tử   K được gọi là định thức của f và được ký
hiệu là det  f  .
Như vậy ta có:   n  E  ,   f  ...  f    det  f   .
Mệnh đề 2.3. [9]

1)f  L  E  ,   n  E  ,  V1,...,Vn   E n ,  f V1  ,..., Vn    det  f  V1,...,Vn 

2)f  L  E  ,     E  ,  V1,...,Vn   E n ,det   f V1  ,..., Vn    det  f  det  V1 ,...,Vn 

3)f  L  E  ,    e1 ,..., en     E  ,det  f   det  e1 ,...,en   f  e1  ,...., f  en  
Mệnh đề 2.4. [9]
1) det  Id E   1 .
2)   K , f  L  E  ,det  f    n det  f  .
3) f , g  L  E  ,det  g  f   det  g  det  f  .
2.3. Định thức của một ma trận vuông
Cho n 

*

Định nghĩa 2.3. [9] Giả sử A   aij 

1i , j  n

 M n  K  . Định thức của A ký hiệu

a11  a1n

là det  A  , hoặc    được xác định bởi:
an1  ann

det  A  

    a   ...a   .
11

  n

24

n n


 a11 
 a1n 


Nói cách khác, nếu ký hiệu C1     ,...., Cn     là các cột của A và 
a 
a 
 n1 
 nn 

là cơ sở chính tắc của M n ,1  K  thì ta có: det  A   det   C1 ,..., Cn  .
a11  a1n
Ta nói rằng    là một định thức cấp n .
an1  ann

Mệnh đề 2.5.[9] Giả sử E là một K - không gian vectơ n chiều, f  L  E  ,

 là một cơ sở của E , A  Mat  f  . Ta có: det  f   det  A  .

Mệnh đề 2.6. [9]
1) det  I n   1 .
2)   K , A  M n  K  ,det  A    n det  A  .
3)   A, B    M n  K   ,det  AB   det  A  det  B  .
2

4) A  M n  K  , A  GLn  K   det  A   0 .
5) A  GLn  K  ,det  A1    det  A   .
1

 

t
6)  A  M n  K  ,det A  det  A  .

Nhận xét 2.1. [9]
1) Từ tính chất 3 ở trên bằng quy nạp dễ dàng suy ra:
A  M n  K  , k 

*

,det  Ak    det  A   .
k

2) Từ nhận xét trên và tính chất 5 ta suy ra:
A  GLn  K  , k  ,det  Ak    det  A   .
k

3) Nếu A  M n  K  là lũy linh thì tồn tại k 


*

sao cho Ak  0 , nên

det  Ak    det  A    0 . Và do vậy det  A   0 .
k

25