MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (775.56 KB, 19 trang )
GV THỰC HIỆN : ÐỖ TRẦN MINH VŨ
BỘ MÔN : TOÁN
Phát biểu định lý trung tuyến trong tam
giác ?
A
B
M
C
AM
2
=
AB
2
+AC
2
BC
2
2
4
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách
đều một điểm cố định là gì?
1/. ĐỊNH NGHĨA
Cho một điểm O cố định và một số thực dương R.
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm
O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính
R.
Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S)
Như vậy ta có : S(O;R) = {M / OM = R } .
O
M
R
A
3
A
2
A
1
B
O
Nếu OA = R thì điểm A
nằm trên mặt cầu S(O;R)
Nếu OA < R thì điểm A nằm
trong mặt cầu S(O;R)
Nếu OA > R thì điểm A nằm
ngoài mặt cầu S(O;R)
2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:
A
B
O
* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)
thì đoạn thẳng OA được gọi là
bán kính mặt cầu (S).
* B đối xứng với A qua tâm O thì
AB được gọi là đường kính của
mặt cầu (S).
Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong
không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách
từ M tới hai điểm cố định A và B bằng một hằng số k
2
.
Ví dụ 1:
A
B
O
M
Giải:
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng
AB, với M bất kỳ ta có:
OM
2
=
MA
2
+MB
2
AB
2
2
4
=
k
2
2
AB
2
4
*Nếu
k
2
2
AB
2
4
> thì đặt
Ta có:
{M/ MA
2
+MB
2
= k
2
} = {M/ OM = R}=S(O;R).
Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O bán
kính
{M/ MA
2
+MB
2
= k
2
}= ???
2
AB
2
4
k
2
R=
2
AB
2
4
k
2
R=
k
2
2
AB
2
4
=
thì OM = 0 hay M 0
Khi đó quỹ tích điểm M là một điểm O.
*Nếu
k
2
2
AB
2
4
<
thì quỹ tích là tập rỗng.
*Nếu
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)
a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a. Tính bán kính
mặt cầu nói trên.
D
A
B
C
Giải:
a/ Ta có:
DA (ABC)
DA BC
Lại có: AB BC nên BC DB.
Suy ra: DAC = DBC = 90
0
Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC
b/
R =
5a 2
2
I
A
D
B
C
O
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt
cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P)
bất kỳ.
Gọi H = hc O /mp(P)
Khi đó OH = d [ O, mp(P) ]
O
H
R
Ta xét các trường hợp sau :
Khi đó mọi điểm M ∈ (P) thì
OM>OH. Vậy mọi điểm của (P)
đều nằm ngoài mặt cầu (S)
Vậy (S) ∩ (P) = ∅
M
Nếu OH > R:
P
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
I. Vị trí tương đối của một mặt
cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P)
bất kỳ.
Gọi H = hc O / mp(P)
Khi đó OH = d [ O, mp(P) ]
O
H
R
Ta xét các trường hợp sau :
Khi đó điểm H ∈ (S). ∀ M∈ (P),
M ≡ H . thì OM > OH = R .
Vậy (S) ∩ (P) = H
M
Điểm H gọi là tiếp điểm của (S)
và (P)
Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện
của mặt cầu (S)
P
Nếu OH = R:
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
H
R
Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S)
theo một đ tròn C( H, r ) với r = √R
2
– d
2
I. Vị trí tương đối của một mặt
cầu và một mặt phẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P)
bất kỳ.
Gọi H = hc O / mp(P)
Khi đó OH = d [ O, mp(P) ]
Ta xét các trường hợp sau :
M
Khi d=0 thì (S)∩(P) = C (O;R)
C(O;R) gọi là đường tròn lớn của
mặt cầu S(O;R).
Vậy (S)∩(P) = C(H,r)
P
Nếu OH < R:
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
R
II. Vị trí tương đối của một mặt
cầu và một đường thẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường
thẳng (d) bất kỳ.
Gọi H = hc O /(d)
Khi đó OH = d [ O, (d) ]
Ta xét các trường hợp sau :
Vậy d ∩(S) = ∅
P
Nếu d> R:
(C)
H
d
Nếu d không đi qua O thì:
(O,d)∩(S)= C(O;R)
Khi đó: d ∩(C)= ∅
Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu
tại 2 điểm A,B với AB là đường
kính của mặt cầu
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
II. Vị trí tương đối của một mặt
cầu và một đường thẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường
thẳng (d) bất kỳ.
Gọi H = hc O /(d)
Khi đó OH = d [ O, (d) ]
Ta xét các trường hợp sau :
Vậy d ∩(S) = {H}
P
Nếu d= R:
(C)
H
d
Nếu d không đi qua O thì:
(O,d)∩(S)= C(O;R)
Khi đó: d ∩(C)= {H}
Ta nói rằng d tiếp xúc với mặt cầu
S(O;R) tại điểm H, điểm H gọi là tiếp
điểm của d và (S)
Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến
của mặt cầu (S)
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
II. Vị trí tương đối của một mặt
cầu và một đường thẳng:
Cho một mặt cầu S(O;R) và đường
thẳng (d) bất kỳ.
Gọi H = hc O /(d)
Khi đó OH = d [ O, (d) ]
Ta xét các trường hợp sau :
Vậy d cắt (S) tại 2 điểm
P
Nếu d< R:
(C)
H
d
Nếu d không đi qua O thì:
(O,d)∩(S)= C(O;R)
Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
III.Các tính chất của tiếp tuyến:
Định lý 1:
Qua điểm A nằm trên mặt cầu
S(O;R) có vô số tiếp tuyến của
mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến
này đều nằm trên tiếp diện của (S)
tại điểm A.
P
a
A
Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU
VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
O
III.Các tính chất của tiếp tuyến:
Định lý 2:
Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu
S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt
cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ
từ A tới các tiếp điểm đều bằng
nhau.
A
M
M’
(C)
p
Ví dụ:
Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một
tiếp tuyến tiếp xúc (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt
(S) tại C và D, biết CD = a 3 . a/ Tính AB.
b/ Tính d(O,CD)
O
A
B
D
H
C
Đáp số:
a/ AB = a 3
b/ d(O,CD) =
a
2
