Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

BỘ Y TẾ
ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP
KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ỔN ĐỊNH TRUYỀN TẢI SOLITON TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SCHRưDINGER PHI TUYẾN BẰNG MƠ HÌNH LAI GHÉP VỚI
NHIỄU RAMAN VÀ CÁC NHIỄU PHI TUYẾN KHÁC

Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa Học Cơ Bản
Chủ trì nhiệm vụ: Huỳnh Thanh Tồn

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
Tn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP
KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

ỔN ĐỊNH TRUYỀN TẢI SOLITON TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
SCHRưDINGER PHI TUYẾN BẰNG MƠ HÌNH LAI GHÉP VỚI

NHIỄU RAMAN VÀ CÁC NHIỄU PHI TUYẾN KHÁC
(Đã chỉnh sửa theo kết luận của Hội đồng nghiệm thu ngày .................)

Cơ quan chủ quản
(ký tên và đóng dấu)

Chủ trì nhiệm vụ
(ký tên)

Huỳnh Thanh Tồn
Cơ quan chủ trì nhiệm vụ
(ký tên và đóng dấu)

Tn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt

2

Danh sách hình vẽ

3

Tóm tắt


5

Phần mở đầu

6

Chương 1. Mơ hình NLS v mụ hỡnh LotkaVolterra

8

1.1 Mụ hỡnh Schrăodinger phi tuyn . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Mơ hình Lotka–Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2. Phân tích tính ổn định cho mơ hình Lotka–Volterra 11
2.1 Phân tích q trình ổn định truyền tải . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Phân tích tính ổn định cho mơ hình với L1 (|ψj |2 ) . . . . 11
2.1.2 Phân tích tính ổn định cho mơ hình với L2 (|ψj |2 ) . . . . 13
2.2 Phân tích q trình truyền tải tắt kênh dẫn sóng . . . . . . . 13
Chương 3. Kết quả mô phỏng số

16

3.1 Mô phỏng số trong truyền tải ổn định soliton . . . . . . . . . 16
3.2 Mô phỏng số trong truyền tải tắt kênh dẫn sóng . . . . . . . . 17
3.3 Mô phỏng số trong truyền tải bật kênh dẫn sóng . . . . . . . 21

3.4 Mơ phỏng số cho mơ hình lai ghép tắt/bật kênh dẫn sóng
nhiều lần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kết luận

26

Tài liệu tham khảo

27

1
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Danh mục các chữ viết tắt
NLS: Schrăodinger phi tuyn.
GL: Ginzburg-Landau.
ODEs: H phng trỡnh vi phõn thng.

2
Tuõn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Danh sách hình vẽ

3.1 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong
q trình truyền tải ổn định với mơ hình NLS (1.1) cho N = 4. Hình
(b) là phần phóng lớn của hình (a) tại khoảng cách truyền tải ngắn. Các
hình trịn đỏ, hình vng xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương và
tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu
được từ mơ phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét
nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt
thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính tốn lý thuyết với
phương trình (1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2 Hình dạng sóng tại khoảng cách truyền tải z = zr trước khi có kênh sóng
bị biến dạng và z = zf sau khi có kênh sóng bị biến dạng cho N = 4
với các tham số được sử dụng trong hình 3.1. Hình (a) thể hiện |ψj (t, z)|
tại z = zr và hình (b)|ψj (t, z)| tại z = zf với j = 1, 2, 3, 4. Các đường
cong liền nét đỏ, đứt nét xanh lá cây có chấm, nét chéo xanh dương,
và đường đứt nét tím lần lượt thể hiện |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu được
từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các khoảng cách truyền tải là
z = zr = 5300 (a), và z = zf = 5350 (b). . . . . . . . . . . . . . . .

3
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.

19


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.


3.3 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong
quá trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = 4. Các hình trịn đỏ,
hình vng xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác ngược
tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mơ
phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét
xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện
η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính tốn lý thuyết với phương
trình (1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4 Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong
q trình truyền tải với mơ hình (A2-B-A1) cho N = 4. Các hình trịn
đỏ, hình vng xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác
ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ
mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt
nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện
η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính tốn lý thuyết với phương
trình (1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.5 (a) Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj
trong quá trình truyền tải với mơ hình A1-(A2-B-A1)-,...-(A2-B-A1) lặp
lại 6 vịng cho N = 4. Các hình trịn đỏ, hình vng xanh lá cây, tam
giác thuận xanh dương, và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z),
η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình
(1.1). Các đường cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm,
và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu
được từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.5). (b) Hình dạng sóng

tại khoảng cách truyền tải z = zf = 5000. Các đường cong liền nét đỏ,
đứt nét xanh lá cây có chấm, nét chéo xanh dương, và đường đứt nét
tím lần lượt thể hiện |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu được từ mơ phỏng số
với phương trình (1.1).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Tóm tắt
Chúng tơi nghiên cứu bài tốn truyền tải soliton được mơ tả bởi hệ
phương trình Schrăodinger phi tuyn cú nhiu. Chỳng tụi xut mụ hình
lai ghép nhằm truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định biờn n khong
cỏch xa gm: mụ hỡnh Schrăodinger phi tuyến có nhiễu Raman và thành
phần Ginzburg-Landau và mơ hình Schrăodinger phi tuyn cú nhiu Raman v nhiu suy hao bậc ba. Đề tài tiến hành mơ hình hóa động lực biên
độ soliton và tính hệ số bồi thường năng lượng của máy khuếch đại năng
lượng do tác hại của các nhiễu phi tuyến. Các tính tốn lý thuyết đều
được kiểm chứng bằng các mô phỏng giải số trên các phương trình đạo
hàm riêng tương ứng bằng phương pháp tách bước Fourier dựa trên ngơn
ngữ lập trình C++ và Matlab.
Từ khúa: Soliton, Schrăodinger phi tuyn, Ginzburg-Landau, Raman, nhiu
suy hao, li nhiễu

5
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.

Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Phần mở đầu
Năm 1973, tại phịng thí nghiệm Bell, Hasegawa và Tappert đã mơ tả
sự truyền ti soliton trong si quang bng phng trỡnh Schrăodinger phi
tuyn. Trong phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn, soliton cú th truyn
ti đến khoảng cách xa mà khơng thay đổi hình dạng và năng lượng [1,
2, 3, 4, 5]. Nhờ vào tính chất này, soliton được ứng dụng trong công nghệ
truyền tin và tạo nên sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ truyền tin
bằng sợi quang trong hơn ba thập kỷ gần đây [1, 4].
Trong kỹ thuật thông tin quang, tốc độ truyền tin thơng qua ống dẫn
sóng trên miền băng thơng rộng có thể được tăng lên đáng kể nhờ phương
pháp ghép kênh theo bước sóng (wavelength-division-multiplexed (WDM)
method) [1, 4]. Phương pháp này cho phép truyền nhiều chuỗi pulse trong
cùng một ống dẫn sóng. Ứng dụng của WDM hay truyền tải đa kênh được
dùng trong đường truyền cáp quang [4], truyền dữ liệu giữa các bộ vi xử
lý máy tính thơng qua ống dẫn sóng silicon [6], và trong cơng nghệ laser
đa bước sóng [7].
Trong hệ quang dẫn đa kênh, tùy vào vật liệu của ống dẫn sóng, q
trình nhiễu phi tuyến xuất hiện và có thể làm thay đổi biên độ và tần số
soliton, dẫn đến sai số truyền dẫn [1, 2]. Do đó bài tốn nghiên cứu tác
động của nhiễu phi tuyến lên sự truyền sóng đóng vai trị rất quan trọng
trong cơng nghệ truyền tin. Vì vậy, vấn đề này đã và đang thu hút sự chú
ý của rất nhiều nhà khoa học trong thời gian gần đây.
Bài tốn mơ hình hóa động lực biên độ soliton đã được nhiều tác giả
nghiên cứu trong thời gian gần đây. Cụ thể, đó là các nghiên cứu về sự
truyền tải soliton dưới tác động của nhiễu suy hao bậc ba (cubic loss)[8],

nhiễu raman [9], và dạng Ginzburg-Landau [10, 11].
6
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu mơ hình lai ghép nhằm truyền tải
nhiều chuỗi soliton ổn định đến khoảng cách xa gồm mơ hình phng trỡnh
Schrăodinger phi tuyn cú nhiu Raman v thnh phn Ginzburg-Landau
(GL) v mụ hỡnh Schrăodinger phi tuyn cú nhiu Raman và nhiễu suy hao
bậc ba. Đề tài tiến hành mô hình hóa động lực biên độ soliton và tính hệ
số bồi thường năng lượng của máy khuếch đại năng lượng do tác hại của
các nhiễu phi tuyến. Các tính tốn lý thuyết được kiểm chứng bằng các mô
phỏng giải số trên các phương trình đạo hàm riêng tương ứng bằng phương
pháp tách bước Fourier dựa trên ngơn ngữ lập trình C++ và Matlab.

7
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Chương 1

Mơ hình NLS và mơ hỡnh
LotkaVolterra
1.1


Mụ hỡnh Schră
odinger phi tuyn

Chỳng tụi nghiờn cu tỏc ng của nhiễu Raman và các nhiễu suy
hao/lợi nhiễu lên sự truyền tải soliton trong sợi quang được mô tả bởi hệ
phương trình NLS ghép (the system of coupled-NLS equations) [12] như
sau:

i∂z ψj +

∂t2 ψj
2

2

+ 2|ψj | ψj + 4

−εR ψj ∂t |ψj | − εR

N
X

N
X

i
(1 − δjk )|ψk |2 ψj = gj ψj + iL(|ψj |2 )ψj
2
k=1

h

2

(1 − δjk ) ψj ∂t |ψk | +

i

ψk ∂t (ψj ψk∗ )

,

(1.1)

k=1

trong đó ψj là hàm sóng j với 1 ≤ j ≤ N , ψj∗ là liên hợp của ψj , z là
khoảng cách truyền dẫn sóng, t là thời gian, gj là hệ số gain/loss tuyến
tính của kênh thứ j , εR là hệ số nhiễu Raman, và L(|ψj |2 ) là đa thức theo

|ψj |2 . Đa thức L(|ψj |2 ) có thể được nghiên cứu ở dạng tổng quát. Trong
đề tài này, chúng tôi nghiên cứu L(|ψj |2 ) ở dạng sau:
(1)

L1 (|ψj |2 ) = ε3 |ψj |2 ψj − ε5 |ψj |4 ψj ,

(1.2)

và
(2)


L2 (|ψj |2 ) = −ε3 |ψj |2 ψj .

(1.3)

Trong phương trình (1.2) và (1.3), 3 là hệ số nhiễu bậc ba và 5 là hệ số
nhiễu bậc năm.
8
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

1.2

Mơ hình Lotka–Volterra

Chúng tơi khảo sát sự truyền tải của N chuỗi soliton được mô tả bởi hệ
NLS (1.1) trong vịng sợi khép kín và giả sử rằng hiệu tần số ∆β giữa các
kênh dẫn sóng là lớn và bằng hằng số, tức là:

∆β = |βj+1 (z) − βj (z)|  1, ∀j, 1 ≤ j ≤ N − 1.

(1.4)

Chúng tôi giả sử thêm rằng: (1) độ rộng của soliton T  1. Thêm nữa,
biên độ của các soliton trong cùng một chuỗi soliton (cùng kênh dẫn sóng)
là bằng nhau trong khi biên độ của các soliton trong các chuỗi soliton khác
nhau (khác kênh dẫn sóng) có thể khác nhau; (2) tương tác của các soliton

trong cùng một kênh dẫn sóng và ảnh hưởng bậc cao của các bức xạ gây
ra do các nhiễu này là rất nhỏ và được bỏ qua trong các tính tốn xấp xỉ.
Bằng cách tính tốn sự thay đổi biên độ của soliton khi truyền dẫn và
va chạm, chúng tôi thu được phương trình mơ tả động lực biên độ của
chuỗi soliton như sau (xem trong [8, 9] cho các tính toán tương tự):
"
#
N
X
dηj
= ηj gj + F (ηj ) + C
(k − j)ηk ,
(1.5)
dz
k=1

trong đó C = 4εR ∆β/T , βj là tần số của chuỗi soliton thứ j , và hàm

F (ηj ) được xác định như sau:
4 (1)
16
F1 (ηj ) = ε3 ηj2 − ε5 ηj4 ,
3
15

(1.6)

4 (2)
F2 (ηj ) = − ε3 ηj2 ,
3


(1.7)

ứng với L1 (|ψj |2 ), và

ứng với L2 (|ψj |2 ).
Trong kỹ thuật thơng tin quang, các chuỗi soliton thường được u cầu
có biên độ bằng nhau cho tất cả các kênh và bằng hằng số. Vì vậy, chúng
(eq)

ta cần tìm một trạng thái cân bằng của hệ (1.5) dạng ηj

= η > 0 với

1 ≤ j ≤ N . Cho vế phải của (1.5) bằng 0, ta thu được:
gj = −F (η) − Cη

N
X
k=1

9
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.

(k − j).

(1.8)



Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Khi đó, phương trình (1.5) được viết dưới dạng:
#
"
N
X
dηj
= ηj F (ηj ) − F (η) + C
(k − j)(ηk − η) .
dz

(1.9)

k=1

Hệ phương trình vi phân thường (ODEs) (1.9) là mơ hình dạng thú-con
mồi (Lotka–Volterra model) [13].

10
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Chương 2

Phân tích tính ổn định cho mơ hình
Lotka–Volterra

2.1

Phân tích q trình ổn định truyền tải

Trong phần này, chúng tơi tìm điều kiện cho giá trị của các tham số vật
lý nhằm truyền tải nhiều chuỗi soliton ổn định tới khoảng cách xa trong
hệ quang dẫn.
2.1.1

Phân tích tính ổn định cho mơ hình với L1 (|ψj |2 )

Đầu tiên, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định của trạng thái cân bằng

(η, η, ..., η). Chúng tôi xét hàm
VL (~η ) =

N
X

[ηj − η + η ln(η/ηj )],

(2.1)

j=1

trong đó ~η = (η1 , ..., ηj , ..., ηN ). Ta có VL (~η ) ≥ 0 với mọi ~η thỏa ηj > 0
với 1 ≤ j ≤ N và VL (~η ) = 0 khi và chỉ khi ηj = η với 1 ≤ j ≤ N . Như
vậy, VL (~η ) là một hàm Lyapunov cho phương trình (1.9). Từ phương trình
(1.9) và (1.6), ta có đạo của VL theo biến z thỏa:
N

16 X
5
dVL
= − 5
(ηj + η)(ηj − η)2 (ηj2 + η 2 − κ),
dz
15 j=1
4

(2.2)

trong đó 5 6= 0 và κ = 3 /5 . Chú ý rằng dVL /dz = 0 với ηj2 + η 2 − 5κ/4 =

0, 1 ≤ j ≤ N , tức là ηj = (5κ/4 − η 2 )1/2 , 1 ≤ j ≤ N . Chúng ta xét các
trường hợp sau: (1) Để điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận,
chúng ta cần dVL /dz < 0. Khi η 2 − 5κ/4 ≥ 0, tức là κ ≤ 4η 2 /5, từ phương
11
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

trình (2.8), ta có dVL /dz < 0 với mọi ηj > 0, 1 ≤ j ≤ N , nên điểm cân
bằng (η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận toàn cục. Khi ηj2 + η 2 − 5κ/4 > 0,
tức là ηj > (5κ/4 − η 2 )1/2 ≥ 0, 1 ≤ j ≤ N , ta có dVL /dz < 0. Đặt
(0)

= (5κ/4 − η 2 )1/2 . Khi đó, để điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn định



thì khoảng η (0) ), ∞ cần chứa η , 1 ≤ j ≤ N , tức là (5κ/4 − η 2 )1/2 < η
ηj

và 5κ/4 − η 2 ≥ 0. Như vậy, khi 4η 2 /5 ≤ κ < 8η 2 /5 thì điểm cân bằng

(η, η, ..., η) là ổn định tiệm cận. Miền thu hút (basin of attraction) của


(η, η, ..., η) trong trường hợp này được xác định bởi (5κ/4 − η 2 )1/2 , ∞ ,
1 ≤ j ≤ N . (2) Để điểm cân bằng (η, η, ..., η) là không ổn định, chúng ta
cần dVL /dz > 0. Khi ηj2 + η 2 − 5κ/4 < 0, tức là 0 < ηj < (5κ/4 − η 2 )1/2 =
(0)

ηj , 1 ≤ j ≤ N, ta có dVL /dz > 0. Để (η, η, ..., η) là khơng ổn định thì
(0)
khoảng 0, ηj
cần chứa η , tức là (5κ/4 − η 2 )1/2 > η và 5κ/4 − η 2 ≥ 0.
Như vậy, khi κ > 8η 2 /5 thì điểm cân bằng (η, η, ..., η) là không ổn định.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của trạng thái cân bằng

(0, 0, ..., 0). Từ phương trình (1.8), ta được


1
4 2 16 4
gj = − ε3 η + ε5 η − CN (N + 1) − j η.
3
15
2

(2.3)


Để điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) là ổn định, ta cần gj < 0 với 1 ≤ j ≤ N . Vì

gj tăng khi j tăng, nên ta có điều kiện đủ cho gj là gN < 0. Thế phương
trình (2.3) vào bất phương tình này, ta thu được điều kiện ổn định cho
điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) như sau:

3C
4
κ > η2 +
N (N − 1).
5
85 η

(2.4)

Như vâỵ, với κ thỏa điều kiện (2.4), ta có gj < 0 với 1 ≤ j ≤ N , nên điểm
cân bằng (0, 0, ..., 0) là ổn định.
Tóm lại, ta thu được điều kiện để các điểm cân bằng (η, η, ..., η) và

(0, 0, ..., 0) là ổn định như sau:
4 2
3C
8
η +
N (N − 1) < κ < η 2 .
5
85 η
5


(2.5)

3C
8
4 2
η +
N (N − 1) < η 2 .
5
85 η
5

(2.6)

Từ (2.5), ta có

12
Tn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Khi đó, ta thu được điều kiện cho giá trị 5 như sau:

5 >
2.1.2

15
CN (N − 1).
32η 3


(2.7)

Phân tích tính ổn định cho mơ hình với L2 (|ψj |2 )

Chúng tôi xét hàm Lyapunov cho bởi phương trình (1.9). Từ phương
trình (1.9) và (1.7), ta có đạo của VL theo biến z thỏa:
N
dVL
4 X
= − 3
(ηj + η)(ηj − η)2 < 0,
dz
3 j=1

(2.8)

cho mọi nj > 0 và 1 ≤ j ≤ N . Như vậy, điểm cân bằng (η, η, ..., η) là ổn
định tiệm cận toàn cục, với bất kỳ giá trị của η , R , 3 , và N . Tuy nhiên,
phân tích tính ổn định cũng chỉ ra rằng điểm cân bằng (0, 0, ..., 0) là không
ổn định. Điều này làm cho soliton không thể truyền tải xa trong ống dẫn
sóng, vì tác hại của nhiễu Raman và suy hao bậc ba sẽ bị khuếch đại trong
quá trình tuyền tải.
Nhằm giảm thiểu tác hại của nhiễu trong mơ hình này, chúng tôi thay thế
h
i
−1
ˆ
số hạng igj ψj /2 trong phương trình (1.1) bởi iF
g(ω, z)ψj /2, trong

đó ψˆj là biến đổi Fourier của ψj và F −1 là ký hiệu biến đổi Fourier ngược.
Hàm g(ω, z) được chọn sao cho có thể giảm được tác hại của nhiễu ở vùng
bên ngoài độ rộng W của tần số trung tâm của soliton. Cụ thể, hàm g(ω, z)
có thể được chọn như sau:
(
gj , nếu βj (z) − W/2 < ω ≤ βj (z) + W/2 với
g(ω, z) =
gL , nơi khác.

2.2

1 ≤ j ≤ N,

Phân tích q trình truyền tải tắt kênh dẫn sóng

Trong phần này, chúng tơi phân tích tính ổn định của truyền tải tắt M
kênh dẫn sóng với 1 ≤ M < N . Điều này yêu cầu điểm cân bằng (η, ..., η)
là không ổn định, điểm cân bằng (0, ..., 0) là ổn định tiệm cận, và một điểm
cân bằng khác với M thành phần nhỏ hơn giá trị ηth và N − M thành
phần lớn hơn giá trị ηth là ổn định tiệm cận. Trong phân tích ở phần 2.1,
13
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

ta thu được điều kiện cho điểm cân bằng (η, ..., η) là không ổn định và
điểm cân bằng (0, ..., 0) là ổn định tiệm cận như sau:


κ > max{8η 2 /5, 4η 2 /5 + 3CN (N − 1)/(85 η)}.

(2.9)

Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu tắt N − 1 kênh dẫn sóng. Giả sử rằng
chúng ta cần tắt các kênh dẫn sóng với 1 ≤ k ≤ j − 1 và j + 1 ≤ k ≤ N .
Điều này cần (0, 0, ..., ηsj , 0, ..., 0) là điểm cân bằng ổn định của mơ hình
(1.9). Từ phương trình (1.5), giá trị ηsj là nghiệm của phương trình:
4
2
ηsj
− 5κηsj
/4 − 15gj /(165 ) = 0.

(2.10)

Vì (0, ..., 0) được yêu cầu là điểm cân bằng ổn định nên theo phân tích
ở mục 2.1, ta có gj < 0 với 1 ≤ j ≤ N . Vì phương trình (2.10) cần có
nghiệm hai nghiệm dương nên chúng ta có

5 > 12|gj |/(5κ2 ).

(2.11)

Từ phương trình (2.3), ta có g1 < g2 < ... < gN < 0. Như vậy, bài toán
tắt N − 1 kênh dẫn sóng ở tần số thấp là dễ thực hiện nhất trong việc xác
định các giá trị nhỏ hơn cho 5 . Từ bất phương trình (2.11), chúng ta thu
được điều kiện sau:

κ > (8η/5)[5κ/4 − η 2 − 15CN (N − 1)/(325 η)]1/2 .


(2.12)

Như vậy, bài toán tắt N − 1 kênh dẫn sóng, 1 ≤ j ≤ N − 1, được thực
hiện khi điều kiện (2.9) và (2.12) được thỏa mãn.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu trường hợp tắt M kênh dẫn sóng tổng
quát. Như đã phân tích ở trên, việc tắt các kênh dẫn sóng ở tần số thấp
là dễ thực hiện hơn. Điều này được kiểm chứng bằng các mô phỏng giải
số trên mô hình Lotka-Volterra (1.9) và mơ hình NLS (1.1). Vì vậy, chúng
tơi thực hiện nghiên cứu tắt M kênh dẫn sóng với 1 ≤ j ≤ M . Điều này
cần điểm cân bằng (0, ..., 0, ηs(M +1) , ..., ηsN ) của mơ hình (1.9) là ổn định
tiệm cận. Các giá trị của ηs(M +1) , ..., ηsN được xác định bởi hệ:
4
2
ηsj
− 5κηsj
/4 − 15gj /(165 )

−15C/(165 )

N
X
k=M +1
14

Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.

(k − j)ηsk = 0,


(2.13)


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

trong đó M + 1 ≤ j ≤ N . Hệ phương trình (2.13) được viết lại dạng:
4
ηsj

−

2
5κηsj
/4

− 15C/(165 )

N
X

(k − j)ηsk

k=M +1
4

2

−η + 5κη /4 + 15CN [(N + 1)/2 − j]η/(165 ) = 0.

15

Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.

(2.14)


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Chương 3

Kết quả mơ phỏng số
Trong phần này, chúng tơi thực hiện kiểm chứng các tính tốn lý thuyết
thu được từ mơ hình Lotka–Volterra (1.5) bằng các mô phỏng giải số
trên hệ NLS (1.1). Hệ NLS (1.1) được giải số bằng phương pháp tách bước
Fourier (split-step Fourier method) với điều kiện biên tuần hoàn [1, 14, 15].
Chúng tôi xét điều kiện ban đầu của các mô phỏng số như sau:

ψj (t, 0) =

K−1
X

ηj (0) exp {iβj (0)[t − (k + 1/2)T − δj ]}
,
cosh
{η
(0)[t
−
(k
+

1/2)T
−
δ
]}
j
j
k=−K

(3.1)

trong đó ∆β = βj+1 (0)−βj (0)  1 với 1 ≤ j ≤ N −1 và δj = (j −1)T /N
với 1 ≤ j ≤ N tương ứng với sự dịch chuyển vị trí ban đầu của kênh thứ

j.
Trong các mơ phỏng số, chúng tôi thực hiện trên các tham số sau:

T = 15, ∆β = 15 và K = 1. Nhấn mạnh rằng chúng tôi cũng thu được
các kết quả tương tự khi thực hiện mô phỏng số với các tham số khác thỏa
mãn điều kiện ổn định như trong chương 2.

3.1

Mô phỏng số trong truyền tải ổn định soliton

Trong phần này, chúng tơi trình bày kết quả mơ phỏng số cho truyền
tải ổn định nhiều chuỗi soliton đến khoảng cách xa. Chúng tôi chọn η = 1
để trạng thái cân bằng của các chuỗi soliton là (1, ..., 1). Các tham số
vật lý khác được chọn với hệ số nhiễu Raman R = 0.0006 và 5 = 0.25
cho N = 4. Thêm nữa, chúng tôi chọn κ = 1.2 thỏa điều kiện ổn định
như trong chương 2 và biên độ ban đầu ηj (0) > (5κ/4 − η 2 )1/2 = 5.7072,

16
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

1 ≤ j ≤ 4 thỏa mãn thuộc vùng thu hút của điểm cân bằng (1, ..., 1) của
mơ hình ODEs. Các mơ phỏng giải số từ phương trình NLS (1.1) được
thực hiện đến khoảng cách truyền tải z = zf khi có một kênh dẫn sóng bị
biến dạng. Kết quả của các mơ phỏng trên được thể hiện như trong các
hình 3.1 và 3.2.
Sự phụ thuộc của biên độ soliton vào khoảng cách truyền tải z thu được
từ mơ hình NLS (1.1) và mơ hình ODEs (1.5) được thể hiện ở hình 3.1.
Trong hình 3.1, chúng ta quan sát được biên độ các chuỗi soliton dần hội
tụ về giá trị η khi khoảng cách truyền tải tăng dần đến zp và biên độ
soliton sau đó ổn đinh đến zr cho tất cả các kênh, với zr là khoảng cách
truyền tải được trước khi có một kênh dẫn sóng bị biến dạng. Trong các
mơ phỏng số, chúng tôi quan sát zp = 25, zr = 5300 và zf = 5350 cho

N = 4. Thêm nữa, các dự đoán lý thuyết cho biên độ soliton dựa trên mơ
hình Lotka–Volterra (1.5) là hồn tồn chính xác khi so với các kết quả
giải số thu được từ mơ hình NLS (1.1) với 0 ≤ z ≤ zr . Khoảng cách truyền
tải ổn định rr thu được từ mơ hình NLS (1.1) hiện tại là lớn hơn nhiều
so với các mơ hình trước đây. Cụ thể, khoảng cách truyền tải ổn định của
mơ hình hiện tại cho N = 4 lớn gấp 10.6 lần so với mơ hình dẫn sóng dưới
tác động của tán xạ Raman trong [9].
Hình dạng của các kênh dẫn sóng thu được từ các mơ phỏng số trên
mơ hình NLS (1.1) cho N = 4 tại zr và zf như trong hình 3.2. Chúng
tơi quan sát được hình dạng của các soliton vẫn được giữ cho đến khoảng

cách truyền tải zr , tức là sau khi chịu ảnh hưởng bởi một số lượng rất lớn
các va chạm trong quá trình tuyền tải, và được thể hiện như trong hình
3.2(e) cho N = 4. Chúng ta thấy hình dạng sóng bị biến dạng tại z = zf .

3.2

Mơ phỏng số trong truyền tải tắt kênh dẫn sóng

Trong phần này, chúng tơi trình bày kết quả mơ phỏng số cho truyền
tải tắt M kênh dẫn sóng với 1 ≤ M ≤ N − 1.
Trong mô phỏng số, soliton được truyền tải ổn định theo mơ hình A1
trên [0, zs ), trong đó zs = 250 cho N = 4. Tại z = zs , chúng tôi thay đổi
17
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Hình 3.1: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong q

trình truyền tải ổn định với mơ hình NLS (1.1) cho N = 4. Hình (b) là phần phóng lớn
của hình (a) tại khoảng cách truyền tải ngắn. Các hình trịn đỏ, hình vng xanh lá
cây, tam giác thuận xanh dương và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và
η4 (z) tương ứng, thu được từ mơ phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền
nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện
η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.5).

18
Tn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.

Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Hình 3.2: Hình dạng sóng tại khoảng cách truyền tải z = zr trước khi có kênh sóng bị biến

dạng và z = zf sau khi có kênh sóng bị biến dạng cho N = 4 với các tham số được sử
dụng trong hình 3.1. Hình (a) thể hiện |ψj (t, z)| tại z = zr và hình (b)|ψj (t, z)| tại z = zf
với j = 1, 2, 3, 4. Các đường cong liền nét đỏ, đứt nét xanh lá cây có chấm, nét chéo
xanh dương, và đường đứt nét tím lần lượt thể hiện |ψj (t, z)|, j = 1, 2, 3, 4, thu được
từ mơ phỏng số với phương trình (1.1). Các khoảng cách truyền tải là z = zr = 5300
(a), và z = zf = 5350 (b).

19
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

các tham số vật lý, soliton khi đó được truyền tải theo mơ hình A2 trên

[zs , zf = 500]. Với mơ hình A2, M chuỗi soliton ở tần số thấp sẽ có biên
độ hội tụ về 0 và N − M chuỗi soliton ở tần số cao sẽ có biên độ hội tụ về

ηsj , M + 1 ≤ j ≤ N , tùy vào các tham số vật lý. Chúng tôi sử dụng cùng
một giá trị hệ số nhiễu Raman R = 0.0006 trong mơ hình A1-A2. Trong
mơ hình A1, các tham số vật lý cùng được chọn với 5 = 0.1, κ = 1.2, và


η = 1. Trong mơ hình A2, các tham số vật lý 5 , κ, và η được chọn tùy
vào số lượng kênh dẫn sóng trong hệ quang dẫn và số lượng kênh dẫn sóng
cần được tắt tại z = zs . Cụ thể với hệ N = 4 kênh, chúng tôi sử dụng

5 = 0.08, κ = 2 và η = 1.24 để tắt M = 1 kênh, 5 = 0.04, κ = 1.8 và
η = 1.05 để tắt M = 2 kênh, và 5 = 0.04, κ = 2 và η = 1.1 để tắt M = 3
kênh. Kết quả mô phỏng số được thể hiện ở hình 3.3 cho N = 4. Chúng
tơi cũng nhấn mạnh rằng, các kết quả dự đoán lý thuyết về biên độ soliton
theo mơ hình Lotka–Volterra là hồn tồn chính xác với kết quả mô phỏng
số trên hệ NLS. Đặc biệt hơn, các giá trị ηsj đo được trên hệ NLS là hồn
tồn tương tự với các giá trị được tính tốn trên hệ Lotka–Volterra.
Hình 3.3 lần lượt mơ tả sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của
biên độ soliton ηj theo mơ hình A1-A2 cho hệ N = 4 kênh. Kết quả mô
phỏng số cho thấy, biên độ của các chuỗi soliton hội tụ về η = 1 và được
truyền tải ổn định đến z = zs . Trên [zs , zf ], biên độ của các chuỗi soliton
có tần số thấp hơn dần hội tụ về 0 và biên độ của các chuỗi soliton có tần
số cao hơn hội tụ về ηsj . Cụ thể như sau. Hình 3.3(a) cho trường hợp tắt

M = 1 kênh, biên độ của chuỗi soliton ở kênh thứ j = 1 có tần số thấp
hơn dần hội tụ về 0 và biên độ của chuỗi soliton ở kênh thứ j = 2, j = 3,
và j = 4 có tần số cao hơn lần lượt hội tụ về ηs2 = 1.0027, ηs3 = 1.0020,
và ηs4 = 1.0019. Hình 3.3(b) cho trường hợp tắt M = 2 kênh, biên độ của
chuỗi soliton ở kênh thứ j = 1 và j = 2 có tần số thấp hơn dần hội tụ về
0 và biên độ của chuỗi soliton ở kênh thứ j = 3 và j = 4 có tần số cao
hơn hội tụ về ηs3 = 1.2499 và ηs4 = 1.2878. Hình 3.3(c) cho trường hợp
tắt M = 3 kênh, biên độ của chuỗi soliton ở kênh thứ j = 1, j = 2, và

j = 3 có tần số thấp hơn dần hội tụ về 0 và biên độ của chuỗi soliton ở
20
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.

Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

kênh thứ j = 4 có tần số cao hơn hội tụ về ηs4 = 1.3640.

3.3

Mô phỏng số trong truyền tải bật kênh dẫn sóng

Trong phần này, chúng tơi ký hiệu mơ hình NLS với L2 (|ψj |2 ) là mơ
hình B. Trong truyền tải tắt/mở kênh dẫn sóng, chúng tơi thực hiện mơ
phỏng số với mơ hình A2-B-A1. Khi đó, chúng tơi thực hiện tắt M kênh
dẫn sóng trên đoạn [0, zs1 ), sau đó bật lại M kênh dẫn sóng trên đoạn [zs1 ),
và cuối cùng là thực hiện truyền tải ổn định trên đoạn [zs2 , zf ]. Tham số

R = 0.0006 cho các mơ hình và các giá trị tham số được chọn như sau:
(1) 5 = 0.1, κ = 1.2, và η = 1 cho mơ hình A1; (2) 5 = 0.032, κ = 2.2,

η = 1.1 cho M = 2 và 5 = 0.02, κ = 2.8, η = 1.3 cho M = 3 trong mơ
hình A2; (3) 3 = 0.02, η = 1, W = 10, và gL = −0.5 trong mơ hình B.
Các khoảng cách truyền tải được thực hiện với zs1 = 30 và zs2 = 80 cho

M = 2 trong khi zs1 = 30 và zs2 = 90 cho M = 3. Giá trị zf được chọn là
zf = 1000. Các kết quả giải số được thể hiện như trong hình 3.4.
Hình 3.4 minh họa cho mơ phỏng trong tắt/mở M kênh dẫn sóng. Trong
tắt M kênh dẫn sóng với mơ hình A2, chúng ta quan sát thấy rằng biên
độ soliton trong M kênh có tần số thấp hội tụ về 0 trong khi biên độ của


N − M kênh có tần số cao tăng lên khi z < zs1 . Khi bật M kênh dẫn sóng
với mơ hình B, chúng ta thấy biên độ các kênh dẫn sóng dần hội tụ về giá
trị η khi zs1 ≤ z < z2 . Khi truyền tải ổn định với mơ hình A1, chúng ta
thấy biên độ các kênh dẫn sóng ổn định với giá trị η = 1 tới zf = 1000.
Kết quả trên hình 3.4 cho thấy các giá trị biên độ tính từ giải số và giá trị
biên độ tính từ mơ hình ODEs là trùng khớp nhau.

3.4

Mơ phỏng số cho mơ hình lai ghép tắt/bật kênh dẫn sóng
nhiều lần

Một ứng dụng quan trọng khác trong các thiết lập chuyển kênh động
(switching setups) trong đề tài của chúng tôi là khả năng thực hiện việc
xử lý tín hiệu trong truyền tải đa kênh. Trong ứng dụng này, biên độ ηj

21
Tuân thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Hình 3.3: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong q

trình truyền tải với mơ hình A1-A2 cho N = 4. Các hình trịn đỏ, hình vng xanh lá
cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và
η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường cong liền
nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt thể hiện
η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính tốn lý thuyết với phương trình (1.5).

22

Tn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.


Bản quyền tài liệu thuộc về Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh.

Hình 3.4: Sự phụ thuộc vào khoảng cách truyền tải z của biên độ soliton ηj trong q

trình truyền tải với mơ hình (A2-B-A1) cho N = 4. Các hình trịn đỏ, hình vng
xanh lá cây, tam giác thuận xanh dương, và tam giác ngược tím thể hiện η1 (z), η2 (z),
η3 (z), và η4 (z) tương ứng, thu được từ mô phỏng số với phương trình (1.1). Các đường
cong liền nét nâu, đứt nét xám, đứt nét đen có chấm, và đường nét chấm cam lần lượt
thể hiện η1 (z), η2 (z), η3 (z), và η4 (z) thu được từ tính tốn lý thuyết với phương trình
(1.5).

23
Tn thủ Luật sở hữu trí tuệ và Quy định truy cập tài liệu điện tử.
Ghi rõ nguồn tài liệu khi trích dẫn.