SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT YÊN THẾ

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

THUYẾT MINH
Mô tả giải pháp và kết quả thực hiện sáng kiến
1. Tên sáng kiến: Phân loại và cách giải bài tốn tìm giới hạn hàm số trong
chương trình Tốn lớp 11 THPT.
2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 2/2021.
3. Các thông tin cần được bảo mật: Không
4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm:
Trường THPT Yên Thế, là một trường thuộc huyện miền núi của tỉnh Bắc
Giang, với nhiều học sinh là con em các dân tộc thiểu số như: Tày, Nùng, Cao
lan, Dao, Sán trí, Sán dìu, Sán chay..., cịn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến
thức, đặc biệt là kiến thức của các mơn địi hỏi tư duy trừu tượng như mơn Tốn.
Phần đơng học sinh có học lực mơn Tốn mức trung bình, yếu. Với đặc điểm
như trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh cơ bản, tôi
thường mong muốn tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các
bài tốn có mức độ khó vừa phải (mức 1, 2, 3) và bám sát các đề kiểm tra giữa
học kỳ, cuối học kỳ hoặc các bài toán làm cơ sở để phát triển cho các chủ đề
khác, bài toán giới hạn hàm số là một trong số kiến thức cần thiết.
Lượng kiến thức về giới hạn hàm số trình bày trong chương trình sách giáo
khoa Đại số và Giải tích lớp 11 tương đối ít, nghèo nàn; bài tập chưa phong phú
và chưa nhiều; chưa có sự phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể. Điều này thực
sự là khó khăn đối với những học sinh có học lực trung bình, yếu. Thực tế trong
sách giáo khoa chỉ trang bị những kiến thức cơ bản và đưa ra một số bài tập đại
diện.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp ở lớp 11a6 (một lớp cơ bản đối với mơn

Tốn), tơi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng,
không hiểu đầu bài, không định hướng được cách giải, trong quá trình biến đổi


và áp dụng các tính chất. Cụ thể, năm học 2018-2019 khi chưa áp dụng sáng
kiến vào giảng dạy. Tôi tổng hợp kết quả điểm phần giới hạn hàm số qua bài
kiểm tra cuối học kỳ được kết quả như sau:

Lớp

11a1

Số

Điểm tối đa

Đạt 75%

Đạt 50%

Dưới 50%

HS

SL

%

SL


%

SL

%

SL

%

45

1

2.22

6

13.33

11

24.44

27

60.01

Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2020-2021 tơi đã tiến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại lớp 11a6 (có chất lượng tương đương với lớp

11a1 trong năm học trước), bằng cách vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
Trước khi thực hiện giải pháp, các phương pháp chủ yếu áp dụng trong dạy
học bài giới hạn hàm số là: dạy học giải quyết vấn đề, kết hợp phương pháp dạy
học nhóm và các phương pháp truyền thống....bám sát theo nội dung, chương
trình sách giáo khoa hiện hành, trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh sau đó
vận dụng vào giải các bài tập trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, đáp ứng mục
tiêu giáo dục với yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, các phương pháp trên
còn một số hạn chế như: sự vận động của học sinh chưa toàn diện, sự trải
nghiệm đồng thời về cùng một vấn đề nghiên cứu theo các kênh thơng tin cịn ít,
sự phát triền đồng đều hài hòa phẩm chất và năng lực của học sinh đơi khi cịn
bị hạn chế. Đặc biệt đối với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp rất hạn chế, gần như giải bài nào biết bài đó. Việc tự
hình thành phương pháp giải chung và phân loại bài tốn là rất khó khăn. Hơn
nữa, lượng thời gian dành cho tiết học trên lớp là không nhiều nên giáo viên
giúp học sinh tổng hợp, phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể là việc làm rất cần
thiết.
5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
Toán học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành


phương pháp giải từng dạng toán là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu.
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, việc phân loại và hình thành
phương pháp giải các bài tốn tìm giới hạn hàm số có vai trị rất quan trọng, nó
có tính chất thực hành, tổng hợp và sáng tạo. Ngồi ra, nó củng cố, huy động
nhiều kiến thức và rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản.
Khi giải các bài tập tìm giới hạn hàm số thầy và trò vừa phải nhớ kiến thức
cơ bản, vừa phải xác định mối quan hệ của các dữ kiện từ đó hướng đến những
điều cần tìm tịi. Do vậy, người học phải luôn tư duy, suy luận logic, cẩn thận, tỷ

mỷ, đảm bảo tính chính xác, thúc đẩy người học khơng ngừng sáng tạo, ln
ln phải cố gắng, tích cực, tự lực.
Trong quá trình giảng dạy đối tượng học sinh các lớp cơ bản tơi thấy các
em cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng và nhầm lẫn, sai sót trong việc giải quyết
một số bài tốn tìm giới hạn hàm số. Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tơi, ngun nhân chủ yếu là học sinh chưa biết
nhận dạng và lựa chọn các phương pháp phù hợp để giải bài toán hữu hiệu.
Các bài tốn tìm giới hạn hàm số ở lớp 11 là một chủ đề quan trọng và
xuyên suốt, làm cơ sở để giải nhiều bài toán ở lớp 11, 12, thường được đưa vào
các bài kiểm tra giữa học kỳ, cuối học kỳ lớp 11, đề thi THPT quốc gia và đề thi
học sinh giỏi. Vì vậy, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải là hết sức quan
trọng đối với học sinh.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao địi hỏi người thầy
phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các
phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ.
Các bài tốn tìm giới hạn hàm số là phần kiến thức rất đa dạng, phong
phú, cần có tư duy lơ gíc, khả năng ước lượng và độ chính xác cao. Để học tốt
được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, thường xuyên làm
bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi biến đổi. Kiến thức, bài tập


ở phần này tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học
sinh trung bình, yếu thì khá khó khăn trong việc phân loại các dạng tốn và vận
dụng phương pháp phù hợp.
Do đó, tơi ln chú trọng việc hệ thống, phân loại các dạng bài tập và
phương pháp giải hoặc tìm ra một phương pháp mới, để giảng dạy cho học sinh,
một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng
thú khi học.
6. Mục đích của giải pháp sáng kiến:

Đề tài góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn việc phân
loại và đưa ra phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn hàm số trong chương trình
Tốn lớp 11 THPT.
Giúp học sinh nhận dạng và tìm ra phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất
một số dạng bài tập tìm giới hạn hàm số thường gặp trong các đề kiểm tra giữa
học kỳ, cuối học kỳ, đề thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi. Phát triển khả
năng tổng hợp, khái qt hóa dạng tốn và phương pháp giải chung.
Rèn luyện kỹ năng giải nhanh và giải bài tập trắc nghiệm.
Nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ phục vụ cho công tác giảng
dạy, ôn tập giữa học kỳ, cuối học kỳ, ôn thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia.
Đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
7. Nội dung:
7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến
7.1.1. Giải pháp 1:
- Tên giải pháp: Nghiên cứu, tìm hiểu cơ sở lý thuyết để giải quyết bài tốn tìm
giới hạn hàm số trong chương trình Tốn lớp 11 THPT.
- Nội dung: Hệ thống lại kiến thức cơ bản; tổng hợp và phân loại các dạng toán;
đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Chỉ ra những điểm cần chú
ý, những sai lầm thường gặp và hạn chế của phương pháp.
- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo
và các đề thi, đề kiểm tra.


Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy và học phần kiến thức này qua các hình
thức như dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp…
Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chun mơn
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức

thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa
trước khi chưa áp dụng sáng kiến.
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để phân tích
kết quả.
- Kết quả khi thực hiện giải pháp:
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải quyết bài tốn tìm
giới hạn hàm số ở lớp 11 THPT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số
xác định trên khoảng
với mọi dãy số
nói hàm số

, có thể trừ điểm

. Nếu

ta đều có

thì ta

mà
có giới hạn là số

hoặc

khi


khi

dần đến

.

b) Giới hạn vô cực
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là
hạn vơ cực khi

và kí hiệu

ta đều có

có giới hạn là L (hoặc
(hay
Khi

) hoặc
hàm số

(hay
trong

khi

có giới
.


. Khi đó nếu với mọi dãy số
(hoặc

) ta nói hàm số

) khi x dần tới vơ cực. Khi đó viết
)
, với mọi dãy

đều có
(hay
) thì ta có
(hay
) khi
Một số giới hạn của hàm số tại vơ cực
*

thì ta nói

hay

2) Giới hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số
xác định trong khoảng
với

. Khi đó ta kí hiệu

mà
(hay


ta
) hoặc


*

(với

);

nếu k chẵn và

nếu k lẻ.

*
3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí: Nếu

, c là hằng số thì

*
*

và

* Nếu

(c là hằng số)


thì

*
*
*

với

II. PHÂN LOẠI DẠNG TỐN

1. Dạng 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số và những quy tắc cơ bản
Phương pháp giải:
* Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số
trên cơ sở giới hạn các dãy
.
Nếu có 2 dãy

và

cùng tiến đến

mà

thì khơng tồn

tại
*Với mọi số nguyên dương k, ta có:
* Xác định dấu

hoặc


dựa trên dấu của tích số, thương số,

Chú ý: Nếu hàm số

là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm

số lượng giác có tập xác định là D thì với mỗi

ta có

2. Dạng 2: Dạng vơ định
Xét bài tồn: Tính

khi

, trong đó

là

các đa thức và căn thức.
Phương pháp giải:
Phân

tích

tử

và


mẫu

thành

các

nhân

tử

và

giản

ước:


Nếu

đều chứa nhân tử

ta sẽ tiếp tục phân tích thành các nhân

tử.
Chú ý:
- Với

là đa thức (thường là hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn…) thì ta

phân tích nhân tử bằng việc giải phương trình

- Với

là căn thức, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp

số hoặc liên hợp biến) để phân tích nhân tử.
- Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa
thức, sơ đồ Hoócne,…
- Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất
theo x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định
- Nếu

.

thì

3. Dạng 3: Dạng vơ định

Bài tốn : Tính

khi

, trong đó

là

các đa thức và căn thức.
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho
thức. Nếu


với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu

có chứa biến x trong dấu căn thức thì đưa

ra ngồi dấu

căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn).
Chú ý:
* Khi

thì ta xử lý giống như với giới hạn của dãy số.

* Khi

ta cần lưu ý khi đưa

Dạng hay gặp chính là
*Xét hàm số

ra ngồi dấu căn thức bậc chẵn.
khi

và

có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của

lượt là a, b
Và kí hiệu
- Nếu


khi

lần lượt là bậc của
thì

lần


- Nếu

thì

- Nếu

thì

4. Dạng 4: Dạng vơ định 0.∞
Bài tốn : Tính

khi

và

Phương pháp giải:
Ta biến đổi

để đưa về dạng

Hoặc biến đổi


để đưa về dạng

.

5. Dạng 5: Dạng vô định ∞ - ∞
Bài tốn 3: Tính

khi

và

Phương pháp giải:
Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân
thức.
6. Dạng 6: Giới hạn một bên
Phương pháp giải:
* Nếu
* Nếu

thì khơng tồn tại
thì

7.1.2. Giải pháp 2:
- Tên giải pháp: Vận dụng, thực hành giải bài tốn tìm giới hạn hàm số trong
chương trình Tốn lớp 11 THPT.
- Nội dung: Lựa chọn bài tập có tính đại diện cao, phù hợp từng dạng đã phân
loại làm ví dụ minh họa phương pháp; vận dụng phương pháp đã nêu, giải bài
tập mẫu, kèm theo chú thích và những chú ý hay mắc sai lầm. Chỉ ra ưu điểm,
hạn chế của phương pháp giải. Lựa chọn bài tập trắc nghiệm cho học sinh tự rèn
luyện kỹ năng giải nhanh, đáp ứng các đề thi, kiểm tra.

- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo
và các đề thi.


Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy và học phần kiến thức này qua các hình
thức như dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp…
Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chun mơn
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức
thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa
trước khi chưa áp dụng sáng kiến.
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để phân tích
kết quả.
- Kết quả khi thực hiện giải pháp:
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Thực hành, phân loại và vận dụng
phương pháp giải bài tập tìm giới hạn hàm số trong chương trình Tốn lớp 11
THPT.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số và những quy tắc cơ bản
Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số
a)

khi

b)

khi


Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là
cho

. Chọn dãy số

với

sao

. Theo định nghĩa

Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có
. Vậy
b) Tập xác định của hàm số là

Ta có

nên chọn dãy số

sao cho

.


Vậy
Chú ý: Nếu hàm số

là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm


số lượng giác có tập xác định là D thì với mỗi

ta có

Ví dụ 2. Tính giới hạn của các hàm số
a)

khi

b)

khi

Lời giải:
a) Theo định lí 1, ta có
. Vậy
b) Vì
Nhưng với

khi

nên chưa thể áp dụng ngay Định lí 1.

, ta có

suy ra

.


Vậy
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:
a)

b)

c)
Lời giải:

a)
b)
c)

Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau


a)

b)

c)
Lời giải:

a)

b)

c)
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a)


b)

c)

d)

Lời giải:
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a)
b)
c)
d)

d)


2. Dạng 2. Khử dạng vơ định
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau

a)

b)

c)

d)

Lời giải:
a)
b)
c)
d)
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a)
b)
c)
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)

Lời giải:

a)
b)

d)


c)
d)
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a)
b)

c)
Ví dụ 5. Tìm giới hạn các hàm số sau
a)

b)

c)
Lời giải:


a)

b)
c)

Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:


a) Ta có

b)

c)

3. Dạng 3, 4, 5. Khử dạng vơ định

, 0.∞, ∞ - ∞

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)

Lời giải:

a)

b)


c)
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a)

b)

c)
Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a) Đặt


. Với

Khi đó

b)
Đặt

. Với

. Khi đó


c)
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a)
Đặt

. Với

. Khi đó

b)

Đặt

. Với

Khi đó

c)
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a)

b)
Lời giải:

a) Ta có
và


b)
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a)

b)
Lời giải:

a) Ta có

;

b) Ta có


4. Dạng 6. Giới hạn một bên
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a)

b)

c)
Lời giải:

a)
b)
c)
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các hàm số tại các điểm chỉ ra:
a)

tại

b)

Lời giải:

tại


a)

. Do đó, khơng tồn tại
b)

Nhận thấy


. Do đó

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn của hàm số tại các điểm chỉ ra:
a)

tại

b)

tại
Lời giải:

a)

Để tồn tại
Với

thì
thì

Vậy với

thì

b)

Để tồn tại
Với
Vậy với


thì
thì
thì


II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Giới hạn
A. 0

bằng
B. -∞

Câu 2. Cho

C. +∞

D. 2

. Tính giá trị của a

A. -6

B. 12

C. 6

Câu 3. Tính giới hạn


D. -12

ta được kết quả là

A. -∞

B. 1

C. -1

D. 0

B.

C. +∞

D. 0

B.

C. -∞

D. 0

bằng
B. -∞

C. +∞

D. 2


Câu 4. Giá trị của giới hạn
A.

bằng

Câu 5. Tính
A. -2
Câu 6.
A. 0
Câu 7. Biết

. Tính

A.
B.
C.
Câu 8. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng +∞?
A.
Câu 9.
A. 1
Câu 10.
A. 0

D.

B.

C.


D.

B. +∞

C. 0

D.

B. 1

C.

D.

B. 0

C. -1

D. 1

C.

D.

C. -∞

D. -1

bằng


bằng

Câu 11. Tính
A. -∞
Câu 12. Giới hạn
A. +∞
Câu 13. Giới hạn
A. +∞

bằng
B.
bằng
B. 1


Câu 14. Giới hạn

bằng

A. +∞

B.

C. -2

D. 5

B. -∞

C. +∞


D. 0

B. 1

C. -∞

D. 0

C.

D. 0

Câu 15. Giới hạn

bằng

A.
Câu 16.

bằng

A. +∞
Câu 17.

bằng

A. -2

B. +∞


Câu 18. Giá trị của giới hạn
A. 0

bằng

B. -∞

C.

Câu 19. Cho giới han

D.

(phân số tối giản). Giá trị của

là
A.

B.

C.

Câu 20. Tìm a để hàm số
A. 1

C. 2

D. -2


C.

D.

B. -3

C. -1

D. 1

B.

C.

D.

Câu 21. Kết quả của

Câu 22.

có giới hạn tại

B. -1

A. +∞

D.

bằng
B. -∞


bằng

A.
Câu 23. Tìm giới hạn
A.
Câu 24. Cho giới hạn
A.
Câu 25. Tính giới hạn

trong đó
B.

C.

là phân số tối giản. Tính
D.