BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN THÚY HƯỜNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN NỘI
SUY VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn : TS. NGUYỄN VĂN VŨ

BÌNH ĐỊNH - 2021


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Phép tính vi phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Phép tính tích phân hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Đa thức và một vài tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Một số lớp đa thức đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Một số bài toán nội suy cổ điển
2.1

9

Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . .

9


2.1.1

Bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1.2

Một số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Khai triển Lagrange và bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.1

Một số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15


Đa thức nội suy của một hàm và đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . .

16

2.4

3 Nội suy Lidstone

18

3.1

Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2

Đa thức Lidstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.3

Biểu diễn đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.4


Biểu diễn sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.5

Ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41


ii

4 Ứng dụng bài toán nội suy trong giải toán THPT

43

Kết luận

55


1

Mở đầu
Trong nhiều tình huống nhất định, ta cần phải xác định giá trị (gần đúng) của một
hàm số f (x) tại một họ điểm cho trước, với những điều kiện ban đầu phù hợp (chẳng
hạn, biết một số giá trị rời rạc của hàm số và của các đạo hàm của nó đến cấp nào
đó tại một số điểm x1 , x2 , ..., xk ). Ngay cả khi biểu thức xác định hàm số đã được cho

tường minh, việc tính tốn chính xác giá trị hàm theo cơng thức đôi khi cũng là một
công việc tương đối phức tạp. Bởi vậy, việc tìm kiếm những cơng cụ tính tốn xấp xỉ
có hiệu quả là một vấn đề có nhiều ý nghĩa. Nghiên cứu những phép xấp xỉ như thế là
nội dung của bài toán nội suy, một trường hợp riêng của lý thuyết xấp xỉ trong Giải
tích số.
Các bài toán nội suy cổ điển ra đời từ rất sớm và đóng vai trị quan trọng trong
nhiều lĩnh vực, là một phần quan trọng của đại số và giải tích Tốn học. Chúng khơng
chỉ là đối tượng nghiên cứu mà cịn đóng vai trị như là một cơng cụ đắc lực của các
mơ hình liên tục cũng như các mơ hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương
trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,...
Trong chương trình tốn phổ thơng, lý thuyết về nội suy chưa được đề cập đầy đủ,
nhưng đôi khi ta vẫn bắt gặp những ứng dụng sơ cấp của nó (thường ẩn sau các định
lý, những bài toán liên hệ với đa thức). Trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp, các
bài toán liên quan đến bài toán nội suy hay xuất hiện dưới dạng các bài toán xác định
đa thức; các bài toán về khai triển, đồng nhất thức; ước lượng và tính giá trị của các
tổng, tích; các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước;... Đây thường
là các bài tốn khó, và nhiều khi địi hỏi kỹ thuật phức tạp. Trong những tình huống
như vậy, việc vận dụng lý thuyết về các bài tốn nội suy dưới góc độ tốn phổ thơng
là cần thiết, thậm chí cho ra những lời giải gọn gàng hơn.


2

Luận văn này hướng đến mục tiêu tiếp cận những vấn đề như vậy. Mục tiêu chủ
yếu của đề tài nhằm tiếp cận một số vấn đề liên quan đến bài toán nội suy đa thức và
vận dụng chúng vào một số bài tốn có nội dung liên quan ở chương trình bậc trung
học phổ thơng.
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn gồm có bốn chương.
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở, trình bày một số kiến thức về phép tính vi
phân hàm một biến; đa thức và một vài tính chất sơ cấp, các lớp đa thức đa thức

Euler, đa thức Bernoulli.
Chương 2: Một số bài toán nội suy cổ điển, khảo sát một số lớp bài toán nội suy
cổ điển như: khai triển Taylor, khai triển Lagrange, nội suy Newton; đồng thời trình
bày sơ bộ lý thuyết ước lượng sai số trong bài toán nội suy.
Chương 3: Nội suy Lidstone, dành cho việc nghiên cứu một số vấn đề về đa thức
Lidstone, biểu diễn của đa thức nội suy Lidstone và biểu diễn sai số tương ứng.
Chương 4: Ứng dụng, giới thiệu một số bài toán ở bậc trung học phổ thơng mà có
thể ứng dụng được đa thức nội suy.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn Nguyễn Văn
Vũ, Trường Đại học Quy Nhơn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy vì đã
tận tình giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng
Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp
Cao học Phương pháp tốn sơ cấp Khóa 22 đã dày cơng giảng dạy trong suốt khóa
học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tác giả cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình và bạn bè đã
ln tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học và luận văn này.
Mặc dù tác giả đã cố gắng nỗ lực hết mình nhưng luận văn khơng tránh khỏi có
chỗ thiếu sót cũng như hạn chế nhất định. Tác giả rất mong nhận được những góp ý
của quý Thầy Cô cùng bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn.


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi hệ thống hóa một số kiến thức chuẩn bị cần thiết về
sau. Chúng được tham khảo từ các tài liệu [11], [14], [1], [16]. Do điều kiện có hạn, tác
giả sẽ chỉ tập trung đề cập đến những khái niệm quan trọng nhất, phần còn lại được

coi như là quen thuộc, hoặc có thể tìm thấy từ những tài liệu đã dẫn ra.

1.1

Phép tính vi phân hàm một biến

Trong nhiều nội dung chính về sau luận văn sẽ thường xun đề cập đến các cơng
cụ từ giải tích hàm một biến. Mục này sẽ nhắc lại một vài đối tượng thường xuất hiện
nhất trong những lập luận hoặc tính toán. Với một dãy số thực (an ) cho trước người
ta nói a là giới hạn của dãy (hay dãy (an ) hội tụ về a) nếu




∀ϵ > 0, ∃n0 ∈ N sao cho: n ≥ n0 ⇒
an − a
< ϵ.
Trong trường hợp ngược lại dãy (an ) là phân kỳ. Về mặt ký hiệu, giống như thông lệ ở
các giáo trình giải tích, chúng tơi viết limn→∞ an = a (hay an → a) để chỉ cho sự kiện
dãy (an ) hội tụ về a.
Bây giờ, xét hàm số f : D → R với D là một tập trong R và a là điểm tụ của tập D.
Số L sẽ gọi là giới hạn của f khi x dần đến a nếu
∀(xn ) ⊂ D, xn ̸= a, xn → a ⇒ f (xn ) → L.


4

Người ta định nghĩa hàm f là liên tục tại điểm a trên miền xác định nếu có đẳng thức
lim f (x) = f (a).


x→a

Nếu D là một khoảng và f liên tục tại mọi điểm của nó thì ta nói hàm f là liên tục
trên D.
Hàm số f xác định trên một khoảng (a, b) gọi là khả vi x0 ∈ (a, b) nếu giới hạn
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
lim

tồn tại và hữu hạn. Giá trị của giới hạn đó là đạo hàm của hàm f tại x0 hay kí hiệu
là f ′ (x0 ). Ta nói f khả vi trên khoảng (a, b) nếu nó khả vi tại mọi điểm trong đó. Lúc
này, đạo hàm f ′ là một hàm số xác định trên toàn bộ (a, b).
Bằng quy nạp, người ta định nghĩa các đạo hàm cấp cao của f . Theo đó, đạo hàm cấp
k của hàm số f tại x, ký hiệu f (k) (x) được xác định như là đạo hàm tại x của hàm
đạo hàm cấp (k − 1)

′
f (k) (x) = f (k−1) (x).
Hàm f sẽ gọi là khả vi liên tục đến cấp k, hay thuộc lớp C k , nếu đạo hàm f (k) tồn tại
và là hàm số liên tục.
Ví dụ 1.1.1. Ví dụ này minh họa cho một lớp hàm khả vi đến cấp tùy ý trên tập xác
định. Xét hàm số y = f (x) =

1
,
x+3

n ∈ N ∗ . Ta có


1
1!
1
=
(−1)
,
(x + 3)2
(x + 3)2
1.2
2!
2
y ′′ = (−1)2
=
(−1)
.
(x + 3)3
(x + 3)3
y ′ = (−1)1

Từ đây có dự đốn
y (n) = (−1)n

n!
.
(x + 3)n+1

(1.1)

Chứng minh (1.1) bằng quy nạp. Với n = 1 thì (1.1) hiển nhiên đúng. Giả sử 1.1 đúng
với n = k ≥ 1,, tức là

y (k) = (−1)k

k!
.
(x + 3)k+1


5

Ta cần chứng minh 1.1 đúng với n = k + 1.Thật vậy, theo định nghĩa

′
′

 (k) ′
k!
k!
k
k+1
(k+1)
k+1
= (−1)
= (−1) 
y
= y
2 (x + 3)
(x + 3)k+1
k+1
(x + 3)
= (−1)k+1


k!(k + 1)
(k + 1)!
= (−1)k+1 .
,
k+2
(x + 3)
(x + 3)k+2

tức là (1.1) đúng với n = k + 1.
Các định lý giá trị trung bình sau đây sẽ là đối tượng có ích trong một số lập luận
phía sau.
Định lý 1.1.2 (Rolle, [14]). Cho f là hàm liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong
(a, b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại điểm c ∈ (a, b) sao cho f ′ (c) = 0.
Định lý 1.1.3 (Lagrange, [14]). Nếu f là hàm số liên tục trên [a, b] và có đạo hàm
trong (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho
f ′ (c) =

1.2

f (b) − f (a)
.
b−a

Phép tính tích phân hàm một biến

Bên cạnh khái niệm vi phân, tích phân xác định cũng sẽ là đối tượng quan trọng
cho việc trình bày nội dung về sau. Chúng tôi nhắc lại sơ bộ một vài tính chất cơ sở
của khái niệm này. Xét một hàm số f xác định và bị chặn trên [a, b]. Chia một cách
tùy ý đoạn [a, b] bởi các điểm chia a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. Trên mỗi

đoạn [xi , xi+1 ], lấy một điểm ξi và lập tổng tích phân
In = f (ξ0 ) △ x0 + f (ξ1 ) △ x1 + f (ξ2 ) △ x2 + . . . + f (ξn−1 ) △ xn−1 =

n−1
X

f (ξi ) △ xi .

i=0

Nếu tồn tại giới hạn của In khi △xi → 0 không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và
cách chọn điểm ξi trong đoạn [xi , xi+1 ], thì ta nói hàm f khả tích trên đoạn [a, b] và gọi
giới hạn nói trên là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b]. Nói riêng, mọi
hàm số liên tục đều là khả tích trên đoạn con bao hàm trong miền xác định của nó.
Một số tính chất cơ bản của tích phân xác định đã được trình bày trong tài liệu [14].


6

Để kết thúc mục này, chúng tôi nhắc lại kết quả sau đây về định lý giá trị trung
bình tích phân.
Định lý 1.2.1. Nếu hàm số f khả tích trên đoạn [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M, với mọi
x ∈ [a; b] thì tồn tại một số m ≤ µ ≤ M sao cho
Z b
f (x) dx = µ(b − a).
a

1.3

Đa thức và một vài tính chất sơ cấp


Luận văn này tập trung vào bài tốn tính toán và ước lượng sử dụng đa thức.
Như đã đề cập ở [11], dạng chính tắc của một đa thức đại số P (x) bậc n (kí hiệu
deg P (x) = n) là
P (x) = p0 xn + p1 xn−1 + . . . + pn , p0 ̸= 0.
Đa thức dạng chính tắc là đa thức được viết theo thứ tự giảm dần của lũy thừa. Tuy
nhiên, để thuận tiện trong nhiều trường hợp, ta cũng thường sử dụng cách viết đa thức
P (x) dưới dạng số mũ tăng dần
P (x) = b0 + b1 x + b2 X 2 + . . . + bn xn .

(1.2)

Nhận xét rằng, đa thức (1.2) có tính chất
P (k) (0) = k!bk , k = 0, 1, . . . , n
và
P (k) (0) = 0, k = n + 1, n + 2, . . .
Vì thế đa thức (1.2) thường được viết dưới dạng
P (x) = a0 +

a1
a2
an
x + x2 + . . . + xn .
1!
2!
n!

(1.3)

Với cách viết 1.3 ta thu được cơng thức tính hệ số ak (k = 0, 1, 2, . . . , n) của đa thức

P (x), đó chính là giá trị của đạo hàm cấp k của đa thức tại x = 0
ak = P (k) (0) k = 0, 1, 2, . . . , n.
Nói cách khác ta có đồng nhất thức
P (x) = P0 +

P ′ (0)
P (2) (0) 2
P (n) (0) n
x+
x + ... +
x .
1!
2!
n!

(1.4)


7

1.4

Một số lớp đa thức đặc biệt

Các đa thức có vai trò rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực, nhất là giải tích số.
Có rất nhiều lớp các hàm đặc biệt là những đa thức được sử dụng vào nhiều mục đích
khác nhau (chẳng hạn, xem [16]). Trong khn khổ luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng
nhiều một vài trong số đó
1. Đa thức Chebyshev loại 1: Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức Tn (x) thỏa
mãn :

Tn (cos x) = cos nx ∀x ∈ R.
Một vài đa thức đầu tiên là :
T0 (x) = 1, T1 (x) = x
T2 (x) = 2x2 − 1,
T3 (x) = 4x3 − 3x,
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1,
T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x.
Đa thức Chebyshev loại 2: Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức Un (x) sao
cho :
U (cos x) =

sin(n + 1)x
∀x ̸= kπ, k ∈ Z.
sin x

Một số đa thức đầu tiên của U là :
U0 (x) = 0, U1 (x) = 1
U2 (x) = 4x2 − 1,
U3 (x) = 8x3 − 4x,
U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1,
U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x.
2. Đa thức Bernoulli bậc m, ký hiệu Bm (x) là đa thức
 
 
 
m  
X
m
m
m

m
m
m−1
m−2
Bm (x) = x +
B1 x
+
B2 x
+...+
Bm =
Bk xm−k ,
1
2
m
k
k=0


8

ở đó

m
k




là các hệ số nhị thức, và Bk là số Bernoulli thứ k. Một vài đa thức

Bernoulli đầu tiên được liệt kê dưới đây

1
1
B1 (x) = x − , B2 (x) = x2 − x +
2
6
3
1
1
B3 (x) = x3 − x2 + x, B4 (x) = x4 − 2x3 + x2 − ,
2
2
30
5
1
5
B5 (x) = x5 − x4 + x3 − x,
2
3
6
5
1
1
B6 (x) = x6 − 3x5 + x4 − x2 + .
2
2
42
B0 (x) = 1,

3. Đa thức Euler En (x) được xác định bởi khai triển
∞

X


2exz
z n




,
=
E
(x)
z
≤
π
.
n
ez + 1 n=0
n!

Một biểu diễn khác của đa thức này được cho bởi khai triển
∞

X zn
2ez
En ,
=
e2z + 1 n=0
n!






π

z
≤
.
2

Sau đây là biểu thức tường minh một số đa thức Euler đầu tiên
1
E0 (x) = 1, E1 (x) = x − , E2 (x) = x(x − 1).
2


9

Chương 2
Một số bài toán nội suy cổ điển
Nội dung của chương này tập trung vào bài toán nội suy cổ điển đã được giới thiệu
chi tiết trong chuyên khảo [11]. Đầu tiên trong Phần 2.1, chúng tôi sơ lược một số vấn
đề liên quan đến bài toán nội suy Taylor cùng với ví dụ minh họa ứng dụng của lớp bài
tốn này. Tiếp theo, trong Phần 2.2 chúng tơi xem xét bài toán nội suy Lagrange và
một số vấn đề liên quan. Phần 2.3 dành cho khảo sát bài tốn nội suy Newton. Phần
cuối cùng của chương chúng tơi trình bày một số vấn đề về việc đánh giá sai số trong
phép nội suy đa thức.

2.1


Khai triển Taylor và một số bài toán nội suy
Taylor

2.1.1

Bài toán nội suy Taylor

Bài tốn nội suy Taylor có thể được phát biểu như sau:
Cho x0 , ak ∈ R với k = 0, 1, 2, ...., N − 1. Hãy xác định hàm số T (x) có bậc khơng
q N − 1 (deg T (x) ≤ N − 1) và thỏa mãn các điều kiện
T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, 2, ..., N − 1.
Đối với bài toán này, trước tiên, ta nhận thấy rằng đa thức
T (x) =

N
−1
X
k=0

αk (x − x0 )k

(2.1)


10

có bậc deg T (x) ≤ N − 1. Bây giờ ta cần xác định các hệ số αk ∈ R sao cho T (x) thỏa
điều kiện
T (k) (x0 ) = ak , ∀k = 0, 1, 2, ..., N − 1.

Ứng với mỗi k = 0, 1, 2, ..., N − 1 lấy đạo hàm hai vế (2.1) đến cấp thứ k và sử dụng
đẳng thức T (k) (x0 ) = ak ta suy ra
αk =

ak
.
k!

Thay giá trị của αk vào biểu thức T (x) ta thu được
T (x) =

N
−1
X
k=0

ak
(x − x0 )k .
k!

(2.2)

Tính duy nhất của đa thức T (x) theo yêu cầu đã được chứng minh trong [11].

2.1.2

Một số minh họa

Cơng thức Taylor có nhiều ứng dụng trong các bài tốn giải tích. Sau đây chúng ta
xem xét một vài ví dụ minh họa điển hình.

Ví dụ 2.1.1. Xác định đa thức bậc ba f (x) thỏa mãn điều kiện
f (n) (1) = n3 − 3n2 + n + 1, n = 0, 1, 2, 3.
Lời giải. Ở đây ta áp dụng công thức Taylor với x0 = 1 và ak = f (k) (1). Thật vậy theo
đề ta có
a0 = f (1) = 1,
a1 = f (1) (1) = 0,
a2 = f (2) (1) = 1,
a3 = f (3) (1) = 4.
Theo công thức ở phần trước ta được
4
1
T (x) = 1 + 0.(x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3
2
6
2 3 5 2
1
= x − x + 3x − .
3
2
6
2
5
1
Suy ra f (x) = T (x) = x3 − x2 + 3x − .
3
2
6