BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ HUỲNH HIỆP

BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE – HADAMARD
CƠ BẢN VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - Năm 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ HUỲNH HIỆP

BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE – HADAMARD
CƠ BẢN VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS. ĐINH THANH ĐỨC

Bình Định - Năm 2021

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn " Bất đẳng thức HermiteHadamard cơ bản và áp dụng" là do bản thân thực hiện theo logic
riêng dưới sự hướng dẫn của PSG.TS Đinh Thanh Đức. Các nội dung và
kết quả sử dụng trong luận văn đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc
rõ ràng.

Bình Định, tháng 7 năm 2021
Tác giả

Lê Huỳnh Hiệp


i

Mục lục
MỞ ĐẦU

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
4
7

2 Một số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard
2.1 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard cơ bản . . . . . . . . .
2.2 Một số dạng mở rộng của bất đẳng thức Hermite-Hadamard

2.3 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm lồi khả vi
bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
12
17

3 Một số áp dụng của bất đẳng thức Hermite-Hadamard
3.1 Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard vào các trung
bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm lồi
khả vi bậc nhất vào đánh giá các trung bình . . . . . . . .
3.3 Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard trong toán sơ cấp
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

26

41
57
63
74
75


1

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức đóng một vai trị khá quan trọng trong toán học được
nhiều nhà toán học nghiên cứu, có nhiều áp dụng trong thực tiễn đời sống
và giải tốn. Nhiều loại bất đẳng thức đã được cơng bố và áp dụng trong
giảng dạy toán sơ cấp. Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu tổng hợp
về một số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard và áp dụng trong toán
phổ thông.
Mở đầu bất đẳng thức Hermite-Hadamard, [8] vào ngày 22-11-1881,
Hermite (1822-1901) đã gửi thư đến tạp chí Mathesis. Một đoạn trích
trong lá thư có đề cập bất đẳng thức sau

 Zb
a+b
f (a) + f (b)
(b − a)f
< f (x)dx < (b − a)
.
(1)
2
2
a

Điều thú vị là bất đẳng thức quan trọng này (của Hermite) không được
biết đến rộng rãi như là các kết quả mở rộng của nó. Beckenbach một công
ty hàng đầu chuyên gia về lịch sử và lý thuyết các hàm phức, viết rằng bất
đẳng thức bên trái trong (1) đã được Hadamard chứng minh năm 1893 và
dường như khơng biết các kết quả trước đó của Hermite. Năm 1906, Fejér
(1880-1959) trong lúc học lượng giác và đa thức, đã thu được bất đẳng thức
tổng quát hóa của Hermite. Bất đẳng thức phát biểu như sau (Bất đẳng
thức Fejér), nếu f : R → R là hàm lồi trên đoạn [a, b] và g : [a, b] → R
là

 khơng âm, khả tích và đối xứng qua đường thẳng chứa điểm
 một hàm
a+b
, 0 , khi đó
2


f

a+b
2

 Zb
a

g(x)dx ≤

Zb
a

f (a) + f (b)
f (x)g(x)dx ≤
2

Zb

g(x)dx.
a

(2)



2

Khi g(x) ≡ 1 thì bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức HermiteHadamard


f

a+b
2



1
≤
b−a

Zb

f (x)dx ≤

f (a) + f (b)
.
2

a

Sau đó, nhiều tác giả đã mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard
và bất đẳng thức Fejér. Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard có

nhiều ứng dụng thực tế trong các bài toán: đặc trưng hàm lồi, quan hệ
giữa các đại lượng trung bình, lý thuyết xấp xỉ,...Cho đến nay, một số dạng
bất đẳng thức Hermite-Hadamard đã được quan tâm đặc biệt và cho các
bất đẳng thức mới liên quan nhiều hàm sơ cấp cơ bản, hàm siêu việt, hàm
lồi...
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tổng kết một số kết quả mới, đáng lưu
ý của bất đẳng thức một số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard, và
đặc biệt áp dụng trong các bài tốn phổ thơng dành cho học sinh chuyên.
Luận văn "Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cơ bản và áp dụng " gồm 3
chương.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày các định lý, hệ quả của bất đẳng
thức: bất đẳng thức giữa trung bỡnh cng v trung bỡnh nhõn (AM-GM),
Hăolder, Cauchy - Schwarz, Minkowski, Jensen, bt ng thc Gră
uss tớch
phõn, cựng vi mt số kết quả cơ bản về hàm lồi và tính chất của chúng.
Các kết quả này được sử dụng ở Chương 2, Chương 3.
Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard
Trong chương này chúng tơi trình bày chi tiết cách chứng minh bất
đẳng thức Hermite-Hadamard và hệ quả của bất đẳng thức. Cùng với đó
là một số dạng mở rộng quan trọng ở bất đẳng bên trái và bất đẳng thức
bên phải của bất đẳng thức kép trên, và giới thiệu bất đẳng thức dạng
Hermite-Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc nhất. Các mở rộng này có nhiều
áp dụng sẽ được trình bày trong Chương 3.
Chương 3. Áp dụng bất đẳng thức Hermite -Hadamard
Trong phần này chúng tơi trình bày áp dụng bất đẳng thức Hermite-


3


Hadamard vào các trung bình, áp dụng được xây dựng từ mở rộng của bất
đẳng thức Hermite-Hadamard và các trung bình quen thuộc.
Đặc biệt hơn cuối chương sẽ là áp dụng bất dụng bất đẳng HermiteHadamad cơ bản vào hàm sơ cấp để giải một số bài tốn phổ thơng.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Đinh Thanh Đức. Qua đây tôi muốn dành
lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PSG.TS. Đinh Thanh Đức – giảng
viên hướng dẫn tôi thực hiện đề tài luận văn này. Thầy chính là người đã
định hướng, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất và cho tôi những nhận xét
quý báu để tơi có thể hồn thành luận văn với hiệu quả cao nhất.
Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng
dạy lớp Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Quy Nhơn cũng như
tồn thể q thầy cơ Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn,
những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp
đỡ tơi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề
tài.
Cuối cùng tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn
ln quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quãng đường học tập
vừa qua.
Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng học hỏi, tìm tịi và nghiên cứu trong
q trình hồn thành luận văn, nhưng do hạn chế về thời gian và trình
độ nên trong luận văn vẫn khơng tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong
nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hồn
thiện hơn.
Bình Định, ngày
tháng
năm 2021
Học viên thực hiện

Lê Huỳnh Hiệp



4

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số các định lý, hệ quả của
bất đẳng thức: bất đẳng thức giữa trung bình cộng v trung bỡnh nhõn
(AM-GM), Hăolder, Cauchy - Schwarz, Minkowski, Jensen, bt ng thc
Gră
uss tớch phõn, cựng vi mt s kt quả cơ bản về hàm lồi và tính chất
của chúng. ([1], [2], [3], [4])

1.1

Một số bất đẳng thức cơ bản

Đầu tiên chúng tôi giới thiệu định lý, hệ quả của một số bất đẳng thức
quen thuộc, các kết quả này được áp dụng ở Chương 2, Chương 3.
Định lý 1.1.1. [1] (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân). Giả sử x1 , x2 , ..., xn là các số khơng âm. Khi đó
√
x1 + x2 + ... + xn
≥ n x1 .x2 ...xn .
(1.1)
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = ... = xn .
Bất đẳng thức trên còn được gọi tắc là: bất đẳng thức AM-GM hoặc
ngắn gọn là bất đẳng thc AG.
nh lý 1.1.2. [3] (Bt ng thc Hă
older). Vi mọi bộ số không âm (ai )

1 1
và (bi ), (i = 1, 2, ..., n) và cặp số dương p, q mà + = 1. Khi đó ta có
p q
bất đẳng thức sau

 p1 
 1q
n
n
n
X
X
X
ai bi ≤ 
api  
bqi  .
(1.2)
i=1

i=1

i=1


5

Nếu p < 1, p 6= 0 dấu của bất đẳng thức (1.2) đảo chiều. Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi hai bộ số (api ) và (bqi ) tỷ lệ với nhau, tức là tồn tại hai
cặp số thực λ, µ, khơng đồng thời bằng 0, sao cho


λapi + µbqi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.
Nếu wi > 0, i = 1, 2, ..., n thì bt ng thc Hăolder (1.2) cú th vit
dng sau

p1 
 1q
n
n
n
X
X
X
p 

wi ai bi ≤
wi ai
(1.3)
wi bqi  .
i=1

i=1

i=1

Hệ quả 1.1.3. [3] Nếu p=q=2 thì bất đẳng thức Hă
older tr thnh

12
12
n

n
n
X
X
X
2

ai bi
ai
b2i .
i=1

i=1

(1.4)

i=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (ai ) và (bi ) tỷ lệ với nhau,
tức tồn tại cặp số thực λ, µ, khơng đồng thời bằng 0, sao cho

λai + µbi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.
Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đơi
khi cịn gọi là bất đẳng thức Bunyakovskii, Cauchy-Schwarz hoặc CauchyBunyakovskii).
Định lý 1.1.4. [4] (Bt ng thc Hă
older dng gii tớch). Gi s (p,q) là
1 1
cặp số mũ liên hợp, tức là thỏa mãn điều kiện p,q > 1 với + = 1, f và
p q
g là hai hàm số liên tục trên đoạn [a, b], khi đó


 p1 
 1q
b
b
b
Z
Z
Z

 

p
|f (x)g(x)|dx ≤  |f (x)| dx  |g(x)|q dx .
(1.5)
a

a

a

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tồn tại hai số thực A và B không đồng thời
bằng không sao cho

A|f (x)|p = B|g(x)|q , ∀x ∈ [a, b].


6

Định lý 1.1.5. [3] (Bất đẳng thức Minkowski). Với mọi bộ số không âm

(ai ), (bi ), (i = 1, 2, ..., n) và số dương p > 1, ta đều có

 p1 
 p1 
 p1
n
n
n
X
X p
X p
 (ai + bi )p  ≤ 
ai  + 
bi 
(1.6)
i=1

i=1

i=1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (ai ) và (bi ) tỷ lệ với nhau,
tức tồn tại cặp số thực λ, µ, khơng đồng thời bằng 0, sao cho

λai + µbi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.
Định lý 1.1.6. [1] (Bất đẳng thức Jensen).
Cho hàm số y = f (x) lồi trên [a, b] (f (x) liên tục trên [a, b]; f 00 (x) ≥ 0
với mọi x ∈ (a, b)), các số k1 , k2 , ..., kn ∈ R+ , k1 + k2 + ... + kn = 1. Khi
đó, với mọi xi ∈ [a, b], i = 1, ..., n, ta ln có



n
n
X
X
ki f (xi ) ≥ f 
ki xi  .
(1.7)
i=1

i=1

Cho hàm số y = f (x) lõm trên [a, b] (f (x) liên tục trên [a, b]; f 00 (x) ≤ 0
với mọi x ∈ (a, b)), thì bất đẳng thức trên đổi chiều, tức là


n
n
X
X
ki f (xi ) ≤ f 
ki xi  .
(1.8)
i=1

i=1

Định lý 1.1.7. [4] (Bt ng thc Gră
uss tớch phõn). Gi s f, g : [a, b] →
R là hai hàm khả tích sao cho ϕ ≤ f (x) ≤ φ, γ ≤ g(x) ≤ Γ, ∀x ∈ [a, b].

Thì ta có bất đẳng thức








b
b
b
Z
Z
Z

1

1
1
1




f (x)g(x)dx −
f (x)dx
g(x)dx
≤ (φ − ϕ)(Γ − γ).




4

b − a
b−a
b−a




a
a
a
(1.9)
Tiếp theo chúng tơi trình bày những định nghĩa, định lý, tính chất cơ
bản của hàm lồi, các trình bày này có cơ sở quan trọng để xây dựng bất
đẳng thức Hermite-Hadamard và áp dụng của bất đẳng thức này.


7

1.2

Hàm lồi

Định nghĩa 1.2.1. [1] Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên
tập [a, b) ⊂ R nếu với mọi x1 , x2 ∈ [a, b) và với mọi cặp số dương α, β có
tổng α + β = 1, ta đều có


f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ).

(1.10)

Nếu dấu đẳng thức trong (1.10) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói
hàm số f (x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên [a, b).
Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm (lồi trên) trên tập [a, b) ⊂ R nếu với
mọi x1 , x2 ∈ [a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta đều
có

f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ).

(1.11)

Nếu dấu đẳng thức trong (1.11) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói
hàm số f (x) là hàm lõm thực sự (chặt) trên [a, b).
Tương tự, ta cũng có định nghĩa về hàm lồi (lõm) trên các tập (a, b),
(a, b] và [a, b].
Nhận xét rằng, khi x1 < x2 thì x = αx1 + βx2 với mọi cặp số dương
α, β có tổng α + β = 1, đều thuộc (x1 , x2 ) và

α=

x − x1
x2 − x
,β =
.
x2 − x1
x2 − x1


Tính chất 1.2.2. [1] Nếu f(x) lồi (lõm) trên (a, b) thì g(x):= cf(x) là hàm
lõm (lồi) trên (a, b) khi c < 0 (c > 0).
Tính chất 1.2.3. [1] Tổng hữu hạn các hàm lồi trên (a,b) là một hàm lồi
trên (a,b).
Tính chất 1.2.4. [1] Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên (a, b) và nếu
g(x) lồi và đồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lồi trên
(a, b).
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là hàm số liên tục trên (a, b)
nên tập giá trị của nó cũng là một tập dạng (c, d) ⊂ R. Theo giả thiết