BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CHÂU ĐÌNH TÍN

BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG
TỐN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Bình Định - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

CHÂU ĐÌNH TÍN

BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG
TỐN SƠ CẤP

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

Người hướng dẫn: TS. MAI THÀNH TẤN


Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1
1.2
1.3

Hàm ẩn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đạo hàm của hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Cơ sở lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số.

7

1.3.1

Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số . .


7

1.3.2

Các kiến thức về cực trị của hàm số . . . . . . . . .

8

1.3.3

Các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

1.3.4

hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Sự tương giao của đồ thị hàm số. . . . . . . . . . . . . .

11

2 Khảo sát một số vấn đề liên quan đến hàm ẩn
2.1

12

Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn thông qua một số điều
kiện đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


i


2.1.1

Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y = f (u(x))
dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm y = f 0 (x)
với hàm u(x) đã biết. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2

Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f (u(x)) + g(x)
dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị y = f 0 (x), với hàm
u(x) đã biết.

2.1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Sáng tác một số bài tốn hàm ẩn liên quan tính đơn
điệu hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2

Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua một số điều kiện đã biết 21
2.2.1

Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) khi biết đồ thị
hoặc bảng biến thiên của hàm f 0 (x), với u(x) là hàm

đã biết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2

Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) khi biết
đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f 0 (x),
với u(x) và v(x) là hàm đã biết. . . . . . . . . . . . 24

2.2.3
2.3

Sáng tác một số bài toán cực trị hàm ẩn . . . . . . . 26

Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn
thông qua một số điều kiện đã biết . . . . . . . . . . . . . . 30

ii


2.3.1

Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiên
của y = f (x) hoặc y = f 0 (x) trên miền D, với u(x)
đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.2

Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f (u(x)) + v(x) trên khoảng K thông qua đồ

thị hàm số y = f 0 (x), với u(x) và v(x) là hàm đã biết. 32

2.3.3

Sáng tác một số bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4

Khảo sát sự tương giao của đồ thị hàm ẩn . . . . . . . . . 39
2.4.1

Dạng toán cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của
hàm số y = f (x), xét bài toán liên quan đến phương
trình f (u(x)) = a, với u(x) là hàm đã biết. . . . . . 39

2.4.2

Dạng toán tương giao biện luận nghiệm của phương trình
f (u(x)) = g(m) khi cho biết đồ thị hoặc bảng biến thiên

của f (x) với u(x) là hàm đã biết . . . . . . . . . . . .

2.4.3

41

Biết đồ thị hoặc bảng biến thiên y = f (x), xét các
bài tốn liên quan đến phương trình có dạng f (u(x)) = f (m),với
hàm u(x) đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


iii


2.4.4

Dạng tốn hàm ẩn liên quan đến phương trình có
dạng
f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = a với

hàm u(x) đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4.5

Dạng toán liên quan đến đồ thị hoặc bảng biến thiên
hàm y = f 0 (x). Xét các bài toán liên quan đến phương
trình f (u(x)) = g(x) với hàm u(x), g(x) đã biết . . . 56

2.4.6
3

Sáng tác bài toán tương giao hàm ẩn . . . . . . . . . 60

Tích phân hàm ẩn

69

3.1

Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến . . . . . . . 69


3.2

Tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần . . . . . . 76

3.3

Một số bài toán tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức:

f 0 (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến
tính cấp 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4

Sáng tác bài tốn tích phân hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . 85

Kết luận

89

Tài liệu tham khảo

90

iv


MỞ ĐẦU

Theo xu thế đổi mới hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để
đạt được kết quả cao địi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương
trình, đối tượng học sinh, để đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức,

với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Mỗi người thầy, cô giáo luôn luôn
học hỏi và cập nhật sáng tạo ra các phương pháp cách giải sao cho học sinh
dễ tiếp cận nhất để học sinh thích nghi được với sự thay đổi của kì thi thi tốt
nghiệp trung học phổ thơng quốc gia. Khơng những thế cịn giúp học sinh
vượt qua được nỗi lo âu, sợ hãi khi phải luyện tập các câu mức độ vận dụng
cao trong giải bài tập và trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng
quốc gia.
Từ năm học 2016-2017 (kì thi THPT Quốc Gia 2017), mơn Tốn áp dụng
hình thức thi trắc nghiệm. Qua các kì thi THPT Quốc Gia các năm 2017,
2018, 2019 và gần đây nhất là năm 2020 kiến thức toán THPT được xây
dựng và phát triển theo nhiều hướng mới. Đây là một thách thức lớn và cũng
là một cơ hội để mỗi giáo viên phải luôn luôn học hỏi và nâng cao kỹ năng
giảng dạy của bản thân. Trong các mảng kiến thức mà Bộ Giáo dục thường
xuyên chú trọng và xoáy sâu là “Khảo sát đồ thị hàm số liên quan đến hàm
ẩn” và “Tích phân liên quan đến hàm ẩn”. Các bài toán liên quan đến chuyên
đề “Hàm số và tích phân rất là phong phú và đa dạng. Chính vì vậy phương
pháp để giải các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm ẩn và tích phân hàm
ẩn sẽ rất cần thiết giúp giáo viên có trình độ kiến thức giảng dạy học sinh
1


để tiếp cận và giúp cho học sinh vận dụng kiến thức tốt để xử lí các câu mức
độ vận dụng cao trong đề thi TN THPT Quốc Gia cho những năm sắp tới.
Nội dung luận văn được chia làm ba chương.
Chương I: Giới thiệu, nhắc lại một số kiến thức chung về hàm số sơ cấp ở
chương trình phổ thơng.
Chương II: dành để trình bày các phương pháp xử lý các bài tốn hàm ẩn
liên quan đến các tính chất của đồ thị hàm số như tính đơn điệu, cực trị,
giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị hàm số. Cụ thể
chương này phân ra 4 mục tương ứng cho 4 nội dung như đã đặt ra.

Chương III: dành để trình bày các phương pháp xử lý các bài tốn tích phân
hàm ẩn. Cụ thể chương này phân ra 2 mục đích chính là tích phân biến đổi số
và tích phân từng phần. Và cuối chương II và III đều có mục sáng tác riêng
các dạng tốn thường gặp trong kì thi TN THPT Quốc Gia.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn
dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Thành Tấn, Phó Trưởng khoa Tốn và Thống
Kê. Qua đây tôi muốn dành lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Mai
Thành Tấn – giảng viên hướng dẫn tôi thực hiện đề tài luận văn này. Thầy
chính là người đã định hướng, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất và cho tôi
những nhận xét quý báu để tơi có thể hồn thành luận văn với hiệu quả cao
nhất.
Tôi cũng xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy
lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp trường Đại học Quy Nhơn cũng như tồn thể
q thầy cơ Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, những người
đã cho tôi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi trong suốt
quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài.
Cuối cùng tôi xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn
ln quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quãng đường học tập vừa
2


qua.
Mặc dù chúng tôi đã rất cố gắng học hỏi, tìm tịi và nghiên cứu trong q
trình hồn thành luận văn, nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên
trong luận văn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được
sự góp ý của quý thầy cơ và các bạn đọc để luận văn được hồn thiện hơn.
Bình Định, tháng 7 năm 2021
Tác giả luận văn

CHÂU ĐÌNH TÍN


3


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Hàm ẩn

Cho phương trình F (x, y) = 0

(1.0.1)

Trong đó F : U → R là một hàm số xác định trên tập hợp U ⊂ R2 . Nếu với
mọi giá trị x = x0 trong một khoảng I nào đó, có một hay nhiều giá trị y0
sao cho F (x0 , y0 ) = 0, ta nói rằng phương trình (1.0.1) xác định một hay
nhiều hàm số ẩn y theo x trong khoảng I. Vậy hàm số f : I → R là hàm số
ẩn xác định bởi (1.0.1) nếu

∀x ∈ I, (x, f (x)) ∈ U và F (x, f (x)) = 0.
Tương tự như vậy, phương trình F (x, y, z) = 0

(1.0.2)

Trong đó F : U → R là một hàm số xác định trên tập hợp mở U ⊂ R3 , có
thê xác định một hay nhiều hàm số ẩn x của các biến số x, y . Hệ hai phương
trình



 F (x, y, z, u, v) = 0
 G(x, y, z, u, v) = 0

trong đó F : U → R, G : U → R là các hàm số xác định trên tập hợp

U ⊂ R5 , có thể xác định một hay nhiều cặp hàm só ẩn u, v của các biến số
x, y, z . Ta có các định lí sau về sự tồn tại, tính liên tục và tính khả vi của
các hàm số ẩn.
4


Định lí 1.1.1. [9]
Cho phương trình F (x, y) = 0, trong đó F : U → R là một hàm số có các
đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U ⊂ R2 . Giả sử (x0 , y0 ) ∈ U, F (x0 , y0 ) =

0. Nếu Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0 thì phương trình (1.0.1) xác định trên một lân cận nào
đó của x0 một hàm số ẩn y = f (x) duy nhất, hàm số ấy có giá trị bằng y0
khi x = x0 , liên tục và có đạo hàm liên tuc trong lân cận nói trên.
Chứng minh. Khơng giảm tính tổng quát có thể giả thiết Fy0 (x0 , y0 ) > 0. Vì

F 0 liên tục trên U nên tồn tại số α > 0 sao cho
Fy0 (x, y) > 0, ∀(x, y) ∈ [x0 − α, x0 + α] × [y0 − α, y0 + α] .
Hàm số y 7→ f (x0 , y) có đạo hàm Fy0 (x0 , y) > 0 trên đoạn [y0 − α, y0 + α],
nên tăng ngặt trên đoạn đó. Vì F (x0 , y0 ) = 0, nên

f (x0 , y0 − α) < 0, f (x0 , y0 + α) > 0.
Các hàm số x 7→ F (x, y0 − α) và x 7→ F (x, y0 + α) liên tục trên đoạn

[x0 − a, x0 + a], nên tồn tại số δ > 0 sao cho

F (x, y0 − α) < 0, F (x, y0 + α) > 0, với x ∈ (x˙ 0 − δ, x0 + δ). Lấy x bất kì
trên (x0 − δ, x0 + δ). Hàm số y 7→ F (x, y) liên tục trên đoạn [y0 − α, y0 + α],
lấy những giá trị khác dấu tại y0 −α và y0 +α. Do đó tồn tại y ∈ (y0 − a, y0 + a)
để cho F (x, y) = 0. Giá trị y ấy duy nhất, vì hàm số y 7→ F (x, y) tăng ngặt
trên [y0 − α, y0 + α]. Vậy hệ thức (1.0.1) xác định y là hàm số ẩn của x duy
nhất trên x0 − δ, x0 + δ).
Đặt y = f (x), đương nhiên f (x0 ) = y0 . Ta sẽ chứng minh rằng hàm số ẩn

f liên tục trên (x0 − δ, x0 + δ). Thật vậy, giả sử x1 ∈ (x0 − δ, x0 + δ) , ε là
một số dương cho trước. Đặt y1 = f (x1 ) . Theo trên, y1 ∈ (y0 − α, y0 + α) ,

f (x1 , y1 ) = 0. Khi đó với α1 > 0 đủ nhỏ, tồn tại δ1 > 0 sao cho hệ thức
(1.0.1) xác định một hàm số ẩn duy nhất
5


f1 : (x1 − δ1 , x1 + δ1 ) → (y1 − α1 , y1 + α1 ) . Chọn a1 < ε sao cho
(x1 − δ1 , x1 + δ1 ) × (y1 − a1 , y1 + α1 ) ⊂ (x0 − δ1 x0 + δ) × (y0 − δ, y0 + δ) .
Rõ ràng ta có

f1 (x) = f (x), ∀x ∈ (x1 − δ1 , x1 + δ1 ) .
Vậy

|x − x1 | < δ1 kéo theo |f1 (x) − y1 | = |f (x) − f (x1 )| < ε. Do đó f (x) liên
tục tại x1 . Cuối cùng, ta chứng minh rằng f khả vi trên (x0 − δ, x0 + δ). Giả
sử x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) , x + h ∈ (x0 − δ, x0 + δ) khi đó F (x, f (x)) = 0,

F (x + h, f (x + h)) = 0. Theo công thức số gia giới nội, ta có:
0 = F (x + h; f (x + h)) − F (x, f (x)) =
= hFx0 (x + θh, f (x) + θ(f (x + h) − f (x)))

+ (f (x + h) − f (x))Fy0 (x + θh, f (x) + θ(f (x + h) − f (x)))
Do đó

F 0 (x + θh, f (x) + θ(f (x + h) − f (x)))
f (x + h) − f (x)
= − x0
¯ − f (x)))
h
Fy (x + θh, f (x) + θ(f (x + h)
Cho h → 0, vì Fx0 và Fy0 liên tục tại (x, f (x)), f liên tục tại x nên vế phải
của đẳng thức trên có giới hạn là

Fx0 (x, f (x))
− 0
Fy (x, f (x))
Do đó hàm f có đạo hàm tại x, cho bởi

Fx0 (x, f (x))
f =− 0
Fy (x, f (x))
0

đạo hàm ấy liên tục vì Fx0 , Fy0 và f liên tục.
Chú thích: Nếu Fy0 (x0 , y0 ) = 0, nhưng Fx0 (x0 , y0 ) 6= 0 thì định lí 1.1.1 khẳng
định rằng phương trình (1.0.1) xác định trong một lân cận nào đó của y0 một
hàm số ẩn duy nhất x = g(y), hàm số ấy có giá trị bằng x0 khi y = y0 , liên
tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận nói trên.
6



Nếu Fy0 (x0 , y0 ) = Fx0 (x0 , y0 ) = 0( khơng kết luận được gì vế sự tồn tại của
hàm số ẩn xác định bởi (1.0.1). Điểm (x0 , y0 ) tại đó

Fx0 (x0 , y0 ) = Fy0 (x0 , y0 ) = 0 được gọi là điểm kì dị của phưong trinh (1.0.1).
Chứng minh tương tự cho trường hợp phương trình F (x, y, z) = 0.

1.2

Đạo hàm của hàm số ẩn

Giả sử các giả thiết của Định lí 1.1.1 thỏa mãn. Khi ấy phương trình (1.0.1)
xác định một hàm số ẩn y = f (x), liên tục và có đạo hàm liên tục trong một
khoảng nào đó. Trong khoảng ấy ta có

F (x, f (x)) = 0
Lấy đạo hàm hai vế đối với x, ta được

Fx0 + Fy0
Vì Fy0 6= 0, ta có

1.3

dy
=0
dx

dy
Fx0
= − 0.
dx

Fy

Cơ sở lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến, cực trị, giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và sự tương giao của đồ thị
hàm số.

1.3.1

Các kiến thức về sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Định nghĩa 1.3.1. [1]
Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈

K , x1 < x2 thì f (x1 ) < f (x2 ). Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K
khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 thì f (x1 ) > f (x2 ).

7


1.3.1.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên K . Nếu f (x) đồng biến trên K thì f 0 (x) ≥

0 với mọi x ∈ K ; Nếu f (x) nghịch biến trên K thì f 0 (x) ≤ 0, với mọi x ∈ K.
1.3.1.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên K . Nếu f 0 (x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và

f 0 (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f (x) đồng biến trên K ;

Nếu f 0 (x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f 0 (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thuộc K thì f (x) nghịch biến trên K ; Nếu f 0 (x) = 0 với mọi x ∈ K thì

f (x) là hàm hằng trên K .
1.3.1.3 Các bước xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định hàm số
Bước 2: Tính đạo hàm f 0 (x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ..., n) mà tại đó
đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
1.3.2

Các kiến thức về cực trị của hàm số

Định nghĩa 1.3.2. [1] Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b)
và điểm x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x0 ), với mọi

x ∈ (x0 − h; x0 + h), x 6= x0 thì ta nói hàm số f (x) đạt cực đại tại x0 ; Nếu
tồn tại số h < 0 sao cho f (x) > f (x0 ), với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h), x 6= x0
thì ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0 .
Định lí 1.3.3. [1] Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K chứa x0 và
có đạo hàm trên các khoảng (x0 − h, x0 ) và (x0 , x0 + h).
a) Nếu f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0 ) và f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + h) thì
hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0 ) và f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + h) thì
8


hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 .

Chứng minh. a) Vì hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng (x0 − h; x0 ] và

f 0 (x) < 0, với mọi x ∈ (x0 − h; x0 ) nên hàm số nghịch biến trên (x0 − h; x0 ]
do đó f (x) > f (x0 ), với mọi x ∈ (x0 − h; x0 ).
Tương tự, vì f (x) liên tục trên nửa khoảng [x0 , x0 + h) và f 0 (x) > 0,
với mọi x ∈ (x0 , x0 + h) nên hàm số đồng biến trên [x0 , x0 + h) do đó

f (x) > f (x0 ), với mọi x ∈ (x0 , x0 + h).
Vậy f (x) > f (x0 ), với mọi x ∈ K\{x0 } tức hàm số f đạt cực tiểu tại
điểm x0 .
b) Chứng minh tương tự a)
Định lí 1.3.4. [1] Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa

x0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 . Nếu f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0 thì x0
là điểm cực tiểu của hàm f ; Nếu f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực
đại của hàm f .
Chứng minh
Theo định nghĩa đạo hàm cấp hai ta có

f 0 (x)
f 0 (x) − f 0 (x0 )
= lim
< 0.
x→x0 x − x0
x→x0
x − x0

f 00 (x0 ) = lim

Do đó, tồn tại một số h > 0 sao cho


f 0 (x)
[x0 − h; x0 + h] ⊂ (a; b) và
<0
x − x0

(1)

với mọi x ∈ (x0 − h; x0 + h) \ {x0 }.
Vì x − x0 ≤ 0 với mọi x ∈ (x0 − h; x0 ) nên từ (1) suy ra f 0 (x) ≥ 0 với mọi

x ∈ (x0 − h; x0 ).
Như vậy, f 0 (x) đổi dấu dương sang âm khi x tăng qua điểm x0 . Do đó theo
định lí 1.3.3 hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
9


Chứng minh tương tự
Nếu f 0 (x) = 0 và f 00 (x) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại x0 .
Các bước tìm cực trị:
Cách 1:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm sốf (x).
Bước 2: Tính f 0 (x). Tìm các điểm tại đó f 0 (x) = 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Lấp bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tính f 0 (x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f 0 (x) = 0.
Bước 3: Tính f 00 (xi ) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi .
(Chú ý: f 00 (xi ) = 0 thì ta phải dùng cách 1 trong phần xét cực trị để xét

cự trị tại xi ).
1.3.3

Các kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Định nghĩa 1.3.5. [2] Cho hàm số y = f (x) xác định trên K . Nếu tồn tại
một điểm x0 ∈ K sao cho f (x) ≤ f (x0 ), với mọi x ∈ K thì số M = f (x0 )
được gọi là giá trị lớn nhất của hàm f trên K , kí hiệu M = maxf (x); Nếu tồn
x∈K

tại một điểm x0 ∈ K sao cho f (x) ≥ f (x0 ),với mọi x ∈ K thì số m = f (x0 )
được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên K , kí hiệu m = minf (x).
x∈K

Các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:

Bước 1: Tìm các điểm x1 , x2 , ..., xm thuộc (a; b) tại đó hàm số f có đạo
hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
Bước 2: Tính f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xm ), f (a) và f (b)
Bước 3: So sánh các giá trị tìm được, số lớn nhất trong các giá trị đó là
10


giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá
trị nhỏ nhất của f trên đoạn [a; b].
1.3.4

Sự tương giao của đồ thị hàm số.

Tính chất 1: Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b]và đơn điệu trên khoảng


(a; b) thì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trong đoạn [a; b].
Mở rộng: Một hàm số f (x) liên tục [a; b] và có đạo hàm đổi dấu n lần
trên khoảng (a; b) thì phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất n + 1 nghiệm
trong đoạn [a; b].
Tính chất 2: Nếu hàm số f (x)liên tục [a; b] và đơn điệu trên khoảng (a; b)
thì phương trình f (u) = f (v) khi và chỉ khi u = v , với mọi u, v ∈ [a; b].
Tính chất 3: Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] và đơn điệu tăng trên
khoảng (a; b) thì f (x) > f (y) khi và chỉ khi x > y (Nếu f đơn điệu giảm
thì f (x) > f (y) khi và chỉ khi x < y , với mọi x, y ∈ (a; b).
Tính chất 4:
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Bất phương trình f (x) ≤ m
nghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] khi và chỉ khi max f (x) ≤ m.
x∈[a;b]

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Bất phương trình f (x) ≥ m
nghiệm đúng với mọi x ∈ [a; b] khi và chỉ khi min f (x) ≥ m.
x∈[a;b]

11


Chương 2

Khảo sát một số vấn đề liên quan
đến hàm ẩn
Chương này trình bày các dạng tốn mức độ vận dụng cao phần hàm số ở
chương trình trung học phổ thông liên quan đến hàm ẩn. Phân dạng rõ các
dạng toán liên quan, phương pháp giải và một số kĩ thuật để giải toán. Giúp
học sinh nắm rõ kiến thức và có thể tự tin giải các bài tốn vận dụng cao

trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây và
những năm sắp tới.

2.1

Khảo sát tính đơn điệu của hàm ẩn thơng qua một số điều
kiện đã biết

Trong mục này trình bày một số dạng tốn khảo sát tính đơn điệu của
hàm ẩn với những giả thiết đã biết như cho đồ thị, bảng biến thiên hoặc bảng
xét dấu của hàm số đạo hàm.
2.1.1

Xác định được khoảng đơn điệu của hàm số y = f (u(x)) dựa vào
bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm y = f 0 (x) với hàm u(x) đã
biết.

Phương pháp:[2]
Đọc đồ thị hàm số y = f 0 (x) và xác định f 0 (x) > 0 thì x ∈ K1 ; f 0 (x) < 0
12


thì x ∈ K2 . Kéo theo f 0 (u) > 0 thì u ∈ K1 ; f 0 (u) < 0 thì u ∈ K2 .
Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính đạo hàm y 0 (x) = u0 (x).f 0 (u)
Bước 2: Giải bất phương trình f 0 (u).u0 (x) > 0
Bước 3: Lập bảng biến thiên y = f (u), suy ra kết quả tương ứng.
(Chú ý: có thể giải pt f 0 (u).u0 (x) = 0 rồi quan sát bảng biến thiên ta xét
dấu).
Ví dụ 2.1.1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) trên R và đồ thị của

hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ.

Hỏi hàm số g(x) = f (x2 − 2x − 1) đồng biến khoảng nào?
Lời giải.
Từ đồ thị hàm số f 0 (x) ta thấy f 0 (x) ≤ 0 khi x ≤ 2 và f 0 (x) > 0 khi

x > 2.
Ta có: g 0 (x) = (2x − 2) .f 0 (x2 − 2x − 1)
Dễ thấy: f 0 (x2 − 2x − 1) ≤ 0 khi đó x2 −2x−1 ≤ 2, suy ra −1 ≤ x ≤ 3.
Lập bảng biến thiên

13


Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1) và (3; +∞).
0

Chú ý: Căn cứ vào đồ thị y = f (x) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc
ba cắt trục hoành tại 2 điểm x = −1 là điểm tiếp xúc và x = 2 nên ta chọn
hàm f 0 (x) = (x + 1)2 . (x − 2). Khi đó y = g 0 (x) = f 0 (x2 − 2x − 1) là một
hàm đa thức nên ta có thể xét dấu dạng tích hay thương các đa thức.
Ví dụ 2.1.2. Cho hàm số f 0 (x) có bảng xét dấu như sau:

Hỏi hàm số y = f (x2 + 2x) nghịch biến trên khoảng nào?
Lời giải
Đặt: y = g(x) = f (x2 + 2x).
0

Suy ra g 0 (x) = [f (x2 + 2x)] = (2x + 2) · f 0 (x2 + 2x).
Ta có g 0 (x) = 0 suy ra (2x + 2) .f 0 (x2 + 2x) = 0 khi đó ta được


2x + 2 = 0; f 0 (x2 + 2x) = 0 thế thì tương ứng x = −1;
x2 + 2x = −2 (vô nghiệm) ; x2 + 2x = 1; x2 + 2x = 3.
√
√
Suy ra x = −1; x = −1 − 2; x = −1 + 2; x = 1; x = −3;
√
√
Trong đó: x = −1 − 2; x = −1 + 2 là các nghiệm bội chẵn của phương
trình: x2 + 2x = 1. Ta có bảng biến thiên

14


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số f (x2 + 2x) nghịch biến trên khoảng

(−3; −1) và (1; +∞).
Chú ý: Để xét dấu g 0 (x):
Chọn giá trị x = 0 thuộc (−1; −1 +

√

2), dễ thấy dựa theo bảng xét dấu của
√
hàm f 0 (x) ta có g 0 (0) − f 0 (0) > 0. Suy ra g 0 (x) > 0, với x ∈ (−1; −1 + 2),
sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của g 0 (x)
trên các khoảng còn lại.
2.1.2

Xác định khoảng đơn điệu của hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào

bảng biến thiên hoặc đồ thị y = f 0 (x), với hàm u(x) đã biết.

Dạng toán này là mở rộng của dạng 1, hàm f (u(x)) được bổ sung thêm
một hàm nữa là hàm g(x), với g(x) là hàm đã biết.
Phương pháp:[2]
Bước 1: Tính đạo hàm y 0 = u0 (x).f 0 (u(x)) + g 0 (x).
Bước 2: Ta giải phương trình y 0 = 0 tìm nghiệm.
Để giải
 trình

 phương
0
g (x)
y 0 = 0 ta đưa về dạng phương trình tích u0 (x). (f 0 (u(x)) −
= 0.
0 (x)
u

 0
g (x)
0
Như vậy để giải phương trình f (u(x)) − − 0
= 0 ta đặt t = u(x)

u (x)
phương trình trở thành f (t) − h(t) = 0 với h(t) là hàm số được biến đổi
g 0 (x)
từ hàm − 0
) do cách đặt t, thường trong giải toán hàm h(t) là bậc nhất
u (x)

hoặc bậc hai, ta tiến hành vẽ hàm y = h(t) rồi xét tính tương giao với f 0 (t)
0

(ở đây f 0 (t) xem như là f 0 (x)) trên cùng mặt phẳng toạ độ suy ra nghiệm.
15


Chú ý khi hai đồ thị cắt nhau tại điểm x0 thì x0 là nghiệm đơn, cịn hai đồ
thị tiếp xúc nhau tại x0 là nghiệm kép). Một số trường hợp đặt biệt hàm h(t)
không phải bậc nhất hoặc bậc hai ta dùng đến cách xét dấu bất đẳng thức
tuỳ vào trường hợp.
Bước 3: Sau khi tìm được nghiệm ta tiến hành xét dấu y 0 , chú ý trong
khoảng K nào đó f 0 (t) nằm trên h(t) tức là f 0 (t) − h(t) > 0 và ngược lại.
Từ đó ta có bảng xét dấu y 0
Ví dụ 2.1.3. Cho f (x) liên tục trên R có đồ thị hàm số y = f 0 (x) như hình
sau.

Hỏi hàm số y = f (x − 1) + x2 − 2x đồng biến trên khoảng nào?
Lời giải.
Ta có y = f (x − 1) + x2 − 2x suy ra y 0 = f 0 (x − 1) + 2x − 2.
Hàm số đồng biến khi y 0 ≥ 0 ⇔ f 0 (x − 1) + 2x − 2 ≥ 0 (1)
Đặt t = x − 1 thì (1) trở thành: f 0 (t) + 2t ≥ 0 hay f 0 (t) ≥ −2t.
Quan sát đồ thị hàm số y = f 0 (t) và y = −2t trên cùng 1 hệ tọa độ.

16


Khi đó ta thấy với t ∈ (0; 1) thì đồ thị hàm số y = f 0 (t) luôn nằm trên
đường thẳng y = −2t.
Suy ra f 0 (t) + 2t ≥ 0, với t ∈ (0; 1).

Với 0 < t < 1 suy ra 0 < x − 1 < 1 hay 1 < x < 2.
Do đó với x ∈ (1; 2) thì hàm số y = f (x − 1) + x2 − 2x đồng biến.
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm số y = f (x) khả vi trên R và bảng xét dấu của đạo
hàm như sau:

Hỏi hàm số y = f (x − 1) + x3 − 12x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?
Lời giải
Ta có y 0 = f 0 (x − 1) + 3x2 − 12.
Đặt t = x − 1, suy ra x = t + 1. Như vậy phương trình y 0 = 0 theo biến t
như sau: f 0 (t) + 3t2 + 6t − 9 = 0 suy ra f 0 (t) − (−3t2 − 6t + 9) = 0
Ta xét sự tương giao của hai hàm f 0 (t) và y = −3t2 − 6t + 9, xem t như

x. Ta có đồ thị tương giao như hình vẽ:

17


Dựa vào đồ thị trên, ta có bảng xét dấu của hàm số y 0 = f 0 (t)−(−3t2 −6t+9)
như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng t ∈ (t0 ; 1) . Do đó hàm số nghịch biến
trên khoảng x ∈ (1; 2) .
2.1.3

Sáng tác một số bài toán hàm ẩn liên quan tính đơn điệu hàm số

Dạng tốn 1: Từ Ví dụ 2.1.4 ta có thể thay đổi bảng xét dấu f 0 (x), thay
đổi hàm u(x) hoặc thay đổi hàm g(x) thì ta sẽ có rất nhiều bài tốn dạng
tương tự. Ví sau là trường hợp thay đổi cả 3 điều kiện trên.
Ví dụ 2.1.5. Cho hàm số f (x) khả vi trên R có bảng xét dấu f 0 (x) như sau:


x
f 0 (x)

−∞

1

2

3

4

+∞

− 0 + 0 + 0 − 0 +

Hỏi hàm số y = 3f (x + 2) − x3 + 3x đồng biến khoảng nào?

18


Lời giải
Ta có y = 3f (x + 2) − x3 + 3x suy ra y 0 = 3f 0 (x + 2) − 3x2 + 3.
Hàm số đồng biến khi y 0 ≥ 0 khi và chỉ khi 3f 0 (x + 2) − 3x2 + 3 ≥ 0
hay f 0 (x + 2) ≥ x2 − 1.
Đặt t = x + 2 khi đó (1) trở thành: f 0 (t) ≥ (t − 2)2 − 1
suy ra f 0 (t) − (t2 − 4t + 3) ≥ 0.
Lập bảng xét dấu:


t

−∞ 1

2

3

4

f 0 (t)

− 0 + 0 + 0 − 0 +

t2 − 4t + 3

+ 0 − | − 0 + | +

+∞

Quan sát bảng xét dấu ta thấy, với t ∈ [1; 3] suy ra f 0 (t) ≥ 0
và t2 − 4t + 3 ≤ 0. Như vậy f 0 (t) − (t2 − 4t + 3) ≥ 0
Với t ∈ [1; 3] suy ra 1 ≤ x + 2 ≤ 3 hay −1 ≤ x ≤ 1.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1).
Dạng tốn 2: Từ Ví dụ 2.1.2 ta sẽ có nhiều bài toán dạng tương tự bằng
cách thay đổi hàm u(x) và hàm g(x) có chứa m để xây dựng thành bài tốn
biện luận. Ví dụ sau là một minh hoạ cho trường hợp này.
Ví dụ 2.1.6. Cho hàm số f 0 (x) có đồ thị như hình


19