ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

HOÀNG HẢI HÀ

ĐIỀU KHIỂN HỖN HỢP H∞ VÀ THỤ ĐỘNG CHO
MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN
THỨ PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN
TS. NGUYỄN HỮU SÁU

Thái Nguyên, 11/2020


1

Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2 Điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho một lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ phi tuyến

14

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Bài toán hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động cho lớp hệ phương
trình vi phân phân thứ phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho lớp hệ phương trình
vi phân phân thứ phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


2

LỜI NĨI ĐẦU
Giải tích phân thứ đã và đang thu hút sự chú ý của các nhà khoa học và
các kỹ sư. Điều này chủ yếu là do giải tích phân thứ rất phù hợp để mô tả bộ
nhớ và các đặc tính di truyền của các vật liệu và quy trình khác nhau, điều

mà đạo hàm và tích phân bậc ngun khơng mơ tả chính xác được. Hệ phương
trình vi phân và điều khiển phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu
của nhiều nhà khoa học và nhiều kết quả quan trọng về các bài toán ổn định
theo nghĩa Lyapunov, ổn định hữu hạn thời gian, tính thụ động và tính tiêu
tan đã được cơng bố trong những năm gần đây [7, 8, 14, 15, 17, 20, 22].
Trong những năm gần đây, bài toán điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động
cho một số lớp hệ phương trình vi phân bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [5, 18, 26, 27, 28]. Chẳng hạn, Sakthivel
cùng các cộng sự [18] nghiên cứu bài toán điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động
cho lớp hệ Markovian jump suy biến có trễ bằng cách sử dụng phương pháp
hàm Lyapunov-Krasovskii kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến
tính. Chen và các cộng sự [5] thiết kế một bộ điều khiển phản hồi đầu ra tĩnh
để nghiên cứu bài toán điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho lớp hệ tuyến
tính suy biến có trễ. Bài tốn điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho một lớp
hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến được nghiên cứu bởi D.C. Huong
và M.V. Thuan [11] bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ
phân thứ và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Luận văn tập trung trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển hỗn
hợp H∞ và thụ động cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến
dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp bài báo đã được công bố trong những năm
gần đây. Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính như sau:


3

Trong chương 1, chúng tơi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân
phân thứ. Ngồi ra, chúng tơi trình bày bài tốn điều khiển H∞ và thụ động
cho một số lớp hệ phương trình vi phân với bậc ngun. Cuối chương, chúng

tơi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham
khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 12, 13].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tơi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài
tốn điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho một lớp hệ phương trình vi phân
phân thứ phi tuyến. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu
từ tài liệu [11].
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS.
Nguyễn Hữu Sáu. Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tơi trong suốt q
trình thực hiện đề tài luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã
tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên
cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tơi trong suốt q trình nghiên
cứu. Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực
hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin
chân thành cảm ơn.


4

Danh mục ký hiệu

Rn


không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A>

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

ma trận đơn vị

λ(A)

tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A

λmax (A)

= max{Reλ : λ ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

kAk

chuẩn phổ của ma trận A, kAk =

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn


A≥B

nghĩa là A − B ≥ 0

A>0

ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0

LM Is

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)

kxk

chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn

Rn×r

khơng gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn )

khơng gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t 0 It


tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α

Γ(x)

hàm Gamma

Eα,β

hàm Mittag-Leffler hai tham số

dαe

số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

p

λmax (A> A)

L2 ([0, ∞), Rp ) không gian các hàm khả tích bậc hai và nhận giá trị trong Rp



5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tơi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [8, 12, 13].

1.1.
1.1.1.

Giải tích phân thứ
Tích phân phân thứ

Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
Z t
1
α
(t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b],
t0 It x(t) :=
Γ(α) t0
trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =


+∞
R

tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α
t0 It

:= I với I là toán

tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau
Định lý 1.1. ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi


6

đó, tích phân

α
t0 It x(t)

tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa,

α

t0 It x

cũng là

một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([13])
(i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
α
t0 It x(t)

−α

=λ

+∞
X
j=0


1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL α
t0 Dt x(t)


dn  n−α
1
dn
:= n t0 It x(t) =
dt
Γ(n − α) dtn

Z


t

(t − s)n−α−1 x(s)ds,

t0

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.

Γ(1 − α)


7

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
Z t
f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +
ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
a

do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:

AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]



d
D=
dt


.


Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b].
Mệnh đề 1.1. ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
như sau:
f (t) =

α
t0 It ϕ(t)

+

n−1
X

ck (t − t0 )k ,

k=0

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
Z t
1
α
(t − s)n−1 ϕ(s)ds.
t0 It ϕ(t) =
(n − 1)! t0
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),


f (k) (t0 )
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
ck =
k!

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([13]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ

RL α
t0 Dt f (t)

tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu

diễn dưới dạng sau
RL α
t0 Dt f (t)

=

n−1
X
k=0

f (k) (t0 )
1
(t − t0 )k−α +
Γ(1 + k − α)

Γ(n − α)

Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

Z

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


8

Hệ quả 1.1. ([13]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì


Z t 0
1
f
(t
)
f
(s)ds
0
RL α
+
.

t0 Dt f (t) =
α
Γ(1 − α) (t − t0 )α
t0 (t − s)
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một tốn tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một tốn tử tuyến tính, tức là
RL α
t0 Dt [λf (t)

α
RL α
+ µg(t)] = λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t)

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Ta có
RL α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)]
Z
dn t
1
(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds
=
Γ(n − α) dtn t0
Z
Z

dn t
dn t
λ
µ
n−α−1
=
(t − s)
f (s)ds +
(t − s)n−α−1 g(s)ds
n
n
Γ(n − α) dt t0
Γ(n − α) dt t0
α
RL α
= λ RL
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t).

Định nghĩa 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),
t0 It

trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn =


dn
dxn

là

đạo hàm thông thường cấp n.
T

Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C α
t0 Dt x(t)

:=


T
C α
C α
C α
t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t)

.

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân
thứ cấp α.


9


Định lý 1.3. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo
α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
α
(i) Nếu α 6∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
Z t
f (n) (s)ds
1
C α
D
f
(t)
=
.
t0 t
Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
Z t 0
f (s)ds
1
C α
.
t0 Dt f (t) =
Γ(1 − α) t0 (t − s)α
n
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau:

C n
t0 Dt f (t)

= f (n) (t).

Đặc biệt,
C 0
t0 Dt f (t)

= f (t).

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một tốn tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

α
C α
+ µg(t)] = λ C
t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ


= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của tốn tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([13]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


10

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung khơng là tốn tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây
Định lý 1.5. ([13]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)




= f (t) −

n−1 (k)
X
f (t0 )
k=0

k!


(t − t0 )k .

Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
α C α
t0 It t0 Dt f (t)




= f (t) − f (t0 ).

Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo
hàm phân thứ Riemann-Liouville.
Định lý 1.6. [13] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng
ta có:
C α
t0 Dt x(t)

=

RL α
t0 Dt

x(t) −

n−1
X
(t − t0 )j
j=0


j!

!
x(j) (t0 ) ,

với hầu hết t ∈ [a, b].
Định lý dưới đây có vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu tính thụ động
cho một số mạng nơ ron phân thứ.
Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.
Kilbas và các đồng tác giả [13]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng
f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây


β
β
α+β
α
α
f (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.
t0 It
t0 It f (t) = t0 It ( t0 It f (t)) = t0 It

1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ

Trong mục này chúng tơi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.



11

Định nghĩa 1.4. [12] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
Eα (z) =

+∞
X

zk
,
Γ(αk + 1)

k=0

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
E1 (z) =

+∞
X
k=0

+∞

X zk
zk
=
= ez .

Γ(k + 1)
k!
k=0

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [12] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
Eα,β (z) =

+∞
X
k=0

zk
,
Γ(αk + β)

được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
Eα,β (A) =

+∞
X
k=0

Ak
, ∀A ∈ Rn×n .
Γ(αk + β)

Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [13]. Xét hệ

phương trình vi phân phân thứ Caputo sau đây


 C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 ,
t0 t

(1.1)


 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
T

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là
thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Định nghĩa 1.6. ([25]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có thể


12

chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ
(1.1) trở thành
C α
t0 Dt y(t)

=


C α
t0 Dt (x(t)

− x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),

(1.2)

trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Khơng mất tính tổng qt, ta ln giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có điểm cân bằng là 0.
Định nghĩa 1.7. ([25]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
b

kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 .
Nhận xét 1.2. ([25]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là lim kx(t)k = 0.
t−→+∞

Định lý dưới đây được đưa ra bởi các tác giả Y. Li, Y. Q. Chen, và I.
Podlubny. Định lý cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của
lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1). Đây được xem là phương
pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo.

Định lý 1.8. ([16]) Hệ (1.1) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số
dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều
kiện:
(i)
(ii)

α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab ,
C α
t0 Dt V

(t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab ,

trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa


13

mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0
trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.1)
là Mittag–Leffler ổn định tồn cục.

1.3.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.

Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu



T
X Z

 < 0.
Z −Y

Bổ đề sau đây có vai trị quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov.
Bổ đề 1.3. ([8]) Cho x(t) ∈ Rn là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây:


1C α T
T
C α
t0 Dt x (t)P x(t) ≤ x (t)P t0 Dt x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.
2


14

Chương 2

Điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ
động cho một lớp hệ phương trình
vi phân phân thứ phi tuyến

Chương này trình bày bài tốn điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho lớp
hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến dựa trên việc đọc hiểu và trình
bày một cách chi tiết kết quả của bài báo của D.C. Huong và M.V. Thuan
đăng trên tạp chí Acta Applicandae Mathematicae.

2.1.

Phát biểu bài tốn

Xét hệ điều khiển phân thứ có nhiễu phi tuyến


C α


0 Dt x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + W f (x(t)) + Dω(t) + Bu(t), t ≥ 0,


(2.1)
y(t) = M x(t) + N ω(t),




 x(0) = x ∈ Rn ,
0
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rp là véc tơ nhiễu
thuộc L2 ([0, ∞), Rp ), u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, y(t) ∈ Rq là véc tơ quan
sát; A, W, D, B, M, N là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp sao
cho các phép toán đại số về ma trận thực hiện được. ∆A(t) = Ga Fa (t)Ha , ở đó

Ga , Ha là các ma trận thực cho trước. Fa (t) là ma trận biến thiên nhưng thỏa
mãn điều kiện FaT (t)Fa (t) ≤ I, ∀t ≥ 0. Nhiễu phi tuyến f (x(t)) ∈ Rn , f (0) = 0,
là hàm liên tục Lipschitz, tức là tồn tại một hằng số κ > 0 sao cho với mọi


15

ξ1 (t), ξ2 (t) ∈ Rn , ta có
kf (ξ1 (t)) − f (ξ2 (t))k ≤ κkξ1 (t) − ξ2 (t)k,

∀t ≥ 0.

(2.2)

Đặc biệt, khi ξ2 (t) ≡ 0, ta có
kf (ξ1 (t))k ≤ κkξ1 (t)k,

∀ξ1 (t) ∈ Rn , ∀t ≥ 0.

(2.3)

Chú ý rằng điều kiện (2.3) tương đương với điều kiện dưới đây
f T (ξ1 (t))f (ξ1 (t)) ≤ ξ1T (t)F T F ξ1 (t),

∀ξ1 (t) ∈ Rn , ∀t ≥ 0,

(2.4)

ở đó F = κI.
Khi u(t) ≡ 0, hệ (2.1) trở thành



C α


0 Dt x(t) = [A + ∆A(t)] x(t) + W f (x(t)) + Dω(t), t ≥ 0,


y(t) = M x(t) + N ω(t),




 x(0) = x ∈ Rn .
0

(2.5)

Định nghĩa 2.1. ([5, 18]) Hệ (2.5) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục với
hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động với tham số γ, nếu các phát biểu dưới đây
được thỏa mãn:
(i) Hệ (2.5) ổn định tiệm cận toàn cục khi mà ω(t) ≡ 0 và y(t) ≡ 0;
(ii) Với điều kiện ban đầu bằng không, tức là x(0) = x0 = 0, tồn tại một số
γ > 0 sao cho bất đẳng thức dưới đây được thỏa mãn:
Z tf
Z


−1 T
T
−γ θy (t)y(t) + 2(1 − θ)y (t)ω(t) dt ≥ −γ

0

tf

ω T (t)ω(t)dt,

(2.6)

0

với mọi tf > 0 và véc tơ nhiễu ω(t) ∈ L2 ([0, ∞), Rp ), trong đó θ ∈ [0, 1] là
tham số biểu thị sự cân bằng giữa chỉ số hiệu suất H∞ và chỉ số hiệu suất thụ
động.
Nhận xét 2.1. Hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động đã được đề xuất và nghiên
cứu trong các cơng trình của J. Chen cùng các cộng sự [5], R. Sakthivel cùng
các cộng sự [18], Q. Zheng cùng các cộng sự [26, 27], B. Zhu cùng các cộng
sự [28]. Năm 2020, D.C. Huong và M.V. Thuan mở rộng sang nghiên cứu bài
tốn trên cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Tham số θ ∈ [0, 1] là


16

tham số biểu diễn sự cân bằng giữa hiệu suất H∞ và hiệu suất thụ động. Khi
θ ≡ 1, định nghĩa bên trên trở thành định nghĩa cho bài toán hiệu suất H∞
[2]. Ngoài ra, khi θ ≡ 0, định nghĩa trên trở thành định nghĩa về tính thụ động
cho hệ phân thứ [9].

2.2.

Bài toán hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động cho lớp

hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến

Trước hết, chúng tơi trình bày một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận
tồn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến (2.5) khi mà ω(t) ≡ 0
và y(t) ≡ 0.
Định lý 2.1. Hệ (2.5) với ω(t) ≡ 0 và y(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận toàn cục nếu
tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n , các hằng số dương
1 , 2 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đây được thỏa mãn


Ξ11 P Ga P W 


(2.7)
 ∗ −1 I
0  < 0,


∗
∗
−2 I
ở đó
Ξ11 = P A + AT P + 1 HaT Ha + 2 κ2 I.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau đây
V (x(t)) = xT (t)P x(t),
trong đó P là nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.7). Dễ dàng
kiểm tra được
λmin (P )kx(t)k2 ≤ V (x(t)) ≤ λmax (P )kx(t)k2 .

(2.8)


Do đó điều kiện (i) trong Định lý 1.8 được thỏa mãn. Áp dụng Bổ đề 1.3, ta
tính được đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm V (x(t)) như sau:
C α
0 Dt V

α
(x(t)) ≤ 2xT (t)P C
0 Dt x(t)


= xT (t) P A + AT P x(t) + 2xT (t)P Ga Fa (t)Ha x(t) + 2xT (t)P W f (x(t)).

(2.9)


17

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận (Bổ đề 1.1) và sử dụng điều kiện
(2.4), ta thu được các đánh giá sau đây
T
T
T
T
(2.10)
2xT (t)P Ga Fa (t)Ha x(t) ≤ −1
1 x (t)P Ga Ga P x(t) + 1 x (t)Ha Ha x(t),

và
T

T
T
2xT (t)P W f (t, x(t)) ≤ −1
2 x (t)P W W P x(t) + 2 f (x(t))f (x(t))

≤

T
T
−1
2 x (t)P W W P x(t)

2 T

(2.11)

+ 2 κ x (t)x(t).

Kết hợp các điều kiện (2.9), (2.10) và (2.11), ta thu được
C α
0 Dt V

(t) ≤ xT (t)Ξx(t),

(2.12)

ở đó
T
T
2

Ξ = P A + AT P + 1−1 P Ga GTa P + −1
2 P W W P + 1 Ha Ha + 2 κ I.

Sử dụng bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có điều kiện Ξ < 0 tương đương với điều
kiện (2.7). Từ đó suy ra
C α
0 Dt V

(x(t)) ≤ λmax (Ξ)kx(t)k2 .

(2.13)

Từ (2.7) ta có Ξ < 0. Suy ra λmax (Ξ) < 0. Vậy điều kiện (ii) trong Định lý 1.8
cũng được thỏa mãn. Từ đó suy ra hệ (2.5) với ω(t) ≡ 0 và y(t) ≡ 0 ổn định
tiệm cận toàn cục.
Nhận xét 2.2. Bài tốn nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của điểm cân bằng
khơng của hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến đã nhận được sự quan
tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học (xem trong [6, 7, 15, 21, 24] và các
tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, các tiêu chuẩn trong các cơng trình
bên trên chỉ đưa ra điều kiện cho tính ổn định tiệm cận địa phương của điểm
cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến vì thành phần phi
kf (x(t))k
x→0 kx(t)k

tuyến trong các kết quả đó địi hỏi thỏa mãn điều kiện lim

= 0. Ngồi

ra, thành phần khơng chắc chắn ∆A(t) khơng được xét đến trong các kết quả
đó. Bằng cách sử dụng phương pháp trực tiếp Lyapunov, Định lý 2.1 đưa ra

một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận tồn cục của lớp hệ phương trình


18

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0

1

2

3

4

5

Time(sec)
Hình 2.1: Quỹ đạo của trạng thái x(t) của hệ (2.14) trong Ví dụ 2.1

vi phân phân thứ phi tuyến (2.5) với ω(t) = 0 và y(t) = 0. Kết quả thu được
trong Định lý 2.1 tương đối tổng quát vì nhiều yếu tố như thành phần khơng
chắc chắn, tính ổn định tiệm cận toàn cục được xét đến. Do đó có thể nói Định
lý 2.1 tổng quát hơn các kết quả đã có về chủ đề này [6, 7, 15, 24, 21]

Ví dụ dưới đây chứng tỏ sự hữu hiệu Định lý 2.1 so với các kết quả đã có.
Ví dụ 2.1. Xét phương trình vi phân phân thứ phi tuyến dưới đây


 C Dα x(t) = [−5 + cos t]x(t) + sin |x(t)|, t ≥ 0,
t
0

(2.14)


 x(0) = x0 ∈ R,
ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ R. Trong ví dụ này chúng tơi chọn A = −5, W = 1, Ga =
Ha = 1, Fa (t) = cos t, f (x(t)) = sin |x(t)|. Vì

lim

|x(t)|→0

|f (x(t))|
|x(t)|

= lim

|x(t)|→0

sin |x(t)|
|x(t)|

6=


0 nên các phương pháp được đưa ra trong các cơng trình [6, 7, 15, 21, 24]
khơng áp dụng được để xét tính ổn định tiệm cận tồn cục của phương trình
(2.14). Dễ kiểm tra được f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.3) với κ = 1. Sử dụng
hộp công cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB [10], ta kiểm tra được rằng
h
i
điều kiện (2.7) thỏa mãn với 1 = 2.2573, 2 = 2.2573 và P = 0.6719 ∈ R1×1 .


19

Theo Định lý 2.1, hệ (2.14) ổn định tiệm cận tồn cục. Do đó có thể nói tiêu
chuẩn trong Định lý 2.1 hiệu quả hơn các kết quả đã có.
Để mô phỏng, chúng tôi chọn α = 0.93 và điều kiện ban đầu x(0) = 1. Hình
2.1 mơ phỏng quỹ đạo x(t) của hệ (2.14). Từ hình 2.1 ta thấy hệ (2.14) ổn
định tiệm cận tồn cục.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày một điều kiện đủ cho tính đạt được hiệu suất
hỗn hợp H∞ và thụ động cho hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến
(2.5).
Định lý 2.2. Cho trước số θ ∈ [0, 1], hệ (2.5) đạt được hiệu suất hỗn hợp
H∞ và thụ động với mức γ nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương
P ∈ Rn×n , các hằng số dương γ, 1 , 2 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến
tính dưới đây thỏa mãn


√
θM T
0
Φ11 Φ12 P Ga P W


√ T
 ∗ Φ
0
0
0
θN 
22





 ∗
∗
−
I
0
0
0
1


 < 0,


 ∗
∗
∗
−

I
0
0
2




γ

 ∗
∗
∗
∗
−
I
0
2


γ
∗
∗
∗
∗
∗
−2I

(2.15)


ở đó
Φ11 = P A + AT P + 1 HaT Ha + 2 κ2 I,
Φ12 = P D − (1 − θ)M T ,
Φ22 = −(1 − θ)(N T + N ) − γI.
Chứng minh. Khi ω(t) ≡ 0 và y(t) ≡ 0, điều kiện (2.15) suy ra điều kiện (2.7).
Từ đó, theo Định lý 2.1, hệ (2.5) với ω(t) ≡ 0 và y(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận
toàn cục. Để xét tính đạt được hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động γ của hệ
(2.5), ta chọn hàm Lyapunov như trong chứng minh của Định lý 2.1. Khi đó,


20

ta thu được ước lượng sau đây:
C α
0 Dt V

(x(t)) + γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t)

≤ xT (t)Ξx(t) + 2xT (t)P Dω(t) + γ −1 θxT (t)M T M x(t) + 2γ −1 θxT (t)M T N ω(t)
+ γ −1 θω T (t)N T N ω(t) − 2(1 − θ)xT (t)M T ω(t) − (1 − θ)ω T (t)[N + N T ]ω(t),
(2.16)
−1
T
T
T
2
ở đó Ξ = P A + AT P + −1
1 P Ga Ga P + 2 P W W P + 1 Ha Ha + 2 κ I. Áp

dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận (Bổ đề 1.1), ta thu được

2γ −1 θxT (t)M T N ω(t) ≤ γ −1 θxT (t)M T M x(t) + γ −1 θω T (t)N T N ω(t). (2.17)
Từ (2.16) và (2.17), ta có
C α
0 Dt V

(x(t)) + γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t) ≤ ζ T (t)Ωζ(t),
(2.18)

ở đó


x(t)
Ω
Ω12
 , Ω =  11
,
ζ(t) = 
ω(t)
∗ Ω22




T
T
2
−1
T
Ω11 = P A + AT P + 1−1 P Ga GTa P + −1
2 P W W P + 1 Ha Ha + 2 κ I + 2γ θM M,


Ω12 = P D − (1 − θ)M T ,
Ω22 = 2γ −1 θN T N − (1 − θ)(N T + N ) − γI.
Từ Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2) ta thấy điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện
(2.15). Do đó ta thu được đánh giá sau đây
C α
0 Dt V

(x(t)) + γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t) ≤ 0,

∀t ≥ 0.
(2.19)

Tích phân phân thứ cấp α hai vế của(2.19) với cận từ 0 tới tf , ta thu được
Z tf


1 C α
γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t) dt ≤ 0.
0 Itf 0 Dtf V (x(t)) +
0

(2.20)
Sử dụng tính tuyến tính của đạo hàm phân thứ Caputo và Định lý 1.7, ta thu
được
1 C α
0 Itf 0 Dtf V

(x(t))



21
α C α
= 0 It1−α
0 Itf 0 Dtf V (x(t))
f


1−α
α C α
= 0 Itf
0 Itf 0 Dtf V (x(t))

= 0 It1−α
(V (x(t)) − V (x(0))) = 0 It1−α
V (x(t)) − 0 It1−α
V (x(0)).
f
f
f
Mặt khác, ta lại có
1−α
0 Itf V

1
(x(t)) =
Γ(1 − α)

Z

tf


(tf − s)−α xT (s)P x(s)ds ≥ 0, ∀tf ≥ 0.

0

Với điều kiện ban đầu bằng không, ta thu được đánh giá sau đây
Z tf
1
1−α
(tf − s)−µ xT (0)P x(0)ds = 0, ∀tf ≥ 0.
0 Itf V (x(0)) =
Γ(1 − α) 0
α
Hence 0 It1f C
0 Dtf V (x(t)) ≥ 0, ∀tf ≥ 0 with zero initial condition. Therefore, we

have
Z tf
−γ

−1

T

T




Z


θy (t)y(t) + 2(1 − θ)y (t)ω(t) dt ≥ −γ

0

tf

ω T (t)ω(t)dt, ∀tf ≥ 0.

0

Theo Định nghĩa 2.1, hệ (2.5) ổn định tiệm cận toàn cục với hiệu suất hỗn hợp
H∞ và thụ động mức γ. Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét 2.3. Xét hệ (2.5) với ma trận A = − diag{a1 , a2 , . . . , an }, ai > 0(i =
1, . . . , n) và thành phần phi tuyến f (x(t)) được chọn như là hàm kích hoạt,
tức là
f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t)), . . . , fn (xn (t))),
trong đó fi (.)(i = 1, . . . , n) là các hàm liên tục, fi (0) = 0 và fi (.)(i = 1, . . . , n)
thỏa mãn điều kiện dưới đây
|fi (ξ)| ≤ li |ξ|, ∀ξ ∈ R,

(2.21)

ở đó li (i = 1, . . .) là các hằng số dương đã biết. Quan sát thấy rằng điều kiện
(2.21) tương đương với điều kiện (2.4) với κ = max{li , i = 1, . . . , n}. Khi đó
hệ (2.5) sẽ trở thành hệ nơ ron thần kinh phân thứ đã được nghiên cứu trong
các cơng trình của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây [19, 23, 25].
Do đó có thể nói các Định lý 2.1 và 2.2 đều đúng đối với lớp hệ nơ ron thần
kinh phân thứ.



22

Ví dụ sau đây được đưa ra để minh họa cho Định lý 2.2 và Nhận xét 2.3.
Ví dụ 2.2. Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo với cấu trúc vòng


C α

t≥0

0 Dt x(t) = [A + Ga Fa (t)Ha ]x(t) + W f (x(t)) + Dω(t),


(2.22)
y(t) = M x(t) + N ω(t), t ≥ 0,




 x(0) = x ∈ R3 ,
0
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))T ∈ R3 là véc tơ trạng thái
của hệ, ω(t) ∈ R là véc tơ nhiễu, y(t) ∈ R là véc tơ quan sát, f (x(t)) =
(sin(x1 (t)), sin(x2 (t)), sin(x3 (t)))T ∈ R3 là hàm kích hoạt của mạng nơ ron và


 
0 
−5 0
0.6

h
i


 
A =  0 −6
,
G
=
,
H
=
0.4
0 
0.5 0.6 0.8 , Fa (t) = cos t,
a
a


 
0
0 −5.5
0.9

 

1
−2.5
0.5
 3

h
i
h i

 

W = −2.5
3
1  , D = 0.9 , M = 1 1 0 , N = 2 .

 

0.8
1
−2.5
3
Quan sát thấy rằng hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.4) với κ = 1.
Cho trước θ = 0.4. Ta xét bài toán đạt được hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động
của hệ (2.22). Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB [10],
ta thấy điều kiện (2.15) trong Định lý 2.2 được thỏa mãn với 1 = 3.2872, 2 =
3.3025, γ = 4.4643 và


0.7834 0.1260 0.1615


P = 0.1260 0.7053 0.1638 .


0.1615 0.1638 0.8559

Theo Định lý 2.2, hệ (2.22) ổn định tiệm cận toàn cục với mức hiệu suất hỗn
hợp H∞ và thụ động γ = 4.4643. Để mô phỏng, chúng tôi chọn α = 0.87,
ω(t) = e−0.1t sin t và điều kiện ban đầu là x1 (0) = 1, x2 (0) = 2, x3 (0) = 3.
Hình 2.2 mơ phỏng quỹ đạo của các trạng thái x1 (t), x2 (t), x3 (t) của hệ (2.22).
Rõ ràng, từ kết quả mô phỏng ta thấy hệ (2.22) ổn định tiệm cận toàn cục.


23

3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0

1

2

3

4

5

Time(sec)
Hình 2.2: Quỹ đạo của các trạng thái x1 (t), x2 (t), x3 (t) của hệ (2.22) trong Ví dụ 2.2


2.3.

Điều khiển hỗn hợp H∞ và thụ động cho lớp hệ phương
trình vi phân phân thứ phi tuyến

Trong mục này, chúng tơi trình bày bài tốn điều kiển hỗn hợp H∞ và thụ
động cho hệ (2.1). Cụ thể, chúng ta sẽ thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc
trạng thái
u(t) = Kx(t),
trong đó K ∈ Rm×n là ma trận sẽ được tìm để hệ đóng dưới đây


C α


0 Dt x(t) = [A + ∆A(t) + BK] x(t) + f (x(t)) + Dω(t), t ≥ 0,


y(t) = M x(t) + N ω(t),




 x(0) = x ∈ Rn ,
0

(2.23)

ổn định tiệm cận toàn cục với hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động mức γ.

Định lý 2.3. Cho trước số θ ∈ [0, 1], hệ đóng (2.23) ổn định tiệm cận tồn
cục với hiệu suất hỗn hợp H∞ và thụ động mức γ nếu tồn tại một ma trận đối
xứng xác định dương P ∈ Rn×n , một ma trận Y ∈ Rm×n , ba hằng số dương


24

γ, 1 , 2 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa mãn


√
T
T
N11 N12 P Ha κP
θP M
0


√
 ∗ N
T
0
0
0
θN


22



 ∗
∗ −1 I
0
0
0 


(2.24)

 < 0,
 ∗

∗
∗
−
I
0
0
2




γ
 ∗

I
0
∗
∗

∗
−
2


γ
∗
∗
∗
∗
∗
−2I
ở đó
N11 = AP + P AT + BY + Y T B T + 1 Ga GTa + 2 W W T ,
N12 = D − (1 − θ)P M T ,
N22 = −(1 − θ)(N T + N ) − γI.
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa được cho bởi
u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ 0.
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây
V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t),
trong đó P là nghiệm của bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.24). Bằng cách
sử dụng kỹ thuật tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2, ta thu được ước
lượng dưới đây
C α
0 Dt V

(x(t)) + γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t) ≤ η T (t)Mη(t),
(2.25)

trong đó







x(t)
M
M12
 , M =  11
,
η(t) = 
ω(t)
∗ M22
M11 = P −1 A + AT P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + 1 P −1 Ga GTa P −1
T
−1 2
−1
T
+ 2 P −1 W W T P −1 + −1
1 Ha Ha + 2 κ I + 2γ θM M,

M12 = P −1 D − (1 − θ)M T ,