CHƯƠNG 1. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Các điện tích đứng yên tạo ra xung quanh chúng một môi trường vật chất đặc
biệt, được gọi là trường tĩnh điện. Nội dung của chương này là khảo sát tương
tác tĩnh điện giữa các điện tích; Xây dựng các khái niệm cơ bản của trường tĩnh
điện như cường độ điện trường, điện thế, hiệu điện thế, chứng minh trường tĩnh
điện là trường lực thế.

§1.1. Các khái niệm mở đầu
1. Hiện tượng nhiễm điện.
Hiện tượng một số vật sau khi cọ sát vào nhau có thể hút được các vật nhẹ khác
gọi là hiện tượng nhiễm điện.
2. Điện tích.
Vật bị nhiễm điện nghĩa là nó có mang điện tích, có hai loại điện tích là điện tích
dương và điện tích âm.
Điện tích dương là loại điện tích giống điện tích xuất hiện trên thanh thủy tinh sau
khi cọ sát vào lụa.
Điện tích âm là loại điện tích giống điện tích xuất hiện trên thanh êbonit sau khi
cọ sát vào dạ.
Hai điện tích cùng loại ln đẩy nhau, khác loại hút nhau.
Điện tích xuất hiện trên vật có cấu tạo gián đoạn, gồm một số nguyên lần điện
tích nhỏ gọi là điện tích nguyên tố.

p  1,6.1019 C

- Điện tích nguyên tố dương: proton 


27
mp  1,67.10 kg
e  1,6.1019 C


- Điện tích nguyên tố âm: electron 
31
me  9,1.10 kg

3. Ion.
Proton và electron đều có trong thành phần cấu tạo của nguyên tử, proton nằm
trong hạt nhân nguyên tử, electron chuyển động xung quanh hạt nhân đó.
Ngun tử ở trạng thái trung hịa có tổng điện tích bằng khơng: số proton bằng
số electron bằng Z.
Khi mất electron, nguyên tử trở nên thiếu điện tích âm và mang điện dương, gọi
là ion dương.
Khi nhận electron, nguyên tử trở nên thừa điện tích âm và mang điện âm, gọi là
ion âm.
Vậy: vật mang điện là do nó mất đi hoặc nhận thêm một số nguyên lần điện
tích nguyên tố âm:ne
4. Định luật bảo tồn điện tích.
Thuyết electron dựa vào sự chuyển dời của các electron để giải thích các hiện
tượng điện, bản chất của quá trình nhiễm điện chỉ là quá trình vật mất đi hoặc
nhận thêm một số nguyên lần điện tích nguyên tố âm, chính là q trình phân bố
lại các điện tích trong các vật hoặc trong hệ vật, cịn tổng đại số điện tích trên
chúng khơng có gì thay đổi.
1


Định luật bảo tồn điện tích: “Tổng đại số các điện tích trong một hệ cơ lập
ln là khơng đổi ”
5. Chất dẫn điện và chất cách điện.
Chất dẫn điện là chất có khả năng cho điện tích chuyển động tự do trong nó.
Chất cách điện là chất khơng có khả năng cho điện tích chuyển động tự do trong
nó.

Giữa chất dẫn và cách điện có một loại chất trung gian, có độ dẫn điện nhỏ hơn
chất dẫn điện nhưng lớn hơn chất cách điện gọi là chất bán dẫn.

§1.2. Định luật Culong
Điện tích ln tương tác với nhau, hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau và trái dấu
thì hút nhau gọi là tương tác tĩnh điện hay tương tác Culong.
1. Điện tích điểm.
Là vật mang điện có kích thước nhỏ hơn rất nhiều so vói các kích thước và
khoảng cách mà ta khảo sát. Vậy khái niệm về điện tích điểm có tính tương đối,
trong trường hợp này ta có thể coi vật là điện tích điểm nhưng trong trường hợp
khác thì khơng.
2. Định luật Culong
2.1. Đinh luật Culong trong chân khơng.
Cho 2 điện tích q1 và q2 cách nhau khoảng r trong chân khơng, có hằng số điện
môi ε =1. Bằng thực nghiệm nhà vật lý Coulomb đã thiết lập nên định luật mang
tên ông vào năm 1785. Định luật đó được phát biểu như sau:
“Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đứng yên trong chân khơng có phương
nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, có chiều đẩy nhau nếu hai điện tích cùng
dấu và hút nhau nếu hai điện tích trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn
của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng chách giữa chúng”






F10

q1








F20



F20

q1
q1

F20

q2

r21
F10



F20



r12


F10

q2




F10

F20


F10



F20

q2



F20

Hình 1.1. Lực tương tác giữa hai điện tích điểm

2


q1 q2

(1.1)
r2
1
12 2
2
k
 9.109 Nm2 / C2 0  8,86.10 C / Nm gọi là hằng số điện.
40

Fk





1 q1q2 r21
F10 
40 r 2 r

(1.2)





1 q1q2 r12
F20 
40 r 2 r

(1.3)


Và F10=F20=F

(1.4)





r12 r21 là hai vectơ khoảng cách hướng từ q1 đến q2 và ngược lại.
2.1. Đinh luật Culong trong môi trường.
Nếu hai điện tích điểm q1, q2 được đặt trong một mơi trường bất kỳ thì lực
khơng: trong đó ε là một đại lượng không thứ nguyên đặc trong cho tính chất
điện của mơi trường và được gọi là độ thẩm điện môi tỉ đối (hay hằng số điện
)


F2 






F20
1 q1q2 r12


40 r 2 r



(1.5)



F
1 q1q2 r21
F1  10 

40 r 2 r

(1.6)

3. Nguyên lý chồng chất các lực điện
Xét một hệ điện tích điểm q1, q2, ...., qn được phân bố rời rạc trong khơng gian






và một điện tích điểm q0 đặt trong khơng gian đó. Gọi F1 , F2 , ..., Fn lần lượt là
các lực tác dụng của q1, q2,….., qn lên điện tích q0 thì tổng hợp các lực tác dụng
lên q0 là:









n 

F  F1  F2  ...  Fn   Fi

(1.7)

i1

Áp dụng nguyên lý trên ta có thể xác định lực tương tác tĩnh điện giữa hai vật
mang điện bất kỳ bằng cách xem mỗi vật mang điện như một hệ vô số các điện
tích điểm được phân bố rời rạc. Nếu điện tích được phân bố liên tục trong vật thì
việc lấy tổng trong (1.7) được thay bằng phép tích phân theo toàn bộ vật. Với hai
quả cầu mang điện đều hoặc hai mặt cầu tích điện đều, sau khi áp dụng nguyên
lý trên, ta thấy rằng lực tương tác giữa chúng cũng được xác định bởi định luật
Culong, song phải coi điện tích trên mỗi khối (mặt) cầu như một điện tích điểm
tập trung ở tâm của nó.

§1.3. Điện trường
1. Khái niệm điện trường
Sở dĩ các điện tích tuy ở cách xa nhau, không tiếp xúc với nhau nhưng vẫn
3


tương tác được với nhau là vì khơng gian xung quanh mỗi điện tích tồn tại một
mơi trường vật chất đặc biệt gọi là điện trường. Thể hiện sự tồn tại của điện
trường là ở chỗ khi đặt bất kì một điện tích nào vào điện trường thì điện tích đó
đều bị tác dụng của một lực điện. Điện trường là mơi trường truyền tương tác
điện từ điện tích này sang điện tích khác.

2. Véctơ cường độ điện trường
2.1. Định nghĩa
Tại một điểm M nào đó trong điện trường ta lần lượt đặt các điện tích q 01, q02...
q0n có giá trị đủ nhỏ (để không làm biến đổi đáng kể điện trường đó) rồi đo các






lực F1 , F2 , ..., Fn do điện trường tác dụng lần lượt lên chúng. Thực nghiệm cho
thấy tỉ số giữa lực tác dụng lên mỗi điện tích và trị đại số của điện tích đó là một
hằng số:








F1
F
F
F
 2  ... n  const 
q01 q02
q0n
q0



E



F
q0

(1.8)



E đặc trưng cho điện trường tại điểm M cả về độ lớn, phương và chiều; nó
được gọi là véctơ cường độ điện trường tại M




Nếu chọn q = +1C thì E  F .
(1.9)
Vậy: “Véctơ cường độ điện trường E tại một điểm là đại lượng đặc trưng
cho điện trường tại điểm đó về phương diện tác dụng lực, có trị véctơ
bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích dương đặt tại
điểm đó”.




− Nếu q0 > 0 thì E cùng chiều với F





− Nếu q0 < 0 thì E ngược chiều với F


Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của E là Vôn/mét: V/m.
2.2. Vectơ cường độ điện trường của điện trường gây bởi 1 điện
tích điểm.
Giả sử điện trường do một điện tích điểm q sinh ra. Ta hãy xác định véctơ


cường độ điện trường E tại một điểm M cách điện tích q một khoảng r. Muốn


vậy tại điểm M ta đặt một điện tích điểm q0 có trị số đủ nhỏ. Khi đó E tác dụng
lên q0 một lực chính là lực tác dụng do điện tích q tác dụng lên q0.







1 qq0 r
1 q r

F
E


2
40 r r
40 r 2 r

(1.10)

M

M


q>0

r



E

q <0





E

r

4

Hình 1.2. Điện trường sinh ra bởi một điện tích điểm


Nhận xét:




- Nếu q > 0 thì E  r : hướng ra xa khỏi điện tích q.




- Nếu Q < 0 thì E  r : hướng vào điện tích q.
1 q
- Về độ lớn E 
: E tại điểm M tỉ lệ thuận với độ lớn của điện tích q và tỉ
40 r 2
lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm đang xét đến điện tích q.
2.3. Véctơ cường độ điện trường của điện trường gây ra bởi một hệ vật
mang điện –Nguyên lý chồng chất điện trường
+ Điện trường gây ra bởi hệ điện tích phân bố rời rạc.
Xét hệ điện tích điểm q1, q2, ..., qn phân bố rời rạc trong không gian. Tại M đặt q0
:
n 






Fi
F
 i1 
E
q0
q0


n


i1



n 
Fi
 Ei
q0 i1



(1.11)



Trong đó Fi là lực tác dụng của điện tích qi lên điện tích q0. (3.4) là biểu thức tốn
học của ngun lý chồng chất điện trường được phát biểu như sau:
“Véctơ cường độ điện trường của điện trường gây ra bởi một hệ điện tích
điểm bằng tổng các véctơ cường độ điện trường do từng điện tích điểm

của hệ sinh ra”.
+ Điện trường gây bởi hệ điện tích phân bố liên tục.
Xét một vật mang điện có kích thước bất kỳ và điện tích phân bố liên tục trên vật
này. Ta có thể xem vật như một hệ điện tích điểm được phân bố liên tục trong
khơng gian. Do đó, ta chia vật thành nhiều phần nhỏ có độ lớn điện tích dq, sao


cho dq có thể xem là điện tích điểm và sinh ra điện trường dE .




1 dq r
(1.12)
dE 
40 r 2 r
Véctơ cường độ điện trường do vật mang điện gây ra tại điểm M được xác định
tương tự theo cơng thức:


E





dE

(1.13)


tồnbơvât

Ta xét một số trường hợp cụ thể sau đây:
+ Nếu vật là sợi dây (L) với mật độ điện tích dài λ (C/m) thì điện tích trên một vi
phân độ dài dl là dq =λdl


1 dl r
E
40 r 2 r
tồnbơvât




(1.14)

+ Nếu vật là mặt (S) với mật độ điện tích mặt ρ(C/m2) thì điện tích trên một vi
phân độ dài dl là dQ = ρdl


1 dS r
E
40 r 2 r
tồnbơvât




(1.15)


+ Nếu vật là khối (V) với mật độ điện tích khối δ (C/m 3) thì điện tích trên một vi
phân độ dài dl là dQ =δdV
5




1 dV r
E
40 r 2 r
tồnbơvât




(1.16)

3. Ứng dụng ngun lý chồng chất điện trường tính cường độ điện trường
do một vài hệ điện tích sinh ra
3.1. Lưỡng cực điện
+ Định nghĩa
Lưỡng cực điện là một hệ hai điện tích điểm có độ lớn bằng nhau nhưng trái dấu
+q và –q, cách nhau một đoạn l rất nhỏ so với khoảng cách từ lưỡng cực điện
tới những điểm đang xét của trường.
+ Mômen lưỡng cực điện







Véctơ mômen lưỡng cực điện được định nghĩa là: pe  q l , l là véctơ khoảng
cách giữa hai điện tích đó, hướng từ điện tích (-q) đến (+q). Đường thẳng nối hai
điện tích gọi là trục của lưỡng cực điện.
+ Điện trường gây ra bởi lưỡng cực điện:
Cường độ điện trường tại điểm M nằm trên mặt phẳng trung trực của
lưỡng cực
Theo nguyên lý chồng chất điện trường thì cường độ điện trường tại M:






E  E1 E2

(1.17)

Hình 1.3. Lưỡng cực điện

1 q
40 r12
E  E1cos  E2cos  2E1cos
1 ql
l
E
cos 
40 r13
2r


E1  E2 

(1.18)

6


E

1 ql
1 pe

40 r13 40 r13

(1.19)





1 pe
(1.20)
E
40 r13
Cường độ điện trường tại một điểm trên trục của lưỡng cực: Bằng phương
pháp tương tự ta cũng xác định được véctơ cường độ điện trường tại N cách
tâm O của lưỡng cực điện khoảng r:





1 pe
EN 
40 r 2
Lưỡng cực điện đặt trong điện trường ngồi.

(1.21)

Hình 3.3. Lưỡng cực điện trong điện trường ngoài




Giả sử lưỡng cực điện pe đặt trong điện trường ngồi E0 , nghiêng với đường
sức điện trường góc θ, lưỡng cực điện sẽ chịu tác dụng của mômen ngẫu lực












 




F1 , F2 : F1  qE0 ,F2  qE0




  l  F1  l  qE0








 q l  E0  pe  E0
  peE0 sin   qlE0 sin 

(1.22)



Mơmen  có tác dụng làm quay lưỡng cực điện theo chiều (trong hình 7-6 là




theo chiều kim đồng hồ) sao cho pe trùng với hướng của điện trường E0 . Đến vị









trí mà pe  E0 thì các lực F1 và F2 trực đối nhau. Nếu lưỡng cực điện là cứng (l
khơng đổi) nó sẽ nằm cân bằng. Nếu lưỡng cực là đàn hồi, nó sẽ bị biến dạng.
3.2. Điện trường của dây thẳng tích điện dài vơ hạn
Dây dài vơ hạn tích điện đều mật độ điện dài λ, ta cần tìm điện trường tại M
cách dây khoảng R. Ta chia nhỏ dây thành từng phần có độ dài dx, điện tích dq


được coi như điện tích điểm, dq gây ra cường độ điện trường tại M là dE :
1 dq
1 dx
(1.23)
dE 

40 r 2 40 r 2
7


Trog đó: r 2  R2  x2
Theo nguyên lý chồng chất điện trường, cả sợi dây gây ra điện trường tại M:


E



dây



(1.24)

dE

Vì mỗi yếu tố dx trên sợi dây ln có một yếu tố đối xứng qua O nên từng cặp
yếu tố dx đối xứng như vậy gây ra cường độ điện trường tổng cộng có phương


vng góc với sợi dây. Kết quả, cả sợi dây gây ra véctơ E có phương vng
góc với sợi dây và E = En.

N

dq=λdx

α

O

M

dEn




E

r


dE

Hình 1.4. Dây thẳng tích điện đều

E  En 

 dEn  dây dEcos

dây



1 dx
cos (1.25)
2
4

r
0
dây




R

R2
2
cos



r


r
cos2

 x  Rtg  dx  Rd

cos2
Rd

1 
1
cos2 cos 
cosd
E 
2
4

R
4

R
0

0
dây
dây
cos2

1 
1  2
(sin 2  sin 1)

cosd 

40 R
40 R 





(1.25’)

1

Dây dài vô hạn nên: 2 




, 1   : E 
2
2

20R

(1.26)

3.3. Điện trường của đĩa trịn mang điện đều
Giả sử có đĩa tròn (O, R) mang điện đều mật độ điện mặt  , cần tìm cường độ
điện trường do đĩa gây ra tại M nằm trên trục của đĩa và cách tâm đĩa khoảng h.
8


Ta chia nhỏ đĩa thành từng phần nhỏ có diện tích dS được giới hạn bởi hai
đường trịn (O,x) và (O, x+dx) và hai bán kính hợp với phương Ox góc φ và φ+d
φ, điện tích của dS là dq.
dS  x.dx.d , dq  dS  .x.d.dx


Cường độ điện trường do dq gây ra tại M dE1 :
1 dq
(1.27)
dE1 
40 r 2
Trong đó r  h2  x2 .
Với mỗi yếu tố dS như trên ta ln có một yếu tố đối xứng với dS qua O gây ra




điện trường dE2 , hai yếu tố này gây ra tại M cường độ điện trường dE có
phương nằm trên trục của đĩa.







dE  dE1 dE2

(1.28)


Kết quả là véctơ cường độ điện trường do cả đĩa gây ra tại M là E cũng có
phương nằm trên trục của đĩa.


E







dE , E 

1/2dia

dE

(1.29)


1/2dia

dE1  dE2

dq=σdS

(1.30)
 dE  2.dE1.cos
h
h
cos  
2
r
h  x2
h
xdxd
 dE 
20 ( h2  x 2 )3

E

h
xdxd
20 ( h2  x 2 )3
1/2dia






h
xdx
d
20 0 ( h2  x 2 )3 0





dE1

r
x

α

O



M

dE

h



R




A



dE2

B

Hình 1.5. Đĩa trịn mang điện đều

 2
 x  0  z  h
h  x 2  z2  
2
2

 x  R  z  h  R

 xdx  zdz
R

(
0

xdx
h2  x 2 )3

h2 R2





h

1
1
zdz
)
= (1 
3
z
1  R2 h2 h



0 d  
h
1
1

1
(1 
) 
(1 
)
(1.31)
20
20

1  R2 h2 h
1  R2 h2
Nếu đĩa có kích thước rất lớn nó tương với mặt phẳng vô hạn mang điện đều,
E

9


R   :E 


20

(1.32)

§1.4. Điện thơng và Định lý Ơxtrơgratxki-Gauss
1. Đường sức điện trường.
1.1.
Định nghĩa.
Để mơ tả dạng hình học của điện trường người ta dùng đường sức điện trường.
“Đường sức điện trường là một đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm
của nó trùng với phương của véctơ cường độ điện trường E tại điểm đó,
cịn chiều của nó là chiều của véctơ cường độ điện trường”.
Tập hợp các đường sức gọi là điện phổ.
1.2.
Tính chất
- Mật độ đường sức đặc trưng cho độ lớn của vectơ cường độ điện trường.
- Đường sức luôn là đường cong hở, xuất phát từ điện tích dương hoặc vơ cùng,
kết thúc ở điện tích âm hoặ vơ cùng.
- Các đường sức điện trường khơng cắt nhau vì tại mỗi điểm trong điện trường



véctơ E chỉ có một giá trị xác định qua đó ta chỉ vẽ dduocj một đường sức duy
nhất.
- Đường sức của điện trường đều là các đường thẳng song song cách đều nhau.

Hinh 1.6. Đường sức điện trường.

Hình 1.7. Điện phổ của điện tích điểm

Hình 1.8.. Điện phổ của hệ hai điện tích điểm

10


2. Vectơ cảm ứng điện.
Sự gián đoạn của đường sức điện trường.
Khi ta biểu diễn điện trường bằng điện phổ qua các mơi trường khác nhau thì


gặp phải khó khăn vì cường độ điện trường E phụ thuộc vào mơi trường (tỉ lệ
nghịch với hằng số điện môi ε) Và do đó khi đi qua mặt phân cách của hai môi


trường hằng số điện môi ε khác nhau cường độ điện trường E biến thiên đột
ngột vì vậy điện phổ bị gián đoạn ở bề mặt phân cách hai môi trường.
Hình 1.9 là điện phổ của một điện tích điểm +q đặt ở tâm một mặt cầu S, bên
trong S là chân khơng (ε = 1), cịn bên ngồi S là mơi trường có hằng số điện
mơi ε = 2. Ta thấy, qua mặt phân cách S, số đường sức giảm đi 2 lần, tức là điện
phổ bị gián đoạn trên mặt S.

Sự gián đoạn này không thuận lợi cho các phép tính về điện trường. Để khắc
phục, người ta khử sự gián đoạn đó bằng cách đưa vào một đại lượng vật lý
khác khơng phụ thuộc vào tính chất của môi trường được gọi là véctơ cảm ứng


điện D (cịn gọi là véctơ điện cảm). Trong trường hợp mơi trường là đồng nhất,
ta định nghĩa:




D  0 E , D  0E

(1.33)
Tương tự như véctơ cường độ điện


trường E , véc tơ điện cảm cũng có
đường điện cảm thể hiện về mặt hình


học của D . Về mặt định nghĩa và tính
chất, đường điện cảm giống như
Hình 1.9.
đường sức của điện trường, tuy nhiên
Sự
gián
đoạn
của
đường sức điện trường

mật độ của nó khơng thay đổi khi qua 2
mơi trường có hằng số điện môi khác
nhau.
Đối với điện trường gây bởi điện tích
điểm:


E






q

r
4or r

D

2



q

q
r
,D 

4r r
4r 2
2

(1.30)
Hình 1.10.
Sự liên tục của đường điện cảm

3. Điện thơng
3.1.
Định nghĩa.
Điện thơng qua một điện tích S đặt trong điện trường chính là thơng lượng của
véctơ cảm ứng điện gởi qua diện tích S đó.
11


3.1.
Biểu thức tính điện thơng
+ Xét diện tích phẳng S đặt trong điện trường đều có các đường cảm ứng điện
thẳng song song cách đều nhau (hình 4.5).

Hình 1.11. Định nghĩa điện thông

Theo định nghĩa, điện thôn
e gởi qua mặt S là đại lượng có trị số bằng số
đường cảm ứng điện gửi qua mặt S đó.


 e  DS


(1.31)

DnS
(1.32)
e  DScos  
DSn


S

n S
 

Trong đó véctơ diện tích S  
S  S





Với Dn là hình chiếu của D lên phương S và Sn là hình chiếu của S lên phương
vng góc với các đường cảm ứng điện. Ta nhận thấy số đường cảm ứng điện
gửi qua hai mặt S và Sn là như nhau, nên điện thông gửi qua S cũng chính là
điện thơng gởi qua Sn.


Φe>0 khi α nhọn hoặc Φe< 0 khi α tù, tùy thuộc vào cách chọn n .
+ Nếu diện tích S bất kỳ và điện trường bất kỳ, khi đó ta chia diện tích S thành



những vi phân diện tích vơ cùng nhỏ dS sao cho véctơ cảm ứng điện D tại mọi
điểm trên diện tích dS có thể xem là bằng nhau (đều).
Khi đó điện thơng vi phân gửi qua dS:
 

de  DdS
Và điện thơng tồn phần gửi qua S:
e 



(S)

 

Dds 

 Ddscos  .

(1.33)
(1.34)

(S)



Nếu (S) là mặt kín, pháp tuyến n ln hướng ra khỏi mặt (S).
4. Định lý Ơxtrơgratxki-Gauss
Mục đích của phần này là thiết lập mối quan hệ giữa véctơ cảm ứng điện D và
12



điện tích gây ra . Đó chính là nội dung của định lý O – G.
4.1.
Góc khối
Cho diện tích dS và một điểm O ngoài S. M thuộc dS, OM=r, tại đó ta dựng pháp


tuyến n của dS hợp với OM góc α. dSn là hình chiếu của dS lên mặt phẳng
vng góc với OM. Ta định nghĩa góc khối từ O nhìn dS:


dSn


n

1

α

O
d

M

dS

Hình 1.12. Góc khối


dS
dScos 
, d  2 n
(1.35)
2
r
r
Dựng mặt cầu đơn vị  tâm O, d là diện tích chỏm cầu tâm O bán kính bằng 1
nằm trong hình nón đỉnh O tựa trên chu vi của dSn, ta có:
d dSn
 2  d  d
12
r
d 



d  d hoặc d  d tùy thuộc vào cách chọn n .
Và ta có góc khối từ O nhìn mặt S bất kỳ:



(S) d  (S)

dScos 
r2

(1.36)

  4

  4  
  4

(1.37)

Điện thông xuất phát từ một điện tích điểm.

4.2.

Điện tích điểm q đặt tại O và một vi phân diện tích dS tại M cách q khoảng r: Độ
q
lớn véctơ điện cảm tại M: D 
4r 2
Điện thông gửi qua dS:
de  D.dS.cos

q

q
(1.38)
d
4
4r
Giả sử dS là một vi phân diện tích trên mặt kín (S). Nếu (S) bao quanh q, khi đó
điện thơng tồn phần gửi qua S:
q
q
e  d e 
d 
d  q

(1.39)
4
4 (S)
(S)
(S)



2



dScos 





13


(S) d  4

với

Nếu mặt (S) kín khơng bao quanh q: ta chia S thành 2 phần (S 1) và (S2) bằng
đường tiếp xúc của mặt nón đỉnh O với mặt (S), khi đó:
d 
d 
d    ()  0






(S)



(S1 )

(S2 )

 e 

q
d  0
4 (S)

4.3.

Định lý Ơxtrơgratxki-Gauss



(1.40)



Xét mặt kín (S), chiều dương của pháp tuyến n trên mặt kín hướng ra ngồi, ta

phát biểu định lý như sau:
“Điện thơng qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích nằm trong mặt
kín đó”
Biểu thức:  e 


(S)

 

D dS 

n

qi

i1

(S) gọi là mặt Gauss.
Dạng vi phân của định lý:
 


D ds  div D dV 

(S)
(V )


div

D


n

qi  dV

i1
(V )




(1.41)





(1.42)



5. Ứng dụng định lý tính cường độ điện trường.
5.1.
Điện trường của một mặt cầu mang điện đều:
Cho mặt cầu (O, R), tích điện đều với mật độ điện khối ρ > 0. Xác định cường độ
điện trường tại điểm M ở bên ngoài và điểm N bên trong quả cầu.
* Tại điểm M ở ngoài mặt cầu, OM = r > R.
+ Chọn mặt Gauss (S)  mặt cầu (O,r) đi qua M.

+ Vì khối cầu tích điện đều nên hệ đường sức có tính chất đối xứng cầu. Hệ
đường sức có phương trùng với các bán kính, hướng ra ngồi. Do đó quỹ tích


của những điểm có độ lớn D bằng nhau là những mặt cầu tâm O, do đó trên
mặt cầu (S): D = DM = const.
+ Áp dụng định lý O – G:
e 


(S)



(S)

 

 

DdS 

DdS 

n

qi

i1




D

(S) DdScos

N

(S) DndS  (S) DdS
(S) dS  D.4r

D

2

O

(1.43)



M

dS

Dn
S

S


Hinh 1.13. Điện trường của mặt cầu
mang điện đều

14


n

qi  q

i1

(1.44)

q
q
,E 
(1.45)
2
40r 2
4r
Kết quả này giống với biểu thức cường độ điện trường của một điện tích điểm q
đặt tại O.

D

* Tại điểm N nằm trong lòng mặt cầu (r < R).
Tương tự quá trình như trên, tuy nhiên vì mặt Gauss (S) lúc này nằm trong mặt
cầu mang điện nên nó khơng chứa một điện tích nào:
n


q  0
i

 D  0,E  0

(1.46)

i1

Nhận xét:
− Ở trong mặt cầu (r− Ở ngồi (r>R): điện trường tương đương với điện trường của 1 điện tích điểm
có cùng độ lớn đặt tại tâm mặt cầu.
5.2.
Điện trường của một mặt phẳng mang điện đều:
Mặt phẳng vô hạn mang điện đều có mật độ điện mặt σ, do tính đối xứng nên


véctơ điện cảm D tại điểm M nào đó trong điện trường ln vng góc với mặt
phẳng.
Ta chọn mặt Gauss (S) là mặt trụ đi qua M nằm đối xứng với nhau qua mặt
phẳng. Điện thông gửi qua (S):

e 


(S)

 

DdS 

n

qi

i1

Do (S) giao với mặt phẳng bởi S có
tích q  S nên:

điện

n

 q  .S

(1.47)

i

i1

 


(S)

DdS 

(S) DdScos



 D dS  
n

(S)

(S2dáy )

DndS 



(Smatbên )

 Dn 2.S  0  D.2.S (1.48)


D  , E 
2
20
(1.49)


DndS
Hình 1.14 . Điện trường của
mặt phẳng mang điện đều



D và E không phụ thuộc vào không gian, vậy điện trường do mặt phẳng vô hạn
sinh ra là điện trường đều.

5.3.
Hai mặt phẳng mang điện đều trái dấu đặt song song:
Cho 2 mặt phẳng có cùng mật độ điện mặt nhưng trái dấu  và  . Véctơ cảm
ứnd điện tại mọi điểm trong diện trường:

15








D  D1 D2

+σ

(1.50)


-σ
ε



Do 2 mặt phẳng trái dấu nên D1,D2 trong
vùng không gian giữa hai mặt cùng chiều
nhau:

D=D1+D2=2D1=  , E 
(1.51)
0
Ngồi vùng khơng gian của 2 mặt phẳng




D1,D2 ngược chiều nhau nên:
D=0, E=0.

(1.52)





D

D =0

d

Hình 1.15. Điện trường giữa

hai mặt phẳng vô hạn trái dấu

5.4.
Điện trường của một mặt trụ vô hạn mang điện đều:
Cho mặt trụ dài vô hạn bán kính R mật độ điện mặt  , do tính đối xứng nên


véctơ điện cảm D tại điểm M nào đó trong điện trường ln vng góc với trục
của trụ và hướng theo phương bán kính.
Chọn mặt Gauss (S) là mặt trụ đồng trục với mặt trụ mang điện có chiều cao l và
bán kính r đi qua M. Theo định lý O-G, điện thông gửi qua (S):

e 


(S)


(S)

 

DdS 

 

DdS 

n

qi

i1

(S) DdScos   D dS  
n

(S)

0


(S

DndS  Dn

matbên )

D




(S

(S2dáy )



DndS 

DndS

(Smatbên )

dS

matbên )

dS  D.2.r.l

(1.53)

qi  .S  .2.R.l

i1

(1.54)

(Smatbên )

n

D

R
R
,E 
r
0r

(1.55)
n

Nếu R rất nhỏ trụ tương đương với 1 dây tích điện vơ hạn:

 q  l
i

i1

D 



,E 
2r
20r

(1.56)

§1.5. Điện thế
1. Cơng của lực tĩnh điện. Tính chất thế của trường tĩnh điện.


Xét điện tích điểm q0 đặt trong điện trường tĩnh E , theo tính chất của điện




trường, q chịu tác dụng của lực điện trường F  qE và di chuyển theo đường


cong MN. Khi đó lực F sinh cơng AMN gọi là công của lực tĩnh điện.
16


N 

N 



N




M

AMN  F ds  q0 E ds  q0 Edscos 
M

(1.57)

M

Công của điện trường gây bởi 1 điện tích điểm

1.1.



Nếu E do một điện tích điểm sinh ra, tại M véctơ cường độ điện trường:




q
r
q
,E 
E
2
4or r
4or 2
dscosα= AA’= OA’-OA=OB-OA=dr
r

AMN

qq0 1 1
qq0 N dr

(  )

40 r r 2 40 rM rN



M

qq0 1
qq0 1
(1.58)


40 rM 40 rN
Nhận thấy AMN không phụ thuộc vào dạng đường cong dịch chuyển MN của q 0,
mà chỉ phụ thuộc vào M và N.
Cơng trong điện trường gây bởi hệ điện tích điểm.

2.2.


Giả sử E do hệ điện tích điểm qi sinh ra, khi đó véctơ cường độ điện trường tại
M:


E

n 

E

i

i1

N

n  

 
i1
M

AMN  q0


n

Ei ds 

n N

q

 

0 Ei

ds

i1 M

( i 0
 i 0
)

4


r
4

r
0
iM
0
iN
i1
qq

1

qq

1

(1.59)
Trong đó riM và riN là các khoảng
cách
từ điện tích qi đến M và N.
Ta thấy công của lực tĩnh điện
cũng
không phụ thuộc vào dạng đường
cong
dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào
vị trí
điểm đầu và điểm cuối của dịch
Hình 1.16 . Cơng của lực tĩnh điện

chuyển.
Mọi điện trường bất kỳ luôn được
xem
như điện trường của hệ điện tích điểm. Do đó, ta có thể kết luận cơng của lực
tĩnh điện làm dịch chuyển một điện tích trong một điện trường bất kỳ đều không
phụ thuộc vào dạng đường cong dịch chuyển, mà chỉ phụ thuộc vào tọa độ của
điểm đầu và điểm cuối của dịch chuyển.
Vậy nếu M  N : AMN 




(C)

N

M

 

q0 E ds 


(C)

 

q0 E ds  0

(1.60)

 

E ds  0

(1.61)
17


Đây là tính chất thế của trường tĩnh điện.
Vậy:
+ Trường tĩnh điện là trường thế lực tĩnh điện là lực thế.
+ Lưu số của véctơ cường độ điện trường (tĩnh) dọc theo một đường cong
kín bằng khơng.
2. Thế năng của điện tích trong điện trường
Do trường tĩnh điện là trường thế nên công của lực tĩnh điện tác dụng lên q 0
trong sự dịch chuyển nào đó bằng độ giảm thế năng của q0 trong điện trường:
(1.62)
dA  dWt

AMN 



N

M

dA  



N

M

dWt

 WtM -WtN
+ Điện trường của điện tích điểm:
qq0 1
qq0 1
 WtM -WtN
AMN 

40 rM 40 rN
qq0 1
C
 Wt 
40 r
Chọn thế năng ở vô cùng bằng 0:
qq0 1
qq0 1
Wt 
 C  0  Wt 
40 r
40 r
+ Điện trường của hệ điện tích điểm:
n
n

qiq0 1
qiq0 1
AMN 

 WtM -WtN
4

r
4

r
0
iM
0
iN
i1
i1



 Wt 

n


i1



qiq0 1


40 ri

(1.63)
(1.64)
(1.65)

(1.66)

(1.67)

n

W

(1.68)

ti

i1



+ Điện trường E bất kỳ:



M

 

N    WtN  0 : WtM  AM  q0 E ds

(1.69)

Vậy: Thế năng của q0 tại một điểm nào đó trong điện trường bằng cơng của
lực tĩnh điện làm dịch chuyển q0 từ điểm đó ra xa vô cùng.
3. Điện thế.
2.1. Định nghĩa.
Thế năng của q0 tại M trong điện trường phụ thuộc vào độ lớn của q 0, tuy nhiên
tỷ số thế năng trên độ lớn điện tích q0 ln khơng đổi:
Wt1M Wt2M
Wt M W
(1.70)

 ...  n  tM  VM
q01
q02
q0n
q0
gọi là điện thế của điện trường tại điểm M.
q 1
+ Điện trường của điện tích điểm: V 
40 r

(1.71)

18

+ Điện trường của hệ điện tích điểm: V 

n


i1

n

Vi

i1

(1.72)



 
W
+ Điện trường E bất kỳ: VM  tM  E ds
q0
M


qi 1

40 ri



(1.73)

Do chọn mốc thế năng bằng không ở vô cùng nên mốc điện thế cũng bằng 0 ở
vô cùng.
3.2. Hiệu điện thế.
(1.74)
AMN  WtM -WtN  q0 (VM -VN )  q0UMN
Vậy: “Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích điểm q từ
điểm M tới điểm N trong điện trường bằng tích số của điện tích q với hiệu
điện thế giữa hai điểm M và N đó”.
3.2. Ý nghĩa của điện thế và hiệu điện thế.
Chọn q0  1C  UMN  AMN
(1.75)
Vậy: Hiệu điện thế giữa hai điểm M và N trong điện trường là một đại lượng
bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ
điểm M đến điểm N
q0  1C

Chọn
(1.76)
  VM  AM
N  ,VN  0 
Vậy: Điện thế tại một điểm trong điện trường là một đại lượng về trị số bằng
công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm
đó ra xa vô cùng.
Chú ý:
− Đơn vị đo điện thế và hiệu điện thế trong hệ SI là Vơn, kí hiệu là V.
− Trong kỹ thuật, đại lượng hiệu điện thế được sử dụng nhiều hơn đại lượng
điện thế vì giá trị của hiệu điện thế không phụ thuộc vào cách chọn gốc tính điện
thế (hoặc thế năng). Thường chọn điện thế của đất hoặc của những vật nối đất

bằng không. Khi đó nói điện thế của một điểm nào đó chính là nói về hiệu điện
thế giữa điểm đó với đất.
− Một vật tích điện q được phân bố liên tục, khi đó muốn tính điện thế tại một
điểm nào đó trong điện trường do Q tạo ra ta có cơng thức sau:
q dq
(1.77)
V
dV 
4

r
0
cahê
cahê





4. Mặt đẳng thế
4.1. Định nghĩa
Mặt đẳng thế là quỹ tích của những điểm có cùng điện thế ở trong điện trường
(V = const).
Mặt đẳng thế của điện trường gây bởi 1 điện tích điểm là những mặt cầu đồng
tâm, tâm là điểm đặt điện tích: r=const.
Mặt đẳng thế của điện trường đều là các mặt phẳng song song vng góc với
đường sức điện trường.
4.2. Tính chất của mặt đẳng thế
- Các mặt đẳng thế không cắt nhau vì mỗi điểm trong điện trường chỉ có một giá
trị duy nhất của điện thế, qua đó ta chỉ vẽ được một mặt đẳng thế.duy nhất.

19


- Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một điện tích bất kỳ trên cùng một
mặt đẳng thế bằng không. Hai điểm M và N bất kỳ trên một mặt đẳng thế (VM =
VN) thì cơng của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích q giữa hai điểm này: AMN
= q (VM – VN) = 0
- Véctơ cường độ điện trường có phương vng góc với mặt đẳng thế. Công
của lực tĩnh điện làm dịch chuyển q0 trên ds thuộc mặt đẳng thế:
 

 





(1.78)
dA  q0 E ds  0 , E ds  0  E  ds
Do đó đường sức của điện trường cũng vng góc với mặt đẳng thế.

CHƯƠNG 2. VẬT DẪN
Trong tự nhiên vật chất chia làm ba loại: Vật dẫn, điện mơi và bán dẫn. Vật dẫn
là vật có chứa các hạt mang điện tự do, có thể chuyển động trong toàn bộ vật.
Khái niệm vật dẫn bao gồm nhiều chất như kim loại, dung dịch điện phân, chất
khí ion hố.
Ở đây ta chỉ nghiên cứu kim loại, có các điện tích tự do là các electron tự do
chuyển động trong tồn mạng tinh thể của nó. Do đó khi nói về vật dẫn, ta hiểu
theo nghĩa hẹp là vật dẫn kim loại mà thơi.

§2.1. Điều kiện cân bằng tĩnh điện.
Tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện
1. Điều kiện cân bằng tĩnh điện.
Một vật dẫn được tích điện mà các hạt mang điện của nó ở trạng thái đứng yên,
được gọi là vật dẫn cân bằng tĩnh điện.
Muốn vậy, cả bên trong và trên bề mặt của vật dẫn, các điện tích khơng được
chuyển động khi đó trên vật dẫn cần có điều kiên:
 
Etrong  0
(2.1)



E  0,E  E
n
 t
2. Tính chất của vật dẫn cân bằng tĩnh điện.


+) Véctơ cường độ điện trường E tại mọi điểm trong vật dẫn cân bằng tĩnh điện


bằng không. Tại mọi điểm trên bề mặt của vật dẫn, véctơ E (do đó cả đường
sức điện trường nữa) phải vng góc với bề mặt vật dẫn.
+) Vật dẫn cân bằng tĩnh điện là một khối đẳng thế, bề mặt vật dẫn là một mặt
đẳng thế.


N 


M

Bên trong vật dẫn E =0 nên: VM -VN  E ds  0  VM  VN

(2.2)

Trên bề mặt vật dẫn: chỉ có thành phần pháp tuyến, thành phần tiếp tuyến Et = 0,
nên:
N 


M

N


M

VM -VN  E ds  Et ds  0  VM  VN  const

(2.3)

20


Điện thế tại mọi điểm trên bề mặt vật bằng nhau nên mặt vật dẫn là một mặt
đẳng thế. Vì điện thế là hàm liên tục của khoảng cách nên tồn bộ vật là một
khối đẳng thế.
+) Điện tích chỉ phân bố trên bề mặt của vật dẫn cân bằng tĩnh điện.

Nếu chọn S là một mặt kín nằm trọn trong lòng vật dẫn và rất sát với bề mặt vật
dẫn, khi đó áp dụng định lý O-G cho mặt kín S này ta có D = E = 0. Vậy, trong
lịng mặt kín S này khơng có điện tích nào cả và điện tích của vật dẫn cân bằng
tĩnh điện chỉ được phân bố trong một lớp rất mỏng trên bề mặt vật dẫn. Do đó
khi khoét rỗng vật dẫn thì sự phân bố điện tích trên vật dẫn khơng có sự thay
đổi, vật dẫn rỗng gọi là màn điện. Các thiết bị điện (đặc biệt là thiết bị vô tuyến)
được bảo vệ trong màn điện khỏi chịu tác động của điện trường bên ngồi, nếu
khơng dùng sẽ bị nhiễu rất mạnh. Vật dẫn rỗng còn được dùng để tích điện tạo
điện tích lớn.
+) Sự phân bố điện tích trên vật dẫn phụ thuộc vào hình dạng của vật dẫn,
điện tích tập trung nhiều ở những chỗ lồi, đặc biệt tại các mũi nhọn. Do đó ở mũi
nhọn, điện trường rất mạnh làm một số ion dương và electron có sẵn trong
khơng khí chuyển động nhanh hơn, chúng va chạm vào các phân tử khơng khí
gây ra hiện tượng ion hóa và lại sinh ra càng nhiều các ion hơn nữa. Mũi nhọn
hút điện tích trái dấu với điện tích của nó và bị mất dần điện tích, ngược lại điện
tích cùng dấu với điện tích của mũi nhọn lại bị đẩy ra xa chúng kéo các phân tử
khí tạo thành luồng gió gọi là gió điện.

§2.2. Hiện tượng điện hưởng
1. Hiện tượng điện hưởng
Là hiện tượng xuất hiện các điện tích cảm ứng trên bề mặt vật dẫn (lúc đầu ở
trạng thái trung hoà về điện) khi được đặt trong điện trường ngồi.


A: mang điện tích dương, sinh ra điện trường E0
Khi ta đặt vật dẫn B gần A, thên B cũng xuất hiện điện tích: đâu B gần A mang
điện tích trái dấu A, (-), dấu B xa S mang điện cùng dấu với A, (+).


Giải thích: Do trong B có các electron tự do nên khi đặt trong điện trường E0 do

A sinh ra, các electron này bị điện trường tác dụng lực khiến chúng chuyển động


ngược chiều E0 . Kết quả là ở đầu B gần A thừa electron nên mang điện âm,
ngược lại đầu kia thiếu electron nên mang điện dương. Các điện tích này gọi là
điện tích cảm ứng.
Trong B sẽ xuất hiện điện trường


phụ E ' ngược chiều với điện




trường E0 , E ' tăng dần khi có
càng nhiều các electron trong B
dịch chuyển, làm điện trường toàn






n

D

S
S





phần E  E0  E' giảm dần. Khi B
đạt trạng thái cân bằng tĩnh điện,



A

S'


'

E'

B



E bên trong B bằng 0, thì sự dịch
chuyển điện tích trong nó dừng

Hình 2.1. Hiện tượng điện hưởng

21

lại. Khi đó điện tích cảm ứng trên hai đầu của B có độ lớn xác định, độ lớn bằng
nhau và trái dấu.
Vậy, hiện tượng xuất hiện các điện tích cảm ứng trên vật dẫn lúc đầu
không mang điện được gọi là hiện tượng điện hưởng.
Người ta phân biệt hai loại hiện tượng điện hưởng: điện hưởng toàn phần và
điện hưởng một phần.
2. Định lý các phần tử tương ứng
Hai phần tử tuong ứng: Xét ống đường cảm ứng của điện trường toàn phần






E  E0  E' , xuất phát từ A và kết thúc ở B. Hai đầu ống tựa trên chu vi của hai
diện tích S và S' nằm trên bề mặt của A và B, hai diện tích S và S' gọi là
hai phần tử tương ứng. Điện tích trên 2 phần tử tương ứng là q và q' .
Gọi mặt kín (S) là mặt hợp bởi ống đường cảm ứng trên và hai mặt  và
 ' khoét lõm vào hai vật dẫn A và B và tự trên chu vi của S và S' . Áp dụng
định lý O-G đối với mặt (S).
e 


(S)


(S)

 

D dS 

D dS 

 

qi

i1


Sxungquanh

DdS 

n

 


, '

 

DdS
B

(2.4)


Do

A



D  dS

nên:



 

D dS  0

Sxungquanh

(2.5)
Điện tích bên trong vật dẫn bằng 0, 
và  ' nằm bên trong vật dẫn nên nó
khơng chứa điện tích nào:


, '

Hình 2.2. Điện hưởng toàn phần

 

D dS  0

(2.6)

Do (S) chứa hai phần tử tương ứng S và S' .chứa q và q' :
n

qi  q  q'

i1

(2.7)

Do đó: q  q'  0  q  q'
(2.8)
Phát biều định lý: “Điện tích cảm ứng xuất hiện trên các phần tử tương ứng
có độ lớn bằng nhau và trái dấu”
3. Điện hưởng một phần và toàn phần.
− Điện hưởng một phần: Trên đây ta đã khảo sát hiện tượng điện hưởng 1
phần, trong đó chỉ có một số đường sức xuất phát ở A đên được B, số cịn lại đi
ra vơ cùng, khi đó điện tích cảm ứng trên B có độ lớn nhỏ hơn điện tích trên A: q’
− Điện hưởng toàn phần: Trường lợp toàn bộ đường sức xuất phát ở A đên
được B, gọi là điện hưởng toàn phần, khi đó điện tích cảm ứng trên B có độ lớn
bằng điện tích trên A: q’ = q

22


§2.3. Điện dung của vật dẫn và tụ điện

1. Điện dung của vật dẫn cô lập
Một vật dẫn được gọi là cô lập về điện (hay vật dẫn cô lập) nếu gần nó khơng có
một vật nào khác có thể gây ảnh hưởng đến sự phân bố điện tích trên vật dẫn
đang xét.
Khi ta truyền cho vật dẫn A một điện tích Q nào đó. Theo tính chất của vật dẫn
mang điện (đã ở trạng thái cân bằng tĩnh điện), điện tích Q được phân bố trên bề
mặt vật dẫn sao cho điện trường trong lịng vật dẫn bằng khơng. Khi đó vật dẫn
là một khối đẳng thế, điện thế là V. Thực nghiệm cho thấy: nếu ta thay đổi giá trị
điện tích q của vật dẫn cơ lập và đo điện thế V của nó thì tỉ số giữa q và V luôn
luôn không đổi:
q
 const  C (2.9)
V
V=1 vơn: C=q
Hằng số C đặc trưng cho khả năng tích điện của vật ở điện thế V nhất định nào
đó, được gọi là điện dung
Vậy: Điện dung của vật dẫn cơ lập là đại lượng có trị số bằng điện tích trên vật
dẫn khi điện thế của nó là một vôn.
Trong hệ đơn vị SI, điện dung được đo bằng fara (kí hiệu: F) 1 F = 1 C/V.
2. Điện dung của vật dẫn hình cầu
Tính điện dung của một khối cầu kim loại (O,R) đặt trong môi trường đồng nhất
có hằng số điện mơ ε.
Giả sử ta tích điện cho quả cầu với điện tích q. Khi vật dẫn ở trạng thái cân bằng
tĩnh điện, điện tích q được phân bố đều trên mặt khối cầu. Khi đó điện thế V của
quả cầu (bằng điện thế trên bề mặt) được xác định theo công thức:
q
(2.10)
 C= 40R
V
40R

Từ công thức (8-2) ta thấy fara là đơn vị điện dung rất lớn (vì đó là điện dung
của một quả cầu kim loại có bán kính R 9.109m ! ). Vì vậy trong kỹ thuật người ta
thường dùng các đơn vị ước của fara, μF, nF và pF với quan hệ như sau: 1
F=106 μF = 109 nF = 1012 pF

3. Điện dung và hệ số điện hưởng
Cho hệ gồn 3 vật dẫn ở trạng thái cân bằng tĩnh điện, điện thế và điện tích trên
đó là q1, q2, q3, V1, V2, V3. Thực nghiệm cho thấy điện tích và do đó điện thế trên
mỗi vật dẫn phụ thuộc vào điện tích và điện thế trên các vật dẫn còn lại.
q1  C11V1  C12 V2  C13 V3
q2  C21V1  C22 V2  C23 V3
q1  C31V1  C32 V2  C33 V3
(2.11)
Các hệ số C11 , C22 và C33 là các điện dung của các vật dẫn, còn các hệ số cịn
lại là hệ số điện hưởng.
Ta có thể mở rộng cho hệ n vật dẫn. Cii  0 , Cik  Cki
4. Tụ điện
23


4.1. Định nghĩa
Tụ điện là hệ hai vật dẫn A và B tạo thành một hệ kín sao cho chúng ở trạng thái
điện hưởng toàn phần. Hai vật dẫn A B gọi là 2 bản tụ.
Khi tích điện cho tụ, do điện hưởng tồn phần nên điện tích trên hai bản tụ có độ
lớn bằng nhau và trái dấu, bản mang điện tích dương gọi là bản dương, bản kia
là bản âm, điện tích trên bản dương gọi là điện tích của tụ.Lúc này, các đường
sức điện trường chỉ tồn tại trong lịng tụ điện (trong khoảng khơng gian giữa hai
bản cực của tụ điện).
4.2. Điện dung của tụ:
Khi tích điện cho tụ thì điện tích trên mỗi bản là q và –q. Điện thế trên mỗi bản là

V1 và V2, khi đó điện dung của mỗi bản tụ là C11 = C22 =C
q
gọi là điện dung của tụ.
(2.12)
C
V1  V2
(2.13)
V1  V2  U gọi là hiệu điện thế trên hai bản tụ.
5. Điện dung của các loại tụ
+q
-q
5.1. Tụ điện phẳng
Là hệ hai mặt phẳng kim loại có cùng diện
tích S đặt song song cách nhau một
khoảng d, rất nhỏ so với kích thước mỗi
ε
S
bản. Khi hai bản được tích điện +q và –q
và đã ở trạng thái cân bằng tĩnh điện,
chúng là các mặt đẳng thế.
− Bản dương có điện thế V1, mật độ điện σ
d
= q /S gây ra điện trường đều có cường
V1
V2
độ:E1=σ/2εε0 hướng ra khỏi nó.
– Bản âm có điện thế V2, mật độ điện mặt
Hình 2.3. Tụ điện phẳng
- Q gây ra điện trường đều E2 có cùng
cường độ và hướng vào nó.

Vì hai bản ở rất gần nhau nên ở ngoài tụ điện, điện trường bị triệt tiêu, còn trong
lòng tụ điện thì điện trường là đều, hướng từ bản dương sang bản âm, có độ lớn
E = E1 + E2 = σ/εε0
Xét trên phương của đường sức điện trường (phương n),
Ta có: -dV = Edn.
Lấy tích phân hai vế biểu thức này theo độ lệch điện thế ứng với khoảng cách
hai bản tụ, ta được:
 S
.d
q .d
(2.14)
C 0
V1  V2  U  Ed 

d
0
S 0
5.2. Tụ điện cầu.
Hai bản tụ có dạng 2 mặt cầu đồng tâm (O, R1) và (O, R2)
Bằng cách lý luận tương tụ ta thu được:
40R1R2
q
1
1
V1  V2 
( 
)C
(2.15)
40 R1 R2
R1  R2

R1  R2  d,R1R2  R2 (R  R1  R2 ) ,S  4R2
0S
(2.16)
d
5.3. Tụ điện trụ
Hai bản tụ là hai mặt trụ đồng trục bán kính R1 và R2, chiều cao l.

C

24


20l
R
q
(2.17)
ln 2  C 
R1
20l R1
ln
R2
R
R  R1
R  R1 d
, S  2.R1.l
ln 2  ln(1  2
) 2

R1

R1
R1
R1
 S
(2.18)
C 0
d
Vậy trong cả 3 trường hợp điện dung của tụ đều có cơng thức như nhau
 S
C  0 gọi là cơng thức cấu tạo tụ điện, trong đó S là phần diện tích 2 bản tụ
d
đối diện nhau, d là khoảng cách giữa hai bản tụ, ε là hằng số điện môi của môi
trường giữa hai bản. Ta thấy, muốn tăng C thì hoặc tăng S hoặc giảm d.
Mỗi tụ có một hiệu điện thế giới hạn để tụ vẫn hoạt động (lớp điện môi chưa bị
hỏng) gọi là hiệu điện thế đánh thủng.

V1  V2 

§2.4. Năng lượng điện trường
1. Năng lượng tương tác của hệ điện tích điểm.
Xét hện hai điện tích điểm q1, q2 cách nhau khoảng r, khi đó:
Thế năng của q1 trong điện trường của q2:
qq 1
Wt1  1 2
 W12
40 r12
Tương tự, thế năng của q2 trong điện trường của q1:
qq 1
Wt2  2 1
 W21

40 r21
Nhận thấy: W12  W21=W
(2.19)
1
= (W12 +W21)
2
q
q1 1
1
1 1
 q1 2
 q2
2 40 r21 2 40 r12
1
1
1
(2.20)
 q1V1  q2 V2  (q1V1  q2 V2 )
2
2
2
W gọi là năng lượng tương tác giữa q1 và q2.
Trong đó, V1 là điện thế do q2 sinh ra tại vị trí q1, V2 là điện thế do q1 sinh ra tại
vị trí q2.
Nếu hệ gồm 3 điện tích q1, q2, q3 cách nhau các khoảng r12, r13, r23. Tương tự
ta cũng có năng lượng của hệ:
1
W  (W12 +W21  W13 +W31+W23  W32 )
(2.21)
2

1
W12  W21  (q1V21  q2 V12 )
2
1
W13  W31  (q1V31  q3 V13 )
2
1
W23  W32  (q2 V32  q3 V23 )
2
25