BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————

NGUYỄN DƯƠNG TỒN

PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
KHƠNG CỔ ĐIỂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————

NGUYỄN DƯƠNG TỒN

PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN
KHƠNG CỔ ĐIỂN
Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Những kết
quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của đồng tác giả
khi đưa vào luận án. Những kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung
thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một cơng trình khoa học nào.
Nghiên cứu sinh

Nguyễn Dương Tồn


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình,
chu đáo của PGS. TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và
biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã dẫn dắt tác giả vào một hướng nghiên cứu
tuy khó khăn, vất vả nhưng thực sự thú vị và có ý nghĩa.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học,
Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt
là PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích
đã ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Hải Phịng, Khoa Tốn,
nơi tác giả cơng tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành
nhiệm vụ học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị
NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè lời cảm ơn chân thành về tất cả
những giúp đỡ, động viên mà tác giả đã nhận được trong suốt thời gian qua.

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người ln ở
bên chia sẻ, động viên tác giả vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận án.


Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


7

2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . .

9

3.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . .

13

4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


16

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1. TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . .

24

1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . .

26

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG
MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG
VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

28


4
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . .

30

2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . .
(
)
2.3.1. Sự tồn tại của tập H 1 (RN ), L2 (RN ) -hút đều . . . . .

36

2N

40

2.3.2. Sự tồn tại của tập (H 1 (RN ), L N −2 (RN ))-hút đều . . . .

44

2.3.3. Sự tồn tại của tập (H 1 (RN ), H 1 (RN ))-hút đều . . . . .

45


2.4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 0 48
2.5. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU KHI
NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.5.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.5.2. Tính bị chặn của tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.5.3. Sự hội tụ của tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN TRONG
MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG
VÀ TIÊU HAO KIỂU ĐA THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU . . . . . . . . .

63

3.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU . . . . . . . . . . . . . . .

(
)
3.3.1. Sự tồn tại của tập H 1 (RN ) ∩ Lp (RN ), L2 (RN ) -hút đều
(
)
3.3.2. Sự tồn tại của tập H 1 (RN ) ∩ Lp (RN ), Lp (RN ) -hút đều

68
70
74

3.3.3. Sự tồn tại của tập (H 1 (RN )∩Lp (RN ), H 1 (RN )∩Lp (RN ))hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.4. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 0 81
Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN TRONG
MIỀN KHƠNG TRỤ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG
VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM BIẾN PHÂN . . . . .

87

4.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . .

99



5
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.

ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . . 104

DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN

R

tập hợp các số thực

RN

không gian vectơ Euclide N-chiều

Ωr

tập mở bị chặn trong RN với mỗi r ∈ R


(·, ·), ∥ · ∥

tích vơ hướng và chuẩn trong khơng gian L2 (RN )

Hr

kí hiệu của khơng gian L2 (Ωr ) có tích vô hướng (., .)r và
chuẩn |.|r , ứng với mỗi r ∈ R

Vr

kí hiệu của khơng gian H01 (Ωr ) có tích vơ hướng ((., .)) và
chuẩn ∥.∥r , ứng với mỗi r ∈ R

Hr∗

đối ngẫu của Hr

∥ · ∥Lp (RN )

chuẩn trong không gian Lp (RN ), với 1 ≤ p ≤ ∞

∥ · ∥H 1 (RN )

chuẩn trong không gian H 1 (RN )

⟨·, ·⟩

đối ngẫu giữa X và X ′


Id

ánh xạ đồng nhất

⇀

hội tụ yếu

Y

X

bao đóng của Y trong X

B(X)

họ các tập con bị chặn của X

dist(A, B)

nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B

Pm

phép chiếu lên không gian con sinh bởi m vectơ riêng đầu
tiên của toán tử A

6



MỞ ĐẦU

1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỷ

XVIII và được phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay. Nó được
coi là chiếc cầu nối giữa tốn học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo
hàm riêng là mơ hình tốn của các bài tốn thực tế. Đặc biệt là lớp phương
trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, lớp phương trình này xuất hiện trong
nhiều q trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn quá trình truyền
nhiệt, quá trình khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các
mơ hình quần thể trong sinh học . . . Vì vậy, nghiên cứu những lớp phương
trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ.
Vấn đề đầu tiên đặt ra khi nghiên cứu những lớp phương trình đạo hàm
riêng tiến hóa phi tuyến là xét tính đặt đúng của bài toán (bởi như V.P. Maslov
đã từng nhấn mạnh rằng, một phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực
tiễn thì chắc chắn sẽ có nghiệm, vấn đề là trong lớp nghiệm nào mà thơi), và
sau đó một vấn đề quan trọng đặt ra là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của
nghiệm khi thời gian ra vô cùng. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mơ tả trạng thái của các mơ
hình thực tế. Do đó, khi biết dáng điệu nghiệm, ta có thể dự đốn được xu thế
phát triển của hệ trong tương lai và từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh
thích hợp.
Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng được
nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp phương trình khuếch tán

7



8
khơng cổ điển có dạng:
ut − ε∆ut − ∆u + f (u) = g, với ε ∈ (0, 1],

(1)

ở đó f là hàm phi tuyến và g là hàm ngoại lực. Chú ý rằng khi ε = 0, phương
trình khuếch tán khơng cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán
cổ điển quen thuộc.
Lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển được giới thiệu trong [1] khi
E.C. Aifantis chỉ ra rằng phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển khơng mơ
tả được hết các khía cạnh của bài tốn phản ứng-khuếch tán. Nó bỏ qua tính
nhớt, sự đàn hồi, và áp suất của mơi trường trong q trình khuếch tán chất
rắn. Hơn nữa, E.C. Aifantis cũng chỉ ra rằng, năng lượng từ phương trình phát
ra trong quá trình khuếch tán chất rắn trong mơi trường khác nhau sẽ có tính
chất khác nhau. Ví dụ, năng lượng phát ra từ phương trình khi mơi trường
truyền dẫn có áp suất và có độ nhớt hay khơng có độ nhớt là khác nhau. Do
đó, ơng đã xây dựng mơ hình tốn học qua một số ví dụ cụ thể, trong đó
có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình và đưa ra lớp phương trình
khuếch tán khơng cổ điển. Lớp phương trình này thường sử dụng để mô tả các
hiện tượng vật lí như dịng chảy khơng Newton, các hiện tượng trong cơ học
chất lỏng, cơ học chất rắn và sự tỏa nhiệt (xem [1, 22, 23, 29, 38, 39]). Gần
đây, E.C. Aifantis đã đưa thêm một mơ hình mới về bài toán này, xin xem
trong [2].
Từ khi ra đời cho đến nay, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình khuếch tán khơng cổ điển có dạng (1) đã được nghiên cứu trong
nhiều trường hợp khác nhau (xin xem chi tiết trong phần Tổng quan vấn đề
nghiên cứu dưới đây). Tuy nhiên, những kết quả trong trường hợp miền không

bị chặn hoặc miền không trụ, với ngoại lực phụ thuộc thời gian, vẫn cịn ít do
tính phức tạp của vấn đề và những khó khăn lớn xuất hiện khi nghiên cứu.
Chúng tôi sẽ chọn vấn đề này làm đề tài luận án tiến sĩ của mình.


9
2.

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Như đã được đề cập đến trong mục trước, lớp phương trình khuếch tán

khơng cổ điển xuất hiện khi cần mơ tả các q trình khuếch tán trong mơi
trường phức tạp. Chính bởi tầm quan trọng của chúng, lớp phương trình này
đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những
năm gần đây. Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, ta thường quan
tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng vì khi biết
dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của
hệ trong tương lai và từ đó đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp.
Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm
riêng tiến hóa phi tuyến, khi đó các hệ động lực tương ứng rất phức tạp vì nó
là vơ hạn chiều, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút
tồn cục cổ điển ra đời vào khoảng những năm 80 của thế kỉ XX. Cho đến nay,
sự tồn tại và tính chất của tập hút tồn cục đã được nghiên cứu cho nhiều lớp
phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến ơtơnơm và một số lớp phương
trình vi phân hàm (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo [15, 31, 37]). Tuy
nhiên, khi phương trình là khơng ơtơnơm, chẳng hạn khi ngoại lực phụ thuộc
vào thời gian, quỹ đạo nghiệm khơng cịn là bất biến dương đối với phép tịnh
tiến và do đó lí thuyết tập hút tồn cục cổ điển khơng cịn thích hợp. Để nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của những hệ động lực không ôtônôm, người
ta thường sử dụng lí thuyết tập hút đều [14] hoặc lí thuyết tập hút lùi [8],

là những mở rộng của lí thuyết tập hút tồn cục cổ điển; xin xem các cuốn
chuyên khảo [10, 15] và bài báo tổng quan [13] về những kết quả gần đây về hai
loại tập hút này. Thảo luận về các khái niệm tập hút của hệ động lực không
ôtônôm và mối quan hệ giữa chúng, xin xem [11].
Về mặt toán học, sự khác biệt bản chất giữa phương trình khuếch tán
khơng cổ điển và phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển (nhận được khi
cho ε = 0 trong (1)) chính là ở số hạng −ε∆ut . Số hạng này làm phương trình


10
khuếch tán không cổ điển mất đi hiệu ứng trơn (smoothing effect) của lớp
phương trình parabolic, tức là nếu điều kiện ban đầu thuộc vào khơng gian
hàm nào thì nghiệm của phương trình tối đa cũng chỉ thuộc vào khơng gian
đó. Chính bởi tính chất giống như tính chất của phương trình hyperbolic này,
đã tạo nên những khó khăn và khác biệt cơ bản khi nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán khơng cổ điển so với
khi nghiên cứu phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển.
Từ khi ra đời cho đến nay, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình khuếch tán khơng cổ điển có dạng (1) đã được nghiên cứu trong
nhiều trường hợp khác nhau. Dưới đây chúng tơi xin điểm qua những kết quả
chính đã đạt được:
• Phần lớn các kết quả đã biết đối với phương trình khuếch tán khơng cổ
điển là trong trường hợp hàm ngoại lực không phụ thuộc vào thời gian
(trường hợp ơtơnơm) và miền xét phương trình là bị chặn; xin xem các
cơng trình của Y. Xiao [49], S. Wang, D. Li và C. Zhong [42], C. Sun,
S. Wang và C. Zhong [34], C. Sun và M. Yang [35], H. Wu và Z. Zhang
[48], Y.J. Zhang và Q.Z. Ma [51]. Các kết quả đạt được là sự tồn tại của
tập hút toàn cục và tập hút mũ dưới những điều kiện khác nhau của số
hạng phi tuyến.
• Trong trường hợp ngoại lực g phụ thuộc vào thời gian t (trường hợp

khơng ơtơnơm) và miền xét phương trình là bị chặn, sự tồn tại nghiệm
và sự tồn tại tập hút lùi đã được nghiên cứu gần đây bởi C.T. Anh và
T.Q. Bao [3], Y. Wang [41]. Khi hằng số ε trong (1) được thay bằng một
hàm γ(t) phụ thuộc thời gian t, sự tồn tại tập hút phụ thuộc thời gian,
một khái niệm mới đề xuất bởi M. Conti, V. Pata và R. Temam trong
[18], đã được nghiên cứu rất gần đây bởi F. Rivero [30], F. Zhang và Y.
Liu [26].


11
• Phương trình khuếch tán khơng cổ điển trong miền không bị chặn, chẳng
hạn trong cả không gian RN , cũng bắt đầu được nghiên cứu trong một
vài cơng trình gần đây. Trong trường hợp ngoại lực không phụ thuộc
thời gian, sự tồn tại tập hút toàn cục được chứng minh bởi Q. Ma, Y.
Liu và F. Zhang trong [28]. Trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời
gian, sự tồn tại tập hút lùi của lớp phương trình này được nghiên cứu
bởi C.T. Anh và T.Q. Bao [4], và sau đó bởi F. Zhang và Y. Liu [52],
dưới những điều kiện khác nhau của số hạng phi tuyến. Trong trường
hợp miền khơng bị chặn, một khó khăn mới xuất hiện khi nghiên cứu
phương trình là các định lí nhúng Sobolev khơng cịn compact; điều này
dẫn đến các kĩ thuật thường dùng trong miền bị chặn khơng cịn áp dụng
trực tiếp được nữa.
• Trong trường hợp miền xét phương trình là miền không trụ, theo hiểu
biết của chúng tôi, đối với phương trình khuếch tán khơng cổ điển mới
chỉ có một kết quả của C.T. Anh và N.D. Toan [5]. Ở đó đã chứng minh
sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân, sự tồn tại và tính nửa liên tục
trên của tập hút lùi khi số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và ngoại lực có thể phụ thuộc vào thời
gian. Kết quả này phát triển các kết quả trước đó của P.E. Kloeden, P.
Marin-Rubio và J. Real [20], P.E. Kloeden, J. Real và C. Sun [21] đối với

phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển trong miền khơng trụ. Khi
xét phương trình khuếch tán khơng cổ điển trên miền khơng trụ, ngồi
khó khăn cơ bản do sự xuất hiện của số hạng −∆ut như đã nêu ở trên, ta
cịn gặp khó khăn khác là không sử dụng được trực tiếp những phương
pháp nghiên cứu trong miền hình trụ.
Chúng ta biết rằng khi ngoại lực của phương trình phụ thuộc thời gian,
tương ứng uτ 7→ u(t), biến giá trị ban đầu uτ tại thời điểm τ thành giá trị u(t)
của nghiệm bài toán tại thời điểm t ≥ τ , sẽ sinh ra một quá trình hai tham số


12
U (t, τ ) bằng cách đặt U (t, τ )uτ := u(t). Khi đó cả thời điểm ban đầu τ và thời
điểm cuối t đều quan trọng, và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi
này được hiểu là nghiên cứu dáng điệu của nghiệm u(·) khi hiệu t − τ → +∞.
Do vậy xuất hiện hai vấn đề độc lập nhau:
• Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm cuối t → +∞: nghiên
cứu động lực học tiến (forward dynamics). Để nghiên cứu vấn đề này, ta
thường sử dụng lí thuyết tập hút đều.
• Nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm ban đầu τ → −∞:
nghiên cứu động lực học lùi (pullback dynamics). Để nghiên cứu vấn đề
này, ta thường sử dụng lí thuyết tập hút lùi.
Đối với một quá trình tổng quát, hai giới hạn tiến và lùi này nói chung là
khơng liên quan với nhau và có thể sinh ra những tính chất định tính hồn tồn
khác nhau. Tuy nhiên, nếu q trình là ơtơnơm, tức là U (t, τ ) = S(t − τ ), ở đó
S(t) là một nửa nhóm, thì dáng điệu của nghiệm khi t → +∞ hay τ → −∞
là như nhau, và để nghiên cứu vấn đề này ta có thể sử dụng lí thuyết tập hút
toàn cục cổ điển. Về quan hệ giữa các khái niệm tập hút lùi, tập hút đều và
tập hút toàn cục, xin xem cuốn chuyên khảo gần đây của A.N. Carvalho, J.A.
Langa và J.C. Robinson [8].
Từ những phân tích ở trên, chúng ta thấy rằng đối với lớp phương trình

khuếch tán khơng cổ điển, mặc dù đã có một số kết quả nghiên cứu về sự tồn
tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề mở. Đặc
biệt khi ngoại lực phụ thuộc thời gian, tức là hệ động lực tương ứng là không
ôtônôm, vấn đề nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm cuối dần tới
+∞ (nghiên cứu động lực học tiến) vẫn gần như hồn tồn mở; mới chỉ có
kết quả trong [35] khi miền xét phương trình là bị chặn, số hạng phi tuyến
tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev; các kết quả khác gần đây trong trường
hợp không ôtônôm đều nghiên cứu dáng điệu của nghiệm khi thời điểm ban
đầu dần tới −∞ bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút lùi (xem [3, 4, 41, 52]).


13
Những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này (xin
xem phần Kết luận về những vấn đề mở khác) bao gồm:
• Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua
sự tồn tại tập hút đều) của bài toán với phương trình khuếch tán khơng
cổ điển trên miền khơng bị chặn RN , ngoại lực g có thể phụ thuộc vào
biến thời gian t, hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu
hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức với bậc tùy ý. So sánh dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình khuếch tán khơng cổ điển và phương
trình phản ứng-khuếch tán cổ điển.
• Nghiên cứu tính bị chặn và tính nửa liên tục trên của tập hút đều của
phương trình khuếch tán khơng cổ điển với ngoại lực dao động kì dị.
• Nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua
sự tồn tại tập hút lùi) của phương trình khuếch tán khơng cổ điển trên
miền khơng trụ khi ngoại lực g có thể phụ thuộc vào biến thời gian t,
hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.
Chúng tôi lựa chọn những vấn đề trên làm nội dung nghiên cứu của luận
án tiến sĩ: "Phương trình khuếch tán khơng cổ điển".
3.


MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
• Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm góp phần hồn thiện việc nghiên
cứu tính đặt đúng cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương
trình khuếch tán không cổ điển; so sánh dáng điệu tiệm cận nghiệm
của phương trình khuếch tán khơng cổ điển với phương trình phản ứngkhuếch tán cổ điển. Các kết quả của luận án nhằm giải quyết một số vấn
đề mở liên quan đến phương trình khuếch tán khơng cổ điển mà nhiều
nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm.


14
• Đối tượng nghiên cứu của luận án là sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển dưới những điều
kiện khác nhau của số hạng phi tuyến và miền xét phương trình.
• Phạm vi nghiên cứu của Luận án:
◦ Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm yếu (thông qua sự tồn tại của tập hút đều và tính nửa liên
tục trên của tập hút đều tại ε = 0) của phương trình khuếch tán
khơng cổ điển trong miền không bị chặn RN , ngoại lực phụ thuộc
thời gian và hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu
hao kiểu Sobolev hoặc kiểu đa thức.
◦ Nghiên cứu tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của tập hút
đều của phương trình khuếch tán khơng cổ điển với ngoại lực dao
động kì dị:


ut − ∆ut − ∆u + f (x, u) + λu

= g0 (x, t) + ε−γ g1 (x, t/ε), t > τ,



u|t=τ

= uτ , x ∈ RN .

◦ Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm biến phân (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi) của phương
trình khuếch tán khơng cổ điển trong trường hợp không ôtônôm,
trong miền không trụ và hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.
4.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các
phương pháp và cơng cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp
xỉ Galerkin và phương pháp compact, bổ đề compact, các bổ đề xử lí số
hạng phi tuyến [25]; phương pháp nghiên cứu phương trình trong miền
khơng trụ, nói riêng là phương pháp penalty [7, 20, 25].


15
• Để nghiên cứu sự tồn tại tập hút, chúng tơi sử dụng các phương pháp của
lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều (phương pháp đánh giá tiên nghiệm
tiệm cận, phương pháp đánh giá phần đuôi của nghiệm) [8, 10, 15, 37, 40].

5.

KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm yếu của bài tốn (1) trong
trường hợp miền khơng bị chặn RN , hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện
tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev, hoặc kiểu đa thức.
Chứng minh được sự tồn tại tập hút đều và tính nửa liên tục trên của
tập hút đều tại ε = 0 ứng với hai trường hợp này của hàm phi tuyến.
Chứng minh được tính bị chặn đều và tính nửa liên tục trên của tập hút
đều của phương trình khuếch tán khơng cổ điển với ngoại lực dao động
kì dị.
Đây là nội dung của Chương 2 và Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân cũng như sự
tồn tại của tập hút lùi đối với bài toán (1) trong trường hợp miền không
trụ, ngoại lực phụ thuộc vào thời gian, hàm phi tuyến thỏa mãn điều
kiện về độ tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Đây là nội dung của
Chương 4.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào việc
hồn thiện việc nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp
phương trình khuếch tán khơng cổ điển; giải quyết một số vấn đề mở mà nhiều
nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Phương pháp nghiên cứu của
luận án có thể sử dụng để nghiên cứu tính đặt đúng và dáng điệu tiệm cận của
nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến khác
có dạng tương tự trong vật lí, cơ học, hóa học và sinh học.


16
Các kết quả chính của luận án đã được cơng bố trong 04 bài báo trên các
tạp chí khoa học chuyên ngành quốc tế và đã được báo cáo tại:
• Xêmina của Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội;
• Xêmina của Bộ mơn Toán Cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;

• Xêmina của Khoa Tốn, Trường Đại học Hải Phịng;
• Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Viện Toán học Việt Nam - Trường Đại học
Hải Phịng, Hải Phịng, 2013;
• Đại hội tốn học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 2013.
6.

CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục các cơng trình được cơng bố và

danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:
• Chương 1. Một số kiến thức cơ sở. Chương này trình bày các khái niệm
và một số kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong Luận án.
• Chương 2. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị
chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương
này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm yếu; sự tồn tại của tập
hút đều, tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại ε = 0 đối với phương
trình khuếch tán khơng cổ điển trong miền khơng bị chặn RN , ứng với
số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Tính nửa liên
tục trên của tập hút đều của phương trình khuếch tán khơng cổ điển khi
ngoại lực dao động kì dị được trình bày ở cuối chương.
• Chương 3. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị
chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. Chương


17
này chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm yếu; sự tồn tại của tập
hút đều cũng như tính nửa liên tục trên của tập hút đều đối với phương
trình khuếch tán khơng cổ điển trong miền khơng bị chặn RN , ứng với
số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức.
• Chương 4. Phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ

với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Chương này
chứng minh sự tồn tại, duy nhất của nghiệm biến phân; sự tồn tại của
tập hút lùi đối với phương trình khuếch tán khơng cổ điển trong miền
khơng trụ ứng với trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng
trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả tổng quát về sự tồn tại
tập hút đều và tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án. Chúng tôi cũng nhắc
lại các không gian hàm, các bất đẳng thức, cũng như một số kết quả bổ trợ
(các bổ đề compact, định lí hội tụ bị chặn Lebesgue và dạng yếu của nó) cần
dùng để nghiên cứu phương trình khuếch tán khơng cổ điển trong các chương
sau.
1.1.

TẬP HÚT ĐỀU
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút đều sẽ được

sử dụng trong luận án.
Cho Σ là một tập tham số, X, Y là hai không gian Banach. Họ {Uσ (t, τ ), t ≥
τ, τ ∈ R}, σ ∈ Σ, được gọi là một họ các quá trình từ X vào Y nếu với mỗi
σ ∈ Σ, {Uσ (t, τ )} là một quá trình, tức là họ các ánh xạ phụ thuộc hai tham
số {Uσ (t, τ )} từ X vào Y thỏa mãn
Uσ (t, s)Uσ (s, τ ) = Uσ (t, τ ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R,
Uσ (τ, τ ) = Id, ∀τ ∈ R, ở đó Id là tốn tử đồng nhất.
Ở đây Σ gọi là không gian biểu trưng, σ ∈ Σ gọi là tham số.

Kí hiệu B(X) là họ tất cả các tập con bị chặn của X.
Định nghĩa 1.1. Một tập B0 ∈ B(Y ) được gọi là một tập (X, Y )-hấp thụ
đều (đối với σ ∈ Σ) của họ quá trình {Uσ (t, τ )}σ∈Σ , nếu với bất kì τ ∈ R và
∪
B ∈ B(X), tồn tại T0 ≥ τ sao cho σ∈Σ Uσ (t, τ )B ⊂ B0 với mọi t ≥ T0 .

18


19
Định nghĩa 1.2. Họ quá trình {Uσ (t, τ )}σ∈Σ được gọi là (X, Y )-compact
tiệm cận đều (đối với σ ∈ Σ) nếu với bất kì τ ∈ R, bất kì B ∈ B(X),
ta có {Uσn (tn , τ )xn } compact tương đối trong Y , với {xn } ⊂ B, {tn } ⊂
[τ, +∞), tn → +∞ và {σn } ⊂ Σ là tùy ý.
Định nghĩa 1.3. Một tập con AΣ ⊂ Y được gọi là một tập (X, Y )-hút đều
đối với họ quá trình {Uσ (t, τ )}σ∈Σ nếu
(1) AΣ là compact trong Y ;
(2) với bất kì τ ∈ R và B ∈ B(X) ta có
lim (sup (distY (Uσ (t, τ )B, AΣ )) = 0,

t→∞ σ∈Σ

với distE (·, ·) là kí hiệu của nửa khoảng cách Hausdorff trong không gian
Banach E,
distE (A, B) = sup inf ∥x − y∥E ;
x∈A y∈B

(3) nếu A′ Σ là tập con đóng của Y thỏa mãn (2), khi đó AΣ ⊂ A′ Σ .
Định nghĩa 1.4. Nhân K của quá trình {U (t, τ )} tác động lên X gồm tất cả
các quỹ đạo đủ bị chặn của q trình đó:

K = {u(·)|U (t, τ )u(τ ) = u(t), dist(u(t), u(0)) ≤ Cu , ∀t ≥ τ, τ ∈ R}.
Tập K(s) = {u(s)|u(·) ∈ K} được gọi là phần nhân tại thời điểm t = s với
s ∈ R.
Chúng ta sẽ sử dụng kết quả sau để chứng minh sự tồn tại và xác định cấu
trúc của tập hút đều.
Định lí 1.1. [12] Giả sử họ quá trình {Uσ (t, τ )}σ∈Σ thỏa mãn những điều kiện
sau:
(1) Σ là compact yếu và {Uσ (t, τ )}σ∈Σ là (X × Σ, Y )-liên tục yếu, tức là, với
bất kì t ≥ τ cố định, ánh xạ (u, σ) 7→ Uσ (t, τ )u là liên tục yếu trong Y .
Hơn nữa, nửa nhóm liên tục yếu {T (h)}h≥0 tác động lên Σ thỏa mãn
T (h)Σ = Σ, Uσ (t + h, τ + h) = UT (h)σ (t, τ ),

∀σ ∈ Σ, t ≥ τ, h ≥ 0;


20
(2) {Uσ (t, τ )}σ∈Σ có một tập (X, Y )-hấp thụ đều (đối với σ ∈ Σ) B0 ;
(3) {Uσ (t, τ )}σ∈Σ là (X, Y )-compact tiệm cận đều (đối với σ ∈ Σ).
Khi đó, họ q trình {Uσ (t, τ )}σ∈Σ có một tập (X, Y )-hút đều AΣ , và
∪
AΣ =
Kσ (s), ∀s ∈ R,
σ∈Σ

với Kσ (s) là phần nhân tại thời điểm s của quá trình Uσ (t, τ ).
Định nghĩa 1.5. Cho E là một không gian Banach phản xạ. Một hàm φ ∈
L2loc (R; E) được gọi là bị chặn tịnh tiến nếu
∫
∥φ∥2b


=

∥φ∥2L2 (R;E)
b

t+1

∥φ∥2E ds < ∞.

= sup
t∈R

t

(
)
Với g ∈ L2b R; L2 (RN ) , ta kí hiệu Hw (g) là bao đóng của tập {g(· + h)|h ∈
R} trong khơng gian L2b (R; L2 (RN )) với tơpơ yếu. Ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.1. [15, Chương 5, Hệ quả 4.2] Ta có:
(1) Với mọi σ ∈ Hw (g), ∥σ∥2b ≤ ∥g∥2b ;
(2) Nhóm tịnh tiến {T (h)} là liên tục yếu trên Hw (g);
(3) T (h)Hw (g) = Hw (g) với h ≥ 0;
(4) Hw (g) là compact yếu.
1.2.

TẬP HÚT LÙI
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan

đến lí thuyết tập D-hút lùi được sử dụng trong [20]; nó là một sửa đổi nhỏ của
lí thuyết tập hút lùi trong [8].

Một q trình U (·, ·) trên một họ các khơng gian metric {(Xt , dt ) : t ∈ R}
là một họ {U (t, τ ); −∞ < τ ≤ t < +∞} các ánh xạ U (t, τ ) : Xτ → Xt có tính
chất U (t, τ )x = x với mọi x ∈ Xτ và
U (t, τ ) = U (t, r)U (r, τ )

∀τ ≤ r ≤ t.


21
ˆ = {D(t) :
Giả sử D là một lớp khác rỗng các tập được tham số hóa D
D(t) ⊂ Xt , D(t) ̸= ∅, t ∈ R}.
Định nghĩa 1.6. [20] Quá trình U (·, ·) được gọi là D-compact tiệm cận lùi
nếu dãy {U (t, τn )xn } là compact tương đối trong khơng gian Xt với bất kì
t ∈ R, bất kì dãy {τn } và {xn } với τn → −∞ và xn ∈ D(τn ).
Định nghĩa 1.7. [20] Họ Bˆ ∈ D được gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá trình
ˆ ⊂ D, tồn tại τ0 (t, D)
ˆ ≤ t sao cho
U (·, ·) nếu với bất kì t ∈ R và bất kì D
ˆ
U (t, τ )D(τ ) ⊂ B(t), với mọi τ ≤ τ0 (t, D).
Nhận xét 1.1. Nếu Bˆ ∈ D là tập D-hấp thụ lùi đối với quá trình U (·, ·) và
B(t) là một tập con compact của Xt với bất kì t ∈ R, khi đó, q trình U (·, ·)
là D-compact tiệm cận lùi.
Với mỗi t ∈ R, giả sử distt (D1 , D2 ) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa các
tập con khác rỗng D1 và D1 của Xt , được định nghĩa như sau
distt (D1 , D2 ) = sup inf dXt (x, y)
x∈D1 y∈D2

với D1 , D2 ⊂ Xt .


Định nghĩa 1.8. [20] Một họ Aˆ = {A(t) : ∅ ̸= A(t) ⊂ Xt , t ∈ R} được gọi là
D-hút lùi đối với quá trình U (·, ·) nếu
(1) A(t) là tập compact của Xt với mọi t ∈ R;
(2) Aˆ có tính chất D-hút lùi, tức là,
lim distt (U (t, τ )D(τ ), A(t)) = 0,

τ →−∞

ˆ ∈ D, ∀t ∈ R;
∀D

(3) Aˆ là bất biến, tức là,
U (t, τ )A(τ ) = A(t)

với − ∞ < τ ≤ t < +∞.

Định lí 1.2. [20] Giả sử quá trình U (·, ·) là D-compact tiệm cận lùi và Bˆ ∈ D
là một tập D-hấp thụ lùi. Khi đó, họ các tập Aˆ = {A(t) : t ∈ R} được định
ˆ t), t ∈ R, với mỗi D
ˆ ∈ D và t ∈ R,
nghĩa bởi A(t) := Λ(B,
ˆ t) :=
Λ(D,

∩ ∪
s≤t τ ≤s

Xt


U (t, τ )D(τ )

(bao đóng trong Xt ),


22
là tập D-hút lùi đối với U (·, ·), thỏa mãn
A(t) =

∪

ˆ t)
Λ(D,

Xt

.

ˆ
D∈D

Hơn nữa, Aˆ là tập nhỏ nhất theo nghĩa, nếu Cˆ = {C(t) : t ∈ R} là một họ các
tập khác rỗng với C(t) là tập con đóng trong Xt và
lim distt (U (t, τ )B(τ ), C(t)) = 0, với bất kì t ∈ R,

τ →−∞

thì A(t) ⊂ C(t), ∀t ∈ R.
1.3.


MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG

1.3.1.

Các không gian hàm

Trong luận án, chúng tôi sử dụng một số không gian hàm sau:
Giả sử Ω là miền tùy ý trong RN .
Khơng gian Lp
• Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả
tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn
(∫
)1/p
p
∥u∥Lp (Ω) :=
|u(x)| dx
.
Ω

Chú ý rằng:
◦ Không gian Lp (Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞.
◦ Trong trường hợp p = 2, không gian L2 (Ω) là khơng gian Hilbert
với tích vơ hướng

∫

⟨u, v⟩ := (u, v)L2 (Ω) =

u(x)v(x)dx.
Ω


• L∞ (Ω) là khơng gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn
hầu khắp trên Ω với chuẩn
∥u∥L∞ (Ω) := ess sup |u|.
x∈Ω


23
Khơng gian H 1
• H 1 (Ω) là khơng gian bao gồm các hàm u ∈ L2 (Ω) sao cho tồn tại các
đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2 (Ω).
• H 1 (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vô hướng
∫
((u, v))H 1 (Ω) = (uv + ∇u · ∇v)dx.
Ω

• H01 (Ω) là bao đóng của khơng gian C0∞ (Ω) với chuẩn trong không gian
H 1 (Ω). Chuẩn trong H01 (Ω) cho bởi
(∫
) 12
2
∥u∥ =
|∇u| dx
.
Ω

Không gian hàm phụ thuộc thời gian
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || · ||.
Định nghĩa 1.9. Không gian Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm
đo được φ : [0, T ] → X với chuẩn

(∫ T
)1/p
i)∥φ∥Lp (0,T ;X) :=
∥φ(s)∥p ds
< +∞ với 1 ≤ p < ∞,
0

ii)∥φ∥L∞ (0,T ;X) := ess sup ||φ(t)|| < +∞.
0≤t≤T

Khi đó Lp (0, T ; X) là một khơng gian Banach, và nó là phản xạ nếu 1 < p <
+∞. Không gian liên hợp của Lp (0, T ; X) là Lq (0, T ; X ′ ) với 1/p + 1/q = 1.
Định nghĩa 1.10. Không gian C([0, T ]; X) gồm tất cả các hàm liên tục
φ : [0, T ] → X với chuẩn
∥φ∥C([0,T ];X) := max ||φ(t)|| < ∞.
0≤t≤T

Khi đó C([0, T ]; X) là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.11. L2loc (R; X) là không gian các hàm φ(s), s ∈ R với giá trị
trong X, mà bình phương khả tích (theo nghĩa Bochner), tức là,
∫ t2
∥φ(s)∥2 ds < +∞, với mọi khoảng compact [t1 , t2 ] ⊂ R.
t1