HÀM LYAPUNOV
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ 5.4
GVHD: TS. VÕ VIẾT CƯỜNG
HVTH: LÊ VIỆT SÔ
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
MỤC TIÊU:
-Khảo sát ổn định của LYAPUNOV
- Xây dựng được 2 phương pháp của LYAPUNOV
NỘI DUNG:
I. Định nghĩa ổn định LYAPUNOV
II. Khảo sát và xây dựng phương pháp 1 của LYAPUNOV
III. Khảo sát và xây dựng phương pháp 2 của LYAPUNOV
IV. Kết luận
V. Tài liệu tham khảo
Điểm cân bằng HT có dạng:
Xét hệ thống cô lập, Hệ PTVP có dạng:
I. ĐỊNH NGHĨA ỔN ĐỊNH THEO LYAPUNOV
Là nghiệm của PT đặc trưng:
1 2
( , , ),
i i n
x f x x x=
&
1,2, i n=
1 2
( , , )
n
α α α α
=
1 2

( , , ) 0,
i n
f x x x =
1,2, i n=
Tại t = 0
i i
x
α
=
0
i
x =
&
HT đứng yên
i i i
x
ξ α
= ≠
HT chuyển động
0
i
x =
&
Dạng quỹ đạo chuyển động diễn ra khác nhau phụ thuộc vào tính
chất của hệ thống
Hệ thông ổn định theo Lyapunov nếu cho trước 1 số tùy ý có thể
tìm được 1 số nhỏ tùy ý khác sao cho:
δ
ε
δ

η
ε
Ổn định tĩnh là ổn định với
kích động bé
,
i i
ξ α δ
− <
( )
i i
x t
α ε
− <
Ổn định động là ổn định với
kích động lớn
i i
η ξ α ε
= − <
( )
i i
x t
α ε
− <
I. ĐỊNH NGHĨA ỔN ĐỊNH THEO LYAPUNOV
i i
ξ α ε
− =
δ
ε
( ) 0

i i
t
Lim x t
α
→∞
− =
Hệ thống ổn định tiệm cận
là HT không phụ thuộc vào
độ lệch ban đầu và thỏa điều
kiện:
( )
i i
x t
α ε
− <
i i
ξ α ε
− >
δ
ε
( )
i i
x t
α ε
− >
Hệ thống không ổn định nếu tác động
của những kích động ngẫu nhiên nhỏ,
thông số bị lệch khỏi vị trí cân bằng
(x
i

≠ α
i
) sẽ tự chuyển động ra xa vô
cực.
I. ĐỊNH NGHĨA ỔN ĐỊNH THEO LYAPUNOV
Phương pháp thứ 1 Lyapunov ( pp xấp xỉ bậc nhất ,pp dao động bé)
Với kích động VCB có thể xấp xỉ hóa hệ PTVP xung quanh điểm cân
bằng.
1
n
i
i i
i
i
f
x x
x
=
∂
∆ = ∆
∂
∑
&
-Khai triển PTVP theo Taylor và bỏ qua thành phần bậc cao hơn 1
1 2
( , , ),
i i n
x f x x x=
&
1,2, i n=

Có 2 cách thực hiện:
(a)
(b)
-Lấy vi phân 2 vế PTVP theo δ
Lyapunov đã đưa ra các quy tắc áp dụng:
-Nếu (b) ổn định tiệm cận thì (a) ổn định tiệm cận
-Nếu (b) không ổn định thì (a) không ổn định
-Các trường hợp còn lại, pp không kết luận được, cần xét thêm thành
phần bậc cao trong khai triển Taylor hoặc các tiêu chuẩn khác.
II.PP 1 CỦA LYAPUNOV
Cuối cùng ta tìm được phương trình đặc trưng
0
( )
n
n m
m
m
D p a p
−
=
=
∑
a
m
:

hệ số; p: toán tử đạo hàm d/dt

-Nếu nghiệm của PT đặc trưng có phần thực âm thì HT ổn định tiệm
cận (ổn định với kích động bé).

-Nếu các nghiệm p
1
, p
2
, ….p
n
, chỉ cần một nghiệm có phần thực dương
thì HT không ổn định.
-Nếu nghiệm của PT đặc trưng có phần thực bằng 0, các nghiệm còn lại
có phần thực âm thì chưa có kết luận.
Những điểm lưu ý pp 1 của lyaunov:
-Được dùng phổ biến trong hệ thống điện và đặc biệt là để phân tích ổn
định tĩnh hệ thống điện
-Phương pháp 1 của lyapunov thực chất là phương pháp dao động bé
-Không cần giải hệ PTVP đó là ưu điểm lớn nhất của phương án này
-Ứng dụng cho cả HT đơn giản lẫn phức tạp
II.PP 1 CỦA LYAPUNOV
II.ÁP DỤNG PP 1 CỦA LYAPUNOV VÀO HTĐ
Với: + T
j
:Hằng số quán tính(radian) hay T
j
/ω
0
(sec).
+ K
D
: Hệ số cản(có dấu dương).
+ P
T

: Công suất cơ của tua-bin.
+ P(δ): Công suất tác dụng của máy phát.

Dựa vào PTVP mô tả quá trình quá độ, xét đến chuyển
động có quán tính :
Khai triển hàm thành chuỗi Taylo:
(1)
Bỏ qua các thành phần bậc 2 thay vào (1) :
Với:
Với:
(2)
Phương trình đặc trưng của (2) :
Có 2 nghiệm
II.ÁP DỤNG PP 1 CỦA LYAPUNOV VÀO HTĐ
Với:
- Hệ số tắt dần
- Tần số dao động riêng
Nghiệm tổng quát có dạng:
, cố định phụ thuộc vào cấu trúc tuabin máy phát.Biện luận theo c
II.ÁP DỤNG PP 1 CỦA LYAPUNOV VÀO HTĐ
- Khi c > 0 :
+
Có 2 nghiệm thuần thực, âm. Nghiệm có dạng:
Quá trình có dạng tắt dần
+ Có 2 nghiệm là phức, phần thực âm. Nghiệm có dạng:
Quá trình dao động tắt dần
với hệ số tắt dần , tần số dao động
- Khi c < 0 : Có 2 nghiệm thực dương
Hệ không ổn định
- Khi c = 0 : 1 nghiệm

1 nghiệm
Không kết luận được
II.ÁP DỤNG PP 1 CỦA LYAPUNOV VÀO HTĐ
III.PP 2 CỦA LYAPUNOV
2. Phương pháp trực tiếp (pp thứ 2 của Lyapunov)
Nghiên cứu ổn định của hệ thống Thiết lập hàm V trên cấu trúc
hệ PTVP QTQĐ
Từ cấu trúc hàm V Đánh giá tính ổn định của hệ thống
Hệ thống ổn định
Hàm V có dấu xác định
hoặc có dấu ngược với hàm V
Hệ thống ổn định
tiệm cận
Hàm V có dấu xác định
có dấu ngược với hàm V
-Nghiên cứu được ổn định của hệ thống với bất kỳ kích động
Những điểm cần lưu ý pp 2 của lyapunov
-Không phải lúc nào cũng tìm được hàm V nhất là đối với HTĐ
-Việc thiết lập hàm V chỉ là điều kiện đủ cho hệ thống ổn định
-Ưu điểm là dùng cho việc nghiên cứu ổn định động và xác định được
nên việc áp dụng vào HTĐ còn gặp nhiều hạn chế
miền giới hạn ổn định động
III.PP 2 CỦA LYAPUNOV
Các bước thực hiện
-Thiết lập hàm V Thiết lập hàm năng lượng toàn phần (TN + ĐN )
của chuyển động luôn xác định dương
-Xác định ma trận H
-Khảo sát dấu
III.XÂY DỰNG HÀM LYAPUNOV


Cũng dựa vào PTVP mô tả quá trình quá độ HTĐ
Với
PT có 2 điểm cân bằng:
,
PT (3) bỏ qua , nhân 2 vế với :
(3)
(4)
Tích phân PT (4) phải là hằng số.Lấy tích phân từ điểm cân bằng thứ
nhất đến điểm bất kì trên quỹ đạo chuyển động của HT,ta được:
= constant
Trong đó:
NL động năng
NL thế năng
= constant
Sau khi tìm được hàm V ta đi kiểm tra hàm V thỏa 3 điều
kiện:
- Có điểm dừng tại điểm cân bằng , .Ta đi
tính gradient của V
gradV = 0 tại điểm dừng
- Xác định dương tại điểm cân bằng Xác định ma trận Hessian
Lý thuyết của Sylvester


H >0
ổn định
Vì vậy:
không ổn định
III.XÂY DỰNG HÀM LYAPUNOV
-Kiểm tra :
.

.
Với:
Từ:
.
Vì K
D
> 0

Kết luận:
.
-Điểm cân bằng 1 ổn định tiệm cận

-Điểm cân bằng 2 không ổn định

III.XÂY DỰNG HÀM LYAPUNOV

Nếu có 1 hàm xác định trong lân cận điểm cân bằng
và thì hệ thống sẽ ổn định tiệm cận tại cho bất kỳ kích
động ban đầu thỏa:
: điểm cân bằng
: điểm ban đầu khi xảy ra kích động
, : điểm dừng
(critical value): giá trị của hàm Lyapunov tại điểm dừng gần
nhất hay giá trị giới hạn của hàm Lyapunov
.
III.MIỀN ỔN ĐỊNH ĐỘNG
Thế giá trị điểm cân bằng 2 vào:
III.MIỀN ỔN ĐỊNH ĐỘNG
Giá trị giới hạn ổn định
Miền ổn định động cho điểm cân bằng thỏa điều kiện :

1
1
1
Với :
: điểm
ban đầu khi xảy
ra kích động
IV.KẾT LUẬN
Ưu điểm:
-Không đi giải trực tiếp hệ PTVP (pp1)
-Ứng dụng nghiên cứu ổn định tĩnh cho cấu trúc HTĐ đơn giản và
phức tạp (pp1)
-Ứng dụng nghiên cứu ổn định động và tìm được miền giới hạn ổn
định động (pp2)
Khuyết điểm:
-Chỉ là điều kiện đủ để kết luận ổn định (pp2)
-Không phải lúc nào cũng tìm được hàm V.Ứng dụng không rộng rãi
trong HTĐ (pp2)
1. Đặng Văn Đào, Kỹ thuật điện, NXB Khoa học & Kỹ
thuật - 2001.
2. Nguyễn Hoàng Việt, Ngắn mạch và Ổn định trong hệ
thống điện, NXB Đại học quốc gia Tp. HCM – 2005.
3. Lã Văn Út, Phân tích và Điều khiển ổn định hệ thống
điện, NXB Khoa học Kỹ thuật – 2001.
4. Hadi Saadat, Power System Analysis, Mc Graw Hill -1999.
5. Syed A. Nasar, Electric Power Systems, Mc Graw Hill
-1990.


V. TÀI LIỆU THAM KHẢO

CẢM ƠN THẦY
VÀ CÁC BẠN HỌC VIÊN