Chương I: DAO ĐỘNG CƠ HỌC
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

x A cos  t   

1. Phương trình dao động:
t 2 1
T    (s)
N 
f
- Chu kì:

- Tần số:

f 

N 1 
  ( Hz )
t T 2


v x '   Asin  t     Acos  t    
2

2. Phương trình vận tốc:

v

+ x = 0(VTCB) thì độ lớn vận tốc cực đại: max
+ x A (Biên) thì độ lớn vận tốc cực tiểu |v|= 0
3. Phương trình gia tốc:

+ x = 0 thì a = 0

 A

a v '   2 A cos  t      2 x  2 A cos  t     
2


a

a  A
+ x A thì độ lớn gia tốc cực đại max
* Chú ý:
2

2
 Liên hệ pha: v sớm pha 2 so với x

a sớm pha 2 so với v
a ngược pha so với x
r
a
 Sự đổi chiều các đại lượng: vectơ đổi chiều khi qua
r
v
VTCB. Vectơ đổi chiều khi qua vị trí biên.
 Khi đi từ vị trí cân bằng O ra vị trí biên:
r r
 Nếu a↑↓ v  chuyển động chậm dần.
 Vận tốc giảm, ly độ tăng  động năng giảm, thế năng tăng  độ lớn gia tốc, lực kéo về tăng.

 Khi đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng O
r r
 Nếu a↑↑ v  chuyển động nhanh dần.
 Vận tốc tăng, ly độ giảm  động năng tăng, thế năng giảm  độ lớn gia tốc, lực kéo về giảm.

 

x




v

4. Hệ thức độc lập thời gian giữa x, v và a
2

 x   v
  
 A   vmax

v

2


 1


;


 v

 vmax

2

  a
  
  amax

2


 1


v2  a
a2
2
2
2

;
v


A

x



A

2 2
4
A2  x 2
đồ thị của (v, x) là đường elip
đồ thị của (a, v) là đường eỉip
v2
a2 v2
2
2
A x  2  4  2

 
- Giữa x và v:


; x  A2 

1


2

v

2
max


  A 

- Giữa a và v:

2

2
 amax  2 A
- Giữa a và x: a   x



2

 v   a 
a2
v  2 hay 
 
 1

 vmax   amax 
2

đồ thị của (a, x) là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ

v
amax vmax
a
v2  v2


 max  22 12 
vmax
A
A
x1  x2
A2  x 2

- Tốc độ góc:
- Cơng thức tính biên độ:

A

2
L ST vmax amax vmax
2W
v2
 2v 2  a 2
 
 2 

 x2  2 
2
4


amax
k

2


- Với hai thời điểm t1, t2 vật có các cặp giá trị x1, v1 và x2, v2 thì ta có hệ thức tính A & T như sau:


2

2

2

2

 x1   v 1   x 2   v 2 
x12  x 22 v 22  v 12
  
    

 2 2
 A   A   A   A   A 2
A  →
5. Tìm pha ban đầu

v22  v12
x12  x22

T

2

x12  x22

v22  v12
2

x 2v 2  x 2v 2
v 
A  x12   1   1 22 22 1
v2  v1


2


v<0

sin
2π
3

π
3

3π
4

A 3 2

A

W®=3Wt


π
6

 A 3
2 2



-A

-A

2

0

1
-A
2

v  v max

A

1
2
3
A
A
2

2
2

v  v max / 2

W®=Wt
v v max

5π

6

2 2

-A



3π
4

1
2

π

6

-A 2 2




2π
3

-A 3 2



W®=3Wt

1
2

3 2

Wt=3W®

π
4

A 2 2

5π
6

v  v max

+


π
2

π
2




π
3

π
4

0
A

3 2

cos
Wt=3W®

x

v  v max / 2

W®=Wt

v  v max 2 / 2


V>0
6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1: Xác định các đại lượng trong dao động điều hòa
Đưa phương trình đề cho về dạng: x  A cos(t   ) . Từ đó  A,  , 



);  sin(t   ) cos(t    );  cos(t   ) cos(t    )
2
2
Chú ý:
Dạng 2: Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật trong dao động điều hịa
Chú ý: Khi tính tốc độ hoặc độ lớn gia tốc của vật ta chỉ lấy giá trị dương
Dạng 3: Liên hệ x, v, a của vật dao động điều hịa
Dạng 4: Viết phương trình dao động điều hịa
 Bước 1: Phương trình dao động có dạng x = Acos(t + )
 Bước 2: Giải A, , .
 Buớc 3: Thay A,  ,  vào phuơng trình ta được phương trình cụ thể.
* Lưu ý: Khi biết tọa độ và vận tốc tại thời điểm ban đầu (t = 0), ta có thể dùng máy tính bỏ túi để viết phương
v
x x 0  0 i

trình dao động điều hịa (Rất nhanh):
sin(t   ) cos(t   

3


Nhập: Mode 2 (biểu diễn phức), Shif mode 4 (Radian),

A ; vậy x = Acos(t + )

x0 

v0
 shif23→ trên màn hình máy tính sẽ hiện ra kết quả

Dạng 5: Bài toán liên quan đến thời gian: chúng ta dùng đường tròn để giải  rất nhanh.
Chú ý:
+ Càng gần VTCB vật đi càng nhanh, càng gần VTB vật đi càng chậm.
+Smax và Smin trong cùng một khoảng thời gian:
- Vật đi được quãng đường dài nhất khi li độ điểm đầu và điểm cuối có giá trị đối nhau.
- Vật đi được quãng đường ngắn nhất khi li độ điểm đầu và điểm cuối có giá trị bằng nhau.

+ Trong một chu kì:
- Vật qua 1 vị trí 2 lần
- Vật qua 1 vị tí theo 1 chiều nhất định 1 lần
- Vật cách VTVB (VTB) một khoảng cách nhất định 4 lần

Dạng 6: Tốc độ trung bình

ST 4 A 2.vmax
S
vtb   0  vtb1T   
T
T

t
* Cơng thức tính tốc độ trung bình:
Trong đó:

+ S: qng đường đi được trong khoảng thời gian t
+ t: là thời gian vật đi được quãng đường S

vtb max 
* Bài tốn tính tốc độ trung bình cực đại của vật trong khoảng thời gian t:

vtb min 
* Bài toán tính tốc độ trung bình nhỏ nhất vật trong khoảng thời gian t.
x x  x
vtb   2 1 ; ; 0
t t2  t1
* Chú ý: Vận tốc trung bình:
; với x là độ dời

S max
t

S min
t

II. CON LẮC LÒ XO
4


1. Cơng thức cơ bản


- Tần số góc:

k

g

m


(rad/s)

 
+ Con lắc lò xo treo thẳng đứng:

mg
g
 2
k

 

+ Đặt con lắc trên mặt phẳng nghiêng góc  khơng ma sát:

mg sin 
k


2
m

2
2
T 


k
g



1 1 k
1 g
 f T 2 m 2 


- Áp dụng cơng thức về chu kì và tần số:
2. Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo

+ Dao động thẳng đứng:

min cb  A  0    A
  min
 A  max

2
max cb  A  0    A

+ Dao động theo phương ngang:
3. Ghép lò xo

- Ghép nối tiếp:

min 0  A

max 0  A


 cb

0 ; =0 

1 1 1
1
   ...   knt  k1 , k2 ,..., kn 
knt k1 k2
kn

kss k1  k2  ...  kn  kss  k1 , k2 ,..., kn 

- Ghép song song:
- Gọi T1 và T2 là chu kì khi treo vật m lần lượt vào 2 lị xo k1 và k2 thì:

+ Khi ghép k1 nối tiếp với k2:

T  T 2  T 2
1
2
 nt
 1
1
1
 2  2  2
f1
f2
 f nt


1


2
2
 vì T  ; f k 
k



f  f2 f2
1
2
 ss
 1
1
1
 2  2  2
T1
T2
 Tss

+ Khi ghép k1 song song với k2:
- Gọi T1 và T2 là chu kì khi treo vật m1 và m2 lần lượt vào lị xo k thì:
1

T  T12  T22  vì T 2 m; f 2  
m

+ Khi treo vật m = m1 + m2 thì:

5


+ Khi treo vật m = m1 - m2 thì:
4. Cắt lò xo

T  T12  T22

(m1>m2)


- Cắt lò xo có độ cứng k, chiều dài 0 thành nhiều đoạn có chiều dài 1 , 2 ,..., n có độ cứng tương ứng là k 1, k2…
k 0 k11 k2 2 ... k n n
kn liên hệ nhau theo hệ thức:
- Nếu cắt lò xo thành n đoạn bằng nhau (các lị xo có cùng độ
cứng k’) thì:
k ' nk hay

T

T ' 
n

f 'f n


5. Lực đàn hồi – lực phục hồi
Nội dung

Lực phục hồi


Gốc tại

Vị trí cân bằng

Bản chất

Lực đàn hồi
Lị xo nằm Lị xo thẳng đứng
ngang
A 
Vị trí lò xo chưa biến dạng


 
Fhp P  Fdh

A  

Fđh = k.(độ biến dạng) = k.x*

Ý nghĩa và tác - Gây ra chuyển động của vật.
dụng
- Giúp vật trở về VTCB

- Giúp lị xo phục hồi hình dạng cũ.
- Còn gọi là lực kéo (hay lực đẩy) của lò xo lên vật (hoặc
điểm treo)

Cực đại


Fhpmax = kA

Fđhmax= kA

Fdh max k    A 

Cực tiểu

Fhpmin = 0

Fđhmin = 0

Fđhmin = 0

Vị trí bất kì

Fhp k x

Fdh k x

Fdh k l  x chon (+) 

Fdh min k    A 

III. CON LẮC ĐƠN
1. Công thức cơ bản
Dưới đây là bảng so sánh các đặc trưng chính của hai hệ dao động:
Hệ dao động
Con lắc lò xo

Con lắc đơn
Cấu trúc
Hòn bi m gắn vào lò xo k
Hòn bi m treo vào đầu sợi dây 
- Con lắc lị xo ngang: lị xo khơng giãn.
- Con lắc lị xo thẳng đứng giãn
VTCB
Dây treo thẳng đứng
mg
 
k
Trọng lực của hòn bi và lực căng của
Lực đàn hồi của lò xo:
dây treo:
Lực tác dụng
F = - kx
g
F  m s
x là li độ dài
 (s là li độ cung)

k
g

 rad / s 
m


Tần số góc




Phương trình
dao động

x A cos  t   



g


 rad / s 

s S0 cos  t   
Hoặc

  0 cos  t   
6


1
1
W mg  1  cos  0   m 2 S02  mg  02
2
2

1
1
W  kA2  m 2 A2

2
2

Cơ năng

- Chu kì dao động của con lắc đơn có chiều dài
+ Chu kì của con lắc có chiều dài

 1  2

+ Chu kì của con lắc có chiều dài

 1  2

1 và 2 lần lượt là T và T thì:
1
2
là:
là:

T  T12  T22

T  T12  T22

 vì T
với

2




1  2

- Liên hệ giữa li độ dài và li độ góc: s  
- Hệ thức độc lập thời gian của con lắc đơn:

a   2 s   2  ;

v
S s   

2
0

2

v2
  
g
2
0

2

;

2

2. Lực hồi phục:


Fhp  mg sin   mg  mg

s
 m 2 s


3. Vận tốc – Lực căng dây:

 v  2 g  cos   cos  0 

Tc mg  3cos   2 cos  0 

+ Khi con lắc ở vị trí li độ góc  :
Khi 0 nhỏ:

+ Khi vật ở biên:


 v biên  v min 0


Tbiên Tmin mg cos  0

Khi  0 nhỏ:

 v  g   2   2 
0




3


Tc mg  1   02   2 
2





 v biên  v min 0


  02 
T

T

mg
1

 biên
min
2 



 v  2 g  1  cos  0 
max


Tmax mg  3  2 cos  0 

+ Khi vật qua VTCB: 
Khi 0 nhỏ:

 v
 v max  0 g 
VTCB

2
TVTCB Tmax mg  1   0 

IV. NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG
- Động năng:

1
1
1
1
Wd  mv 2 W  Wt  k(A 2  x 2 )  m2 (A 2  x 2 )  m2A 2 sin 2 (t  ) W sin 2 (t  )
2
2
2
2
- Thế năng:

1
1
1
1

Wt  kx 2  m2 x 2 W  Wd  m  v 2max  v 2   kA 2 cos 2 (t  ) W cos 2 (t  )
2
2
2
2
- Động năng và thế năng biến thiên tuần hồn với chu kì bằng ½ chu kì của dao động điều hịa (T’ = T/2); tần số
f  2 f ; tần số góc   2 .
- Khoảng thời gian giữa hai lần động năng và thế năng bằng nhau liên tiếp là T/4; vị trí động năng bằng thế năng là
A 2
x 
2 .

7


Wđ = 0
Wtmax

Wđmax
Wt=0

Wđ =3Wt

-A

A
2




Wđ =Wt

W Wt max Wdmax

A A 2A 3
2
2 2
T/6

0
T/12

T/4

Wt =3Wđ

T/8

T/8

1
 kA2
2

cos
+A

T/12

T/6


1. Con lắc lò xo (Chọn mốc thế năng tại VTCB)

1
1
1
Wd  mv 2  k ( A2  x 2 )  m 2 ( A2  x 2 )
2
2
2
- Động năng:
1
1
1
Wt  kx 2  m 2 x 2 W  Wd  m vm2 ax  v 2
2
2
2
- Thế năng:





- Cơ năng:

1
1
1
1

1
W=Wd  Wt Wd max Wt max  m 2 A2  kA2  mvm2 ax  mv 2  kx 2 const
2
2
2
2
2
2

Wd A2  x 2  A 

   1
Wt
x2
 x

+ Tỉ số động năng và thế năng:

x 
+ Vị trí của vật khi Wd = nWt:

A
n
a
 max  n  1  v vmax
n 1
n 1
a

v 

+ Vận tốc của vật lúc Wt = nWd:

vmax
A

n 1
n 1

1
Wd  k  A2  x 2 
2
+ Động năng khi vật ở li độ x:
2. Con lắc đơn

1
Wd  mv 2
Wt mg  1  cos  
2
- Động năng:
- Thế năng:
W Wd  Wt mg  1  cos  0 
- Cơ năng:

1
1 g
1
1
1 g
1
Wt  mg  2  m s 2  m 2 s 2

W  mg  02  m S02  m 2 S02
  10  thì:
2
2 
2
2
2 
2
* Khi góc  0 bé 0
và
0

8


2

2

Wd  02   2 S02  S 2   0 
S 

 2    1  0   1
2
Wt

S

 s


+ Tỉ số động năng và thế năng:

S0

s 

n 1

+ Vị trí của vật khi Wd = nWt:
v 
+ Vận tốc của vật lúc Wt = nWd:

vmax
n 1

 
và


0
n 1

 S0
n 1

1
1
Wd  mg   02   2   m 2  S02  s 2 
2
2

+ Động năng khi vật ở li độ  :
V. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số:

 x1  A1 cos  t  1 
 x  A cos  t   

 x2  A2 cos  t  2 
; Trong đó

Với

 A  A2  A2  2 A A cos     
1
2
1 2
2
1


A1 sin 1  A2 sin 2
 tan  
A1 cos 1  A2 cos 2


  2  1 và A - A  ≤ A ≤ A + A
1
2
1
2

x  x  x  ...  x

1
2
n
* Có thể dùng máy tính bỏ túi để tìm dao động tổng hợp:
- Với máy tính FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX.
+ Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình xuất hiện chữ D (Hoặc chọn đơn vị góc là rad thì
bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R)

+ Nhập A1 SHIFT (-)

1

+ Nhập A2 SHIFT (-)

2

+…..+ Nhập An SHIFT (-)

n

A

+ Nhấn SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả
- Với máy tính FX570MS: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX.
+ Nhập A1 SHIFT (-)

1


+ Nhập A2 SHIFT (-)

2

+…..+ Nhập An SHIFT (-)

n



+ Sau đó nhấn SHIFT + = hiển thị kết quả là A. Nhấn SHIFT = hiển thị kết quả là .
Lưu ý: Chế độ hiển thị màn hình kết quả:
Sau khi nhập ta nhấn dấu = có thể hiển thị kết quả dưới dạng số vô tỉ, muốn kết quả dưới dạng thập phân ta nhấn
SHIFT = (hoặc nhấn phím S  D ) để chuyển đổi kết quả hiển thị.
2. Độ lệch pha của hai dao động thành phần:

 2  1 ; các trường hợp đặc biệt

 1  2
+  k 2 : Hai dao động cùng pha, thì: Amax =A1+A2 và
+

  2k 1 

: Hai dao động ngược pha, thì: Amin =A1 - A2 (nếu A1>A2) và


A  A12
2
+

: Hai dao động vuông pha, thì:
2
 1200   rad 
A  A2 thì: A  A1  A2
3
+
và 1
  2k 1

 1

 A22

3. Tìm dao động thành phần:
9


* Nếu biết một dao động thành phần là
động thành phần còn lại là:

x1  A1 cos  t  1 

x2  A2 cos  t   2 

 A  A2  A2  2 AA cos     
1
1
1
 2


A sin   A1 sin 1
 tan 2 
A cos   A1 cos 1


và dao động tổng hợp

x  A cos  t   

thì dao

được xác định:

  

2 (nếu  ≤  )
với 1
1
2
* Có thể dùng máy tính bỏ túi để tìm dao động thành phần:

x x  x

1
có: dao động thành phần cần tìm: 2
Ta
- Với máy tính FX570ES: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX.
+ Chọn đơn vị đo góc là độ bấm: SHIFT MODE 3 màn hình xuất hiện chữ D (Hoặc chọn đơn vị góc là rad thì
bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R)


+ Nhập A SHIFT (-)



- Nhập A1 SHIFT (-)

1

A 

2
+ Nhấn SHIFT 2 3 = hiển thị kết quả 2
- Với máy tính FX570MS: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ CMPLX.

+ Nhập A SHIFT (-)



- Nhập A1 SHIFT (-)

1



+ Sau đó nhấn SHIFT + = hiển thị kết quả là A2. Nhấn SHIFT = hiển thị kết quả là 2
* Lưu ý:
- Đối với bài tốn tổng hợp dao động điều hịa mà đề bài có nhắc đến thay đổi biên độ của dao động này để biên
  
A
độ của dao động khác đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) thì ta phải vẽ giản đồ vecto  A1  A2 và dùng định lý

hàm sin để giải.
- Khoảng cách giữa hai chất điểm dao động điều hịa (khơng va chạm nhau) trên cùng 1 trục tọa độ Ox:

d  x1  x2  dùngmáytính
   d d max . cos  t   
Hoặc dùng định lý hàm cos tìm được khoảng cách lớn nhất:
VI. DAO ĐỘNG TẮT DẦN
- Tìm tổng quãng đường S mà vật đi được cho đến khi dừng
lại:

W  AFC

kA2
1 2

S

 kA FC S
2 FC
2
A 

- Độ giảm biên độ sau một dao động:

A 
Nếu FC là lực ma sát thì

d max  A12  A22  2 A1 A2 .cos   2  1 

A

-A

-A1

A1

x0
O O1

A
A1

A

4 FC
4F
 C
2
m
k với F là lực cản
C

4 N
k

10


A 4 x0 
 Nếu vật chuyển động theo phương ngang


N
- Số dao động thực hiện được:

N
 Nếu FC là lực ma sát thì

4  mg
k

A
kA

A 4 FC

kA
4 N

- Thời gian từ lúc bị ma sát đến khi dừng lại: t  N ' T
- Số lần qua VTCB của vật
+ khi n  N '  n, 25 (n là số nguyên) thì số lần qua VTCB sẽ là 2n.
+ khi n, 25  N '  n,75 thì số lần qua VTCB của vật là 2n+1.

n,75 N ' n  1

+ khi
thì số lần qua VTCB của vật là 2n+2.
- Bài tốn tìm vận tốc của vật khi vật đi được quãng đường S
Ta có: W Wd  Wt  AFms  Wd W  Ams  Wt
1

1
1
 mv 2  kA2  Fms .S  kx 2
2
2
2

v 



k ( A2  x 2 )  2.Fms .S
m

FC Fhp   mg kx0  x0 
- Vị trí của vật có vận tốc cực đại:

 mg
k Độ giảm bđ 1/4T

vmax  A1   A  x0 

- Vật đạt vận tốc cực đại khi qua VTCB O1 lần đầu tiên:
VII. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC – CỘNG HƯỞNG
- Khi vật dao động cưỡng bức thì tần số (chu kì) dao động của vật bằng với tần số (chu kì) của ngoại lực:
f cb  f ngoailuc ; Tcb Tngoailuc
- Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tần số (chu kì) của ngoại lực bằng tần số (chu kì) dao động riêng của hệ:
f ngoailuc  f rieng  f cb ; Tngoailuc Trieng Tcb
A 
và khi đó cb max

Chú ý: Chu kì kích thích

T

L
v trong đó L là khoảng cách ngắn nhất giữa hai mối ray tàu hỏa hoặc hai ổ gà trên
L
v  L. f r
Tr

đường…Vận tốc của xe để con lắc đặt trên xe có cộng hưởng (biên độ dao động cực đại):

m
Tr 2
Tr 2
g
k hoặc

với

11