Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

CHUN ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

§1: HAI QUY TẮC ĐẾM - HỐN VỊ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc khi thực hiện có 2 phương án (chọn phương án nào cũng được). Phương án 1 có n
cách làm. Phương án 2 có m cách làm. Vậy, cơng việc đó có tất cả n  m cách làm.
II. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc khi thực hiện phải thực hiện 2 bước (thực hiện bước 1 mới chuyển sang bước 2).
Bước 1 có n cách làm. Bước 2 có m cách làm. Vậy, cơng việc đó có tất cả n.m cách làm.
III. Hốn vị: Tập A có n phần tử. Xếp n phần tử đó thành một hàng, mỗi hàng đó là 1 hốn vị của tập A.
Cơng thức: Pn  n !  n.  n  1 ...3.2.1 với n   Quy ước: 0!  1
Lưu ý: - Xếp n phần tử thành 1 hàng  có n! cách làm
- Xếp n phần tử vào n vị trí  có n! cách làm
- Xếp n phần tử quanh một bàn trịn  có  n  1 ! cách làm
F1: Thầy Phạm Trường Nghiêm có 10 cái áo tím, 12 cái áo hồng. Hỏi thầy Nghiêm có bao nhiêu cách chọn một cái áo?
F2: Thư viện có 30 sách tốn khác nhau, 24 sách lý khác nhau, 28 sách hóa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách mượn một
cuốn sách từ thư viện?
F3: Có ba thành phố A, B, C. Giữa A và B có 3 con đường. Giữa B và C có 2 con đường. Khơng có đường nối A với C. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn đường đi từ A tới C?
F4: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:

a,

Pn  Pn 1 1

Pn 1
6

b,

 n  3  !  3  9n
 n  1!

F5: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số?
F6: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?
F7: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
F8: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau?
F9: Từ tập X  0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
F10: Từ tập X  0;1;2;3;4;5;6;7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
F11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
F12: Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
F13: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, mà hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
F14: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 2300?
F15: Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số khơng
bắt đầu bằng 23?
F16: Một nhóm học sinh giỏi gồm 4 học sinh khối 12, 5 học sinh khối 11, 6 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
15 học sinh trên thành một hàng để đón đồn đại biểu sao cho các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau?
F17: Có 3 bạn lớp A, 3 bạn lớp B. Có bao nhiêu cách xếp 6 bạn trên thành 1 hàng sao cho 3 học sinh lớp B đứng cạnh nhau?
F18: Có 5 bạn nam, 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 9 bạn trên thành 1 hàng sao cho nam nữ xen kẽ.
F19: Có 4 học sinh trường A và 4 học sinh trường B. Có bao nhiêu cách xếp 8 học sinh trên vào 2 ghế băng đặt song song
nhau, mỗi ghế 4 người sao cho hai học sinh bất kì ngồi cạnh nhau và đối diện phải khác trường?
F20: Có 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp các quyển sách trên lên giá sách thành một hàng mà sách môn nào gần sách mơn đó?
F21: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
F22: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta có:
a, Pn  Pn 1   n  1 Pn 1
c,


1 1 1
1
   ...   2
P1 P2 P3
Pn

b, Pn   n  1 Pn 1   n  2  Pn  2  ...  2 P2  P1  1
d,

n2
1
1


n !  n  1!  n  2 !

Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

F23: Các thành phố A , B , C được nối với nhau bởi các con
đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A
đến thành phố C mà qua thành phố B chỉ một lần?

A


B

C

A. 8 .
B. 12 .
C. 6 .
D. 4 .
F24: Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 5 có thể lập được bao nhiêu
số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 ?
A. 72 .
B. 120 .
C. 54 .
D. 69 .
F25: Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài
có 6 vị trí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ
ngồi xen kẽ lẫn nhau?
A. 48.
B. 72.
C. 24.
D. 36.
F26: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác
nhau, trong đó chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4 ?
A. 249 .
B. 1500 .
C. 3204 .
D. 2942 .
F27: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1000 được lập từ các
chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ?
A. 125 .

B. 120 .
C. 100 .
D. 69 .
F28: Tính số cách xếp 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý
và 3 quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng mơn.
A. 17280 .
B. 150 .
C. 103680 . D. 60 .
F29: Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1 ,
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sao cho số đó chia hết cho 15 ?
A. 234 .
B. 243 .
C. 132 .
D. 432
F30: Xếp 6 bạn A, B, C, D, E, F thành hàng ngang. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp sao cho A và B đứng cạnh nhau?
A. 720
B. 120
C. 144
D. 240
F31: Một nhóm 9 người gồm ba đàn ông, bốn phụ nữ và hai
đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên
một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai phụ nữ và
khơng có hai người đàn ơng nào ngồi cạnh nhau?
A. 288.
B. 864.
C. 24.
D. 576.
F32: Có hai học sinh lớp A , ba học sinh lớp B và bốn học
sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học

sinh lớp A khơng có học sinh nào lớp B . Hỏi có bao nhiêu
cách xếp hàng như vậy?
A. 80640 .
B. 108864 .
C. 145152 . D. 217728 .
F33: Có 10 cái bút khác nhau và 8 quyển sách giáo khoa
khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn 1 cái bút và 1 quyển
sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn?
A. 80 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 70 .
F34: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn
gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5
loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3 loại nước
uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
A. 25 .
B. 75 .
C. 100 .
D. 15 .
F35: Bạn muốn mua một cây bút mực và một cây bút chì.
Các cây bút mực có 8 màu khác nhau, các cây bút chì cũng
có 8 màu khác nhau. Như vậy bạn có bao nhiêu cách chọn?
A. 64 .
B. 16 .
C. 32 .
D. 20 .

F36: Có 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 7 quả cầu
xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 quả cầu vàng được đánh

số từ 1 đến 8. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác
màu và khác số?
A. 392.
B. 1023.
C. 3014.
D. 391.
F37: Có bao nhiêu cách xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu,
biết mỗi toa có thể chứa 4 người?
A. 81
B. 68
C. 42
D. 98
F38: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm
có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường
A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp chỗ ngồi để bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau
hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau?
A. 1036800 B. 234780
C. 146800
D. 2223500
F39: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự
mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ
số 3?
A. 192
B. 202
C. 211
D. 180
F40: Từ các chữ số 1 ; 2 ; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một?
A. 8 .

B. 6 .
C. 9 .
D. 3 .
F41: Cho 6 chữ số 2,3, 4,5,6,7 số các số tự nhiên chẵn có 3
chữ số lập thành từ 6 chữ số đó?
A. 36 .
B. 18 .
C. 256 .
D. 108 .
F42: Cho các chữ số 1, 2, 3,., 9. Từ các số đó có thể lập được
bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau và không vượt
quá 2011?
A. 168
B. 170
C. 164
D. 172
F43: Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số?
A. 210 .
B. 105 .
C. 168 .
D. 145 .
F44: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi
một khác nhau sao chữ số đầu chẵn chữ số đứng cuối lẻ?
A. 11523
B. 11520
C. 11346
D. 22311
F45: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó các chữ
số ở vị trí cách đều chữ số đứng chính giữa thì giống nhau?

A. 7290 số. B. 9000 số.
C. 8100 số. D. 6561 số.
F46: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?
A. 500 .
B. 328 .
C. 360 .
D. 405 .
F47: Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi một khác nhau và phải
có mặt chữ số 3 ?
A. 36 số.
B. 108 số.
C. 228 số.
D. 144 số.
F48: Từ các chữ số 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 8 có thể lập được bao
nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó
hai chữ số 0 và 5 khơng đứng cạnh nhau?
A. 384
B. 120
C. 216
D. 600
F49: Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 lập được bao nhiêu
số có ba chữ số đơi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 ?
A. 35 số.
B. 52 số.
C. 32 số.
D. 48 số.
F50: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5
viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các viên
bi trên thành dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

A. 345600 . B. 518400 .
C. 725760 . D. 103680 .

Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

§2: TỔ HỢP

CHUN ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Quy tắc cộng: Giả sử một cơng việc khi thực hiện có 2 phương án (chọn phương án nào cũng được).
Phương án 1 có n cách làm. Phương án 2 có m cách làm. Vậy, cơng việc đó có tất cả n  m cách làm.
II. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc khi thực hiện phải thực hiện 2 bước (thực hiện bước 1 mới chuyển
sang bước 2). Bước 1 có n cách làm. Bước 2 có m cách làm. Vậy, cơng việc đó có tất cả n.m cách làm.
III. Hốn vị: Tập A có n phần tử. Xếp n phần tử đó thành một hàng, mỗi hàng đó là 1 hốn vị của tập A.
Cơng thức: Pn  n !  n.  n  1 ...3.2.1 với n   Quy ước: 0!  1
IV. TỔ HỢP: Tập hợp A có n phần tử. Lấy k phần tử của tập A là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là: Cnk 
Tính chất 1: C nk  C nn  k

n!
k ! n  k  !

Tính chất 2: C nk  C nk 1  C nk11


Tính chất 3: C n0  C n1  C n2  ...  C nn  2n

V. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ
 Xếp n phần tử thành 1 hàng Có n! cách.
 Xếp n phần tử vào n vị trí  Có n! cách.
 Lấy k phần tử từ n phần tử  Có Cnk cách
 Tập hợp A có n phần tử thì tập A có tất cả 2n tập con.
 Tập hợp A có n phần tử thì tập A có tất cả Cnk tập con có k phần tử.
F1: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
a, Cnn 2  Cnn31  9  n  2 

b, Cnn41  Cnn3  7 n  21

c, Cnn  2Cn2  2Cn2Cn3  Cn3Cnn 3  100

d, Cn1  6Cn2  6Cn3  9n 2  14n

F2: Tính giá trị của biểu thức M 

An41  3 An3
biết Cn21  2Cn2 2  2Cn23  Cn2 4  149 .
 n  1!

F3: Rút gọn biểu thức: a, A  Cnk  3Cnk 1  3Cnk  2  Cnk 3

b, B  Cn9  5Cn8  10Cn7  10Cn6  5Cn5  Cn4

F4: Tập hợp A gồm n phần tử  n  3 . Biết số tập hợp con chứa 3 phần tử của tập hợp A bằng 56. Tìm n .
F5: Tập hợp A gồm n phần tử  n  2  . Biết số tập hợp con chứa 2 phần tử của tập hợp A bằng 45. Tìm n .
F6: Tập hợp A gồm n phần tử  n  4  . Biết rằng số tập hợp con chứa 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con

chứa 2 phần tử của A. Tìm n .
F7: Một bữa tiệc có n người. Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với tất cả các người còn lại trong phòng. Có
tất cả 78 cái bắt tay. Tìm n .
F8: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người trừ vợ mình. Các bà
khơng ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
F9: Một đa giác lồi 15 đỉnh có bao nhiêu đường chéo?
F10: Cho đa giác lồi n đỉnh. Tìm n biết đa giác đó có số đường chéo gấp đơi số cạnh.
F11: Có hai đường thẳng song song. Trên đường thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thứ hai lấy 15 điểm. Hỏi từ 25
điểm trên tạo được bao nhiêu tam giác?
F12: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra có đủ cả 3 màu?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

F13: Một lớp có 20 học sinh trong đó có 5 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người đi dự Hội nghị sao cho
trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp?
F14: Một giải bóng đá vơ địch Đơng Nam Á có 10 đội tham dự. Ban tổ chức chia 10 đội bóng thành 2 bảng A, B.
Có bao nhiêu cách chia bảng biết Việt Nam, Thái Lan thuộc hai bảng khác nhau.
F15: Có 5 nhà tốn học trong đó có 3 nam, 2 nữ. Có 4 nhà vật lý đều là nam. Cần chọn ra 3 người từ 9 nhà bác học
trên sao cho có cả nam, cả nữ, cả toán học và vật lý. Hỏi các mấy cách chọn?
F16: Trong một mơn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi
dễ. Từ 30 câu hỏi đó lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi, sao cho trong mỗi đề phải nhất thiết có
đủ 3 loại (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2?
F17: Một tổ có 12 học sinh gồm 7 nam và 5 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn 4 học sinh có cả nam và nữ lập
thành một đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
F18: Từ một nhóm học sinh gồm 18 nam và 20 nữ, thầy giáo cần chọn ra 8 em tham dự lễ mít tinh tại trường với

u cầu có cả nam lẫn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
F19: Một đơi thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng đội thanh
niên tình nguyện đó về giúp 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
F20: Có 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh
đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá?
F21: Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 12, 4 học sinh lớp 11
và 3 học sinh lớp 10. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh trên mà khơng đủ 3 lớp.
F22: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước?
F23: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng trước?
F24: Cho 3 đường thẳng song song với nhau và 5 đường thẳng song song với nhau nhưng cắt 3 đường thẳng trước.
Hỏi từ 8 đường thẳng đã cho tạo được bao nhiêu hình bình hành?
F25: Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp
đó sao cho khơng có đủ 3 màu?
F26: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên muốn chọn 5 học sinh lập thành một đoàn đại
biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh, trong đó có ít nhất một nam?
F27: Một đồn tàu có 3 toa chở khách là toa I, toa II và toa III. Trên sân ga có 4 hành khách chuẩn bị đi tàu. Biết
rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để 1 toa có 3 hành khách, 1
toa có 1 hành khách và 1 toa khơng có hành khách nào?
F28: Có 12 cây giống gồm 3 loại: xồi, mít, ổi trong đó có 6 xồi, 4 mít, 2 ổi. Muốn chọn ra 6 cây giống để trồng.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra số cây xồi bằng số cây mít?
F29: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa
điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân cơng?
F30: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập 1 tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 cơng
nhân làm tổ phó và 3 cơng nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ cơng tác?
F31: Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đơi một khác nhau . Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên
bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ?
F32: Trong một hộp có 100 sản phẩm, gồm 90 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Có bao nhiêu cách lấy từ hộp đó
ra 10 sản phẩm trong đó có ít nhất 8 sản phẩm tốt?
F33: Một hộp có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đổ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1
đến 4. Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số?

1
2
3
100
 2C100
 3C100
 ...  100C100
F34: Tính tổng S  1C100

F35: Tính tổng S 

0
C2004
C1
C2
C 2004
 2004  2004  ...  2004
1
2
3
2005

Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

§3: CHỈNH HỢP


CHUN ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

CHỈNH HỢP: Tập A có n phần tử. Lấy k phần tử từ tập A, rồi xếp chúng thành 1 hàng ta được một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: Ank 

n!
 n  k !

MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ
 Xếp n phần tử thành 1 hàng  có n! cách.
 Xếp n phần tử vào n vị trí  có n! cách.
 Lấy k phần tử từ n phần tử  có Cnk cách
 Lấy k phần tử từ n phần tử, rồi xếp chúng thành 1 hàng  có Ank cách
 Xếp k phần tử vào n vị trí  có Ank cách
F1: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
a, An3  5 An2  2  n  15 

b, An31  Cnn11  14  n  1

c, Cn21  nP2  4 An2

d, Pn An2  12  6 An2  2 Pn

F2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó nhất định có mặt số 0 và số 1.
F3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng khơng có mặt chữ số 1?
F4: Có thể lập ra được bao nhiêu số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu là 0908, các chữ số còn lại khác nhau
đôi một, khác với 4 chữ số đầu và phải có mặt chữ số 6?
F5: Cho tập M  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 và N là tập gồm 26 chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Giả sử tại Hà

Nội ta cần lập các biển số xe có dạng sau 29  Xm  abcde trong đó X  N, m  M \ 0 và a, b, c, d , e  M . Có bao
nhiêu biển số xe được tạo thành?
F6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, cịn
các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
F7: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 2 lần, chữ
số 2 có mặt đúng 3 lần , các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
F8: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 1 lần,
chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần các chữ số cịn lại nếu có mặt thì có mặt khơng quá 1 lần?
F9: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số thỏa mãn có một chữ số xuất hiện hai lần
còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần?
F10: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng sao cho không có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
F11: Một nhóm học sinh có 6 em nam và 4 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng sao cho hai
vị trí đầu và cuối hàng là các em nữ và khơng có 2 em nữ nào đứng cạnh nhau?
F12: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nam và 4 bạn nữa thành một hàng sao cho nam nữ đứng xen kẽ?
F13: Một nhóm học sinh có 6 em nam và 4 em nữ. Có bao nhiêu cách xếp 10 em trên thành một hàng sao cho 4 em
nữ ln đứng cạnh nhau?
F14: Một nhóm học sinh có 5 học sinh Đơng Anh, 4 học sinh Sóc Sơn, 3 học sinh Long Biên. Có bao nhiêu cách
xếp 12 bạn trên thành một hàng sao cho học sinh cùng huyện đứng cạnh nhau?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

F15: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau và chữ số 1, chữ số 7
không đúng cạnh nhau?
F16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số 3, chữ số 6 đúng
cạnh nhau?
F17: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số trong đó 3 chữ số liền nhau phải khác nhau?

F18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó
tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
F19: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ
số 3?
F20: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và một trong
ba chữ số đầu tiên phải có chữ số 1?
F21: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1, 2, 3 luôn đứng cạnh nhau?
F22: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau sao cho trong mỗi số đều có mặt hai chữ số 8 và 9?
F23: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
F24: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
F25: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn?
F26: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là một số lẻ?
F27: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho tổng các chữ số là một số chẵn?
F28: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước?
F29: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số chẵn
khơng đứng cạnh nhau?
F30: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9
người sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?
F31: Xếp 6 bạn nam và 4 bạn nữa thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khơng có 2 nữ nào đứng cạnh nhau?
F32: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh
trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Có bao nhiêu cách xếp bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau và
đối diện nhau thì khác trường với nhau?
F33: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp
sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh ln ngồi cạnh nhau?
F34: Có bao nhiêu cách xếp 3 sách Văn khác nhau và 5 sách toán khác nhau trên một kệ sách dài sao cho các sách
Tốn phải xếp kề nhau?
F35: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5
em định trước đứng kề nhau?
F36: Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các
thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau?

F37: Từ ba chữ số 7, 8, 9 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

CHUN ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

LUYỆN TẬP: HOÁN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP

I. Quy tắc cộng: Giả sử một công việc khi thực hiện có 2 phương án (chọn phương án nào cũng được).
Phương án 1 có n cách làm. Phương án 2 có m cách làm. Vậy, cơng việc đó có tất cả n  m cách làm.
II. Quy tắc nhân: Giả sử một công việc khi thực hiện phải thực hiện 2 bước (thực hiện bước 1 mới chuyển
sang bước 2). Bước 1 có n cách làm. Bước 2 có m cách làm. Vậy, cơng việc đó có tất cả n.m cách làm.
III. Hốn vị: Tập A có n phần tử. Xếp n phần tử đó thành một hàng, mỗi hàng đó là 1 hốn vị của tập A.
Cơng thức: Pn  n!  n.  n  1 ...3.2.1 với n  . Quy ước: 0!  1
IV. Tổ hợp: Tập A có n phần tử. Lấy k phần tử của tập A ta được một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử là: C nk 
Tính chất 1: C nk  C nn k

n!
k ! n  k !

Tính chất 2: C nk  C nk 1  C nk11

Tính chất 3: C n0  C n1  C n2  ...  C nn  2n

V. Chỉnh hợp: Tập A có n phần tử. Lấy k phần tử từ tập A, rồi xếp chúng thành 1 hàng ta được một chỉnh hợp

chập k của n phần tử.
Công thức: Ank 

n!
 n  k !

CHÌA KHỐ
 Xếp n phần tử thành 1 hàng  có n! cách làm
 Xếp n phần tử vào n vị trí  Có n! cách.
 Xếp n phần tử quanh 1 bàn trịn  Có  n  1 ! cách.
 Lấy k phần tử từ n phần tử  Có C nk cách.
 Lấy k phần tử từ n phần tử, rồi xếp chúng thành 1 hàng  Có Ank cách.
 Xếp k phần tử vào n vị trí  Có Ank cách.
 Tập hợp có n phần tử sẽ có C nk tập con có k phần tử.
n

F1: Tính tổng S  
k 1

Pk
Akk2

k
C100
k 0 k  1
100

F2: Tính tổng S  

F3: Số 1078000 có bao nhiêu ước dương?

F4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thỏa mãn không bắt đầu
bằng 12?
F5: Xét những số tự nhiên gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao
nhiêu số tự nhiên như thế, nếu:
a, Năm chữ số 1 được xếp kề nhau?

b, Các chữ số được xếp tuỳ ý?

F6: Có bao nhiêu cách chia 8 cái kẹo như nhau cho 3 bạn sao cho mỗi bạn được ít nhất 1 cái kẹo?
F7: Phương trình x  y  z  10 có bao nhiêu nghiệm  x; y; z  với x, y , z    ?
F8: Có 8 bơng đỏ, 9 bơng trắng và 10 bơng vàng. Hỏi có bao nhiêu cách tạo nên một bó hoa gồm 6 bơng có đủ 3
màu, trong đó số bơng vàng nhiều hơn số bơng đỏ và số bơng trắng?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

F9: Một hộp đựng 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Có bao nhiêu cách chọn ra 8 tấm thẻ trong đó có 4 tấm thẻ
mang số chẵn, 4 tấm thẻ mang số lẻ và chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10?
F10: Nhà trường tổ chức tham quan dã ngoại cho 12 thành viên tiêu biểu của Câu lạc bộ Toán học và 8 thành viên
tiêu biểu của Câu lạc bộ Tiếng Anh. Trong một trò chơi, ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 thành viên tham gia trị
chơi. Tìm số cách chọn sao cho 5 thành viên được chọn, mỗi câu lạc bộ có ít nhất một thành viên.
F11: Có 5 nhà tốn học nam, 3 nhà tốn học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đồn cơng tác 3 người cần có cả nam
và nữ, cần có cả nhà tốn học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
F12: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các
chữ số cịn lại có mặt khơng q một lần?
F13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà tổng các chữ số của nó là một số chẵn?
F14: Cho tập X có 10 phần tử. Hỏi tập X có bao nhiêu tập con khác rỗng và số phần tử của nó là số chẵn?

F15: Cho 10 điểm phân biệt A1 , A 2 ,,A10 trong đó có 4 điểm A1 , A 2 ,A 3 , A 4 thẳng hàng, ngồi ra khơng có 3 điểm
nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?
F16: Có 5 bơng hoa hồng bạch, 7 bơng hoa hồng nhung và 4 bơng hoa cúc vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bơng
hoa khơng cùng một loại?
F17: Có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh gồm 6 nam và 6 nữ ngồi vào hai hàng ghế như hình vẽ thỏa mãn nam nữ
ngồi đối diện?

F18: Cho 15 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 15 . Có bao nhiêu cách chọn 3 tấm thẻ từ 15 thẻ trên thỏa
mãn tổng 3 số ghi trên 3 thẻ là số chia hết cho 2?
F19: Cho 20 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 20 . Có bao nhiêu cách chọn 3 tấm thẻ từ 20 thẻ trên thỏa
mãn tổng 3 số ghi trên 3 thẻ là số chia hết cho 3?
F20: Cho bát giác đều 8 đỉnh A1A 2 A 3 ...A8 . Hỏi từ 8 đỉnh A1 ,A 2 ,..., A8 tạo được
a, bao nhiêu tam giác?

b, bao nhiêu tam giác vuông?

c, bao nhiêu hình vng?

d, bao nhiêu hình chữ nhật?

F21: Có 10 viên bi đánh số từ 1 đến 10. Có bao nhiêu cách lấy ra 3 viên bi từ 10 viên bi trên sao cho khơng có hai
viên bi nào đánh số liên tiếp?
F22: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số thỏa mãn chữ số đúng trước không lớn hơn chữ số đúng sau?
F23: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng, người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra khơng có đủ 3 màu?
F24: Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6 ), 5 quả bóng vàng (được đánh số từ 1 đến 5 ), 4 quả
bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4 ). Có bao nhiêu cách lấy 3 quả bóng từ hộp trên sao cho vừa khác màu, vừa
khác số?
F25: Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C thành một
hàng sao cho học sinh lớp C không ngồi cạnh học sinh lớp B ?

F26: Từ tập A  1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau trong đó có ba chữ
số chẵn, hai chữ số lẻ và chữ số 2 , chữ số 3 khơng đồng thời có mặt ?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

F27: Tìm số ngun dương n thỏa mãn:
a, C2n  n  14

b, Cn2  Cn3  4n

c, 3 An2  A22n  42  0

d, n.Pn  48Pn  2

e, Pn 1. An4 4  15Pn 2

f, 14 P3 .Cnn13  An41  0

5
g, Cn41  Cn31  An22  0
4

h, An3  Cnn 2  14n

50


F28: Tính tổng S   kC50k
k 1
n

F29: Tính tổng S   kCnk
k 1

Cnk
k 0 k  1
n

F30: Tính tổng S  

F31: Tìm số các ước số dương của số 490000.
F32: Số 35280 có bao nhiêu ước dương?
F33: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn số
4500?
F34: Cho đa giác có n đỉnh, n  , n  4 . Tìm n biết rằng đa giác đó có 135 đường chéo.
F35: Cho hai đường thẳng song song d1 và d 2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2
có n điểm phân biệt  n  3 . Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.
F36: Phương trình x  y  z  2022 có bao nhiêu nghiệm  x; y; z  với x, y , z    ?
F37: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3
tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm?
F38: Thầy giáo có 12 cuốn sách đơi một khác nhau gồm 5 cuốn Tốn, 4 cuốn Vật lý và 3 cuốn Hóa học. Hỏi có
bao nhiêu cách lấy 6 cuốn sách từ 12 cuốn trên sao cho sau khi lấy thầy vẫn cịn ít nhất 1 cuốn Tốn, ít nhất 1 cuốn
Vật lý và ít nhất 1 cuốn Hóa học?
F39: Một giải bóng đá có 8 đội tham gia trong đó có Việt Nam và Lào được chia thành 2 bảng A và B, mỗi bảng 4
đội. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để Việt Nam và Lào ở cùng 1 bảng?
F40: Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong
đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng?

F41: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu
nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng
có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A?
F42: Cơ A có 11 người bạn thân, trong đó có 6 nữ. Cơ dự định mời ít nhất 3 người trong 11 người đó đến dự tiệc.
Hỏi có bao nhiêu cách mời để trong buổi tiệc nếu tính cả cơ A và các khách mời thì số nam và số nữ bằng nhau?
F43: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau
và nhất thiết phải có 2 chữ số 1, 5?
F44: Đội thanh niên tình nguyện của một trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B
và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp
trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

F45: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và
hai chữ số còn lại phân biệt?
F46: Có bao nhiêu số gồm năm chữ số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó khơng thay
đổi? (Ví dụ: 12521 )
F47: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà tổng các chữ số của nó là một số lẻ?
F48: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 trong đó các chữ số 1 và 5 đều có mặt
2 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
F49: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
F50: Trong một cuộc hội nghị thân mật giữa Việt Nam và Lào, phái đồn Việt Nam có 5 người và Lào có 4 người.
Có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một bàn dài sao cho không có 2 người cùng quốc gia nào ngồi cạnh nhau?
F51: Một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài, mỗi loại cơ, rơ, tép, bích có 13 qn. Cần lấy từ bộ bài ra 8 quân trong
đó có 1 qn cơ, 3 qn rơ và khơng có q 2 qn bích. Hỏi có bao nhiêu cách lấy?
F52: Đề kiểm tra tập trung mơn tốn khối 11 của một trường THPT gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một

học sinh tham gia kiểm tra phải thực hiện hai đề gồm một đề tự luận và một đề trắc nghiệm, trong đó loại đề tự
luận có 12 đề, loại đề trắc nghiệm có 15 đề. Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu các chọn đề kiểm tra?
F53: Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H
và khơng có cạnh nào của tam giác là cạnh của đa giác H?
F54: Trên mặt phẳng cho hình thập giác lồi A1A 2 ...A10 . Xét các tam giác có 3 đỉnh của nó là 3 đỉnh của hình thập
giác lồi. Hỏi trong số tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều khơng phải là cạnh của hình thập
giác lồi?
F55: Hội đồng quản trị của một công ty gồm 12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra 1
chủ tịch hội đồng quản trị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2 ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách bầu sao cho trong 4
người được bầu phải có nữ?
F56: Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học
sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 4 học sinh tham gia
học sinh giỏi cấp thành phố. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối.
F57: Trong một lớp học gồm có 20 học sinh Nam và 15 học sinh Nữ. Giáo viên gọi 5 học sinh lên bảng giải bài
tập. Hỏi có bao nhiêu cách gọi để 5 học sinh lên bảng có cả học sinh Nam và học sinh Nữ?
F58: Cho lưới hình chữ nhật kích thước 3x4 gồm 20 điểm như hình vẽ. Có bao nhiêu tam giác
tạo được từ 20 điểm trên?
F59: Cho đa giác đều 2020 đỉnh A1A 2 A3 ...A 2020 . Hỏi từ 2020 đỉnh A1 , A 2 ,...,A 2020 tạo được
a, bao nhiêu tam giác?

b, bao nhiêu tam giác vng?

c, bao nhiêu hình vng?

d, bao nhiêu hình chữ nhật?

F60: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn chữ số đúng trước không nhỏ hơn chữ số đúng sau?
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến



Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

§4: NHỊ THỨC NEWTON - T1

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT

I, Hoán vị: Pn  n !  n.  n  1 ...3.2.1 , Quy ước: 0!  1
II, Tổ hợp: Cnk 

a 0  1  a  0

n!
k ! n  k !

1
 a n
an

Tính chất 1: Cnk  Cnn  k
III, Chỉnh hợp: Ank 

Tính chất 2: Cnk  Cnk 1  Cnk11

m

Tính chất 3: Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2 n

n


a n a m  a n m

n!
 n  k !

n

a
 a nm
am

n

n

IV, Khai triển:  a  b    Cnk a n k bk  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n 2 b 2  ...Cnn 1a.b n 1  Cnn b n

n m

a 

k 0
n

am  a n

n

 ab 


Đặc Biệt: 1  b    Cnk bk  Cn0  Cn1b  Cn2 b 2  ...  Cnn 1bn 1  Cnn b n

n

 a nm
 a nbn

n

n
a a

 
bn
b

k 0

50

 1

F1: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển  3  x 2  .
x


n

1 


F2: Tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x trong khai triển  2 x  2  , biết n thỏa mãn 2Cn1  Cn2  90 .
x 

n

 2

F3: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  3  x 2  , x  0 . Biết C20n 1  C21n 1  C22n 1  C23n 1  ...  C22nn11  229 .
 x

n

1

F4: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của  2 x 3   biết An2  Cnn11  4n  6 .
x

n

2

F5: Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển  x 2   biết n thỏa mãn 4Cn31  2Cn2  An3 .
x

n

1 

F6: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  3 x  4  , x  0 biết n thỏa mãn 2  Cn2  Cn3   3n 2  5n .

x

n

2

F7: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển   x 3  , x  0 biết n thỏa mãn Cnn46  nAn2  454 .
x

n

3

F8: Cho n thỏa mãn 3Cn2  2 An2  3n 2  15 . Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển  2 x 3  2  , x  0 .
x 

n

2

F9: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x 3   ,  x  0  . Biết rằng n thỏa mãn 4Cn31  2Cn2  An3 .
x

5

10

F10: Cho  x  1

 x  2   a11 x11  a10 x10  a9 x 9  ...  a1 x  a0 . Tìm giá trị của


10

F11: Cho 1  2 x 

2 2

3  4x  4x 

a7 .

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a14 x14 . Tìm giá trị của a6 .
5

10

F12: Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển P  x   x 1  2 x   x 2 1  3x  .
n

F13: Cho n thỏa mãn 6Cnn11  An2  160 . Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển 1  2 x 3   2  x  .
n

F14: Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển P  x 1  2 x   x 2 1  3 x 
2

3

12

F15: P  x   1  2 x   1  2 x   1  2 x   ...  1  2 x 

2

3

2n

biết rằng An2  Cnn11  5

được viết về dạng P  x   a0  a1 x  ...  a12 x12 . Tính a11
14

F16: Xét đa thức P  1  3 x   2 1  3x   3 1  3x   ...  14 1  3x  . Rút gọn   a0  a1 x  ...  a14 x14 . Tìm a13 .
F17: Cho khai triển  3 x  2 

2020

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2020 x 2020 . Tính tổng S  a1  a3  a5  ...  a2017  a2019 .

Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716
6

2

F18: Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển  x  2  bằng
x



A. 1
B. 60
C. 12
D. 6
12
1

F19: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  x 2  
x

A. 495
B. 792
C. 924
D. 220
10
1

F20: Hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển   x 3  bằng
x


A. 165
B. 210
C. 792
D. 252
10
2


F21: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  x 2  3 
x 

A. 8064
B. 3360
C. 13440
D. 11520
6
2 

3
F22: Cho khai triển  x 
 với x  0 . Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển trên.
x

A. 80.
B. 160.
C. 240.
D. 60.
2
n
F23: Biết hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (1  3x ) là 90 . Tìm n .
A. n  5
B. n  4
C. n  8
D. n  10
n
2

1

2
F24: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn  78 . Số hạng không chứa x trong khai triển  x  3  bằng
x 

A. 3960 .
B. 220 .
C. 1760 .
D. 59136
n
2
n
F25: Cho 1  2 x   a0  a1 x  a2 x  ...  an x thỏa mãn a0  a1  ...  an  729 . Tìm hệ số a4 trong khai triển.
A. 560
B. 280
C. 240
D. 60
40
1

F26: Tìm số hạng chứa x 31 trong khai triển  x  2  .
x 

31
31
A. 3838380 x .
B. 9880 x .
C. 780 x 31.
D. 23702 x 31.
10


2

F27: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức  x 2   bằng
x

A. 3124 .
B. 2268 .
C. 13440 .
2

D. 210 .

21

2

F28: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton  x  2  ,  x  0, n  *  .
x


7 7
8 8
8 8
A. 2 C21 .
B. 2 C21 .
C. 2 C21 .
D. 27 C217 .
8

F29: Hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển x 3 1  x  bằng

A. 28 .
B. 70 .
C. 56 .
D. 56 .
6
2 

F30: Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển  x 
 bằng
x

A. 60 .
B. 80 .
C. 160 .
D. 240 .
10
1

F31: Hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển   x 3  bằng
x

A. 792 .
B. 210 .
C. 165 .
D. 252 .
2018
2
2018
F32: Cho khai triển  x  2   a0  a1 x  a2 x  ...  a2018 x . Tính tổng S  a0  a1  a2  a3  ...  a2017  a2018
A. S  0

B. S  32018
C. S  32018
D. S  1
200
2
200
F33: Cho khai triển  x  2   a0  a1 x  a2 x  ...  a200 x . Tính tổng S  a0  a2  a4  ...  a2016  a2018
A. S  3199

B. S 
104

F34: Cho khai triển  2 x  1
A. S 

1  3104
2

3200  1
2

C. S 

3200  1
2

D. S  3199  1

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  a104 x104 . Tính tổng S  a1  a3  a5  ...  a101  a103


B. S  1  3103

C. S  1  3103
2

D. S 
3

12

1  3104
2

9
F35: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển P  x   1  x   1  x   1  x   ...  1  x  là
A. 3003
B. 66
C. 286
D. 1001
Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


Đ/c: Số 32 - Ngõ 3 - Đường 2 - Tàm Xá - Đông Anh - Hà Nội - : 037.904.0716

TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

§4: NHỊ THỨC NEWTON - T2

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT


I, Hoán vị: Pn  n !  n.  n  1 ...3.2.1 , Quy ước: 0!  1

a0  1  a  0
1
 a n
an
m

n!
II, Tổ hợp: Cnk 
k ! n  k !

Tính chất 1: Cnk  Cnn  k
III, Chỉnh hợp: Ank 

Tính chất 2: Cnk  Cnk 1  Cnk11

Tính chất 3: Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n

n

am  a n
a a m  a nm
n
a
 a nm
m
a m
 a n n  a nm
 ab   a n bn

n
an
a
   n
b
b
n

n!

 n  k !
n

n

IV, Khai triển:  a  b    Cnk a n k bk  Cn0 a n  Cn1a n 1b  Cn2 a n 2 b2  ...Cnn 1a.bn 1  Cnn bn
k 0
n

n

Đặc Biệt : 1  b    Cnk bk  Cn0  Cn1b  Cn2 b2  ...  Cnn 1bn 1  Cnn bn
k 0

n

 1

F1: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  3  x 5  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 4096.
x


8

n

1

F2: Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển   x 3  , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.
x

n

2 

6
7
8
9
8
F3: Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển  3 x 
 , x  0 biết n thỏa mãn Cn  3Cn  3Cn  Cn  2Cn  2
x

2

 x2

3n
F4: Tìm hệ số của x10 trong khai triển   x  1  x  2  với n thỏa mãn An3  Cnn 2  14n .
4



4
F5: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (1  2 x  3x 2 )10 .

F6: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (1  2 x 2  x 3 )8 .
F7: Tìm hệ số của số hạng chứa x 7 trong khai triển (2  x  2 x 3 )7 .
F8: Tìm hệ số của số hạng chứa x 9 trong khai triển ( x 2  3x  2)6 .
F9: Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển (2 x 3  x  4)12 .
F10: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển 1  4 x  3x 2 

n 2

biết Cn3 4 

1 3
An 3  7  n  3 .
6

n

F11: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển 1  x  3x 2  với n là số nguyên dương thỏa mãn An1  An2  An3  156 .
9

1

F12: Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 sau khi khai triển   x  2 x 2  , x  0 .
x

5


1

F13: Tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x khi khai triển   x  x 2  , x  0 .
x



F14: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển: a,



3

16  3



7

b,



3

27  2




9

10

 1 3 
c, 
 5
 2


10

 2 5 
d, 
 2
 3


10

1 2 
F15: Khai triển   x  thành a0  a1 x  a2 x 2  ...  a10 x10 . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 , a1 ,..., a10 .
3 3 
9

F16: Khai triển  2  3x  thành a0  a1 x  a2 x 2  ...  a9 x 9 . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 , a1 ,..., a9 .
F17: Khai triển 1  3x 

30


thành a0  a1 x  a2 x 2  ...  a30 x 30 . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 , a1 ,..., a30

n

F18: Khai triển 1  2 x   a0  a1 x  ...  an x n với n là số nguyên dương và a0 

a1 a2
a
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong
2 22
2

các số a0 , a1 ,..., an .
F19: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C21n 1  C23n 1  ...  C22nn11  1024 .
16
17
18
 C31
 C31
 ...  C3130 .
F20: Tính tổng S  C31

F21: Tìm số nguyên dương n biết C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  220 .
1
F22: Tính tổng S  C510  C51
 ....  C5124  C5125 .
1010
1011
1012
2019

 C2019
 C2019
 ....  C2019
F23: Tính tổng S  C2019
.

Nhóm Facebook: Nhóm 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

HÌNH KHƠNG GIAN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716

§1: GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG - THIẾT DIỆN

F1: Cho tứ diện ABCD. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho

AM
AN 1
1,
 . Xác định giao
MB
NC 2

tuyến của mặt phẳng  DMN  và mặt phẳng  BCD  .
F2: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD khơng song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a, SAC  và SBD 
b, SAB và SCD 

F3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SA.
a, Tìm giao tuyến của mặt phẳng  MNP  và mặt phẳng SAC  .
b, Tìm thiết diện do mặt phẳng  MNP  cắt hình chóp.
F4: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho M không là trung
điểm của đoạn CD. Tìm thiết diện do mặt phẳng  HKM  cắt tứ diện.
F5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Trên đoạn SO lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a,  ABM  và SCD 

b, SAD  và SBC 

F6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AC BC. Trên đoạn BC lấy điểm N sao cho CN  2NB . Trên đoạn BD lấy
điểm P sao cho BP  2PD . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  MNP  và  ABD  .
F7: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M là trung điểm của AD. Gọi I, J là 2 điểm lần lượt nằm trên hai đoạn
thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  MBC  và  IJD  .
F8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên đoạn SB sao cho BM  2SM , N là trung
điểm của BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng  DMN  với các mặt phẳng SAC  .
F9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng SBD 
với mặt phẳng  MNP  .
F10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Trên tia đối của tia BC lấy E sao cho
EB 

1
BC . Tìm thiết diện do mặt phẳng  EMD  cắt hình chóp S.ABCD.
2

F11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt thuộc SA, SD sao cho AM  2MS ,
SN  2ND . Tìm thiết diện do mặt phẳng  MNC  cắt hình chóp.

F12: Cho hình chóp S.ABCD có M thuộc SA sao cho


SM 1
 , N là trọng tâm tam giác SCD, P là trung điểm của BC. Xác
SA 3

định thiết diện của mặt phẳng  MNP  với hình chóp.
F13: Cho hình chóp S.ABCD có AD / / BC , AD  BC , G là trọng tâm tam giác SCD.
a, Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD  .
b, Xác định thiết diện của mặt phẳng  ABG  với hình chóp.
F14: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB và G là trọng tâm tam giác ACD. N là một điểm thuộc cạnh BC sao
cho CN  2NB . Xác định thiết diện khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng  MNG  .
F15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

 MBC .
F16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm trên đoạn SB sao cho SM=2BM , N là là điểm
trên đoạn BC sao cho BN=2NC , P là trung điểm SD. Tìm thiết diện của mặt phẳng  MNP  cắt hình chóp.
F17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO.
Tìm thiết diện mặt phẳng  MNP  cắt hình chóp.
F18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. M, N, I lần lượt là trung điểm DC, BC và SO. Xác định thiết
diện của mặt phẳng  IMN  với hình chóp S.ABCD.

Tham gia nhóm facebook: NHĨM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

HÌNH KHƠNG GIAN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716

§2: GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG


F1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang  AB / /CD, AB  CD  . Gọi I, J là trung điểm của SB và SC.
a, Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD  và SBC  .
b, Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng  AIJ  .
F2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC. Trên tia đối của tia BC
Lấy điểm E là đối xứng của điểm C qua B.
a, Tìm thiết diện của hình chóp với  EMD 

b, Tìm giao điểm của  EMD  và SO.

F3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên đoạn SA. Gọi N là điểm trên cạnh AB.
a, Tìm giao điểm của CM và  SBD 

b, Tìm giao điểm của SD và  CMN 

F4: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AC và AD lần lượt lấy M và N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là
điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của  OMN  với BC, BD
F5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, CD, BC.
a, Tìm giao điểm của IK và SBD 

b, Tìm giao điểm của  IJK  với SC

F6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh
CD. Tìm giao điểm của IJ và  ABM  .
F7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm thuộc đoạn SB sao cho SB  3BM ,
G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm J của MG và SAC  .
F8: Cho hình chóp S.ABCD có M thuộc SA sao cho

SM 1
 , N là trọng tâm tam giác SCD, P là trung điểm BC.

SA 3

a, Tìm giao điểm của MN với  ABCD  .

b, Tìm thiết diện của  MNP  với hình chóp.

F9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SBC và SCD.
a, Tìm giao điểm của MN và SAC 

b, Tìm giao điểm của SC và  AMN  .

F10: Cho hình chóp S.ABCD có AB / /CD, AB  CD . Gọi K, M là các điểm lần lượt thuộc cạnh AB và DC sao
cho KM / / CB , I là điểm thuộc cạnh SD.
a, Xác định giao điểm của IK với SAC 

b, Xác định thiết diện của  IMK  với hình chóp.

F11: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy A, B, C bất kì.
a, Tìm giao điểm I, D ' của lần lượt SO, SD và  ABC

b, CMR:

SA SC SB SD



.
SA SC SB SD

Tham gia nhóm facebook: NHĨM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến



TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

HÌNH KHƠNG GIAN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716

§3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG - BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

F1: Cho mặt phẳng  P  và ba điểm A, B, C không thẳng hàng đều nằm ngoài mặt phẳng  P  . Giả sử BC, CA, AB
lần lượt cắt mặt phẳng  P  tại D, E, F. Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
F2: Cho hai mặt phẳng   và    cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy hai điểm A, B thuộc mặt phẳng   nhưng
không thuộc d và một điểm O nằm ngoài   và    . Các đường thẳng OA, OB lần lượt cắt    tại A và B .
Giả sử đường thẳng AB cắt d tại C. CMR: 3 đường thẳng AB, AB và d đồng quy.
F3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, MN. Gọi G là trọng tâm của tam
giác BCD. Chứng minh rằng A, I, G thẳng hàng.
F4: CMR: Trong một tứ diện ABCD, ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện đồng quy (điểm đó gọi là
trọng tâm của tứ diện).
F5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD khơng là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD, K là một điểm
trên đoạn SD.
a, Tìm giao điểm E của CD và mặt phẳng  ABK 
b, Tìm giao điểm F của SC và mặt phẳng  ABK 
c, Chứng minh rằng các đường thẳng AF, BK và SO đồng quy
F6: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt
AD tại H  I  C;H  D  . Chứng minh CD, IG, HF đồng quy.
F7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
a, Tìm giao điểm I của đường thẳng SD với mặt phẳng  BMN  .
b, Tính tỉ số


SI
.
SD

F8: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SA, N thuộc đoạn SB sao cho
a, Tìm giao điểm I của đường thẳng SD với mặt phẳng  CMN  .
b, Tính tỉ số

SI
.
SD

Tham gia nhóm facebook: NHĨM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến

SN 2
 .
SB 3


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716

F9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của SB,
SD. Điểm P thuộc SC và không là trung điểm của SC.
a, Tìm giao điểm của mặt phẳng  MNP  và SO
b, Tìm giao điểm Q của mặt  MNP  và SA
c, Gọi QM  AB= F , QP  AC= G , QN  AD= H . Chứng minh ba điểm F, G, H thẳng hàng
F10: Cho hình chóp S.ABCD có E là một điểm nằm trên cạnh BC, F là một điểm trên cạnh SD
a, Tìm giao điểm K của BF và mặt phẳng  SAC 

b, Tìm giao điểm J của EF và mặt phẳng  SAC 
c, Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng
F11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình hình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB
và AD, G là trọng tâm tam giác SAD đường thẳng BN cắt CD tại K.
a, Chứng minh ba điểm M, G, K thẳng hàng.
b, Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  MCG  . Thiết diện là hình gì?
F12: Chóp S.ABCD có AB không song song với CD, M là trung điểm của SC và O là giao điểm của AC và BD.
a, Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và  SCD  .
b, Xác định giao điểm N của SD và  MAB  .
c, Chứng minh SO, AM và BN đồng quy.
F13: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là trung điểm của SA, đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  ABCD  , đi
qua điểm C và song song với BD. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  M,  .
F14: Cho tứ diện ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của A qua C. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt
phẳng đi qua B, E, F với F nằm trong tam giác ACD.
F15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của DC và SO. Điểm
M thuộc đoạn thằng SB sao cho SM  3MB . Xác định thiết diện của mặt phẳng  IMN  với hình chóp S.ABCD.
F16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Lấy M thuộc đoạn thẳng BC sao cho
BM  3MC , lấy N là trung điểm của đoạn thẳng SO.

a, Tìm giao điểm của MN và  SAD 
b, Tìm thiết diện của mặt phẳng  MNA  cắt hình chóp S.ABCD
Tham gia nhóm facebook: NHĨM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

QUAN HỆ SONG SONG - HÌNH KHƠNG GIAN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716


§4: ĐỊNH LÝ MENELAUS

1) Định lý Talét:

M

N

A

A

AM AN MN
MN / / BC 


AB
AC
BC

M

N
C

B

B

C


A

2) Định lý Menelaus: Cho tam giác ABC , đường thẳng d cắt AB, BC, AC lần lượt

d
P

AM BN CP
tại M, N, P (như hình vẽ). Ta có
.
.
1
MB NC PA

M

N
C

B

A

F1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên đoạn AM lấy điểm I sao cho AI  4MI .
Đường thẳng BI cắt AC tại P. Tính tỉ số

PA
.
PC


P
I
B

9
F2: Cho tam giác ABC có AB  4 , AC  . Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy
2

M

C

A

các điểm M, N sao cho AM  AN  3 . Gọi O là giao điểm của BN và CM .

N

O

M

OB OC
Tính
.

ON OM

C


B

F3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB.
a, Gọi N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AN  3NC . Tính tỉ số

KB
KC

A

biết K là giao điểm của MN và BC

M
F

b, Gọi E là điểm đối xứng với B qua C. Gọi F là giao điểm của ME và

N
C

B

AF
AC. Tính
.
AC

K


E

A

F4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Gọi N là điểm

N

P

thuộc đoạn AB sao cho NB  3NA . Gọi P là giao điểm của AM và

Q
CN. Gọi Q là giao điểm của MN và BP. Tính

QN
.
QM

B
F

F5: Cho tam giác ABC có AC  2AB và AD là đường phân giác của
A

 . Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng song
góc BAC
song với AD, cắt AC, AB lần lượt tại E , F. Tính tỉ số

CE FA EF

,
,
.
CA FB EM

C

M

E

B

D

Tham gia nhóm facebook: NHÓM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến

M

C


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716

F6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm của tam
giác SAD.
a, Tìm giao điểm J của  OMG  và AD. Tính


JA
.
JD

b, Tìm giao điểm K của  OMG  và SA. Tính

KA
KS

F7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.
a, Tìm giao điểm I của AM và mặt phẳng  SBD  . Chứng mình IA  2IM
b, Tìm giao điểm F của SD và  ABM  . Chứng minh F là trung điểm của SD
F8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Gọi
P, Q lần lượt là giao điểm của  BMN  với SD, SC. Tính các tỉ số

SP
SC
và
PD
SQ

F9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm thuộc đoạn
SB sao cho SN  2NB .
a, Tìm giao điểm I của  OMN  và AD. Tính tỉ số

AI
ID 

b, Tìm giao điểm J của  OMN  và BC. Tính tỉ số


BJ
JC

F10: Tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AC, N thuộc đoạn BC sao cho BC  4BN . Trên đoạn BD lấy điểm
P sao cho BP  2PD .
a, Tìm giao điểm I của đường thẳng CD với mặt phẳng  MNP 

b, Tính tỉ số

CI
ID

F11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC.
a, Tìm giao điểm I của mặt phẳng  BMN  với SD.

b, Tính tỉ số

SI
SD

F12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC, N thuộc đoạn thẳng SD sao
cho SD  4SN . Tìm giao điểm K của SC cắt mặt phẳng  AMN  . Tính

SK
KC

F13: Cho tứ diện ABCD với P,Q lần lượt là trung điểm của AB,CD . Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC sao cho
BR  2RC . Tìm giao điểm S của cạnh AD với mặt phẳng  PQR  . Tính tỉ số

SD

.
SA

F14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SD . Tìm giao điểm I
của đường BM với mặt phẳng  SAC  và tính tỉ số

BI
IM

F15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SB , N là điểm thuộc
đoạn SD sao cho SN  2ND . Tìm giao điểm E của đường MN và mặt phẳng  ABCD  . Tính tỉ số

EN
EM

F16: Cho hình chóp S.ABC . Gọi K, N lần lượt là trung điểm của SA và BC . M là điểm thuộc đoạn SC sao cho
3SM  2MC .

a, Mặt phẳng  KMN  cắt AB tại I . Tính tỉ số

IA
.
IB

b, Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng  KMN 

F17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SD, N thuộc đoạn SB sao cho
SN 3
SP SQ
 . Tìm giao điểm P, Q của mặt phẳng  CMN  với SO, SA. Tính tỉ số

,
.
SB 4
SO SA

Tham gia nhóm facebook: NHĨM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến


TRUNG TÂM LUYỆN THI THẦY TIẾN

HÌNH KHƠNG GIAN

Đ/c: Số 32 – Ngõ 3 – Đường 2 – Tàm Xá – Đông Anh – Hà Nội. : 037.904.0716

§5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

F1: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm phân biệt P, Q. Chứng minh rằng hai đường thẳng CP và DQ
chéo nhau.
F2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và
SAD, E là trung điểm của BC.
a, Chứng minh rằng MN / / BD .

b, Dựng thiết diện do mặt phẳng  MNE  cắt hình chóp.

c, Gọi H, K lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  MNE  với các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng HK / / BD .
F4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm của tam
giác SAD.
JA
KA
a, Tìm giao điểm J của  OMG  và AD. Tính

.
b, Tìm giao điểm K của  OMG  và SA. Tính
.
JD
KS
F5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB . Tìm thiết
diện do mặt phẳng  GCD  cắt hình chóp S.ABCD.
F6: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC. Điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AD. Gọi
d là giao tuyến của  MIJ  và  ABD  . Biết d cắt BD tại N, IN cắt JM tại K. Tìm tập hợp điểm K khi M di chuyển
trên đoạn thẳng AD.
F7: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD  AB  CD  . Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA và SB.
a, Chứng minh rằng MN và CD song song.

b, Tìm giao điểm P của SC và  ADN 

c, AN cắt DP tại I. CMR: SI, AB, CD đôi một song song. Tứ giác SABI là hình gì?
F8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.
a, Tìm thiết diện mặt phẳng  GMN  cắt khối chóp. Thiết diện là hình gì?
b, Tìm điều kiện của hình thang ABCD để thiết diện là hình bình hành.
F9: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SA và SC
a, Tìm giao tuyến  DMN    ABCD  .
b, Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  DMN  .
F10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung
điểm của OB.
SI
a, Tìm giao điểm I của SD với mặt phẳng  AMN 
b, Tính tỉ số
ID

F11: Trên tứ diện ABCD lấy P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD. Lấy R trên BC sao cho BR  2RC . Gọi S là
AS
giao điểm của AD và mặt phẳng  PQR  . Tính tỉ số
.
SD
F12: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi G là trung điểm của MN. Gọi I là giao
điểm của đường thẳng AG và mặt phẳng  BCD  . CMR: I là trọng tâm tam giác BCD.
F13: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD // BC và AD = 2BC. Gọi G là trọng tâm của SCD.
HB
a, Xác định giao tuyến của  SAD  và  SBC 
b, Tìm giao điểm H của BG và  SAC  , tính tỉ số
HG
F14: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC.
MI
a, Tìm giao tuyến của  CMN  và  SBD 
b, Tìm giao điểm I của MN và  SBD  , tính tỉ số
MN
Tham gia nhóm facebook: NHĨM 2005 - Trung Tâm Thầy Tiến