s

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương
pháp đổi biến số
Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hằng
* Mã sáng kiến: 0552

BÁO CÁO KẾT QUẢ

Vĩnh Phúc, Năm 2020


NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Chúng ta đang sống trong thế kỉ 21, thế kỉ của khoa học, công nghệ và hội nhập.
tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát triển xã
hội, trong đó giáo dục đóng phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con người.
Trong việc đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ở trường trung học phổ
thông, việc rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học học sinh có vai trị quan trọng vì: Đó
là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thơng. Việc giải tốn là hình thức chủ yếu của
hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải tốn
là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng. Rèn luyện kỹ
năng giải tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư
duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến

thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng
lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu.
Trong Chương trình phổ thơng, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan
trọng trong Tốn học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện
tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, nó là một trong những cơ sở để nghiên cứu
Giải tích hiện đại. Ngồi ra phép tính tích phân cịn được ứng dụng rộng rãi trong Xác
suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...
Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó có
mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG, thi học sinh giỏi các cấp. Hiện nay
với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân cịn được u cầu rộng hơn và đòi hỏi
học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm ẩn đã được đưa vào để
yêu cầu học sinh phải tư duy cao hơn, bản chất hơn. Mặc dù đã được học kỹ các
phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn
đa số các em cịn nhiều lúng túng và thậm chí là khơng định hình được lời giải các bài
tốn dạng này. Đặc biệt khi sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân, nhiều
em đã nắm rất chắc phương pháp này nhưng vẫn không sử dụng được trong bài tính
tích phân hàm ẩn.
Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên khơng phải chỉ
truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách
hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách giập khn, máy móc, làm cho học sinh học
tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn
ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ khơng cao. Nó là một trong những
ngun nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự
tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học mơn
tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy người
giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng lại

1



khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế và biết kết hợp các
phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp.
Vì những lí do đó, tơi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là:
“Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số”
2. Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi
biến số”.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Hằng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Số nhà 38B ngõ 4 Chùa hà, Vĩnh yên, Vĩnh phúc
- Số điện thoại:.0963325970 E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Hằng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Cơng tác giảng dạy mơn Tốn trong trường THPT
đặc biệt ôn thi THPT quốc gia.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 01/12/2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung của sáng kiến:
7.1.1. Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất
từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học
a. Định nghĩa
Cho hàm số

liên tục trên

nguyên hàm của

trên

đến


và kí hiệu là

của

trên đoạn

và

là hai số bất kỳ thuộc

thì hiệu số

. Nếu

là một

được gọi là tích phân của

. Trong trường hợp

, ta gọi

từ

là tích phân

.

Người ta dùng kí hiệu

ngun hàm của

trên

để chỉ hiệu số

thì

. Như vậy Nếu

là một

.

b. Tính chất
Giả sử

liên tục trên

và

;

là ba số bất kì thuộc
;
;

Chú ý là nếu

. Khi đó ta có


với mọi

với

.

thì

2


c. Phương pháp đổi biến số
Tính tích phân
,trong đó hàm số
xác

.Giả sử
có đạo hàm trên

định

trên

được viết dưới dạng

, hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp

và


là

hai

số

thuộc

.

Khi

đó

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho
.Như vậy tích phân khơng phụ thuộc vào biến tức là
7.1.2. Các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân hàm ẩn
thường gặp
DẠNG 1: ĐỔI BIẾN LOẠI 1
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức
* Nếu

với mọi

thì

,

* Các cơng thức về đạo hàm
* Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng

* Cho

đó ta đặt

tính

hoặc cho

tính

khi

rồi áp dụng

Tóm lại: Đối với dạng này khi tác giả cho hàm

thì đặt

Các ví dụ minh họa
VD1: Cho
A.

.

. Tính
B.

.

C.

Hướng dẫn giải

.

D. .

Chọn D
Xét tích phân
Đặt

ta có
. Khi

thì

; khi

thì

.

3


Do đó

.

VD2: Cho hàm số


liên tục trên

Tính tích phân
A.

và thỏa mãn

.

.

.

B.

Chọn B
Đặt
Với

.

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.


.
và

.

Ta có

.
VD3: Cho hàm số

liên tục trên R, thỏa mãn

Tính
A.

.

.
.

B.

.

C.

.

D.


.

Hướng dẫn giải:
Chọn A
Đặt

. Đổi cận:
(Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số

tích phân)
VD4: Cho hàm số
Biết rằng
A.

liên tục trên

thỏa mãn

. Giá trị của tích phân
.

B.

.

C.
Hướng dẫn giải

,


.

bằng bao nhiêu?
.

D.

.

Chọn A

4


Xét tích phân
Với

, đặt
,

.
.

Ta có

.

Mặt khác, ta có
.
VD5: Cho

A.

.

. Khi đó
B. .

bằng:

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn D
Đặt

.

Đổi cận:

,

.

Khi đó:


.

Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên:
VD6: Cho
A.

.

.

. Khi đó
B. .

bằng

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn D
Đặt
Đổi cận:

;


.

Khi đó:
VD7: Cho hàm sớ
A.

.

.
liên tục trên
B.

.

và

. Tính

C. .
Hướng dẫn giải

D.

.

Chọn C
Đặt

. Đổi cận:


,

.

5


Ta có:

.

VD8: Cho hàm số

liên tục trên

Tính
A.

thỏa

và

.

.
.

B.


.

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn B
+ Xét

.

Đặt

;

;

.

Nên

.

+ Xét


.

Đặt

;

;

.

Nên

.

+ Xét

.

* Tính

.

Đặt

.

Khi

,


;

;

.
.

* Tính

.

Đặt
Khi

.
,

;

;

.
.

Vậy

.

6



VD9: Cho hàm số

liên tục trên

thỏa

Khi đó tích phân
A.

.
bằng

.

B. .

C.
Hướng dẫn giải

.

D. .

Chọn B
Xét

.

Đặt


Đổi cận:

;

.
Suy ra

.

VD10: Tìm tất cả các giá trị dương của

để

, với

.
A.

.

B.

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.


.

Chọn D
+ Từ

do đó
.

+ Tính tích phân

:

 Đặt

,

,

 Do đó

. Ta có

Thay lần lượt các giá trị

ở 4 đáp án, nhận giá trị

.

7



Chú ý:
- Việc giải phương trình

khơng cần thiết nên chọn phương

pháp thế đáp để làm trắc nghiệm trong bài này.
- Để giải phương trình

ta xét hàm trên

với

thì chứng minh được phương trình có nghiệm

duy nhất
.
DẠNG 2 : ĐỞI BIẾN LOẠI 2
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức
Cho hàm số

thỏa mãn :

+) Với

thì

.


+) Với

thì

.

Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số
*Nếu

liên tục trên

.

thì

.

*Thực chất việc chỉ ra các kết quả trên rất đơn giản ta áp dụng tính chất
cụ thể:

Ta có :
+

(do ta đặt

)

8



+

Thay vào (*) Ta được

Các ví dụ minh họa
VD1: TH
Xét hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn
. Tính giá trị của tích phân

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.


Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng cơng thức – Dạng 2)
Với:

. Ta có:
và

thỏa mãn

.

Khi đó áp dụng cơng thức có:
.
Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu khơng nhớ cơng thức)
Từ

+) Đặt

.

; với

và

.

Khi đó

9



+) Đặt

; Với

và

.

Khi đó
Thay

vào

VD2: TH

ta được:

.

Xét hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn

. Tính giá trị của tích phân
A.


.

B.

.

C.

.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: (Dùng cơng thức)
Với:

. Ta có:
;

;

và

thỏa mãn


.

Khi đó áp dụng cơng thức ta có:
.
Cách 2: (Dùng cơng thức đổi biến nếu khơng nhớ cơng thức)
Từ
. (*)
+) Đặt

; Với

và

Khi đó
+) Đặt
Khi đó

.

(1).
; Với

và

.

(2).

Thay (1), (2) vào (*) ta được:


10


.
VD3(Khuyết A): Xét hàm số

A.

.

B.

liên tục trên

và thỏa mãn điều kiện

. Tích phân

bằng

.

C.

.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Từ:

+) Đặt

; Với

và

.

Khi đó
+) Đặt

; Với

và

.

Khi đó
Thay

vào

ta được:
.

VD4(Khuyết B): Xét hàm số

liên tục trên đoạn


và thỏa mãn

. Tích phân
A.

.

B.

.

bằng
C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt

.

Suy ra
.


11


Suy ra

.

Chú ý: Ta có thể dùng cơng thức
Từ

. Khi đó:

suy ra:
.

VD5(Khuyết C): Cho hàm số

và thỏa mãn

Tích phân
A.

.

với
B.

.

.


và

C.
Hướng dẫn giải

tối giản. Tính
.

D.

.

Chọn A
Cách 1: (Dùng cơng thức).
Biến đổi

với

Áp dụng cơng thức ta có:

.

Đặt

; Với

và

.


Khi đó:

Suy ra

.

Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu khơng nhớ cơng thức)
Từ

Đặt
Khi đó

; Với

và

.

thay vào (*), ta được:

12


Đặt

; Với

và


.

Khi đó:

Suy ra

.

DẠNG 3 : ĐỞI BIẾN LOẠI 3
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức
Cách giải: Lần lượt đặt
đó có ẩn

và

) để suy ra hàm số

để giải hệ phương trình hai ẩn (trong
(nếu

thì chỉ cần đặt một lần

).
Các kết quả đặc biệt:
Cho

với

) khi đó:
(*)


+) Hệ quả 1 của (*):
+) Hệ quả 2 của (*):
với

là hàm số chẵn.

Các ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số
Tính
A.

liên tục trên

và

.

.
.

B.

.

C.

.

D.


.

Hướng dẫn giải
Chọn A

13


Đặt,

khi

Hay

đó

điều

kiện

trở

, kết hợp với điều kiện

thành

. Suy ra :

.

Chọn B
VD2: Cho hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn

,

A.

.

. Tính

B.

.

C.

theo

.

D.

.

.


Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt

Khi đó

. Đổi cận

.

.

Mà
Nên
Đặt
Khi đó

(*)
. Đổi cận

.
.

14


VD3: Xét hàm số

liên tục trên


và thỏa mãn điều kiện

. Tính tích phân
A.

.

B.

.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng cơng thức)
Với

ta có

.


Suy ra:

.

Áp dụng kết quả
“Cho

(Với

) khi đó

”.
Ta có:
.
Suy ra:

.

Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
Từ
Đặt

; Với

Suy ra

thay vào

và


.

, ta được:

.
VD4: Cho hàm số

liên tục trên

và thỏa mãn

.

Tính giá trị của

15


A.

.

B.

.

C.

.


D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: (Dùng cơng thức).
Với

ta có

.

Suy ra

.

Cách 2: (Dùng cơng thức)
Áp dụng Hệ quả 1:

.

Ta có:

(Casio).
VD5: Cho hàm số

liên tục trên


và thỏa mãn

. Tính giá trị của

A.

.

B.

.

C.

.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: (Dùng cơng thức)
Với

ta có

Suy ra


Đáp án C

Cách 2:
Áp dụng Hệ quả 2:
với

là hàm số chẵn.

16


Ta có

Đáp án C
DẠNG 4 : ĐỞI BIẾN LOẠI 4
Khi trong giả thiết bài toán có
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức
* TINH CHÂT HÀM CHẴN
1. Nếu hàm

chẵn thì

2. Nếu hàm

chẵn thì

*TÍNH CHẤT HÀM LẺ
1. Nếu hàm


lẻ thì

2. Nếu hàm

chẵn thì

Các ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số

và
A.

là hàm lẻ và liên tục trên

. Tính
.

biết

.

B.

.
C.
Hướng dẫn giải

.

D.


.

Chọn B
Cách 1: Sử dụng cơng thức:

với

là hàm số lẻ trên đoạn

và tính chất

.

Áp dụng, ta có:


.



17


Suy ra:
.
Cách 2: Xét tích phân
Đặt
Đổi cận: khi


.

.
thì

; khi

thì

do đó
.

Do hàm số

là hàm số lẻ nên

.

Do đó
Xét

.
.

Đặt

.

Đổi cận: khi


thì

; khi

thì

do đó

.

Do

.

VD2: Cho hàm số chẵn
A.

.

liên tục trên
B.

.

và

. Tính

C. .
Hướng dẫn giải


.
D.

.

Chọn D
Ta có
Đặt

.
, khi đó
.

Suy ra

.

18


Vậy

.

VD3: Cho
Kết quả
A.

là hàm số chẵn liên tục trong đoạn


và

.

bằng
.

B.

.

C.
Hướng dẫn giải

.

D.

.

Chọn A

Xét
Đặt

, đổi cận:

,
.


Lại có

.

Suy ra:
.
VD4: Cho

là hàm số chẵn và liên tục trên

Biết

. Giá trị của
A. .

B.

.

C.
Hướng dẫn giải

bằng
.

D. .

Chọn D
Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn

Ta có:

, với

là hàm số chẵn và liên tục trên

.

Áp dụng ta có:

19


Cách 2: Do

và

.

Mặt khác

và

là hàm số chẵn, liên tục

trên
.
Xét

. Đặt


Suy ra

.
DẠNG 5 : ĐỔI BIẾN LOẠI 5
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức
Bài tốn: Cho hàm số

thỏa mãn

(ln đồng biến hoặc nghịch biến) trên

và

là hàm đơn điệu

.Hãy tính tích phân

.

Cách giải: Đặt
Đổi cận
Suy ra
Các ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số

A.

.


liên tục trên

B.

.

thỏa mãn

C.

. Tính

.

D.

.

Hướng dẫn giải

20


Chọn D
Đặt
Đổi cận
Khi đó

đáp án D


VD2: Cho hàm số

liên tục trên

. Tính tích phân
A.

.

thỏa mãn

,

.
B.

.

C.

.

D.

.

,

.


D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt

.

Đổi cận: với

và
.

Khi đó

.

VD3: Cho hàm số
Tính
A.

liên tục trên

thỏa mãn

.
.


B.

.

C.

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt

.

Đổi cận: Với

;
.

Khi đó:

.

DẠNG 6 : ĐỞI BIẾN LOẠI 6
Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức
Bài toán:

21



Cho

, khi đó

Cách giải:
Đặt

và

;

Khi đó

.

.

.
Các ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số

liên tục và nhận giá trị dương trên
với

A.

.

. Biết


. Tính giá trí
B.

.

C. .

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Xét

.

Đặt

. Đổi cận:

;

.

Khi đó
Mặt khác

hay


VD2: Cho hàm số

liên tục trên

, ta có

. Vậy

và

.
.

Giá trị của tích phân
A.

.

B.

C.
Hướng dẫn giải

D.

Chọn C

22



ta có

.

VD3: Cho hàm số
Biết

có đạo hàm, liên tục trên

,

A.

.

tính tích phân
B.

và

khi

.

.

.

C.


.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
;
(do

)

.
VD4: Cho hàm số

liên tục trên

. Tính tích phân
A.

.

B.

và thỏa mãn

. Biết


.

.

C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt

và

Khi

;

.

đó:

.
Suy ra:


.

VD5: Cho hàm số
(
A.

). Biết
.

khi x  [0; a]

có đạo hàm liên tục trên R và
, tính tích phân
B.

.

.
C.

.

D.

.

Hướng dẫn giải:

23



(1) Đặt

Đổi cận:
(2)

(Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân)
(1) + (2)

Chọn A
VD6: Cho

là hàm liên tục trên đoạn

và
Khi đó

trong đó

,

thỏa mãn

là hai số nguyên dương và

là phân số tối giản.

có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A.


B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1. Đặt
Đổi cận
Lúc đó

Suy ra
Do đó
Cách 2. Chọn

là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được
8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng có.
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

24