BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu
Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn trong giảng dạy là một trong những
nhiệm vụ trọng tâm giúp nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho
nhà trường, địa phương và xã hội. Việc giáo dục mũi nhọn (bồi dưỡng học sinh
giỏi, ôn thi đại học) giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực cá nhân
trong đó phát triển năng lực sáng tạo là vô cùng thiết yếu, phát triển năng lực
sáng tạo khi giải toán là rèn khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của tốn
học.
Trong thực tế giảng dạy, ơn thi đại học và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi
lớp 10 về phần hệ thức lượng trong tam giác tơi đã gặp một số bài tốn mà sách
giáo khoa hiện nay khi giải thì rất khó và dài dịng. Cũng qua tìm tịi nghiên cứu
tài liệu và giảng dạy tôi thấy khi hệ thống các dạng bài tập và đưa ra phương
pháp làm cho từng dạng thì việc giải quyết các bài tốn được nhanh chóng và
đơn giản hơn rất nhiều, góp phần giúp học sinh có thể lấy điểm bài này trong đề
thi HSG, đề thi THPT quốc gia. Chính vì vậy sáng kiến của tơi nhằm mục đích
tổng hợp một số dạng tốn liên quan về hệ thức lượng trong tam giác cụ thể là:
xác định các yếu tố trong tam giác, giải tam giác, chứng minh các đẳng thức, bất
đẳng thức liên quan đến các yếu tố trong tam giác, tứ giác, nhận dạng tam giác.
Sáng kiến đã góp phần trang bị kiến thức cho học sinh để làm được một lớp
các bài tập về hệ thức lượng tam giác trong kỳ thi học sinh giỏi, kì thi THPT
Quốc gia trong các năm sắp tới và giảm bớt khó khăn lúng túng, tạo sự tự tin
cho học sinh trong việc giải các bài tốn hình học.
2. Tên sáng kiến:
Một số bài toán về thức lượng trong tam giác.
1


3. Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Tạ Thị Hồng Yến.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học.
- Số điện thoại: 0962390261 . E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tạ Thị Hồng Yến.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực: Toán học lớp 10.
- Vấn đề sáng kiến giải quyết: Bài toán về hệ thức lượng trong tam giác.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử, (ghi ngày nào
sớm hơn):
Tháng 2 năm 2014.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến: Gồm ba phần
PHẦN I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Trên cơ sở các hệ thức lượng trong tam giác đã biết, định lí sin, định lý
Cơsin, cơng thức tính độ dài đường trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam
giác. Trong sáng kiến này trình bày các trường hợp cụ thể: về việc ứng dụng
các hệ thức lượng trong tam giác đã biết để giải quyết một số bài tốn có liên
quan.
PHẦN II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Tuy các hệ thức lượng trong tam giác rất đơn giản nhưng khi áp dụng vào
giải quyết các bài tốn thì lại cần sự vận dụng linh hoạt, khéo léo để giải quyết
được vấn đề bài toán đưa ra.

2


Vì vậy việc hệ thống thành các dạng bài tập với phương pháp giải cho từng
dạng là việc rất quan trọng giảm bớt khó khăn, lúng túng cho học sinh khi giải
các bài tập dạng này.
PHẦN III. NỘI DUNG

A. Kiến thức và phương pháp cần nhớ.
B. Nội dung chính: Các dạng toán và phương pháp giải.
Dạng 1. Xác định các yếu tố trong tam giác.
Dạng 2. Giải tam giác.
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố
trong tam giác, tứ giác.
Dạng 4. Nhận dạng tam giác
C. Bài tập ứng dụng.
D. Kết luận.
E. Tài liệu tham khảo.

3


A. Kiến thức và phương pháp cần nhớ
1. Định lí cơsin: Trong tam giác

với

và

. Ta có :
A
b

c

Hệ quả:
B


C

a
Hình 2.6

2. Định lí sin : Trong tam giác

với

,

và R là bán

kính đường trịn ngoại tiếp. Ta có :

3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác

với

lần lượt là các trung

tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có :

4. Diện tích tam giác
Với tam giác

ta kí hiệu

là độ dài đường cao lần lượt tương ứng


với các cạnh BC, CA, AB; R, r
lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác;

là nửa

chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có:
S=
=
=

=

=

(cơng thức Hê–rơng)
4


B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác.
1. Phương pháp.
 Sử dụng định lí cơsin và định lí sin
 Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của
các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác

có

và


.

Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.
Lời giải
Áp dụng định lí cơsin ta có

Suy ra
Vì

nên

Theo cơng thức tính diện tích ta có

Mặt khác

(1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là

5


Ví dụ 2: Cho tam giác

nội tiếp đường trịn bán kính bằng 3, biết


. Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường trịn nội
tiếp tam giác.
Phân tích đề:
Muốn tính độ dài đường trung tuyến ta phải tính được 3 cạnh của tam giác mà
giả thiết chưa cho cạnh nào. Với giả thiết bài này ta biết bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác và số đo 2 góc nên yếu tố đầu tiên ta nghĩ đến là tính góc
cịn lại, sau đó sử dụng định lý Sin để tính các cạnh của tam giác.
Lời giải
Ta có
Theo định lí sin ta có

,

Theo cơng thức đường trung tuyến ta có

Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có

Ví dụ 3: Cho tam giác

có M là trung điểm của BC. Biết

. Tính độ dài cạnh

và góc lớn nhất của tam giác

.

Phân tích:
6



Với giả thiết ta xét tam giác ABM biết 2 cạnh và 1 góc, ta tính được cạnh cịn
lại. Khi đó sử dụng cơng thức độ dài đường trung tuyến ta tính được độ dài
cạnh cịn lại của tam giác.
Lời giải
. Đặt

A

Theo định lí cơsin ta có:
B

Suy ra

C

M
Hình 2.7

Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có

TH1: Nếu
Ta có

.
góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có
Suy ra

TH2: Nếu

Ta có

góc A lớn nhất. Theo định lí cơsin ta có

Suy ra

7


Ví dụ 4: Cho tam giác

thỏa mãn

.

a) Tính các góc của tam giác.
b) Cho

. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

.

Phân tích: Với giả thiết trên ta nghĩ đến hướng biểu diễn các cạnh theo cùng
một yếu tố, sau đó sử dụng định lý Cosin để tính các góc của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Đặt
Áp dụng định lí cơsin ta có

,


b) Áp dụng định lí sin, ta có:

.

DẠNG 2: Giải tam giác.
1. Phương pháp.
 Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều
kiện cho trước.
 Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố
như sau: biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề
góc đó; biết ba cạnh. Để tìm các yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơsin và
định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng

và trong một
8


tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện
với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Giải tam giác

biết

và

.

Phân tích: Từ giả thiết ta biết 1 cạnh và 2 góc, ta sẽ xác định được góc thứ ba
ln. Muốn xác định được các cạnh cịn lại ta sử dụng định lý sin.

Lời giải
Ta có
Theo định lí sin ta có

Ví dụ 2: Giải tam giác

biết

và

.

Phân tích: Từ giả thiết biết 2 cạnh và 1 góc ta xác định tính cạnh a trước bằng
cách sử dụng định lý cơsin, sau đó sử dụng định lý sin để tính các góc cịn lại.
Lời giải
Theo định lí cơsin ta có

Suy ra
Theo định lí sin ta có

Suy ra
9


Ví dụ 3: Giải tam giác

biết

Phân tích: Với bài tốn biết ba cạnh của tam giác, muốn xác định các góc của
tam giác đó ta sử dụng định lý cơsin.

Lời giải:
Ta có:

Suy ra

.

Tiếp theo ta xét ví dụ liên quan đến tìm các yếu tố trong tam giác với mức độ
phức tạp hơn bài toán trên, cần vận dụng linh hoạt các phép biến đổi.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có góc A bằng 600,
kính đường trịn nội tiếp

, bán

. Tính độ dài b và c.

Lời giải:
Áp dụng định lý hàm sin ta có:

Mặt khác:

, (1)
Theo định lý hàm cosin ta có:
,
Thay (1) vào (2) ta được:

(2)

, (3)
10



Đặt t=b+c (t>0), phương trình (3) trở thành:

Với t = 20 suy ra:

Vậy
Nhận xét: Với các bài toán trên ta cần vận dụng linh hoạt các hệ thức lượng
trong tam giác, kết hợp với biến đổi đại số khéo léo ta mới xử lý được bài toán
trọn vẹn.

DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố
của tam giác, tứ giác .
1. Phương pháp giải.
 Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế
này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về
một đẳng thức đúng.
 Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng
thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacơpxki,
…)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác

thỏa mãn

. Chứng minh rằng

a)
b)
Phân tích: Với giả thiết trên ta cần nghĩ đến việc sử dụng định Sin để giải quyết

phần a)
11


Ở phần b) ta cần sử dụng định lý côsin và kết hợp phần a) để giải
quyết bài toán.
Lời giải
a) Áp dụng định lí sin ta có

Suy ra

đpcm

b) Áp dụng định lí cơsin và câu a) ta có
(đpcm)
Tiếp theo sử dụng định lí Cơsin cho tam giác và áp dụng bất đẳng thức ta
có thể giải được bài tốn sau:
Ví dụ 2: Trích đề thi HSG mơn tốn lớp 10 tỉnh Hải Dương (2012-2013)
Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi

là góc giữa hai đường trung tuyến BM

và CN của tam giác. Chứng minh rằng
Lời giải:
B

N
G

C


A
M

Gọi a, b và c tương ứng là độ dài các cạnh đối diện các góc A, B và C của tam
giác. Có

,

. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

12


=

;

Do đó

Có
Do đó
Hay

. Dấu bằng có khi tam giác vng cân đỉnh A

Ví dụ 3: Cho tam giác

, chứng minh rằng:


a)

b)
Lời giải
a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa
A và

suy ra tam giác

cân tại

.

Áp dụng định lý hàm số Cơsin cho

, ta có:

13


Suy ra
Gọi I là trung điểm của BD suy ra
Trong tam giác

.

vng tại I, ta có
.

Vậy


.

b) Từ định lý hàm số sin, ta có:

Theo câu a) ta có

(1)

, tương tự thì

và

,

kết hợp với cơng thức

Suy ra

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác cơ bản ta suy ra được các cơng thức

Ví dụ 3: Cho tam giác

, chứng minh rằng:
14


Lời giải:

Áp dụng định lí cơsin và cơng thức

ta có:

(đpcm)
Với cơng thức trên ta có thể áp dụng để giải một số bài tốn sau:
Ví dụ 4: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014
Cho tam giác
nếu

khơng vng với
và

. Chứng minh rằng
thì

là một tam giác cân.

Lời giải:
Áp dụng Ví dụ 3 ta có

.

Tương tự ta tính được
Theo giả thiết

Hay tam giác ABC cân
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, chứng minh

.


Lời giải:
Theo ví dụ 3 tương tự ta có

,
15


Suy ra

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

Mặt khác

Ta có

suy ra

Do đó

đpcm.

Ví dụ 6 : Trích đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2011-2012
Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao
cho

. Chứng minh đẳng thức sau:
,

trong đó


là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

Lời giải:
Trước hết ta có các kết quả sau:

;

Tương tự ta được:

16


Tiếp theo chúng ta xét ví dụ sử dụng đến cơng thức tính độ dài đường
trung tuyến
Ví dụ 7: Trích đề thi HSG toán lớp 10 tỉnh Hải Dương (2015-2016)
Cho tam giác ABC có

(b ≠ c) và diện tích là . Kí hiệu

lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C.
Biết rằng

(*). Chứng minh rằng

.

Lời giải:
Ta có


(*)
(**)
Ta có
Từ (**)
Ví dụ 8: Cho tam giác

Hay
. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung

tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau là

.

Lời giải:
Gọi G là trọng tâm của tam giác

.
17


Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau khi và chỉ khi tam giác
vng tại G
(*)
Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có

Suy ra

(đpcm)
Ví dụ 9: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2012 – 2013
Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C lần lượt là

. Tính độ dài các cạnh

theo

.

Lời giải:
Kí hiệu

. Khi đó ta có:

Theo cơng thức Hê – rơng ta có:

18


, trong đó

Do đó

.

Ví dụ 10: Trích đề thi HSG toán 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2015 – 2016
Cho tam giác
lượt là

không vuông với độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh

, độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh


là

. Tính

lần
, biết

Lời giải:
M

N
A
F
E

C

B

K

Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC (

). Gọi K là

trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC
lần lượt tại E và F. Khi đó E là trung điểm BN và F là trung điểm CM.
Bốn điểm

nằm trên đường trịn đường kính


trong tam giác EKF ta được
(vì

, theo định lý sin

.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :

).
Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. Chứng
minh :
19


Lời giải

Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác

và

ta có:

(1)

(2)
Từ (1) và (2) suy ra

Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác


nên

Suy ra
b) Góc A vng
Ví dụ 12: Trích đề thi HSG tốn 10 tỉnh Hải Dương năm học (2018 – 2019)
Cho tam giác nhọn

, gọi

. Gọi diện tích các tam giác
rằng

, chứng minh

lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh
và

lần lượt là

và

. Biết

.

Lời giải:
Đặt

thì từ giả thiết suy ra

A
E
K

B

H

C

20


.

DẠNG 4: Nhận dạng tam giác
1. Phương pháp giải.
Sử dụng định lí cơsin; sin; cơng thức đường trung tuyến; cơng thức tính diện tích
tam giác để biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra
dạng của tam giác.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác
rằng tam giác

thoả mãn

. Chứng minh minh

cân .


Lời giải: Áp dụng định lí cơsin và sin ta có:

Suy ra tam giác

cân tại đỉnh C.

21


Ví dụ 2: Cho tam giác
tam giác

thoả mãn

. Chứng minh rằng

vng.

Lời giải
Ta có:

vng tại A.
Thay đổi một chút giả thiết của bài tốn trên ta có bài tốn sau
Ví dụ 3: Trích Đề thi HSG 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2016 -2017
Cho tam giác ABC có các cạnh

. Chứng minh rằng nếu

thì tam giác ABC vng.
Lời giải:

Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Áp dụng định lí Sin, Cosin trong tam giác ABC ta có

,

,

Khi đó

22


Vậy tam giác ABC vng tại A.

Ví dụ 4: Trích Đề thi HSG lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2014 - 2015
Cho tam giác ABC khơng vng và có các cạnh
Chứng

minh

rằng nếu

tam

giác

ABC

.


thỏa mãn

và

thì tam giác ABC đều.
Lời giải:
Theo định lí hàm số sin và cơsin ta có:

Tương tự ta có

.

(do
kết hợp với

),

.

Tiếp theo chúng ta xét ví dụ sau cần vận dụng nhiều công thức hệ thức
lượng và bất đẳng thức để giải quyết được bài tốn.
Ví dụ 3: Trích đề thi HSG toán 10 tỉnh Hà Nam năm học 2013-2014
23


Cho tam giác ABC có

là độ dài ba cạnh của tam giác,

là độ dài 3 đường trung tuyến lần lượt xuất hát từ A, B, C. Gọi R, S

lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích của tam giác. Chứng minh
rằng nếu:

thì tam giác ABC đều.

Lời giải:
Ta có:

Mà

Vì

Nên

, tương tự

Do đó

dấu bằng xảy ra khi

Vậy khi đó tam giác ABC đều.
Tiếp theo với việc sử dụng định lý Sin và bất đẳng thức Cơsi ta có thể giải
quyết được bài toán sau:
24


Ví dụ 4: Cho tam giác

có diện tích và bán kính của đường trịn ngoại tiếp


thỏa mãn hệ thức

. Chứng minh tam giác

là tam giác đều.
Lời giải:
Theo định lí sin ta có :

Áp dụng bắt đẳng thức cơsi ta có:

Mà

, dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c  ABC đều

Ví dụ 5: Nhận dạng tam giác

trong các trường hợp sau:

a)
b)
Lời giải
a) Áp dụng cơng thức diện tích ta có

Vậy tam giác

suy ra

đều

25