----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động
học của trò. Đối với người thầy, ngoài việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh
củng cớ những kiến thức đã học cịn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh,
giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách một cách nhẹ nhàng.
Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài
toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và có óc sáng tạo linh hoạt. Vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần
định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết
cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách quy lạ về quen, biết cách biến cái "khơng
thể" thành cái "có thể".
Tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng của chương trình tốn học phổ
thơng. Nội dung này thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh,
cấp quốc gia, khu vực và Olympic 30/04. Các dạng toán về tổ hợp rất phong phú và đa
dạng và cũng rất phức tạp nên khó phân loại và hệ thống thành các chuyên đề riêng
biệt. Với thực trạng đó rất cần thiết có người thầy hướng dẫn các em tìm ra phương
pháp giải và tìm ra phương pháp giải tối ưu. Chính vì lí do đó nên tơi đã chọn cho
mình đề tài:“Phương pháp giải bài toán về tạo số”.
2. Tên sáng kiến: “Phương pháp giải bài toán về tạo số”.

1


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

3. Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Phạm Thị Hồng Quyền
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0967.297.005.
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Phạm Thị Hồng Quyền
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo viên THPT áp dụng vào dạy ôn thi học
sinh giỏi lớp 11, lớp 12 mơn tốn và ơn thi THPT Quốc Gia phần kiến thức lớp 11.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Tháng 12 năm 2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Nội dung sáng kiến
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khi giải các bài toán loại này ta thường áp dụng các mệnh đề sau đây :
Mệnh đề 1. Giả sử ta viết các chữ số theo hàng ngang và m, n là các chữ số nguyên
dương với

thì

a) Số cách viết m chữ số trong n chữ số khác nhau vào m vị trí định trước bằng
b) Số cách viết m chữ số phân biệt đã cho vào m vị trí trong n vị trí định trước
bằng

(trong đó n-m vị trí cịn lại chưa xét sự thay đổi chữ số).

2

.



----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

c) Số cách viết m chữ số giống nhau vào m vị trí trong n vị trí định trước bằng
.
Mệnh đề 2. Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó có chữ số 0, số các số có m chữ số
khác nhau tạo thành từ chúng bằng

.

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. Số tạo thành chứa các chữ số định trước
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt
đồng thời ba chữ số 0, 1, 2?
Lời giải.
Gọi số tạo thành là
Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí: ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách
chọn 2 trong 4 vị trí cịn lại cho hai chữ số 1 và 2 là

; số cách chọn 2 trong 7 chữ số

cịn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí cịn lại là
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong đó có mặt
các chữ số 1và 2?
Lời giải.
Gọi số tạo thành là
Xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Trong số tạo thành có chữ số 0.
3



----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí: ta có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách
chọn 2 trong 4 vị trí cịn lại cho hai chữ số 1 và 2 là

; số cách chọn 2 trong 7

chữ số còn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí cịn lại là
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành là
Trường hợp 2. Trong số tạo thành khơng có chữ số 0.
Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí: số cách chọn 2 trong 5 vị trí cho hai chữ số 1 và
2 là

; số cách chọn 3 trong 7 chữ số cịn lại (khác 0,1,2) cho hai vị trí cịn lại là

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 2 là
Theo quy tắc cộng, ta được số phải tìm là 2016+4200=6216.
Bài tốn tổng qt 1. Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau

, trong n chữ số

đã cho có chữ số 0. Từ chúng có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên có m chữ số khác
nhau sao cho trong đó có mặt k chữ số định trước (thuộc n chữ số trên) với
Cách giải. Số tạo thành gồm m chữ số có dạng

Gọi tập hợp k chữ số định

trước là X.
Trường hợp 1. X chứa chữ số 0

Ta có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k-1 chữ số khác 0 thuộc X vào
k-1 vị trí trong m-1 vị trí cịn lại bằng

(theo mệnh đề trên); số cách viết m-k trong

số n-k chữ số không thuộc X vào m-k vị trí cịn lại bằng

4

(theo mệnh đề trên).


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 1 là

Trường hợp 2. X không chứa chữ số 0
Ta tính theo các bước:
Bước 1. Tính số các số tạo thành chứa chữ số 0.
Lần lượt có m-1 cách chọn vị trí cho chữ số 0; số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị
trí trong m-1 vị trí cịn lại bằng

(theo mệnh đề trên); số cách viết m-k-1 trong số

n-k-1 chữ số khác 0 mà khơng thuộc X vào m-k -1vị trí cịn lại bằng

(theo mệnh

đề trên).
Theo quy tắc nhân, ta được số các số tạo thành chứa chữ số 0 bằng:


Bước 2. Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0.
Số cách viết k chữ số thuộc X vào k vị trí trong m vị trí bằng

(theo mệnh đề

trên); số cách viết m-k trong số n-k-1 chữ số khác 0 mà khơng thuộc X vào m-k vị trí
cịn lại bằng

(theo mệnh đề trên).

Theo quy tắc nhân, ta được số các số bằng:
Bước 3. Theo quy tắc cộng, ta được số các số tạo thành trong trường hợp 2 bằng
k

m−k −1

k

m−k

S=S1 +S 2 =( m−1 ) A m−1 A n−k−1 + A m A n−k −1

DẠNG 2. Số tạo thành chứa hai chữ số định trước không cạnh nhau

5


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số ”------------------------------


Ví dụ 3. Cho tập hợp gồm 6 chữ số {0,1,2,3,4,5}. Từ chúng viết được bao nhiêu số
có 4 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?
Lời giải.
Gọi số tạo thành là
Trước hết ta tính số số tạo thành bất kì. Số cách chọn chữ số cho
chọn 3 trong 5 chữ số còn lại cho 3 vị trí cịn lại của số tạo thành là

là 5; số cách
Theo quy tắc

nhân ta được số số là
Bây giờ ta tính số số tạo thành sao cho trong đó có hai chữ số 1và 2 đứng cạnh
nhau.
Giả sử 1 và 2 xếp theo thứ tự 12.
Nếu

: Số cách chọn 2 trong 4 chữ số còn lại cho hai vị trí cịn lại của số tạo

thành là
Nếu
cho

: Số cách chọn vị trí cho12 là 2 (

hoặc

) ; số cách chọn chữ số

là 3; số cách chọn 1 trong 3 chữ số cho vị trí cịn lại của số tạo thành là


được số số là 2.3.3=18.
Theo quy tắc cộng số số tạo thành sao cho trong đó có chứa 12 là 12+18=30.
Tương tự số số tạo thành sao cho trong đó có chứa 21 là 30.
Vậy số số tạo thành sao cho khơng có hai chữ số 1và 2 đứng cạnh nhau là

6

ta


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

300-2.30=240.
Bài toán tổng quát 2. Cho tập hợp gồm n chữ số khác nhau
có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên có m

. Từ chúng

chữ số khác nhau sao cho trong đó

có hai chữ số định trước khơng đứng cạnh nhau.
Cách giải. Số tạo thành gồm m chữ số có dạng

và hai chữ số định trước là

x, y (thuộc n chữ số đã cho). Ta xét các trường hợp của giả thiết về chữ số x, y và chữ
số 0 như sau:
1) Giả thiết n chữ số đã cho có chữ số 0
Trường hợp 1. Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số định trước x, y
khác 0.

Bước 1. Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số định trước; có n-1 cách
chọn chữ số cho

; số cách chọn m-1 trong n-1 chữ số cịn lại cho m-1 vị trí cịn lại

( theo mệnh đề nêu trên). Do đó các số tạo thành là

là

Bước 2. Tính số các số có hai chữ số x, y cạnh nhau theo thứ tự

và

Xét trường hợp x, y cạnh nhau theo thứ tự
Với

Khi đó mỗi số

ứng với một chỉnh hợp chập m-2 của n-2 chữ số

khác x, y. Theo mệnh đề trên, số các số đó bằng

7


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Với

Lần lượt ta có n-3 cách chọn chữ số cho


khác 0, x, y; m-2 cách chọn

vị trí cho

; số cách chọn m-3 trong n-3 chữ số còn lại khác

cho m-3 vị trí cịn

lại là

( theo mệnh đề trên). Theo quy tắc nhân, số các số đó bằng

bằng S 2 +S3

Từ hai trường hợp trên, ta được số các số có chứa
Tương tự có S 2 +S3 số có chứa

Bước 3. Vậy số các số tạo thành trong trường hợp thứ nhất là

Trường hợp 2. Giả thiết n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số định
trước x, y bằng 0.
Bước 1. Tính số các số tạo thành chưa xét đến hai chữ số x, y định trước bằng

Bước 2. Tính số các số có x, y cạnh nhau dạng

Số các số tạo thành trong trường hợp thứ hai là:
2) Giả thiết n chữ số đã cho khơng có chữ số 0.
Khi đó ta cũng tìm được


8

và

thứ tự bằng


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số ”------------------------------

Ví dụ 4 . Từ các chữ số , , , , ,

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

chữ số đơi một khác nhau trong đó hai chữ số

và

khơng đứng cạnh nhau.

Lời giải
Số các số có

chữ số được lập từ các chữ số , , , , ,

Số các số có chữ số

và

đứng cạnh nhau:


Số các số có chữ số

và

không đúng cạnh nhau là

là

.

.
.

DẠNG 3. Số tạo thành chứa chữ số lặp lại
Ví dụ 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong đó có một chữ số
xuất hiện ba lần, một chữ số khác xuất hiện hai lần và một chữ số khác với hai chữ số
trên?
Lời giải.
 Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta xét lần lượt như sau.
Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có

cách chọn 3 trong 6 vị trí cho chữ số

đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ số (khác với chữ số trên) xuất hiện 2 lần và có

cách

chọn 2 trong 3 vị trí cịn lại cho chữ số đó. Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí
cịn lại cuối cùng. Ta được số các số đó bằng




Vì vai trị của 10 chữ số 0, 1, …, 9 như nhau nên số các số có chữ số đầu trái là

0 bằng

, do đó số các số có chữ số đầu trái khác 0 thỏa mãn bài toán bằng

9


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Bài toán tổng quát 3. Cho tập hợp gồm n chữ số
bao nhiêu số có m chữ số

. Từ chúng viết được

sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện k lần,

một chữ số khác xuất hiện q lần và một chữ số khác với hai chữ số trên với

Cách giải. Ta xét hai bài toán nhỏ dưới đây
1) Giả thiết n chữ số đã cho có chữ số 0
Bước 1. Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta thấy:
Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có

cách chọn k trong m vị trí cho chữ số

đó. Sau đó có n-1 cách chọn chữ số xuất hiện q lần (khác với chữ số trên) và có

cách chọn q trong m-k vị trí cịn lại cho chữ số đó. Cuối cùng có n-2 cách chọn chữ số
vào vị trí cịn lại.
Theo quy tắc nhân, ta tính được số các số đó bằng
Bước 2. Vì vai trò của n chữ số như nhau nên số các số có chữ số đứng đầu khác 0

thỏa mãn bài tốn bằng
2) Giả thiết n chữ số đã cho khơng có chữ số 0.
Khi đó ta cũng tìm được
Ta có thể mở rộng bài toán tổng quát cho t chữ số trong đó mỗi chữ số xuất hiện lần
lượt

lần
10


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số ”------------------------------

Ví dụ 6. Từ các chữ số , ,
chữ số

có mặt

lần, chữ số

lập được bao nhiêu số tự nhiên có
có mặt

lần, chữ số

có mặt


chữ số, trong đó

lần?

Lời giải
Cách 1: dùng tổ hợp
Chọn vị trí cho

chữ số

có

cách.

Chọn vị trí cho

chữ số

có

cách.

Chọn vị trí cho

chữ số

có

cách.


Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là

số.

Cách 2: dùng hoán vị lặp
Số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là

số.

DẠNG 4. Tính số số tự nhiên chẵn
Ví dụ 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
Lời giải: Gọi số tạo thành là
Trường hợp 1.

: Số cách chọn 4 trong 9 chữ số còn lại cho 4 vị trí cịn lại là

Trường hợp 2.

Lần lượt ta có

4 cách chọn chữ số chẵn cho

sau đó số cách chọn chữ số cho

cách chọn 3 trong 8 chữ số cịn lại cho 3 vị trí cịn lại là
Ta được số số là
Theo quy tắc cộng, ta được số số là 10752+3024=13776.
11


là 8; tiếp theo số


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Nhận xét. Số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau (ứng với

) là

DẠNG 5. Tính số số tự nhiên với các chữ số chẵn, lẻ
Ví dụ 8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai
chữ số lẻ?
Lời giải. Số tạo thành có 5 chữ số ở 5 vị trí.
Trường hợp 1. Trong số tạo thành có chữ số 0. Lần lượt ta có
Số cách chọn vị trí cho chữ số 0 là 4; số cách chọn thêm 2 trong 4 chữ số chẵn là
số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là

;

; với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ chọn ra có 4!

Hốn vị cách xếp vào bốn vị trí cịn lại của số tạo thành. Ta được số số là

Trường hợp 2. Trong số tạo thành khơng có chữ số 0. Lần lượt ta có
Số cách chọn trong 4 chữ số chẵn khác 0 là

; số cách chọn 2 trong 5 chữ số lẻ là

;


với 5 chữ số chọn ra có 5! hốn vị cách xếp vào 5 vị trí của số tạo thành.
Ta được số số là
Theo quy tắc cộng, ta được số số tạo thành là 5760 + 4800 =10560.
Ví dụ 9. Tập
chữ số

gồm các số tự nhiên có

chữ số khác nhau được thành lập từ các

. Tìm tập S gồm số có sáu chữ số khác nhau sao cho khơng

có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.
Lời giải
Vì số được chọn có 6 chữ số nên ít nhất phải có hai chữ số chẵn, và vì khơng có hai
chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn có tối đa 3 chữ số chẵn.
12


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

TH1: Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là
Xếp 4 số lẻ trước ta có

cách.
l

l

l


l

Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống của các số lẻ có
Trong trường hợp này có

cách.
(số).

TH2: Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn, khi đó gọi số cần tìm là
Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có

cách.
l

l

l

Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống của các số lẻ có
Trong trường hợp này có
Vậy có tất cả

(số).

số có 6 chữ số sao cho khơng có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.

Ví dụ 10 . Từ các chữ số ; ; ; ; ;

có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có


bốn chữ số đơi một khác nhau và phải có mặt chữ số .
Lời giải
Gọi

là số cần tìm.

Trường hợp 1:
Chọn

có cách. Chọn

,

có

cách.

,

có

cách.

Trường hợp 2:
Chọn

có cách. Chọn

Trường hợp 3:


cách.

,
13


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số ”------------------------------

Chọn

có cách. Chọn

có cách. Đưa số

Vậy tất cả có:

vào cách. Chọn vị trí cịn lại cách.

số.

BÀI TẬP
Bài 1: Cho tập hợp các chữ số

Từ chúng viết được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó hai chữ số cạnh nhau khác tính chẵn lẻ?
Hướng dẫn:
Gọi số tạo thành là
TH1. Các chữ số


là lẻ và các chữ số cho

chẵn:

Số số là
TH2. Các chữ số

là chẵn và các chữ số cho

là lẻ:

Số số là
Đáp số: 504 số.
Bài 2: Cho tập hợp các chữ số

Từ chúng viết được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 2?
Hướng dẫn:
Gọi số tạo thành là

.

Trước hết ta tìm số số tạo thành một cách bất kì.

14


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------


TH1.

: Số số là

TH2.

2
: Số số là 3 .5 . A 5 =300

Theo quy tắc cộng, ta được số số là 120+300=420.
Bây giờ ta tìm số số tạo thành khơng có chữ số 2.
TH1.

3
: Số số là A 5 =60

TH2.

: Số số là

Theo quy tắc cộng, ta được số số là 60 + 96 =156.
Đáp số. 420 – 156 = 264.
Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 1
đứng phía trước chữ số 2?
Hướng dẫn:
Gọi số tạo thành là

Xét các trường hợp:


TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0: Số số là
TH2. Trong số tạo thành khơng có chữ số 0: Số số là

.

Đáp số: 1008+2100=3108 số.
Bài 4: Cho tập hợp các chữ số

Từ chúng viết được bao nhiêu số tự

nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số cịn lại khác nhau và
khác 1?
Hướng dẫn:
TH1. Trong số tạo thành có chữ số 0: Số số là
TH2. Trong số tạo thành khơng có chữ số 0: Số số là
15

.


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Đáp số: 528 số.
Bài 5: Từ

chữ số

số sao cho khơng có

và


lập được bao nhiêu số tự nhiên có

chữ số

chữ

đứng cạnh nhau?

Hướng dẫn:
TH1: Có

chữ số .

TH2: Có

chữ số ,

chữ số .

TH3: Có

chữ số ,

chữ số .

TH4: Có

chữ số ,


chữ số .

TH5: Có 4 chữ số , 4 chữ số .
Đáp số: 55 số
Bài 6: Với năm chữ số , , , ,

có thể lập được bao nhiêu số có

chữ số đơi

một khác nhau và chia hết cho ?
Hướng dẫn.
Gọi

là số thỏa ycbt. Do
là

. Vậy có

số có

chia hết cho

nên

. Số cách chọn vị trí

chữ số đơi một khác nhau và chia hết cho .

: 7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

Thông qua việc nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng ôn thi HSG và ôn thi THPT-QG,
tôi đã áp dụng đề tài trên và nhận thấy:
- Một số học sinh có khả năng nhìn nhận tương đối chính xác dạng bài tập có liên
quan đến nội dung này.

16


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

- Một số học sinh nắm chắc kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập trong sách
giáo khoa, sách bài tập và đề thi thử THPT-QG. Kết quả điểm kiểm tra được nâng lên
rõ rệt.
- Hình thành được tư duy lơgic, kỹ năng giải các bài tốn về tạo số.
- Đề tài đã góp phần tạo hứng thú học tập cho học sinh. Các em học sinh lớp 11
đỡ lúng túng hơn khi giải các bài toán về nội dung này.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng cần
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Giáo viên cần có nhận thức đúng đắn hình thức thi và cách thức ra đề như hiện
nay. Điều đó địi hỏi giáo viên cần có trình độ chun mơn sâu rộng, nhìn nhận vấn đề
một cách tồn diện, linh hoạt trong cơng việc.
Học sinh phải chịu khó học hỏi, tìm tịi, tự học và sáng tạo.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả.
Bản thân tôi nhờ vận dụng sáng kiến: “Phương pháp giải bài tốn về tạo số”
nên tơi đã đạt được một số kết quả nhất định:
- Kiến thức phần tổ hợp được nâng cao và hiểu sâu sắc hơn.
- Làm nguồn bồi dưỡng ôn thi HSG và THPT Quốc Gia.
- Làm tài liệu cho học sinh ôn thi HSG và THPT Quốc Gia.
9. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng

sáng kiến lần đầu:

17


----------------------------------SKKN: “Phương pháp giải bài toán về tạo số ”------------------------------

Số TT

1

Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm Thị Hồng Quyền

Khai Quang
– Vĩnh Yên

VĩnhYên, ngày....tháng.....năm 2020

Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
Dạy học mơn Tốn ôn thi
HSG và THPT-QG


Vĩnh Yên, ngày.....tháng....năm 2020

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)

VĩnhYên, ngày 01 tháng 3năm 2020

Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)

Phạm Thị Hồng Quyền

18