“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
I. PHẦN MỞ ĐẦU :
I.1. Lý do chọn đề tài :
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây
dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển tồn diện, có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế
hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng
ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh
cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và mơn
tốn nói riêng.
Trong chương trình Tốn ở bậc THCS, học sinh ít được tiếp cận với
các bài toán về cực trị nhưng lại là một trong những nội dung quan trọng
trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Chính vì vậy khi gặp các bài tốn
tìm cực trị học sinh thường rất khó khăn khi định hướng cách giải, trong quá
trình giải học sinh thường hay mắc phải những sai lầm cơ bản hoặc ngộ nhận.
Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và
có kĩ năng giải các dạng tốn này một cách thành thạo nhằm phát huy khả
năng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tơi viết chun đề về
“Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN,GTNN cho học sinh lớp 9”
I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài :
Củng cố cho học sinh kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ
nhất.
Đưa ra cho học sinh nắm được một số dạng toán cơ bản về cực trị
phương pháp giải, học sinh biết áp dụng để giải các bài toán về cực trị xuất
hiện trong đề thi vào THPT, đề thi học sinh giỏi lớp 9
Chỉ ra cho học sinh một số sai lầm thường gặp trong q trình giải tốn
cực trị.
Nâng cao chất lượng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường
Giáo viên :

THCS

Trang 1


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Giúp cho các giáo viên có thể tham khảo nghiên cứu và áp dụng trong
từng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh.
I.3. Đối tượng nghiên cứu :
Học sinh lớp 9 ở bậc trung học cơ sở Trường THCS

- Huyện ČưMgar

các năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014-2015.
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu :
Sáng kiến này áp dụng tốt cho học sinh khá, giỏi nhằm chuẩn bị cho
các kì thi, các kì kiểm tra đặc biệt là kì thi học sinh giỏi, kì thi giải tốn trên
mạng, kì thi vào lớp 10.
I.5. Phương pháp nghiên cứu :
Để thực hiện nghiên cứu đề tài này tôi đã dùng các phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp thu thập và xử lý số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp đàm thoại.
II. PHẦN NỘI DUNG :
II.1. Cơ sở lý luận :
Toán học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trị vơ cùng
quan trọng trong đời sống kinh tế, xã hội. Toán học là cơ sở, là phương tiện
để nghiên cứu các ngành khoa học khác. Với mục tiêu giáo dục phổ thông là

giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các
kỹ năng cơ bản. Phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo của
học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, rèn luyện
thực hiện kĩ năng vào thực tế, tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Dựa trên cơ sở đó giáo viên cần kết hợp giữa phương pháp dạy học
truyền thống với các phương pháp dạy học hiện đại như dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.....Hạn chế tối đa việc áp
Giáo viên :

THCS

Trang 2


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
đặt kiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, gợi mở giúp học
sinh tự khám phá kiến thức mới.
II.2. Thực trạng :
a. Thuận lợi - khó khăn :
* Thuận lợi :
Nhà trường rất quan tâm đến việc giảng dạy bộ mơn tốn và luôn tạo
điều kiện thuận lợi cho giáo viên và học sinh.
Tập thể giáo viên tổ, nhóm chun mơn nhiệt tình thường xuyên dự giờ
góp ý để có được các bài dạy tốt hơn.
Có tập thể học sinh đồn kết, ngoan ngỗn và say mê học tập.
Bản thân tơi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm các
đồng nghiệp trong q trình giảng dạy.
* Khó khăn :
Một số học sinh các em chưa có ý thức tự giác học, mà cịn mang tính ỷ
lại lười suy nghĩ chưa độc lập trong việc tiếp thu kiến thức. Gia đình các em

đa số làm nơng nghiệp, kinh tế cịn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến
các em. Các em chỉ học ở trên lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập và thực hành ở
nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ năng thực hành kém. Bên cạnh đó cũng
có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về kiến thức trong
cùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên.
b. Thành công - hạn chế :
Việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp
học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ . Rèn luyện cho học sinh
các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận… qua đó có tác
dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo , góp một phần khơng
nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểm tra, kì thi đặc biệt là kì thi vào
THPT sắp tới. Tuy nhiên do phạm vi nghiên cứu chỉ trong một nội dung nhỏ

Giáo viên :

THCS

Trang 3


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
nên chưa bao quát được tổng thể tất cả các nội dung, nhưng đó cũng là nền
móng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này.
c. Mặt mạnh - mặt yếu :
* Mặt mạnh :
- Qua đề tài giúp học sinh hào hứng, say mê học tập và chịu khó nghiên
cứu, tư duy lơgíc để tìm lời giải và mở rộng ra các bài toán tương tự.
- Đề tài cũng giúp giáo viên nâng cao và củng cố thêm được mạch kiến
thức đại số qua tìm tịi ở các sách tham khảo, các dạng đề thi. Phát huy được
tính tự học và tự rèn của giáo viên.

* Mặt yếu :
- Việc tư duy của một số học sinh chưa nhanh, khả năng phát hiện, vận
dụng, suy luận và biến đổi chưa thật tốt, chưa thật linh hoạt.
- Lực học của các học sinh trong 1 lớp không đồng đều nên giáo viên
cũng gặp khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức cho cả 3 đối tượng học
sinh khá; giỏi; trung bình và yếu.
d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động :
Do thời gian có hạn nên tơi chỉ nêu ra một số dạng toán về giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và phương pháp giải các dạng tốn đó, để từ đó có thể
giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra một tiết,
kiểm tra học kì và các kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT......
Do chất lượng đầu vào của học sinh cịn thấp nên ảnh hưởng một phần
khơng nhỏ đến kết quả học tập của học sinh.
Do một số học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc
học.
Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, cịn
khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em.

Giáo viên :

THCS

Trang 4


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Do cơ sở vật chất của trường còn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho
giáo viên và học sinh.
II.3. Giải pháp, biện pháp :
a. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :

Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có
năng lực về Tốn, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải
Tốn.
Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng
như của học sinh.
Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng Tốn khó ở cấp học
THCS.
Với nội dung của đề tài học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu và nội
dung không những giới hạn ở cấp THCS mà còn vận dụng ở nhiều cấp học
cao hơn.
Rèn luyện kĩ năng giải các dạng tốn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất thường gặp trong sách giáo khoa, trong các đề thi vào lớp 10, trong các
đề thi học sinh giỏi, đề thi giải toán trên mạng . . .
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp :
A. Cơ sở về lý thuyết :
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN):
Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất
của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn.
+Với mọi x thuộc D thì f(x)

M, M là hằng số.

+Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M.
2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định
trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x),
nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
Giáo viên :

THCS


Trang 5


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
+Với mọi x thuộc D thì f(x)

m, m là hằng số.

+Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m.
3. Các hằng đẳng thức đáng nhớ :

Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta
GTLN của tích, GTNN của tổng.
a) Nếu hai số có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau:
Chứng minh :Nếu a, b có a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b) 2
ta có a.b

do đó max(a.b) =

4ab

khi và chỉ khi a = b.

b)Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi
và chỉ khi hai số đó bằng nhau:
Chứng minh :Nếu hai số dương a và b có a.b = h (hằng số) thì (a + b)
nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2  4ab  Min (a + b)2 =
4h, (khi và chỉ khi a = b)  Min (a + b) =


, (khi và chỉ khi a = b).

4. Định nghóa và tính chất giá trị tuyệt đối
của một số
a.Định nghĩa:

= a nếu a

0

= - a nếu a < 0

Giáo viên :

THCS

Trang 6


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
b.Tính chất:
1)

0

2)

+

3)


-

đẳng thức xảy ra khi ab > 0.
( đẳng thức xảy ra khi a

b

0 hoặc a

b

0)
5. Một số tính chất và bất đẳng thức thường gặp :


xảy ra đẳng thức khi a=b



 Bất đẳng thức côsi :
Với

thì

(Dấu “=” xảy ra

)

 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki :

Cho hai bộ số

. Ta có
( Dấu “=” xảy ra khi

)

B. Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh,
giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải :
Dạng 1 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng :
f(x) = ax2 + bx + c. (a, b, c là hằng số, a

)

Phương pháp giải:
Ta có: f(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 +
= a (x +

x+

)-

+c=

)2 +

* Nếu a > 0
GTNN của f(x) là

khi x =


và khơng có GTLN.

khi x =

và khơng có GTNN

* Nếu a < 0
GTLN của f(x) là

Giáo viên :

THCS

Trang 7


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”


Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm GTNN của A = x2 – 6x + 8.
Giải: A = x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1

- 1.

Nên minA = - 1 khi x – 3 = 0 hay x = 3
Vậy minA = -1 khi x = 3
Ví dụ 2: Tìm GTLN của B = - 3x2 + 2x + 5

Giải:
B = - 3x2 + 2x + 5 = - 3 (x 2 -

Nên maxB =

khi x -

Vậy maxB =

khi x =



x+

)+

+ 5 = - 3(x -

)2 +

= 0 hay x =

Bài tập tự luyện :
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 3: Tìm giá trị nếu có của

Dạng 2 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng :
f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f.

(a,b,c,e,f là hằng số a.b

).

Phương pháp giải:
Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f.
=a

-

= ……. = a
Suy ra GTNN, GTLN của f(x,y) ( khi x =

Giáo viên :

THCS

Trang 8

và y = - q.)


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”

 Ví dụ minh họa :
Tìm GTNN của biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15.
Giải:

= x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15


C

= x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15
= x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10
= x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10
= (x + 2 – y)2 + (y + 1)2 + 10

10

x+2–y=0

x=-3

y+1 =0

y=-1

Nên minC = 10 khi
Vậy minC = 10 khi x = -3, y = -1
Dạng 3 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức có tử là
hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất :

xảy ra đẳng thức khi a=b

 Ví dụ minh họa :
* Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hướng dẫn giải :
Ta có :

Mà
Suy ra
Vậy giá trị lớn nhất của Q là

Giáo viên :

THCS

đạt khi x =

Trang 9


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Lưu ý học sinh ở dạng này tránh sai lầm sau : lập luận rằng Q có tử
là hằng số nên Q lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta sẽ thấy rõ sai lầm đó qua
giải bài toán sau :
Chẳng hạn xét biểu thức B =

với lập luận “phân thức B có tử khơng

đổi nên có GTLN khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 0 nên
maxB = -

x = 0. Điều này khơng đúng vì

của B. Chẳng hạn x = 3 thì B =

khơng là giá trị lớn nhất


.

Mắc sai lầm trên là do khơng nắm vững tính chất của bất đẳng thức đã
máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên
sang phân số có tử và mẫu là số ngun.
* Ví dụ 2: Tìm GTLN của phân thức:
3

3

3

3

Giải: Ta có E   x 2  2 x  4  x 2  2 x  4  x 2  2 x  1  3   x  1 2  3
Vì
Vậy

nên
; Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = 0

Vậy min E = -1 khi x = 1
Dạng 4 : Tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức có bậc tử
thức bằng bậc mẫu thức
Phương pháp giải :
, C  x   0 . Từ đó suy ra GTLN, GTNN.

Tổng quát:
Đặc biệt


;
Dấu “=” xảy ra khi
Giáo viên :

THCS

Trang 10


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 Ví dụ minh họa :
*Ví dụ 1: Tìm GTLN của

Và giá trị x tương ứng

Giải:
Dấu “=” xảy ra khi x - 2 = 0

x=2

Vậy MaxB = 4 khi x = 2
*Ví dụ 2: (Trích đề thi vào lớp 10 –Quảng Ngãi năm 2013-2014)
Với

, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải :

* Với
* Với


PT (1) là pt bậc 2 ẩn x có

PT (1) có nghiệm khi
Kết hợp với trường hợp A=1 ta có

 Bài Tập Tự Luyện :
(Trích đề thi vào lớp 10-Cao Bằng năm 2012-2013)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
Dạng 5 : Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm GTLN, GTNN của
biểu thức
Bất đẳng thức Cơsi
Với

Giáo viên :

thì

THCS

(Dấu “=” xảy ra

Trang 11

)


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
 Ví dụ minh họa :
*Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức

Nhận xét: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu
thức lấy căn có tổng khơng đổi. Vì vậy nếu ta bình phương biểu thức A
thì ta sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây vận
dụng bất đẳng thức Côsi:

hay

Giải: ĐKXĐ:

Mà
Nên

, dấu “=” xảy ra

Vậy maxA = 2 khi x = 2
* Ví dụ 2 : (trích đề thi vào lớp 10-Phú Thọ năm 2013-2014)
Cho x, y là 2 số thực dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn giải :
Áp dụng Bất đẳng thức CơSi cho 2 số dương
Ta có

Từ (1) và (2) ta có

*Ví dụ 3: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức
Giáo viên :

THCS


Trang 12


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Nhận xét: 3x và

có tích khơng phải là hằng số. Muốn khử được

ở tử phải có

thì

do đó phải biểu diễn 3x = x + x + x và dùng bất

đẳng thức Côsi cho 4 số dương.
Giải:
Dấu “=” xảy ra khi

x=2

Vậy minA = 8 khi x=2
*Ví dụ 4 : (Trích đề thi vào lớp 10 – Hà Nội năm 2012-2013)
Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện

, tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:
Hướng dẫn giải :
Ta có M =
Vì x, y > 0 , áp dụng bdt Cô si cho 2 số dương


,
dấu “=” xảy ra  x = 2y
Vì

x ≥ 2y 

, dấu “=” xảy ra  x = 2y

Từ đó ta có M ≥ 1 + = , dấu “=” xảy ra  x = 2y
Vậy GTNN của M là

, đạt được khi x = 2y

*Ví dụ 5 : (Trích đề thi vào lớp 10-Quảng Ngãi năm 2012-2013)

Giáo viên :

THCS

Trang 13

ta có


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Cho

thỏa mãn


. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.
Hướng dẫn giải :
Với

ta có

Do đó

.

Dấu “=” xảy ra khi

.

Từ

Vậy

khi

.

Dạng 6 : Vận dụng bất đẳng thức Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki
Cho hai bộ số

. Ta có


Dấu “=” xảy ra khi
 Ví dụ minh họa :
*Ví dụ 1: Cho

. Tìm GTNN của x + y

Nhận xét:
Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và (
)
Ta được:

Giáo viên :

THCS

Trang 14


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”

Dấu “=” xảy ra khi

x = 4, y = 16

Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16
* Ví dụ 2 : (Trích đề thi vào lớp 10-Bắc Ninh năm 2012-2013)
Cho các số x,y thỏa mãn x 0; y 0 và x + y = 1.
Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = x2 + y2.
Hướng dẫn giải :

* Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .
Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có 1 = x + y hay
1= (x + y)2

. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2

khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)
* Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A .
Ta có A = x2 + y2 hay xy =
Do đó theo (*) có A

(*) vì x + y =1 mà x

. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1

khi x = 0 và y = 1 hoặc x= 1 và y = 0
Dạng 7 : Phương pháp miền giá trị của hàm số
Phương pháp :
Xét bài tốn sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Gọi

là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ

phương trình (ẩn

) sau có nghiệm:

Tuỳ dạng của hệ

,


mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp.

Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng

Giáo viên :

với

THCS

Trang 15

.


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Vì
và

là một giá trị bất kỳ của

nên từ

ta thu được:

trong đó
Như vậy thực chất của phương pháp này là đưa về phương trình bậc

hai và sử dụng điều kiện

 Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có
nghiệm
Do

nên

+ TH1: Nếu

thì

có nghiệm

+ TH2: Nếu

thì để

có nghiệm, cần và đủ là

.
Với

hoặc

Với

thì


thì nghiệm của
với

là:

thì

Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có:

Giáo viên :

THCS

Trang 16

, tức là:


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”

Ví dụ 2 : Tìm Max và Min của biểu thức E =

.

Hàm số xác định với mọi giá trị của x  R (vì x2 + 1 > 0, x ).
Gọi yo là một giá trị của hàm. Phương trình yo =

có nghiệm.


Suy ra yo(x2 + 1) = x2 + 6x + 1 có nghiệm
 (yo – 1)x2 – 6x + yo – 1 = 0 có nghiệm. Ta xét :
- Nếu yo = 1  x = 0 (thích hợp).
- Nếu yo  1, lập ’ = 9 – (yo – 1)2  0  (yo – 1)2  9
 | yo – 1 |  3  – 2  y  4.
Vậy Min y = – 2
Max y = 4

x= -1
x= 1

Ví dụ 3 : (Trích đề thi vào lớp 10-Ninh Bình năm 2012-2013)
, thỏa mãn x2 + y2 = 1. Tìm GTLN của :

Cho

Hướng dẫn giải :
Từ
Vì

thay vào

Đưa về pt:

Dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai

Bài tập áp dụng : Tìm Max và Min của biểu thức D = x2 +y2
biết rằng x2 +y2 –xy = 4

Giáo viên :


THCS

Trang 17


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”



Một vài dạng khác :

Bài toán 1: (Trích đề thi vào lớp 10-Hà Nam năm 2013-2014)
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = xy – 3y - 2x – 3.
Hướng dẫn giải :

Có

với mọi x, y dương
=0

y = 2x + 3

Q = x(2x + 3) – 3(2x + 3 ) – 2x – 3
= 2x2 + 3x – 6x - 9 – 2x -3
= 2x2 – 5x – 12 =

=


=

với mọi x > 0

Dấu bằng xảy ra khi x -

=0

GTNN của Q =

và y =

Bài toán 2: Tìm GTNN của:
Giải:

Ta có:
Giáo viên :

THCS

Trang 18


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)

0 hay

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)


0 hay

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi
Bài toán 3: Tìm x

.

Z để biểu thức D =

+

đạt GTNN.

Giải:
Ta có D =

+

=

+

Dấu “=” xảy ra khi (x-2) (8-x)

= 6.

0.

Lập bảng xét dấu:
x


2

x-2

-

8-x

+

(x-2)(8-x)

-

8

0

+

0

+

+

0

-


+

0

-

Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x)
Vậy minD = 6 khi 2

x

0

2

x

8.

8.

Bài tốn 4: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – 2 = 0
Tìm m để cho

đạt GTNN.

Gợi ý:
phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt x 1; x2.
Theo định lý vi-ét ta có:


Do đó
Giáo viên :

m
THCS

Trang 19


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
GTNN của

là 2 khi m =

c. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp :
Trong khi giảng dạy phải tạo khơng khí vui vẻ để học sinh thi đua hợp
tác lẫn nhau trong quá trình tìm kiếm, phát hiện kiến thức mới.
Trong các tiết học chính khóa cần lồng ghép các bài tập và một số đề
thi vào trung học phổ thơng, đề thi tốn trên mạng violympic để học sinh thấy
được tầm quan trọng của các dạng tốn này.
Ngồi ra người thầy cần chuẩn bị thật chu đáo cho nội dung các bài dạy
để sẵn sàng trả lời những thắc mắc mà học sinh gặp phải trong quá trình tự
học, trong quá trình đọc sách tham khảo của học sinh ...
d. Mối quan hệ giữa các giải pháp biện pháp :
Các biện pháp và giải pháp nêu trên nó ln quan hệ mật thiết với nhau,
Thứ nhất học sinh có nắm được kiến thức về lý thuyết thì mới vận dụng làm
bài tập được, thứ 2 khi làm bài tập cần phân thành các dạng và phương pháp
giải từng dạng cụ thể để học sinh dễ nắm bắt, dễ phát hiện ra cách giải từng
dạng toán và nhớ lâu hơn.

Việc trình bày các nội dung của giải pháp và biện pháp nêu trên chỉ là
nội dung cơ bản và một số dạng toán thường gặp trong kiểm tra, thi cử. Ngồi
ra cịn một số dạng tốn khác về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đòi hỏi
học sinh phải biết tư duy sáng tạo để phát hiện ra cách giải bài tốn đó.
II.4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề
nghiên cứu :
Trong giờ học chính khố tơi lồng ghép các bài tập cùng phương pháp
giải, cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải
từng loại toán này. Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp. Đặc
biệt trong các giờ luyện tập, ôn tập chương tôi tiếp tục cho học sinh giải các
bài tập nâng cao, làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn. Qua đó học sinh

Giáo viên :

THCS

Trang 20


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
thấy được tầm quan trọng của loại tốn này, tự rèn luyện tạo kỹ năng cho
mình và rút ra cách giải các bài tập phức tạp hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học
sinh lớp 9” đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của
trường THCS

liên tục trong 3 năm (năm học 2012-2013; 2013-2014; 2014-

2015). Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận
dụng vào giải bài tập nhanh, khoa học, chính xác. Nhiều em cịn đề xuất

những hướng giải khác và tổng qt hóa bài tốn. Các em ngày càng u
thích mơn Tốn hơn chính vì thế mà trong 3 năm liên tục tơi đều có học sinh
giỏi ở các cấp cụ thể như sau :
Sau khi áp dụng đề tài cho cả 3 năm học kết quả đạt được cụ thể như sau :
Năm học

(Bao gồm HS giỏi Văn hóa tốn 9 + Giải tốn trên máy Casio + Toán Violympic)
Kết quả cấp Trường

Kết quả cấp huyện

2012-2013

8 học sinh giỏi

4 học sinh giỏi

2013-2014

8 học sinh giỏi

4 học sinh giỏi

2014-2015

8 học sinh giỏi

Kết quả cấp Tỉnh

3


6
(đã thi huyện)

(đã thi tỉnh)
kết quả cũng rất khả quan

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi cịn có trình bày những sai lầm trong
phân tích tìm GTLN và GTNN. Bởi đây là những sai lầm, ngộ nhận trong quá
trình suy luận logic mà các em cần phải tránh trong khi làm bài.Việc vận
dụng bất đẳng thức Cơsi, Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị cịn rất khó đối với
học sinh THCS. Chính vì thế giáo viên cần phải quan tâm đầu tư hơn về
phương pháp này nhằm trao dồi, rèn luyện tìm ra cách suy luận, gợi mở tạo
hứng thú học tập cho các em, để các em học tập hiệu quả hơn.
Như vậy sau khi tơi phân tích và đưa ra các dạng tốn cùng phương pháp giải
từng dạng tốn về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số, kết quả
Giáo viên :

THCS

Trang 21


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
thu được là học sinh đã hình thành, định hướng được cách giải loại toán này.
Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề, các câu hỏi dẫn dắt, các em tự phát
hiện ra hướng giải cho từng bài tập tạo hứng thú, phát triển trí thơng minh
sáng tạo cho học sinh. Từ đó chất lượng dạy và học mơn Đại số nói riêng và
mơn Tốn nói chung được nâng lên.
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ :

III.1. Kết luận :
Các dạng tốn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình
Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên
quan và mang tính lơgíc toán học cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua
việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để nâng cao chất lượng dạy và học giúp
học sinh hứng thú học tập mơn Tốn nói chung và phần Đại số 9 nói riêng thì
mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích
cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa
kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh
lớp 9 ” tơi đã cố gắng trình bày tương đối đầy đủ các dạng toán và phương
pháp giải các dạng tốn đó, từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơn. Bên
cạnh đó tơi ln phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp
khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn
nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc
phải một cách dễ hiểu. Ngồi ra tơi cịn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thơng
qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
III.2. Kiến nghị :
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tơi chỉ nghiên cứu ở một phạm
vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm

Giáo viên :

THCS

Trang 22


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”
học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất

một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và
học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa,
soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học sao cho sinh động và
thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ,
nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng
thường xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên
lớp. Về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa
và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Trên đây một số kinh nghiệm mà tơi đúc rút được qua các năm dạy học lớp
9 tôi mạnh dạn trao đổi cùng với q thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp. Trong
q trình thực hiện, khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tơi rất
mong nhận được sự đóng góp chân thành của hội đồng chấm sáng kiến, của
bạn bè đồng nghiệp để đề tài này của tôi được hồn thiện hơn nữa.
Tơi xin chân thành cảm ơn !
Quảng Hiệp, ngày 10 tháng 04 năm 2015
NGƯỜI NGHIÊN CỨU

Giáo viên :

THCS

Trang 23


“ Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9 ”


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Sách giáo khoa Toán 9 tập 2. NXB GD- 2007
2/ Sách giáo viên Toán 9 tập 2. NXB GD- 2007
3/ Sách bài tập Toán 9 tập 2. NXB GD- 2007
4/ Nâng cao và phát triển tốn 9 – Vũ Hữu Bình
5/ Các dạng tốn và phương pháp giải Tốn 9 - Tơn Thân
6/ Ôn luyện toán THCS - Tác giả : Vũ Hữu Bình
7/ Ơn tập củng cố kiến thức tốn 9 – Huỳnh Bá Lộc
8/ Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi tuyển sinh vào lớp 10
mơn tốn của các sở GD&ĐT – Lê Thị Vân Anh
9/ Những vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học THCS
10/ Phương pháp dạy học mơn tốn.Tác giả :GS.TSKH.Nguyễn Bá Kim

Giáo viên :

THCS

Trang 24