Sáng kiến kinh nghiệm phát huy trí lực học sinh trong giải toán bất đẳng thức và cực trị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 24 trang )
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
1
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tốn học là bộ mơn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khố mở
cửa, tạo nền cho tất cả các ngành khoa học khác. Song toán học mà chúng ta đã,
đang và tiếp tục nghiên cứu nó phần lớn trên cơ sở lý thuyết nhưng nó cũng đã
góp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm như Lí học, Hố học, thiên
văn học và Tin học...
Ngay từ thời kì tiền của lồi người, tốn học đã hình thành từ những vật
cụ thể để đi đến phép đếm rồi so sánh. Trải qua qú trình lao động sáng tạo con
người khơng những chiếm lĩnh khoa học ngày một hiện đại và sáng tạo, tìm ra
những quy luật của các con số, phép tốn, cơng thức tốn học và cả những chân
lý...
Ngày nay bộ mơn Toán chiếm một ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc
biệt là trong dạy học, học tập, nó địi hỏi ở người thầy giáo một sự lao dộng
nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh học và
giải các bài tốn, đó cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy giáo dạy Toán.
Ai cũng biết rằng muốn giải toán phải luyện tập nhiều thơng qua việc giải
các bài tốn đa dạng, gải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn và tỉ mỉ, để
tự tìm ra đáp sốcủa chúng. Như nhà tâm lí học, tốn học cổ Xơ Clat đã nói
“Những hiểu biết mà ta thu được một cách khơng khó khăn thì sẽ khơng lâu
bền, chúng ta chỉ (có thể do sự giúp từ bên ngồi) những gì mà ta tìm hiểu được
cũng giống như cây cối chỉ sự dụng thứ nước do rễ của chúng hút được từ trong
lòng đất” (Đối thoại toán học). Để đạt được nhiệm vụ trong giảng dạy muốn vậy
người thầy dạy toán, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức đã học trong
nhiều tình huống khác nhau. Một bài tốn thường có nhiều cách giải, mỗi bài
toán nằm trong mỗi dạng toán khác nhau, nó địi hỏi phải vận dụng kiến thức đã
học trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó phải xếp bài tốn
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
2
nào vào vấn đề nào là một việc rất khó, và cũng khó ở một số bài toán được gặp
ở hai hoặc nhiều vấn đề khác nhau.
Trong chương trình phổ thơng cấp 2 hiện nay các loại bài tập thật đa
dạng, phong phú và khơng ít phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn. Trong khn
khổ của đề tài này, xin nêu một số phương pháp đề cập đến giải toán về “Bất
đẳng thức và cực trị”. Phải nói rằng các loại tốn này là khó, đa dạng mặc dù
trong chương trình cấp 2 (từ lớp 8 - 9) đã đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắc
khi đứng trước loại tốn này.
I.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ mơn đại số nói chung. Rèn luyện khả
năng tư duy, giúp học sinh có những hứng thú tốn học, khắc phục tình tạng thụ
động, dập khn, máy móc trong q trình giải bài tập. Giúp học sinh củng cố,
khắc sâu kiến thức về bất đẳng thức - bài tốn tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất của một số dạng toán thường gặp.
I.3. THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM
I.3.1. THỜI GIAN
- Thời gian để tôi nghiên cứu đề tài là 2 năm
I.3.2. ĐỊA ĐIỂM
- Địa điểm để thực nghiệm đề tài là học sinh các lớp khối 8 khối 9ủ
trường THCS Mạo Khê II - Đông Triều - Quảng Ninh
I.4. ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Trong tình hình đổi mới sự nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới những
học sinh có năng khiếu, ham học tập, thì địi hỏi người thầy đặc biệt quan tâm,
giúp đỡ các em về phương pháp giải toán. Cũng các loại bài tập này hiện nay
hay được đề cập đến và trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên,
cũng có thể nói rằng loại tốn bất đẳng thức - cực trị không chỉ ở trong bộ mơn
đại số và cả trong hình học, khơng những trong lý thuyết tốn, mà có thể áp
dụng trong thực tiễn.
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
3
Từ những vấn đề nêu trên, những khó khăn, tác dụng, u cầu của tốn
học, đó cũng là lí do chính để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh trong giải
tốn “Bất đẳng thức - cực trị” ở lớp 8 - 9.
PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG
II.1. CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN
Nắm được định nghĩa bất đẳng thức, các tính chất cơ bản của bất đẳng
thức đại số, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng. Nêu một
số ví dụ áp dụng bất đẳng thức. Một số dạng toán cực trị và phương pháp giải
chúng.
II.2. CHƯƠNG 2 : NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
II.2.1. BẤT ĐẲNG THỨC
Ta đều biết để so sánh hai số a, b
a>b
a-b>0
a
a-b<0
a=b
a-b=0
R chỉ có thể xảy ra ba trường hợp:
Từ đó mở rộng ra bất đẳng thức là một hệ thức có một trong các dạng:
A>B hoặc A < B trong đó A, B là các biểu thức đại số chứa các biến số hay các
số. Cần lưu ý cho học sinh là khi nói về một bất đẳng thức mà khơng nói rõ gì
hơn thì đó là một bất đẳng thức đúng.
Trong khi học trong chương trình thì học sinh phải nắm thật vững, cơ bản
và sâu sắc về định nghĩa bất đẳng thức, cùng với các tính chất và phương pháp
chứng minh.
II.2.1.1. Định nghĩa: a, b bất kỳ
a
A-B>0
A
A-B<0
R: a > b
a-b>0
a-b<0
A - B là những biểu thức chứa chữ v biến số
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
4
Đó là cơ sở quan trọng và thường lấy đó để chứng minh nhiều bài tốn về bất
đẳng thức.
Trong q trình giải các bài tập khơng đơn thuần chỉ là chứng minh
những bất đẳng thức đúng mà thơng thường ta gặp các bài tốn dạng:
A
B
A-B
0
A
B
A-B
0
Trong trường hợp “ ”; “ ” thì sau khi đã chứng minh được bất đẳng
thức đúng phải chỉ ra được các yếu tố nào (quan hệ) giữa các chữ có trong bất
đẳng thức với nhau hoặc quan hệ với một hằng số, tham số nào đó.
Ví dụ x2
0 với
x thì dấu bằng xảy ra khi x =0
Hay đẳng thức quen thuộc (a - b)2
Với x2 + y2
0
x, y
0 thì dấu “=” xảy ra khi a - b = 0 hay a = b
R thì dấu “=” xảy ra khi x = y = 0
Như vậy trong khi giải các bài toán về bất đẳng thức thì việc tìm điều kiện
để dấu “=” xảy ra lại là một vấn đề không đơn giản, nó là một bài tốn nhỏ nằm
trong một bài toán lớn (sẽ được diễn giải đối với từng loại bài trong các ví dụ
sau).
II.2.1.2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức số
Vì bài tốn về bất đẳng thức thường đa dạng, phức tạp mới chỉ có định
nghĩa thì chưa thể giải hết được các bài tập. Như vậy cần nắm vững những tính
chất sau:
II.2.1.2.1 a > b
II.2.1.2.2 a > b
a + m > b+ m
a, b, m
am > bm nếu m > 0
am < bm nếu m < 0
II.2.1.2.3 a > b và b > c => a > c
II.2.1.2.4 a > b và c > d => a + c> b + c
II.2.1.2.5 a > b và ab > 0 =>
II.2.1.2.6 a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd
II.2.1.2.7. a > b
0 và m
Z+ => am > bm
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
II.2.1.2.8. a > b
0 và n
5
Z+ =>
Đó là những tính chất rất cơ bản cần trang bị cho học sinh khi tiếp nhận
vấn đề này song các tính chất trên khơng có tính chất hai chiều.
Trong khi giải bài tập đòi hỏi việc biến đổi đồng nhất hay tương đương là
vơ cùng quan trọng, nó địi hỏi phải nắm kỹ kiến thức cơ bản và kĩ năng kĩ xảo.
Cũng cần trang bị cho các em những vốn kiến thức cơ bản như chứng minh và
công nhận những bất đẳng thức đúng để các em giải nhanh và góp phần cho sự
tư duy để giải các bài tốn khó.
Ví dụ: Trong khi giải các bài tốn ta có thể lấy những bất đẳng thức đáng
nhớ như: (a
b)2
0 (a + b - c + d....+)2
Tổng quát hoá (a
Hoặc
b +...+)2k
0
0
ai mà ai là những số dương =>
ai
0
Hoặc: trong biểu thức có tổng độ dài của các yếu tố về đoạn thẳng hoặc
các tính chất về mối quan hệ cạnh (góc) của tam giác.
II.2.1.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng.
II.2.1.3.1. Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét:
A - B nếu A - B > 0 thì khẳng dịnh A > B là đúng.
Nếu A - B < 0 thì bất đẳng thức sai.
II.2.1.3.2. Dùng phép biến đổi tương đương (có nhiều cách biến đổi)
chẳng hạn chứng minh A > B ta biến A -> M; B -> N rồi so sánh M với N:
M > N => A > B
Hoặc biến đổi tương đương dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
II.2.1.3.3. Dụa vào các bất đẳng thức đúng đã biết như các hằng đẳng
thức...đã nói ở (2)
II.2.1.3.4. Dùng phép làm trội: thường chứng minh với bất đẳng thức là
một dãy số. Tách dãy đó thành những nhóm có giá trị tổng đặc biệt nào đó theo
một quy luật nhất định để tính được giá trị tổng gồm nhiều hạng tử.
Giả sử: M1 + M2 + M3 + ...+Mn > P
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Khi đó ta tính
6
;
II.2.1.3.5. Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B
ta giả sử A
B từ đó dẫn đến những điều trái giả thiết.
Ví dụ: Chứng mih:
Giả sử:
(vơ lý)
Vậy
II.2.1.3.6. Dùng phép trung toán (hay quy nạp toán học)
II.2.1.3.7. Dùng phối hợp các phương pháp trên một cách hợp lí và lơgic.
Nói chung các bài tập về bất đẳng thức là rất đa dạng và khá phức tạp.
Thơng thường những bài tốn vận dụng phương pháp dùng định nghĩa, phép
biến đổi tương đương phản chứng đỡ khó khăn hơn và gần gũi với học sinh hơn
hoặc kết hợp các phương pháp.
Bài toán về bất đẳng thức thường là cho dưới dạng khi biết một số điều
kiện nào đó hãy chứng minh một biểu thức, bất đẳng thức ở nhiều (hay đề cập) ở
đại số song có cả ở trong hình học cũng thường gặp.
Việc giải bài toán về bất đẳng thức là khó bởi lẽ đương nhiên ngồi kiến
thức cơ bản liên quan tới bất đẳng thức, đòi hỏi phải vận dụng một cách đúng
đắn trong trường hợp nào cho phù hợp. Kĩ năng biến đổi tốt giúp cho trong khi
giải đỡ dài dịng và tránh được những sai lầm góp phần cho sự tư duy, sáng tạo
một cách chắc chắn.
II.2.1.4. Thực tiễn trong giải tốn và hướng dẫn (các ví dụ)
II.2.1.4.1. Chứng minh rằng a > b > 0 thì a 2 > b2
Dùng định nghĩa để chứng minh:
Xét a2 - b2 = (a - b) (a + b)
Vì a > b => a - b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
7
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
=> (a - b) (a + b) > 0
a2 - b 2 > 0
a2 > b2
Như vậy trên cơ sở điều phải chứng minh dùng định nghĩa và kết hợp điều
kiện cho biết để lí luận điều phải chứng minh.
Nếu ta thay đổi điều kiện ngược lại như sau:
Nếu
a > 0, b > 0
=> a > b
a2 > b2
ở đây nếu dùng định nghĩa việc chứng minh
xét a - b đến đây ta không
thể biến đổi tiếp được, vì vậy ta khai thác điều kiện ta có:
Vì a2 > b2
a2 - b2 > 0
(a - b) (a + b) > 0
Đến đây học sinh phải nắm được việc xét tích m.n > 0
m, n cùng dấu
để vận dụng vào bài tốn.
Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a -b) (a + b) > 0
=> a - b > 0
a>b
Trong những bước đầu hình thành kĩ năng cơ bản cho học sinh, giáo viên
thường xuyên cho các em chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản, rồi sau
khi đã chứng minh được thì cơng nhận chúng để vận dụng vào các bài toán phức
tạp hơn.
II.2.1.4.2. Chứng minh (a + b)2
4ab. Khi nào thì dấu bằng xảy ra?
Dùng định nghĩa xét: (a + b)2 - 4ab
a2 + b2 - 2ab = (a - b)2
0
=> Dấu bằng xảy ra khi a - b = 0
a=b
II.2.1.4.3. Cho a, b không âm. Chứng minh
Với điều kiện của bài toán a
)2; b = (
0, b
0 nên ta có thể vận dụng: a = (
)2
Dùng phép biến đổi tương đương ta có:
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
8
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Xét vế trái: VT
a+b-2
=(
)2
-
0
nên => điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b
Thơng qua bài tốn này giáo viên giới thiệu bất đẳng thức trên (bất đẳng
thức Côsi với 2 số không âm)
Có thể giới thiệu cơng thức (định lí CơSi)
Với 3 số khơng âm: a, b, c
Ta ln có a + b + c
3
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Tổng quát a1 + a2 + ...+an
n
với các ai (i =
) khơng âm
Cần nhấn mạnh điều kiện để có thể vận dụng được định lí Cơsi và với các số
không âm
* Chứng minh bất đẳng thức:
(a +b + c) (
)
9 với a, b, c > 0
Cách 1: Xét (a +b + c) (
)=1+
=3+
Từ bất đẳng thứ đúng: (a - b)2
0 ta có: a2 + b2
2ab
Do a, b > 0 nên a.b > 0 ta có:
Tương tự:
Hay (a +b + c) (
=> 3 +
)
9
9
Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số không âm:
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
9
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Ta có: a +b + c
3
=> (a +b + c) (
)
9
=9
Rõ ràng vận dụng định lí Côsi giải ngắn gọn hớn và cũng không phức tạp
Trên cơ sở đó sử dụng kết quả 4.2.1 vận dụng vào bài toán sau:
Chứng minh bất đẳng thức:
với x, y, z
0
Dựa vào bất đẳng thức chứng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y
Rõ ràng a,b, c > 0
Ta có bất đẳng thức
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z
II.2.1.4.4. Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì Đối với bài tốn này ta khơng thể dùng trước định nghĩa hay biến đổi, áp dụng
các bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đúng nào đó
Từ: x2 + y2 = 1 (*) và từ (x - y)2
Ta có: x2 + y2
2xy => 2xy
0
1 (**)
Cộng (*) với (**) ta có: x2 + 2xy + y2
(x + y)2
| x + y|
Dấu bằng xảy ra
x=y=
2
2
hay hoặc x = y = -
* Chứng minh rằng nếu a + b = 2 thì a4 +b4
2
Xét a4 +b4 - 2
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
10
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Dùng phép biến đổi đồng thức: Vì a + b = 2 nên ta có thể đặt:
a=1+m
b=1-m
Có: a4 +b4 - 2 = (1 +m)4 + (1 - m)4 - 2
= 1 + 4m + 6m2 + 4m3 + m4 + 1 - 4m +6m2 - 4m3 + m4 - 2
= 12m2 + 2m4
0 vì m2
Vậy từ đó => a4 +b4
Dấu “=”
0 ; m4
0
2
a = b = 1 hoặc a = b = -1 nhưng vì a + b = 2 => a = b = -1 (loại)
II.2.1.4.5. Cho 4 số a, b, c, d.Chứng minh (ab + cd)2
(a2 + c2) (b2 + d2)
(1)
Dùng phép biến đổi tương đương:
Từ (1)
a2b2 + 2abcd + c2d2
a2d2 - 2adbc + b2c2
(ad - bc)2
a2b2 +a2d2 +c2b2 +c2d2
0
0 Đây là hằng đẳng thức luôn đúng với
a, b, c, d
R
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ad - bc = 0
hay
ad = bc
nào để k =
Trên đây cũng chính là bất đẳng thức Bunhiacopski
Từ đó đối với học sinh khá giỏi có thể đưa ra trường hợp tổng qt mà
khơng địi hỏi phải chứng minh vì việc chứng minh rất phức tạp đối với
học sinh cấp 2 mà chỉ yêu cầu nhìn nhận đúng và sử dụng đến bất đẳng
thức.
Cho 2n số a1, a2,...an
R và b1, b2,...bn
Khi đó ta có (a1b1 +....+anbn)2
(a
R.
+....+ a ) ( b
+....+ b )
Dấu “=” xảy ra khi
Vận dụng kết quả bài toán 4.3.1. trên đưa ra bài toán:
Cho 4x - 6y = 1. Chứng minh rằng 4x2 + 9y2
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Thật vậy từ giả thiết: 4x - 6y = 1
2.2x + (-2).3y = 1
Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = -2; d = 3y
Ta có [2.2x + (-2).3y]2
1
[22 + (-2)2][(2x)2 + (3y)2]
8 (4x2+ 9y2)
4x2 +9y2
Ta có:
=> x =
;y=-
Vậy dấu “=” xảy ra khi x =
;y=-
II.2.1.4.6. Loại toán dùng phương pháp làm trội
Chứng minh bất đẳng thức:
Rõ ràng vế trái gồm tổng của 1000 phân số và nhóm thứ nhất
(*)
250 hạng tử
Vì
nên (*) lớn hơn
Tương tự nhóm thứ hai:
Nhóm thứ ba:
Nhóm thứ tư:
Vậy :
II.2.1.4.7. Loại chứng minh bằng quy nạp
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
11
12
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Với những số nguyên dương n nào thì bất đẳng thức sau đúng: 2n > n2
Dùng phương pháp quy nạp:
Dùng phép thử: Với n = 1 : 2 > 1 đúng
Với n = 2 : 22 = 22 không đúng
Với n = 3, 4 bất đẳng thức không đúng
Với n = 5 : 25 > 52 đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k
Z; k
5)
2k > k2
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nghĩa là:
2k+1 > (k +1)2
Thật vậy
2k + 2k - (k2 + 2k + 1)
(2k - k2) + [2k - [2k + 1]
Vì 2k > k2 (đúng điều giả sử trên)
Vì k
5 => 2k > 2k+ 1. Do vậy bất đẳng thức đúng với n = 1 và n
* Cho An = 1 +
(n
5
Z; n > 1)
Chứng minh bất đẳng thức:
Trong một số phương pháp trên trong các bài tốn đã trình bày qua các ví
dụ thì các phương pháp làm trội, phương pháp quy nạp là gặp khó khăn đối với
các em bởi lẽ phương pháp này ít được đề cập trong trường phổ thơng (loại trừ
trường chun, lớp chọn). Do đó cần hướng dẫn chi tiết cho từng đối tượng học
sinh cũng không nêu ra nhiều mà cần tập trung cho những phương pháp thông
thường. Kết thúc phần này được nêu một số bài toán chứng minh bất đẳng thức
trong tam giác.
II.2.1.4.8. Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất
đẳng thức: a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3
Đây là một bài tốn khó đối với học sinh nhưng có thể thấy được rằng a, b, c
hiển nhiên là những số dương và phải thấy được quan hệ các cạnh trong một tam
giác: a + b > c; b + c > a; a + c > b ( HH lớp 8)
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
13
Trước hết ta có nhận xét:
c(a - b)2 + 4abc = c[(a - b)2 + 4ab]= c(a + b)2
a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2 + 4abc - a3 - b3 - c3 > 0
Bất đẳng thức
[a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [ c(a - b)2 - c3 ] > 0
a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a - b)2 - c2 ] > 0
a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c- a + b) + c(a + b - c)(a + b + c)> 0
a (a +b - c)(b - c - a) - b(a + b - c)(c - a + b) + (c(a+b - c) (a + b+c) > 0
(a + b - c) (ab - ac- a2 - bc + ab - b2 + ac + ab + c2) > 0
(a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2) > 0
(a + b - c)[c - (a -b)2] > 0
(a + b - c)(c + a - b)(c + b - a) > 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
* Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a +b + c (a, b, c độ dài ba cạnh)
Chứng minh rằng:
Để có thể giải dễ dàng thì cần đưa ra trước bài tốn sau: Cho x, y dương: Chứng
minh
Trên cơ sở kết quả bài tốn này có thể giải quyết dễ dàng bài tốn đã cho ban
đầu.
II.2.2. TỐN CỰC TRỊ
II.2.2.1. Lý luận
Cực trị đồng nghĩa với giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức, để
giúp học sinh ban đầu nắm vững cơ sở lí luận này ta có thể đưa ra một số vấn đề
cũng như các tính chất, hằng đẳng thức có liên quan.
Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một biểu thức A nếu hai
điều kiện sau đây được thoả mãn.
1. A
M (Hằng số) hay A
M (Hằng)
2. Có lúc A = M ( trong điều kiện nào đó của bài tốn để bài tốn
xảy ra dấu bằng) thì ta nói biểu thức A đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là M.
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
14
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC:
a2
0; a2= 0
|a|
- |a|
0; |a| = 0
a
a=0
a=0
|a|; - |a| = a = |a|
a=0
|a + b|
|a| + |b|; |a+b|= |a| + |b|
|a - b|
|a| - |b|; |a-b|= |a| - |b|
ab
ab
0
0 và |a|
|b|
Vấn đề cực trị là loại tốn khó, đa dạng, phong phú ở cả các môn số học, đại số,
hình học. Trong khn khổ của đề tài xin được nêu một số dạng quen thuộc ở bộ
môn đại số cấp 2, chủ yếu tập trung cho 2 lớp 8 và 9 bởi vấn đề cực trị hiện mà
nhiều học sinh khá giỏi cũng như yêu cầu rất quan tâm và cũng là sự thay thế
nhiều trong lĩnh vực này.
II.2.2.2. Các bài tốn đại số cực trị có thể ở một số dạng sau đây và
phương pháp giải:
II.2.2.2.1. A = |x+ a| + |x+b| +...+|xn + p| với a, b, ..p
Z
Phương pháp giải
Cách 1: Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối
A = A nếu những giá trị của biến để A
0
= - A nếu những giá trị của biến để A < 0
- Xét tất cả các nghiệm của |xn + p|
- Phân ra từng miền (khoảng) xác định
- Lập bảng xét dấu.
- Tìm giá trị mà A đạt được giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong khoảng
(miền) xác định nào đó của biến)
Cách 2: Dựa vào các bất đẳng thức tam giác
II.2.2.2.2. A =
+
Phương pháp giải:
- Trước hết xác định miền của tam thức bậc 2 dưới dấu căn sao cho thích
hợp
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
15
- Nếu các biểu thức dưới căn đưa được về dạng luỹ thừa 2 của một tổng
(hoặc hiệu) thì đưa về dạng (1)
- Nếu biến đổi biểu thức dưới căn về dạng:(mx
n)2 + q thì khi đó có thể
tìm được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất
Lưu ý là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) phải thoả mãn với điều kiện của bài
tốn tìm được ở phần đầu
II.2.2.2.3. Dạng a1xn + a2xn+ a3xn - 2 +...+an
Phương pháp:
- Dùng phép biến đổi đồng nhất để đưa về dạng tổng của các số dương
(hoặc âm) hoặc bị chặn bởi một hằng số nào đó)
II.2.2.2.4. Dạng A =
Phương pháp:
- Trước hết phải đặt điều kiện để mẫu số khác 0
- Có thể đưa mẫu số về dạng biểu thức luôn dương (âm) hoặc luôn lớn
hơn hoặc nhỏ hơn một hằng số nào đó)
- Có thể thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu về dạng:
A= M +
- Xác định giá trị x của biểu thức phân để nó triệt tiêu để đưa về dạng cơ bản:
A = M +Q(x)
M hoặc A - M + Q(x)
M
Ngoài ra cịn có một số dạng khác dưới những dạng phức tạp hơn.
II.2.2.3. Thực tiễn giải tốn và hướng dẫn
II.2.2.3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = |x- 3| + | x - 5|
Cách 1:
Xét
x - 3 nếu x
3
|x - 3| =
3 - x nếu x < 3
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
16
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
x - 5 nếu x
5
|x - 5| =
5 - x nếu x < 5
Để dễ dàng xét trong các miền ta lập bảng để xét
x
-
3
5
+
|x - 3|
3-x
0
|
x-3
|x - 5|
5-x
|
5- x 0
x-5
A
8 -2x
2
2
2
2x - 8
- Nếu x < 3 thì A = 8 -2x < 2 => A < 2
- Nếu 3
x < 5 thì A = 2
- Nếu 5
x thì A = 2x - 8
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2 ứng với 3
x
5
Cách 2: Theo tính chất về giá trị tuyệt đối:
|a+ b|
|a|+ |b|
Nên A = | x - 3 | + | x - 5| = | x - 3| + | 5- x|
| x - 3 + 5- x| = 2
=> A= 2 với 3
0
x
5 hay (x - 3) (5 - x)
II.2.2.3.2. Tìm giá trị x
Z để cho biểu thức
M = |x- 2| + |x- 3| + |x - 4| + |x-5| với giá trị nhỏ nhất
Để giải nhanh bài này ta sử dụng bài trên bằng cách đặt:
|x- 2| + |x - 4| =M1
|x- 3| + |x-5| = M2
rồi sử dụng kết quả câu trên để tìm vì giá trị nhỏ nhất của M cũng là giá
trị nhỏ nhất của M1+M2
II.2.2.3.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y=
- Rõ ràng các biểu thức dưới căn ln có nghĩa với
x
R
- y=
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
17
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
=
=
Ta biểu diễn các tọa độ:
M (x; 0)
A(
Theo quan điểm tính độ dài đoạn thẳng AB
)
B( -
trên mặt phẳng toạ độ
)
Như vậy ta có thể chuyển bài tốn về dạng hình học bằng cách biểu diễn
các toạ độ trên trục toạ độ. Từ đó bài tốn dẫn tới:
Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất với
M
đường thẳng // với AB.
Khi đó lấy A’ đối xứng với A qua Ox thì
Min(AM + BM) =Min(BM’ + M’A’) M’
(a’B, Ox)
=> Suy ra được giá trị nhỏ nhất của bài tốn
khi x = 0 giá trị y =
II.2.2.3.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
II.2.2.3.5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của: A = x2 + x+ 1
Để giải được bài toán phải dùng các phép biến đổi để đưa được về dạng
A = X2 + M
Có A = x2 + x + 1 = x2 + 2.
= (x +
)2 + 3/4 vì ( x +
-> AMin = 3/4 khi x +
)2 +
x+(
)2
0 nên A = (x +
)2 + 3/4
ắ
= 0 => x = -1/2
II.2.2.3.6. Tìm giá trị của x, y để cho M = x3 + y3 + xy là nhỏ nhất khi
x+y=1
Ta biến đổi M = x3 + y3 + xy
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
18
(x + y) (x2 - xy + y2) +xy
Vì x + y = 1 => M = x2 - xy + y2 + xy = x2+ y2
Có y = 1 - x
=> M = x2 + (1 - x)2 = x2 + 1 - 2x + x2
M = 2x2 - 2x + 1
Đến đây ta dùng phép biến đổi giống bài 3.1
2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x + 1/4) +1/2
M = 2 (x - 1/2)2 + 1/2
1/2
=> M nhỏ nhất =1/2 khi x = 1/2 => y = 1/2
II.2.2.3.7. Tìm giá trị lớn nhất A =
- Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu ta được:
A=
=
giá trị lớn nhất khi
(được thương là 2 dư 3) đến đây thì A đạt
đạt giá trị lớn nhất ta biến đổi x 2 - 2x + 2 tương tự
loại tốn phần (3)
A=2+
Vì (x-1)2 + 1
1 nên A
2+
=5
Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và A = 5
Lưu ý đối với loại này học sinh hay mắc phải là việc tìm 2 giá trị: Để A
lớn nhất thì
lớn nhất.
lớn nhất thì (x -1)2 + 1 phải nhỏ
nhất
II.2.2.3.8. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
A=
Đây là loại tốn có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên việc biến đổi
A phải tuỳ theo việc tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
19
* Tìm giá trị lớn nhất làm tương tự II.2.2.3.7
A=
=
Vì
nên A lớn nhất khi
AMax = 2
* Tìm giá trị nhỏ nhất thì ta phải viết A dưới dạng tổng của các số dương
(việc này là khó khơng phải bài nào cũng có thể làm dễ dàng được địi hỏi phải
có kĩ năng kĩ xảo và nhìn nhận một cách thấu đáo)
A=
AMin =
=
x = -1
II.2.2.3.9. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của M =
* Cuối cùng của phần này xin trình bày một vấn đề nhỏ về việc áp dụng
dùng bất đẳng thức để chứng minh về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.Cụ thể áp
dụng bất đẳng thức Côsi
Nếu tổng của 2 số dương bằng hằng số thì tích của chúng lớn nhất khi 2
số bằng nhau
Gọi 2 số là x và y; x + y = 5
Áp dụng bất đẳng thức Côsi:
xy đạt giá trị lớn nhất là
Nếu tích của 2 số là hằng số thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng
nhau
Làm tương tự 2 số đó là x, y có xy = P (hằng số)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
hay
Giá trị nhỏ nhất của x + y = 2
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
20
Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp trong đường trịn bán kính R hình
nào có diện tích lớn nhất
* Cịn nhiều bài tốn hình học khác cũng thường dùng (vận dụng) các bất
đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) song cũng phải nói rằng các bài tốn
trong hình học khơng dễ dàng gì mà có thể áp dụng trực tiếp được mà phải
thơng qua q trình biến đổi hoặc tạo ra đựơc tình huống phù hợp.
II.3. CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
II.3.1. Kết quả
Trong năm học 2007 - 2008 khi giảng dạy bình thường, khơng đi
vào chuyên đề về bất đẳng thức và cực trị nên chỉ với những kiến thức đề cập
trong sách giáo khoa, sách ơn tập thì học sinh khó có thể giải được nhiều bài tập
về tốn này thậm chí hiểu rất lơ mơ, khơng biết vận dụng cái đã có, cái cơng
nhận để sử dụng vào bài tập, trong đó ngay cả vận dụng định nghĩa về bất đẳng
thức cũng khó khăn. Chính vì vậy mà chất lượng làm loại tốn này rất thấp.
Thí nghiệm khi cho bài tập:
Chứng minh:Nếu a > 0, b > 0 thì
.
Đây là bài tốn lớp 9 - Chương căn bậc 2
Đa số học sinh khơng giải được do đó chất lượng kiểm tra chỉ đạt 20 25%. Qua xét nghiệm qua bài kiểm tra của học sinh thì thấy rằng khơng giải
được bởi những sai sót cơ bản sau:
* Vì để chứng tỏ rằng một bất đẳng thức nào đó đúng, ta cần phải lập luận
chặt chẽ, dựa trên những tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Do vậy nhiều học
sinh đã phạm những sai lầm sau:
II.3.2.1. Trừ các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
Chẳng hạn A > B
C>D
=> A - C > B - D là một sai lầm lớn. Ta lấy ví dụ cụ thể:
5 > 3; 7 > 1 => 5 - 7 > 3- 1 => -2 > 2 (Vô lý)
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
21
II.3.2.2. Bình phương 2 vế của một bất đẳng thức mà không được kiểm
nghiệm; xem xét hai vế của bất đẳng thức có dương hay khơng? (trong khi dạy
về luỹ thừa bậc 2 có tính chất a> b (a , b > 0 => a2 > b2) đưa ra 1 phản ví dụ:
5 > - 7 nhưng 52< (-7)2
II.3.2.3. Sử dụng các phép biến đổi không tương đương khác
Vì phương pháp chứng minh bất đẳng thức là rất đa dạng, chủ yếu dựa
vào đặc thù riêng của từng bất đẳng thức cần chú ý có thể áp dụng nhiều cách
khác nhau để chứng minh; song cũng có nhiều bài phối hợp nhiều phương pháp
một cách hợp lí mà đã được giới thiệu phần lí luận.
Sau những đúc rút thực tiễn của học sinh, tôi đã gắn bài dạy và luôn củng
cố trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và giới thiệu
một số phương pháp chứng minh và phương pháp suy nghĩ, sử dụng phương
pháp nào cho hợp lí. Dần dần các em hiểu kĩ vấn đề, từ biết vận dụng đến có kĩ
năng biến đổi, có phương pháp áp dụng tốt. Vì vậy trong năm học 2007 - 2008
kết quả cho thấy những bài toán đưa ra các em làm được tương đối tốt đạt 65% 70% và ngày càng gây niềm tin cho học sinh. Cũng từ cơ sở đó mà các em giải
được cả các bài tốn về cực trị. Bởi các bài toán về cực trị áp dụng chủ yếu từ cơ
sở việc chứng minh bất đẳng thức.
II.3.2. Phương pháp
II.3.2.1. Nghiên cứu lập luận qua đọc tài liệu tham khảo
II.3.2.2. Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy (đặc biệt là bồi
dưỡng học sinh giỏi) của bản thân và đồng nghiệp
II.3.2.3. Tham gia các lớp bồi dưỡng giáo viên do Sở Giáo dục Đào tạo tổ
chức
PHẦN III: PHẦN KẾT LUẬN - ĐỀ NGHỊ
Là một người giáo viên đã trực tiếp giảng dạy ở trường phổ thông cấp 2
trong một thời gian nhất định. Do vậy cũng có một số kinh nghiệm nhất định.
Giải bài tốn ở cấp 2 không phải đơn giản như một số người ngoài và trong
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
22
giảng dạy nhận xét. Nếu chỉ đảm bảo những kiến thức cơ bản scsh giáo khoa
mới là điều kiện cần, songchưa đủ mà phải đòi hỏi người giáo viên cần phải đi
sâu vào từng vấn đề cụ thể nghiên cứu nghiêm túc và hiểu thật sâu sắc như
PoLia có nói “Phải hứng thú và hiểu biết mơn học của mình”. Có như vậy mới
có thể “giúp đỡ” học sinh của mình học tập có kết quả cao. Trong dạy học ngồi
người thầy khơng chỉ nắm vững kiến thức, mà điều vô cùng quan trọng tới chất
lượng học của học sinh là phương pháp dạy -dạy như thế nào để các em dễ hiểu,
hiểu kĩ, đúng bản chất và vận dụng tốt rồi sáng tạo, tìm ra cách giải tốn một
cách độc lập. Có được như vậy người thầy còn là một nhà biểu diễn “nghệ
thuật” tài tình nhưng rất khó khăn.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy các em, bản thân ln ln có một
suy nghĩ là “Dạy như thế nào để các em học được nhanh và có kết quả tốt nhất.
Trong đề tài với khn khổ cịn hạn chế, và một số phương pháp khác chưa đề
cập hết. Trong đó có phương pháp chưa địi hỏi ở học sinh phổ thơng cấp 2
nhưng với những phương pháp trên và sự hướng dẫn chu đáo của thầy thì học
sinh đã có thể tự mình giải được nhiều loại bài tập, từ những bài toán đơn giản,
đến cả những bài toán phức tạp; với những kiến thức được trang bị trên các em
học sinh sẽ phát huy được khả năng của mình, tạo cơ sở cho mình có cách nhìn,
phán đốn đúng, đồng thời có kĩ năng biến đổi, áp dụng được công thức và
những điều đã biết. Thơng qua giải được các bài tốn về bất đẳng thức mà giúp
các em giải các bài tốn cực trị một cách khơng khó khăn. Cái khó trong giảng
dạy của người thầy dạy là làm thế nào mình chỉ đóng vai trị của một “bà đỡ”
cịn học sinh phải tự mình tìm thấy sự say mê trong khi học tập, tiếp thu kiến
thức.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, cơng sức, tìm hiểu, rút kinh nghiệm và
cố gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí do cịn hạn chế về kiến
thức cũng như phương pháp nên bản đề tài chắc không thể tránh khỏi thiếu
xót.Tơi mong được sự đóng góp, bổsung.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
23
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
Mạo Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2008
NGƯỜI VIẾT
Bùi Thị Nga
PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO - PHỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Đại số Lớp 8,9 NXB GD
- Sách ơn tập Tốn, NXB Hà Nội
- Đại số Hoàng Chúng: Đinh Quang Hảo, Nguyễn Ngọc Huân, Phan
Hoàng Quý, Nguyễn Văn Vinh
- Một số phương pháp chọn lọc, giải toán sơ cấp - Phan Đức Chính,
Nguyễn Văn Mậu
- Giải bài tốn như thế nào - Polia
- Những bài toán chọn lọc- Đại số, số học - Đỗ Đức Thái
- Sáng tạo tốn học - Hồng Chúng
- Toán chọn lọc cấp 2 - Lê Hải Châu
PHỤ LỤC
I. PHẦN MỞ ĐẦU.........................................................................................................1
I.1
Lý
do
chọn
đề
tài.................................................................................1
I.2
Mục
đích
nghiên
cứu ..........................................................................2
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
Phát huy trí lực học sinh trong giải Tốn bất đẳng thức và cực trị
24
I.3 Thời gian địa điểm..............................................................................2
I.4 Đóng góp mới về mặt lí luận, về mặt thực tiễn...................................2
II. PHẦN NỘI DUNG....................................................................................................3
II.1 Chương 1: Tổng quan........................................................................3
II.2 Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu............................................4
I.3 Chương 3: Phương pháp nghiên cứu, kết quả nghiên
cứu...................8
III. PHẦN KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ...........................................................................9
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................9
Bùi Thị Nga– Trường THCS Mạo Khê II
